09 he phuong trinh mu va loga p2 BG(2016)

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

08. HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARITH – P2
Thầy Đặng Việt Hùng
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

DẠNG 2. PP ĐẶT ẨN PHỤ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGA
Ví dụ 1: [ĐVH]. Giải các hệ phương trình sau:
5log 2 x = log 2 y 3 − log
a) 
log 2 y = 8 − log 2 x

2

2
2
2
lg x = lg y + lg ( xy )
2
lg ( x − y ) + lg x.lg y = 0

2

b) 

Lời giải:
a) Điều kiện: x, y > 0.

 5 y3

5
3
 x = , (1)
log 2 x = log 2 y − log 2 4

4
Ta có ( I ) ⇔ 
⇔
8
8
2
2
 y = , (2)
log 2 y = log 2 2 − log 2 x

x2
3

 28 
 x = 22 = 4
 2
x 
224


5
5
11
22
⇔ x = 6 ⇔ x = 2 

→
Thay (2) vào (1) ta được x =
28
4
4x
y
=
= 16

24

Các nghiệm này đều thỏa mãn, vậy hệ đã cho có nghiệm (4; 16).
lg 2 x = lg 2 y + lg 2 ( xy ),
b)  2
lg ( x − y ) + lg x.lg y = 0,
 x > 0, y > 0
Điều kiện: 
x > y

(1)
( 2)

(1) ⇔ lg 2 x − lg 2 y = lg 2 ( xy ) ⇔ ( lg x − lg y )( lg x + lg y ) = ( lg x + lg y )2 ⇔ ( lg x + lg y ) ( lg x − lg y ) − ( lg x + lg y ) = 0
1

 lg x + lg y = 0
 xy = 1  y =
⇔
⇔
⇔

x

 −2lg y = 0
y =1
 y = 1
x − y = x
 y = 0, ( L)
1
1
Với y = , ( 2 ) ⇔ lg 2 ( x − y ) + lg x.lg = 0 ⇔ lg 2 ( x − y ) − lg 2 x = 0 ⇔ 
⇔
x
x
 x − y = −x
 y = 2x
1

1
1
x =
2
2

→ = 2 x ⇔ x = 
→
2
x
y = 2

Với y = 1, ( 2 ) ⇔ lg 2 ( x − 1) + lg x.lg1 = 0 ⇔ lg 2 ( x − 1) = 0 ⇔ x − 1 = 1 ⇔ x = 2

 1

Vậy hệ đã cho có nghiệm 
; 2  , ( 2 ;1) .
 2


Ví dụ 2: [ĐVH]. Giải các hệ phương trình sau:
lg ( x + y )2 = 1
a) 
lg y − lg x = lg 2
2
 y + lg x = 2
c) 
 y + 4lg x = 28

 x log3 y + 2 y log3 x = 27
b) 
log 3 y − log 3 x = 1

9log 2 ( xy ) − 3 = 2 ( xy )log 2 3

d) 
2
2
( x + 1) + ( y + 1) = 1
Lời giải:

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

x + y ≠ 0
( I ) . Điều kiện:  y > 0
x ≠ 0

 x>0
 10
x=
 

3
  x + y = 10 
→
 ( x + y ) 2 = 10
20

y =
 x + y = 10

 y = 2x


3
⇔
⇔
(I ) ⇔  y

=
2
y
x
lg
=
lg
2


 x < 0
 x
 x = −10
  x + y = 10 
→


 y = 20
  y = −2 x

lg ( x + y )2 = 1
a) 
lg y − lg x = lg 2

 10 20 
Vậy hệ đã cho có nghiệm  ;  , ( −10 ;20 ) .
3 3 
log3 y
log3 x
 x

+ 2y
= 27, (1)
 x > 0, x ≠ 1
b) 
. Điều kiện: 
 y > 0, y ≠ 1
log 3 y − log 3 x = 1, ( 2 )
y
Ta có ( 2 ) ⇔ log 3 = 1 ⇔ y = 3x.
x
log x
log3 ( 3 x )
Khi đó, x
+ 2 ( 3x ) 3 = 27 ⇔ x1+ log3 x + 2.3log3 x.x log3 x = 27 ⇔ x1+ log3 x + 2 x1+ log3 x = 27 ⇔ x1+ log3 x = 9

(

1+ log 3 x

⇔ log 3 x

) = log

39

⇔ (1 + log 3 x ) log 3 x = 2 ⇔ ( log 3 x )

2

x = 3

 log 3 x = 1
+ log 3 x − 2 = 0 ⇔ 
⇔
x = 1
log
=
−
2
x
 3
9


x = 3
y = 9

Từ đó ta được 

→
x = 1
y = 1


9
3
1 1
Vậy hệ đã cho có nghiệm ( 3 ;9) ,  ;  .
 9 3
 y + lg x 2 = 2
c) 

 y + 4lg x = 28

( I ) . Điều kiện: x, y > 0.

 y =6
 y + 2lg x = 2  2 y + 4lg x = 4
Ta có ( I ) ⇔ 
⇔

→ y − 2 y = 24 ⇔ 

→ y = 36.
 y = −4
 y + 4 lg x = 28
 y + 4lg x = 28
Với y = 36 thay vào ta được 4 lg x = 28 − 36 ⇔ lg x = −2 ⇔ x =

1
.
100

 1

Vậy hệ đã cho có nghiệm 
; 36  .
 100


9log 2 ( xy ) − 3 = 2 ( xy )log 2 3 , (1)


d) 
. Điều kiện:
2
2
(2)
( x + 1) + ( y + 1) = 1,

 xy > 0

 xy ≠ 1

Đặt t = log 2 ( xy ) 
→ xy = 2t .

