Phát triển năng lực giải toán số phức cho học sinh trung học phổ thông

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

CHU THỊ HỒNG HẠNH

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN SỐ PHỨC CHO HỌC SINH
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN
Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học
(bộ mơn Tốn)
Mã số: 60 14 01 11

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. NGUYỄN THÀNH VĂN

HÀ NỘI - 2015


LỜI CẢM ƠN

Tơi xin bày tỏ lịng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến người thầy hướng
dẫn của mình là PGS.TS. NGUYỄN THÀNH VĂN, thầy đã tận tình hướng
dẫn tơi hồn thành luận văn này.
Tơi cũng xin trân trọng cảm ơn:
- Phòng đào tạo sau đại học trường Đại học Giáo Dục- Đại học Quốc
Gia Hà Nội
- Các thầy cô giáo trường Đại học Giáo Dục - Đại học Quốc Gia Hà Nội
đã dạy dỗ, hướng dẫn và tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tơi trong suốt q
trình học tập và nghiên cứu.
- Ban giám hiệu và các bạn đồng nghiệp ở tổ tốn trường Trung học phổ
thơng Dương Quảng Hàm - Văn Giang - Hưng Yên đã tạo điều kiện thuận lợi

giúp tơi hồn thành đề tài của mình.
Tuy đã có nhiều cố gắng, song chắc chắn luận văn sẽ khơng tránh khỏi
những thiếu sót. Tơi rất mong nhận được ý kiến đóng góp chân tình của các
thầy cố giáo, đồng nghiệp và bạn bè quan tâm.

Hưng Yên, tháng 11 năm 2014
Tác giả

Chu Thị Hồng Hạnh

i


DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT
ĐC

Đối chứng

GV

Giáo viên

HS

Học sinh

PP

Phương pháp

PPDH

Phương pháp dạy học

SGK

Sách giáo khoa

THPT

Trung học phổ thông

TN

Thực nghiệm

(?)

Gợi ý của giáo viên

(!)

Dự đoán câu trả lời của học sinh

i
i


MỤC LỤC

Lời cảm ơn ...............................................................................................................i
Danh mục chữ viết tắt..............................................................................................ii
Mục lục ..................................................................................................................iii
Danh mục các bảng ................................................................................................vi
MỞ ĐẦU ................................................................................................................ 1
Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN.................................................. 4
1.1. Năng lực và năng lực giải toán.......................................................................... 4
1.2. Kĩ năng và kĩ năng giải toán ............................................................................. 5
1.2.1. Quan niệm về kĩ năng, kĩ năng giải tốn......................................................... 5
1.2.2. Sự hình thành kĩ năng .................................................................................... 6
1.2.3. Điều kiện để có kĩ năng.................................................................................. 7
1.2.4. Các mức độ của kĩ năng giải toán................................................................... 7
1.3. Nhiệm vụ rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh ........................................... 7
1.3.1. Mục tiêu dạy mơn Tốn ................................................................................. 7
1.3.2. u cầu rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh THPT ................................ 8 1.4.
Những tình huống điển hình trong dạy học mơn Toán ...................................... 8 1.4.1.
Dạy học khái niệm Toán học.......................................................................... 8 1.4.2.
Dạy học định lý Toán học ............................................................................ 12 1.4.3.
Dạy học quy tắc, phương pháp ..................................................................... 13 1.4.3.1.
Dạy học thuật giải và quy tắc tựa thuật giải ............................................... 13 1.4.3.2.
Những quy tắc, phương pháp tìm đốn ...................................................... 14 1.4.4.
Dạy học giải bài tập Toán học ...................................................................... 14 1.4.4.1.
Các yêu cầu đối với lời giải ....................................................................... 14 1.4.4.2.
Phương pháp chung để giải tốn................................................................ 15 1.5. Tình
hình dạy học chương số phức - Giải tích 12 nâng cao ............................. 15 1.5.1. Nội
dung và mục đích dạy học chương số phức ........................................... 15 1.5.1.1. Nội
dung ................................................................................................... 15 1.5.1.2. Mục
đích, yêu cầu ..................................................................................... 16

iii

1.5.2. Tình hình dạy học chương số phức - Giải tích 12......................................... 17
Chương 2:BIỆN PHÁP PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN SỐ PHỨC
2.1. Dạy học các khái niệm trong chương số phức ................................................. 20
2.1.1. Dạy học khái niệm số phức .......................................................................... 20
2.1.2. Dạy học khái niệm acgumen của số phức z ≠ 0 ............................................ 22 2.1.3. Dạy
học khái niệm dạng lượng giác của số phức .......................................... 25 2.2. Dạy học
các định lý trong chương Số phức..................................................... 27 2.2.1. Dạy học
định lí nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác ......................... 27 2.2.2. Công thức
Moivre ........................................................................................ 30 2.3. Dạy học các qui
tắc, phương pháp trong chương Số phức ............................... 32 2.3.1. Dạy học quy tắc
khai căn bậc hai của số phức.............................................. 32 2.3.2. Dạy học giải phương
trình bậc hai................................................................ 34 2.4. Dạy học giải bài tập trong
chương Số phức..................................................... 36 2.4.1. Các dạng bài tập liên quan
tới dạng dại số của số phức ................................ 36 2.4.2. Các dạng bài tập liên quan tới
căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai ..45 2.4.3. Các dạng bài tập liên quan tới
dạng lượng giác của số phức ......................... 50
2.5. Ứng dụng của số phức trong các bài toán lượng giác, tổ hợp và hình học phẳng.. 58
2.5.1. Ứng dụng của số phức trong các bài toán tổ hợp .......................................... 59
2.5.2. Ứng dụng của số phức trong giải hệ phương trình ........................................ 64
2.5.3. Ứng dụng của số phức vào các bài hình học phẳng ...................................... 68
Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ........................................................... 71
3.1. Mục đích và nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm............................................ 71
3.1.1. Mục đích của thực nghiệm ........................................................................... 71
3.1.2. Nhiệm vụ của thực nghiệm........................................................................... 71 3.2.
Nội dung thực nghiệm sư phạm ...................................................................... 71 3.3.
Triển khai thực nghiệm sư phạm..................................................................... 71 3.3.1.
Đối tượng thực nghiệm ................................................................................ 71 3.3.2. Một
số giáo án dạy thực nghiệm................................................................... 72 3.4. Tiến hành

