ga day them toan 10 van thao

Giáo án dạy thêm Toán 10

Giáo viên; Văn Thị Thảo

THPT QL2

TAM THỨC BẬC HAI
Ngày soạn:
I. Mục tiêu.
Qua bài học học sinh cần nắm được:
1/ Về kiến thức
• Củng cố phương pháp xét dấu tam thức bậc hai, định lý Viét
• Nắm được phương pháp giải bpt bậc hai một ẩn số.
2/ Về kỹ năng
• Vận dụng được định lý dấu của tam thức bậc hai để giải bpt bậc hai
3/ Về tư duy
• Nhớ, hiểu , vận dụng
4/ Về thái độ:
• Cẩn thận, chính xác.
• Tích cực hoạt động; rèn luyện tư duy khái quát, tương tự.
5/ Năng lực:
• tính toán
• giải quyết vấn đề
II. Chuẩn bị.
• Hsinh chuẩn bị kiến thức đã học
•GV: Giáo án,
III. Phương pháp.
Dùng phương pháp gợi mở vấn đáp.
IV. Tiến trình bài học và các hoạt động.
1/ Định nghĩa tam thức bậc hai:
Tam thức bậc hai (đối với x) là biểu thức dạng ax2+bx+c trong đó a, b, c là những số cho trước với a ≠ 0.

2/ Định lí về dấu của tam thức bậc hai:
Cho tam thức bậc hai f(x)=ax2+bx+c (a ≠ 0)
'
-Nếu ∆ <0 ( ∆ < 0 ) thì f(x) cùng dấu với a với mọi x thuộc ¡ .
b
'
-Nếu ∆ = 0 ( ∆ = 0 ) thì f(x) cùng dấu với a với mọi x ≠ −
.
2a
'
-Nếu ∆ >0 ( ∆ > 0 ) thì f(x) có hai nghiệm x1 và x2 (x1trong khoảng(x1;x2) ( tức là x1 < x < x2) và f(x) cùng dấu với a với mọi x nằm ngoài đoạn [ x1; x2 ] ( tức là x <
x1 hoặc x < x2).
2
'
' 2
Với ∆ = b − 4ac ( ∆ = (b ) − ac )
Ví dụ 1: Xét dấu tam thức bậc hai f(x)= -x2-2x+3
Giải
Vì a=-1<0 và tam thức f(x) có hai nghiệm x1=-3 ; x2= 1
bảng xét dấu sau:
x
-∞
-3
1
+∞
2
-x -2x+3
0
+

0
Ví dụ 2: Xét dấu tam thức bậc hai f(x)= x2-2x+1
Giải
f(x)= x -2x+1 > 0 ∀x ≠ 1 vì tam thức f(x) có ∆ =0 và nghiệm kép x = 1, a = 1 > 0
bảng xét dấu sau:
x
-∞
1
+∞
2
x -2x+1
+
0
+
2


Giáo án dạy thêm Toán 10

Giáo viên; Văn Thị Thảo

Bài tập áp dụng:
Xét dấu các tam thức sau:
1/ f(x)= -2x2 - 2x + 1
3/f(x)= x2 - 2x + 5
5/f(x)= x2 – 3

2/ f(x)= 9x2 - 12x + 4
4/f(x)= - x2 - 4x
6/f(x)= - x2 + 1

THPT QL2

7/ f(x)= 3x2 + 2x

2/Giải bất phương trình bậc hai, bất phương trình tích và bất phương trình chứa ẩn dưới mẫu.
Cách giải:
- Đối với bất phương trình bậc hai ta xét dấu vế trái và dựa vào dấu bất phương trình kết
luận nghiệm
- Đối với bất phương trình tích xét dấu các nhân tử rồi nhân các dấu đó lại với nhau, dựa
vào dấu của bất phương trình rồi kết luận nghiệm.
- Đối với bất phương trình chứa ẩn dưới mẫu ta phải đưa về dạng
 P( x)

P( x)
P( x)
P( x)
< 0; 
> 0;
≤ 0;
≥ 0 ÷ , rồi mới xét dấu vế trái và dựa vào dấu bất
 Q( x)
÷
Q( x)
Q( x)
Q( x)


phương trình kết luận nghiệm
Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau:

1/ - x2 + 2x + 3 < 0
2/ x2 + 2x + 1 > 0
3/ - x2 + 2x – 6 > 0
2 x 2 − 16 x + 27
4/
≤2
x 2 − 7 x + 10
5/ (4 - 2x)(x2 + 7x + 12 ) < 0
Giải
1/ - x2 + 2x + 3 < 0
Vậy nghiệm của bất phương trình là: S= ( −∞; −1) ∪ ( 3; +∞ )
2/ x2 + 2x + 1 > 0
Vậy nghiệm của bất phương trình là: S= ¡ \{-1}
3/ - x2 + 2x – 6 > 0
Vậy: bất phương trình vô nghiệm S= ∅
4/

2 x 2 − 16 x + 27
≤2
x 2 − 7 x + 10

Bất phương trình trở thành:
2 x 2 − 16 x + 27 − 2 ( x 2 − 7 x + 10 )
2 x 2 − 16 x + 27
−2 x + 7
−2 ≤ 0 ⇔
≤0⇔ 2
≤0
2
2

x − 7 x + 10
x − 7 x + 10
x − 7 x + 10
Bảng xét dấu
x
-2x+7
x2-7x+10
vt

-∞

2
+
+
+

|
0
||

+
-

7
2
0
|
0

+∞

5
+

|
0
||

+
-


Giáo án dạy thêm Toán 10

Giáo viên; Văn Thị Thảo

 7
Vậy nghiệm của bất phương trình là: S=  2;  ∪ ( 5; +∞ )
 2
2
5/ (4 - 2x)(x + 7x + 12) < 0

Bảng xét dấu
x
4-2x
x2+7x+12
vt

-∞
+

+
+

-4
|
0
0

+
-

-3
|
0
0

+
+
+

2
0
|
0

Vậy nghiệm của bất phương trình là: S= ( −4; −3) ∪ ( 2; +∞ )
Bài tập áp dụng:
Giải các bất phương trình sau:
1/- 3x2 + 2x + 3 < 0
3/ - 2x2 + x – 1 > 0

5/ x2 – 4 > 0
x 2 − 16 x − 27
7/
≤0
x2 − 7x + 1
x 2 − 1x − 7
9/ 2
≤3
x − x +1

2/ 9x2 + 12x + 4 > 0
4/- 3x2 + 2x < 0
6/ - 2x2 – 1 > 0
8/ (4 + x)(- x2 + 7x + 6) < 0
10/

1
1
≤ 2
x − x + 1 x − 7 x + 10
2

3/Giải hê bất phương trình .
Cách giải:
Giải từng bất phương trình sau đó giao nghiệm lại.
Ví dụ 1
: Giải hệ bất phương trình sau
2

3 x − 7 x + 2 > 0


2

−2 x + x + 3 > 0
Giải
1

Bất phương trình thứ nhất có tập nghiệm là S1=  −∞; ÷∪ ( 2; +∞ )
3

3

Bất phương trình thứ hai có tập nghiệm là S2=  −1; ÷
2

1

Tập nghiệm của hệ là S = S1 ∩ S2 =  −1; ÷
3

Bài tập áp dụng

Bài 1: Giải các hệ bất phương trình sau
3 x − 3 < 3 x + 4
a/  2
 x − 7 x + 10 ≤ 0
3 x 2 − 3 > 0

b/  2


 x − 7 x + 10 ≤ 0
 x 2 − 3 < 0
c/  2
( x − 7 x + 10) ( 2 x − 1) ≤ 0

+∞
+
-

THPT QL2


Giáo án dạy thêm Toán 10

Giáo viên; Văn Thị Thảo

THPT QL2

TAM THỨC BẬC HAI
Ngày soạn:
I. Mục tiêu.
Qua bài học học sinh cần nắm được:
1/ Về kiến thức
• Củng cố phương pháp xét dấu tam thức bậc hai, định lý Viét
• Nắm được phương pháp giải bài toán PT và BPT bậc hai chứa tham số
2/ Về kỹ năng
• Vận dụng được định lý dấu của tam thức bậc hai để giải bài toán PT và BPT bậc hai chứa
tham số
3/ Về tư duy
• Nhớ, hiểu , vận dụng

