Ôn tập, Tổng hợp công thức Toán Ứng Dụng, Phương pháp tính

ÔN TẬP CUỐI KỲ
PHƯƠNG PHÁP TÍNH
I. Số gần đúng và sai số:
Sai số tương đối:  a
Sai số tuyệt đối:  a =  a . | a |
Số chữ số đáng tin: k  log ( 2  a )
Sai số luôn luôn làm tròn lên (bất kể quá bán hay không).

y  f ( x1 , x2 ,..., xn )
n

y  
i 1

f
 x1 , x2 ,..., xn  xi
 xi

II. Phương pháp trình phi tuyến:
1. Sai số tổng quát:

| f '( x ) |  m  0

| x *  x | 

| f ( x*) |
m

2. Phương pháp chia đôi:

|ba|

| x *  x |  n 1
2

[a,b]

3. Phương pháp lặp đơn:
[a,b] g (x)
| g’(x) | ≤ q ; 0 ≤ q < 1 : hệ số co
 Sai số:
| xn – x | ≤

( + x : lấy a , - x : lấy b )

qn
| x – x | (công thức tiên nghiệm)
1 q 1 0

=> xác định số lần lặp n
| xn – x | ≤


Tính sai số và nghiệm:
A= (q)
B = ( x0 )
C = g (B) :




q

| x – x | (công thức hậu nghiệm)
1  q n n-1

A
(C – B) : B = C
1 A

Tính nghiệm:
( x0 ) =
Tính số lần lặp:

n

g (Ans) =

log q  n  x1  x0 
log q

4. Phương pháp Newton :
 Điều kiện: f ‘(x) ≠ 0 trên [a,b]
f (x) f ’’(x)> 0
f ’(x) f ’’(x) < 0 => x0 = a
f ’(x) f ’’(x) > 0 => x0 = b

ATGroup

Page 1




Tổng quát:

f ( x n 1 )
f ' ( x n 1 )
| f '( x ) |  m  0
xn = xn-1 –



Tính nghiệm:
Ans -

( x0 ) =

f ( Ans )
=
f '( Ans )

 Tính sai số và nghiệm:
A = ( x0 )
f ( A)
f ( B)
B=A:
: A=B
f '( A)
m
III. Phương pháp Jacobi và phương pháp Gauss:
1. Phương pháp Jacobi:
 Khi n = 3:

A = ( x10 ) B = ( x20 ) C = ( x30 )

1
D=
a11 ( b1 – a12 B – a13 C ) :
1
E=
a 22 ( b2 – a21 A – a23 C ) :
1
F=
a 33 ( b3 – a31 A – a32 B ) :
A=D:B=E:C=F


Sai số:

|| x ( m )  x ||

|| x

(m)

|| T ||
|| x ( m )  x ( m 1) ||
1 || T ||

|| T ||m
 x ||
|| x(1)  x(0) ||

1 || T ||


 0

 a
T    21
 a22
 a
  31
 a33



a12
a11
0



a32
a33

a13 

a11 
a 
 23 
a22 


0 



2. Phương pháp Gauss – Serdel:
 Khi n = 3:

B = ( x20 ) C = ( x30 )

1
D=
a11 ( b1 – a12 B – a13 C ) :
1
E=
a 22 ( b2 – a21 D – a23 C ) :
1
F=
a 33 ( b3 – a31 D – a32 E ) :
B=E:C=F
ATGroup

Page 2




Sai số:

 a11 0


D  L   a21 a22
a
 31 a32

T = (D – L )-1 U . Công thức sai số như trên.

 0 a12

U  0
0
0
0


0 

0 
a33 

a13 

a23 
0 

=> (D-L)-1 (bấm máy)
IV. Nhân tử LU:

u1 j  a1 j

u22  a22 

l21 

lii  1
a21a12
a11

u23  a23 

a31a12
a11
l32 
a a
a22  21 12
a11
a32 

a21
a11

a21a13
a11

l31 

a31
a11


a31a12  

a21a13 
 a32 
  a23 

a11  
a11 
a31a13 
u33  a33 

a a
a11
a22  21 12
a11
u21 = u31 = u32 = 0
V. Phương pháp Choleski:

b11  a11

2
a21
b22  a22 
a11


a31a21 
a

 32

a11 


b32 
2
a21
a22 
a11

b21 

a21
a11

b33  a33   b312  b322 

b31 

a11

b12  b13  b23  0

VI. Chuẩn vectơ và chuẩn ma trận:
||A||1 : max tổng cột
||A||∞ : max tổng dòng.
k(A) = ||A|| ||A-1|| : số điều kiện
k càng gần 1 : càng ổn định
k càng xa 1 : càng không ổn định.
VII. Đa thức nội suy Largrange, Newton, Spline:
1. Đa thức nội suy Largrange:
 Bài toán: cần tìm 1 đa thức Ln(x) có bậc ≤ n thỏa
n = số điểm – 1

