Phương trình mũ và loga

PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
A/TÓM TẮT KIẾN THỨC CẦN NHỚ :
I) CÁC ĐỊNH NGHĨA :
1) Lũy thừa với số mũ nguyên dương:
a
n

= a.a…a ( tích của n số a) với n>1.
2) Luỹ thừa với số mũ 0 và nguyên âm :
a
0
= 1 và a
-n
=
n
a
1
( với a
≠
0 và n nguyên dương )
3) luỹ thừa với số mũ hữu tỉ :
n
m
n
m
aaa
==
( Với a > 0 và
*
,,
+

∈∈=
ZnZm
n
m
r
)
4) Lôga rit cơ số a của b:
log (0 1, 0)
a
b a b a b
α
α
= ⇔ = < ≠ >
II) CÁC TÍNH CHẤT VÀ CÔNG THỨC :
1) Luỹ thừa : Với các số a> 0 , b> 0 ,
βα
;
tuỳ ý ta có:
βαβα
+
=
aaa .
;
βαβα
−
= aaa :
;
αββα
aa
=

)(
βαα
aaba .).(
=
;
ααα
baba :):(
=
2) Lôgarit: Với giả thiết rằng mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa , ta có ;
01log
=
a

;
log 1
a
a
=
=
log
b
a
a b
;
ba
b
a
=
log
cbcb

aaa
loglog).(log
+=
cb
c
b
aaa
logloglog
−=
;
c
c
aa
log)
1
(log
−=
bb
aa
log.log
α
α
=
( với
α
tuỳ ý ) ;
b
n
b
a

n
a
log
1
log
=
;
*
Nn
∈
b
x
x
a
a
b
log
log
log
=
, tức là
1log.log
=
ab
ba
( Công thức đổi cơ số)
1
log log ; log log
a a
a a

b b b b
β
α α
β
α α
= =
B/ PHẦN BÀI TẬP :
I/. PHƯƠNG TRÌNH MŨ
• Một số phương pháp giải phương trình mũ
@Phương trình mũ cơ bản :
= ⇔ = < ≠ >log (0 1; 0)
x
a
a m x m a m
@ Phương pháp đưa về cùng cơ số
*Biến đổi 2 vế về cùng cơ số rồi sử dụng phép biến đổi sau để giải

=

⇔ =

< ≠


( ) ( )
( ) ( )
0 1
f x g x
a a
f x g x

a
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
a./
2
x 3x 1
1
3
3
− +
 
 ÷
=
 ÷
 ÷
 
b./
x 1 x 2
2 2 36
+ −
+ =
Giải:
1
a./
2
2
x 3x 1
(x 3x 1) 1 2 2
x 1
1
3 3 3 (x 3x 1) 1 x 3x 2 0

x 2
3
− +
− − +

 
=

 ÷
= ⇔ = ⇔ − − + = ⇔ − + = ⇔

 ÷
=
 ÷

 

b./

x x x
x 1 x 2 x
x x 4
2 8.2 2
2 2 36 2.2 36 36
4 4
9.2 36.4 2 16 2 x 4
+ −
+
+ = ⇔ + = ⇔ =
⇔ = ⇔ = = ⇔ =

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau
a.
2
x x 8 1 3x
2 4
− + −
=
b.
2
5
x 6x
2
2 16 2
− −
=
c.
x x 1 x 2 x x 1 x 2
2 2 2 3 3 3
− − − −
+ + = − +
d.
2
2 x 1
(x x 1) 1
−
− + =
@ Phương pháp đặt ẩn phụ
Dạng 1 : A.a
2f(x)
+ B.a

f(x)
+ C = 0 (1)
Đặt t = a
f(x)
> 0
Ta có phương trình : At
2
+ Bt + C = 0 (2)
* Phương trình ( 1) có nghiệm khi phương trình ( 2 ) có nghiệm t > 0
Ví dụ 1 : Giải các phương trình sau
a).
x x
2.16 15.4 8 0− − =
b)
2x 8 x 5
3 4.3 27 0
+ +
− + =

Ví dụ 2 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm
x x
(m 4).9 2(m 2).3 m 1 0− − − + − =
Dạng 2 : A.a
f(x)
+ B.b
f(x)
+ C = 0 (1) trong đó a.b=1
Đặt t = a
f(x)
> 0 ⇒ b

f(x)
=
1
t
Ta có phương trình : At +
B
t
+ C = 0
2
0At Ct B⇔ + + =
(2)
* Phương trình ( 1) có nghiệm khi phương trình ( 2 ) có nghiệm t > 0
Ví dụ1 : Giải các phương trình sau
a/
x x x 3
(3 5) 16(3 5) 2
+
+ + − =
b)
x x
( 2 3 ) ( 2 3 ) 4− + + =
c)
2
3 os2x 1 os
4 7.4 2 0
c c x+ +
− − =
Ví dụ 2 : Giải và biện luận phương trình

x x

(m 2).2 m.2 m 0
−
− + + =
.
Dạng 3 : A.a
2f(x)
+ B.a
f(x)
.b
f(x)
+ C.b
2f(x)
= 0 (1)
Chia cả hai vế cho b
2f(x)
> 0 ta có : A
2 ( ) ( )
0
f x f x
a a
B C
b b
   
