chuyen de bat dang thuc lop 9

Sỏch gii Ngi thy ca bn

Chuyên đề:

/>
Bất đẳng thức

A- Mở đầu:
Bất đẳng thức là một trong những mảng kiến thức khó nhất của toán học phổ
thông .
Nhưng thông qua các bài tập về chứng minh bất đẳng thức học sinh hiểu kỹ và
sâu sắc hơn về giải và biện luận phương trình , bất phương trình ,về mối liên hệ giữa
các yếu tố của tam giác về tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức. Trong
quá trình giải bài tập , năng lực suy nghĩ , sáng tạo của học sinh được phat triển đa
dang và phong phú vì các bài tập về bất đẳng thức có cách giải không theo quy tắc
hoặc khuôn mẫu nào cả.
Nó đòi hỏi người đọc phải có cách suy nghĩ lôgic sáng tạo biết kết hợp kiến
thức cũ với kiến thức mới một cách lôgíc có hệ thống.
Cũng vì toán về bất đẳng thức không có cách giải mẫu , không theo một phương
pháp nhất định nên học sinh rât lúng túng khi giải toán về bất đẳng thức vì vậy học
sinh sẽ không biết bắt đầu từ đâu và đi theo hương nào .Do đó hầu hết học sinh không
biết làm toán về bất đẳng thứcvà không biết vận dụng bất đẳng thức để giải quyết các
loại bài tập khác.
Trong thực tế giảng dạy toán ở trường THCS việc làm cho học sinh biết chứng
minh bất đẳng thức và vận dụng các bất đẳng thức vào giải các bài tập có liên quan là
công việc rất quan trọngvà không thể thiếu được của người dạy toán ,thông qua đó rèn
luyện
Tư duy lôgic và khả năng sáng tạo cho học sinh .Để làm được điều đó người
thầy giáo phải cung cấp cho học sinh một số kiến thức cơ bản và một số phương pháp
suy nghĩ ban đầu về bất đẳng thức .
Chính vì lí do trên nên tôi tự tham khảo biên soạn chuyên đề bất đẳng thức

nhằm mục đích giúp học sinh học tốt hơn.

1


Sỏch gii Ngi thy ca bn

/>
Danh mục của chuyên đề
S.t.t
1.

Nội dung
Phần mở đầu

trang
1

2.

Nội dung chuyên đề

2

3.

Các kiến thức cần lưu ý

3

4.

Các phương pháp chứng minh bát đẳng thức

4

5.

Phương pháp 1:dùng định nghiã

4

6.

Phương pháp 2:dùng biến đổi tương đương

7.

Phương pháp 3:dùng bất đẳng thức quen thuộc

6
8

8.

Phương pháp 4:dùng tính chất bắc cầu

10

9.

Phương pháp 5: dùng tính chấtbủa tỷ số

12

10.

Phương pháp 6: dùng phương pháp làm trội

14

11.

Phương pháp 7: dùmg bát đẳng thức tam giác

16

12.

Phương pháp 8: dùng đổi biến

17

13.

Phương pháp 9: Dùng tam thức bậc hai

14.

Phương pháp 10: Dùng quy nạp toán học

18
19

15.

Phương pháp 11: Dùng chứng minh phản chứng

21

16.

Các bài tập nâng cao

23

17.

28

18.

ứng dụng của bất dẳng thức
Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị

19.

Dùng bất đẳng thức để: giải phương trình hệ phương trình

31

20.

Dùng bất đẳng thức để : giải phương trình nghiệm nguyên

33

21.

Tài liệu tham khảo

29

2


Sỏch gii Ngi thy ca bn

/>
B- nội dung
Phần 1 : các kiến thức cần lưu ý

1- Định nghĩa
2- Tính chất
3-Một số hằng bất đẳng thức hay dùng

Phần 2:một số phương pháp chứng minh bất đẳng
thức
1-Phương pháp dùng định nghĩa
2- Phương pháp dùng biến đổi tương đương

3- Phương pháp dùng bất đẳng thức quen thuộc
4- Phương pháp sử dụng tính chất bắc cầu
5- Phương pháp dùng tính chất tỉ số
6- Phương pháp làm trội
7- Phương pháp dùng bất đẳng thức trong tam giác
8- Phương pháp đổi biến số
9- Phương pháp dùng tam thức bậc hai
10- Phương pháp quy nạp
11- Phương pháp phản chứng
Phần 3 :các bài tập nâng cao
PHầN 4 : ứng dụng của bất đẳng thức
1- Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị
2-Dùng bất đẳng thức để giải phương trình và bất phương trình
3-Dùng bất đẳng thức giải phương trình nghiệm nguyên

