Bai giang 9 bai giang khoang cach trong ham so p2 baigiang

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG HÀM SỐ - P2
Thầy Đặng Việt Hùng
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
III. TỔNG KHOẢNG CÁCH ĐẾN HAI TRỤC TỌA ĐỘ

Giả sử có đồ thị hàm số y = f(x) trong đó f(x) hàm phân thức bậc nhất.
Bài toán đặt ra là tìm điểm M thuộc đồ thị có tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ Ox, Oy nhỏ nhất.
Giả sử M ( a; f ( a) ) , tổng khoảng cách từ M đến các trục tọa độ là d = a + f (a)

 M 0 ( 0; y0 )
G ọi 
là giao điểm của đồ thị và trục Ox hoặc Oy (thông thường ta lấy giao với trục Ox).
 M 0 ( x0 ;0 )
Khi đó d = y0 = k > 0

 a < k
Để tìm các điểm M khác M0 thuộc đồ thị mà có d < k ta chỉ cần tìm các điểm mà có 
(1)
 f (a ) < k
Giải (1) ta được m < a < n, khi đó ta cũng xác định được dấu của biểu thức f(a).
 β 
 β 
T ừ đó d = a + f ( a ) = ( a + α ) + 
→M
 + γ ≥ 2 β + γ ⇒ d min = 2 β + γ ⇔ ( a + α ) = 
 ⇒ a 
a+α

a+α
Bình luận: Ngoài cách giải sử dụng bất đẳng thức Cô-si như trên, chúng ta có thể dùng đạo hàm để giải bài toán.
Tuy nhiên, với phương án này, ta phải quan sát đồ thị hàm số khảo sát được để đánh giá về dấu của y.
x −1
Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho hàm số y =
, (C ) .
3x + 1
Tìm điểm M là thuộc đồ thị sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ nhât.
Hướng dẫn giải:

x −1
x −1 
Gọi M ( xo ; yo ) ∈ ( C ) 
→ yo = o

→ M  xo ; o

3 xo + 1
 3xo + 1 

Tổng khoảng cách từ M đến các trục tọa độ là d = xo + yo = xo +

xo − 1
3 xo + 1

Xét tại một điểm A (1;0 ) ∈ ( C ) 
→ d = 1.
Để tìm điểm M cho tổng khoảng cách đến các trục tọa độ nhỏ hơn 1, ta chỉ cần xét hàm d khi |xo| < 1, (vì khi |xo| > 1
thì ta luôn có d > 1).
 xo = −1

x − 1 3xo2 + 1
9 x 2 + 6 xo − 3

Khi 0 ≤ xo < 1 
0
→ d = xo − o
=

→d′ = o
=
⇔
2
 xo = 1
3xo + 1 3 xo + 1
( 3xo + 1)

3
1 2
Lập bảng biến thiên ta được d min = d   = .
3 3
x − 1 −3 xo2 − 2 xo + 1
−4
Khi −1 < xo < 0 
→ d = − xo − o
=

→d′ =
<0
2
3 xo + 1

3 xo + 1
( 3xo + 1)
Trường hợp này d không đạt giá trị nhỏ nhất.
1
1
1 1
Kết luận: Điểm M cần tìm xo = , yo = − 
→ M  ;−  .
3
3
3 3

2x − 4
, (C ) .
x +1
Tìm điểm M là thuộc đồ thị sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ nhât.
Hướng dẫn giải:
2
a
−
4
2a − 4


Gọi M  a;
→ Tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ: d = a +
 ∈ ( C ) 
a +1 
a +1


Ta có: Với a = 2 → d = 2,
(1)
Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho hàm số y =

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

2a − 4
≥ a > 2 
→ d > 2, ∀ a > 2
a +1
2a − 4
2a − 4 2a − 4
2a − 4
Nế u
> 2 
→d = a +
≥
> 2 
→ d > 2, ∀
>2
a +1
a +1
a +1
a +1

Nếu a > 2 
→d = a +

a ≤2
1

Do đó, để tìm GTNN của d, ta chỉ xét :  2a − 4
⇔ ≤ a ≤ 2. , (*)
2
≤2

 a +1
1
4 − 2a
6
6
Với < a < 2 
→d = a +
=a−2+
= a +1+
− 3 ≥ 2 6 − 3,
2
a +1
a +1
a +1
Dấu “=” xảy ra khi a = 6 − 1 (thỏa mãn (*)).