+ + =
 ÷  ÷
   
Đăt t =
( )f x
a
b

 
 ÷
 
= t > 0 ta được At
2
+ Bt + C = 0 (2)
• Phương trình ( 1) có nghiệm khi phương trình ( 2 ) có nghiệm t > 0
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau
a./
25 2 5 15 0.
x x
− − =
b./
4 2 1
3 - 4.3 27 0
x x +
+ =
c./
2 2
3 3 24
x x+ −
− =
d) 64 .9
x
– 84 .12
x
+ 27 .16
x
= 0
Giải:

2
a./
( )
2
25 2 5 15 0 5 2 5 15 0. .
x x x x
− − = ⇔ − − =
Đặt t = 5
x
, t >0 ta có phương trình: t
2
– 2t – 15= 0
5
5 5 1
3 (loai)

=
⇔ ⇔ = ⇔ =

= −

x
t
x
t
b./
( )
2
2x 2
2x 2

2
2 2
4x 2x+1
3 - 4.3 +27=0 3 12 3 27 0
Nêu t=3 t>0 ta có : t 12 27 0
1
3 3 3 2 1

2
9 2 2
3 9 3
1

⇔ − + =
− + =


 
= = =
=

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

 

= =
= =
 

=



.
;
x
x
x
t
t x
x
t x
x
c./ Đặt
3 0
x
t = >
, ta có
2
3
9t 24 9 0 3 3 1
1
( loai)
3
=


− − = ⇔ ⇔ = ⇔ =

= −


x
t
t x
t

d/64 .9
x
– 84 .12
x
+ 27 .16
x
= 0 ⇔
2
4 16
2
3 9
4 4
27. 84. 64 0
1
3 3
4 4
3 3
x
x x
x
x
x

 
=


 ÷
=

 
   

− + = ⇔ ⇔
 ÷  ÷


=
   

 

=
 ÷

 


Bài tập áp dụng:
1 : Giải các phương trình sau
a)
x x x
6.9 13.6 6.4 0− + =
b)
027.21812.48.3
=−−+

xxxx

c)
07.714.92.2
22
=+−
xxx
d) 8.3
x
+ 3.2
x
= 24 + 6
x

e)
0422.42
2
22
=+−−
−+
xxxxx

g)
20515.33.12
1
=−+
+
xxx

2.Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình:
mm
xxxx
2)22)(1(44
2211
+−+=+
−+−+
có nghiệm
thuộc đoạn [0;1].
3.Cho phương trình :
0123).2(9
2
11
2
11
=+++−
−+−+
mm
xx
. Tìm m để phương trình có nghiệm.
@ Phương pháp lôgarit hóa
Nếu cả hai vế của phươnh trình đều dương ta có thể giải phương trình bằng cách lấy lôgarit hai vế ( lôgarit
hóa)
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau
a./
2 5
3 5
x+
=
b./

2 1
5 2 50.
x x−
=
Giải:
a./
2 5
3
3
5 5
3 5 2 5 5
2

log
log
x
x x
+
−
= ⇔ + = ⇔ =
b./
2 1
20
4
5 2 50 5 50 20 100 100
2
. . log
x
x x x x
x

−
= ⇔ = ⇔ = ⇔ =
Ví dụ 2: Giải các phương trình :
a)
1
3 .8 0
x
x
x+
=

b)
log 5
6 5
.5 5
x
x
−
−
=

c)
3
2 log
3 81
x
x
−
=
@ Phương pháp sử dụng tính đồng biến và nghịch biến của hàm số

Ví dụ 1 : Giải các phương trình
3
a) 3
x
+ 4
x
= 5
x
b) 2
x
= 1+
x
2
3

c)
x
1
( ) 2x 1
3
= +
d) 9
x
+ 2(x -2)3
x
+ 2x - 5 = 0
Giải:
a) 3
x
+ 4

x
= 5
x

x x
3 4
1
5 5
   
⇔ + =
 ÷  ÷
   
(*)
Dễ thấy phương trình có một nghiệm x=2.
.Với x>2
do
2
2
3 3 9

3 4
1, 1
5 5 25
3 4
1
5 5
5 5
4 4 16
2

5 5 25
x
x x
x
x

   
< =


 ÷  ÷
< <
    
   
⇒ ⇒ + <
 
 ÷  ÷
   
   
 
>

< =
 ÷  ÷

   

