Tích chập suy rộng liên quan đến các phép biến đổi tích phân laplace, fourier và ứng dụng (TT)

MỞ ĐẦU
1. Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài
Lý thuyết về phép biến đổi tích phân đã được đề cập và nghiên cứu từ rất sớm. Đến
nay, nó đã trở thành một bộ phận quan trọng của Giải tích toán học. Một trong những nội
dung được quan tâm của phép biến đổi tích phân là nghiên cứu các tích chập. Đó là một
phép nhân đạc biệt được định nghĩa qua phép biến đổi tích phân tương ứng, thường được
đưa vào nghiên cứu trong các không gian hàm mà ở đó phép nhân thông thường không
tồn tại. Các tích chập đầu tiên được nghiên cứu là tích chập Laplace, tích chập Fourier.
Năm 1951, tích chập suy rộng đầu tiên được Sneddon I.N. đề cập và nghiên là tích chập
suy rộng Fourier sine và Fourier cosine. Cho đến những năm 90 của thế kỷ trước, một vài
tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân khác mới tiếp tục được nghiên cứu
bởi Yakubovich S.B. Đó là các tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân
Mellin, Kontorovich-Lebedev, phép biến đổi G và phép biến đổi H theo chỉ số. Đến năm
1998, Kakichev V.A. và N.X. Thảo đưa ra định nghĩa tích chập suy rộng với hàm trọng Y
của hai hàm f và k đối với ba phép biến đổi tích phân bất kỳ T1, T2 và T3 thỏa mãn đẳng
thức nhân tử hóa Ti (f * k) (y) = Y(y) (T2f) (y) (T3k) (y) và cho điều kiện cần để xác định tích
chập khi biết một số ràng buộc cụ thể về nhân của các phép biến đổi tích phân tương ứng.
Nhờ kỹ thuật này mà những năm về sau đã có một số tích chập suy rộng liên quan đến các
phép biến đổi tích phân khác được xây dựng. Tuy nhiên, đến nay vẫn chưa có một kết quả
nghiên cứu chính thức nào về tích chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi Laplace
được công bố.
Như một quy luật tự nhiên, khi đã xây dựng được tích chập (f * k) (x), bằng cách cho
một trong hai hàm cố định như là nhân trong biểu thức tích chập, chẳng hạn cố định hàm
k, còn hàm f cho biến thiên trong một không gian hàm xác định nào đó ta sẽ nhận được
phép biến đổi tích phân liên quan đến tích chập tương ứng, gọi là phép biến đổi tích phân
kiểu tích chập f ^ g = Ự * k). Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập đầu tiên được Watson
xây dựng và nghiên cứu là phép biến đổi liên quan đến tích chập Mellin. Tổng quát hơn,
người ta có thể nghiên cứu phép biến đổi tích phân dạng f ^ g = D(f * k) mà D là một toán
tử nào đó. Trong trường hợp D = (1 — d"2) là một toán tử vi phân cấp 2, phép biến đổi tích
phân kiểu tích chập Fourier cosine đã được V.K. Tuấn và Musallam thiết lập và nghiên
cứu. Các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập hoặc tích chập suy rộng liên quan đến biến

đổi Fourier sine, Mellin, biến đổi Kontorovich-Lebedev sau đó cũng được nghiên cứu. Cho
đến nay các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Laplace có hàm trọng và
không có hàm trọng vẫn chưa được nghiên cứu.
Khi giải quyết các bài toán toán-lý, nghiệm của các bài toán này có thể được biểu diễn
qua các tích chập tương ứng. Để đánh giá các nghiệm đó ta có thể dùng đến bất đẳng thức
đối với tích chập. Đầu tiên phải kể đến bất đẳng thức Young và bất đẳng thức Saitoh đối
với tích chập Fourier. Các bất đẳng thức dạng này đối với tích chập Mellin, tích chập
Fourier cosine sau đó cũng được thiết lập nghiên cứu và cho nhiều ứng dụng thú vị. Tuy
nhiên, các bất đẳng thức đối với tích chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi Laplace
đến nay vẫn chưa được đề cập và nghiên cứu.
Từ những lý do trên, chúng tôi lựa chọn đề tài để nghiên cứu là "Tích chập suy rộng
liên quan đến các phép biến đổi tích phân Laplace, Fourier và ứng dụng".
2. Mục đích, đối tương và phạm vi nghiên cứu
Mục đích của luận án là xây dựng và nghiên cứu một số tích chập suy rộng liên quan
đến phép biến đổi tích phân Laplace. Nghiên cứu tính chất toán tử tích chập, thiết lập bất
đẳng thức đối với các tích chập suy rộng này trong một số không gian hàm cụ thể. Xây
dựng và nghiên cứu các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng tương ứng.
Nghiên cứu các tính chất toán tử của phép biến đổi như tính unita, sự tồn tại toán tử
ngược trong không gian L2(R+). Từ đó, ứng dụng vào việc giải một lớp các phương trình,
hệ phương trình tích phân và phương trình vi-tích phân.
3. Phương pháp nghiên cứu
Trong luận án, chúng tôi sử dụng các phương pháp giải tích hàm, lý thuyết toán tử,
phép biến đổi tích phân và lý thuyết tích chập. Chúng tôi ứng dụng bất đẳng thức Holder
để đánh giá chuẩn của các toán tử tích chập mới trong các không gian hàm cụ thể. Đạc biệt
Định lý Wiener-Levy được sử dụng nhiều trong việc xây dựng công thức nghiệm đóng cho
lớp các phương trình, hệ phương trình tích phân và phương trình vi-tích phân.
4. Cấu trúc và kết quả của luận án
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận án được chia làm ba

