Tính toán cấu trúc vùng năng lượng bằng phương pháp giả thế thực nghiệm

Tính toán cấu trúc vùng năng lượng của các chất bán
dẫn bằng phương pháp giả thế thực nghiệm
Trần Thiện Lân
Ngày 5 tháng 2 năm 2016
Tóm tắt nội dung
Cấu trúc vùng năng lượng (SEB) của các chất bán dẫn dựa trên phương pháp giả thế
thực nghiệm (EPM) là một trong những phương pháp tương đối dễ thực hiện tuy nhiên
lại cần sự tham gia của các tham số hiệu chỉnh từ thực nghiệm. Theo phương pháp EPM
ta chỉ cần giải phương trình Shroedinger cho một electron, do đó khối lượng tính toán rút
gọn khá nhiều - đây là ưu điểm của phương pháp EPM. Trong bài viết này tôi trình bày
lại bài viết của GS. Dragica Vasileska ở Đại học bang Arizona, Hoa kỳ. Ngoài những gì
đã được GS viết tôi xin mạn phép thêm vào những lí giải cụ thể của mình để bạn đọc có
thể hiểu rõ hơn về phương pháp EPM.

1

Giới thiệu

Cơ sở để khảo sát chuyển động hạt tải trong các bán dẫn là khảo sát cấu trúc vùng điện tử của
vật liệu phát sinh từ nghiệm của phương trình Shroedinger nhiều hạt trong sự hiện diện của
thế tuần hoàn của tinh thể, mà đã được thảo luận trong nhiều sách giáo trình về vật lí chất
rắn. Các nghiệm điện tử trong sự có mặt của thế tuần hoàn tinh thể có dạng hàm Bloch
ψn,k = un (k)eik.r ,

(1)

với k là véc-tơ sóng, và n kí hiệu cho chỉ số vùng tương ứng với các nghiệm khác nhau đối với
một véc-tơ sóng đã cho. Hàm tuần hoàn ô, un (k), có tính tuần hoàn của mạng tinh thể và biến
đổi nghiệm sóng truyền kết hợp với các điện tử tự do (hàm sóng phẳng đơn sắc).
Một cái nhìn nhanh về tính chất đối xứng của các hàm riêng sẽ cải thiện đáng kể sự hiểu biết
về sự tiến hóa của cấu trúc vùng. Đầu tiên, người ta bắt đầu bằng cách tìm kiếm các trị năng

lượng riêng của các nguyên tử đơn lẻ mà cấu thành tinh thể bán dẫn. Tất cả các bán dẫn có
liên kết tứ diện mà có lai hóa sp. Tuy nhiên, các nguyên tử đơn lẻ có các điện tử ở lớp ngoài
cùng (điện tử hóa trị) trong các orbital kiểu s và kiểu p. Các tính chất đối xứng (về hình học)
của những orbital này được thực hiện một cách rõ ràng bằng việc tìm những phần góc của
chúng
s=1
x √
px = = 3 sin θ cos ϕ
r
y √
py = = 3 sin θ sin ϕ
r
z √
pz = = 3 cos θ.
r

1

(2)


Hãy kí hiệu các trạng thái này là |S , |X , |Y và |Z . Một khi người ta đặt các nguyên tử
trong một tinh thể, các điện tử hóa trị lai hóa thành orbital sp3 mà dẫn đến hình thành liên
kết tứ diện. Tinh thể phát triển cấu trúc vùng của chính nó với các khe vùng cấm và vùng
được phép. Đối với các bán dẫn, người ta thường quan tâm về cấu trúc vùng dẫn và vùng hóa
trị. Nó chỉ ra rằng các trạng thái gần các biên vùng cư xử giống trạng thái |S và 3 trạng thái
kiểu p mà chúng đã có khi chúng là những nguyên tử riêng biệt.
Các phương pháp tính toán cấu trúc vùng điện tử có thể được phân thành hai danh mục

Hình 1: Cấu trúc vùng thông thường của bán dẫn. Đối với bán dẫn vùng cấm trực tiếp thì trạng