4/ Về thái độ:
• Cẩn thận, chính xác.
• Tích cực hoạt động; rèn luyện tư duy khái quát, tương tự.
5/ Năng lực:
• tính toán
• giải quyết vấn đề
II. Chuẩn bị.
• Hsinh chuẩn bị kiến thức đã học
•GV: Giáo án,
III. Phương pháp.
Dùng phương pháp gợi mở vấn đáp.
IV. Tiến trình bài học và các hoạt động.
Bài 1: Tìm các giá trị của tham số m để mỗi phương trình sau có nghiệm:
a) 2x2 + 2(m+2)x + 3 + 4m + m2 = 0
b) (m–1)x2 – 2(m+3)x – m + 2 = 0
Bài 2: Tìm các giá trị m để phương trình:
a) x2 + 2(m + 1)x + 9m – 5 = 0 có hai nghiệm âm phân biệt
b) x2 – 6m x + 2 – 2m + 9m2 = 0 có hai nghiệm dương phân biệt
c) (m2 + m + 1)x2 + (2m – 3)x + m – 5 = 0 có hai nghiệm dương phân biệt
Tìm tham số m để tam thức bậc hai không đổi dấu trên ℜ
a > 0
∀x ∈ R,ax 2 + bx + c > 0 ⇔ 
∆ < 0
Cách giải: dựa vào nhân xét :
a < 0
∀x ∈ R,ax 2 + bx + c < 0 ⇔ 
∆ < 0
Ví dụ 1: Với những giá trị nào của m thì đa thức f(x) = (2-m)x2 - 2x + 1 luôn dương với mọi x thuộc ¡
Giải
- Với m = 2 thì f(x)= -2x+1 lấy cả những giá trị âm. Do đó m = 2 không thỏa mãn điều kiện đề bài.

- Với m ≠ 2, f(x) là tam thức bậc hai với ∆' = m − 1 . Do đó:
a > 0
2 − m > 0
m < 2
∀x , f ( x ) > 0 ⇔  '
⇔
⇔
⇔ m <1
m − 1 < 0
m < 1
∆ < 0
Vậy với m < 1 thì tam thức luôn dương
Bài tập áp dụng:
Với những giá trị nào của m thì các đa thức sau luôn âm với mọi x thuộc ¡
1/f(x) = (m-1)x2 + (2m+1)x + m + 1
2/f(x) = - x2 + 2m 2 x - 2m2 - 1
3/f(x) = (m-2)x2 - 2(m-3)x + m - 1


Giáo án dạy thêm Toán 10

Giáo viên; Văn Thị Thảo

THPT QL2

Với những giá trị nào của m thì các đa thức sau luôn dương với mọi x thuộc ¡
1/f(x) = (m2+2)x2 - 2(m+1)x + 1
1/f(x) = (m+1)x2 + 2(m+2)x + m + 3
Ví dụ 2: Tìm các giá trị của m để bất phương trình sau vô nghiệm
(m-2)x2+2(m+1)x+2m > 0

Giải
2
Đặt f(x)=(m-2)x +2(m+1)x+2m
Để bất phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi f(x) ≤ 0 ∀x ∈ ¡
Với m = 2 ta có f(x)=6x+4. Khi đó f(x) nhận cả các giá trị dương
Giá trị m=2 không thỏa mãn điều kiện đòi hỏi
Với m ≠ 2 ta có:

a < 0
m − 2 < 0
m < 2
f ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔  '
⇔ 2
⇔
⇔ m ≤ 3 − 10
m ≤ 3 − 10 hoaëc m ≥ 3 + 10
∆ ≤ 0
 − m + 6m + 1 ≤ 0

Vậy bất phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi m ≤ 3 − 10
Bài 2:Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm
a/ (m-5)x2 - 4mx + m – 2 = 0
b/ (m+1)x2 + 2(m-1)x + 2m – 3 = 0
c/ x2 + (m-2)x - 2m + 3 = 0
Bài 3 Chứng minh rằng các phương trình sau vô nghiệm dù m lấy bất kì giá trị nào
a/ x2 - 2(m+1)x + 2m2 + m + 3 = 0
b/ (m2 + 1)x2 + 2(m+2)mx + 6 = 0
Bài 4:Tìm các giá trị của m để bất phương trình
(m-1)x2 - 2(m+1)x + 3(m-2)> 0 nghiệm đúng ∀x ∈ ¡
Bài 5:Xác định m để tam thức sau luôn dương với mọi x:

a) x2 +(m+1)x + 2m +7
b) x2 + 4x + m –5
2
2
c) (3m+1)x – (3m+1)x + m +4 d) mx –12x – 5
Bài 6: Xác định m để tam thức sau luôn âm với mọi x:
a) mx2 – mx – 5
b) (2 – m)x2 + 2(m – 3)x + 1– m
2
2
c) (m + 2)x + 4(m + 1)x + 1– m
d) (m – 4)x2 +(m + 1)x +2m–1
Bài 7: Xác định m để hàm số f(x)= mx 2 − 4 x + m + 3 được xác định với mọi x.
Bài 8: Tìm giá trị của tham số để bpt sau nghiệm đúng với mọi x
a) 5x2 – x + m > 0
b) mx2 –10x –5 < 0
c) m(m + 2)x2 + 2mx + 2 >0
d) (m + 1)x2 –2(m – 1)x +3m – 3 ≥ < 0
Bài 9: Tìm giá trị của tham số để bpt sau vô nghiệm:
a) 5x2 – x + m ≤ 0
b) mx2 –10x –5 ≥ 0
2
Bài 10: Cho phương trình : −3 x − ( m − 6) x + m − 5 = 0 với giá nào của m thì :
a. Phương trình vô nghiệm
b. Phương trình có nghiệm
c. Phương trình có 2 nghiệm trái dấu
d. Phương trình có hai nghiệm phân biệt
f. Có nghiệm kép và tìm nghiệm kép đó
g. Có hai nghiệm dương phân biệt

Giáo án dạy thêm Toán 10

Giáo viên; Văn Thị Thảo

THPT QL2

PHƯƠNG TRÌNH BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI
Ngày soạn:
I. Mục tiêu.
1/ Về kiến thức
• HS nắm cách giải một số dạng pt, bpt chứa dấu giá trị tuyệt đối và vô tỉ
• Nắm được phương pháp giải, cách lấy nghiệm
2/ Về kỹ năng
• Vận dụng được định lý dấu của tam thức bậc hai để giải các dạng bài toán trên
3/ Về tư duy
• Nhớ, hiểu , vận dụng
4/ Về thái độ:
• Cẩn thận, chính xác.
• Tích cực hoạt động; rèn luyện tư duy khái quát, tương tự.
5/ Năng lực:
• tính toán
• giải quyết vấn đề
II. Chuẩn bị.
• Hsinh chuẩn bị kiến thức đã học
•GV: Giáo án,
III. Phương pháp.
Dùng phương pháp gợi mở vấn đáp.
IV. Tiến trình bài học và các hoạt động.
Giải một số phương trình và bất phương trình quy về bậc hai

a/ Phương trình và bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
 g ( x ) ≥ 0
 g ( x ) ≥ 0
hoaëc 
Dạng 1: |f(x)|=g(x) ⇔ 
 f ( x ) = g ( x )
 f ( x ) = − g ( x )
 f ( x ) ≥ 0
 f ( x ) < 0
hoaëc 
Dạng 2: |f(x)|>g(x) ⇔ 
 f ( x ) > g ( x )
− f ( x ) > g ( x )
 f ( x ) ≥ 0
 f ( x ) < 0
hoaëc 
Dạng 3: |f(x)| f ( x ) < g ( x )
− f ( x ) < g ( x )
b/ Phương trình và bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn bậc hai
 g ( x ) ≥ 0
Dạng 4: f ( x ) = g ( x ) ⇔ 
2
 f ( x ) = g ( x )
 f ( x) ≥ 0

Dạng 5: f ( x ) ≤ g ( x ) ⇔  g ( x ) ≥ 0

2
 f ( x ) ≤ g ( x )

 g ( x ) ≥ 0
 f ( x ) ≥ 0
hoaëc 
Dạng 6: f ( x ) ≥ g ( x ) ⇔ 
2
 g ( x ) ≤ 0
 f ( x ) ≥ g ( x )

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
1/ | x2 - 8x + 15| = x - 3
2/ 3 x 2 + 24 x + 22 = 2 x + 1
Giải
2

