HỆ PHƯƠNG TRÌNH và bất ĐẲNG THỨC

HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
Cho hệ phương trình:
 ax + by = c
( a 2 + b 2 ≠ 0, a '2 + b '2 ≠ 0 ).

a
'
x
+
b
'
y
=
c
'

1. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế và cộng đại số
Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
3 x − 2 y = 4
3 x − 2(5 − 2 x) = 4
⇔

2 x + y = 5
 y = 5 − 2x

(I)

Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại
số
3 x − 2 y = 4

3 x − 2 y = 4
7 x = 14
⇔
⇔

2 x + y = 5
 4 x + 2 y = 10
2 x + y = 5

3 x − 10 + 4 x = 4
7 x = 14
⇔
⇔
x = 2
x = 2
 y = 5 − 2x
 y = 5 − 2x
⇔
⇔
2.2 + y = 5
y =1
x = 2
x = 2
⇔
⇔
 y = 5 − 2.2
y =1
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) = (2;1)
(x;y) = (2;1)

2. Giải và biện luận hệ phương trình
Cách 1.
• Từ một phương trình của hệ tìm y theo x rồi thế vào phương trình thứ hai để được phương trình
bậc nhất đối với x
• Giả sử phương trình bậc nhất đối với x có dạng: ax = b (1)
• Biện luận phương trình (1) ta sẽ có sự biện luận của hệ
i) Nếu a=0: (1) trở thành 0x = b
- Nếu b = 0 thì hệ có vô số nghiệm.
- Nếu b ≠ 0 thì hệ vô nghiệm.
b
ii) Nếu a ≠ 0 thì (1) ⇒ x = , Thay vào biểu thức của x ta tìm y, lúc đó hệ phương trình có nghiệm
a
duy nhất.
Cách 2. Sử dụng Crame
a b
c b
a c
D=
= ab '− a ' b , Dx =
= cb '− c ' b , Dx =
= ac '− a ' c .
a' b'
c' b'
a' c'
Dy
D
• D ≠ 0 : (I) có nghiệm duy nhất (x;y), trong đó x = x , y =
.
D
D

• D = 0, Dx ≠ 0 hoặc Dy ≠ 0 : (I) vô nghiệm.
• D = Dx = Dy = 0 : (I) có vô số nghiệm (x;y) thỏa mãn:
−by + c

x ∈ R
x =

a
(nếu a ≠ 0 ) hoặc 
−ax + c (nếu b ≠ 0 ).

 y ∈ R
 y =
b
0
x
+ 0 y = c vô nghiệm nếu c ≠ 0 ; và vô
Chú ý: Nếu a = b = 0 ( hoặc a ' = b ' = 0 ) thì phương trình
số nghiệm nếu c = 0 .
Trong một hệ nếu có một phương trình vô nghiệm thì hệ vô nghiệm; nếu một phương trình
đúng với mọi giá trị của ẩn thì tập nghiệm của hệ trùng với phương trình còn lại.
II. CÁC DANG BÀI TẬP


Dạng 1. Giải hệ phương trình
Bài 1: Giải các hệ phương trình
4 x − 2 y = 3
2 x + 3 y = 5
1) 
2) 

6 x − 3 y = 5
 4 x + 6 y = 10
 x 5 − (1 + 3) y = 1
5) 
(1 − 3) x + y 5 = 1

0,2 x + 0,1 y = 0,3
6) 
3 x + y = 5

Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:
(3 x + 2)(2 y − 3) = 6 xy
1) 
(4 x + 5)( y − 5) = 4 xy
(2 x − 3)(2 y + 4) = 4 x( y − 3) + 54
3) 
( x + 1)(3 y − 3) = 3 y ( x + 1) − 12
1
1
 2 ( x + 2)( y + 3) − 2 xy = 50
5) 
 1 xy − 1 ( x − 2)( y − 2) = 32
 2
2
2
 2 x − xy + 3 y 2 = 7 x + 12 y − 1
7) 
x − y + 1 = 0
Dạng 2. Giải hệ bằng cách đặt ẩn số phụ.
Bài 3: Giải các hệ phương trình sau

1
1 1 1
 2
 x + y = 12
 x + 2 y + y + 2x = 3


1) 
2) 
 8 + 15 = 1
 4 − 3 =1
 x y
 x + 2 y y + 2 x
 x 2 + y 2 = 13
4)  2
2
3 x − 2 y = −6

3 x + 2 y = 16
5) 
 2 x − 3 y = −11

 2( x 2 − 2 x ) + y + 1 = 0
7)  2
3( x − 2 x) − 2 y + 1 = −7

3 x − 4 y + 2 = 0
3) 
5 x + 2 y = 14

x 2
 =
7)  y 3
 x + y − 10 = 0


 2( x + y ) + 3( x − y ) = 4
2) 
( x + y ) + 2( x − y ) = 5
y + 27
 2 y − 5x
+5=
− 2x
 3
4
4) 
 x + 1 + y = 6 y − 5x
 3
7
( x + 20)( y − 1) = xy
6) 
( x − 10)( y + 1) = xy
( 2 x + 3 y − 2 ) ( x − 5 y − 3) = 0
8) 
 x − 3 y = 1

2
 3x
 x +1 − y + 4 = 4


3) 
 2x − 5 = 9
 x + 1 y + 4
 x + 4 y = 18
6) 
3 x + y = 10

5 x − 1 − 3 y + 2 = 7
8) 
2
2
 2 4 x − 8 x + 4 + 5 y + 4 y + 4 = 13

Dạng 3. Giải và biện luận hệ phương trình
Bài 4. Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m
 mx − y = 2m
 mx + y = 3m − 1
1) 
2) 
 4 x − my = m + 6
 x + my = m + 1
 mx + 4 y = 10 − m
(m − 1) x − my = 3m − 1
3) 
4) 
 x + my = 4
2 x − y = m + 5
 x + my = 3m
5) 
2

 mx − y = m − 2

2 x + 5 y = 3
4) 
3 x − 2 y = 14

 x − my = 1 + m 2
6) 
2
 mx + y = 1 + m


 3( x + y )
=m

 x− y
8) 
 2x − y − m = 1
 y − x

 2 x − y = 3 + 2m
7) 
2
 mx + y = ( m + 1)