thái vùng dẫn tại k = 0 là giống như kiểu orbital s. Các trạng thái vùng hóa trị là tổ hợp tuyến
tính của các orbital p. Đối với bán dẫn vùng cấm gián tiếp, thậm chí các trạng thái cực tiểu
vùng dẫn có một số lượng orbital p tự nhiên hòa trộn vào trạng thái s.
[1]. Danh mục thứ nhất là các phương pháp ab initio, như là phương pháp Hartree-Fock hoặc
phương pháp Phiếm hàm mật độ (DFT), mà tính toán cấu trúc điện tử từ nguyên lí thứ nhất,
tức là không cần các tham số hiệu chỉnh thực nghiệm. Tổng quát thì những phương pháp này
tận dụng một cách tiếp cận đa dạng để tính năng lượng trạng thái cơ bản của một hệ nhiều
hạt, mà ở đó hệ được xác định tại mức độ nguyên tử. Các tính toán nguyên gốc được thực
hiện trên hệ thống chứa một vài nguyên tử. Ngày nay, các tính toán được thực hiện sử dụng
gần 1000 nguyên tử nhưng yêu cầu cao về mặt máy tính, thỉnh thoảng còn đòi hỏi những máy
tính song song cỡ lớn.
Đối lập với các cách tiếp cận ab initio là danh mục thứ hai bao gồm các phương pháp thưc
nghiệm, như là Sóng Phẳng Trực Giao (OPW) [2], liên kết chặt [3] (còn được gọi là phương
pháp kết hợp tuyến tính các orbital nguyên tử (LCAO)), phương pháp k.p [4], và phương pháp
giả thế thực nghiệm cục bộ [5], hoặc phương pháp giả thế thực nghiệm không cục bộ [6] (EPM).
2


Các phương pháp bao gồm các tham số thực nghiệm để khớp với dữ liệu thực nghiệm như là
các dịch chuyển vùng đến vùng tại các điểm đối xứng cao cụ thể mà đã thu được từ các thí
nghiệm hấp thụ quang học. Điều thú vị của những phương pháp này là cấu trúc điện tử có thể
được tính toán bằng cách giải một phương trình Schroedinger một điện tử (SWE). Theo đó,
các phương pháp thực nghiệm đòi hỏi ít hơn về mặt máy tính so với các tính toán ab initio và
cung cấp một phương pháp tương đối dễ dàng để tạo ra cấu trúc vùng điện tử.

2

Phương pháp giả thế thực nghiệm

Khái niệm giả thế được đưa ra bởi Fermi [7] để nghiên cứu các trạng thái nguyên tử nằm ở

mức cao. Về sau, Hellman đã đề xuất rằng giả thế có thể được dùng cho việc tính toán các
mức năng lượng của các kim loại kiềm [8]. Sự sử dụng rộng rãi phương pháp giả thế đã không
xảy ra cho đến cuối thập kỉ 1950s, khi đó hoặt động trong lĩnh vực của vật lí chất rắn bắt đầu
được tăng tốc. Lợi thế chính của việc sử dụng giả thế là chỉ các điện tử vùng hóa trị cần được
xem xét. Các điện tử lõi được xem như thể chúng bị đông đặc trong một cấu hình nguyên tử.
Do đó, các điện tử vùng hóa trị được xem là chuyển động trong một thế yếu một
electron.
Phương pháp giả thế dựa trên phương pháp sóng phẳng trực giao (OPW) do Herring [2]. Trong
phương pháp này, hàm sóng tinh thể ψk được xây dựng sao cho trực giao với các trạng thái
lõi. Điều này được hoàn thành bằng cách khai triển ψk như một phần trơn của sự kết hợp đối
xứng của các hàm Bloch ϕk , mà được thêm vào một sự kết hợp tuyến tính của các trạng thái
lõi. Điều này được diễn tả như sau
bk Φk,t ,

ψk = ϕk +

(3)

t

với bk,t là các hệ số trực giao và Φk,t là các hàm sóng lõi. Đối với Si-14, tổng theo t trong phương
trình (3) là một tổng theo tất cả các trạng thái lõi 1s2 2s2 2p6 . Do hàm sóng tinh thể được xây
dựng để trực giao với các hàm sóng lõi nên các hệ số trực giao có thể tính được, theo đó ta thu
được biểu thức cuối cùng
ψk = ϕk −

Φk,t |ϕk Φk,t ,

(4)

t

Để thu được một phương trình sóng cho ϕk , toán tử Hamiltonian là
H=

p2
+ VC ,
2m

(5)

được áp dụng cho (4), với VC là thế hút của lõi, và thu được phương trình sóng sau đây
p2
+ VC + VR ϕk = Eϕk ,
2m

(6)

với VR đặc trưng cho thế năng đẩy tương tác gần và không Hermit có dạng
(E − Et ) Φk,t |ϕk

VR =

ϕk

t

,

(7)