3


Sỏch gii Ngi thy ca bn

/>
Phần I : các kiến thức cần lưu ý
1-Đinhnghĩa
A B A B 0

A B A B 0

2-tính chất
+ A>B B A
+ A>B và B >C A C

+ A>B A+C >B + C
+ A>B và C > D A+C > B + D
+ A>B và C > 0 A.C > B.C
+ A>B và C < 0 A.C < B.C
+ 0 < A < B và 0 < C + A > B > 0 A n > B n n
+ A > B A n > B n với n lẻ
+ A > B A n > B n với n chẵn
+ m > n > 0 và A > 1 A m > A n
+ m > n > 0 và 0 +A < B và A.B > 0



1 1

A B

3-một số hằng bất đẳng thức
+ A 2 0 với A ( dấu = xảy ra khi A = 0 )
+ An 0 với A ( dấu = xảy ra khi A = 0 )
+ A 0 với A (dấu = xảy ra khi A = 0 )
+ -A + A B A B ( dấu = xảy ra khi A.B > 0)
+ A B A B ( dấu = xảy ra khi A.B < 0)

4


Sỏch gii Ngi thy ca bn

/>
Phần II : một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
Phương pháp 1 : dùng định nghĩa
Kiến thức : Để chứng minh A > B
Ta chứng minh A B > 0
Lưu ý dùng hằng bất đẳng thức M 2 0 với M
Ví dụ 1 x, y, z chứng minh rằng :
a) x 2 + y 2 + z 2 xy+ yz + zx
b) x 2 + y 2 + z 2 2xy 2xz + 2yz
c) x 2 + y 2 + z 2 +3 2 (x + y + z)
Giải:
a) Ta xét hiệu
x 2 + y 2 + z 2 - xy yz - zx
1
2
1
= ( x y ) 2 ( x z ) 2 ( y z ) 2 0 đúng với mọi x;y;z R
2

= .2 .( x 2 + y 2 + z 2 - xy yz zx)





Vì (x-y)2 0 vớix ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y
(x-z)2 0 vớix ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z
(y-z)2 0 với z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y
Vậy x 2 + y 2 + z 2 xy+ yz + zx

Dấu bằng xảy ra khi x = y =z
b)Ta xét hiệu
x 2 + y 2 + z 2 - ( 2xy 2xz +2yz )
= x 2 + y 2 + z 2 - 2xy +2xz 2yz
=( x y + z) 2 0 đúng với mọi x;y;z R
Vậy x 2 + y 2 + z 2 2xy 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z R
Dấu bằng xảy ra khi x+y=z
c) Ta xét hiệu
x 2 + y 2 + z 2 +3 2( x+ y +z )
= x 2 - 2x + 1 + y 2 -2y +1 + z 2 -2z +1
= (x-1) 2+ (y-1) 2+(z-1) 2 0
Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1
Ví dụ 2: chứng minh rằng :
5


Sỏch gii Ngi thy ca bn

2

a2 b2 a b

a)
;b)
2
2

/>
a2 b2 c2 a b c

3
3



2

c) Hãy tổng quát bài toán

giải
2

2

2

a b
a b


2
2
2 a 2 b 2 a 2 2ab b 2

=
4
4
1
= 2a 2 2b 2 a 2 b 2 2ab

4
1
= a b 2 0
4

a) Ta xét hiệu







a2 b2 a b
Vậy


2
2



2

Dấu bằng xảy ra khi a=b
b)Ta xét hiệu
2

a2 b2 c2 a b c

3
3


1
= a b 2 b c 2 c a 2 0
9



a2 b2 c2 a b c

Vậy

3
3





2

Dấu bằng xảy ra khi a = b =c
c)Tổng quát
2

a12 a 22 .... a n2 a1 a 2 .... a n

n
n


Tóm lại các bước để chứng minh A B tho định nghĩa

Bước 1: Ta xét hiệu H = A - B
Bước 2:Biến đổi H=(C+D) 2 hoặc H=(C+D) 2 + .+(E+F) 2
Bước 3:Kết luận A B
Ví dụ:(chuyên Nga- Pháp 98-99)
Chứng minh m,n,p,q ta đều có
m 2 + n 2 + p 2 + q 2 +1 m(n+p+q+1)
Giải:

6


Sách giải – Người thầy của bạn

/>
 m2
 m2
 m2
 m2

2
2
2








 mn  n   
 mp  p   
 mq  q   
 m  1  0
 4
  4
  4
  4

2

m
 m
   n   
2
 2

2

2

2

 m

 m 
p     q     1  0 (lu«n ®óng)
 2
 2


m
 2 n0
m
 p0
DÊu b»ng x¶y ra khi  2

m
 q 0
2
m
 2  1  0

m

n  2

m
 m2
p 

2 
n  p  q  1

m

q  2
m  2


Bµi tËp bæ xung

7


Sỏch gii Ngi thy ca bn

/>
phương pháp 2 : Dùng phép biến đổi tương đương
Lưu ý:
Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng
hoặc bất đẳng thức đã được chứng minh là đúng.
Chú ý các hằng đẳng thức sau:

A B 2 A 2 2 AB B 2
A B C 2 A 2 B 2 C 2 2 AB 2 AC 2 BC
A B 3 A3 3 A 2 B 3 AB 2 B 3
Ví dụ 1:
Cho a, b, c, d,e là các số thực chứng minh rằng
b2
a) a ab
4
2
b) a b 2 1 ab a b
c) a 2 b 2 c 2 d 2 e 2 ab c d e
2

Giải:
b2
ab
4
4a 2 b 2 4ab 4a 2 4a b 2 0
2
(bất đẳng thức này luôn đúng)
2a b 0

a) a 2

b2
ab (dấu bằng xảy ra khi 2a=b)
4
b) a 2 b 2 1 ab a b
2(a 2 b 2 1 2(ab a b)

Vậy a 2

a 2 2ab b 2 a 2 2a 1 b 2 2b 1 0
Bất đẳng thức cuối đúng.
(a b) 2 (a 1) 2 (b 1) 2 0

Vậy a 2 b 2 1 ab a b
Dấu bằng xảy ra khi a=b=1
a 2 b 2 c 2 d 2 e 2 ab c d e
c)
4 a 2 b 2 c 2 d 2 e 2 4a b c d e
a 2 4ab 4b 2 a 2 4ac 4c 2 a 2 4ad 4d 2 a 2 4ac 4c 2 0

2

2



2



2

a 2b a 2c a 2d a 2c 0

Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 2:
Chứng minh rằng: a10 b10 a 2 b 2 a 8 b 8 a 4 b 4
Giải:
8




Sỏch gii Ngi thy ca bn

a









/>


b10 a 2 b 2 a 8 b 8 a 4 b 4 a 12 a10 b 2 a 2 b10 b12 a 12 a 8 b 4 a 4 b 8 b12
a 8b 2 a 2 b 2 a 2b8 b 2 a 2 0
a2b2(a2-b2)(a6-b6) 0 a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4) 0
10





Bất đẳng thứccuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 3: cho x.y =1 và x.y
Chứng minh

x2 y2
2 2
x y

Giải:
2

2

x y
2 2 vì :x y nên x- y 0 x2+y2 2 2 ( x-y)
x y
x2+y2- 2 2 x+ 2 2 y 0 x2+y2+2- 2 2 x+ 2 2 y -2 0
x2+y2+( 2 )2- 2 2 x+ 2 2 y -2xy 0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2
(x-y- 2 )2 0 Điều này luôn luôn đúng . Vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 4:
1)CM:

P(x,y)= 9 x 2 y 2 y 2 6 xy 2 y 1 0 x, y R

a2 b2 c2 a b c
2)CM:
(gợi ý :bình phương 2 vế)
3)choba số thực khác không x, y, z thỏa mãn:
x. y.z 1

1 1 1
x y z
x y z

Chứng minh rằng :có đúng một trong ba số x,y,z lớn hơn 1
(đề thi Lam Sơn 96-97)

Giải:
Xét (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1
1
x

1
y

1
z

1

1

1

x

y

z

1
x

1
y

1

z

=(xyz-1)+(x+y+z)-xyz( )=x+y+z - ( ) 0 (vì < x+y+z theo
gt)
2 trong 3 số x-1 , y-1 , z-1 âm hoặc cả ba sỗ-1 , y-1, z-1 là dương.
Nếủ trường hợp sau xảy ra thì x, y, z >1 x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z=1 bắt buộc

phải xảy ra trường hợp trên tức là có đúng 1 trong ba số x ,y ,z là số lớn hơn 1

9


Sỏch gii Ngi thy ca bn

Phương pháp 3:

/>
dùng bất đẳng thức quen thuộc

A/ một số bất đẳng thức hay dùng
1) Các bất đẳng thức phụ:
a) x 2 y 2 2 xy
b) x 2 y 2 xy dấu( = ) khi x = y = 0
c) x y 2 4 xy
a
b

b
a

d) 2
2)Bất đẳng thức Cô sy:

a1 a 2 a3 .... a n n
a1 a 2 a3 ....a n
n

Với ai 0

3)Bất đẳng thức Bunhiacopski

a

2
2





2

a22 .... an2 . x12 x22 .... 2n a1 x1 a2 x2 .... an xn

4) Bất đẳng thức Trê- bư-sép:
abc
A B C
abc
Nếu
A B C

abc
Dấu bằng xảy ra khi
A B C

Nếu



aA bB cC a b c A B C

.
3
3
3



aA bB cC a b c A B C

.
3
3
3

b/ các ví dụ
ví dụ 1 Cho a, b ,c là các số không âm chứng minh rằng
(a+b)(b+c)(c+a) 8abc
Giải:
Cách 1:Dùng bất đẳng thức phụ: x y 2 4 xy
Tacó a b 2 4ab ; b c 2 4bc ; c a 2 4ac

2

2

2

a b b c c a 64a 2 b 2 c 2 8abc
(a+b)(b+c)(c+a) 8abc

2

Dấu = xảy ra khi a = b = c
1 1 1
9
a b c
CMR:x+2y+z 4(1 x)(1 y )(1 z )

ví dụ 2(tự giải): 1)Cho a,b,c>0 và a+b+c=1 CMR:
2)Cho x,y,z>0 và x+y+z=1
3)Cho a>0 , b>0, c>0

10

(403-1001)


Sỏch gii Ngi thy ca bn
CMR:

/>

a
b
c
3



bc ca ab 2

4)Cho x 0 ,y 0 thỏa mãn 2 x y 1

;CMR: x+y

1
5

ví dụ 3: Cho a>b>c>0 và a 2 b 2 c 2 1 chứng minh rằng
a3
b3
c3
1



bc ac ab 2

Giải:

a2 b2 c2
b

c
Do a,b,c đối xứng ,giả sử a b c a


b c a c a b

áp dụng BĐT Trê- bư-sép ta có
a
b
c
a2 b2 c2 a
b
c 1 3 1
b2.
c2.

.


= . =
bc
ac
ab
3
bc ac ab 3 2 2
a3
b3
c3
1
1

Vậy
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=



bc ac ab 2
3
a2.

ví dụ 4:
Cho a,b,c,d>0 và abcd =1 .Chứng minh rằng :
a 2 b 2 c 2 d 2 a b c bc d d c a 10

Giải:
2

2

Ta có a b 2ab
c 2 d 2 2cd

1
1 1
(dùng x )
ab
x 2
1
Ta có a 2 b 2 c 2 2(ab cd ) 2(ab ) 4
ab
Mặt khác: ab c bc d d c a

Do abcd =1 nên cd =

(1)

=(ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad)
1
1
1
ac bc 2 2 2
ab
ac
bc

2
2
2
2
Vậy a b c d ab c bc d d c a 10

= ab

ví dụ 5: Cho 4 số a,b,c,d bất kỳ chứng minh rằng:
(a c) 2 (b d ) 2 a 2 b 2 c 2 d 2

Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski
tacó ac+bd a 2 b 2 . c 2 d 2
mà a c 2 b d 2 a 2 b 2 2ac bd c 2 d 2

a2 b2 2 a2 b2 . c2 d 2 c2 d 2
2

2

2

(a c) (b d ) a b 2 c 2 d 2

ví dụ 6: Chứng minh rằng
11


Sỏch gii Ngi thy ca bn

/>
a 2 b 2 c 2 ab bc ac

Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski
Cách 1: Xét cặp số (1,1,1) và (a,b,c) ta có

1 1 1 (a b c ) 1.a 1.b 1.c
3 a b c a b c 2ab bc ac
2

2

2



2

2

2

2

Lưu ý:

2

2

2

a 2 b 2 c 2 ab bc ac

Phương pháp 4:

2

2

2

Điều phải chứng minh Dấu bằng xảy ra khi a=b=c

Sử dụng tính chất bắc cầu

A>B và b>c thì A>c
0< x <1 thì x 2
ví dụ 1:
Cho a, b, c ,d >0 thỏa mãn a> c+d , b>c+d
Chứng minh rằng ab >ad+bc
Giải:
a c d
b c d