Dạng 4. Tìm m thỏa mãn điều kiện cho trước
Bài 5. Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên
(m + 1) x + 2 y = m − 1
 mx + 2 y = m + 1
a) 

b)  2
2
 2 x + my = 2m − 1
 m x − y = m + 2m
mx − y = 1
(m + 1) x − 2 y = m − 1

c) 
d)
e)

m 2 x − y = m 2 + 2m
 x + 4(m + 1) y = 4m


 mx + y − 3 = 3

 x + my − 2m + 1 = 0

 2 x + ay = 1
Bài 6. Tìm a để hệ phương trình: 
 ax + y = 2
a. Có duy nhất một nghiệm.
b. Vô nghiệm.
 2 x + by = −4
Bài 7. Cho hệ phương trình: 
bx − ay = −5
a) Giải hệ phương trình khi a = b .
b) Xác định a và b để hệ phương trình trên có nghiệm:
i. ( 1; −2 )

ii. 2 − 1; 2
iii. Hệ vô số nghiệm.

(

)

Bài 8.
3 x − my = −9
a) Cho hệ phương trình 
. Chứng tỏ rằng hệ phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất
mx + 2 y = 16
với mọi m và định m để hệ có nghiệm (x ; y) = ( 1,4 ; 6,6).
b) Định m, n để hệ phương trình sau có nghiệm là (2; -1)
 2mx − (m + 1) y = m − n

(m + 2) x + 3ny = 2m − 3
Bài 9.
mx + 4 y = 10 − m
a) Xác định các giá trị nguyên của m để hệ phương trình 
có nghiệm duy nhất
 x + my = 4
(x;y) sao cho x> 0, y > 0
(m − 1) x − my = 3m − 1
b) Cho hệ phương trình 
. Với giá trị nguyên nào của m để hai đường thẳng
2 x − y = m + 5
của hệ cắt nhau tại một điểm nằm trong góc phần tư thứ IV của hệ tọa độ Oxy
3 x + 2 y = 4
c) Tìm m nguyên sao cho hệ 

có nghiệm (x;y) với x < 1, y < 1.
2 x − y = m
( m + 1) x − y = m + 1
d) Tìm giá trị của m để hệ phương trình 
có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều
 x + ( m − 1) y = 2
kiện x + y nhỏ nhất.


(m − 1) x − my = 3m − 1
e) Cho hệ phương trình : 
. Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao
2 x − y = m + 5
cho P = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất.
( a + 1) x − y = 3
Bài 10. Cho hệ phương trình: 
 ax + y = a
a. Giải hệ khi a = − 2 .
b. Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện x + y > 0.
 x − 1 + y − 2 = 1
Bài 11. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: 
2
( x − y ) + m ( x − y − 1) − x + y = 0
3
2
 a + 2b − 4b + 3 = 0
Bài 12*. Cho a, b thỏa mãn hệ phương trình:  2
. Tính a 2 + b 2 .
2 2
 a + a b − 2b = 0

Bài 13. Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm
a) A(2 ; 1) ; B(1 ; 2) b) M(1 ; 3) ; N(3 ; 2)
c) P(1; 2) ; Q(2; 0)
Bài 14. Định m để 3 đường thẳng
a) 3x + 2y = 4; 2x – y = m và x + 2y = 3 đồng quy.
b) 2x – y = m; x - y = 2m và mx – (m – 1)y = 2m – 1 đồng quy.
c) mx + y = m2 + 1; (m +2)x – (3m + 5)y = m – 5; (2 – m)x – 2y = -m2 + 2m – 2 đồng quy.
Bài 15.
a) Định a, b biết phương trình ax2 -2bx + 3 = 0 có hai nghiệm là x = 1 và x = -2.
b) Xác định a, b để đa thức f(x) = 2ax2 + bx – 3 chia hết cho 4x – 1 và x + 3.
c) Cho biểu thức f(x) = ax2 + bx + 4. Xác định các hệ số a và b biết rằng f(2) = 6 , f(-1) = 0.
Bài 16.
mx + 4 y = 9
a) Cho hệ phương trình: 
. Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ
 x + my = 8
38
thức: 2x + y + 2
= 3.
m −4
mx − y = 2
b) Cho hệ phương trình: 
. Tìm giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y)
3x + my = 5
m2
.
m2 + 3
3 x − my = −9
c) Cho hệ phương trình 
. Với trị nguyên nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x +

mx + 2 y = 16
y = 7.
thỏa mãn hệ thức x + y = 1 −

Dạng 5. Giải hệ đối xứng
Bài 16. (Đối xứng loại I) Giải các hệ phương trình sau:
 x 2 + xy + y 2 = 19
 x + xy + y = 11
1) 
2)  2
2
 x − xy + y = −1
 x + y − xy − 2( x + y ) = −31

x + y = 4
3)  2
2
 x + xy + y = 13


 x y 13
 + =
5)  y x 6
x + y = 6

Bài 17. Giải các hệ phương trình sau:
 x + xy + y = −1
 x 2 + y 2 = 5
a)  2
b)