( )

Khi đó, (1) ⇔ 9t − 3 = 2 2t

log 2 3

(

⇔ 9t − 3 = 2. 2log 2 3

)

t

3t = −1 ( L )
⇔ 9t − 2.3t − 3 = 0 

→ t
⇒ xy = 2
3 = 3

Ta có
x + y =1
 x + y = −3

( 2 ) ⇔ x 2 + y 2 + 2 ( x + y ) + 2 = 1 ⇔ ( x + y )2 + 2 ( x + y ) + 1 − 2 xy = 0 ⇔ ( x + y )2 + 2 ( x + y ) − 3 = 0 ⇔ 

x + y = 1
TH1: Với x + y = 1 ⇒ 
⇒ x, y là hai nghiệm của phương trình X 2 − X + 2 = 0 ⇒ vô nghiệm.
xy
=
2


Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

 x + y = −3
 X = −1
TH2: Với x + y = −3 ⇒ 
⇒ x, y là hai nghiệm của phương trình X 2 + 3 X + 2 = 0 ⇔ 
 X = −2

 xy = 2
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm (−1; −2),(−2; −1)

4 2 x 2 − 2 − 22 x2 + y + 4 y = 1
Ví dụ 3: [ĐVH]. Giải các hệ phương trình sau 
2
2 2 y + 2 − 3.22 x + y = 16

Ví dụ 4: [ĐVH]. Giải các hệ phương trình sau:

 x log8 y + y log8 x = 4
a) 
log 4 x − log 4 y = 1

4log3 ( xy ) = 2 + ( xy )log3 2
b) 
 x 2 + y 2 − 3 x − 3 y = 12


x
log 2 ( xy ) .log 2   = −3
b) 
 y
 2
2
log 2 x + log 2 y = 5

log 5 x + log 5 7.log 7 y = 1 + log 5 2
d) 
3 + log 2 y = log 2 5 (1 + 3log 5 x )

BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1: [ĐVH]. Giải các hệ phương trình sau:

1
2
 log3 x − log3 y = 0
b)  2
 x 3 + y2 − 2y = 0


2 2 x − y + 2 x = 21+ y
a) 
log 2 x. ( log 4 y − 1) = 4

Bài 2: [ĐVH]. Giải các hệ phương trình sau:

log2 ( xy ) = 4

a) 
x
log2  y  = 2
 


 3.2 x − 2.3y = −8
b)  x +1 y +1
2 − 3 = −19

Bài 3: [ĐVH]. Giải các hệ phương trình sau:

 x + 3 y −1 = 2
b) 
y
3x + 9 = 18

3x + 3 y = 28
a)  x + y
 3 = 27
Bài 4: [ĐVH]. Giải các hệ phương trình sau:

 y2 = 4x + 2
a)  x + 2
2 + 2 y + 1 = 0

 y2 = 4x + 8
b)  x +1
2 + y + 1 = 0

Bài 5: [ĐVH]. Giải các hệ phương trình sau:
2 x + xy + y = 14

b) 
8
log ( x +1) ( y + 2 ) − log y + 2 ( x + 1) = 3

3.2 x − 2.3 y = −6
a)  x +1
2 − 3 y +1 = −19

Bài 6: [ĐVH]. Giải các hệ phương trình sau:

(
(

) (
) (

 3 − 2 2 x + 1 + 2
a) 
y
 3 + 2 2 + 1 + 2

)
)

y

=4

x

=4

(

)

log 4 x 2 + y 2 − log 4 (2 x ) + 1 = log 4 (x + 3 y )


b) 
x
2
log 4 ( xy + 1) − log 4 4 y + 2 y − 2 x + 4 = log 4 y − 1


(

)

Bài 7: [ĐVH]. Giải các hệ phương trình sau:

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

log 2 (log 4 x ) = log 4 (log 2 y )
a) 
log 4 (log 2 x ) = log 2 (log 4 x )

Facebook: LyHung95

5. log 2 x − log 4 y 2 = −8
b) 
5. log 2 x 3 − log 4 y = −9

Bài 8: [ĐVH]. Giải các hệ phương trình sau:

(

)

2. log1− x (− xy − 2 x + y + 2 ) + log 2+ y x 2 − 2 x + 1 = 6
a) 
log1− x ( y + 5) − log 2+ y (x + 4 ) = 1
log x (3 x + 5 y ) + log y (3 y + 5 x ) = 4
b) 
log x (3 x + 5 y ). log y (3 y + 5 x ) = 4
Bài 9: [ĐVH]. Giải các hệ phương trình sau:
log 2 x + log 2 y = 5

a) 
3
 log x 2 + log y 2 = 2

log 2 x + 3 5 − log3 y = 5
b) 
3 log 2 x − 1 − log3 y = −1

Bài 10: [ĐVH]. Giải các hệ phương trình sau:
3x + 2 4 − 3 y = 5
a) 
3 y + 2 4 − 3x = 5

32 x + 2 + 22 y + 2 = 17
b)  x +1
y
2.3 + 3.2 = 8

Bài 11: [ĐVH]. Giải các hệ phương trình sau:
log 2 ( x + y ) = x + y − 1
a) 
log x + y + 2 ( xy + 1) = x + y − 1

log 2 x + 3 5 − log3 y = 5
b) 
3 log 2 x − 1 − log3 y = −1

Bài 12: [ĐVH]. Giải các hệ phương trình sau:

2 3 x +1 + 2 y −2 = 3.2 y +3 x
a) 
 3x 2 + xy + 1 = x + 1

22 x +1 − 3.2 x = y 2 − 2
b) 
2x
2
2 y − 3 y = 2 − 2

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!