thực nghiệm ................................................................................... 89 3.5. Kết quả thực
nghiệm sư phạm......................................................................... 89 3.5.1. Cơ sở để đánh
giá kết quả của thực nghiệm sư phạm.................................... 89

iv

C


3.5.2. Kết quả của thực nghiệm sư phạm................................................................ 89
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ ...................................................................... 91
1. Kết luận............................................................................................................. 90
2. Khuyến nghị ...................................................................................................... 90
TÀI LIỆU THAM KHẢO................................................................................... 92
PHỤ LỤC............................................................................................................. 94

v


DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 3.1. Đặc điểm lớp thực nghiệm và đối chứng................................................71
Bảng 3.2. Thống kê kết quả làm bài của học sinh ..................................................89

vi


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Đất nước ta đang trên con đường cơng nghiệp hóa - hiện đại hóa, hội nhập

kinh tế quốc tế. Để một đất nước phát triển cần rất nhiều yếu tố nhưng yếu tố con người
là quan trọng nhất. Chính vì vậy mục tiêu của nước ta trong giai đoạn này là phát triển
nguồn nhân lực có sức khỏe, có đạo đức, có tri thức để đáp ứng yêu cầu của sự nghiệp
xây dựng và bảo vệ tổ quốc. Muốn có nguồn nhân lực như vậy thì một
người cơng dân ngay từ khi ngồi trên ghế nhà trường cần được giáo dục toàn diện.
Trong Chương I - điều 5 của Luật giáo dục nước cộng hòa xã hội chủ nghĩa
Việt Nam số 38/2005/QH11 ngày 14 tháng 6 năm 2005 đã ghi: "Phương pháp giáo dục
phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng
cho người học năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn
lên". Để thực hiện nhiệm vụ này, ngành giáo dục đã không ngừng đổi mới nội dung
cũng như phương pháp dạy học để đáp ứng u cầu cấp thiết của xã hội.
Mơn Tốn trong chương trình trung học phổ thơng đóng vai trị nền tảng. Nó
phát huy tư duy suy luận logic của học sinh và kiến thức tốn học liên quan đến
nhiều mơn học khác. Khơng những vậy tốn học cịn có rất nhiều ứng dụng trong đời
sống thực tế. Vì những ứng dụng đó nên việc bồi dưỡng, nâng cao năng lực giải toán
của học sinh là thực sự cần thiết.
Trong nội dung mơn Tốn trung học phổ thơng, trước đây chương trình sách
khoa cũ khơng có nội dung số phức, từ năm học 2006 - 2007 số phức được đưa vào
chương cuối của Giải tích lớp 12 với mục đích hồn thiện hệ thống số và khai thác
một số ứng dụng khác của số phức để giải toán. Đối với học sinh bậc trung học phổ
thơng thì nội dung số phức cịn mới mẻ. Trong sách giáo khoa Giải tích 12 chỉ đề cập
đến kiến thức cơ bản của Số phức và đưa vào một lượng nhỏ ứng dụng của số phức
để giải các bài tốn đại số và hình học, cộng thêm thời lượng giảng dạy trên lớp
không nhiều nên học sinh chỉ phần nào biết được một số ứng dụng của số phức. Như vậy
việc khai thác các ứng dụng của số phức còn bị hạn chế. Điều này đòi hỏi giáo viên
cần thực sự quan tâm đến việc giải tốn số phức, cũng như phải có cái nhìn sâu sắc về
số phức. Chỉ có như vậy mới có thể bồi dưỡng được năng lực giải toán số phức cho học
sinh.Bên cạnh đó một số giáo viên chưa thực sự coi trọng đúng mức việc giải toán số
phức cho học sinh.

1


Xuất phát từ thực tế trên và điều kiện nghiên cứu của bản thân, tác giả chọn
đề tài: "Phát triển năng lực giải toán số phức cho học sinh trung học phổ thơng"
làm luận văn thạc sĩ.
2. Mục đích nghiên cứu
Xây dựng phương án dạy học một số nội dung thuộc chương Số phức - Giải
tích 12 (nâng cao) và cách sử dụng số phức để giải các bài toán khác góp phần nâng
cao chất lượng dạy học tốn ở trường THPT.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu việc dạy học chương số phức - Giải tích 12 (nâng cao) và thực
trạng dạy học chủ đề này ở trường THPT.
- Đề xuất phương án dạy học một số nội dung thuộc chương số phức và cách sử
dụng số phức để giải các bài toán khác.
- Tổ chức thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm tra tính khả thi của phương án và
xác nhận giả thuyết đề ra.
4. Đối tượng và khách thể nghiên cứu
4.1. Đối tượng nghiên cứu
Là quá trình dạy học giải tốn số phức ở trường phổ thơng.
4.2. Khách thể nghiêm cứu
Chương trình sách giáo khoa mơn tốn lớp 12 trường phổ thông và các tài
liệu tham khảo về số phức.
5. Mẫu khảo sát
Lớp 12A6, 12A7 trường THPT Dương Quảng Hàm - Văn Giang - Hưng
Yên năm học 2014 - 2015.
6. Vấn đề nghiên cứu
- Những kĩ năng cần thiết trong giải toán số phức.
- Biện pháp phát triển năng lực giải toán số phức cho học sinh khá giỏi trung
học phổ thông.