1/ | x - 8x + 15| = x - 3


Giáo án dạy thêm Tốn 10

Giáo viên; Văn Thị Thảo

x − 3 ≥ 0
x − 3 ≥ 0
⇔ 2
( I ) hoặc  2
( II )
x -8x+15=x-3
x -8x+15=-x+3
x ≥ 3
x ≥ 3

x = 3

Hpt ( I ) trởthành :  2
⇔  x = 3 ⇔ 
x = 6
x -9x+18=0
 x = 6

x ≥ 3
x ≥ 3
x = 3

Hpt ( II ) trởthành :  2
⇔  x = 3 ⇔ 
x = 4
x -7x+12=0
 x = 4


Vậy phương trình có 3 nghiệm S = { 3; 4;6}
2 / 3 x 2 + 24 x + 22 = 2 x + 1

1

x≥−
1


2
2 x + 1 ≥ 0

x ≥ −

⇔ 2
⇔
⇔
⇔ x = 21
2
2
x = −1

3x + 24 x + 22 = 4 x + 4 x + 1  x 2 − 20 x − 21 = 0


  x = 21
Vậy phương trình có nghiệm x = 21
Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau:
1/ | x2 + 3x - 4| > x - 8
2/ x 2 − 4 x > x − 3
3/ x 2 − 2 x − 15 < x − 3
Giải
1/ | x2 + 3x - 4| > x - 8
2
2
 x + 3x − 4 ≥ 0
 x + 3 x − 4 < 0
⇔ 2
( I ) hoặc  2
( II )
 x + 3x − 4 > x − 8
− x − 3x + 4 > x − 8

 x ≤ −4 ∨ x ≥ 1
Hệ pt ( I ) ⇔  2
⇔ x ≤ −4 ∨ x ≥ 1 ⇒ S1 = ( −∞; −4 ] ∪ [ 1; +∞ )
 x + 2 x + 4 > 0 ∀x
−4 < x < 1
−4 < x < 1
Hệ pt ( II ) ⇔  2
⇔
⇔ −4 < x < 1 ⇒ S2 = ( −4;1)
−6 < x < 2
 x + 4 x − 12 < 0
Vậy bất phương trình có nghiệm S = S1 ∪ S2 = ¡

x2 − 4x > x − 3
x2 − 4x ≥ 0
x − 3 ≥ 0
⇔
( I ) hoặc  2
( II )
2
x − 3 < 0
x − 4x > x − 6x + 9
x ≤ 0 ∨ x ≥ 4
Hệ bất phương trình ( I ) ⇔ 
⇔ x ≤ 0 ⇒ S1 = ( −∞;0 ]
x < 3

2/

 x≥3
9

9

Hệ bất phương trình ( II ) ⇔ 
9 ⇔ x > ⇒ S2 =  ; +∞ ÷
2
2

 x > 2
9

Vậy bất phương trình có nghiệm S = S1 ∪ S2 = ( −∞; 0] ∪  ; +∞ ÷
2

2
3/ x − 2 x − 15 < x − 3

THPT QL2


Giáo án dạy thêm Tốn 10

Giáo viên; Văn Thị Thảo

THPT QL2

 x 2 − 2 x − 15 ≥ 0
 x ≤ −3 ∨ x ≥ 5



⇔ x − 3 > 0
⇔ x > 3
⇔ 5≤ x < 6
 x 2 − 2 x − 15 < x 2 − 6 x + 9

x < 6


Vậy bất phương trình có nghiệm S = [ 5;6 )
Bài tập áp dụng

Bài 1:Giải các phương trình và bất phương trình sau:
1/ | x2 + x - 5| = |x - 1|
2/ | x - 1| = 2x - 1
3/ | x2 + 2x - 1| > x2 - 1
4/ | - x2 + 2x + 4| < 2x2 - 3x + 1
5/ 2 x 2 − 1 > 1 − x
6/ x 2 − 5 x − 14 ≥ 2 x − 1
7/ 2 x − 1 ≤ 2 x − 3
8 Giải bất phương trình :
a / x 2 − 1 − 2 x < 0;

b / 2x + 5 ≥ 7 − 4x ;

d / 4 − x + 3 x 2 − 6 x < 2 x − 6;

e/

c / 5 − 4 x > 2 x − 1;

x 2 − 4x
≥1
x 2 + 3x + 2

9. Giải bất phương trình :

a / x + 18 < 2 − x;

b / x ≥ 24 − 5 x ;

c / 1 − 13 − 3 x 2 > 2 x;

d / 5 − x 2 > x − 2;
e / x 2 − 3x + 2 ≥ 2 x − 4
f / − 2 − 3x − x 2 < x + 1
10. Giải bất phương trình:
a/ (x2 + x + 1)(x2 + x + 3) ≥ 15
b/ (x + 4)(x + 1) - 3 x 2 + 5 x + 2 < 6
d/ ( x − 3) x 2 + 4 ≤ x 2 − 9

c/ x 2 − 4 x − 6 ≥ 2 x 2 − 8 x + 12
Bài 2:Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau:
1/ y = | x 2 + 3 x − 4 | − x + 8
2/

x2 + x + 1
| 2 x − 1| − x − 2

3/

1
1
− 2
x − 7x + 5 x + 2 x + 5
2

4/ y =
BTVN

x 2 − 5 x − 14 − x + 3

a ) x 2 + 3x + 2 = x 2 + 3x − 4
c) | x + 1| + | x + 3 |= x + 4

f)

|1 − 2 x |
1
≤
2
x − x−2 2

b) x 2 − 4 x = x − 3

d ) x 2 − 2 x − 15 = x − 3

g ) 3x 2 + 24 x + 22 ≥ 2 x + 1

h) | x 2 − 5 x + 4 |> x 2 + 6 x + 5


Giỏo ỏn dy thờm Toỏn 10

Giỏo viờn; Vn Th Tho

THPT QL2

PHNG TRèNH NG THNG
Ngy son:
A. Mc tiờu
1. V kin thc: Giỳp hc sinh nm dng phng trỡnh tham s, phng trỡnh tng quỏt ca ng
thng; khỏi nim v vộct ch phng - vộct phỏp tuyn - h s gúc ca ng thng; nm v trớ tng
i, gúc gia 2 ng thng; cụng thc tớnh khong cỏch t 1 im n ng thng.
2. V k nng: Rốn luyn k nng vit phng trỡnh tham s, tng quỏt ca ng thng; xỏc nh
v trớ tng i, tớnh gúc gia hai ng thng; tớnh khong cỏch t 1 im n ng thng.
3. V t duy: Hc sinh t duy linh hot trong vic phõn bit gia khỏi nim th ca hm s trong
i s vi khỏi nim ng ng cho bi phng trỡnh trong hỡnh hc.
4. V nng lc: tớnh toỏn, gii quyt vn
B. Chun b
1. Chun b ca giỏo viờn: giỏo ỏn.
2. Chun b ca trũ: V, SGK, dng c hc tp, ụn tp bi c
C. Phng phỏp dy hc: Phỏt hin v gii quyt vn .
D. Tin trỡnh bi hc v cỏc hot ng
I. Mt s kin thc c bn cn nm vng
1. Cỏc dng phng trỡnh ng thng

x = x0 + u1t
* Phng trỡnh tham s:

y = y0 + u 2 t
* Phng trỡnh tng quỏt: ax + by + c = 0.
2. Mi liờn h gia cỏc yu t ca ng thng
r
r
- Nu ng thng d cú vect phỏp tuyn n = ( a; b) thỡ s cú vect ch phng u = (b; a ) v ngc li.

r
u2
- Nu ng thng d cú vect ch phng u = (u1 ; u2 ) thỡ s cú h s gúc k = .
u1
r
- Nu ng thng d cú h s gúc k thỡ cú mt vect ch phng u = (1; k ) .
- Hai ng thng song song thỡ cú cựng vect ch phng v vect phỏp tuyn.
- Nu d thỡ nhn vect ch phng ca d lm vect phỏp tuyn v ngc li.

x = x0 + u1t
- Nu M d cú phng trỡnh:
thỡ M cú to l M( x0 + u1t ; y0 + u2t ).
y = y0 + u 2 t
- Nu M d cú phng trỡnh: ax + by + c = 0 thỡ M cú to l M( x0 ;

c ax0
).
b

II. Mt s dng bi tp thng gp
r
Bài 1: Lập phơng trình TQ và TS của đờng thẳng đi qua điểm M và có vtpt n biết:
r

r
a, M ( 1; 1) ; n = ( 2;1)
b, M ( 0;4 ) ; n = ( 1;3 )
r
Bài 2: Lập PTTS và PTTQ của đờng thẳng đi qua điểm M và có vtcp u biết:
r
r
a, M ( 1; 2 ) ; u = ( 1;0 )
b, M ( 5;3) ; u = ( 3;1)
Bài 3: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua 2 điểm A và B trong các trờng hợp sau:
a, A ( 1;1) , B ( 2;1)
b, A ( 4; 2 ) , B ( 1; 2 )
Bài 4: Lập phơng trình đờng trung trực của đoạn thẳng AB biết:
a, A ( 1;1) , B ( 3;1)
b, A ( 3; 4 ) , B ( 1; 6 )
Bài 5: Lập phơng trình đờng thẳng (d) biết:
a, đi qua điểm M(2;-1) và có hệ số góc k = 2