⇒ ph tr (*) không có nghiệm
2x
∀ >

.Với x<2
do
2
2
3 3 9

4 3
1, 1
5 5 25
3 4
1
5 5
5 5
4 4 16
2

5 5 25
x
x x
x
x

   
> =


 ÷  ÷
< <
    

   
⇒ ⇒ + >
 
 ÷  ÷
   
   
 
<

> =
 ÷  ÷

   

⇒ ph tr (*) không có nghiệm
2x∀ <

Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất x=2
Bài tập
Bµi 1: Giải các phương trình :
a.
2
x x 8 1 3x
2 4
− + −
=
b.
2
5
x 6x

2
2 16 2
− −
=
c.
x x 1 x 2 x x 1 x 2
2 2 2 3 3 3
− − − −
+ + = − +
d.
x x 1 x 2
2 .3 .5 12
− −
=
e.
2
2 x 1
(x x 1) 1
−
− + =
f.
2 x 2
( x x ) 1
−
− =
g.
2
2 4 x
(x 2x 2) 1
−

− + =
Bµi 2:Giải các phương trình :
a.
4x 8 2x 5
3 4.3 27 0
+ +
− + =
b.
2x 6 x 7
2 2 17 0
+ +
+ − =
c.
x x
(2 3) (2 3) 4 0+ + − − =
d.
x x
2.16 15.4 8 0− − =
e.
x x x 3
(3 5) 16(3 5) 2
+
+ + − =
f.
x x
(7 4 3) 3(2 3) 2 0+ − − + =
g.
x x x
3.16 2.8 5.36+ =
h.

1 1 1
x x x
2.4 6 9+ =
i.
2 3x 3
x x
8 2 12 0
+
− + =
j.
x x 1 x 2 x x 1 x 2
5 5 5 3 3 3
+ + + +
+ + = + +
k.
x 3
(x 1) 1
−
+ =

Bµi 3:Giải các phương trình :
a.
x x x
3 4 5+ =
b.
x
3 x 4 0+ − =
c.
2 x x
x (3 2 )x 2(1 2 ) 0− − + − =

d.
2x 1 2x 2x 1 x x 1 x 2
2 3 5 2 3 5
− + + +
+ + = + +
II. PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
* Phương trình lôgarit cơ bản
log
c
x c x a
a
= ⇔ =
(x > 0, 0< a
≠
1)
* Một số phương pháp giải phương trình lôgarit
4
@ Phương pháp đưa về cùng cơ số
Biến 2 vế đưa về dạng:
log log
x=b
0 a 1, b>0
a a
x b

=

⇔

< ≠



Tổng quát:
)x(hlog)x(flog
)x(g)x(g
=
⇔
0 ( ) 1
( ) 0
( ) ( )
g x
f x
f x h x

< ≠

>


=

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
a./
2 2
3 2log log ( )x x+ + =
b./
2
2 2 2
9log log logx x x+ =
Giải:

a./
2 2
3 2log log ( )x x+ + =
(1)
ĐK:
0 0
0
3 0 3
x x
x
x x
> >
 
⇔ ⇔ >
 
+ > > −
 
2
2
2
1 3 2 3 2 4
1
3 4 0 1
4

(loaïi)
( ) log ( ) ( )x x x x
x
x x x
x

⇔ + = ⇔ + = =
=

⇔ + − = ⇔ ⇔ =

= −

b./
2
2 2 2
9log log logx x x+ =
(1) ĐK: x>0
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
1 2 9 2 9
1
9 3 3
2

( ) log log log log log log
log log log log
x x x x
x x x
⇔ + = + ⇔ =
⇔ = ⇔ = ⇔ =
x=3>0 thỏa điều kiện . Vậy phương trình có nghiệm là x=3
Ví dụ 2: Giải phương trình:
)1(xlogxlogxlogxlog
10432
=++

Giải.
đk: x > 0
Ta biến đổi về cùng cơ số 2:
xlog.logxlog
233
2
=
;
xlog.logxlog
244
2
=
;
xlog.logxlog
21010
2
=
(1)
⇔

02221
10432
=−++
)logloglog(xlog

⇔

0
2
=

xlog

⇔
x = 1.
Ví dụ 3 : (Đề 81) Giải phương trình
3
4
1
3
4
1
2
4
1
)6x(log)x4(log3)2x(log
2
3
++−=−+
(1)
Giải.
Ta có:
222
4
1
2
4
1
+=+
xlog)x(log

⇔
xlog)x(log
−=−
434
4
1
3
4
1
⇔
636
4
1
3
4
1
+=+
xlog)x(log
Đk:





>+
>−
>+
06
04
02

x
x
x
⇔



<<−
−<<−
42
26
x
x
(1)
⇔
)x(log)x(logxlog 6343323
4
1
4
1
4
1
++−=−+

⇔

)]x)(x[(logxlog 6412
4
1
4

1
+−=−+

⇔
)]x)(x[(logxlog 6424
4
1
4
1
+−=+

⇔

06424
>+−=+
)x)(x(x
5