Et trong phương trình (7) đặc trưng cho giá trị riêng năng lượng nguyên tử, và tổng theo t
là tổng theo các trạng thái lõi. Kết quả đã cho trong phương trình (6) có thể được xem như
phương trình sóng cho hàm giả-sóng, ϕk , nhưng trị năng lượng riêng E tương ứng với năng
3


lượng thật của hàm sóng tinh thể ψk . Hơn nữa, như một kết quả của quá trình trực giao, thế
năng đẩy VR , mà có tác dụng triệt tiêu thế năng hút VC , đã được đưa vào Hamiltonian hàm
giả-sóng. Kết quả là thu được một giả-thế năng biến đổi chậm Vp = VC + VR . Kết quả này được
biết như định lí triệt tiêu Phillips-Kleinman [9] mà cung cấp sự giải thích tại sao cấu trúc điện
tử của các electron hóa trị liên kết chặt có thể được mô tả bằng cách sử dụng một mô hình
electron gần tự do và thế năng tương tác yếu. Để đơn giản bài toán hơn, mô hình giả thế được
sử dụng thay cho giả thế thật.
Hình [?] tóm tắt các mô hình khác nhau đã được sử dụng. Chú ý rằng các biến đổi Fourier 3D
(cho hệ khối) của mỗi một mô hình đã được mô tả ở trên các thế năng có dạng tổng quát sau
V (q) ∼

Ze2
cos(qrc )
2
0q

(8)

Giả thế phụ thuộc q này sau đó được sử dụng để tính cấu trúc vùng năng lượng dọc theo các
hướng tinh thể khác nhau, sử dụng quá trình đã được khái quát trong mục sau này.

Hình 2: Các mô hình giả thế khác nhau.

4


3

Mô tả phương pháp giả thế thực nghiệm

Từ mục trước định lí triệt tiêu Phillips-Keinman cung cấp một phương tiện để đơn giản hóa
bài toán vùng năng lượng thành bài toán một điện tử. Vì mục đích này, phương trình (6) có
thể được viết lại như sau
p2
+ VP φk = Eφk ,
(9)
2m
với VP là giả thế tinh thể biến thiên chậm. Tổng quát VP là một sự kết hợp tuyến tính của
các thế nguyên tử, Va , mà có thể được diễn tả như tổng theo các véc-tơ dịch chuyển R và các
véc-tơ nguyên tử cơ sở τ để đưa đến biểu thức sau
Va (r − R − τ )

VP (r) =
R

(10)

τ

Để đơn giản hơn, tổng bên trong theo τ có thể được mô tả như thế năng tổng, Vo , trong ô đơn
vị định xứ tại R. Khi đó phương trình (10) có thể trở thành
Vo (r − R)

VP (r) =

(11)

R

Bởi vì thế tinh thể là tuần hoàn nên giả thế cũng là hàm tuần hoàn và có thể được khai triển

Hình 3: VP (r) là giả thế tinh thể tại điểm M có tọa độ r so với gốc tọa độ O. Giả thế này phụ
thuộc vào khoảng cách từ nguyên tử đến điểm M thể hiện qua véc-tơ r − R − τ .

5


thành một chuỗi Fourier theo mạng đảo để thu được
Vo (G)eiG.r

VP (r) =

(12)

G

với Vo (G) là hệ số khai triển chuỗi Fourier theo các véc-tơ mạng đảo. Hệ số khai triển này có
thể tìm được theo công thức
Vo (G) =

1
Ω

d3 rVP (r)e−iG.r

(13)

Ω

Chứng minh:
Nhân về 2 vế của phương trình (12) biểu thức e−iG .r . Lấy tích phân cả 2 vế theo véc-tơ r trên
toàn thể tích ô đơn vị.
d3 rVP (r)e−iG .r =
G

Ω

d3 rei(G−G ).r .

Vo (G)
Ω

Chỉ khi G = G thì tích phân này mới khác không. Giá trị của tích phân khi đó sẽ bằng
d3 rei(G−G ).r =

1
.
Ω

Ω

Từ đó ta tìm được công thức (12) sau khi viết lại G thành G.
Để áp dụng hình thức luận này cho mạng zincblende, cách thuận tiện là người ta chọn một cơ

Hình 4: Mô hình mạng tinh thể dạng kim cương và Zinc-Blende. τ được xác định như khoảng
cách giữa hai nguyên tử trong một ô cơ sở của các mạng lập phương tâm mặt lồng vào nhau.
Khi hai nguyên tử trong ô cơ sở ấy khác loại nhau thì ta có cấu trúc Zinc-Blende.
sở 2 nguyên tử có trung điểm nằm tại gốc (R = 0). Nếu các véc-tơ nguyên tử cơ sở được cho
bởi τ1 = τ = −τ2 , với τ , là véc-tơ nguyên tử cơ sở, được xác định theo hằng số mạng ao như
τ = ao (1/8, 1/8, 1/8), VP (r) có thể được diễn tả như sau
VP (r) = V1 (r − τ ) + V2 (r + τ ),

(14)

với V1 và V2 là các thế năng nguyên tử của cation và anion. Thay phương trình (14) vào phương
trình (13), và sử dụng tính chất dịch chuyển của biến đổi Fourier, VP (r) có thể được viết lại
như
Vo (G) = eiG.τ V1 (G) + e−iG.τ V2 (G).
(15)
6