Tacó

a c d 0

b d c 0

(a-c)(b-d) > cd
ab-ad-bc+cd >cd
ab> ad+bc





(điều phải chứng minh)

ví dụ 2:
2
2
2
Cho a,b,c>0 thỏa mãn a b c

Chứng minh

5
3

1 1 1
1

a b c abc

Giải:
Ta có :( a+b- c)2= a2+b2+c2+2( ab ac bc) 0
1 2 2 2
( a +b +c )
2
5
1 1 1
1

ac+bc-ab 1 Chia hai vế cho abc > 0 ta có
6
a b c
abc

ac+bc-ab

ví dụ 3
Cho 0 < a,b,c,d <1 Chứng minh rằng (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d
Giải:
Ta có (1-a).(1-b) = 1-a-b+ab
Do a>0 , b>0 nên ab>0
(1-a).(1-b) > 1-a-b
(1)
Do c <1 nên 1- c >0 ta có
(1-a).(1-b) ( 1-c) > 1-a-b-c
(1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d)
=1-a-b-c-d+ad+bd+cd
(1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d
12


Sỏch gii Ngi thy ca bn

/>
(Điều phải chứng minh)
ví dụ 4
1- Cho 0 2a 3 2b 3 2c 3 3 a 2 b b 2 c c 2 a

Giải :
Do a < 1 a 2 1 và
Ta có 1 a 2 .1 b 0 1-b- a 2 + a 2 b > 0
1+ a 2 b 2 > a 2 + b

mà 0< a,b <1 a 2 > a 3 , b 2 > b 3
Từ (1) và (2) 1+ a 2 b 2 > a 3 + b 3
Vậy a 3 + b 3 < 1+ a 2 b 2
Tương tự b 3 + c 3 1 b 2 c
c 3 + a3 1 c2a
Cộng các bất đẳng thức ta có :
2a 3 2b 3 2c 3 3 a 2 b b 2 c c 2 a
b)Chứng minh rằng : Nếu a 2 b 2 c 2 d 2 1998 thì ac+bd =1998

(Chuyên Anh 98 99)
Giải:
2
Ta có (ac + bd) + (ad bc ) 2 = a 2 c 2 + b 2 d 2 2 abcd a 2 d
= a2(c2+d2)+b2(c2+d2) =(c2+d2).( a2+ b2) = 19982
rỏ ràng (ac+bd)2 ac bd 2 ad bc 2 1998 2

2

b 2 c 2 - 2abcd =

ac bd 1998

2-Bài tập : 1, Cho các số thực : a1; a2;a3
=1

.;a2003 thỏa mãn : a1+ a2+a3 +

2

c hứng minh rằng : a 12 + a 22 a32 .... a 2003

2003- 2004Thanh hóa )
2,Cho a;b;c 0 thỏa mãn :a+b+c=1(?)
1
a

1
b

1
c

Chứng minh rằng: ( 1).( 1).( 1) 8

13

.+a2003

1
( đề thi vào chuyên nga pháp
2003


Sỏch gii Ngi thy ca bn

Phương pháp 5:

/>
dùng tính chấtcủa tỷ số

Kiến thức
1) Cho a, b ,c là các số dương thì
a
a ac
1 thì
b
b bc
a
a ac
b Nếu 1 thì
b bc
b

a Nếu

2)Nếu b,d >0 thì từ
a c
a ac c


b d
b bd d

`
ví dụ 1 :
Cho a,b,c,d > 0 .Chứng minh rằng
1

a
b

c
d



2
abc bcd cd a d ab

Giải :
Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có
a
a
ad
1

abc
abc abcd
a
a

Mặt khác :
abc abcd

(1)
(2)

Từ (1) và (2) ta có
a
a
ad

<
<
abcd
abc abcd

(3)

Tương tự ta có
b
b
ba


abcd bcd abcd
c
c
bc


abcd cd a abcd
d
d
d c


abcd d ab abcd

(4)
(5)
(6)

cộng vế với vế của (3); (4); (5); (6) ta có

14


Sỏch gii Ngi thy ca bn
1

/>
a
b
c
d



2 điều phải chứng minh
abc bcd cd a d ab

ví dụ 2 :
a c
a ab cd c

và b,d > 0 .Chứng minh rằng < 2
b d
b b d2 d
a c
ab cd
ab ab cd cd c

Từ < 2 2 2 2
b d
b
d
b
b d2 d2 d
a ab cd c

<
điều phải chứng minh
b b2 d 2 d

Cho: <
Giải:
Vậy

ví dụ 3 : Cho a;b;c;dlà các số nguyên dương thỏa mãn : a+b = c+d =1000
a
c

tìm giá trị lớn nhất của
giải :

b
d

Không mất tính tổng quát ta giả sử :

a
b
a
b
a ab b



Từ :
c
d
c
d
c cd d

a
1 vì a+b = c+d
c
b
a b
998 999
d
c d
a b 1 999
b, Nếu: b=998 thì a=1 =
Đạt giá trị lớn nhất khi d= 1; c=999
c d c
d
a b
1