chương:
Chương 1, xây xựng và nghiên cứu các tích chập suy rộng Fourier- Laplace. Nhận
được các đẳng thức nhân tử hóa, đẳng thức kiểu Parseval, Định lý kiểu Titchmarch và một
số đánh giá chuẩn trong các không gian hàm Lp(R+) và La,ổ(R+). Tìm được mối liên hệ


giữa các tích chập suy rộng mới với một số tích chập quan trọng đã biết. Hơn nữa, trong
các không gian Lp(R+) và Lp(R+,p), các bất đẳng thức kiểu Young, kiểu Saitoh đối với tích
chập suy rộng Fourier-Laplace cũng được thiết lập và chứng minh.
Chương 2, thiết lập và nghiên cứu các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng
Fourier-Laplace. Nghiên cứu các tính chất toán tử của các phép biến biến đổi này, ta nhận
được các Định lý kiểu Watson cho điều kiện cần và đủ để các phép biến đổi tương ứng là
unita trong không gian L2(R+), hơn nữa ta cũng xác định được điều kiện đủ cho sự tồn tại
các phép biến đổi ngược. Ngoài ra Định lý kiểu Plancherel đối với phép biến đổi tích phân
tương ứng cũng được chứng minh.
Chương 3, một số lớp phương trình tích phân, hệ phương trình tích phân và phương
trình vi-tích phân được giải nhờ vào tích chập suy rộng Fourier-Laplace và phép biến đổi
tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier- Laplace. Hơn nữa, bằng phương pháp giải này
nghiệm nhận được từ các các phương trình trên đều được cho dưới dạng dóng.
5. Ý nghĩa của các kết quả của luận án
Các tích chập suy rộng liên quan đến biến đổi Laplace, các phép biến đổi tích phân
kiểu tích chập suy rộng Laplace, và một số bất đẳng thức đối với các tích chập suy rộng
tương ứng lần đầu tiên được đề cập và nghiên cứu trong luận án. Các kết quả này có ý
nghĩa khoa học và góp phần làm phong phú hơn về lý thuyết phép biến đổi tích phân, tích
chập cũng như bất đẳng thức đối với tích chập. Từ đó, đưa ra cách tiếp cận mới và các
phương pháp giải phương trình tích phân và phương trình vi-tích phân. Một số ý tưởng và
phương pháp được sử dụng trong luận án có thể dùng nghiên cứu các tích chập suy rộng
khác.
Nội dung chính của luận án dựa vào bốn công trình đã công bố, được liệt kê ở "Danh
mục công trình đã công bố của luận án", gồm ba công trình trên các tạp chí toán học Quốc

tế (trong đó [4] thuộc tạp chí trong danh mục ISI) và một công trình trên tạp chí toán học
Quốc gia. Các kết quả này đã được báo cáo một phần hoặc toàn bộ tại:
+ Hội nghị Toán học Việt-Pháp, tháng 8 năm 2012, tại Huế.
+ Hội nghị Toán học Toàn quốc lần thứ 8, tháng 8 năm 2013, tại Nha Trang.
+ Hội nghị Quốc tế Giải tích phức hữu hạn và vô hạn chiều và ứng dụng (ICFIDCAA),
tháng 8 năm 2011 tại Hà Nội.
+ Hội thảo Toán học phối hợp Trường Đại học Bách khoa Hà Nội và Trường Đại học


Heidelberg của Đức, tháng 3 năm 2015.
+ Seminar Giải tích, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội.
+ Seminar Giải tích-Đại số, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội.


CHƯƠNG 1
TÍCH CHẬP SUY RỘNG FOURIER-LAPLACE
Mục đích của Chương 1 là nghiên cứu một số tích chập suy rộng liên quan đến
phép biến đổi Laplace. Nghiên cứu các tính chất toán tử của các tích chập suy rộng này
trong một số không gian hàm khác nhau. Thiết lập các bất đẳng thức kiểu Young, kiểu
Saitoh đối với các tích chập tương ứng.

1.1

Tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace

Định nghĩa 1.1.1 Tích chập suy rộng của hai hàm f và k đối với hai phép biến đổi tích phân
Fourier cosine và Laplace được định nghĩa như sau
1 /»TO /»TO
ự *k(u)k(v)dudv,
)(x)

_
ới(x,u,v)f
(1.1)
n
J0J0
trong đó
c(x,u,v) =

2

, /-----------72 + 2 , /V ,------------72 > x> °.

(1.2)

Ta gọi Ac là không gian ảnh của L* (R+) thông qua phép biến đổi Fourier cosine Fc .
Với chuẩn Ilf ||A := ||Fcf ||Ll(R+) thì Ac là đại số Banach, nghĩa là nếu f (x), k(x) E Ac ,
thì f (x)k(x) E Ac và thỏa mãn ||fk||A < If |A |k|A .
Định lý 1.1.1 Giả sử các hàm f (x) và k(x) thuộc không gian L2(R+). Khi đó ta có (f * k) (x) E Ac ,
và thỏa mãn đẳng thức kiểu Parseval
(fị k)(x) = Fc[(Fcf)(y)(Lk)(y)](x), Vx> °.