Từ (1), (2) suy ra d min = 2 6 − 3 ⇔ a = 6 − 1 
→M
Vậy điểm M cần tìm là M =

(

6 − 1; 2 − 6

)

(

6 − 1; 2 − 6

(2)

)

IV. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐIỂM TRÊN HAI NHÁNH CỦA ĐỒ THỊ

g ( x)
k
.
=α+
h( x )
x−a
Đồ thị có tiệm cận đứng x = a, khi đó phần đồ thị nằm bên phải x = a được gọi là nhánh trái của đồ thị, phần đồ thị
nằm bên phải đường x = a được gọi là nhánh phải của đồ thị.
Gọi M ( x1 ; y1 ) ; N ( x2 ; y2 ) tương ứng là các điểm thuộc nhánh trái và nhánh phải của đồ thị.
Giả sử có đồ thị hàm số y = f ( x) =

a − x1 > 0
Khi đó x1 < a < x2 ⇔ 

 x2 − a > 0
Khoảng cách giữa hai điểm MN được cho bởi MN =

( x2 − x1 )

2

+ ( y2 − y1 ) =
2

( x2 − x1 )

2

 k
k 
+
−

 x2 − a x1 − a 

t = a − x1 ⇒ t1 > 0
 x1 − a = −t1
⇔
Đặt  1
t2 = x2 − a ⇒ t2 > 0  x2 − a = t2
Thay vào biểu thức tính MN và dùng Cô-si đánh giá ta thu được MNmin.
x+3
Ví dụ: [ĐVH]. Cho hàm số y =
, (C ) .

x−3
Tìm trên (C) hai điểm A, B thuộc hai nhánh khác nhau sao cho độ dài AB ngắn nhất .
Hướng dẫn giải:
x+3
6
Ta có y =
=1+
x −3
x−3

 6
6 
6  
6 
2
2
Gọi A  x1 ;1 +
−
 ; B  x2 ;1 +
 là các điểm thuộc đồ thị hàm số ⇒ AB = ( x2 − x1 ) + 

x1 − 3  
x2 − 3 

 x2 − 3 x1 − 3 
3 − x1 > 0
Giả sử A thuộc nhánh trái và B thuộc nhánh phải, khi đó x1 < 3 < x2 ⇔ 
 x2 − 3 > 0

t = 3 − x1 ⇒ t1 > 0

 x1 − 3 = −t1
Đặt  1
⇔
⇒ x2 − x1 = t2 + t1
t2 = x2 − 3 ⇒ t2 > 0
 x2 − 3 = t2
2

Ta có AB = ( t2 + t1 )
2

2

 6 6
36 36
72  2 36   2 36  
72 
+  +  = t12 + t22 + 2 + 2 + 2t1t2 +
=  t1 + 2  +  t2 + 2  +  2t1t2 +

t1t2 
t1t2 
t1 t2
t1  
t2  
 t2 t1 

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

2

2


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Theo bất đẳng thức Cô-si ta có

t12 +

36
36
≥ 2 t12 . 2 = 12
t12
t1

t22 +

36
36
≥ 2 t22 . 2 = 12
2
t2
t2

2t1t2 +

Facebook: LyHung95

72

72
≥ 2 2t1t2 .
= 24
t1t2
t1t2


36  
36  
72 
Khi đó AB 2 =  t12 + 2  +  t22 + 2  +  2t1t2 +
 ≥ 12 + 12 + 24 = 72 ⇒ AB ≥ 6 2
t1t2 
t1  
t2  

 2 36
t1 = 2
t1
t1 = 6

 A 3 − 6;1 − 6

 2 36
t1 = 6
 x1 = 3 − 6

⇒ ABmin = 6 2 ⇔ t2 = 2
⇔ t2 = 6 ⇔ 
⇔


→
t2
t2 = 6
 x2 = 3 + 6

t t = 6
 A 3 + 6;1 + 6


 1 2
72
2t1t2 =
t1t2


(
(

)
)

