10 bai toan tim diem trong kg p1 pros(2016)

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM TRONG KHÔNG GIAN – P1
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho đường thẳng d :

x −1 y z −1
= =
. Tìm điểm M trên d thỏa mãn
2
1
−1

a) MA = 3; với A(2; 0;1)

13
MA
=
; với A(2; 0;1); B (2; −1;1)
MB
6
c) xM2 + 2 yM2 + 2 z M2 = 11
b)

d) d ( M ; ( P) ) = 2, với (P): x + 2y + 2z – 1 = 0.
Đ/s: a) M(3; 1; 0)
b) M(3; 1; 1)

c) M(1; –1; –2)

x = t

Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho đường thẳng d :  y = 1 + t . Tìm điểm M trên d thỏa mãn
 z = 2t

30
; với A(1; 0;3); B (2; −1;1)
2
1
x y z +1
b) d ( M ; ∆ ) =
, vớ i ∆ : = =
2 1
1
2
Đ/s: a) M(1; 2; 2)
b) M(–1; 0; –2)

a) S MAB =

x y − 3 z +1
=
=
và hai điểm A(2;
1
2
−1

−1; 1), B(0; 1: −2). Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng (d) sao cho tam giác ABM có diện tích nhỏ nhất.

Ví dụ 3: [ĐVH]. Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d :

Lời giải:

x = t

+) Đường thẳng d có phương trình tham số d :  y = 3 − t
 z = −1 + 2t

+) Gọi M là điểm cần tìm. Do Nếu M thuộc d thì M nên M (t ;3 − t ; −1 + 2t ).
1
+) Diện tích tam giác ABM được tính bởi S =  AM ; BM 
2

 4 − t 2t − 2 2t − 2 t − 2 t − 2 4 − t 
 AM = ( t − 2; 4 − t ; 2t − 2 ) 
⇒  AM , BM  = 
;
;
+) 
 = ( t + 8; t + 2; −4 )
2
−
t
2
t
+
1

2
t
+
1
t
t
2
−
t
BM
=
t
;
2
−
t
;
2
t
+
1
(
)



1
1
1
1

2
2
2
+) Do đó S ABM =  AM , BM  =
( t + 8 ) + ( t + 2 ) + 16 = 2 ( t + 5) + 34 ≥ 34
2
2
2
2
34
Vậy min S =
khi t = −5 ⇒ M (−5;8; −11).
2
Ví dụ 4: [ĐVH]. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 5; 0), B(3; 3; 6) và đường thẳng
x + 1 y −1 z
∆:
=
= . Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ để tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất.
2
−1 2
Lời giải:
+) Gọi M ∈ ∆ ⇒ M (2t − 1;1 − t ; 2t ).
Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

 AM = ( 2t − 2; −4 − t ; 2t )
 −4 − t
+) 

⇒  AM , BM  = 
 −2 − t
 BM = ( 2t − 4; −2 − t ; 2t − 6 )
= ( 2t + 24;8t − 12; 2t − 12 )
+) Do đó S =

1
1
 AM , BM  =
 2
2

+) Vậy min S =

2t
2t
2t − 2 2t − 2 −4 − t 
;
;

2t − 6 2t − 6 2t − 4 2t − 4 −2 − t 

( 2t + 14 ) + ( 8t − 12 ) + ( 2t − 12 )
2

Facebook: LyHung95

2

2

2

 23  1547 1
= 18  t −  +
≥
1547
36
6
 18 

1547
23
 14 5 23 
khi t =
⇒ M =  ; − ; .
6
18
 9 18 9 

Ví dụ 5: [ĐVH]. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(5; 8; −11), B(3; 5; −4), C(2; 1; −6)
x −1 y − 2 z −1
và đường thẳng thẳng d :
=
=
. Tìm điểm M thuộc (d) sao cho MA − MB − MC đạt giá trị
2
1
1
nhỏ nhất.

Lời giải:

Điểm M thuộc d nên M(2t + 1;2 + 2t;1 + t).
 MA = ( 2t − 4; 2t − 6; t + 12 )

Ta có  MB = ( 2t − 2; 2t − 3; t + 5 ) ⇒ MA − MB − MC = ( −2t − 1; −2t − 4; −t )

 MC = ( 2t − 1; 2t + 1; t + 7 )
2

53
 10  53
⇒ MA − MB − MC = ( 2t + 1) + ( 2t + 4 ) + t = 9t + 20t + 17 = 9  t +  +
≥
9
9
3

10
 11 2 1 
Dấu đẳng thức xảy ra khi t = − ⇒ M =  − ; − ; −  .
9
 9 9 9
2

2

2

2

Ví dụ 6: [ĐVH]. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho cho mặt phẳng ( P ) : x − 2 y + 2 z − 1 = 0 và các
x −1 y − 3 z
x −5 y z +5
=
= , d2 :
= =
. Tìm điểm M thuộc d1, N thuộc d2 sao cho MN
2
−3
2
6
4
−5
song song với (P) và đường thẳng MN cách (P) một khoảng bằng 2.