(1.3)

Hơn nữa, ta cũng nhận được đẳng thức nhân tử hóa sau
Fc (f * k) (y) = (Fc f) (y) (Ch) (y), Vy > °.
BỔ đề 1.1.1 Nếu k(x) E L*(R+), thì (Ck)(y) E Ac .

(1.4)

Định lý 1.1.2 Giả sử rằng f (x)’ k(x) E Li(R+). Khi đó đối với tích chập (f * k) (x), các đẳng thức
kiểu Parseval (1.3) và đẳng thức nhân tử hóa (1.4) vẫn còn đúng, hơn nữa (f * k) (x) E L1(R+).
Nhận xét 1.1.1 Trong biểu thức tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace (. * .), nếu thay
thế nhân 61(x,u,v) bởi nhân

Định nghĩa 1.1.2 Tích chập suy rộng với hàm trọng Y(y) = e — ( p , > °) của hai hàm f và k
đối với hai phép biến đổi tích phân Fourier cosine và Laplace được định nghĩa như sau
(f * k)(x) = — ị ị ỡ1(x,u,v + ụ)f (u)k(v)dudv’
1
n J 0 Jo

(1.10)

trong đó ớ1(x,u,v) được xác định bởi (1.2).
Đinh lý 1.1.4 Giả sử f (x), k(x) G Li(R+). Khi đó, tích chạp suy rộng (f ĩ k) (x) thuộc L^R+), thỏa
mãn bất đẳng thức chuẩn
Il (f Y fc)||
Gif I Li (R+)|k|Li (R+),
1
L i(R+)

(1.11)

và có đẳng thức nhân tử hóa
Fc (f ĩ k)(y) = e-'*y(Fc f)(y](Ck)(y), Vy > 0.

(1.12)

Ngoài ra, tích chạp suy rộng (f ĩ k) (x) cũng thuộc C0(R+).
Đinh lý 1.1.5 (Đinh lý kiểu Titchmarch) Cho hai hàm so liên tục k(x) G L1 (R+) và f (x) G L1 (R+,

ea x ) (a > 0). Nếu (f ĩ k) (x) = 0, Vx > 0 thì hoặc f (x) = 0, Vx > 0 hoặc k(x) = 0, Vx > 0.
Đinh lý 1.1.6 Giả sử p > 1,r > 1, 0 < ß G 1, các hàm f (x) G Lp(R+) và k(x) G L^R+). Khi đó tích
chạp suy rộng (f ĩ k)(x) tồn tại, liên tục và thuộc La , ß (R+). Hơn nữa, ta có đánh giá sau
II (f 11 k) l La,ß(R ) G CIf |Lp(R+)|k|Li(R+),

(1.13)

trong đó C = (—)1/ p ß-^ r1/r (a + 1) với r là hàm Gamma. Ngoài ra, nếu f (x) G L1(R+) n Lp(R+) thì
tích chạp suy rộng (f ĩ k) (x) thuộc C0(R+), và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa (1.12).


Đinh lý 1.1.7 Giả sử a > —1, 0 < ß G 1,p > 1,q > 1,r > 1 thỏa mãn 1 + 1 = 1. Khi đó, nếu f (x) G
Lp (R+) và k(x) G Lq (R+, (1 + x2)q —1), thì tích chạp (f ĩ k) (x) tồn tại, liên tục, bị chặn trong L° r , ß (R+)
và có
1 (f 1 k l La,ß (R ) G C l f |Lp(R+)|k|Lq (R+,(1+X2)9-1 ),

(1.14)

trong đó C = p-Pn-qß—^r1/r(a + 1). Hơn nữa, nếu giả thiết thêm f (x) G L1(R+) n Lp(R+) và k(x) G
L1(R+) n Lq(R+, (1 + x2)q-1) thì tích chạp f ĩ k)(x) thuộc C0(R+) và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa
(1.12).
Nhận xét 1.1.2 Trong tích chập suy rộng (. * .), nếu thay thế nhân 9ị(x,u,v + ụ) bởi 92(x,u,v
+ ụ) được xác định như (1.5), thì ta nhận được tích chập suy rộng Fourier sine-Laplace (.
* .) với hàm trọng Y (y) = e—My (ụ > 0) được định nghĩa bởi
(f * k)(x) = 1 [ Ị 92(x,u,v + ụ)f (u)k(v)dudv,
2
n J 0 Jo

(1.15)

và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa
Fs (f * k)(y) = e-My(Fs f)(y)(Lk)(y), yy > 0, f,k e Lị(R+).

1.2

(1 16)

.

Tích chập suy rộng Fourier cosine-Fourier sine-Laplace với hàm trọng

Định nghĩa 1.2.1 Tích chập suy rộng với hàm trọng Y(y) = — siny của hai hàm f (x) và
k(x) đối với ba phép biến đổi tích phân Fourier cosine, Fourier sine và Laplace được
định nghĩa như sau
l /»TO /»TO
(f * k) (x) =
\92(x — 1,u,v) — 92(x + l,u,v)l f (u)k(v)dudv,
3
Jo Jo

(1.17)

với 92(x,u,v) được xác định bởi (1.5).
Ta đạt H(R+) = [f (x) : (Lf)(y) e L2(R+)}.
Định lý 1.2.1 Giả sử f (x) G L2(R+) và k(x) G H(R+). Khi đó, tích chập suy rộng f * k) (x) thuộc
L2(R+) thỏa mãn đẳng thức kiểu Parseval


(f * k)(x) = Fc [ — siny(Fs f)(Lk)](x), Vx> 0,

(1 18)

.

và đẳng thức nhân tử hóa sau
Fc (f * k)(y) = — siny(Fs f)(y)(Lk)(y), Vy> 0.

