Các phép biến đổi ảnh (phần 2)

Xử lý ảnh số
Các phép biến đổi ảnh
Chương trình dành cho kỹ sư CNTT
Nguyễn Linh Giang
Các phép biến đổi ảnh
•Biến đổi đơn nguyên ( unitary )
•Biến đổi Fourier
•Biến đổisin, cosin
•Biến đổi Hadamar
•Biến đổiHaar
•Biến đổiK-L
Biến đổi đơn nguyên ( unitary )
•Ma trận Unitar và ma trậntrựcgiao
–Ma trậnA làtrựcgiaonếu
A
-1
= A
T
hay AA
T
= I
•Vídụ:
–Ma trận A là ma trận đơn nguyên ( unitary ) nếu
A
-1
= A*
T
hay AA*
T
= I
•Vídụ:

–Ma trậnA làthực thì A = A
*
, tính trực giao và tính đơn
nguyên trùng nhau.
–Ma trậnA
*T
còn gọilàA
H
–ma trận Hermitian
11
11
2
1
−
=A
11
11
2
1
−
=A
1
1
2
1
j
j
A =
Biến đổi đơnnguyên( unitary )
•Biến đổi unitar mộtchiều ( 1D-unitary )

– A ma trận đơn nguyên, AA
*T
=I
– s(n) = { s(0), s(1), , s(n-1)}
–S = (s
0
, s
1
, , s
n-1
)
T
–Biến đổi đơn nguyên mộtchiều:
⎩
⎨
⎧
=
=
VAS
ASV
T*
S = A
-1
V = A
*T
V = Σ
i
a
i
*T

v
i
trong đó
a
i
*T
= (a
*
i,0
, …, a
*
i,N-1
)
T
– là cộithứ i củama trậnA
*T
và là hàng thứ i củama trậnA
*
– a
i
*T
gọilàvector cơ sở củaphépbiến đổi đơn nguyên A
– Phép biến đổi đơn nguyên A phân tích vector S thành tổ hơp
tuyến tính của các vector cơ sở vớivector hệ số phântíchlàV
Biến đổi đơnnguyên( unitary )
–Vídụ:
•với A = I = ( , E
i
, )
,

ta có s =
∑
i
a
i
v
i
=
∑
i
E
i
v
i
, trong đóE
i
là vector đơnvị cơ sở và bằng:
E
i
= ( 0, , 0, 1, 0, , 0 )
•Tínhchấtcủa phép biến đổi đơn nguyên:
–Làphépbiến đổituyến tính:
S
1
⇒ V
1
S
2
⇒ V
2

a, b: const
S = aS
1
+ bS
2
⇒ V = aV
1
+bV
2
– Định thứcvàcácgiátrị riêng củaA bằng 1;
– Phép quay: phép biến đổi đơn nguyên là phép quay
vector trong không gian N chiều hay nói cách khác
là phép quay hệ trụctọa độ quanh gốctọa độ trong
không gian;
Biến đổi đơnnguyên( unitary )
–Bảotoànnăng lượng ( đẳng thứcParseval):
||s||
2
= ||v||
2
–Năng lượng tập trung:
• Đốivới ảnh thông thường, năng lượng phân bố không đều;
•Cácthànhphầnbiến thiên nhanh chiếmnăng lượng nhỏ trong tín
hiệu;
•Nhiều phép biến đổi đơn nguyên tậptrungnăng lượng ảnh vào một
vài thành phầnhệ số biến đổi;
–Giảitương quan ( decorrelation )
• Đầu vào là vector có các thành phầntương quan mạnh, qua phép
biến đổinhận được các thành phầntương quan yếu;
•Ma trậnhiệpbiến: E[ ( x – E(x))( x – E(x))

*T
]
–Cácthànhphầnnhỏ cách xa đường chéo có tương quan yếu.
Biến đổi đơnnguyên( unitary )
•Biến đổi đơn nguyên hai chiều(2D unitary transform )
–A -ma trận đơn nguyên: AA
*T
= I
– s(m, n ): ma trận ảnh S;
– v(k, l): ma trậnhệ số biến đổi V;
–Biến đổi đơn nguyên hai chiều:
– Điềukiệntrựcchuẩn:
– Điềukiện đầy đủ của
hệ cơ sở:
–Khaitriểnbiến đổi hai chiều:
⎩
⎨
⎧
=
=
**
VAAS
ASAV
T
T
∑∑
−
=
−
=

−−=
1
0
1
0
''*
,
,
),(),(),(
''
N
m
N
n
lk
lk
llkknmanma
δ
∑∑
−
=
−
=
−−=
1
0
1
0
*
,,

)','()','(),(
N
k
N
l
lklk
nnmmnmanma
δ
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
∑∑
∑∑
−
=
−
=
−
=
−
=
1
0
1