 4
2
2 2
4
 x − x y + y = 13
 x y + y x = −6
 xy + x + y = 5
4)  2
2
x + y + x + y = 8

 x 3 + x 3 y 3 + y 3 = 17
6) 
 x + y + xy = 5
 x 2 y + y 2 x = 30
c)  3 3
 x + y = 35

 x 3 + y 3 = 1
 x + y + xy = 11
 x 2 + y 2 + xy = 7
d)  5
e)
f)  2
 4
2
5
2
2
4

2 2
 x + y = x + y
 x + y + x y = 21
 x + y + 3( x + y ) = 28
Bài 18. Giải các hệ phương trình sau:

1
 y( x 2 + 1) = 2 x ( y 2 + 1)
( x + y )(1 + xy ) = 5



1 
a) 
b)
 2
2
1
x
+
y
1
+
= 24

( x 2 + y 2 )(1 +

) = 49
 x 2 y2 ÷
÷

2
2




x y

(


1 1
x + y + x + y = 4

c) 
1
1
 x 2 + y2 +
+
=4

x 2 y2
2 x 2 y + y 2 x + 2 y + x = 6 xy

1 y x
e) 
 xy + xy + x + y = 4


)

 x
y
2
+
=
 2
2
 x +1 y +1 3
d) 
( x + y )(1 + 1 ) = 6

xy

1
 xy + xy = 4
f) 
( x + y )  1 + 1 ÷ = 5

 xy 

Bài 19. (Đối xứng loại II) Giải các hệ phương trình sau:
 x 2 = 3 x + 2 y
 x 2 − 2 y 2 = 2 x + y
1)  2
2)  2
2
 y = 3y + 2 x
 y − 2 x = 2 y + x


y2 + 2

y
3
y
=

 x − 3y = 4 x

x2
4) 
5)

2
x
 y − 3x = 4
3 x = x + 2
y


y2

Bài 20. Giải các hệ phương trình sau:
 x 2 = 3 x + 2 y
 x 3 = 2 x + y
a)  2
b)  3
 y = 3y + 2 x
 y = 2 y + x
 2 1

2 x = y + y
d) 
2 y 2 = 1 + x

x


2 x + y =

e) 
2 y + x =


3
x2
3
y2

Bài 21. (Hệ đẳng cấp) Giải các hệ phương trình sau:

 x 3 = 2 x + y
3)  3
 y = 2 y + x
 2
1
2 x = y + y
6) 
2 y 2 = x + 1

x

 x 3 = 3 x + 8y
c)  3
 y = 3y + 8 x

y2 + 2
3
y
=


x2
f) 
2
3 x = x + 2

y2



 x 2 − 3 xy + y 2 = −1
1)  2
2
3 x − xy + 3y = 13

2 x 2 − 4 xy + y 2 = −1
2)  2
2
3 x + 2 xy + 2 y = 7

3 x 2 + 5xy − 4 y 2 = 38

4)  2
2
5 x − 9 xy − 3y = 15

 x 2 − 2 xy + 3y 2 = 9
5)  2
2
 x − 4 xy + 5y = 5

 y 2 − 3 xy = 4
3)  2
2
 x − 4 xy + y = 1
3 x 2 − 8xy + 4 y 2 = 0
6)  2
2
5 x − 7 xy − 6 y = 0

Dạng 6. Giải hệ bằng đồ thị
Bài 22. Giải hệ phương trình và minh họa bằng đồ thị
x − y = 2
 x + 1 = y

 y + 1 = x − 1
a. 
b.  x y
c. 
 2 y − 5 = x
 y = 3 x − 12
 + =1

4 4

GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
Bước 1: Lập phương trình hoặc hệ phương trình:
a) Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn. (Thường là đại lượng cần tìm)
b) Biểu diễn các đại lương chưa biết thông qua ẩn và các đại lượng đã biết.
c) Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng
Bước 2: Giải phương trình, hệ phương trình.
Bước 3: Đối chiếu nghiệm của phương trình, hệ phương trình (nếu có) với điều kiện của ẩn để kết luận.
Chú ý: Tùy từng bài tập cụ thể mà ta có thể lập phương trình bậc nhất một ẩn, hệ phương trình
hay phương trình bậc hai.
Khi đặt điều kiện cho ẩn phải dựa vào nội dung bài toán và những kiến thức thực tế.
1. QUAN HỆ CÁC SỐ
Biểu diễn số có hai chữ số: ab = 10a + b ( a, b ∈ N , 0 < a ≤ 9, 0 ≤ b ≤ 9 ) .
Biểu diễn số có ba chữ số: abc = 100a + 10b + c ( a, b, c ∈ N , 0 < a ≤ 9, 0 ≤ b, c ≤ 9 ) .
a
Biểu diễn một phân số: , ( a, b ∈ N , b ≠ 0 ) .
b
Cho hai số x,y. Khi đó:
+Tổng hai số x,y là x + y ;
+ Tổng bình phương hai số x,y là: x 2 + y 2 ;
+ Bình phương của tổng hai số x,y là : ( x + y )
1 1
+ Tổng nghịch đảo hai số x,y là: + .
x y
2. CHUYỂN ĐỘNG

2

Nếu gọi quãng đường là S, vận tốc là v, thời gian là t thì: S = v.t ⇔ v =
Gọi vận tốc thực của ca nô là v1 ; vận tốc dòng nước là v2 thì
+ Vận tốc ca nô xuôi dòng là: v = v1 + v2 .
+ Vận tốc ca nô ngược dòng là: v = v1 − v2 .
3. NĂNG SUẤT

S
S
⇔ t = (v,t>0).
t
v


Xem toàn bộ công việc là 1 hay 100%.
1
100
% công việc (a>0).
hay
a
a
+ Hai người làm việc, người thứ nhất làm trong a giờ, người thứ hai làm trong b giờ thì một giờ hai
1 1
người làm được: + công việc.
a b
Chú ý:
+ Nếu có hai người làm một việc mà biết thời gian làm việc của người này hơn, kém người kia thì nên
chọn 1 ẩn và đưa về phương trình bậc hai. Nếu thời gian độc lập nhau thì chọn 2 ẩn và đưa về giải hệ.
+ Bài toán làm việc và vòi nước là tương tự nhau.
4. HÌNH HÌNH HỌC
Diện tích hình chữ nhật: S= xy (x: chiều rộng, y: chiều dài).