(1 19)

.

Định nghĩa 1.2.2 Tích chập suy rộng với hàm trọng Y(y) = —e--y siny (ụ > 0) của hai hàm f và
k đối với ba phép biến đổi tích phân Fourier cosine, Fourier sine và Laplace được định
nghĩa như sau
-|
(f ỉ k)(x) =2~J J

[ớ2(x — 1,u,v + ụ)
— 02(x + 1, u, v + ụ)] f (u)k(v)dudv,

(1.20)

với 02(x,u,v) được xác định bởi (1.5).
Định lý 1.2.2 Giả sử f (x) và k(x) là hai hàm thuộc không gian Li(R+). Khi đó, tích chập suy rộng f ỉ
k) (x) thuộc không gian L1(R+), và ta có bất đẳng thức chuẩn
11 f 5 k ^Li(R+) - llfllLi(R+>llkl Li(R+).
Hơn nữa, tích chập suy rộng f ỉ k) (x) cũng thuộc C0(R+), thỏa mãn đẳng
5
thức nhân tử hóa
Fcf 5 k)(y) = —e--y sin y(Fsf )(y)(Lk)(y), Vy > 0^

5

(1 21)

.

và đẳng thức kiểu Parseval
f 5 k)(x) = Fc\ — e--y sin y (Fsf )(y)(Lk)(y )](x), ^x> 0.
5

(1 22)

.

Định lý 1.2.3 Giả sử rằng p > 1,r > 1,0 < ¡3 — 1, các hàm f (x) E Lp(R+) và k(x) E L1(R+). Khi đó
tích chập suy rộng f ỉ k)(x) tồn tại, liên tục và bị chặn trong La^(R+). Hơn nữa, tích chập này thỏa
mãn bất đẳng thức chuẩn sau
II f 5 k)11^(R > — Cl f l Lp(R+)llkl Li(R+),

(1.23)

ở đó C = (-2-)1/p.3—^ .r1/r(a + 1) với r là hàm Gamma Euler.
Ngoài ra, nếu f (x) E L1(R+) n Lp(R+) thì tích chập suy rộng f ỉ k) (x) thuộc C0(R+), thỏa mãn đẳng
thức nhân tử hóa (1.21) và đẳng thức kiểu Parseval (1.22).


Đinh lý 1.2.4 Cho a > —1, 0 < ß < 1, p > 1, q > 1, r > 1 thỏa mãn 1 + 1 = 1. Khi đó, nếu các
hàm f (x) G Lp(R+) và k(x) G Lq(R+,e(q—1)x) thì tích chạp f ỉ k) (x) ton tại, liên tục và bị chăn
trong La,ß (R+). Hơn nữa, ta có bất đẳng thức chuẩn
II (f ỉ k)\\La,ß(R ) < Cllf\\Lp(R+)\\k\\Lq(R+,e(q-i)x),

(L24)

trong đó C = ( ) 1 / q .ß—^To1/r(a + 1).
Ngoài ra, nếu f (x) G L1(R+)nLp(R+) và k(x) G L1(R+)nLq(R+,e(q—1)x) thì tích chạp f ỉ k)
(x) cũng thuộc C0(R+) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa (1.21) và đẳng thức kiểu Parseval
(1.22).

1.3

Mối liên hệ giữa tích chạp suy rộng Fourier- Laplace và các tích chạp khác

Mệnh đề 1.3.1 Cho f (x), k(x) và h(x) là các hàm trong L1(R+). Khi đó, ta có các đẳng thức
sau
a) f ỉ (k ỉ h) = (f ỉ k) ỉ h. b) f ỉ (k ỉ h) = (f ỉ k) ỉ h. c) f ỉ (k ỉ h) = (f ỉ k) ỉ h. d) f ỉ (k ỉ h)
= (f ỉ k) ỉ h.
Mệnh đề 1.3.2 Cho f (x) và k(x) là hai hàm trong không gian L1(R+).
Khi đó, ta có các đẳng thức sau
a)

(f

ỉ k) (x) = y2 Jo“ k(v) ự(u) Fc (v +yy+ u2 ) (x)dv-

b) (f 2 k) (x) = Jĩ I k(v) (f (u) FỈFC (v +++ u2 ) (x)dv.


1.4
1.4.1

Bất đẳng thức đối với tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace với hàm trọng
Định lý kiểu Young

Định lý 1.4.1 (Định lý kiểu Young) Cho p, q, r > 1, 1 +1 +1 = 2 và
f (x) E Lp(R+), k(x) E Lq(R+, (x + p)q-ĩ) (p > 0), h(x) E Lr(R+). Khi đó:
1—q
(/ * k) (x).h(x)dx
< M q ||f ||Lp(R+)Hk||Lq(R+,(x+M)q—(R+).