Chuyển dạng exp của các số phức thành dạng cosin và sin. Ta có công thức
Vo (G) = cos (G.τ ) V1 (G) + V2 (G) + i sin (G.τ ) V1 (G) − V2 (G) .
Viết lại hệ số Fourier của thế năng nguyên tử dưới dạng các hệ số cấu tạo đối xứng VS (G) =
V1 (G) + V2 (G) và phản đối xứng VA (G) = V1 (G) − V2 (G), Vo (G) được cho bởi
Vo (G) = VS (G) cos (G.τ ) + iVA (G) sin (G.τ ),

(16)

với các hệ số trước được xem như là các hệ số cấu trúc đối xứng và phi đối xứng. Các hệ số
cấu trúc ở trên được xem như các tham số có thể hiệu chỉnh mà có thể khớp với dữ liệu thực
nghiệm, do đó phương pháp được đặt tên là giả thế thực nghiệm. Đối với các vật liệu mạng

tinh thể kim cương, với 2 nguyên tử đồng nhất trên ô đơn vị, thì VA = 0 và hệ số cấu trúc đơn
giản là cos(G.τ ). Đối với mạng tinh thể zinc-blende, giống như mạng tinh thể trong hệ thống
vật liệu GaAs, VA = 0 và hệ số cấu trúc là phức tạp hơn.
Bây giờ với số hạng thế năng đã được cụ thể, nhiệm vụ tiếp theo là phải viết lại phương trình
Shroedinger dưới dạng ma trận. Hãy nhớ lại rằng nghiệm đối với phương trình sóng Shroedinger
trong một mạng tuần hoàn là một hàm Bloch, mà là tổ hợp của một thành phần sóng phẳng
và một phần ô tuần hoàn mà có tính chất tuần hoàn của mạng tinh thể, tức là
ϕk (r) = eik.r uk (r) = eik.r

U (G)eiG.r .

(17)

G

Bằng cách khai triển phần ô tuần hoàn uk (r) của hàm Bloch mà xuất hiện trong phương trình
(17) thành các thành phần của chuỗi Fourier, và thay vào hàm sóng giả thế ϕk và thế năng VP
vào phương trình sóng Schroedinger, ta thu được phương trình ma trận sau



 2 (k + G)2
Vo (G − G )U (G ) = 0.
(18)
− E U (G) +


2m
G

G

Biểu thức được cho trong phương trình (18) là bằng không khi mỗi số hạng trong tổng là đồng
nhất bằng không, mà hàm ý điều kiện sau
2

(k + G)2
− E U (G) +
2m

Vo (G − G )U (G ) = 0.

(19)

G

Trong cách này, sự tính toán cấu trúc vùng được giảm về giải bài toán trị riêng đã được chỉ ra
cụ thể bởi phương trình (19) đối với năng lượng E. Hiển nhiên từ phương trình (17), U (G là
thành phần Fourier của phần ô tuần hoàn của hàm Bloch. Số véc-tơ mạng đảo được sử dụng
để xác định kích thước ma trận và độ chính xác của tính toán.
Bài toán trị riêng của phương trình (19) có thể được viết trong dạng quen thuộc hơn HU = EU,
với H là ma trận, U là một véc-tơ cột đại diện cho các véc-tơ riêng, và E là trị riêng năng lượng
tương ứng với véc-tơ riêng của nó. Đối với mạng tinh thể kim cương thì yếu tố ma trận chéo
của H được cho bởi
2
(k + Gi )2
Hii =
+ VS (0).
(20)
2m

Số hạng VS (0) trong phương trình (20) thường được bỏ qua bởi vì số hạng này chỉ làm cho
năng lượng của các vùng dịch chuyển một lượng giá trị. Cái mà ta quan tâm là độ lệch năng

7


Nhóm G theo đơn vị (2π/ao )2
(0,0,0)
(1,1,1)
(2,0,0)
(2,2,0)
(3,1,1)
(2,2,2)
(4,0,0)
(3,3,1)

Số hoán vị
1
8
6
12
24
8
6
24

Tổng số yếu tố |G|2 (2π/ao )2
1
0
9

3
15
4
27
8
51
11
59
12
65
16
89
19

Bảng 1: Các mặt kề cận gần nhất trong không gian mạng đảo được viết theo các véc-tơ đơn vị
Đề-các có đơn vị (2π/ao ). Các hệ số cấu tạo giả thể thường được lấy đến G2 = 11.
lượng giữa vùng dẫn và vùng hóa trị cho nên mức năng lượng có giá trị chính xác bao nhiêu
không quan trọng. Đối với các yếu tố ma trận không nằm trên đường chéo của H được cho bởi
Hij = Vo (Gi − Gj ) = VS (Gi − Gj ). cos (Gi − Gj ).τ .

(21)

Nghiệm đối với các trị năng lượng riêng và các véc-tơ riêng tương ứng có thể tìm được bằng
cách chéo hóa ma trận H .