1
Diện tích tam giác: S= ah (a: đáy, h: chiều cao tương ứng).
2
2
Độ dài cạnh huyền: c = a 2 + b2 (a,b: hai cạnh góc vuông, c: cạnh huyền).
n ( n − 3)
Số đường chéo của một đa giác:
(n: số đỉnh).
2
+ Một người làm công việc trong a giờ thì 1 giờ người đó làm được:

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
1. QUAN HỆ CÁC SỐ
Bài 1. Mẫu số của một phân số lớn hơn tử số của nó là 3 đơn vị. Nếu tăng cả tử và mẫu thêm 1 đơn vị
thì được phân số mới bằng ½ phân số đã cho. Tìm phân số đó?
Bài 2. Tổng các chữ số của một số có hai chữ số là 9. Nếu thêm vào đó 63 đơn vị thì được một số mới
cũng có hai chữ số đó nhưng viết theo thứ tự ngược lại. Hãy tìm số đó?
Bài 3. Tìm hai số tự nhiên liên tiếp có tổng các bình phương của nó là 85.
Bài 4. Đem một số nhân với 3 rồi trừ đi 7 thì được 50. Hỏi số đó là bao nhiêu?
Bài 5. Tổng hai số bằng 51. Tìm hai số biết rằng 2/5 số thứ nhất thì bằng 1/6 số thứ hai.
Bài 6. Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết tổng các chữ số của nó là 7. Nếu đổi chỗ hai chữ số hàng
đơn vị và hàng chục cho nhau thì số đó giảm đi 45 đơn vị.
Bài 7. Tìm hai số kém nhau 5 đơn vị và tích của chúng bằng 150.
Bài 8. Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng số đó bằng chữ số tạo bởi chữ số hàng vạn và chữ số
hàng nghìn của lập phương của số đã cho theo thứ tự đó.
2.CHUYỂN ĐỘNG.
a. XE CHUYỂN ĐỘNG
Bài 9. Hai tỉnh A và B cách nhau 180km. Cùng một lúc, một ôtô đi từ A đến B và một xe máy đi từ B
đến A. Hai xe gặp nhau tại thị trấn C. Từ C đến B ôtô đi hết 2 giờ, còn từ C về A xe máy đi hết 4 giờ
30 phút. Tính vận tốc của mỗi xe biết rằng trên đường AB hai xe đều chạy với vận tốc không đổi.

Bài 10. Một người chuyển động đều trên một quãng đường gồm một đoạn đường bằng và một đoạn
đường dốc. Vận tốc trên đoạn đường bằng và trên đoạn đường dốc tương ứng là 40km/h và 20km/h.


Biết rằng đoạn đường dốc ngắn hơn đoạn bằng là 110km và thời gian để người đó đi cả quãng đường là
3 giờ 30 phút. Tính chiều dài quãng đường người đó đã đi.
Bài 11. Một xe tải và một xe con cùng khởi hành từ A đến B. Xe tải đi với vận tốc 30km/h, xe con đi
với vận tốc 45km/h. Sauk hi đi được ¾ quãng đường AB, xe con tăng tốc thêm 5km/h trên quãng
đường còn lại. Tính quãng đường AB biết rằng xe con đến B sớm hơn xe tải 2 giờ 20 phút.
Bài 12. Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 33km với một vận tốc xác định. Khi từ B về A
người đó đi bằng con đường khác dài hơn trước 29km nhưng với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi 3km/h.
Tính vận tốc lúc đi, biết rằng thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 1 giờ 30 phút.
Bài 13. Hai địa điểm A, B cách nhau 56km. Lúc 6h45’ một người đi xe đạp từ A với vận tốc 10km/h.
Sau đó 2 giờ một người đi xe đạp từ B đến A với vận tốc 14km/h. Hỏi đến mấy giờ họ gặp nhau và chỗ
gặp nhau cách A bao nhiêu km?
Bài 14. Một người đi xe đạp từ A với vận tốc 15km/h. Sau đó một thời gian, một người đi xe máy cũng
xuất phát từ A với vận tốc 30km/h và nếu không có gì thay đổi thì sẽ đuổi kịp người đi xe đạp tại B.
Nhưng sau khi đi được nửa quãng đường AB, người đi xe đạp giảm bớt vận tốc 3km/h nên hai người
gặp nhau tại C cách B 10km. Tính quãng đường AB.
Bài 15. Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình là 30km/h. Khi đến B người đó nghỉ 20
phút rồi quay trở về A vận tốc trung bình 24km/h. Tính quãng đường AB biết rằng thời gian cả đi lẫn
về là 5 giờ 50 phút.
Bài 16. Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc trung bình là 40km/h. Lúc đầu ô tô đi với
vận tốc đó, khi còn 60km nữa thì được một nửa quãng đường AB, người lái xe tăng tốc thêm 10km/h
trên quãng đường còn lại. Do đó ô tô đến tỉnh B sớm hơn 1 giờ so với quy định. Tính quãng đường AB.
Bài 17. Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 50km. Sau đó 1 giờ 30 phút, một người đi xe máy
cũng đi từ A đến B sớm hơn 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng vận tốc xe máy gấp 2,5 lần vận
tốc xe đạp.
Bài 18. Một ôtô chuyển động đều với vận tốc đã định để đi hét quangx đường dài 120km trong một
thời gian đã định. Đi được một nửa quãng đường xe nghỉ 3 phút nên để đến nơi đúng giờ, xe phải tăng