1.4.2

Định lý kiểu Saitoh

Định lý 1.4.2 (Định lý kiểu Saitoh) Giả sử Pj E Li(R+) (j = 1, 2) là
hai hàm số dương, khi đó ta có bất đẳng thức đối với tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace với
hàm trọng sau đây đúng với mọi Fj E Lp (R+, Pj)
11 ( (F1p1)1 (F2p2^ (p1 * p2Ỷ/P 1||Lp(R+) < ||F1 ||Lp(R+,pi) ||F2||Lp(R+,p2).

Kết luận Chương 1
Xây dựng và nghiên cứu bốn tích chập suy rộng Fourier-Laplace: (.*.), (. * .), (. * .)
và (. * .). Nhận đươc các kết quả chính sau:
v1'v3
5
• Các đánh giá chuẩn của toán tử tích chập trong một số không gian hàm.
• Các đẳng thức nhân tử hóa, đẳng thức kiểu Parseval, Định lý kiểu Titchmarch.
• Các bất đẳng thức kiểu Young, kiểu Saitoh cho tích chập suy rộng Fourier cosineLaplace với hàm trọng.
Nội dung của chương này dựa vào một phần của mỗi bài báo [1], [2], [3] và [4] trong Danh
mục công trình đã công bố của luận án.

CHƯƠNG
PHÉP BIÊN ĐÔI TÍCH PHÂN KIÊU TÍCH CHẬP
SUY RỘNG FOURIER-LAPLACE
Mục đích của chương này là thiết lập và nghiên cứu các phép biến đổi tích phân
dựa trên các tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace và tích chập suy rộng Fourier
cosine-Fourier sine-Laplace với hàm trọng đã được nghiên cứu trong Chương 1.

2.1

Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace

Xét phép biến đổi tích phân liên quan đến tích chập suy rộng Fourier cosineLaplace (1.1):
x> 0,

(2.1)

trong đó k là nhân của phép biến đổi.

2.1.1

Định lý kiểu Watson

Định lý 2.1.1 Giả sử rằng k(x) E L2(R+), hoặc k(x) E H(R+) sao cho tích phân (1.1) hội tụ
như tích phân lặp. Khi đó điều kiện cần và đủ để phép biến đổi tích phân (2.1) unita trong
L2(R+) là
1(1+ y2)(Lk) (y)\(2.2
= 1, y> 0.
Hơn nữa, phép biến đổi ngược tồn tại và được xác định bởi
(2.3)
trong đó k là hàm liên hợp phức của k.

Mệnh đề 2.1.1 Giả thiết k(x) là hàm thỏa mãn các điều kiện của Định lý 2.1.1, trong đó điều
kiện (2.2) được thay bằng điều kiện sau

ở

đó ki e l2
(1+V2)2{(y)

2.1.2 Liên hệ giữa phép biến đổi tích phân với các đạo hàm
Định lý 2.1.2 Giả sử k(x) có đạo hàm đến cấp hai, và k(x), k"(x) G L2(R+) hoặc k(x), k"(x) G
H(R+) sao cho tích phân (1.1) hội tụ đối với k cũng như đối với k", và k(0) = 0. Khi đó, ta có
đánh giá sau
(Tkf)(x) = (fl (k + k"))(x) - k'(0)f (x).

(2.7)

2.2 Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập
suy rộng Fourier cosine-Fourier sine-Laplace với hàm trọng
Xét phép biến đổi tích phân liên quan đến các tích chập suy rộng (1.17):
f (x) ^ g(x) = (Tk1)k2f)(x)
/

d2 \r

ì
= I1 -dx){(fỉfci)(x) + (fF%h)(x)},x>0, (2'8)

trong đó kl, k2 là nhân của phép biến đổi.


2.2.1

Định lý kiểu Watson

Định lý 2.2.1 Giả sử ki(x) G H(R+) và k2(x) G L2(R+ ), khi đó điều kiện cần và đủ để phép
biến đoi tích phân (2.8) unita trong L2(R+) là
1 - sin

y(Lki)(y) + (Fsk2 )(y)l = Y+ ~ 2 .

Hơn nữa, phép biến đoi ngược có dạng
z
d2 \c
f (x)
= 0 - d^){ - (g ỉ k1)(x) + (k2 *F s)(x0},

(2 9)

.

(2'10)

trong đó k1 và k2 lần lượt là các hàm liên hợp phức của k1 và k2.

2.2.2

Định lý kiểu Plancherel

Xét phép biến đổi tích phân kiểu tích chạp suy rộng Fourier sine-Fourier cosine-Laplace

với hàm trọng
f(x) ^ g(-) = (l-

{(f ỉ ki)(x) + (f FF k2)(x)},x > 0, (2.11)

Định lý 2.2.2 Giả sử k1 G H(R+ ), k2 G L2 (R+) sao cho (2.11) unita và
d2
0l(x, u, v) = (l - d-2) [Ớ2(x - 1 ,u,v) - Ỡ2(x + 1 ,u,v)] ,
d0 2(x,u,v) = (1 - d-2) [#l(x - 1, u,v) - ỡi (x + 1,u,v)] ,
2
(
d )
x
(x) = (1 - d— )k2 ( )

K

là các hàm bị chặn. Cho f G L2 (R+ ) và với mỗi số tụ nhiên N, đặt
» N
gN (-) =— ỊI 02(x,u,v)f (u)k1(v)dudv 00