7. Giả thuyết khoa học
Trên cơ sở hệ thống hóa các kĩ năng cơ bản giải tốn số phức và vận dụng
những kĩ năng đã đề xuất trong luận văn thì sẽ phát triển được năng lực giải toán số phức
cho học sinh ở trường trung học phổ thông.

2


8. Phương pháp nghiên cứu
8.1. Nghiên cứu lí luận
Nghiên cứu lí luận về năng lực, giải tốn, về dạy học giải bài tập toán học.
8.2. Điều tra, quan sát
Sử dụng phiếu điều tra về tình hình dạy và học giải toán số phức.
8.3. Thực nghiệm sư phạm
Soạn và dạy thực nghiệm một số giáo án về giải toán số phức tại một số lớp
12 trường Trung học phổ thông Dương Quảng Hàm - Huyện Văn Giang - Tỉnh Hưng
Yên.
9. Đóng góp của Luận văn
9.1 Về mặt lý luận
- Tổng quan về năng lực giải tốn nói chung và năng lực giải tốn số phức
nói riêng.
- Hệ thống những kĩ năng cần thiết giải toán số phức và ứng dụng số phức để
giải một số bài tốn trong chương trình Trung học phổ thông.
9.2 Về mặt thực tiễn
Đề xuất được những biện pháp phát triển năng lực giải toán số phức cho học
sinh Trung học phổ thơng.
10. Cấu trúc luận văn
Ngồi phần mở đầu, kết luận và khuyến nghị, tài liệu tham khảo và phụ lục
nội dung chính của luận văn gồm 3 chương.
Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn.

Chương 2: Biện pháp phát triển năng lực giải toán số phức cho học sinh
Trung học phổ thông.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.

3


CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Năng lực và năng lực giải toán
Khái niệm năng lực được sử dụng nhiều trong đời sống nói chung và trong
mơn tốn nói riêng. Vậy năng lực là gì?
Theo Từ điển tiếng Việt [18]: "Năng lực như khả năng, điều kiện chủ quan
hoặc tự nhiên sẵn có để thực hiện một hoạt động nào đó hay là phẩm chất tâm sinh lí
và trình độ chun mơn tạo cho con người khả năng hình thành một hoạt động nào đó
với chất lượng cao".
Khi phân tích xu hướng tồn cầu hóa của đánh giá năng lực trong giáo dục,
Kouvenhowen (2010) và Yu (2010) đã phân biệt năm cách định nghĩa năng lực khác
nhau [7]: "Năng lực là khả năng thực hiện các nhiệm vụ học tập đạt tới một chuẩn
được yêu cầu nào đó" - cách định nghĩa này gắn với sản phầm đầu ra, năng
lực đồng nghĩa với khả năng thực hiện và không nêu rõ thành phần năng lực nên
không rõ ràng.
Năng lực là khả năng sử dụng và lựa chọn kiến thức, kỹ năng, thái độ,…trong
việc thực hiện một nhiệm vụ học tập chính yếu tới một chuẩn được yêu cầu nào đó - cách định
nghĩa này liên quan tới năng lực cụ thể, nhưng cũng là cách định nghĩa thông dụng nhất.
Năng lực là sở hữu một hệ thống kiến thức, kỹ năng, thái độ,… nào đó. Cách
định nghĩa này gắn với yếu tố đầu vào, không nhấn mạnh sự vận dụng các thành phần
năng lực.
Năng lực là một danh sách những gì học sinh có thể thực hiện - cách định
nghĩa này cũng gắn với sản phẩm đầu ra nhưng theo hướng hành vi và cụ thể hóa.
Điểm thống nhất trong các quan niệm ở trên là: Năng lực bao gồm cả kiến

thức, kĩ năng, thái độ và một số yếu tố cá nhân khác.
Khái niệm năng lực theo nghĩa hẹp này có thể được phân biệt với việc thực hiện
một nhiệm vụ học tập, theo đó nó được thể hiện và đánh giá qua những thực hành có
thể nhìn thấy được. Năng lực cịn có thể được định nghĩa rộng hơn: Năng lực chung là
khả năng vận dụng, chuyển biến các thành phần kiến thức, kĩ năng,

4


thái độ, và các yếu tố cá nhân khác theo một cơ chế nào đó để thực hiện đạt chuẩn
nhữngnhiệm vụ học tập thiết yếu của một môn học.
Theo [29]: " Năng lực là khả năng làm việc tốt nhờ có phẩm chất đạo đức và
trình độ chun mơn".
Theo [1]: "Năng lực là một thuộc tính tâm lý phức tạp, là điểm hội tụ của
nhiều yếu tố: tri thức, kỹ năng, kỹ xảo, kinh nghiệm, tính tự giác, tích cực, tính trách
nhiệm…".
Năng lực được phân làm ba nhóm: Nhóm năng lực cơ bản. - Nhóm năng lực
chung. - Nhóm năng lực cụ thể.
Năng lực được chia làm ba bậc (mức độ) sau đây:
Bậc 1 - bậc sơ cấp
Bậc 2 - bậc trung cấp Bậc 3
- bậc cao cấp.
Năng lực giải toán của học sinh được thể hiện bởi khả năng vận dụng lý
thuyết toán học (khái niệm, định lý….) và những phương pháp đã biết, đã được
cung cấp ngay trong phần lý thuyết của bài học hoặc của chương để giải một hoặc
một số bài tập cụ thể nào đó. Chính vì vậy một trong những biện pháp phát triển năng
lực giải toán số phức cho học sinh THPT là rèn luyện kỹ năng giải toán.
1.2. Kĩ năng và kĩ năng giải toán
1.2.1. Quan niệm về kĩ năng, kĩ năng giải toán
Theo nghĩa từ điển [18]:"Kĩ năng là năng lực thực hiện có hiệu quả một

hành động hay một hoạt động nào đó, bằng cách lựa chọn, vận dụng những tri thức,
những kinh nghiệm đã có để hành động phù hợp với những điều kiện thực tiễn cho
phép".
Theo[22]: "Kĩ năng là năng lực sử dụng các dữ kiện, các tri thức hay các khái
niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính bản chất của các
sự vật và giải quyết thành cơng nhiệm vụ lí luận hay thực hành xác định". Kĩ năng là
mặt kĩ thuật của hành động. Con người nắm được cách thức hành động, tức là kĩ thuật
hành động là có kĩ năng".