Giỏo ỏn dy thờm Toỏn 10

Giỏo viờn; Vn Th Tho

2
3
c, đi qua điểm M(-3;-1) và tạo với hớng dơng trục Ox góc 450.
d, đi qua điểm M(3;4) và tạo với hớng dơng trục Ox góc 600.
Bài 6: Chuyển (d) về dạng tham số biết (d) có phơng trình tổng quát:
a, 2x 3y = 0;
b, x + 2y 1 = 0

Bài 7: Chuyển (d) về dạng tổng quát biết (d) có phơng trình tham số:
x = 2
x = 2 t
a,
b,
y = 3 + t
y = 4 + t
Bài 8: Tìm hệ số góc của các đờng thẳng sau:
a, 2x 3y + 4 = 0
b, x + 3 = 0
x = 2 t
d, 4x + 3y 1 = 0
e,
f,
y = 5 + 3t
Bài 9: Lập PTTQ và PTTS của đờng thẳng (d) đi qua 2 điểm A, B biết:
a, A ( 1; 3 ) , B ( 2;2 )
b, A ( 5; 1) , B ( 2; 4 )

THPT QL2

b, đi qua điểm M(0;4) và có hệ số góc k =

c, 5x 2y + 3 = 0
x = 2 + 3t
c,
y = 1
c, 2y 4 = 0
x = 4 + 2t

y = 5t 1

1
7 1
Bài 10: Trong các điểm A1(2;1), A 2 ( 1;2 ) , A 3 ( 1;3 ) , A 4 ( 1; 1) , A 5 ;2 ữ, A 6 ; ữ , A 7 ( 3;1) , điểm
2
3 3
x = 2 t
nào nằm trên đờng thẳng ( d ) :
y = 1 + 2t
Bài 11: Cho 3 điểm A(2;1), B(3;5) và C(-1;2)
a, Chứng minh rằng A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác
b, Lập phơng trình các đờng cao của tam giác ABC
c, Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC
d, Lập phơng trình các đờng trung tuyến của tam giác ABC
e, Lập phơng trình các đờng trung bình của tam giác ABC
Bài 12: Cho tam giác ABC biết A(-1;-2), B(4;-3) và C(2;3)
a, Lập phơng trình đờng trung trực cạnh AB
b, Lập phơng trình đờng thẳng đi qua điểm M(3;7) và vuông góc với đờng trung tuyến kẻ từ A của
tam giác ABC
Bài 13 (ĐHQG 1995): Lập phơng trình các cạnh và các đờng trung trực của tam giác ABC biết trung điểm
3 cạnh BC, CA, AB lần lợt là: M(2;3), N(4;-1), P(-3;5)
Bi tp t gii
1. Vit phng trỡnh tham s, phng trỡnh tng quỏt ca ng thng
Bi 1. Lp phng trỡnh tham s v phng trỡnh tng quỏt ca ng thng d bit:
r
a) d i qua A(2; 3) v cú vect ch phng u = (7; 2) .
r
b) d i qua B(4; -3) v cú vect phỏp tuyn n = (7;3) .

c) i qua P(2; -5) v cú h s gúc k = 11.
d) i qua hai im E(-3; 3) v F(6; -1).
Bi 3. Cho tam giỏc ABC cú A(-2; 1), B(2; 3) v C(1; -5).
a) Lp phng trỡnh ng thng cha cnh BC ca tam giỏc.
b) Lp phng trỡnh ng thng cha ng cao AH ca tam giỏc.
c) Lõp phng trỡnh ng thng cha ng trung tuyn AM.
d) Lp phng trỡnh ng thng cha ng trung trc ca cnh BC.
Bi 4. Bit hai cnh ca mt hỡnh bỡnh hnh cú phng trỡnh x + 3y = 0 v 2x - 5y + 6 = 0, mt nh ca
hỡnh bỡnh hnh l C(4; 1). Vit phng trỡnh cỏc cnh cũn li ca hỡnh bỡnh hnh.

PHNG TRèNH NG THNG
Ngy son:
A. Mc tiờu


Giáo án dạy thêm Toán 10

Giáo viên; Văn Thị Thảo

THPT QL2

1. Về kiến thức: Giúp học sinh nắm dạng phương trình tham số, phương trình tổng quát của đường
thẳng; khái niệm về véctơ chỉ phương - véctơ pháp tuyến - hệ số góc của đường thẳng; nắm vị trí tương
đối, góc giữa 2 đường thẳng; công thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng.
2. Về kỹ năng: Rèn luyện kỹ năng viết phương trình tham số, tổng quát của đường thẳng; xác định
vị trí tương đối, tính góc giữa hai đường thẳng; tính khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng.
3. Về tư duy: Học sinh tư duy linh hoạt trong việc phân biệt giữa khái niệm đồ thị của hàm số trong
đại số với khái niệm đường đường cho bởi phương trình trong hình học.
4. Về năng lực: tính toán, giải quyết vấn đề
B. Chuẩn bị

1. Chuẩn bị của giáo viên: giáo án.
2. Chuẩn bị của trò: Vở, SGK, dụng cụ học tập, ôn tập bài cũC. Phương pháp dạy học: Phát hiện
và giải quyết vấn đề.
D. Tiến trình bài học và các hoạt động
1. viết pt đường thẳng song song, vuông góc với 1 đường thẳng cho trước
Cho đt ∆ : ax + by + c = 0 .
* PT đt d ⊥ ∆ có dạng: bx − ay + m = 0
* PT đt d // ∆ có dạng: ax + by + m = 0 . (trong đó m là tham số).
Yêu cầu: Viết phương trình đường thẳng d qua M 0 ( x0 ; y0 ) và vuông góc (hay song song) với
∆ : ax + by + c = 0 .
Phương pháp:
Cách 1: Xác định Vtcp hoặc Vtp.
Đường thẳng d qua M 0 ( x0 ; y0 ) và nhận ..., pt d:
Cách 2: Do d ⊥ ∆ nên pt d có dạng: bx − ay + m = 0 (m là tham số)
Mặt khác M 0 ( x0 ; y0 ) ∈ d nên: bx0 − ay0 + m = 0 ⇒ m . Kết luận...
Bài tập minh họa:
Viết ptđt d qua M (1;1) và song song với ∆ : 2 x − y + 1 = 0 .
Giải:
Do d // ∆ nên pt d có dạng: 2 x − y + m = 0 (m là tham số).
Mặt khác M (1;1) ∈ d nên: 2.1 − 1 + m = 0 ⇔ m = −1 .
Lúc đó, pt d: 2 x − y − 1 = 0 (ycbt).
Bài tập tương tự:
1) Viết ptđt d qua M (1;1) và vuông góc với ∆ : 2 x − y + 1 = 0 .
2) Cho ∆ABC với A(0;1), B(2;1) và C (−1; 2) . Lập phương trình các đường cao của ∆ABC .
2/ Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng ∆1 , ∆2 có pt tổng quát
∆1 : a1 x + b1 y + c1 = 0; ∆ 2 : a 2 x + b2 y + c2 = 0

a1 x + b1 y + c1 = 0
Số điểm chung của hai đường thẳng chính là số nghiệm của hệ: 

a 2 x + b2 y + c2 = 0
Nếu a2≠ 0,b2≠ 0, c2≠ 0 thì
a1 b1
a1 b1 c1
a1 b1 c1
≠ ;
=
∆1 cắt ∆2 ⇔ ≠ ; ∆1 // ∆2 ⇔ =
∆1 ≡ ∆2 ⇔ =
a 2 b2
a 2 b2 c2
a 2 b2 c2
Ví dụ: 1. Xét vị trí tương đối của các cạp đường thẳng sau:
a) d1: 4x−10y+1=0 và d2: x+y+2= 0
⇒ cắt nhau
b) d3: 12x−6y+10=0 và d4: 2x−y+5= 0
⇒ song song
2/ Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau


Giáo án dạy thêm Toán 10

a) d :