vận tốc thêm 2km/h trên nửa quãng đường còn lại. Tính thời gian xe lăn bánh trên đường.
Bài 19. Một ôtô dự định đi từ A đến B cách nhau 120km trong một thời gian quy định. Sau khi đi được
1 giờ ôtô bị chắn đường bởi xe hỏa mất 10 phút. Do đó, để đến B đúng hạn, xe phải tăng vận tốc thêm
6km/h. Tính vận tốc lúc đầu của ôtô.
Bài 20. Một người đi xe đạp từ A đến B trong một thời gian đã định. Khi còn cách B 30km, người đó
nhận thấy rằng sẽ đến B chậm nửa giờ nếu giữ nguyên vận tốc đang đi, nhưng nếu tăng vận tốc thêm
5km/h thì sẽ tới đích sớm hơn nửa giờ. Tính vận tốc của xe đạp trên quãng đường đã đi lúc đầu.
b. CA NÔ CHUYỂN ĐỘNG
Bài 21. Một canô xuôi dòng từ bến A đến bến B rồi lại ngược dòng từ bến B về bến A mất tất cả 4 giờ.
Tính vận tốc của canô khi nước yên lặng, biết rằng quãng sông AB dài 30km và vận tốc dòng nước là
4km/h.


Bài 22. Một canô xuôi dòng từ bến A đến bến B với vận tốc 30km/h, sau đó lại ngược dòng từ bến B
về bến A. Thời gian xuôi dòng ít hơn thời gian đi ngược là 1 giờ 20 phút. Tính khoảng cách giữa hai
bến A và B biết rằng vận tốc dòng nước là 5 km/h.
Bài 23. Hai canô cùng khởi hành từ hai bến A, B cách nhau 85km đi ngược chiều nhau. Sau 1 giờ 4
phút gặp nhau. Tính vận tốc riêng của mỗi canô, biết rằng vận tốc canô đi xuôi lớn hơn vận tốc canô đi
ngược 9km/h và vận tốc dòng nước là 3km/h.
Bài 24. Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc trung bình 30km/h, sau đó ngược từ B về A.
Thời gian đi xuôi ít hơn thời gian đi ngược là 40 phút. Tính khoảng cách giữa 2 bến A và B biết rằng
vận tốc dòng nước là 3km/h và vận tốc riêng của ca nô là không đổi.
Bài 25. Hai cano khởi hành cùng môt lúc từ bến A đến bến B. Cano I chạy với vận tốc 20km/h, cano II
chạy với vận tốc 24km/h. Trên đường đi cano II dừng lại 40 phút, sau đó tiếp tục chạy. Tính chiều dài
quãng sông AB biết rằng hai cano đến B cùng một lúc.
Bài 26. Một cano chạy trên sông trong 7 giờ, xuôi dòng 108km và ngược dòng 63km. Một lần khác,
cano đó cũng chạy trong 7 giờ, xuôi dòng 81 km và ngược dòng 84 km. Tính vận tốc dòng nước chảy
và vận tốc riêng của cano.
Bài 27. Một tàu thủy chạy trên một khúc sông dài 80km, cả đi và về mất 8 giờ 20 phút. Tính vận tốc
của tàu khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc dòng nước là 4km/h.

Bài 28. Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A. Sau đó 5 giờ 20 phút một chiếc ca nô chạy từ bến
sông A đuổi theo và gặp chiếc thuyền tại một điểm cách bến A 20 km. Hỏi vận tốc của thuyền, biết
rằng ca nô chạy nhanh hơn thuyền 12km/h.
3. NĂNG SUẤT
a. CÔNG VIỆC
Bài 29. Hai đội công nhân cùng làm một việc thì làm xong trong 4 giờ. Nếu mỗi đội làm một mình để
làm xong công việc ấy, thì đội thứ nhât cần thời gian ít hơn so với đội thứ hai là 6 giờ. Hỏi mỗi đội làm
một mình xong công việc ấy trong bao lâu?
Bài 30. Một xí nghiệp đóng giầy dự định hoàn thành kế hoạch trong 26 ngày. Nhưng do cải tiến kĩ
thuật nên đã vượt mức 6000 đôi giày do đó chẳng những đã hoàn thành kế hoạch đã định trong 24 ngày
mà còn vượt mức 104 000 đôi giày. Tính số đôi giày phải làm theo kế hoạch.
Bài 31. Một cơ sở đánh cá dự định trung bình mỗi tuần đánh bắt được 20 tấn cá, nhưng đã vượt mức
được 6 tấn mỗi tuần nên nên chẳng những đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn 1 tuần mà còn vượt mức kế
hoạch 10 tấn. Tính mức kế hoạch đã định.
Bài 32. Một đội xe cần chuyên chở 36 tấn hàng. Trước khi làm việc đội xe đó được bổ xung thêm 3 xe
nữa nên mỗi xe chở ít hơn một tấn so với dự định. Hỏi đội xe lúc đầu có bao nhiêu xe? Biết rằng số
hàng chở trên tất cả các xe có khối lượng bằng nhau.
Bài 33. Hai tổ sản xuất cùng nhận chung một mức khoán. Tổ I làm nhanh gấp đôi tổ II. Nếu làm chung
trong 4 giờ thì hoàn thành được 2/3 mức khoán. Nếu để mỗi tổ làm riêng thì mỗi tổ này sẽ làm xong
mức khoán trong bao lâu?