N
I f (u)[K (I-- u|) - K (- + u)]du. 01
+


Khi đó:
1) Ta có gN E L2 (R+), và nếu N —— TO thì gN hội tụ theo chuẩn trong L2(R+) đến hàm g e L2((R+)

với ||gHi2(M+) = II/I|L2(R+).
2) Đặt gN = g.ỵ(0,N), thì
cũng thuộc L2(R+), và nếu N — TO thì /N hội tụ theo chuẩn đến /.
N(x)
Kết luận Chương 2
f

jei(X,U,v)gN (u)kl{v)dudv
00
00
N

J g (u)
u) + sign(u
— chập
x)K(|x
0 rộng Fourier
— u|)|
Xây dựng hai+ phép biến
đổi[K(x
tích +phân
kiểu tích
suy
cosine-Laplace Tk
và Fourier cosine-Fourier sine-Laplace Tkl k2 với hàm trọng. Nhận được các kết quả chính:
• Định lý kiểu Watson về điều kiện cần và đủ để các phép biến đổi Tk và Tkl k2 là unita
trong L2(R+).
• Xác định được điều kiện đủ để toán tử Tk bị chạn và có biến đổi ngược.
• Định lý kiểu Plancherel về sự tồn tại các dãy toán tử hội tụ theo chuẩn về toán tử tích
phân Tkl k2 và toán tử ngược của nó.

Nội dung của chương này dựa vào một phần của mỗi bài báo [3] và [4], trong Danh mục
công trình đã công bố của luận án.


CHƯƠNG
MỘT SỐ ỨNG DỤNG
Trong chương này, chúng ta sử dụng các kết quả nghiên cứu của Chương 1 và
Chương 2 để giải một số lớp phương trình tích phân, hệ phương trình tích phân,
phương trình vi-tích phân và cho công thức nghiệm dưới dạng đóng.

3.1 Giải phương trình và hệ phương trình tích phân
Định lý 3.1.1 (Định lý Wiener-Levy) Giả sử f là biến đổi Fourier của một hàm thuộc Li(R),
và ự là hàm giải tích trong một lân cận của gốc, chứa miền {f (y), Vy E R} thỏa mãn ự(0) = 0,
khi đó tp(f) cũng là ảnh qua phép biến đổi Fourier của một hàm nào đó thuộc L1 (R).
Nhận xét 3.1.1 Định lý Wiener-Levy vẫn đúng cho cả phép biến đổi Fourier cosine.

3.1.1 Giải phương trình tích phân
a) Xét phương trình tích phân loại một có dạng
/ Kị(x,u)f (u)du = g(x),x> 0,
J0

(3.1)

trong đó
K1(x,u) = ^

1
n

J0

01 (x,u,v )k(v)dv,

với ỡ1(x,u,v) được xác định bởi (1.2).
Định lý 3.1.2 Cho g(x), k(x) E L1(R+). Khi đó, điều kiện cần và đủ để
phương trình (3.1) có nghiệm trong L1(R+) là (Fcg)^ £ Ac. Hơn nữa,
{Lk)

(3.2)


CHƯƠNG

nghiệm được cho dưới dạng
c) Xét phương trình tích phân loại hai có dạng
poo
(Fcg) (y)
f (x) =
0 = g(x),
f(x) + ị K2(x,t)fJ(t)dt
x > 0, cos
0 xydy.
Lk ( )
( )y
ở đó
b) Xét phương trình tích phân loại hai có dạng

poo
K2(x,t) =—1 ỡ1(x,u,v f+(x)
p.)+[^(|u

— t|)(u)du
+ ệ(u =+g(x),
t)] ip(v)dudv,
/ K1(x,u)f
x > 0, 0 y > 0, nv 2n JR+
n\/2n J R+

(3.3)

(3.4)

với ớ1(x,u,v) được xác định bởi (1.2).
trong đó nhân Ki(x,u) cho bởi (3.2) và k(x), g(x) là hàm cho trước trong Li(R +), và f (x)
là hàm cần tìm.
Định lý 3.1.3 Giả sử điều kiện sau được thỏa mãn
1 + (Lk)(y) = °, Vy > 0.

(3.5)

Khi đó phương trình (3.4) có nghiệm duy nhất trong L1(R+). Hơn nữa, nghiệm được cho
dưới dạng
f (x)

= g(x) - (q * g)(x),

F

(3.6)

c

ở đó q(x) G L1(R+) được xác định bởi
q(x) = Fc

(Lk) (y)
1 + (Lk)(y)

(x)

(3.7)

(3.8)


Định lý 3.1.4 Giả sử rằng y(x), 'ệ(x) E Li(R+). Khi đó, điều kiện cần và đủ để phương trình
(3.8) có nghiệm duy nhất trong L1(R+) với mọi hàm g(x) thuộc L1(R+) là 1 + e-My(Fc'ệ)(y)(Ly)
(y) = 0, Vy > 0. Hơn nữa, nghiệm có thể được biểu diễn dưới dạng sau
ỉ(x) = g(x) — (g (3.9)
* q)(x),

F

c

ở đó, hàm q E L1(R+) được xác định bởi
e ^(Fcệ)(y)(Ly)(y)

ựcq) (y)

(3.10)

(F

)( )(L )(

1 + e w c ^ y y yỴ
-

d) Xét phương trình tích phân loại hai có dạng
ỉ(x) + í K4(x,t)ỉ(t)dt = g(x),x> 0,
J0

