bài toán tìm điểm thuộc mặt phẳng

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!



Ví dụ 1. Cho đường thẳng
1 1
:
2 1 1
− −
= =
−
x y z
d . Tìm điểm M trên d thỏa mãn
a)
3;
=MA với
(2;0;1)
A
b)
13
;
6
=
MA
MB
với
(2;0;1); (2; 1;1)
−
A B
c)

2 2 2
2 2 11
+ + =
M M M
x y z
d)
(
)
;( ) 2,
=
d M P
với (P): x + 2y + 2z – 1 = 0.
Đ/s: a) M(3; 1; 0) b) M(3; 1; 1) c) M(1; –1; –2)
Ví dụ 2. Cho đường thẳng
: 1
2
=


= +


=

x t
d y t
z t
. Tìm điểm M trên d thỏa mãn
a)
30

;
2
=
MAB
S v
ớ
i
(1;0;3); (2; 1;1)
−
A B
b)

( )
1
; ,
2
∆ =
d M v
ớ
i
1
:
2 1 1
+
∆ = =
x y z

Đ/s: a)
M(1; 2; 2)
b)

M(–1; 0; –2)
Ví dụ 3.
Trong không gian h
ệ
t
ọ
a
độ
Oxyz cho
đườ
ng th
ẳ
ng
3 1
:
1 1 2
− +
= =
−
x y z
d và hai
đ
i
ể
m A(2; −1; 1),
B(0; 1: −2). Tìm t
ọ
a
độ

đ
i
ể
m M thu
ộ
c
đườ
ng th
ẳ
ng (d) sao cho tam giác ABM có di
ệ
n tích nh
ỏ
nh
ấ
t.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
+)
Đườ
ng th
ẳ
ng d có ph
ươ
ng trình tham s

ố

: 3
1 2
=


= −


= − +

x t
d y t
z t

+) G
ọ
i M là
đ
i
ể
m c
ầ
n tìm. Do N
ế
u M thu
ộ
c d thì M nên
( ;3 ; 1 2 ).

− − +
M t t t

+) Di
ệ
n tích tam giác ABM
đượ
c tính b
ở
i
1
;
2
 
=
 
 
S AM BM

+)
( )
( )
( )
2;4 ;2 2
4 2 2 2 2 2 2 4
, ; ; 8; 2; 4
2 2 1 2 1 2
;2 ;2 1
AM t t t
t t t t t t

AM BM t t
t t t t t t
BM t t t

= − − −
 − − − − − − 

 
⇒ = = + + −

 
 
− + + −
= − +
 



 


+) Do
đ
ó
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1 1
, 8 2 16 2 5 34 34
2 2 2 2
 

= = + + + + = + + ≥
 
 
ABM
S AM BM t t t
V
ậ
y
34
min
2
=S khi
5 ( 5;8; 11).
= −
⇒
− −
t M
Ví dụ 4.
Trong không gian v
ớ
i h
ệ
to
ạ

độ
Oxyz, cho hai
đ
i
ể

m A(1; 5; 0), B(3; 3; 6) và
đườ
ng th
ẳ
ng

1 1
:
2 1 2
+ −
∆ = =
−
x y z
. Tìm to
ạ

độ

đ
i
ể
m M thu
ộ
c
đườ
ng th
ẳ
ng ∆
để
tam giác MAB có di

ệ
n tích nh
ỏ
nh
ấ
t.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
+) G
ọ
i
(2 1;1 ;2 ).
∈∆
⇒
− −
M M t t t

10. BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG THẲNG
Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
+)
( )
( )
2 2; 4 ;2

4 2 2 2 2 2 2 4
, ; ;
2 2 6 2 6 2 4 2 4 2
2 4; 2 ;2 6
AM t t t
t t t t t t
AM BM
t t t t t t
BM t t t

= − − −
 − − − − − − 

 
⇒ =

 
 
− − − − − − − −
= − − − −
 



 


(
)
2 24;8 12;2 12

t t t= + − −

+) Do đó
( ) ( ) ( )
2
2 2 2
1 1 23 1547 1
, 2 14 8 12 2 12 18 1547
2 2 18 36 6
S AM BM t t t t
 
 
= = + + − + − = − + ≥
 
 
 
 

+) V
ậ
y
1547
min
6
=S khi
23 14 5 23
; ; .
18 9 18 9
 
= ⇒ = −

 
 
t M

Ví dụ 5.
Trong không gian v
ớ
i h
ệ
to
ạ

độ

Oxyz
, cho ba
đ
i
ể
m
A
(5; 8;
−
11),
B
(3; 5;
−
4),
C
(2; 1;