Bài 34. Hai tổ công nhân làm chung trong 12 giờ sẽ hoàn thành công việc đã định. Họ làm chung với
nhau trong 4 giờ thì tổ thứ nhất được điều đi làm việc khác, tổ thứ hai làm nốt công viêc còn lại trong
10 giờ. Hỏi tổ thứ hai làm việc một mình thì sau bao lâu sẽ hoàn thành công việc.
Bài 35. Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3 giờ và
người thứ hai làm 6 giờ thì họ làm được 25% công việc. Hỏi mỗi người làm công việc đó trong mấy
giờ thì xong.
b. VÒI NƯỚC
Bài 36. Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không chứa nước đã làm đầy bể trong 5 giờ 50 phút.

Nếu chảy riêng thì vòi thứ hai chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ nhất là 4 giờ. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi
vòi chảy trong bao lâu sẽ đầy bể?
Bài 37. Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không chứa nước thì sau 1 giờ 48 phút sẽ đầy bể. Nếu
chảy riêng, vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai trong 1 giờ 30 phút. Hỏi nếu chảy riêng thì
mỗi vòi sẽ chảy đầy bể trong bao lâu?
Bài 38. Một máy bơm muốn bơm đầy nước vào một cái bể chứa trong một thời gian quy định thì mỗi
giờ phải bơm được 10m 3. Sau khi bơm được 1/3 thể tích bể chứa, máy bơm hoạt động với công suất
lớn hơn, mỗi giờ bơm được 15 m3. Do vậy so với quy định, bể chứa được bơm đầy trước 48 phút. Tính
thể tích bể chứa.
Bài 39. Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể chứa không có nước thì sau 1 giờ 30 phút sẽ đầy
bể. Nếu mở vòi thứ nhất trong 15 phút rồi khóa lại và mở vòi thứ hai chảy tiếp trong 20 phút thì sẽ
được 1/5 bể. Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì sau bao lâu sẽ đầy bể?
Bài 40. Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể chứa không có nước thì sau 2 giờ 55 phút sẽ đầy bể.
Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 2 giờ. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi
vòi chảy đầy bể trong bao lâu?
4. TOÁN HÌNH HÌNH HỌC
Bài 41. Tính các kích thước của hình chữ nhật có diện tích 40 cm 2, biết rằng nếu tăng mỗi kích thước
thêm 3 cm thì diện tích tăng thêm 48 cm2.
Bài 42. Cạnh huyền của một tam giác vuông bằng 5m. Hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 1m. Tính các
cạnh góc vuông của tam giác?
Bài 43. Một hình chữ nhật có đường chéo bằng 13m, chiều dài hơn chiều rộng 7m. Tính diện tích hình
chữ nhật?
Bài 44. Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi là 250m. Tính diện tích của thửa ruộng biết rằng chiều
dài giảm 3 lần và chiều rộng tăng 2 lần thì chu vi của thửa ruộng không thay đổi.
Bài 45. Một đa giác lồi có tất cả 35 đường chéo. Hỏi đa giác đó có bao nhiêu đỉnh?
Bài 46. Một cái sân hình tam giác có diện tích 180 m 2. Tính cạnh đáy của sân biết rằng nếu tăng cạnh
đáy 4 m và giảm chiều cao tương ứng là 1 m thì diện tích không thay đổi?
Bài 47. Một miếng đất hình thang cân có chiều cao 35m hai đáy lần lượt bằng 30m và 50m người ta
làm hai đoạn đường có cùng chiều rộng. Các đoạn đường lần lượt là đường trung bình của hình thang

và đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai đáy. Tính chiều rộng đoạn đường biết diện tích phần làm
đường bằng ¼ diện tích hình thang.
5. CÁC DẠNG TOÁN KHÁC
1. Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong thời gian nhất định. Do áp dụng kĩ thuật mới nên
tổ I đã sản xuất vượt mức kế hoạch là 18% và tổ II vượt mức 21%. Vì thời gian quy định họ đã hoàn
thành vượt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ là bao nhiêu?
2. Dân số của thành phố Hà Nội sau 2 năm tăng từ 200 000 lên 2 048 288 người. Tính xm hàng năm
trung bình dân số tăng bao nhiêu phần trăm?
3. Bác An vay 10 000 000 đồng của ngân hàng làm kinh tế. Trong một năm đầu bác chưa trả được nên
số tiền lãi trong năm đầu được chuyển thành vốn để tính lãi năm sau. Sau hai năm bác An phải trả là 11
881 000 đồng. Hỏi lãi suất cho vay là bao nhiêu phần trăm tron một năm?
4. Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 1000 sản phẩm trong một thời gian quy định. Do áp dụng kĩ thuật mới
nên tổ I vượt mức kế hoạch 15% và tổ II vượt 17%. Vì vậy trong thời gian quy định cả hai tổ đã sản
xuất được 1 162 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm của mỗi tổ là bao nhiêu?
5. Người ta trộn 8g chất lỏng này với 6g chất lỏng khác có khối lượng riêng nhỏ hơn nó là 0,2g/cm3 để
được hỗn hợp có khối lượng riêng 0,7g/cm3 . Tìm khối lượng riêng của mỗi chất lỏng.
6. Một phòng họp có 240 ghế được xếp thành các dãy có số ghế bằng nhau. Nếu mỗi dãy bớt đi một
ghế thì phải xếp thêm 20 dãy mới hết số ghế. Hỏi phòng họp lúc đầu được xếp thành bao nhiêu dãy
ghế.
7. Hai giá sách có 400 cuốn. Nếu chuyển từ giá thứ nhất sang giá thứ hai 30 cuốn thì số sách ở giá thứ
3
nhất bằng số sách ở ngăn thứ hai. Tính số sách ban đầu của mỗi ngăn?
5
8. Người ta trồng 35 cây dừa trên một thửa đất hình chữ nhật có chiều dài 30 m chiều rộng là 20 m
thành những hàng song song cách đều nhau theo cả hai chiều. Hàng cây ngoài cùng trồng ngay trên
biên của thửa đất. Hãy tính khoảng cách giữa hai hàng liên tiếp?
9. Hai người nông dân mang 100 quả trứng ra chợ bán. Số trứng của hai người không bằng nhau
nhưng số tiền thu được của hai người lại bằng nhau. Một người nói với người kia: “ Nếu số trứng của
tôi bằng số trứng của anh thì tôi bán được 15 đồng ”. Người kia nói “ Nếu số trứng của tôi bằng số