{
{

x = −1 − 5t
y = 2 + 4t
x = 1 − 4t

b) d : y = 2 + 2t

Giáo viên; Văn Thị Thảo

{

THPT QL2

x = −6 + 5t
y = 2 − 4t

và

d’ :

và

d’ : 2x+4y-10= 0

c) d : x+y-2= 0
và
d’ : 2x+y-3= 0
3. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng sau vuông góc
∆1 : mx+y+q=0 và ∆2 : x−y+m=0
Đáp số : m= 1
3/ Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho đường thẳng ∆ có pt tổng quát là ax+by+c= 0 và một điểm M 0(x0;y0). Khi đó khoảng cách từ
M0 đến ∆ được xác định:
ax + by0 + c

d (M 0 , ∆) = 0
a 2 + b2
* Nếu M0 thuộc ∆ thì d(M0,∆)=0
Ví dụ: Tính khoảng các từ điểm đến các đường thẳng sau
a) A(3;5), ∆1: 4x+3y+1= 0
Kết quả : 28/5
b) B(1;-2), ∆2: 3x-4y-26= 0
Kết quả :3
c) I(3;-2), ∆3:3x+4y-11=0
Kết quả : 2
5/ Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng ∆1 , ∆2 có pt tổnguu
rquát
∆1 : a1 x + b1 y + c1 = 0 ⇒ vtpt n1 = (a1 ; b1 )
uu
r
∆ 2 : a 2 x + b2 y + c2 = 0 ⇒ vtpt n2 = (a 2 ; b2 )
Khi đó, góc ϕ giữa hai đường thẳng (00 ≤ ϕ ≤ 900) được tính:
uu
r uu
r
a1 .a 2 + b1 .b2
| n1 .n2 |
r uu
r ⇔ cos ϕ =
cos ϕ = uu
| n1 | . | n2 |
a12 + b12 . a 22 + b22
0
* Chú ý: +Khi hai đường thẳng song

ur song
uu
r hoặc trùng nhau ta quy ước góc giữa chúng là 0
+ ∆1 ⊥ ∆2⇔k1.k2= -1 (⇔ n1 ⊥ n2 ⇔a1.a2+b1.b2= 0)
Ví dụ: Cho hai đường thẳng d1: 4x−2y+6= 0; d2: x−3y+1=0. Tìm số đo góc tạo bởi hai đường thẳng
d1, d2.
Giải
| 4.1 + (−2).( −3) |
1
2
=
=
cos(d1,d2)= 2
2
2
2
2
2
4 + (−2) . 1 + (−3)
Vậy góc giữa hai đường thẳng là 450.
6/ Phương trình đường phân giác của góc hợp bởi hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng ∆1 , ∆2 có pt tổnguu
rquát
∆1 : a1 x + b1 y + c1 = 0 ⇒ vtpt n1 = (a1 ; b1 )
uu
r
∆ 2 : a 2 x + b2 y + c2 = 0 ⇒ vtpt n2 = (a 2 ; b2 )
Khi đó pt đường phân giác có dạng:
a1 x + b1 y + c1
a x + b2 y + c2

=± 2
a12 + b12
a 22 + b22
Phương trình đường phân giác góc nhọn, góc tù
a1 x + b1 y + c1
a x + b2 y + c2
;
t2 = 2
Đặt t1 =
a12 + b12
a 22 + b22
uu
r uu
r
Pt đường phân giác
góc
Pt đường phân giác
n1 .n2 =a1.a2+b1.b2
nhọn
góc tù


Giáo án dạy thêm Toán 10

Giáo viên; Văn Thị Thảo

THPT QL2

−
+

t1=t2
t1= −t2
t1=t2
t1= −t2
uu
r uu
r
(phương trình đường phân giác của góc tù lấy theo dấu của n1 .n2 )
Ví dụ: Lập phương trình đường phân giác của góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng:
a) d1: 3x−4y+12= 0
d2: 12x+5y−7= 0
b) d1: x−y+4= 0
d2: x+7y−12= 0
Giải
uu
r uu
r
a) Ta có n1 .n2 =16>0 ⇒ t1= −t2 ⇒ 99x−27y+121= 0
uu
r uu
r
b) Ta có n1 .n2 = −6<0⇒ t1=t2 ⇒ x−3y+8= 0
Bài 1: Tính góc giữa hai đường thẳng
a) d1: 2x – 5y +6 = 0 và d2: – x + y – 3 = 0

 x = −6 + 5t
b) d1: 8x + 10y – 12 = 0 và d2: 
 y = 6 − 4t

c)d1: x + 2y + 4 = 0
và d2: 2x – y + 6 = 0
Bài 2: Cho điểm M(1; 2) và đường thẳng d: 2x – 6y + 3 = 0. Viết phương trình đường thẳng d’ đi qua M và
hợp với d một góc 450.
Bài 3: Viết pt đường thẳng đi qua gốc tọa độ và tạo với đt Ox một góc 600.
Bài 4: Viết pt đường thẳng đi M(1; 1) và tạo với đt Oy một góc 600.
Bài 5: Điểm A(2; 2) là đỉnh của tam giác ABC. Các đường cao của tam giác kẻ từ đỉnh B, C nằm trên các
đường thẳng có các pt tương ứng là: 9x – 3y – 4 = 0, x + y – 2 = 0. Viết pt đường thẳng qua A và tạo với
AC một góc 450.
Bài 6: Cho 2 điểm M(2; 5) và N(5; 1). Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và cách điểm N một
khoảng bằng 3.
Bài 7: Viết phương trình đường thẳng d đi qua gốc tọa độ và cách điểm M(1; 2) một khoảng bằng 2.
Bài 8: Viết phương trình đường thẳng song2 và cách đều 2 đường thẳng x + 2y – 3 = 0 và x + 2y + 7 = 0.
BTVN
Bµi 1: LËp PTTQ ®êng th¼ng ( ∆ ) ®i qua A vµ song song ®êng th¼ng (d) biÕt
a, A ( 1;3 ) , ( d ) : x − y + 1 = 0

b, A(-1;0), (d): 2x + y – 1 = 0c, A(3;2), (d): Trôc Ox

x = 1 − t
 x = 3 + 2t
d, A ( −1;1) , ( d ) : 
e, A ( 3;2 ) , ( d ) : 
y = −2 + 2t
y = 4
Bµi 2: LËp PTTQ vµ PTTS cña ®êng th¼ng ( ∆ ) ®i qua A vµ vu«ng gãc víi ®êng th¼ng (d) biÕt:
a, A ( 3; −3 ) , ( d ) :2x − 5y + 1 = 0

b, A ( −1; −3 ) , ( d ) : − x + 2y − 1 = 0

c, A ( 4;2 ) , ( d ) ≡ Oy

x = 1 + t
x = 4 + 2t
d, A ( 1; −6 ) , ( d ) : 
e, A ( 4; −4 ) , ( d ) : 
y = 2 + 2t
y = 1 − 5t
Bài 3 (ĐH Huế khối D –1998) Cho đường thẳng d: 3x – 4y + 1 viết pt đt d’song 2 d và khoảng cách giữa 2
đường thẳng đó bằng 1.
Bài 4: Viết pt đường thẳng vuông góc với đường thẳng d: 3x – 4y = 0 và cách điểm M(2; –1) một khoảng
bằng 3.

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Ngày soạn:
A. Mục tiêu


Giáo án dạy thêm Toán 10

Giáo viên; Văn Thị Thảo

THPT QL2

1. Về kiến thức: Giúp học sinh nắm dạng phương trình tham số, phương trình tổng quát của đường
thẳng; khái niệm về véctơ chỉ phương - véctơ pháp tuyến - hệ số góc của đường thẳng; nắm vị trí tương
đối, góc giữa 2 đường thẳng; công thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng.
2. Về kỹ năng: Rèn luyện kỹ năng viết phương trình tham số, tổng quát của đường thẳng; xác định
điểm
3. Về tư duy: Học sinh tư duy linh hoạt trong việc phân biệt giữa khái niệm đồ thị của hàm số trong

đại số với khái niệm đường đường cho bởi phương trình trong hình học.
4. Về năng lực: tính toán, giải quyết vấn đề
B. Chuẩn bị
1. Chuẩn bị của giáo viên: giáo án.
2. Chuẩn bị của trò: Vở, SGK, dụng cụ học tập, ôn tập bài cũ
C. Phương pháp dạy học: Phát hiện và giải quyết vấn đề.
D. Tiến trình bài học và các hoạt động
Baøi toaùn: Cho ñieåm M ( x0 ; y0 ) và đường thẳng (∆) : ax + by + c = 0 .Tìm hình chiếu vuông góc của M
lên (∆) .
Phương pháp:
 Bước 1:Viết phương trình tổng quát của đường thẳng (d) đi
qua M và vuông góc ∆ .Khi đó ta có :
uuur

uuur

uuur

u = n = (a; b) ⇒ n = (b; −a) .
∆
d
d

d
M
H

∆

 Bước 2:Gọi H = (d) I ∆ ,tọa độ H là nghiệm hệ phương

d
trình: 
∆
Giải pt tìm tọa độ H ⇒ H là điểm cần tìm.
VD : Cho ñieåm M(2;-3) và đường thẳng ( ∆) : 2 x + y − 1 = 0 .Tìm hình chiếu vuông góc của M lên (∆) .
* Tìm điểm đối xứng của M qua đường thẳng d:ax+by+c=0
B1: Tìm hình chiếu H vuống góc của M xuống d:
Viết phương trình ∆ qua M và vuông góc d
d
Giải hệ  ⇒ tọa độ H
∆
B2: H là trung của MM' ⇒ tọa độ M'
Bài 1: Cho đường thẳng ∆ : 2x – y – 1 = 0 và điểm M(1; 2).
a) Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ’) đi qua M và vuông góc với ∆ .
b) Tìm tọa độ hình chiếu H của M trên ∆ .
c) Tìm điểm M’ đối xứng với
M qua ∆ .