−
6) và
đườ
ng
th
ẳ
ng th
ẳ
ng
1 2 1
:
2 1 1
− − −
= =
x y z
d . Tìm
đ
i
ể
m M thu
ộ
c (d) sao cho
MA MB MC
− −
  

đạ
t giá tr
ị
nh

ỏ
nh
ấ
t.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
Đ
i
ể
m M thu
ộ
c d nên M(2t + 1;2 + 2t;1 + t).
Ta có
( )
( )
( )
( )
2 4;2 6; 12
2 2;2 3; 5 2 1; 2 4;
2 1;2 1; 7
MA t t t
MB t t t MA MB MC t t t
MC t t t

= − − +



= − − +
⇒
− − = − − − − −


= − + +



   


( ) ( )
2
2 2
2 2
10 53 53
2 1 2 4 9 20 17 9
9 9 3
 
⇒
− − = + + + + = + + = + + ≥
 
 
  
MA MB MC t t t t t t
D
ấ

u
đẳ
ng th
ứ
c x
ả
y ra khi
10 11 2 1
; ; .
9 9 9 9
 
= −
⇒
= − − −
 
 
t M

Ví dụ 6.
Trong không gian v
ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ
Oxyz cho cho m
ặ
t ph

ẳ
ng
(
)
: 2 2 1 0
P x y z
− + − =
và các
đườ
ng
th
ẳ
ng
1
1 3
: ,
2 3 2
x y z
d
− −
= =
−

2
5 5
: .
6 4 5
x y z
d
− +

= =
−
Tìm
đ
i
ể
m M thu
ộ
c d
1
, N thu
ộ
c d
2
sao cho MN song song
v
ớ
i (P) và
đườ
ng th
ẳ
ng MN cách (P) m
ộ
t kho
ả
ng b
ằ
ng 2.
Ví dụ 7.
Trong không gian v

ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ
Oxyz, cho hai
đườ
ng
1
( ):
1 1 2
x y z
d
= =
và
2
1 1
( ):
2 1 1
x y z
d
+ −
= =
−
.
Tìm t
ọ
a

độ
các
đ
i
ể
m M thu
ộ
c d
1
và N thu
ộ
c d
2
sao cho
đườ
ng th
ẳ
ng MN song song v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng
(
)
: – 2012 0
+ + =
P x y z

độ
dài
đ
o
ạ
n MN b
ằ
ng
2.

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
Ta có
(
)
( )
( )
1
2
; ;2
2 ' 1; ' ; ' 2 1
1 2 '; ';1 '
∈
⇒


⇒
= − − − − − +

∈
⇒
− − +



M d M t t t
MN t t t t t t
N d N t t t
.
Theo bài ta có
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2 2
2
2 2
2
'
2
2 ' 1 ' ' 2 1 2
3 1 4 1 2
. 0
2 ' 1 ' ' 2 1 0

= −



=
− − + − + − + =
  
⇔ ⇔
  
+ + + − =
=
− − − − + − + =






 
t t
MN
t t t t t t
t t t
MN n
t t t t t t

( )
2
0
'
3 2 5
0;0;0 , ; ;
2

7 7 7
'
14 4 0
7
=

= −


 
⇔ ⇔ → = = − −
 
 
= −
+ =
 



t
t t
M N
t
t t

Ví dụ 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường
1
1 4
( ):
1 2 1

− +
= =
−
x y z
d và
2
1
( ): 1 2
2
= − +


= − −


= − +

x t
d y t
z t
.
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Tìm tọa độ các điểm M thuộc d
1
và N thuộc d
2
sao cho đường thẳng MN song song với mặt phẳng
(
)

: 2 1 0
+ + + =
P x y z
và
11.
=MN

Đ/s:
(1;0; 4), ( 2;1;3).
− −
M N
Ví dụ 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường
1
1 2 1
( ):
1 1 2
− − +
= =
−
x y z
d ;
2
2 3
( ): 1
4
= +


= −



= − +

x t
d y t
z t
.
Tìm t
ọ
a
độ
các
đ
i
ể
m M thu
ộ
c d
1
và N thu
ộ
c d
2
sao cho
đườ
ng th
ẳ
ng MN song song v
ớ
i m

ặ
t ph
ẳ
ng
(
)
: 19 0
+ + + =
P x y z
và
2 6.
=
MN
Ví dụ 10.
Trong không gian v
ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ
Oxyz, cho hai
đườ
ng
1
1
( ):
2
= +