5


Nói đến kĩ năng là nói đến cách thức, thủ thuật và trình tự thực hiện các thao
tác hành động để đạt tới mục đích đã định. Cơ sở của kĩ năng là kiến thức. Người có
kĩ năng thực hiện một hành động nào đó phải biết vận dụng những khái niệm và
những kiến thức đã lĩnh hội được vào giải quyết những nhiệm vụ cụ thể; phải biết tri
thức một cách đúng đắn và hợp lí, phù hợp với mục tiêu của hành động.
Như vậy kĩ năng giải toán là khả năng sử dụng và vận dụng linh hoạt các tri
thức về toán học, kết hợp với các kiến thức khoa học khác và những kiến thức thực tế
để giải quyết những bài tốn.
1.2.2. Sự hình thành kĩ năng
Theo từ điển Giáo dục học, để hình thành kĩ năng trước hết cần có kiến thức
làm cơ sở cho việc hiểu biết, luyện tập từng thao tác riêng rẽ cho đến khi thực hiện được
hành động theo đúng mục đích, yêu cầu... Do kiến thức là cơ sở của kĩ năng cho nên
tùy theo kiến thức mà học sinh cần nắm được mà có những yêu cầu rèn luyện kĩ năng
tương ứng.
Kĩ năng chỉ được hình thành thơng qua q trình tư duy giải quyết các nhiệm vụ
đặt ra. Con đường hình thành kĩ năng rất phong phú và nó phụ thuộc vào các yếu
tố như: Kiến thức xác định kĩ năng, yêu cầu rèn kĩ năng, mức độ chủ động tích cực
của học sinh,... Có hai con đường hình thành kĩ năng cho học sinh đó là:

- Truyền thụ cho học sinh những tri thức cần thiết, rồi sau đó đề ra cho học
sinh những bài tốn vận dụng tri thức đó. Từ đó, học sinh sẽ phải tìm tòi cách giải,
bằng những con đường thử nghiệm đúng đắn hoặc sai lầm qua đó phát hiện ra các
mốc định hướng tương ứng, những thủ thuật biến đổi.
- Dạy cho học sinh nhận biết những dấu hiệu mà từ đó có thể xác định được
đường lối giải cho một dạng bài tốn và vận dụng đường lối sáng tạo đó vào từng bài
tốn cụ thể.
Thực chất sự hình thành kĩ năng là tạo dựng cho học sinh khả năng nắm vững
một hệ thống phức tạp các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ các thông tin chứa
đựng trong bài tốn.
Khi giúp học sinh hình thành kĩ năng cần tiến hành:
- Giúp học sinh biết cách tìm tịi để nhận ra các yếu tố đã cho, yếu tố phải
tìm và mối quan hệ giữa chúng.

6


- Giúp học sinh hình thành một mơ hình khái quát để giải những bài toán
cùng dạng.
- Xác lập được mối liên hệ giữa các bài toán tồng quát và kiến thức tương ứng.
- Nội dung bài tập, yêu cầu và nhiệm vụ đặt ra thường được trừu tượng hóa
hay bị che giấu bởi những yếu tố làm chệch hướng tư duy và ảnh hưởng tới sự hình
thành kĩ năng.
- Tâm thế và thói quen cũng ảnh hưởng tới sự hình thành kĩ năng, vì vậy nên tạo
tâm thế thuận lợi trong học tập cho học sinh trong hình thành kĩ năng.
1.2.3. Điều kiện để có kĩ năng
Muốn có kĩ năng về hành động nào đó chủ thể cần:
- Có kiến thức để hiểu được mục đích của hành động, biết được điều kiện,
cách thức để đạt được kết quả.
- Tiến hành hành động đối với yêu cầu của nó. - Đạt

được kết quả phù hợp với mục đích đề ra.
- Có thể hành động một cách hiệu quả trong những điều kiện khác nhau.
- Có thể qua bắt chước, rèn luyện để hình thành kĩ năng nhưng phải cần thời
gian đủ dài.
1.2.4. Các mức độ của kĩ năng giải tốn
Kĩ năng giải tốn có thể chia thành ba mức độ:
- Biết làm: Vận dụng được lý thuyết để giải những bài tốn cơ bản hình
thành các thao tác cơ bản như: Viết các đại lượng theo ngơn ngữ tốn học, viết chính
xác cơng thức, kí hiệu,... giải được các bài tập dạng mẫu.
- Thành thạo: Học sinh có thể giải nhanh, ngắn gọn, chính xác bài tốn theo
cách giải đã biết và một số bài tập tổng hợp.
- Mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo: Tìm ra những cách giải ngắn gọn, chuyển hóa
vấn đề khéo léo và cách giải quyết vấn đề độc đáo.
1.3. Nhiệm vụ rèn luyện kĩ năng giải tốn cho học sinh
1.3.1. Mục tiêu dạy mơn Tốn
Theo [19]: "Mục tiêu giáo dục phổ thơng là giúp học sinh phát triển tồn
diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kĩ năng cơ bản, phát triển năng lực cá
nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam

7


XHCN, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho học sinh tiếp tục
học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc".
Từ mục tiêu giáo dục nói chung ta xây dựng mục tiêu dạy học mơn tốn:
- Trang bị cho học sinh những tri thức, kĩ năng, phương pháp tốn học phổ
thơng, cơ bản, thiết thực.
- Phát triển trí tuệ cho học sinh.
- Rèn luyện kĩ năng ứng dụng toán học trong nghiên cứu khoa học và thực
tiễn cho học sinh.