4

Thực hiện phương pháp giả thế thực nghiệm cho bán
dẫn Si và Ge

Đối với một hệ bán dẫn thông thường, 137 sóng phẳng là thích hợp, mỗi sóng phẳng tương
ứng với một véc-tơ trong mạng đảo, để khai triển giả thế. Mạng đảo của lập phương tâm
mặt (FCC), tức là cấu trúc kim cương hoặc zinc-blende, là một cấu trúc lập phương tâm khối
(BCC). Vì vậy các véc-tơ mạng đảo tương ứng với một mạng lập phương tâm khối. Các véc-tơ
mạng đảo lên đến 10 nút mạng gần nhất bao quanh tính từ gốc và thường được xem xét mà
sinh ra 137 sóng phẳng cho cấu trúc zinc-blende. Số nhỏ hơn của các nút mạng gần nhất sẽ
cho kết quả kém chính xác hơn.
• Tại sao lại có 137 sóng phẳng? Con số này tính toán từ đâu?
• Tại sao lại có 10 nút mạng đảo gần nhất? Chỉ số tọa độ của các nút mạng ấy
là gì?
Sau nhiều ngày liền trăn trở suy nghĩ lan man mọi hướng, xem xét nhiều mô hình mô phỏng ô
cơ sở mạng thuận và mạng đảo của mạng lập phương tâm mặt tôi đã tìm ra lời giải cho thắc
mắc đến chân tơ kẽ tóc của mình.
Thứ nhất: Mạng Zinc-Blende không phải là mạng Bravais. Vậy thì là mạng gì? Nó là sự hợp
nhất của mạng Bravais lập phương tâm mặt (FCC) và một ô cơ sở gồm 2 nguyên tử (có thể
khác loại hoặc cùng loại). Các bạn có thể tưởng tượng một mạng FCC, tại các nút mạng các
bạn thay thế bằng một ô cơ sở gồm 2 nguyên tử có các tọa độ (0,0,0) và (1/4;1/4;1/4). Việc
thay thế này thực hiện ở mọi nút của FCC thì bạn sẽ thu được một ô mạng Zinc-Blende. Hãy
xem hình 5 để hiểu rõ hơn.
Thứ hai: Xem mạng Zinc-Blende là mạng Bravais FCC có các véc-tơ cơ sở là

8


Hình 5: Mạng Zinc-Blende là sự hợp nhất của ô cơ sở gồm 2 nguyên tử ở các tọa độ (0,0,0) và
(1/4;1/4;1/4) với một mạng FCC.
a
a1 = (0; 1; 1),
2
a

a2 = (1; 0; 1),
2
a
a3 = (1; 1; 0).
2
Có thể tính được các véc-tơ mạng đảo của mạng FCC bằng các công thức sau:
[a2 , a3 ]
,
a1 [a2 , a3 ]
[a3 , a1 ]
,
b2 = 2π
a1 [a2 , a3 ]
[a1 , a2 ]
b3 = 2π
.
a1 [a2 , a3 ]
b1 = 2π

Tính toán chi tiết tích hữu hướng [a2 , a3 ] như sau:
a2 i j k
[a2 , a3 ] =
1 0 1
4
1 1 0
2
a
0 1
1 1
1 0

=
i
−j
+k
1 0
1 0
1 1
4
2
a
=
−1i + 1j + 1k .
4
Thể tích của ô cơ sở:
Ω = a1 [a2 , a3 ] =

a3
0i + j + k
8
9

−i + j + k =

a3
.
4


Từ các phép tính tương tự như trên ta tính được véc-tơ mạng đảo có dạng:
2π

(−1; 1; 1),
a
2π
b2 =
(1; −1; 1),
a
2π
(1; 1; −1).
b3 =
a
b1 =

Từ hệ cơ sở này ta xây dựng được mạng đảo của mạng FCC là mạng lập phương tâm khối
(BCC) với hằng số mạng đảo là
4π
b=
a
Thứ ba: Xét một ô mạng đảo BCC, trong ô mạng đảo này sẽ có 9 nguyên tử (nguyên tử quy
ước trong ô mạng đảo) với một nguyên tử nằm ở tâm của hình lập phương. 8 nguyên tử còn
lại nằm ở 8 đỉnh của hình lập phương. Chọn gốc tọa độ tại một đỉnh của ô mạng, các đỉnh
còn lại nằm trên các phần dương của các trục tọa độ Ox, Oy và Oz. Chọn đơn vị của hằng số
mạng đảo là 2π, a thì ta có tọa độ của các nguyên tử là: (0;0;0), (1;1;1), (2;0;0), (0;2;0), (0;0;2),
(2;2;0), (2;0;2), (0;2;2) và (2;2;2). Thực hiện các phép tịnh tiến ô cơ sở mạng đảo để xây dựng
mạng đảo. Ví dụ hướng x, y và z lần lượt tiến hoặc lùi 2 đơn vị; Sau quá trình này ta sẽ thu
được tọa độ của tất cả các nguyên tử xung quanh vị trí gốc (0;0;0). Tính khoảng cách từ gốc
đến tất cả các nguyên tử mà ta tịnh tiến thu được rồi sắp xếp theo thứ tự khoảng cách từ nhỏ
đến lớn ta sẽ được các khoảng cách cho ở bảng 2.
Trong bảng 2, số hoán vị có nghĩa là tìm ra tất cả các nguyên tử khả dĩ có cùng một khoảng
STT
1