0
*
,
1
0
1
0
,
),(),(),(
),(),(),(
N
k
N
l
lk
N
m
N
n
lk
nmalkvlks
nmanmslkv
Biến đổi đơnnguyên( unitary )
– Độ phứctạp:
•CầnN
2
phép toán nhân số phức;
•CầnN
2
phép cộng số phức;

• Độ phứctạpO(N
4
) đốivới ảnh NxN
– Khi ma trận A có các phầntử phân tách được:
•a
k,l
(m,n) = a
k
(m) b
l
(n) , hay là a
k,l
(m,n) = a(k,m) b(l,n)
•{a
k
(m)}
k
và {b
l
(n)}
l
là tậphợp đầy đủ các vector cơ sở trựcchuẩn1-D
–Sử dụng các vector này làm các hàng của các ma trận đơn nguyên
A=|a(k,m)| và B=|b(l,n)|
•Ápdụng vào các hàng và cộtcủa V , ta có: V = A X B
T
• Trong nhiềutrường hợp, A và B đượcchọn trùng nhau.
• Đốivới ảnh vuông NxN: V = AXA
T
; S = A

H
YA*
• Đốivới ảnh chữ nhậtMxN: V = A
M
XA
N
T
; S = A
M
H
YA
N
*
• Độ phứctạptínhtoán: ~ O(N
3
)
Biến đổi đơnnguyên( unitary )
• Các hình ảnh cơ sở
–S = A
H
VA
*
, sau khi khai triển, ta sẽ có:
s(m, n) =∑
k
∑
l
a*(k,m)a*(l,n)v(k,l)
–Dướidạng ma trận:
•a*

k
cộtthứ k củama trậnA
H
•a*
l
cộtthứ l củama trậnA
H
•A
k,l
= a*
k
(a*
l
)
T
: ma trậnhìnhảnh cơ sở
•S = ∑
k
∑
l
A
k,l
v(k, l): khai triểnhìnhảnh S thành tổ hợp
tuyến tính các hình ảnh cơ sở vớicáchệ số khai triểnbằng
phầntử tương ứng củama trậnV.
Biến đổi đơnnguyên( unitary )
Phép biến đổiFourier đơn nguyên
•Phépbiến đổi Fourier đơn nguyên mộtchiều:
–S = (s
0

, s
1
, , s
N-1
)
T
: vector tín hiệu
–Ma trận Fourier đơn nguyên
trong đóW
N
=e
-j2kπn/N
: vector cơ sở
–Biến đổi Fourier đơn nguyên 1D:
–Khaitriểnphépbiến đổi Fourier đơn nguyên 1D:
NN
kn
N
W
N
F
×
=
1
⎩
⎨
⎧
=
=
VFS

FSV
T*
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
∑
∑
−
=
−
−
=
1
0
1
0
)(
1
)(
)(
1
)(
N
k

nk
N
N
n
nk
N
Wkv
N
ns
Wns
N
kv
Phép biến đổiFourier đơnnguyên
–Vídụ: s(n) = 1 với0≤ n ≤64 các hệ số Fourier N=128 điểm:
Phép biến đổiFourier đơnnguyên
•Phépbiến đổi Fourier đơn nguyên hai chiều
–Ma trận đơn nguyên: F = F
T
; F* = F*
T
; F* = F
-1
– V = FSF
–S = F*VF*
–Khaitriểnphépbiến đổi
2D Fourier đơn nguyên
⎪
⎪
⎩
⎪

⎪
⎨
⎧
=
=
∑∑
∑∑
−
=
−−
−
=
−
=
−
=
1
0
ln
1
0
1
0
ln
1
0
),(
1
),(
),(

1
),(
N
l
N
km
N
N
k
N
m
N
km
N
N
n
WWlkv
N
nms
WWnms
N
lkv
k
l
Phép biến đổi Fourier
đơn nguyên
•Tínhchấtcủaphépbiến
đổi Fourier đơn nguyên
–Tínhtuyến tính;
–Biến đổi Fourier của tín

hiệubị dịch
– Phép quay: khi tín hiệubị
quay mộtgócθ, phổ củatín
hiệucũng bị quay đi cùng
một góc;
–Khaitriển:
pnm
otherwise
p
n
p
m
f
nmg M,,
,0
,
)','(
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛

=
)],(),0,0[(),(),mod,mod(),( nNnNvuNlNkFlkG
∈
=
Phép biến đổiFourier đơnnguyên
• 2D UDFT củamột
sốảnh đơngiản
– Hàm hình sin
–Tínhiệuchữ nhật
– Hàm Gauss
–Lọc thông thấp
Phép biến đổiFourier đơn nguyên