- Trau dồi những phẩm chất, tình cảm, đạo đức tốt đẹp cho học sinh.
- Bảo đảm tính phổ cập, đồng thời phát hiện và bồi dưỡng các học sinh có
năng khiếu tốn học.
1.3.2. u cầu rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh THPT
Rèn kĩ năng giải toán nhằm đạt được các yêu cầu cần thiết sau:
- Giúp học sinh hình thành và nắm vững những mạch kiến thức cơ bản trong
chương trình.
- Giúp học sinh phát triển các năng lực trí tuệ, cụ thể là phát triển:
+ Tư duy loogic và ngơn ngữ chính xác.
+ Khả năng suy đốn, tư duy trừu tượng, trí tưởng tượng trong không gian. +
Những thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, khái qt hóa,...
+ Các phẩm chất trí tuệ như tư duy độc lập, tư duy linh hoạt và sáng tạo.
1.4. Những tình huống điển hình trong dạy học mơn Tốn
1.4.1. Dạy học khái niệm Tốn học
Trong mơn tốn, việc dạy học các khái niệm có vị trí quan trọng hàng đầu.
Việc hình thành một hệ thống các khái niệm tốn học là nền tảng của tồn bộ kiến thức
tốn, là tiền đề hình thành khả năng vận dụng hiệu quả các kiến thức đã học đồng thời
có tác dụng góp phần phát triển năng lực trí tuệ và thế giới quan duy vật biện chứng cho
HS. Thực tiễn dạy học cho thấy, HS không giải được bài tập phần lớn do khơng hiểu
khái niệm tốn học tiềm ẩn trong câu hỏi của đề toán.
Theo [10] Giáo sư.Tiến sĩ khoa học Nguyễn Bá Kim, trong dạy học, người ta
phân biệt ba con đường tiếp cận khái niệm:
+ Con đường quy nạp;

8


+ Con đường suy diễn;
+ Con đường khiến thiết.
a) Con đường quy nạp

Theo tài liệu [12, tr347], quy trình tiếp cận một khái niệm theo con đường
quy nạp thường diễn ra như sau:
(i) GV đưa ra những ví dụ cụ thể để HS thấy sự tồn tại hoặc tác dụng của
một loạt đối tượng nào đó;
(ii) GV dẫn dắt HS phân tích, so sánh và nêu bật những đặc điểm chung của
các đối tượng đang được xem xét.Có thể đưa ra đối chiếu một vài đối tượng khơng
có đủ các đặc điểm đã nêu;
(iii) GV gợi mở để HS phát biểu một định nghĩa bằng cách nêu tên và các đặc
điểm đặc trưng của khái niệm.
Hình thành khái niệm theo con đường này có thể diễn đạt theo sơ đồ sau (theo
[14] Phó giáo sư.Tiến sĩ Dương Vương Minh).
Phân tích
V í dụ

So sánh

GV

Nêu bật đặc
điểm chung

Phát biểu

HS

HS

Chính xác hoá

Sơ đồ 1.1

Con đường quy nạp có ưu điểm là thuận lợi cho việc huy động hoạt động tích
cực của HS, góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung và tạo điều kiện cho họ nâng cao
tính độc lập trong việc đưa ra định nghĩa. Tuy nhiên, con đường này đòi hỏi tốn kém
nhiều thời gian vì vậy khơng phải bao giờ cũng có điều kiện thực hiện.
Con đường quy nạp thường được sử dụng trong điều kiện như sau:

9


- Chưa phát hiện được một khái niệm loại nào là điểm xuất phát cho con
đường suy diễn;
- Đã định hình được một số đối tượng thuộc ngoại diên của khái niệm cần
hình thành, do đó có đủ vật liệu để thực hiện phép quy nạp [12, tr348].
b) Con đường suy diễn
Theo tài liệu [12, tr346], quy trình tiếp cận một khái niệm theo con đường
suy diễn thường diễn ra như sau:
(i) Xuất phát từ một khái niệm đã biết, thêm vào nội hàm của khái niệm đó
một số đặc điểm mà ta quan tâm;
(ii) Phát biểu một định nghĩa bằng cách nêu tên khái niệm mới và định nghĩa nó
nhờ một khái niệm tổng quát hơn cùng với những đặc điểm để hạn chế một bộ
phận trong khái niệm tổng qt đó;
(iii) Đưa ra một số ví dụ đơn giản để minh họa cho khái niệm vừa được định
nghĩa. Sơ đồ hình thành khái niệm theo con đường này có thể biểu đạt như sau (theo [14]
Phó giáo sư.Tiến sĩ Dương Vương Minh).
Khái
niệm đã
biết A

Tên khái
niệm mới

Định
nghĩa
khái
niệmmới

GV
GV
Đặc điểm
bổ xung

Ví dụ
minh
hoạ

HS
Chính xác hố
HS

Sơ đồ 1.2
Con đường suy diễn tiềm tàng khả năng phát huy tính tích chủ động và sáng tạo
của HS trong học tập mơn tốn, tiết kiệm thời gian. Tuy nhiên con đường này bị hạn
chế về mặt khuyến khích HS phát triển những năng lực trí tuệ chung như phân tích,
tổng hợp, so sánh, trìu tượng hố và khái quát hoá.
c) Con đường kiến thiết
Theo tài liệu [12, tr349], Con đường tiếp cận một khái niệm theo con đường
kiến thiết thường diễn ra như sau:

10

(i) Xây dựng một hay nhiều đối tượng đại diện cho khái niệm cần được hình
thành hướng vào những yêu cầu tổng quát nhất định xuất phát từ nội bộ Tốn học
hay từ thực tiễn;
(ii) Khái qt hóa q trình xây dựng những đối tượng đại diện, đi tới đặc
điểm đặc trưng cho khái niệm cần hình thành;
(iii) Phát biểu định nghĩa được gợi ý cho kết quả bước (ii).
Sơ đồ hình thành khái niệm theo con đường này có thể diễn đạt như sau (theo
[14] Phó giáo sư.Tiến sĩ Dương Vương Minh).
Nội bộ
Toán Học

Thực tiễn

Xây
dựng
đối
tượng
đại diện

Khái
quát
hoá

Đặc điểm,
đặc trưng
khái niệm

Phát biểu
định nghĩa

HS
GV

Sơ đồ 1.3
Con đường này mang cả yếu tố quy nạp lẫn suy diễn. Yếu tố suy diễn thể hiện
ở chỗ xuất phát từ những yêu cầu để xây dựng một hay nhiều đối tượng đại diện cho
khái niệm cần hình thành. Yếu tố quy nạp thể hiện ở chỗ khái qt hóa q trình xây
dựng những đối tượng đại diện riêng lẻ đi đến đặc điểm tổng quát đặc trưng cho khái
niệm cần định nghĩa.Con đường kiến thiết thuận lợi cho việc khơi dậy hoạt động tự
giác, tích cực của HS và rèn luyện cho họ khả năng giải quyết vấn đề trong quá trình
tiếp cận khái niệm. Tuy nhiên, con đường này nói chung dài, tốn nhiều thời gian.
Con đường kiến thiết thường được sử dụng trong điều kiện sau:
- HS chưa định hình được những đối tượng thuộc ngoại diên khái niệm, do
đó con đường quy nạp khơng thích hợp;

11


- HS chưa phát hiện được một khái niệm loại nào thích hợp với khái niệm
cần định nghĩa làm điểm xuất phát cho con đường suy diễn [12, tr 352].
1.4.2. Dạy học định lý Toán học
Theo tài liệu [12], trong việc dạy học những định lí Tốn học, người ta phân
biệt hai con đường; con đường có khâu suy đốn và con đường suy diễn. Hai con
đường này được minh họa bằng sơ đồ
Con đường có khâu suy đốn

Con đường suy diễn

Gợi động cơ và phát biểu vấn đề

Dự đoán và phát biểu định lí

Suy diễn dẫn tới định lí

Chứng minh định lí

Phát biểu định lí

Vận dụng định lí để giải quyết vấn đề đặt ra

Củng cố định lí
Sơ đồ 1.4
Dưới đây ta sẽ đi sâu vào từng con đường.
a) Con đường có khâu suy đốn
(i) Gợi động cơ học tập định lí xuất phát từ một nhu cầu nảy sinh trong thực
tiễn hoặc trong nội bộ Toán học..
(ii) Dự đốn và phát biểu định lí dựa vào những phương pháp nhận thức mang
tính suy đốn: quy nạp khơng hồn tồn, lật ngược vấn đề, tương tự hóa, khái qt hóa
một định lí đã biết, nghiên cứu trường hợp suy biến, xét mối liên hệ và phục thuộc,...
(iii) Chứng minh định lí, trong đó đặc biệt chú ý việc gợi động cơ chứng minh
và gợi cho HS thực hiện những họat động ăn khớp với những quy tắc kết luận lơgíc
thường dùng.
Tùy theo u cầu của chương trình, trong những trường hợp nhất định, việc
chứng minh một số định lí có thể khơng đặt ra cho chương trình phổ thơng.

12


(iv) Vận dụng định lí

Mặc dù tốn nhiều thời gian, con đường có khâu suy đốn có các ưu điểm sau:
- Khuyến khích tìm tịi, dự đốn, phát hiện vấn đề trước khi giải quyết vấn
đề, khuyến khích học tập tri thức Tốn học trong q trình nó đang nảy sinh và phát
triển chứ khơng hạn chế ở việc trình bày lại tri thức Tốn học có sẵn;
- HS có ý thức rõ ràng về sự phân biệt và mối liên hệ giữa suy đốn và chứng
minh;
- Khuyến khích phát triển năng lực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, trừu
tượng hóa, khái quát hóa,..
Con đường này thường được sử dụng khi tồn tại một cách tìm tịi, phát hiện định
lý mà HS có thể hiểu được và có thể tự mình thực hiện được tới mức độ nhất định. Tuy
nhiên, điều kiện đó khơng phải bao giờ cũng được thỏa mãn.
b) Con đường suy diễn
(i) Gợi động cơ học tập định lý như ở con đường thứ nhất;
(ii) Xuất phát từ những tri thức toán học đã biết,dùng suy diễn lơgíc dẫn tới
định lý;
(iii) Phát biểu định lý;
(iv) Vận dụng định lý; (v)
Củng cố định lý.
Những nhược điểm của con đường suy diễn lại chính là những ưu điểm của
con đường có khâu suy đốn.Tuy nhiên, con đường suy diễn có ưu điểm là ngắn
gọn và tạo cơ hội cho HS tập dượt theo tự học theo những sách báo Toán học.
1.4.3. Dạy học quy tắc, phương pháp
Theo tài liệu [4, tr378], Thực ra những quy tắc, phương pháp khơng hồn
tồn độc lập với định nghĩa, định lý. Có những quy tắc, phương pháp dựa vào một
định nghĩa hay định lý, có khi chỉ là một phát biểu khác của định nghĩa hay định lí. Tuy
nhiên việc dạy học loại tri thức này có những nét riêng, dạy học quy tắc, phương
pháp có thể được phân biệt dựa trên khái niệm thuật giải.
1.4.3.1. Dạy học thuật giải và quy tắc tựa thuật giải
Dạy học thuật giải hoặc quy tắc tựa thuật giải cần lưu ý một số điều sau