2
3
4
5
6
7
8
9
10
Tổng

G2 Nhóm nút Số hoán vị
0
(0;0;0)
1
3
(1;1;1)
8
4
(2;0;0)
6
8
(2;2;0)
12
11
(3;1;1)
24
12
(2;2;2)
8

16
(4;0;0)
6
19
(3;3;1)
24
20
(4;2;0)
24
24
(4;2;2)
24
số véc-tơ sóng G
137

Bảng 2: Tổng số véc-tơ sóng G
cách đến gốc tọa độ. Các nguyên tử cùng khoảng cách được xếp vào một nhóm. Ta sẽ thấy có
10 nhóm tọa độ tất cả đại diện cho 137 nguyên tử trong mạng đảo gần gốc tọa độ nhất cũng
là 137 véc-tơ sóng G khả dĩ mà ta sẽ dùng làm bộ véc-tơ G dùng để khai triển Fourier các hàm
thế năng. Để tìm số hoán vị của một nhóm tọa độ ta sẽ đổi chỗ các giá trị tọa độ cho nhau
đồng thời thêm dấu ” + ” hoặc ” − ” vào các giá trị tọa độ.
• Nhóm (0;0;0) có 1 cách chọn.
• Nhóm (1;1;1) tọa độ hoành độ có 2 cách chọn dấu, mỗi cách chọn dấu của hoành độ có
2 cách chọn dấu của tung độ, mỗi cách chọn dấu của tung độ lại có 2 cách chọn dấu của
cao độ. Như vậy ta có 2.2.2 = 8 khả năng hoán vị.
10


Si
Ge

a1
a2
a3
a4
a5 a6
106.0686 2.2278 0.6060 -1.9720 5.0 0.3
54.4512 2.3592 0.7400 -0.3800 5.0 0.3
Bảng 3: Các hệ số a1 đến a6 của Si và Ge.

• Nhóm (2;0;0) Có 3 cách chọn vị trí đặt số 2. Mỗi cách lại có 2 cách chọn dấu cho số 2.
Vì vậy có 6 tọa độ khả dĩ.
• Nhóm (2;2;0) có 3 cách chọn vị trí đặt số 0. Mỗi cách lại có 4 cách chọn dấu cho các số
2. Vì vậy có 12 tọa độ khả dĩ.
• Nhóm (3;1;1) có 3 cách chọn vị trí đặt số 1. Mỗi cách lại có 8 cách chọn dấu cho các số 3
và 1. Vì thế có 24 tọa độ.
• Nhóm (2;2;2) có 8 tọa độ khả dĩ.
• Nhóm (4;0;0) có 6 tọa độ khả dĩ.
• Nhóm (3;3;1) tương tự như nhóm (3;1;1) ta có 24 nút mạng.
• Nhóm (4;2;0) có 6 vị trí hoán vị các số 4, 2 và 0. Mỗi cách hoán vị lại có 4 cách đặt dấu.
Vì vậy có 24 nút mạng.
• Nhóm (4;2;2) tương tự như nhóm (3;1;1) có 24 nút mạng.
Tóm lại ta sẽ thu được tổng số 137 nút gần nhất kể cả gốc tọa độ.
Thứ tư: Ô cơ sở Wigner Seitz của mạng đảo được gọi là miền Brillouin đầu tiên (fBz). Hiểu
được cách tạo miền này cũng đóng vai trò rất quan trọng trong quá trình tính toán vùng năng
lượng theo các hướng khác nhau của tinh thể mạng đảo. Cách tạo ra ô Wigner Seitz là dựng
các mặt phẳng trực giao với các đường thẳng nối từ điểm gốc tọa độ đến nút gần gốc tọa độ
nhất. Mặt phẳng ấy phải đi qua trung điểm nằm trên đoạn nối từ gốc cho đến nút gần nhất
đang xét. Cứ như vậy ta sẽ vẽ được các mặt được cắt bởi các mặt phẳng giao nhau. Cuối cùng
ta sẽ được fBz.