* Tìm phương trình của ∆ ' đối xứng với ∆ : ac+by+c=0 qua I
+ Do ∆ // ∆' ⇒ ∆': ax+by+c'=0
+ d(I, ∆) = d(I,∆') ⇒ tìm hệ số c
Bài toán tìm điểm


Giáo án dạy thêm Toán 10

Giáo viên; Văn Thị Thảo

THPT QL2

Bài 1. Cho 2 đường thẳng d : { x = 2 + t, y = 3 + t ,d ' : { x = 2 + u , y = 4 + 5t , A(2;0), B (1;- 4) . Tìm
trên d điểm G , trên d ' điểm C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC .
Bài 2. Cho d1 : 2x - 3y + 1 = 0,d2 = 4x + y - 5 = 0 . A = d1 Ç d2 . Tìm B Î d1,C Î d2 sao cho tam giác
ABC có trọng tâm G (3;5).
ïì
5
Bài 3. Cho A(3;2), B (3;- 6), đường thẳng d : ïí x = - 1- 2t, y = - + t . Tìm tọa độ điểm M Î d sao
ïïî
2
cho tam giác ABM cân tại M .
Bài 4. Cho hai điểm A(2;1), B (- 1;- 3) và hai đường thẳng d1 : x + y + 3 = 0,d2 : x - 5y - 16 = 0 . Tìm
tọa độ các điểm C , D lần lượt thuộc d1,d2 sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
Bài 5. Cho đường thẳng d : x + y - 3 = 0 và 2 điểm A(1;1), B (- 3;4) . Tìm tọa độ điểm M Î d sao cho
khoảng cách từ M đến đường thẳng AB bằng 1.
Bài 6. Cho 4 điểm A(1;0), B (- 2;4),C (- 1;4), D(3;5) . Tìm điểm M thuộc đường thẳng 3x - y - 5 = 0 sao
cho hai tam giác MAB, MCD có diện tích bằng nhau.
Bài 7. Cho D ABC với A(2;- 1), B (1;- 2) , trọng tâm G thuộc đường thẳng d : x + y - 2 = 0 . Tìm tọa độ
27
đỉnh C biết diện tích tam giác ABC bằng
.
2
Bài 8. Cho tam giác ABC, với A(1;1) , B (- 2;5) , đỉnh C nằm trên đường thẳng x = 4, và trọng tâm G
của tam giác nằm trên đường thẳng 2x - 3y + 6 = 0. Tính diện tích tam giác ABC.
Bài 9. Cho tam giác ABC . Phương trình cạnh AB, AC lần lượt là y = 2x , x + 4y - 9 = 0 , trọng tâm
8 7
G ( ; ) . Tính diện tích tam giác ABC.
3 3
Bài 10. Cho 2 điểm A(1;0), B (3;- 1) và đường thẳng d : x - y - 1 = 0. Tìm tọa độ điểm C Î d sao cho
diện tích tam giác ABC bằng 6.

Giỏo ỏn dy thờm Toỏn 10

Giỏo viờn; Vn Th Tho

THPT QL2

PHNG TRèNH NG THNG
Ngy son:
B. Mc tiờu
1. V kin thc: Giỳp hc sinh nm dng phng trỡnh ca ng thng, vn dng cỏc kin thc
gii cỏc bi toỏn lien quan n cỏc yu t trong tam giỏc.
2. V k nng: Rốn luyn k nng xac.s nh cỏc yu t trong tam giỏc
3. V t duy: Hc sinh t duy linh hot trong vic phõn bit gia khỏi nim th ca hm s trong
i s vi khỏi nim ng cho bi phng trỡnh trong hỡnh hc.
4. V nng lc: tớnh toỏn, gii quyt vn
B. Chun b
1. Chun b ca giỏo viờn: giỏo ỏn.
2. Chun b ca trũ: V, SGK, dng c hc tp, ụn tp bi c
C. Phng phỏp dy hc: Phỏt hin v gii quyt vn .
D. Tin trỡnh bi hc v cỏc hot ng
1. Bi toỏn v ng cao, ng trung trc trong tam giỏc.
Bi 1. Tam giỏc ABC cú C (- 4;- 5) , cỏc ng cao d1 : 5x + 3y - 4 = 0,d2 : 3x + 8y + 13 = 0 . Vit
phng trỡnh cỏc cnh ca tam giỏc ABC.
Bi 2. Cho tam giỏc ABC cú nh A(2;2). Lp phng trỡnh cỏc cnh ca tam giỏc bit cỏc ng cao ke t
B v C ln lt cú phng trỡnh 9x - 3y - 4 = 0, x + y - 2 = 0.
Bài 3: Phơng trình 2 cạnh của một tam giác là: ( d1 ) :x + y 2 = 0; ( d2 ) : x + 2y 5 = 0 và trực tâm H(2;3).
Lập phơng trình cạnh thứ 3
Bài 4: Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC biết trung điểm của AB là M(-3;4), hai đờng cao kẻ từ A
và B lần lợt là: ( d1 ) : 2x 5y + 29 = 0; ( d 2 ) : 10x 3y + 5 = 0

2. Bi toỏn v ng trung tuyn trong tam giỏc.
Bi 3. Cho tam giỏc ABC vi M (- 2;2) l trung im ca BC, cnh AB cú phng trỡnh x - 2y - 2 = 0,
cnh AC cú phng trỡnh 2x + 5y + 3 = 0 . Xỏc nh ta cỏc nh ca tam giỏc ABC.
Bi 4. Cho tam giỏc ABC cú trng tõm G (- 2;- 1) v phng trỡnh cnh AB, AC tng ng l
4x + y + 15 = 0 , 2x + 5y + 3 = 0 . Vit phng trỡnh cỏc cnh ca tam giỏc ABC.
Bi 5. Cho tam giỏc ABC vi C (3;5) , ng cao AH : 5x + 4y - 1 = 0, trung tuyn AM :
8x + y - 7 = 0 . Xỏc nh ta cỏc nh ca tam giỏc ABC.
Bi 6. Lp phng trỡnh cỏc cnh ca tam giỏc ABC bit nh C(3;5), ng cao v trung tuyn ke t mt
nh cú phng trỡnh l d1 : 5x + 4y - 1 = 0,d2 : { x = t, y = 7 - 8t .
Bi 7. Cho tam giỏc ABC cú trung im cnh AB l M (- 1;2) , tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc l
I (2;- 1) . ng cao tam giỏc ke t A cú phng trỡnh 2x + y + 1 = 0. Tỡm ta nh C.
3. Bi toỏn v ng phõn giỏc trong tam giỏc
Bi 8. Cho tam giỏc ABC cú ng cao AH, trung tuyn CM v phõn giỏc trong BD. Bit H (- 4;1) ,
17
M ( ;12) v BD cú phng trỡnh x + y - 5 = 0 . Tỡm ta nh A ca tam giỏc ABC.
5
Bi 9. Cho tam giỏc ABC cú A(- 1;3) , ng cao BH cú phng trỡnh y = x , phõn giỏc trong gúc C nm
trờn ng thng x + 3y + 2 = 0. Vit phng trỡnh ng thng BC.


Giáo án dạy thêm Toán 10

Giáo viên; Văn Thị Thảo

THPT QL2

Bài 10 (D-2011). Cho tam giác ABC có B (- 4;1) , trọng tâm G (1;1) và đường phân giác trong góc A là
x - y - 1 = 0 . Tìm tọa độ các đỉnh A và C .
Bài 11 (B-2010). Cho tam giác ABC vuông tại A có C (- 4;1) , phân giác trong góc A có phương trình
x + y - 5 = 0 . Viết phương trình BC biết diện tích tam giác là 24 và đỉnh A có hoành độ dương.