13


- Thứ nhất, nên cho HS biết nhiều hình thức thể hiện một quy tắc,tạo điều
kiện cho thuận lợi cho họ nắm vững nội dung từng bước và trình tự thực hiện các
bước của quy tắc đó.
- Thứ hai, cần trình bày rõ các bước trong ví dụ cụ thể theo một sơ đồ nhất quán
trong một thời gian thích đáng.
- Thứ ba, cần luyện tập cho HS thực hiện tốt những chỉ dẫn nêu trong thuật
giải hoặc quy tắc tựa thuật giải.
- Thứ tư, cần làm cho HS ý thức được và biết sử dụng các cấu trúc điều khiển
cơ bản để quyết định trình tự các bước.
- Thứ năm, thông qua dạy học những thuật giải và quy tắc tựa thuật giải cần có
ý thức góp phần phát triển tư duy thuật giải cho HS.
1.4.3.2. Những quy tắc, phương pháp tìm đốn
Cùng với những thuật giải và quy tắc tựa thuật giải, còn một số quy tắc,
phương pháp có tính chất tìm đốn như quy lạ về quen, khái qt hóa, tương tự hóa,
phương pháp tìm lời giải của bài tốn,...
Những quy tắc, phương pháp tìm đốn chỉ là những gợi ý giải quyết vấn đề
chứ không phải là những thuật giải bảo đảm chắc chắn dẫn tới thành cơng.
1.4.4. Dạy học giải bài tập Tốn học
Tham khảo các tài liệu [12] có thể thấy
Bài tập tốn học có vai trị quan trọng trong q trình học tập mơn tốn ở nhà
trường phổ thơng. Giải bài tập tốn là hình thức chủ yếu của hoạt động tốn học.
Thơng qua việc giải bài tập, HS phải thực hiện nhiều hoạt động như: Nhận dạng, thể hiện
các khái niệm, định nghĩa, định lý, quy tắc-phương pháp, những hoạt động phức hợp,
những hoạt động trí tuệ chung, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học.
Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với những dụng ý khác nhau. Về
PPDH: Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm việc với nội dung mới, củng cố
hoặc kiểm tra.... Đặc biệt về mặt kiểm tra, bài tập là phương tiện không thể thay thế

để đánh giá mức độ tiếp thu tri thức, khả năng làm việc độc lập và trình độ phát triển tư
duy của HS, cũng như hiệu quả giảng dạy của GV.
1.4.4.1. Các yêu cầu đối với lời giải
- Kết quả đúng kể cả các bước trung gian.

14


- Lập luận chặt chẽ.
- Lời giải đầy đủ.
- Ngôn ngữ chính xác.
- Trình bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật.
- Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách ngắn gọn, hợp lý.
1.4.4.2. Phương pháp chung để giải toán
Theo [12] để giải một bài tốn có thể tiến hành theo các bước sau
Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài tốn
Phát biểu đề bài dưới những dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung bài
toán, phân biệt rõ giả thiết và kết luận, có thể dùng cơng thức, hình vẽ để minh hoạ.
Bước 2: Tìm cách giải
- Tìm tịi, phát hiện cách giải nhờ những có tính chất tìm đốn như: tổng hợp và
phân tích, quy lạ về quen hoặc biến đổi vấn đề.
- Tìm tịi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn ra cách giải hợp lý.
Bước 3: Trình bày lời giải
Sắp xếp các việc phải làm thành một chương trình, gồm các bước theo một
trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó.
Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải
- Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải
- Nghiên cứu giải bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề.
1.5. Tình hình dạy học chương số phức - Giải tích 12 nâng cao
1.5.1. Nội dung và mục đích dạy học chương số phức

1.5.1.1. Nội dung
Theo phân phối chương trình mới mơn Tốn THPT, phần Giải tích lớp 12 có
số tiết là 90. Trong đó chương Số phức có số tiết là 13, cụ thể:
§1. Số phức

5 tiết 3

§2.Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai

tiết 2

§3. Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng

tiết 1

Thực hành sử dụng máy tính cầm tay

tiết 2

Ơn tập chương

tiết

15


1.5.1.2. Mục đích, yêu cầu
Về kiến thức: Giúp học sinh hiểu được
- Dạng đại số, biểu diễn hình học số phức, phép tính cộng, trừ, nhân, chia số
phức dưới dạng đại số, môdun của số phức, số phức liên hợp, căn bậc hai của số phức.

