ĐỀ TOÁN 12 hay bổ ích

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NINH BÌNH

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT
NĂM HỌC 2011 - 2012
Môn: Toán

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm 05 câu trong 01 trang
Câu 1 (5 điểm):
Cho hàm số y = f ( x) = −4 x 3 + 3x (1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C) của hàm số (1).
2. Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình: 4 x 3 − 3 x = 4m3 − 3m
Câu 2 (5 điểm):
1. Giải phương trình sau trên tập số thực:
2. a) Chứng minh rằng với mọi a ≠
b) Giải phương trình sau:

3x

3

+ x+2

3

+ ( x 3 − 3 x + 1)32 x − x = 34 x +1

π

π
1
1
sin 2 a
+ k , k ∈ Z thì
−
= −4
6
3
cos a cos 3a
cos 3a
2
2
2
sin x sin 3 x sin 9 x
+
+
=0
cos 3 x cos 9 x cos 27 x

Câu 3 (5 điểm):
1. Cho hình chóp đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy là a (a > 0). Biết các mặt bên tạo với mặt
π
đáy góc có số đo bằng . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và số đo của góc giữa hai
4

mặt phẳng (SAD) và (SCD).
2. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Mặt phẳng (P) chứa cạnh BC cắt cạnh AD tại E. Biết góc
5 2
giữa hai mặt phẳng (P) và (BCD) có số đo là α thỏa mãn tan α =

. Gọi thể tích của hai tứ
7

diện ABCE và tứ diện BCDE lần lượt là V1 và V2 . Tính tỷ số

V1
.
V2

Câu 4 (3 điểm):
 x = −1 − 2t

1. Trong không gian (Oxyz), cho đường thẳng d có phương trình  y = 4 + t
(t ∈ R )
 z = 1 + 2t


và A(4;-2;0). Lập phương trình mặt phẳng (Q) qua d và cách điểm A một khoảng lớn nhất.
2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho phương trình sau có nghiệm thực:
x − x −1 + x − 4 − x − 3 = m
Câu 5 (2 điểm):
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = 2012 .

x3
y3
z3
+
+
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2
x + xy + y 2 y 2 + yz + z 2 z 2 + zx + x 2

------ HẾT-----Họ và tên thí sinh:……………………………………Số báo danh:…………………
Chữ ký của giám thị số 1……………..

Chữ ký của giám thị số 2……………………….


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NINH BÌNH

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP …..
Môn:…………..

Năm học 2011 - 2012

I. HƯỚNG DẪN CHUNG
Người làm đề thi hướng dẫn các yêu cầu về chấm thi như: cách trình bày, giải thích,
làm tròn điểm, lỗi chính tả,…

II. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
CÂU

ĐÁP ÁN

ĐIỂM

Câu 1
(….. điểm)
Câu 2
(…. điểm)

Câu 3
(…..điểm)

Câu N
(…..điểm)

Ghi chú: Phần (LỚP……), người làm đề chọn 1 trong 3 lớp sau: lớp 9 THCS, lớp 12 THPT,
lớp 12 BTTHPT tương ứng với đề thi.