đường thẳng d1 :

Ví dụ 7: [ĐVH]. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường (d1 ) :

x y z
= = và
1 1 2

x + 1 y z −1
= =
. Tìm tọa độ các điểm M thuộc d1 và N thuộc d2 sao cho đường thẳng MN song song
−2
1
1

với mặt phẳng ( P ) : x – y + z + 2012 = 0 độ dài đoạn MN bằng 2.
(d 2 ) :

Lời giải:

 M ∈ d1 ⇒ M ( t ; t ; 2t )
Ta có 
⇒ MN = ( −2t '− t − 1; t '− t ; t '− 2t + 1) .
 N ∈ d 2 ⇒ N ( −1 − 2t '; t ';1 + t ' )
2
2
2
t ' = −t
 MN 2 = 2
( 2t '− t − 1) + ( t '− t ) + ( t '− 2t + 1) = 2
Theo bài ta có 
⇔
⇔
2
2
2
 MN .n = 0
( 3t + 1) + 4t + ( t − 1) = 2
 2t '− t − 1 − ( t '− t ) + t '− 2t + 1 = 0
t = 0
t ' = −t

 3 2 5
⇔ 2
⇔

→ M = ( 0;0; 0 ) , N =  − ; − ; 
2 
 7 7 7
14t + 4t = 0
t ' = − 7

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Ví dụ 8: [ĐVH]. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường (d1 ) :

Facebook: LyHung95

x −1 y z + 4
= =
và
1
2
−1

 x = −1 + t

(d 2 ) :  y = −1 − 2t .
 z = −2 + t

Tìm tọa độ các điểm M thuộc d1 và N thuộc d2 sao cho đường thẳng MN song song với mặt phẳng
( P ) : x + 2 y + z + 1 = 0 và MN = 11.
Đ/s: M (1;0; −4), N (−2;1;3).

Ví dụ 9: [ĐVH]. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường (d1 ) :

x −1 y − 2 z + 1
=
=
;
1
−1
2

 x = 2 + 3t

(d 2 ) :  y = 1 − t .
 z = −4 + t

Tìm tọa độ các điểm M thuộc d1 và N thuộc d2 sao cho đường thẳng MN song song với mặt phẳng
( P ) : x + y + z + 19 = 0 và MN = 2 6.
x = 1+ t

Ví dụ 10: [ĐVH]. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường (d1 ) :  y = t
và
z = 2 − t

x y −1 z
=
=
.
2
−3
−1

Tìm tọa độ các điểm M thuộc d1 và N thuộc d2 sao cho A, M, N thẳng hàng với A(3; −4; 0).
4
Đ/s: t = − ; t ' = 3
7
(d 2 ) :

BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
x = 1+ t

Bài 1: [ĐVH]. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường (d1 ) :  y = −2t và
z = 3 + t

x − 2 y −1 z
=
= .
−1
−1 1
Tìm tọa độ các điểm M thuộc d1 và N thuộc d2 sao cho A, M, N thẳng hàng với A(2; −2; 3).
Đ/s: M (3; −4;5), N (1; 0;1).
(d 2 ) :

x − 2 y −1 z − 4
=
=
và hai mặt
−1
1
3
phẳng ( P ) : 3 x + y + 5 z − 10 = 0; (Q ) : 5 x − y − 3 z + 8 = 0 . Tìm điểm M thuộc ∆ sao cho

Bài 2: [ĐVH]. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ :

d ( M ; ( P) ) = 3d ( M ;(Q) ) .

 59 28 113 
Đ/s: M (1; 2;7), M  ; ;

 29 29 29 

Bài 3: [ĐVH]. Trong không gian cho đường thẳng d :

x + 2 y −1 z + 5
=
=
. Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao
1
3
−2

cho diện tích tam giác MAB bằng 3 5 biết A(−2;1;1), B (−3; −1; 2)

Đ/s: M (−2;1; −5), M (−14; −35;19)
Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Bài 4: [ĐVH]. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 2 đường thẳng d1 :

 x = −1 − 2t
x y z
= = , d2 :  y = t
1 1 2
 z = 1 + t

a) Xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng trên
b) Tìm các điểm A thuộc d1, B thuộc d2 sao cho đường thẳng AB song song với (P): x – y + z – 3 = 0 và

AB = 2 2.
 −3 −3 −6   −13 3 10 
Đ/s: A(1; 1; 2), B(1; –1; 0) hoặc A  ; ;  , B 
; ; 
 7 7 7   7 7 7

Bài 5: [ĐVH]. Tìm trên đường thẳng d :

x − 2 y −1 z + 2
=
=
điểm M(xM; yM; zM) sao cho
1
2
−1

a) F = xM2 + yM2 + zM2 nhỏ nhất.
b) Khoảng cách từ M đến (P): x + y + 2z – 3 = 0 bằng

3.

Đ/s: a) M(1; –1; –1)
Bài 6: [ĐVH]. Cho hai điểm A(2; 1; –1), B(1; 2; 1), C(0; 0; 3) và d :

x 1− y z − 5
=
=
. Tìm điểm M thuộc d
3
1
1

sao cho MA2 + MB2 + MC2 đạt giá trị nhỏ nhất.

 3 12 54 
Đ/s: M  − ; ;  .
 11 11 11 

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!