Bình phương của khoảng cách từ gốc tọa độ đến mỗi tập hợp tương đương của nút mạng đảo
là một số nguyên trong tập hợp {0, 3, 4, 8, 11, 12, 16, 19, 20, 24} với |G|2 được biểu diễn theo đơn
vị (2π/ao )2 . Chú ý rằng đối số của số hạng giả thế VS trong phương trình (21) là véc-tơ hiệu
giữa các véc-tơ mạng đảo sẽ cũng hình thành tập hợp của các số nguyên đã được mô tả ở trên.
Điều này có nghĩa là VS chỉ cần được tính tại một số điểm rời rạc tương ứng với các nút mạng
gần nhất. Mặt khác, giả thế là một đại lượng liên tục. Vì vậy, biến đổi Fourier của nó VS (q)
cũng là một đại lượng liên tục mà được biểu diễn ở hình 4. Những điểm tương ứng với các nút
gần nhất cũng được chỉ ra trên hình.
Hãy nhớ lại rằng giả thế chỉ cần được tính tại một số điểm gián đoạn dọc theo đường cong
V (q). Các điểm gián đoạn tương ứng với các giá trị q 2 mà phù hợp với tập số nguyên đã được
mô tả trước đây.
Công thức hiệu chỉnh cho các hệ số cấu tạo đối với Si và Ge là:
V (q) =

a1 (q 2 − a2 ) 1
tanh
ea3 (G2 −a4 ) + 1 2

a5 − q 2 1
+
a6
2

(22)

với các hệ số a1 đến a6 có những giá trị như ở bảng 4. Đối với q 2 = 4 các hệ số cosin trong
phương trình (21) sẽ luôn luôn triệt tiêu. Hơn nữa, đối với các giá trị của q 2 lớn hơn 11, V (q)
nhanh chóng tiệm cận về không. Điều này có lí do từ thực tế rằng giả thế là một hàm biến
11

Hình 6: Biến đổi Fourier của giả thế V (q) với q = |G − G |.
thiên chậm, và chỉ vài sóng phẳng là cần thiết để trình bày giả thế thôi. Nếu một hàm là biến
thiên nhanh trong không gian thì cần nhiều sóng phẳng hơn. Một lợi thế nữa của phương pháp
giả thế là chỉ cần ba tham số để mô tả cấu trúc vùng của vật liệu không phân cực.
Sử dụng các hệ số cấu tạo đã được liệt kê trong bảng ??, với các hệ số cấu tạo Si được lấy từ

Hình 7: Các hệ số cấu tạo của giả thế cục bộ.
[10] và các hệ số cấu tạo Ge được lấy từ [11], cấu trúc vùng năng lượng đối với Si và Ge được
vẽ trong hình ở tài liệu [?]. Chú ý rằng tương tác spin-quỹ đạo không được kể đến trong những
12


mô phỏng này. Các hằng số mạng đã được chỉ định cụ thể cho Si và Ge là 5.43˚
Avà 5.65˚
A. Cấu
trúc vùng thu được theo trình tự sau.
Bắt đầu quá trình mô phỏng, các véc-tơ mạng đảo G phải được tạo ra bằng cách sử dụng

Hình 8: Thuật toán thực hiện phương pháp giả thế thực nghiệm.
thông tin đã cho ở hình 3. Các véc-tơ mạng đảo được cho trong hình 3 dẫn đến 89 véc-tơ.
Những véc-tơ này được đặt tên như sau: G1 = (0, 0, 0), G2 = (1, 1, 1), G3 = (1, 1, −1), . . .
G89 = (−3, −3, −1). Một khi các véc-tơ G được tạo ra, người ta đã sẵn sàng với tính toán cấu
trúc vùng. Trong quá trình này, được minh họa ở hình 5, đầu tiên người ta định nghĩa một
véc-tơ k dựa trên thông tin dọc theo hướng đối xứng cao mà chúng ta muốn vẽ cấu trúc vùng.
Các điểm đối xứng cao và các đường đối xứng cao tương ứng được cho trong hình 6. Sau đó,
các yếu tố ma trận Hij được tính với i = 1,2, . . . 89 và j = 1,2, . . . 89 theo công thức (17), (18).
Sau khi ma trận H được xây dựng, bộ phận giải phương trình trị riêng trong MATLAB được
gọi sử dụng lệnh eigen(H). 89 trị riêng sẽ là nghiệm và chúng được sắp xếp theo thứ tự tăng
dần và 8 trị riêng thấp nhất đầu tiên được lưu giữ lại. Sau đó, nếu tất cả các hướng đối xứng

cao đã được xử lí thì quá trình được kết thúc và chương trình vẽ các trị riêng như một hàm
theo k. Nếu không, k được tăng dọc theo cùng hướng đối xứng và quá trình xử lí được lặp lại
cho đến khi hoàn tất. Các điểm đối xứng cao đối với vật liệu zinc-blende được cho trong hình
6.
Si là một bán dẫn vùng cấp gián tiếp. Vùng cấm chính của nó, tức là vùng cấm cực tiểu, được
tính toán từ các cực đại vùng hóa trị tại điểm Γ đến các cực tiểu vùng dẫn dọc theo hướng
∆, 85% của khoảng cách từ Γ đến X. Khe vùng của Si, sử dụng các tham số từ tài liệu [6], có
kết quả tính toán là EgSi = 1.08 eV, phù hợp với dữ liệu thực nghiệm. Ge cũng là một bán dẫn
13