2
trứmg của anh tôi chỉ bán được 6 đồng thôi”. Hỏi mỗi người có bao nhiêu quả trứng?
3
10. Một hợp kim gồm đồng và kẽm trong đó có 5 gam kẽm. Nếu thêm 15 gam kẽm vào hợp kim này
thì được một hợp kim mới mà trong đó lượng đồng đã giảm so với lúc đầu là 30%. Tìm khối lượng ban
đầu của hợp kim?


BÂT ĐẲNG THỨC – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT NHỎ NHẤT
I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1. Định nghĩa
a>b Û a- b>0.
Chú ý: A2 ³ 0, A ³ 0 .
2. Tính chất
1) a > b, b > c Þ a > c .
2) a > b Û a + c > b + c .
3) c > 0 thì a > b Û ac > bc .
c < 0 thì a > b Û ac < bc .
4) a > b và c > d thì a + c > b + d .
5) a > b > 0 và c > d > 0 thì ac > bd .
6) a > b > 0 thì

1 1
< .
a b

7) a > b > 0 thì a n > b n , " n Î N * .
8) - a £ a £ a .
9) a - b £ a ± b £ a + b , " a, b Î R .

a
<1 thì
b
a
Nếu > 1 thì
b

10) Nếu

a a +c
<
, c>0.
b b +c
a a +c
>
, c>0.
b b +c

11) Nếu a,b,c là 3 cạnh của một tam giác thì: a - b < c, a + b > c .
3.Bất đẳng thức Cô-si
Cho 2 số dương: a + b ³ 2 ab hoặc a 2 + b 2 ³ 2ab . Dấu “=” xảy ra Û a = b
Cho 3 số dương: a + b + c ³ 3 3 abc hoặc a3 + b3 + c3 ³ 3abc .
Dấu “=” xảy ra Û a = b = c
4.Bất đẳng thức Bunhia cốp xki

(

Cho 2 số thực: ab + cd

)

(

2

£ ( a2 + c2 )( b2 + d 2 ) . Dấu “=” xảy ra Û

Cho 3 số thực: ab + cd + ef
Dấu “=” xảy ra Û

)

2

a c
= .
b d

£ ( a2 + c2 + e2 )( b 2 + d 2 + f 2 ) .

a c e
= = .
b d
f

5.Trê bư sép.
Cho 3 dãy sắp thứ tự a1 £ a2 £ a3 , b1 £ b2 £ b3 , c1 £ c2 £ c3 thì

3( a1b1 + a2 b2 + a3 b3 ) ³ ( a1 + a2 + a3 ) ( b1 + b2 + b3 ) .

3( a1c1 + a2 c2 + a3c3 ) £ ( a1 + a2 + a3 ) ( c1 + c2 + c3 )


II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
1.DÙNG ĐỊNH NGHĨA
Bài 1. Với mọi x, y, z chứng minh rằng:
a. x 2 + y 2 + z 2 ≥ xy + yz + zx .
b. x 2 + y 2 + z 2 ≥ 2 xy − 2 yz + 2 zx
2
2
2
c. x + y + z + 3 ≥ 2 ( x + y + z )
Bài 2. Cho 3 số thực a,b,c. Chứng minh rằng:
2
2
a 2 + b2  a + b 
a 2 + b2 + c 2  a + b + c 
a.
b.
≥
≥
÷
÷
2
3
3
 2 


Bài 3. Chứng minh ∀m, n, p, q ta đều có:

m 2 + n 2 + p 2 + q 2 + 1 ≥ m ( n + p + q + 1) .
2.BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
Bài 4. Cho 5 số thực a,b,c,d,e. Chứng minh:
b2
a. a 2 + ≥ ab
4
b. a 2 + b 2 + 1 ≥ ab + a + b
2
2
2
2
2
c. a + b + c + d + e ≥ a ( b + c + d + e )
d. Chứng minh: a 4 + b 4 ³ a3b + b3a.
10
10
2
2
8
8
4
4
Bài 5. Chứng minh rằng: ( a + b ) ( a + b ) ≥ ( a + b ) ( a + b ) .
x2 + y 2
≥2 2.
Bài 6. Cho x > y và x.y =1. Chứng minh rằng:
x− y
Bài 7. Chứng minh
a. P ( x, y ) = 9 x 2 y 2 + y 2 − 6 xy − 2 y + 2 ≥ 0, ∀x, y ∈ R.
b.

a 2 + b2 + c2 ≥ a + b + c .

 xyz = 1

c. Cho 3 số thực khác không x,y,z thỏa mãn:  1 1 1
x + y + z < x + y + z

Chứng minh rằng có đúng một trong 3 số x, y, z lớn hơn 1.
3. DÙNG BĐT QUEN THUỘC (Cô-si – Bunhia cốp ski – Trê bư sép)
Bài 8. Cho 4 số thực không âm a, b, c, d. Chứng minh rằng:
a. ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) ≥ 8abc .

(
)(
)
c. ( a + b + c)( ab + bc + ca) ³
b. a + b ab +1 ³ 4ab .

æ

öæ

öæ

ö

è

øè

øè

ø

a ç b ÷ç c ÷
1+ ÷
1 + ÷³ 8 .
÷1 + ÷
d. ç
ç
ç b ÷ç
ç c ÷ç
ç a÷
4
æa + b + c + d ö
÷
ç
e. ç
³ abcd .
÷
÷
ç
÷
4
è
ø

9abc .