- Dạng lượng giác, acgumen của số phức, phép nhân, chia hai số phức dưới
dạng lượng giác, công thức Moa-vrơ.
- Ứng dụng số phức vào giải tốn Hình học phẳng và Lượng giác ở trường
THPT.
Về kỹ năng: Giúp HS thành thạo các kỹ năng - Biểu
diễn hình học số phức.
- Thực hiện các phép cộng, trừ, nhân, chia số phức dưới dạng đại số, phép
nhân, chia hai số phức dưới dạng lượng giác.
- Biết chuyển đổi được dạng đại số của số phức sang dạng lượng giác.
- Biết cách tìm căn bậc hai của số phức dưới dạng đại số và dạng lượng giác
và áp dụng để giải phương trình bậc hai.
- Ứng dụng số phức vào giải tốn Hình học phẳng và Lượng giác ở trường
THPT.
* Mục đích, yêu cầu của từng bài trong chương Số phức cụ thể như sau:
§1. Số phức
Về kiến thức: Giúp học sinh
- Hiểu được nhu cầu mở rộng số thực thành tập hợp số phức.
- Hiểu cách xây dựng phép toán cộng và nhân số phức từ phép toán cộng và
nhân các biểu thức dạng a+bi ( a, b  ; i2  1 ).
- Hiểu định nghĩa số phức liên hợp và hai tính chất cơ bản liên quan đến khái
niệm này (số phức liên hợp của tổng, tích và mơdun của số phức).
- Hiểu định nghĩa số phức nghịch đảo và phép chia cho số phức khác khơng. Thấy được các tính chất của các phép tốn cộng và nhân số phức, tương tự
các tính chất của phép tốn cộng và nhân số thực và đó là cơ sở để thực hiện các phép
toán đại số trên tập hợp số phức.
Về kĩ năng: Giúp học sinh
- Biết cách biểu diễn số phức bởi điểm và vectơ trong mặt phẳng phức.

16

- Thực hiện thành thạo phép cộng, trừ, nhân, chia hai số phức.
§2. Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai
Về kiến thức: Giúp học sinh
- Hiểu định nghĩa căn bậc hai của số phức.
- Biết cách đưa việc tìm căn bậc hai của số phức về việc giải một hệ hai
phương trình hai ẩn thực.
- Biết cách giải một phương trình bậc hai.
Về kĩ năng: Giúp học sinh
- Tính được căn bậc hai của số phức.
- Giải được phương trình bậc hai với hệ số phức.
§3. Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng
Về kiến thức: Giúp học sinh
- Hiểu rõ khái niệm acgumen của số phức. Hiểu rõ dạng lượng giác của số phức.
- Biết công thức nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác. Biết công thức Moa-vrơ và ứng dụng vào lượng giác.
Về kĩ năng: Giúp học sinh
- Biết tìm acgumen của số phức.
- Biết đổi từ dạng đại số sang dạng lượng giác của số phức.
- Tính tốn thành thạo phép nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác. Sử dụng được cơng thức Moa-vrơ.
1.5.2. Tình hình dạy học chương số phức - Giải tích 12
Để biết được tình hình thực tế của việc dạy và học chương số phức - Giải
tích 12, tơi đã phát phiếu thăm dị đến 11 thầy cơ trong tổ tốn trường THPT Dương
Quảng Hàm với nội dung phiếu thăm dò như sau:
Câu hỏi 1: Trong q trình dạy học mơn tốn, việc lựa chọn phương pháp dạy học hợp
lý có thật sự quan trọng khơng? Tại sao?
Câu hỏi 2: Khi dạy học chương số phức, thầy cơ có hay sử dụng phương pháp dạy
học
phát hiện và giải quyết vấn đề hay không?
Câu hỏi 3: Theo thầy (cơ) những khó khăn mà GV thường gặp phải khi giảng dạy
nội dung số phức là gì?

17


Câu hỏi 4: Những lỗi mà HS của thầy (cô) thường gặp phải khi học nội dung
chương số phức này?
Kết quả là mỗi GV đều cho chúng tôi những ý kiến bổ ích về thực trạng dạy
học nội dung số phức ở trường phổ thông hiện nay. Tổng hợp các ý kiến, chúng tôi xin
đưa ra một vài kết luận về những thuận lợi và khó khăn khi dạy học nội dung số
phức ở trường phổ thông hiện nay như sau:
* Những thuận lợi
- Số phức là kiến thức mới đối với học sinh, nhưng tập hợp số phức là một
tập hợp số chứa tập hợp số thực, với các quy tắc tính tốn tương tự nên việc lĩnh hội
tri thức của HS về số phức gặp nhiều thuận lợi và gây được sự hứng thú học tập cho
đa số học sinh. Nếu biết vận dụng phương pháp dạy học thích hợp (ở đây là phương
pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề) thì các em sẽ nắm vững lí thuyết và vận
dụng tốt để giải bài tập.
- Cách trình bày, diễn đạt kiến thức mới của SGK là tương đối dễ hiểu và phù
hợp với trình độ nhận thức của đa số học sinh.
- Số lượng bài tập vừa phải nên khơng gây tình trạng q tải đối vối học sinh
mà vẫn giúp HS tập suy luận, khái quát, tập tư duy trừu tượng..., đảm bảo về rèn
luyện kỹ năng tính tốn và khả năng áp dụng giải bài tập.
* Những khó khăn
- Trong các kỳ thi hiện nay, số phức chưa phải là nội dung được quan tâm, hơn nữa
thời lượng chương trình dành cho nội dung này khơng nhiều (13 tiết) nên khơng có điều
kiện để đi sâu thêm các vấn đề có liên quan tới số phức. Nó thật bất cập với lượng kiến
t h ứ c m ớ i p h ả i l ĩ n h h ộ i nê n d ễ g â y r a t â m l ý n g ạ i k h ó k h i h ọ c c h ư ơ n g n à y .
- Tình hình thực tiễn hiện nay thì việc ứng dụng số phức vào giải tốn nói
chung, giải tốn hình học phẳng và lượng giác nói riêng chưa được vận dụng, quan
tâm đúng mức.
- Các tài liệu tham khảo hiện này viết về nội dung số phức và ứng dụng của số

phức vào giải tốn hình học phẳng và lượng giác chưa nhiều, chưa quan tâm đến các
bài toán gần gũi với các em HS.
- Mặc dù số phức là nội dung khá quan trọng của toán học nhưng lại chưa
được các thầy cô giáo quan tâm đưa vào giảng dạy nhiều cho HS.

18