V. MỘT SỐ BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH KẾT HỢP VỚI TƯƠNG GIAO

Cho hàm số ( C ) : y =

ax + b
và đường thẳng d : y = mx + n.
cx + d

ax + b
d
= mx + n có hai nghiệm phân biệt khác − .
cx + d
c
là các giao điểm, khi đó A ( xA ; mxA + n ) , B ( xB ; mxB + n )

Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B khi phương trình
Giả sử A ( xA ; y A ) , B ( xB ; yB )

→ AB =

( x A − xB )

2

+ ( y A − yB ) =
2

( x A − xB )

2

+m

2

( x A − xB )

2

=

(m

2

)

2
+ 1  ( x A + xB ) − 4 x A x B 



x A − xB

m2 + 1

Sử dụng Vi-ét cho phương trình hoành độ giao điểm ta được kết quả của bài toán.

−b + ∆
 xA =
∆ 2 ∆′

2a
Ngoài cách biến đổi trên ta có thể thực hiện như sau : 

→ x A − xB =
=
a

a
b
−
−
∆
x =
 B
2a
∆
2 ∆′
Khi đó AB = x A − xB m 2 + 1 =
. m2 + 1 =
. m2 + 1
a
a

(

)

2x + 4
.
1− x
Gọi d là đường thẳng đi qua M(1; 1) có hệ số góc là k .Tìm k để d cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB = 3 10.
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d qua M(1; 3) và có hệ số góc k nên d : y = k(x −1) + 1.
2x + 4
Phương trình hoành độ giao điểm:
= kx + 1 − k ⇔ g ( x) = kx 2 + ( 3 − 2k ) x + k + 3 = 0, (1)
1− x

Để hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm A, B phân biệt thì (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1.
k ≠ 0
k ≠ 0

k ≠ 0
2

Ta có điều kiện: ∆ = ( 3 − 2k ) − 4k ( k + 3) > 0 ⇔ 
⇔
9 ( *)
9 − 24k > 0 k <
 g (1) = 6 ≠ 0

24

Với điều kiện (*) thì d cắt (C) tại hai điểm A, B.
3k − 3
3

 x1 + x2 = k = 3 − k
Theo định lí Vi-ét ta có 
x x = k + 3 =1+ 3
 1 2
k
k

Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho hàm số ( C ) : y =

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Gọi A ( x1 ; kx1 + 3 − k ) ; B ( x2 ; kx2 + 3 − k ) ⇒ AB =

( x2 − x1 )

2

Facebook: LyHung95

+ k 2 ( x2 − x1 ) =
2

(k

2

2
+ 1) ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2 



2

3
12 
Theo giả thiết ta có AB = 3 10 ⇔ AB 2 = 90 ⇔ ( k 2 + 1)  3 −  − 4 −  = 90
k
k 


⇔ ( 9 − 24k ) ( k 2 + 1) = 90k 2 ⇔ 24k 3 + 81k 2 + 24k + 9 = 0 ⇔ 3 ( k + 3) ( 8k 2 + 3k − 1) = 0

 k = −3
 k = −3

→ 2
⇔
**
 k = −3 ± 41 ( )
8k + 3k − 1 = 0

16
Vậy với k thỏa mãn (**) thì d cắt (C) tại A, B và AB = 3 10.
3x − 2
Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho hàm số ( C ) : y =
.
x −1
Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(1; 3) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB = 2 3.
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d qua M(1; 3) và có hệ số góc k nên d : y = k(x −1) + 3.
3x − 2
Phương trình hoành độ giao điểm:
= kx + 3 − k ⇔ g ( x) = kx 2 − 2kx + k − 1 = 0, (1)
x −1
Để hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm A, B phân biệt thì (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1.
k ≠ 0
k ≠ 0

⇔ k > 0 ( *)

Ta có điều kiện:  ∆ ' = k 2 − k ( k − 1) > 0 ⇔ 
k > 0
 g (1; k ) = −1 ≠ 0


Gọi A ( x1 ; kx1 + 3 − k ) ; B ( x2 ; kx2 + 3 − k ) ⇒ AB =

( x2 − x1 )

2

+ k 2 ( x2 − x1 ) = x2 − x1
2

Trong đó x1; x2 là hai nghiệm của phương trình (1).
2 ∆'
2 k
Từ đó ta được AB =
. k2 +1 =
. k 2 + 1 = 2 3 ⇔ k ( k 2 + 1) = k
a
k
⇔ k 2 + 1 = 3k ⇔ k 2 − 3k + 1 = 0 ⇔ k =

k2 +1 .