Vậy giá trị lớn nhất của =999+
khi a=d=1; c=b=999
c d
999

a, Nếu :b 998 thì

15


Sỏch gii Ngi thy ca bn

/>
Phương pháp 6: Phương pháplàm trội
Lưu ý:

Dùng các tính bất đẳng thức để đưa một vế của bất đẳng thức về dạng tính được
tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn.
(*) Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn :
S = u1 u2 .... un
Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quát u k về hiệu của hai số hạng liên tiếp nhau:
uk ak ak 1

Khi đó :
S = a1 a2 a2 a3 .... an an 1 a1 an1
(*) Phương pháp chung về tính tích hữu hạn
P = u1u2 ....un
Biến đổi các số hạng u k về thương của hai số hạng liên tiếp nhau:
uk =

ak
ak 1

Khi đó P =

a1 a2
a
a
. ..... n 1
a2 a3
an 1 an 1

Ví dụ 1 :
Với mọi số tự nhiên n >1 chứng minh rằng
1
1
1
1
3


....

2 n 1 n 2
nn 4

Giải:
Ta có

1

1
1


n k n n 2n

với k = 1,2,3, ,n-1

Do đó:
1
1
1
1
1
n 1

...

...


n 1 n 2
2n 2 n
2n 2n 2

Ví dụ 2 :
Chứng minh rằng:
1

1

1
1

....
2 n 1 1
2
3
n





Với n là số nguyên

16


Sách giải – Người thầy của bạn

/>
Gi¶i :
1
2
2


 2 k 1  k
k 2 k
k  k 1



Ta cã

Khi cho k ch¹y tõ 1 ®Õn n ta cã

1 > 2  2  1
1
2 3 2
2





1
 2 n 1  n
n





Céng tõng vÕ c¸c bÊt ®¼ng thøc trªn ta cã
1
1
1

 .... 

 2 n  1 1
2
3
n



1



VÝ dô 3 :
n

Chøng minh r»ng

1

k

2

2

n  Z

k 1

Gi¶i:
1

1
1
1



2
k
k k  1 k  1 k

Ta cã

Cho k ch¹y tõ 2 ®Õn n ta cã
1
1
 1
2
2
2
1 1 1
 
32 2 3
.................
1
1
1


2
n

n 1 n
1 1
1
 2  2  ....  2  1
2 3
n
n

VËy

1

k

2

2

k 1

17




Sỏch gii Ngi thy ca bn

/>
Phương pháp 7:
Dùng bất đẳng thức trong tam giác

Lưu ý: Nếu a;b;clà số đo ba cạnh của tam giác thì : a;b;c> 0
Và |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c ; |a-b| < c < b+a
Ví dụ1: Cho a;b;clà số đo ba cạnh của tam giác chứng minh rằng
a, a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac)
b, abc>(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b)
Giải
a)Vì a,b,c là số đo 3 cạnh của một tam giác nên ta có
0 a b c

0 b a c
0 c a b


a 2 a(b c)
2
b b(a c)
c 2 c(a b)




Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có
a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac)
b) Ta có a > b-c a 2 a 2 (b c) 2 > 0
b > a-c b 2 b 2 (c a) 2 > 0
c > a-b c 2 c 2 (a b) 2 0
Nhân vế các bất đẳng thức ta được

2



2



2

a 2b 2 c 2 a 2 b c b 2 c a c 2 a b
2

2



2

a b c a b c b c a c a b
abc a b c
. b c a
. c a b
2 2 2

Ví dụ2: (404 1001)

1) Cho a,b,c là chiều dài ba cạnh của tam giác
Chứng minh rằng ab bc ca a 2 b 2 c 2 2(ab bc ca)
2) Cho a,b,c là chiều dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 2

Chứng minh rằng a 2 b 2 c 2 2abc 2

18


Sỏch gii Ngi thy ca bn

/>
Phương pháp 8:

đổi biến số

Ví dụ1:

Cho a,b,c > 0 Chứng minh rằng

a
b
c
3


(1)
bc ca ab 2

Giải :
yzx
zx y
x yz
Đặt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b ta có a=

; b=
;c=
2
2
2
3
yzx z x y x yz

ta có (1)


2
2x
2y
2z
y z
x z
x y

1 1 1 3
x x
y y
z z
y x
z x
z y
( )( )( )6
x y
x z
y z

z x
y x
z y
2;
2 nên ta có điều
Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì ( 2;
x z
x y
y z

phải chứng minh
Ví dụ2:

Cho a,b,c > 0 và a+b+c <1
Chứng minh rằng
1
1
1
2
2
9
a 2bc b 2ac c 2ab

(1)

2

Giải:
Đặt x = a 2 2bc ; y = b 2 2ac ; z = c 2 2ab
Ta có x y z a b c 2 1

1
x

1
y

1
z

(1) 9

Với x+y+z < 1 và x ,y,z > 0

Theo bất đẳng thức Côsi ta có
x y z 3. 3 xyz
1
1 1 1
3. . 3
x y z
xyz

19


Sỏch gii Ngi thy ca bn


/>
x y z . 1 1 1 9
x

y

z

Mà x+y+z < 1
Vậy

1 1 1
9 (đpcm)
x y z

Ví dụ3:

Cho x 0 , y 0 thỏa mãn 2 x y 1 CMR x y
Gợi ý:
Đặt x u ,

y v

1
5

2u-v =1 và S = x+y = u 2 v 2 v = 2u-1 thay vào tính S min

Bài tập
1) Cho a > 0 , b > 0 , c > 0

CMR:

25a 16b
c


8
bc ca ab

2)Tổng quát m, n, p, q, a, b >0
CMR
ma
nb
pc
1



bc ca ab 2

20





2

m n p m n p


Sỏch gii Ngi thy ca bn

/>
Phương pháp 9:

dùng tam thức bậc hai

Lưu ý :
Cho tam thức bậc hai f x ax 2 bx c
Nếu 0 thì a. f x 0
x R
b
a
với x x1 hoặc x x2
với x1 x x2

Nếu 0 thì a. f x 0

x

Nếu 0 thì a. f x 0
a. f x 0

Ví dụ1:

Chứng minh rằng
f x, y x 2 5 y 2 4 xy 2 x 6 y 3 0

Giải:
Ta có (1) x 2 2 x2 y 1 5 y 2 6 y 3 0
2

2 y 1 5 y 2 6 y 3
4 y2 4 y 1 5y2 6 y 3
2

y 1 1 0

Vậy f x, y 0 với mọi x, y
Ví dụ2:

Chứng minh rằng





f x, y x 2 y 4 2 x 2 2 . y 2 4 xy x 2 4 xy 3

Giải:
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với





x 2 y 4 2 x 2 2 . y 2 4 xy x 2 4 xy 3 0
2

( y 1) .x 4 y 1 y x 4 y 2 0
2

2

2

Ta có 4 y 2 1 y 2 4 y 2 y 2 1 16 y 2 0
2

2

21

(1)

( x2 x1 )


Sỏch gii Ngi thy ca bn
Vì a = y 2 1 0 vậy f x, y 0
2

/>(đpcm)

Phương pháp 10: dùng quy nạp toán học
Kiến thức:
Để chứng minh bất đẳng thức đúng với n n0 ta thực hiện các bước sau :
1 Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n n0
2 - Giả sử BĐT đúng với n =k (thay n =k vào BĐT cần chứng minh được gọi là giả
thiết quy nạp )
3- Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k +1 (thay n = k+1vào BĐT cần

chứng minh rồi biến đổi để dùng giả thiết quy nạp)
4 kết luận BĐT đúng với mọi n n0
Ví dụ1:

Chứng minh rằng
1 1
1
1
2 .... 2 2
2
1 2
n
n

n N ; n 1

Giải :
1
4

Với n =2 ta có 1 2

1
2

(đúng)

Vậy BĐT (1) đúng với n =2
Giả sử BĐT (1) đúng với n =k ta phải chứng minh
BĐT (1) đúng với n = k+1

Thật vậy khi n =k+1 thì
(1)

1 1
1
1
1
2 .... 2
2
2
2
1 2
k
(k 1)
k 1

Theo giả thiết quy nạp


1 1
1
1
1
1
1
2 .... 2
2
2
2
2

2
1 2
k
(k 1)
k k 1
k 1



1
1
1
1
1

....