(3.11)

trong đó
Kị(x,t) =

1

1 ịỠ2 (x — 1,u,v + ụ) — Ỡ2 (x + 1,u,v + ụ)]
2ny2n JR+
X [y(u + t) + sign(u — t)y(\u — t|)]'ệ(v)dudv,

(3.12)

với ỡ2(x,u,v) được xác định bởi (1.5).
Định lý 3.1.5 Giả sửg(x),y(x),'ệ(x) E L1(R+). Khi đó điều kiện cần và đủ để phương trình tích
phân (3.11) có duy nhất nghiệm trong L1(R+) với mọi hàm g(x) thuộc L1(R+) là 1 + e —
s i n y(Fcy)(y)(L'ệ)(y) = 0, Vy > 0 . Hơn nữa, nghiệm được cho dưới dạnh sau
f (x) = g(x) + ( g * q ) (x),
F

c
trong đó q là hàm thuộc L ^ R ^ sao cho
(F w )= —e—t iys i n y(Fh)(y)(L^)(y) cq y
y(Fc
1 + e—w s i n


Ví dụ 3.1.1 Ta chọn các hàm ự(x), ộ(x) như sau
ự(x) = e-ax, ộ(x) = e—bx (a, b > 0). Khi đó dễ
thấy ự(x), ộ(x) E Li(R+) và ta có
(F

>ự)(y) = \/I-õ+hĩ, (Lộ)(y)

1
na2 + y2' ' 1 ' b + y Từ đẳng thức

nhân tử hóa (1.19) và (3.13), ta có
Fc(ự I ộ) (y) = -e My siny(Fsự) (y)(Lộ) (y)
5
= —A — e—My sin y.^--------^-----------.
Vn
(a2 + y2)(b + y)
Khi đó, ta có 1 — Fc(ự I ộ) (y) = 0, Vy > 0.
5
Theo Định lý Wiener-Levy, tồn tại hàm q(x) E L1(R+) sao cho
— ^/n2'e My sin
y.-

(Fcq) (y)

1+

\/í'e—sin

y
(a2+y2)
y-(Wxb+y)

(3.14

Suy ra
— yne My sin y.-

q (x) = F

y
(a2+y2)
1+
\/Ie—22 sin y. (»2+22(5+2)
2 /*TO
y sin y cos xy
n

(a2 + y2)(b + y)e^y + y^-y siny

và nghiệm được cho bởi
f (x)

= g(x) + (g 1 q)(x)

F

c

~d

(3.13


3.1.2

Giải hệ phương trình tích phân
a) Xét hệ hai phương trình tích phân loại hai có dạng
f (x) + / K6(x,t)g(t)dt = p(x),
J0
g(x) +

0

K7(x,t)f (t)dt = q(x),x> 0.

(3.15)

Trong đó
—1 ỠKo(x,t)
1 (x,u,v + y)[k(lu — t|) + k(u + t)]p(v)dudv, n v 2 n JR +
—1 Ỡ1 ( x , u , v + y)[l(lu — t|) + l(u + t)]ị(v)dudv, n v 2n ,/R+
(3.16)

Kj(x,t)
với ỚI(x,u,v) được xác định bởi (1.2).
Định lý 3.1.6 Giả thiết p(x), ị(x), p(x), q(x), k(x), l(x) E Li(R+), thỏa
1 — e—2^y(Fck)(y)(Fcl)(y)(Lp)(y)(Lị)(y) = 0, Vy > 0.

Khi đó hệ (3.15) có nghiệm duy nhất (f,g) trong (L1(R+),L1 (R+^ được cho bởi các biểu thức
f (x)= p(x)

—

(q * (k * p)(x)

+ (p *

ỉ)(x)—

((q

*(k * V))

* í)(x)
(3.17)

gíx) = qíx) — (p * (l * ệ)J (x) + (q * t)(x) — ((p * ụ * ị)) * p (x).
(3.18)
Trong đó, £(x) E L^R^ thỏa mãn
(Ft )(y) =
1 (y)
^

e—2fẤy (Fck)(y)(Fcl)(y)(Lp)(y)(Lị )(y)
1 — e—2»y(Fck)(y)(Fcl)(y)(Lp)(y)(Lị)(y).

( )

.


b) Xét hệ hai phương trình tích phân loại hai có dạng
f (x) +

J0

g(x) +

0

K10(x,u)g(u)du = p(x),
K11(x,u)f (u)du = q(x), x> 0.

(3.20)

Trong đó
Kio(x,u) =^

1
2n J0

ỳ(v) [Ỡ2 (x - 1 ,u,v + ụ) - Ỡ2 (x + 1 ,u,v + ụ)] dv,

K11(x, u) = X- \ỳ(u + x) - sign(u — x)i£(\u — x|)],
V 2n
với ỡ2(x,u,v) được xác định bởi (1.5).
Định lý 3.1.7 Giả sử rằng ỳ(x), ý(x), p(x), q(x) E L1(R+) thỏa mãn
1 - e~^y siny(Fcý)(y)(Lỳ)(y) = 0, Vy > °.
Khi đó hệ (3.20) có nghiệm duy nhất ( f , g ) trong [L1(R+),L1 (R+^ được cho bởi
f (x)

= p(x) - (q 1 ỳ)(x) - (pF £)(x) + ((q 55 ỳ) F £) (x)

g(x) = q(x) - (ý F* p)(x) - (q F* £)(x) + ((ý * p) F* £)(x).
F F

sc

F F

sc

\

F

sFc

F F

sc'

Trong đó £(x) E L1(R+) là hàm thỏa mãn
—e—tiy siny(Fcý)(y)(Lỳ)(y)
{Fc£) (y)
1—
e-M sin y(Fc'ệ)(y)(Lỳ)(y) ’
3.2 Giải phương trình vi-tích phân

3.2.1

Giải phương trình vi-tích phân cấp hai
Xét phương trình vi-tích phân có dạng
f (x) - f (x)

" + (Tkf)(x) = g(x), x > °,

f( 0) = f (0) = 0.