3 ⇔ k ( k 2 + 1) = 3k 2

3± 5
.

2

3± 5
là giá trị cần tìm.
2
2x
Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho hàm số ( C ) : y =
.
x −1
Tìm các giá trị của m để đường thẳng d : y = mx − m + 2 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải:
2x
Phương trình hoành độ giao điểm:
= mx − m + 2 ⇔ g ( x) = mx 2 − 2mx + m − 2 = 0, (1)
x −1
Để hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm A, B phân biệt thì (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1.
m ≠ 0
m ≠ 0


→ m > 0 ( *)
Ta có điều kiện: ∆ ' = m 2 − m ( m − 2 ) > 0 ⇔ 
2m > 0
 g (1) = −2 ≠ 0


Đối chiếu với (*) ta được k =

Giả sử A ( x1 ; mx1 − m + 2 ) ; B ( x2 ; mx2 − m + 2 ) 

→ AB =

( x2 − x1 )

2

+ m 2 ( x2 − x1 ) = x2 − x1
2

m2 + 1

2m ( m 2 + 1)
2 ( m 2 + 1)
2 ∆'
2 2m
2
2
⇔ AB =
. m +1 =
. m +1 = 2
=2
≥ 2 4 = 4.
a
m
m2
m
Vậy ABmin = 4 khi m = 1.
2x + 1
Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho hàm số ( C ) : y =
.

x+2
Tìm m để đường thẳng d : y = −x + m cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải:

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

2x + 1
= − x + m ⇔ g ( x) = x 2 + (4 − m) x + 1 − 2m = 0,
x+2
Để hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm A, B phân biệt thì (1) có hai nghiệm phân biệt khác −2.
2
 ∆ = ( 4 − m ) 2 − 4 (1 − 2m ) > 0  m + 12 > 0
3
Ta có điều kiện: 
⇔

→ m ≠ ( *)
3
2
 g (−2) = 2m − 3 ≠ 0
m ≠
2


Phương trình hoành độ giao điểm: :

Giả sử A ( x1 ; − x1 + m ) ; B ( x2 ; − x2 + m ) 
→ AB 2 = ( x2 − x1 ) + ( x1 − x2 ) = 2 ( x2 − x1 )
2

⇔ AB = x2 − x1

2

(1)

2

2 = ∆ 2 = 2. m 2 + 12 ≥ 2 12 = 2 6 ⇔ m = 0 .

Khi m = 0 thì AB nhỏ nhất bằng 2 6.
VI. MỘT SỐ BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH KẾT HỢP VỚI TIẾP TUYẾN

2x + 1
5
.
=2+
x−2
x−2
Gọi d là tiếp tuyến của (C) tại M(0; 1). Hãy tìm trên (C) những điểm có hoành độ x > 1 mà khoảng cách từ đó
đến d là ngắn nhất.
Hướng dẫn giải:
5
5
Ta có : y′ = −

⇒ y′(0) = − .
2
4
( x − 2)

Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho hàm số ( C ) : y =

5
5
( x − 0) + 1 = − x + 1 ⇔ 5x + 4 y − 4 = 0
4
4
Gọi M ( x; y ) ∈ (C ) với x > 1. Khoảng cách từ M đến d là d(M; d) thì
Phương trình tiếp tuyến d tại M : y = −
5x − 4 y + 4

5 
1
20

5x + 4  2 +
5x + 4 +
−4 =
x−2
x−2
25 + 16
41
41
41


x = 0
20
20
⇒ g ( x) = 5 x + 4 +
, ( x > 1) ; g '( x) = 5 −
=0⇔
2
x−2
( x − 2)
x = 4
Lập bảng biến thiên, ta thấy min g(x) = g(4) = 34
34
9
 9
Kết luận : min h( M ;d ) =
khi x = 4; y = ⇒ N  4;  .
2
41
 2
2x + 1
Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho hàm số ( C ) : y =
.
x−2
Tìm hai điểm M, N thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M, N song song với nhau và khoảng cách giữa hai tiếp
tuyến là lớn nhất.
Hướng dẫn giải:
2x + 1
5
5
Ta có y =