Bài 9. Cho 3 số thực không âm a, b, c.
1 1 1
a. Nếu a + b + c = 1 thì + + ≥ 9 .
a b c
b. Nếu a + b + c = 1 thì x + 2 y + z ≥ 4 ( 1 − x ) ( 1 − y ) ( 1 − z ) .
a
b
c
3
+
+
≥ .
b+c c+a a+b 2
1
d. Nếu 2 a − b = 1 thì a + b ≥ .
5
c. CMR:

e. a + b + c ³ 3 3 abc +

(

a-

)

2

b .

a3
b3
c3
3
+
+
≥ .
b+c c+a a+b 2
Bài 10. Cho 4 số thực dương a, b, c, d và abcd=1. Chứng minh rằng:
a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + a ( b + c ) + b ( c + d ) + d ( c + a ) ≥ 10 .
Bài 11. Cho 4 số thực x,y,z,t chứng minh rằng:
f. Nếu a 2 + b 2 + c 2 = 1 thì

( x + z)

2

+ ( y + t ) ≤ x2 + y 2 + z 2 + t 2 .
2

Bài 12. Chứng minh: x 2 + y 2 + z 2 ≥ xy + yz + zx với mọi x,y,z.
4. DÙNG TÍNH CHẤT BẮC CẦU
Bài 13. Cho a,b,c,d >0 thỏa mãn a > c+d và b > c+d. Chứng minh: ab > ad + bc.
5
1 1 1
1
2
2
2

Bài 14. Cho a, b,c > 0 thỏa mãn a + b + c = . Chứng minh: + − <
.
3
a b c abc
Bài 15. Cho 0 < a,b,c,d < 1. Chứng minh rằng: ( 1 − a ) ( 1 − b ) ( 1 − c ) ( 1 − d ) > 1 − a − b − c − d .
Bài 16. Cho 0 < a,b,c < 1. Chứng minh rằng: 2a 3 + 2b3 + 2c 3 < 3 + a 2b + b 2c + c 2 a .
5. DÙNG TÍNH CHẤT TỈ SỐ
a
b
c
d
+
+
+
<2.
a+b+c b+c+d c+d +a d +a+b
a c
a ab + cd c
< .
Bài 18. Cho b, d > 0 và < . Chứng minh rằng: < 2
b d
b b + d2 d
Bài 19. Cho a,b,c,d là các số nguyên dương thỏa mãn: a+b = c+d = 1000. Tìm giá trị lớn nhất của
a b
+ . ĐS: 999+1/999 khi a=d=1 và b=c=999.
c d
Bài 17. Cho a,b,c,d chứng minh rằng: 1 <

6. PHƯƠNG PHÁP LÀM TRỘI
Bài 20. Với mọi số tự nhiên n > 1, chứng minh rằng:

1
1
1
1
3
+
+ ... +
< .
a. <
2 n +1 n + 2
n+n 4
1
1
1
+
+ ... +
> 2 n +1 −1 .
b. 1 +
2
3
n
1 1
1
c. 1 + 2 + 2 ... + 2 < 2 .
2 3
n

(

)

7. PHƯƠNG PHÁP DÙNG BĐT TRONG TAM GIÁC


Bài 21. Cho a, b, c là số đo ba cạnh của tam giác chứng minh rằng:
2
2
2
a. ab + bc + ca < a + b + c < 2 ( ab + bc + ca ) .
b. abc > ( a + b − c ) ( b + c − a ) ( c + a − b ) .
c. Nếu a + b + c = 2 thì a 2 + b 2 + c 2 + 2abc < 2
8. ĐỔI BIẾN SỐ
a
b
c
3
+
+
≥ .
b+c c+a a+b 2
Bài 23. Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn: a + b + c < 1 . Chứng minh rằng:
1
1
1
+ 2
+ 2
≥ 9.
2
a + 2bc b + 2ca c + 2ab
1

Bài 24. Cho 2 số thực dương a,b thỏa mãn 2 a − b = 1 . Chứng minh a + b ≥ .
5
Bài 22. Cho 3 số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng:

9. PP DÙNG TAM THỨC BẬC HAI

( ) (

Bài 25. Tìm giá trị nhỏ nhất của: f x = x - a

)

2

2

+ ( x - b) .

2
2
Bài 26. Chứng minh rằng: f ( x, y ) = x + 5 y − 4 xy + 2 x − 6 y + 3 > 0 .

2 4
2
2
2
3
Bài 27. Chứng minh rằng: f ( x, y ) = x y + 2 ( x + 2 ) y + 4 xy + x > 4 xy .

10. PP QUY NẠP

1 1
1
1
+ 2 + ... + 2 < 2 − .
2
2 3
n
n
n
n
a + bn
a+b
Bài 29. Với mọi số tự nhiên n và a + b >0. Chứng minh rằng: 
.
≤
÷
2
 2 
Bài 28. Với mọi số tự nhiên n>1. Chứng minh rằng: 1 +

11. PP PHẢN CHỨNG
Bài 30. Cho 3 số thực a,b,c thỏa mãn: a + b + c > 0, ab + bc + ca > 0, abc > 0 . Chứng minh rằng a, b, c
là 3 số dương.
Bài 31. Cho bốn số a , b, c, d thỏa mãn: ac ≥ 2 ( b + d ) . Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất
đẳng thức sau là sai: a 2 < 4b, c 2 < 4d .
 xyz = 1

Bài 32. Cho 3 số thực khác không x,y,z thỏa mãn:  1 1 1
x + y + z < x + y + z


Chứng minh rằng có đúng một trong 3 số x, y, z lớn hơn 1.