12
(k 1) 2 k 1 k 12 k

22

(1)


Sỏch gii Ngi thy ca bn

/>
k 11 1
k (k 2) (k 1) 2 k2+2k2
k
(k 1)

đẳng thức (1)được chứng minh
Ví dụ2: Cho n N và a+b> 0
n

a n bn
ab
Chứng minh rằng
(1)

2
2

Giải
Ta thấy BĐT (1) đúng với n=1
Giả sử BĐT (1) đúng với n=k ta phải chứng minh BĐT đúng với n=k+1
Thật vậy với n = k+1 ta có
ab

2

(1)

k 1



a k 1 b k 1
2

k

a k 1 b k 1
ab ab
(2)


.
2
2
2
a k b k a b a k 1 ab k a k b b k 1 a k 1 b k 1
Vế trái (2)
.


2
2
4
2
k 1
k 1
k 1

k
k
k 1
a b
a ab a b b


0
2
4
a k b k .a b 0
(3)





Ta chứng minh (3)
(+) Giả sử a b và giả thiết cho a -b a b
k

ak b bk



a

k

b k .a b 0
k

(+) Giả sử a < b và theo giả thiết - a a k b k .a b 0

Vậy BĐT (3)luôn đúng ta có (đpcm)

23


Sỏch gii Ngi thy ca bn

/>
Phương pháp 11:

Chứng minh phản chứng

Lưu ý:
1) Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng , ta hãy giả sử bất đẳng thức
đó sai và kết hợp với các giả thiết để suy ra điều vô lý , điều vô lý có thể là điều trái
với giả thiết , có thể là điều trái ngược nhau .Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng
minh là đúng
2) Giả sử ta phải chứng minh luận đề G K
phép toán mệnh đề cho ta :
Như vậy để phủ định luận đề ta ghép tất cả giả thiết của luận đề với phủ định kết
luận của nó .
Ta thường dùng 5 hình thức chứng minh phản chứng sau :

A - Dùng mệnh đề phản đảo : K G
B Phủ định rôi suy trái giả thiết :
C Phủ định rồi suy trái với điều đúng
D Phủ định rồi suy ra 2 điều trái ngược nhau
E Phủ định rồi suy ra kết luận :
Ví dụ 1:

Cho ba số a,b,c thỏa mãn a +b+c > 0 , ab+bc+ac > 0 , abc > 0
Chứng minh rằng a > 0 , b > 0 , c > 0
Giải :
Giả sử a 0 thì từ abc > 0 a 0 do đó a < 0
Mà abc > 0 và a < 0 cb < 0
Từ ab+bc+ca > 0 a(b+c) > -bc > 0
Vì a < 0 mà a(b +c) > 0 b + c < 0
a < 0 và b +c < 0 a + b +c < 0 trái giả thiết a+b+c > 0
Vậy a > 0 tương tự ta có b > 0 , c > 0

24


Sỏch gii Ngi thy ca bn

/>
Ví dụ 2:

Cho 4 số a , b , c ,d thỏa mãn điều kiện
ac 2.(b+d) .Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai:

, c 2 4d
a 2 4b
Giải :
Giả sử 2 bất đẳng thức : a 2 4b , c 2 4d đều đúng khi đó cộng các vế ta được
(1)
a 2 c 2 4(b d )
Theo giả thiết ta có 4(b+d) 2ac (2)
Từ (1) và (2) a 2 c 2 2ac hay a c 2 0 (vô lý)
Vậy trong 2 bất đẳng thức a 2 4b và c 2 4d có ít nhất một các bất đẳng thức sai

Ví dụ 3:

Cho x,y,z > 0 và xyz = 1. Chứng minh rằng
Nếu x+y+z >

1 1 1
thì có một trong ba số này lớn hơn 1

x y z

Giải :
Ta có (x-1).(y-1).(z-1) =xyz xy- yz + x + y+ z 1
1
x

1
y

1
z

=x + y + z ( ) vì xyz = 1
theo giả thiết x+y +z >

1 1 1

x y z

nên (x-1).(y-1).(z-1) > 0
Trong ba số x-1 , y-1 , z-1 chỉ có một số dương
Thật vậy nếu cả ba số dương thì x,y,z > 1 xyz > 1 (trái giả thiết)
Còn nếu 2 trong 3 số đó dương thì (x-1).(y-1).(z-1) < 0 (vô lý)
Vậy có một và chỉ một trong ba số x , y,z lớn hơn 1

25