Hình 9: Vùng Brillouin đầu tiên của mạng đảo của các bán dẫn có cấu trúc Kim cương (C, Si,
Ge) và Zinc-blende (GaAs, InAs, CdTe, . . . ). Có 08 mặt lục giác (vuông góc với [111]) và 06
mặt hình vuông (vuông với [100]). Các cạnh của các hình lục giác và hình vuông là bằng nhau.
vùng cấm gián tiếp. Vùng cấm của nó được xác định từ đỉnh của vùng hóa trị tại điểm Γ đến
các cực tiểu vùng dẫn tại L. Khe vùng của ge được tính là EgGe = 0.73 eV. Vùng cấm trực tiếp,
mà được xác định từ các cực đại vùng hóa trị tại điểm Γ đến các cực tiểu vùng dẫn tại điểm
Γ, có kết quả là 3.27 eV và 0.82 eV tương ứng đối với Si và Ge. Chú ý rằng sự uốn cong của
đỉnh vùng hóa trị của Ge là lớn hơn so với Si. Điều này phù hợp với thực tế rằng khối lượng
lỗ trống hiệu dụng của Si là lớn hơn so với Ge. Chú ý rằng khi tính đến tương tác Spin-quỹ
đạo sẽ dẫn đến suy biến bội ba của các vùng tại điểm Γ, dẫn đến các vùng lỗ trống nặng và
nhẹ suy biến kép và một vùng tách kéo mức năng lượng thấp xuống vài phần mười meV (phụ
thuộc vào việc đang xét vật liệu nào).
Tóm lại, phương pháp giả thế cục bộ đã mô tả trong mục này là khá tốt cho sự mô tả chính
xác của các vùng cấm quang học. Tuy nhiên, như đã lưu ý bởi Chelikowsky và Cohen [13], khi
những tính toán cục bộ này được mở rộng để thu được mật độ trạng thái điện tử vùng hóa trị
thì kết quả thu được khá xa so với thực tế. Lí do cho sự khác biệt này xuất phát từ sự bỏ qua
các lõi thấp (sâu) trong việc rút ra giả thế trong mục trước đây. Như đã được lưu ý điều này
cho phép việc sử dụng hệ cơ sở sóng phẳng đơn sắc đơn giản. Để hiệu chỉnh những lỗi trên,
một số hạng hiệu chỉnh phi cục bộ phụ thuộc năng lượng đã được đưa vào thế nguyên tử cục

bộ. Điều này tăng số tham số cần sử dụng lên nhưng dẫn đến sự hội tụ tốt hơn và kết quả cấu
trúc vùng chính xác hơn [14],[15].

Tài liệu
[1] P. Y. Yu and M. Cardona, Fundamentals of Semiconductors, Springer-Verlag, Berlin, 1999.
[2] C. Herring, Phys. Rev., 57 (1940) 1169.
[3] D. J. Chadi and M. L. Cohen, Phys. Stat. Sol. (b), 68 (1975) 405.
14


Hình 10: Cấu trúc vùng năng lượng của Si.
[4] J. Luttinger and W. Kohn, Phys. Rev., 97 (1955) 869.
[5] M. L. Cohen and T. K. Bergstresser, Phys. Rev., 141 (1966) 789.
[6] J. R. Chelikowsky and M. L. Cohen, Phys Rev. B, 14 (1976) 556.
[7] E. Fermi, Nuovo Cimento, 11 (1934) 157.
[8] H. J. Hellman, J. Chem. Phys., 3 (1935) 61.
[9] J. C. Phillips and L. Kleinman, Phys. Rev., 116 (1959) 287.
[10] J. R. Chelikowsky and M. L. Cohen, Phys Rev. B, 10 (1974) 12.
[11] L. R. Saravia and D. Brust, Phys. Rev., 176 (1968) 915.
[12] S. Gonzalez, Masters Thesis, Arizona State University, 2001.
[13] J. R. Chelikowsky and M. L. Cohen, Phys. Rev. B, 10 (1974) 5059.
[14] K. C. Padney and J. C. Phillips, Phys. Rev. B, 9 (1974) 1552.
[15] D. Brust, Phys. Rev. B, 4 (1971) 3497.

15


Hình 11: Cấu trúc vùng năng lượng của Ge.

16