ATGroup

a31

Page 3



x
x0
x1
…
xn

Lập bảng:
x0
x1
(x – x0) (x0 – x1)
(x1 – x0) (x – x1)
…
…
(xn – x0) (xn – x1)

…
…
…
…
…

xn

(x0 – xn)
(x1 – xn)
…
(x – xn)

Dk = tích theo hàng
D0
D1
…
Dn
w(x)

n

w(x) =

 (x  x

k

)

k 0

n

yk
Ln(x) = w(x) 
k 0 Dk


Sai số:

Mn+1 = |max[f(n+1)(x)]| ; x  [x0, xn]

M n 1
|f(x) – Ln(x)| ≤
(n  1)! |w(x)|
2. Đa thức nội suy Newton:
 Tổng quát: trường hợp các điểm nút cách đều với bước h:

Δyk = yk+1 – yk
Δpyk = Δp-1yk+1 – Δp-1yk
n y 0
y 0
2 y 0
N n(x) = y0 +
q+
q(q – 1) +…+
q(q – 1)…(q – n + 1)
n!
1!
2!
(1)

q=

;

x  x0

(công thức Newton tiến)
h

y n 1
2 y n  2
n y 0
N n(x) = yn +
p+
p(p + 1) +…+
p(p+1)…(p + n – 1) ;
1!
2!
n!
x  xn
p=
(công thức Newton lùi)
h
(2)





Cách làm: lập bảng => N
xk yk
Δ
Δ2
x0 y0
Δ0= y1 – y0
Δ20 = Δ1 – Δ0

x1 y1
Δ1= y2 – y1
…
… …
…
…
Chú ý: với cùng 1 bảng số: Ln(x) = N(1)n(x) = N(2)n(x) . Tuy nhiên, nếu bảng
số có tăng thêm hay giảm bớt biến, ta chỉ cần thêm hoặc bớt sô hạng cuối
trong Nn(x) thay vì làm lại từ đầu đối với Ln(x).

3. Spline bậc 3 tự nhiên:


ATGroup

Trường hợp 3 số:

a0  y 0

a1  y1

Page 4


3  y2  y1  3  y1  y0 

x2  x1
x1  x0
c1 
2  x2  x0 

c0  c2  0
y1  y0 c1 ( x1  x0 )

x1  x0
3
c1
d0 
3( x1  x0 )

b0 

b1 

y2  y1 2c1 ( x2  x1 )

x2  x1
3

d1 

c1
3( x2  x1 )

g0(x) = a0 + b0(x –x0) + c0(x-x0)2 + d0(x-x0)3
g1(x) = a1 + b1(x –x1) + c1(x-x1)2 + d1(x-x1)3

x  [x0, x1]
x  [x1, x2]

VIII. Phương pháp bình phương bé nhất:
1. Tổng quát: cần tìm hàm F(x) “xấp xỉ tốt nhất bảng số đã cho”
n

 g(f)

=

 (F ( x

k

)  y k ) 2  min

k 1

Điểm dừng:

 g
 A  .........

 g
  .........
 B
 g
 C  .........

=> chuyển vế => giải hệ phương trình 3 ẩn (A, B, C)
Cách bấm máy:
n

Ví dụ: ta cần tính các giá trị:

 xk4
k 1

n

 xk2 sin yk
k 1

n

 xk2 yk
k 1

n

 sin2 xk
k 1

n

y

k

sin xk

k 1

A=A+X4:B=B+X2sinY:C=C+X2Y:D=D+(sinX)2:E=E+YsinX
CALC
- Lần đầu nhập A, B, C, D, E là 0 để khởi tạo giá trị.
- Khi thấy X? và Y? thì sẽ nhập xk và yk tương ứng.
- Lần 2 bỏ qua khi được hỏi A? B? C? D? E?
2. Cách sử dụng máy tính đối với 1 số hàm:
 Bước 1: chọn chế độ clear all
 shift_9_3 đối với 570ES
 shift_mode_3 đối với 570MS


ATGroup

Bước 2:
 chọn chế độ STAT : mode 3 đối với 570ES
 chọn chế độ REG : mode_mode_2 đối với 570MS
Page 5




Bước 3: chọn dạng của F(x)
Dạng F(x)