(3 21)

.


Trong đó k(x), g(x) là các hàm cho trước trong không gian L1(R+) và f (x) là hàm cần
tìm.
Định lý 3.2.1 Nếu 1 + (Lk) (y) = 0, Vy > 0, thì phương trình (3.21) có nghiệm duy nhất trong
L1(R+). Hơn nữa, nghiệm có thể viết dưới dạng
f(x)

3.2.2

= \Ị\ (g(t) Fe *)(x) - ((g(t) Fe *) * q ) ( x ) "

,

(3-22)

Giải phương trình vi-tích phân
' (¿k)(y) '

trong đó q(x)
Li(R+) phân
lồ hàmcóđược
xác định bởi q(x) = Fc
a)Xét phương
trìnhEvi-tích
dạng

4+(Lk) (y),

f (x) + (Tkf)(x) = g(x), x > 0,
f'(0) = f (0) = 0.

(x)

.

(3.23)

Trong đó k(x), g(x) là các hàm cho trước trong không gian L1(R+) và f (x) là hàm cần
tìm.

Định lý 3.2.2 Nếu k(x), k"(x) E L1(R+), k f ( 0 ) = k(0) = 0, với điều kiện 1 + L(k + k") (y) = 0,
Vy > 0 được thỏa mãn, thì phương trình (3.23) có nghiệm duy nhất trong L1(R+). Hơn nữa,
nghiệm được cho dưới dạng
f

b) Xét phương trình vi-tích phân có dạng

Fc

(x) = g(x) - (g(3.24
* q)(x)

k+fc ( )
FÍ
") y A
d
ở đó q(x) E L1(R+) là hàm được xác định bởi
q(x)
(x)
\1+L(k+k")
(y)
f
(x) + d^,' 4 ’f ( x ) = g ( x ) , x > 0
(3.25)
J

Trong đó, ^(x) = (^1 * ^>2) (x), ^1(x) E H (R+), ^>2(x) = (sin t * sin t) (x) và ^(x) = (secht *
'ệij (x), ^1(x) E L2(R+). Hàm g(x) cho trước trong
Fs Fc
L2(R+) và f (x) là hàm cần tìm.

Định lý 3.2.3 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn
Khi đó phương trình (3.25) có nghiệm duy nhất trong L2(R+). Hơn nữa, nghiệm được cho dưới
1
+ (y + y3)(siny(Kp)(y) - (Fs^)(y))
dạng
(3.26
< oo, Vy > 0.
f

(x) = g(x) - (q _*_ g) (x)
F F
sc

ở đó q(x) E L2(R+) là hàm được xác định bởi
(
F

)( ) =

(

y + y3)[siny ( L ^ ) ( y ) - (Fsĩịj)(y)]
° 1 + (y + y1[siny(L^)(y) - (Fsệ)(y)] ]
qy

Kết luận chương 3
Ung dụng từ các kết quả Chương 1 và Chương 2, ta nhận được:
• Điều kiện cần và đủ giải được một lớp các phương trình tích phân.

• Điều kiện đủ giải được một lớp hệ phương trình tích phân.
• Điều kiện đủ giải được một lớp phương trình vi-tích phân.
Các lớp phương trình và hệ phương trình trên đều cho nghiệm dưới dạng đóng. Nội
dung chính của chương này dựa vào một phần của mỗi bài báo [1], [2], [3] và [4], trong
Danh mục công trình đã công bố của luận án.

1

Nhận được ứng dụng giải một số lớp phương trình tích phân, hệ phương
trình tích phân, phương trình vi-tích phân trong các không gian hàm Li(R+),
L2(R+) và cho công thức nghiệm dưới dạng đóng.


KẾT LUẬN
Các kết quả chính của luận án là:
1. Xây dựng bốn tích chập suy rộng liên quan đến các phép biến đổi Fourier
cosine, Fourier sine và Laplace. Nhận được tính chất toán tử của các tích chập,
đẳng thức nhân tử hóa, đẳng thức kiểu Parseval, Định lý kiểu Titchmarch.
Thiết lập các bất đẳng thức kiểu Young, kiểu Saitoh đối với tích chập suy rộng
Fourier cosine-Laplace với hàm trọng trong các không gian Lp(R+) và Lp(R+,
p) tương ứng.
2. Xây dựng hai phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosineLaplace Tk và tích chập suy rộng Fourier cosine-Fourier sine- Laplace Tkl k2 với
hàm trọng trong L2(R+). Nhận được Định lý kiểu Watson về điều kiện cần và
đủ để các phép biến đổi là unita, điều kiện đủ để tồn tại biến đổi ngược. Định
lý kiểu Plancherel về sự tồn tại một dãy hàm hội tụ theo chuẩn đến toán tử Tkl
k2

cũng được chứng minh. 3