Bài 12. Cho tam giác ABC có M (1;- 2) là trung điểm AB, trục Ox là phân giác góc A, đỉnh B, C thuộc
đường thẳng đi qua N (- 3;0) và P (0;2) . Tìm tọa độ A, B,C và diện tích tam giác ABC.
Bài 13. Cho tam giác ABC có phân giác trong AD và đường cao CH lần lượt có phương trình
x + y - 2 = 0, x - 2y + 5 = 0 . Điểm M (3;0) thuộc đoạn AC thỏa mãn AB = 2AM . Xác định tọa độ
các đỉnh A, B, C của tam giác
Bài toán tứ giác
Bài 1. Biết 2 cạnh của một hình bình hành có phương trình x + 3y = 0 và 2x - 5y + 6 = 0, một đỉnh của
hình bình hành là C (4;1) . Viết phương trình các cạnh còn lại của hình bình hành.
Bài 2. Cho hình vuông ABCD có tọa độ điểm A(2;1) , tâm I (1;3) . Tìm tọa độ các đỉnh và viết phương
trình các cạnh của hình vuông đó.
Bài 3. Cho hình chữ nhật ABCD có phương trình một cạnh là x + y + 2 = 0, tâm I (1;1) và diện tích của
hình chữ nhật bằng 12. Viết phương trình các cạnh của hình chữ nhật.

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
Ngày soạn:
A-Mục tiêu:
1.Kiến thức: Củng cố các kiến thức về đường tròn, phương trình đường tròn và phương trình tiếp tuyến
của đường tròn.
2.Kỹ năng: HS biết vận dụng các kiến thức để viết pt đường tròn, phương trình tiếp tuyến và các dạng
toán liên quan đến đường tròn.


Giáo án dạy thêm Toán 10

Giáo viên; Văn Thị Thảo

THPT QL2

3.Thái độ: cẩn thận, chính xác.
4. Về năng lực: tính toán, giải quyết vấn đề

B-Phương pháp: . Vấn đáp. Thực hành giải toán.
C-Chuẩn bị
1.Giáo viên:Hệ thống bài tập.
2.Học sinh: Cách viết pt đường tròn, pt tiếp tuyến.
D-Tiến trình lên lớp:
I. Phương trình đường tròn (C) có tâm và bán kính cho trước:
Đường tròn tâm I(a,b) và bán kính R có dạng: (x-a)2 + (y-b)2 = R2
Ví dụ: Đường tròn có tâm I(1;-2) bán kính R=2 có dạng :
(x-1)2 + (y+2)2 = 4
Đặc biệt : Ñường tròn tâm O(0;0) , bán kính R có dạng: x2 + y2 = R2
*Nhận xét:
•
Phương trình đường tròn còn viết được dưới dạng: x2 +y2−2ax−2by+c=0
với c=a2+b2-R2
•
Ngược lại, phương trình x2 +y2−2ax−2by+c=0 được gọi là phương trình đtròn (C) khi và chỉ khi
a2+b2−c>0. Khi đó (C) có tâm I(a;b) và bán kính R= a 2 + b 2 − c
Ví dụ: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình của đường tròn, tìm tâm và bán kính
của đường tròn đó.
a) x2 +y2+2x−4y+9=0 b) x2 +y2−6x+4y−13=0
c) 2x2 +2y2−8x−4y−6=0
Đáp số: a) Không phải
b) Tâm I(3;−2), R= 26
c) Tâm I(2;1), R=2 2
BÀI TẬP
Vấn đề 1: Nhận diện phương trình bậc hai là phương trình đường tròn
Cách 1: Đưa phương trình về dạng x2+y2−2ax−2by+c= 0 (1)
+ Xác định a, b, c như sau: −2a= A, −2b=B, c= C
+ Xét dấu m = a2+b2−c
+ Nếu m>0 thì (1) là phương trình đường tròn tâm I(a;b) bán kính R= m

Nếu m< 0 thì (C) không là đường tròn.
Cách 2: Đưa phương trình về dạng ( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = m (2)
Nếu m>0 thì (2) là phương trình đường tròn tâm I(a;b) bán kính R= m
VD1: Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn đường tròn? Tìm tâm và bán kính nếu có:
a) x2+y2−6x+8y+100= 0
b) x2+y2+6x−6y−12= 0
c) 2x2+2y2−4x+8y−2= 0
Đáp số: a) Không phài
b) Tâm I(−2;3), R= 5
c) Tâm I(1;−2), R= ( 6) 2
VD2: Cho phương trình x2+y2−2mx+4my+6m−1= 0 (1)
a) Với giá trị nào của m thì (1) là phương trình của đường tròn?
b) Nếu (1) là phương trình của đường tròn hãy tìm tọa độ tâm và tính bán kính đường tròn đó theo
m.
HD: a2+b2−c>0 ⇔ 5m2−6m+1>0 ⇔ m<1/5 hoặc m>1; tâm I(m;−2m), R=
Vấn đề 2: Lập phương trình đường tròn (C)
2
2
2
Cách 1: Tìm tọa độ tâm I(a;b) và bán kính R của (C) ⇒ ( x − a ) + ( y − b) = R
Chú ý:
+ (C) đi qua A, B ⇔ IA2=IB2=R2
+ (C) đi qua A và tiếp xúc đường thẳng ∆ tại A ⇔ IA= d(I,∆)
+ (C) tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1 và ∆2 ⇔ d(I,∆1)= d(I,∆2)= R.
Cách 2: Gọi phương trình đường tròn (C): x2+y2−2ax−2by+c= 0
+ Từ điều kiện của đề bài đưa đến hệ phương trình theo ẩn a, b, c.
+ Giải hệ phương trình tìm a, b, c.


Giáo án dạy thêm Toán 10

Giáo viên; Văn Thị Thảo

THPT QL2

VD1: Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:
a) (C) có tâm I(−1;2) và tiếp xúc với đường thẳng ∆: x−2y+7=0;
b) (C) có đường kính AB với A(1;1), B(7;5);
c) (C ) có tâm I(−2;3) và đi qua M(2;−3)
Đáp số: a) (x+1)2+(y−2)2=4/5
b) (x−4)2+(y−3)2= 13
c) tìm c= −39⇒
VD2: Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm A(1;2), B(5;2), C(1;−3).
Đáp số: x2+y2−6x+y−1= 0
C. BÀI TẬP
1. Trong mpOxy, lập phương trình đường tròn (C) có tâm là (2;3) và thỏa các điều kiện sau:
a. (C) có bán kính là 5;
b. (C) đi qua góc tọa độ;
c. (C) tiếp xúc trục Ox;
d. (C) tiếp xúc trục Oy;
e. (C) tiếp xúc với đường thẳng ∆: 4x+3y−12=0.
2. Cho ba điểm A(1;4), B(−7;4), C(2;−5)
a. Lập phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC;
b. TÌm tâm và bán kính (C).
3. Cho đường tròn (C) đi qua hai điểm A(−1;2), B(−2;3) và có tâm trên đường thẳng ∆: 3x−y+10=0.
a. Tìm tọa độ tâm của (C);
b. Tính bán kính R của (C);
c. Viết phương trình của (C).
4. Cho ba đường thẳng ∆ 1: 3x+4y−1=0; ∆2: 4x+3y−8=0; d: 2x+y−1=0
a. Lập phương trình đường phân giác của các góc hợp bởi ∆1 và ∆2.

b. Xác định tọa độ tâm I của đường tròn (C) biết rằng tâm I nằm trên d và (C) tiếp xúc với ∆1
và ∆2.
c. Viết phương trình của (C).
5. Lập phương trình đường tròn (C) đi qua hai điểm A(1;2), B(3;4) và tiếp xúc với đường thẳng ∆:
3x+y−3=0.
6. Lập phương trình đường tròn đường kính AB trong các trường hợp sau:
a. A(−1;1), B(5;3);
b. A(−1;−2), B(2;1).

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
Ngày soạn:
A-Mục tiêu:
1.Kiến thức: Củng cố các kiến thức về đường tròn, phương trình đường tròn và phương trình tiếp tuyến
của đường tròn.
2.Kỹ năng: HS biết vận dụng các kiến thức để viết pt đường tròn, phương trình tiếp tuyến và các dạng
toán liên quan đến đường tròn.
3.Thái độ: cẩn thận, chính xác.