=


= −

x t
d y t
z t
và
2
1
( ):
2 3 1
−
= =
− −
x y z
d .
Tìm t
ọ
a
độ
các
đ
i
ể
m M thu
ộ

c d
1
và N thu
ộ
c d
2
sao cho A, M, N th
ẳ
ng hàng v
ớ
i A(3;
−
4; 0).
Đ/s:

4
; ' 3
7
= − =
t t

BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1.
Trong không gian v
ớ
i h
ệ
t
ọ
a

độ
Oxyz, cho hai
đườ
ng
1
1
( ): 2
3
= +


= −


= +

x t
d y t
z t
và
2
2 1
( ):
1 1 1
− −
= =
− −
x y z
d .
Tìm t

ọ
a
độ
các
đ
i
ể
m M thu
ộ
c d
1
và N thu
ộ
c d
2
sao cho A, M, N th
ẳ
ng hàng v
ớ
i A(2;
−
2; 3).
Đ/s:

(3; 4;5), (1;0;1).
−
M N
Bài 2.
Trong không gian v
ớ

i h
ệ
t
ọ
a
độ
Oxyz, cho hai
đườ
ng
1
1 2
( ):
1
= +


=


= −

x t
d y t
z t
và
2
2 1
( ):
2 1 3
+ +

= =
−
x y z
d .
Tìm t
ọ
a
độ
các
đ
i
ể
m M thu
ộ
c d
1
và N thu
ộ
c d
2
sao cho
∆
AMN
đề
u, v
ớ
i A(3; 0; 1).
Bài 3.
Trong không gian v
ớ

i h
ệ
t
ọ
a
độ
Oxyz, cho
đườ
ng th
ẳ
ng
2 1 4
:
1 1 3
− − −
∆ = =
−
x y z
và hai m
ặ
t ph
ẳ
ng
( ):3 5 10 0; ( ):5 3 8 0
+ + − = − − + =
P x y z Q x y z . Tìm
đ
i
ể
m M thu

ộ
c
∆
sao cho
(
)
(
)
;( ) 3 ;( ) .
=
d M P d M Q

Đ/s:

59 28 113
(1;2;7), ; ;
29 29 29
 
 
 
M M

Bài 4.
Trong không gian cho
đườ
ng th
ẳ
ng
2 1 5
: .

1 3 2
+ − +
= =
−
x y z
d Tìm t
ọ
a
độ

đ
i
ể
m M thu
ộ
c d sao cho di
ệ
n
tích tam giác MAB b
ằ
ng
3 5
bi
ế
t
( 2;1;1), ( 3; 1;2)
− − −
A B
Đ
/s:

( 2;1; 5), ( 14; 35;19)
− − − −
M M
Bài 5.
Trong không gian v
ớ
i h
ệ
to
ạ

độ
Oxyz cho 2
đườ
ng th
ẳ
ng
1 2
1 2
: , :
1 1 2
1
= − −


= = =

= +



x t
x y z
d d y t
z t

a)
Xét v
ị
trí t
ươ
ng
đố
i c
ủ
a 2
đườ
ng th
ẳ
ng trên
b)
Tìm các
đ
i
ể
m A thu
ộ
c d
1
, B thu
ộ

c d
2
sao cho
đườ
ng th
ẳ
ng AB song song v
ớ
i (P): x – y + z – 3 = 0 và
2 2.
=AB

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Đ/s: A(1; 1; 2), B(1; –1; 0) hoặc
3 3 6 13 3 10
; ; , ; ;
7 7 7 7 7 7
− − − −
   
   
   
A B

Bài 6. Tìm trên đường thẳng
2 1 2
:
1 2 1
− − +
= =

−
x y z
d
đ
i
ể
m M(x
M
; y
M
; z
M
) sao cho
a)

2 2 2
= + +
M M M
F x y z
nh
ỏ
nh
ấ
t.
b)
Kho
ả
ng cách t
ừ

M

đế
n (
P
):
x
+
y
+ 2
z
– 3 = 0 b
ằ
ng
3.

Đ/s:

a) M
(1; –1; –1)
Bài 7.
Cho hai
đ
i
ể
m
A
(2; 1; –1),
B
(1; 2; 1),

C
(0; 0; 3) và
1 5
:
3 1 1
− −
= =
x y z
d
. Tìm
đ
i
ể
m
M
thu
ộ
c
d
sao cho
MA
2
+
MB
2
+
MC
2

đạ

t giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t.
Đ/s
:
3 12 54
; ; .
11 11 11
 
−
 
 
M