Phím ấn
570ES
570MS
2
Lin

3
Quad
4
Log
5
Exp
6
không có
7
Pwr
8
Inv

F(x) = A+Bx
F(x) = _+Cx2 = A +B + Cx2
F(x) = ln(A + Bx)
F(x) = AeBx
F(x) = A.Bx
F(x) =A.xB
1
F(x) =
A  Bx


Bước 4: nhập bảng giá trị
 nhập vào bảng như trong màn hình đối với 570ES
 nhập xk , yk (dấu , ) M+ cho đến khi hết bảng đối với 570MS



Bước 5: tính giá trị A, B
 shift_1_7_1(tính A)/2(tính B) đối với 570ES
 shift_2 _►_►_1 (tính A) / 2 (tính B) đối với 570MS

IX. Tính gần đúng đạo hàm:
1. Bảng 2 điểm:
 Sai phân tiến (x0, x0+h)

f '( x) 

f ( x0  h)  f ( x0 )
h

 Sai phân lùi (x0-h, x0)

f '( x) 

f ( x0 )  f ( x0  h)
h

 Sai số :



M 2h
2

M 2  max f ''( x)
x[ a ,b ]

2. Bảng 3 điểm:
 Đạo hàm cấp 1
 Sai phân tiến (x0, x0+h, x0+2h)

f '( x) 

3 f ( x0 )  4 f ( x0  h)  f ( x0  2h)
2h

 Sai phân hướng tâm (x0-h, x0, x0+h)

f '( x ) 

f ( x0  2h)  f ( x0 )
2h

 Sai phân lùi (x0-2h, x0-h, x0)

f '( x) 

f ( x0 )  4 f ( x0  h)  3 f ( x0  2h)
2h

 Sai số :

M 3h2

6
ATGroup

M 3  max f '''( x)
x[ a ,b ]

Page 6




Đạo hàm cấp 2

f ''( x ) 

f ( x0  h)  2 f ( x0 )  f ( x0  h)
h2

Sai số:

M 4 h2

12

M 4  max f (4) ( x)
x[ a ,b ]

X. Công thức hình thang (xấp xỉ tích phân):
b



Bài toán cần xấp xỉ tích phân

I   f ( x)dx
a



Cách giải: chia đoạn [a.b] thành n đoạn nhỏ bằng nhau với bước chia h 

ba
. Ta
n

có công thức sau:

h
I  [ y0  2( y1  y2  ...  yn 1 )  yn ]
2


Sai số:

M 2h2
  (b  a )
12

M 2  max f ''( x )
x[ a ,b ]

XI. Công thức Simpson (xấp xỉ tích phân):
b



Bài toán: cần xấp xỉ tích phân

I   f ( x)dx
a



Cách giải: chia đoạn [a.b] thành n = 2m đoạn nhỏ bằng nhau với bước chia

h

ba
. Ta có công thức sau:
2m

h
I  [ y0  4( y1  y3  ...  y2 m 1 )  2( y2  y4  ...  y2 m  2 )  y2 m ]
3


Sai số:

M 4h4
  (b  a )
180

M 4  max f

x[ a ,b ]

( 4)

( x)

XII. Công thức Euler với hệ phương trình vi phân xấp xỉ:
1. Bài toán: tìm yk và sai số.
 y '  f ( x, y )
x   a, b 

 y ( x0 )  y0

2. Công thức Euler:

yk 1  yk  hf ( xk , yk )
Có nghiệm chính xác là
ATGroup

h

ba
n

y ( xk ) .
Page 7


Khi đó sai số : | y ( xk )  yk |
Bấm máy:

A = (x0)
B = (y0)
y(xkA) – B : B = B + h y’(A, B) : A = A + h
3. Công thức Euler cải tiến:

yk 1  yk 

ba
n
k2  hf  xk  h, yk  k1 

1
 k1  k2 
2

h

k1  hf  xk , yk 
y ( xk ) .
Khi đó sai số : | y ( xk )  yk |
Có nghiệm chính xác là

Bấm máy nghiệm và sai số:
A = (x0)
B = (y0)
y(xkA) – B : C = h y’(A, B) : D = h y’(A+h, B+C) : B = B +

1
(C+D) : A = A + h
2

 x ''(t )  f (t ) x '(t )  g (t ) x(t )  h(t )
t   a, b

x
(
t
)

x
x
'(
t
)

x
'
0
0
0
 0
 x(t )  x(t0 )  hx '(t0 )

Cách giải:
 x '(t )  x '(t0 )  hx ''(t0 )

Trường hợp:

XIII. Công thức Range – Kutta bậc 4 với phương trình vi phân cấp 1
Cách giải: Trường hợp xấp xỉ tại x1 = x0 + h ( n = 1)

 K1  hf  x0 , y0 

 K  hf  x  h , y  K1 
0
 0

 2
2
2 


K2 
h


 K 3  hf  x0  , y0 

2
2 


 K 4  hf  x0  h, y0  K 3 

1

 y ( x0  h)  y1  y0  6  K1  2 K 2  2 K 3  K 4 

Cách bấm máy:
 Tính K1:
A = hf(X, Y)

CALC
 Tính K2:
► thay A bằng B CALC
 Tính K3:
► thay B bằng C CALC
 Tính K4:
► thay C bằng D CALC
 Tính y1:
y0 + 1/6(A + 2B + 2C + D)
ATGroup

X? (nhập x0)

=

Y? (nhập y0) =

X? (nhập x0+h/2)

=

Y? (nhập y0+A/2)

=

X? (nhập x0+h/2)

=

Y? (nhập y0+B/2)

=

X? (nhập x0+h)

=

Y? (nhập y0+C)

=

=
Page 8


XIV. Bài toán biên tuyến tính cấp 2:
1. Bài toán: tìm hàm y = y(x):
 p( x) y ' ' ( x)  q( x) y ' ( x)  r ( x) y ( x)  f ( x)

 y (a )   ; y (b)   ; a  x  b
2. Cách giải: chia [a,b] thành n đoạn
 Đặt y(x0) = y(a) = α = y0

y(xn) = y(b) = β = yn
pk = p(xk); qk = q(xk); rk = r(xk); fk = f(xk)


Công thức:

pk 

 pk qk 

 2   yk 1   rk  2 2  yk
h 
 h 2h 


p q 
  2k  k  yk 1  f k
 h 2h 

Giải hệ phương trình tìm ra các giá trị y1,…..,yn-1
XV. Phương trình Elliptic:

a  x  b
thỏa:
c  y  d

1. Bài toán: tìm hàm u = u(x,y) xác định trên miền D 

  2u
 2u

 f ( x , y ) ( x , y )  D

2
2

x


y

 u ( a , y )   1 ( y ); u ( b , y )   2 ( y )
 u ( x , c )   ( x ); u ( x , d )   ( x )
1
2


ba
x
ba
chia đều đoạn [c,d] thành m đoạn với m 
y

2. Cách giải: chia đều đoạn [a,b] thành n đoạn với n 




Đặt uij là giá trị xấp xỉ của hàm u(xi, yj): uij  u(xi, yj) i  0, n; j  0, m
Công thức tổng quát:

 ui 1, j  2ui , j  ui 1, j ui , j 1  2ui , j  ui , j 1

 fij

2
2
h
h

x
y


j  1, m  1
i  1, n  1;


Trường hợp ∆x = ∆y = h

 4ui , j  ui 1, j  ui 1, j  ui , j 1  ui , j 1  h 2 f ij

j  1, m  1
i  1, n  1;
 Giải hệ tính được giá trị của các ui,j.
XVI. Phương trình Parabolic:
1. Bài toán: cần xấp xỉ hàm u = u(x,t); x là biến không gian; t là biến thời gian xác định
trong miền D = {a ≤ x ≤ b, t > 0} thỏa

ATGroup

Page 9


2
 u
2  u
( x, t )  D
 t   x 2  f ( x, t )


u (b, t )  2 (t )
t  0
u (a, t )  1 (t );
u ( x, 0)   ( x)
x  [a, b]



2. Cách giải: chia đều [a,b] thành n đoạn với n 
chọn bước thời gian t  0;
đặt uij = u(xi, tj);


ba
x

t j  j t

t  2
fij = f(xi, tj);  
 2x

Sơ đồ hiện:

ui , j 1  ui 1, j  (1  2 )ui , j  ui 1, j  t fij

i  1, 2,..., n  1
 j  0,1, 2,.....;


Sơ đồ ẩn:

  ui 1, j  (1  2  )ui , j   ui 1, j   t fij  ui , j 1

i  1, 2,..., n  1
 j  1, 2,...;
 Giải hệ tính được giá trị của các ui,j
XVII. Các đạo hàm cấp cao (phụ lục):

f

(n)

 ln  ax  b  

 1


( n 1)

 n  1!a n
n
 ax  b 

n

n
1   1 a n !
(n) 
f 


n 1
ax

b

  ax  b 



f ( n )  sin ax   a n sin  ax  n 
2

f

ATGroup

(n)



k

1 
1  1  1
n
 1
 k
ax  b    1  2  ...   n  1 a  ax  b  k 
k  k  k

 k




Page 10