=2+
⇒ y′ = −
.
2
x−2
x−2
( x − 2)

⇒ d ( M ;d ) =

=

1

5x − 4 y + 4 =

1

5

2
kM = −
( x1 − 2 )

Gọi M ( x1 ; y1 ) ; N ( x2 ; y2 ) ∈ ( C ) , ( x1 ≠ x2 ) ⇒ 
5
k = −
N
2


( x2 − 2 )

Nếu hai tiếp tuyến song song với nhau thì
5
5
2
2
kM = k N ⇔ −
=−
⇔ ( x2 − 2 ) − ( x1 − 2 ) = 0 ⇔ ( x2 − x1 )( x2 + x1 − 4 ) = 0
2
2
( x1 − 2 )
( x2 − 2 )
⇔ x1 + x2 − 4 = 0 ⇔ x1 − 2 = 2 − x2
Khoảng cách hai tiếp tuyến ngắn nhất khi MN vuông góc với hai tiếp tuyến ⇔ kMN .kM = −1
Trong đó k MN =

( *)


−5 ( x2 − x1 )
y2 − y1
1
5  
5 
5
=
=−
 2 +

 −2+
 =
x2 − x1 ( x2 − x1 ) 
x2 − 2  
x1 − 2   ( x2 − x1 )( x2 − 2 )( x1 − 2 )
( x2 − 2 )( x1 − 2 )

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
k MN .k M =

5

5

( x2 − 2 )( x1 − 2 ) ( x1 − 2 )

2

= −1 ⇔

Facebook: LyHung95

5
5
= −1
( − x1 )( x1 − 2 ) ( x1 − 2 )2

1
⇔ 25 x14 − 150 x13 + 400 x12 − 200 x1 − 1 = 0 ⇒ x1
25
Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho hàm số y = x 3 − 3 x + 2.
⇔ x1 ( x1 − 2 ) =
3

Tìm hai điểm M, N thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M cắt (C) ở N sao cho MN = 2 6.
Hướng dẫn giải:
 x = −1
Đạo hàm y ' = 3 x 2 − 3 = 0 ⇔ 
x =1
Gọi M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) ⇒ y0 = x03 − 3 x0 + 2
Tiếp tuyến tại M có phương trình

( d ) : y = ( 3x02 − 3) ( x − x0 ) + x03 − 3x0 + 2 = 3 ( x0 − 1) ( x0 + 1)( x − x0 ) + ( x02 + x0 − 2 )

Nếu d cắt (C) tại N thì ta có phương trình hoành độ giao điểm: x3 − 3 x + 2 = ( 3 x02 − 3) ( x − x0 ) + x03 − 3x0 + 2
⇔ x3 − x03 − 3 ( x − x0 ) − ( 3 x02 − 3) ( x − x0 ) = 0 ⇔ ( x − x0 ) ( x 2 + xx0 + x02 ) − 3 − ( 3 x02 − 3)  = 0
 x = x0
 x − x0 = 0
 x = x0

.
⇔ 2
⇔  x = −4 x0 ⇔ 
2
x = −4 x0

 x + xx0 − 2 x0 = 0

 x = x0

(

Như vậy, điểm N là điểm có hoành độ là xN = −4 x0 ⇒ N −4 x0 ; ( 4 x0 + 1) ( 4 x0 − 2 )
Ta có : MN =

( −5 x0 )

2

2
2
+ ( 4 x0 + 1) ( 4 x0 − 2 ) − ( x0 − 1) ( x0 − 2 ) 



2

)

2

⇔ MN = 25 x02 + ( −65 x02 + 15 x0 ) = 5 x0 1 + ( 3 − 13 x0 ) = 5 x0 169 x02 − 78 x0 + 10
2

2

Theo giả thiết 5 x0 169 x02 − 78 x0 + 10 = 2 6 ⇔ ( 25 x02 )(169 x02 − 78 x0 + 10 ) = 24

Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 + 1.
Tìm hai điểm A, B thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại A, B song song với nhau và AB = 4 2.
Hướng dẫn giải:
 k A = 3 x12 − 6 x1
Ta có y ' = 3 x 2 − 6 x ⇒ 
2
 k B = 3x2 − 6 x2
Nếu hai tiếp tuyến tại A, B song song nhau thì :
 x1 ≠ x2
⇔ 3x22 − 6 x2 = 3 x12 − 6 x1 ; ⇔ 3 ( x2 − x1 )( x2 + x1 − 2 ) = 0 ⇔ 
 x1 + x2 = 2 (*)

- Do A, B ∈ (C ) ⇒ y1 = x13 − 3 x12 + 1; y2 = x23 − 3 x22 + 1 ⇔ y2 − y1 = ( x2 − x1 ) ( x12 + x1 x2 + x22 ) − 3 ( x1 + x2 ) 
2
⇔ y2 − y1 = ( x2 − x1 ) ( x1 + x2 ) − 3 ( x1 + x2 ) − x1 x2  = ( x2 − x1 )( 4 − 3.2 − x1 x2 ) = − ( x2 − x1 )( 2 + x1 x2 )



⇒ AB =

( x2 − x1 )

2

+ ( y2 − y1 ) =
2

( x2 − x1 )

2

+ ( x2 − x1 ) ( 2 + x1 x2 ) = x2 − x1 1 + ( 2 + x1 x2 )
2

2

(**)

2

Theo giả thiết ta có
2
2
2
2
2
x2 − x1 1 + ( 2 + x1 x2 ) = 4 2 ⇒ ( x2 − x1 ) 1 + ( 2 + x1 x2 )  = 32 ⇔ ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2  1 + ( 2 + x1 x2 )  = 32





Đặt t = x1 x2 , và thay x1 + x2 = 2 (do *) ta có :

( 4 − 4t ) ( 5 + 4t + t 2 ) − 32 = 0; ⇔ t 3 + 3t 2 + t + 3 = 0 ⇔ ( t 2 + 1) ( t + 3) = 0 ⇒ t = −3

  x1 = −1

 x1 + x2 = 2
 X = −1   x2 = 3

⇒ X 2 − 2X − 3 = 0 ⇒ 
⇔
Vậy ta có hệ 
x = 3
X = 3
 x1 x2 = −3
 1
  x2 = −1

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

 A ( −1; −3) ; B ( 3;1)
Do đó tồn tại hai điểm 
thỏa mãn yêu cầu bài toán .
 A ( 3;1) ; B ( −1; −3)

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

2x + 3
Bài 1: [ĐVH]. Cho hàm số ( C ) : y =
.
x−2
Tìm điểm M trên (C) sao cho

a) M có tọa độ là số nguyên.

b) tổng khoảng cách từ M đến các tiệm cận nhỏ nhất.
d) tổng khoảng cách từ M đến các trục tọa độ Ox, Oy nhỏ nhất.

Bài 2: [ĐVH]. Cho hàm số ( C ) : y =

x+2
.
2x − 3

Tìm điểm M trên (C) sao cho

a) M có tọa độ là số nguyên.
b) khoảng cach từ M đến hai tiệm cận bằng nhau.
c) tổng khoảng cách từ M đến các tiệm cận nhỏ nhất.
d) tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ nhất.
Bài 3: [ĐVH]. Cho hàm số ( C ) : y =

x +1
.
x−2

Tìm điểm M trên (C) sao cho

a) tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm nhỏ nhất.
b) khoảng cách MI ngắn nhất, với I là giao của hai tiệm cận.
c) tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ nhất.
d) Tìm trên (C) hai điểm MN thuộc hai nhánh khác nhau sao cho MN ngắn nhất.
Bài 4: [ĐVH]. Cho hàm số ( C ) : y =

x −1

.
2x + 2

Tìm điểm M, N trên (C) và thuộc hai nhánh khác nhau sao cho độ dài MN nhỏ nhất.

Bài 5: [ĐVH]. Cho hàm số ( C ) : y =

x
.
x +1

Tìm điểm A, B trên (C) và thuộc hai nhánh khác nhau sao cho độ dài MN nhỏ nhất.

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!