Giáo án dạy thêm Toán 10

Giáo viên; Văn Thị Thảo

THPT QL2

4. Về năng lực: tính toán, giải quyết vấn đề
B-Phương pháp: . Vấn đáp. Thực hành giải toán.
C-Chuẩn bị
1.Giáo viên:Hệ thống bài tập.
2.Học sinh: Cách viết pt đường tròn, pt tiếp tuyến.

D-Tiến trình lên lớp:
* Điều kiện để đường thẳng ∆ : ax+by+c=0 tiến xúc với đường tròn (C) là:
d(I, ∆ )= R
2/ Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
a) Cho M(x0; y0) thuộc đường tròn (C) tâm I(a;b) .Pt tt của (C) tại M(x0;y0) có dạng:
+ Cách 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua M và có vtpt
uuur
IM = ( x0 − a; y0 − b) . Đặt A=x0− a ;B =y0− b
Khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng:
(x0− a)(x− x0)+(y0− b)(y− y0)= 0
hay A(x− x0)+B(y− y0)= 0
r uuur
B1: Xác định tâm I ⇒ vecto pháp tuyến n = IM = ( x0 − a; y0 − b)
r
B2: Viết phương trình đường thẳng đi qua M và có vtpt n
+ Cách 2
* Nếu (C): (x-a)2 + (y-b)2 = R2 thì pttt có dạng:
(x0− a)(x− x0) + (y0− b)(y− y0) = R2
* Nếu (C): x2 +y2−2ax−2by+c=0 thì pttt có dạng:
x0x+y0y− a(x0+x)− b(y0+y) + c= 0
Ví dụ 1 :Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) : (x-1)2 + (y-2)2 = 4 tại M(-1;2)
Giải
Thế M vào (C) ⇒ M ∈ (C).
r uuur
Tâm I(1;2) ⇒vtpt n = IM =(−2;0)
r uuur
Phương trình tiếp tuyến đi qua M và có vtpt n = IM =(−2;0) có dạng:
−2(x+1) + 0(y-2) = 0 ⇒ -2x – 2 = 0 hay x +1= 0
b) Tiếp tuyến xuất phát từ A(xA;yA) cho sẵn ở ngoài đường tròn
B1: Xác định tâm I và bán kính R

B2: Lập phương trình đường thẳng ∆ qua A có hệ số góc k, có dạng:
y−yA= k(x−x0) ⇔ ∆: kx−y+yA−mxA=0
B3: Để ∆ tiếp xúc d ⇔ d(I,∆ )= R ⇒ giải tìm k ⇒ thế vào ∆
+ Nếu tìm được 2 giá trị k thì kết thúc.
+ Nếu tìm được 1 giá trị k thì tiếp tuyến thứ 2 là đường thẳng ∆ ' đi qua A và //Oy có dạng x− xA =0.
Vấn đề 3: Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn
+ Nếu biết tiếp điểm M(x0;y0) thuộc (C), khi đó pt tiếp tuyến có dạng:
(x0−a)(x−x0)+(y0−b)(y−y0)= 0
+ Nếu chưa biết tiếp điểm thì dùng điều kiện tiếp xúc : d(I,∆) = R.
VD1: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): (x−1)2+(y+2)2=25 tại M(4;2) thuộc (C).
Đáp số: 3x+4y−20= 0
VD2: Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): x 2+y2−4x−2y= 0. Biết tiếp tuyến đi qua điểm
A(3;−2).
Đáp số: 2x−y−8=0 hoặc x+2y+1= 0
VD3: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đường tròn (C): x2+y2−4x+6y+3= 0 biết rằng ∆ song song với d:
3x−y+2006=0.
Đáp số: 3x−y+1= 0 hoặc 3x−y−19= 0.


Giáo án dạy thêm Toán 10

Giáo viên; Văn Thị Thảo

THPT QL2

Vd4 : Cho đường tròn có phương trình x2 +y2−4x+8y−5=0. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn đi
qua A(3;−11).
Giải
Ta có tâm I(2;−4), bán kính R=5
Xét IA= (3 − 2)2 + (−11 + 4)2 = 50 >R ⇒ A nằm ngoài đường tròn.

Viết phương trình ∆ qua A và có hệ số góc k có dạng:
y+11= k(x−3) ⇔∆: kx−y−3k−11= 0
| k (2) − ( −4) − 3k − 11|
=5
Để ∆ tiếp xúc d ⇔ d(I,∆ )= R ⇔
k 2 + 12
⇔ |−k−7|= 5 k 2 + 1 ⇔ |k+7|= 5 k 2 + 1
⇔ k2+14k+49= 25k2+25
4

k = 3
⇔ 24k2−14k−24= 0 ⇔ 12k2−7k−12=0 ⇔ 
k = − 3

4
Vậy có hai tiếp tuyến là:
k=4/3 ⇒ ∆1: 4x−3y−45= 0
k=−3/4⇒ ∆2: 3x+4y+35= 0
Vd5 : Cho đường tròn (C): (x−1)2+(y−1)2=1. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn đi qua điểm
M(2;3).
Giải
Ta có tâm I(1;1), bán kính R=1
Xét IM= (2 − 1) 2 + (3 − 1) 2 = 5 >R=1 ⇒ M nằm ngoài đường tròn.
Viết phương trình ∆ qua M và có hệ số góc k có dạng:
y−3= k(x−2) ⇔∆: kx−y−2k+3= 0
| k − 1 − 2k + 3 |
=1
Để ∆ tiếp xúc d ⇔ d(I,∆ )= R ⇔
k 2 + 12

BTVN

⇔ |2−k|= k 2 + 1 ⇔ 4−4k+k2 = k2+1⇔ k= ¾
Vậy : phương trình tiếp tuyến thứ 1 là ∆1:
Pt Tiếp tuyến thứ hai: ∆2: x−xM =0 ⇔ x−2= 0

Bài 1: Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C) : ( x − 1) 2 + ( y + 2) 2 = 36 tại điểm Mo(4; 2) thuộc
đường tròn.
Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C ) : ( x − 2) 2 + ( y − 1)2 = 13 tại điểm M thuộc đường
tròn có hoành độ bằng xo = 2.
Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C) : x 2 + y 2 + 2 x + 2 y − 3 = 0 và đi qua điểm M(2; 3)
Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) : ( x − 4) 2 + y 2 = 4 kẻ từ gốc tọa độ.
Bài 5: Cho đường tròn (C) : x 2 + y 2 − 2 x + 6 y + 5 = 0 và đường thẳng d: 2x + y – 1 = 0. Viết phương trình
tiếp tuyến ∆ biết ∆ // d; Tìm tọa độ tiếp điểm.
Bài 6: Cho đường tròn (C) : ( x − 1) 2 + ( y − 2) 2 = 8 . Viết phương trình tiếp tuyến với (C ), biết rằng tiếp tuyến
đó // d có phương trình: x + y – 7 = 0.
Bài 7: Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C ): x 2 + y 2 = 5 , biết rằng tiếp tuyến đó vuông góc với
đường thẳng x – 2y = 0.
Bài 8: Cho đường tròn (C): x 2 + y 2 − 6 x + 2 y + 6 = 0 và điểm A(1; 3)
a) Chứng minh rằng A nằm ngoài đường tròn
b) Viết pt tiếp tuyến của (C) kẻ
từ A


Giáo án dạy thêm Tốn 10

Giáo viên; Văn Thị Thảo

THPT QL2

b) Viết pt tiếp tuyến của (C ) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng (d): 3x – 4y + 1 = 0
Bài 9*: Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC biết phương trình của các cạnh AB: 3x + 4y –
6 =0; AC: 4x + 3y – 1 = 0; BC: y = 0
Bài 10*: Xét vị trí tương đối của đường thẳng ∆ và đường tròn (C) sau đây: 3x + y + m = 0 và x2 + y2 – 4x
+ 2y + 1 = 0
Bài 11*: Viết pt đường tròn (C ) đi qua điểm A(1, 0) và tiếp xúc với 2 đt d 1: x + y – 4 = 0 và d 2: x + y + 2
= 0.

CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Ngày soạn :
I. Mục tiêu:
1. Về kiến thức:
- Hiểu công thức tính sin, côsin, tang, côtang của tổng, hiệu hai góc.
- Từ các công thức cộng suy ra công thức góc nhân đôi.
- Hiểu công thức biến đổi tích thành tổng và công thức biến đổi tổng thành tích.


Giáo án dạy thêm Tốn 10

Giáo viên; Văn Thị Thảo

THPT QL2

2. Về kó năng:
- Vận dụng được công thức cộng, công thức góc nhân đôi để giải các bài toán như tính giá trò
lượng giác của một góc, rút gọn những biểu thức lượng giác đơn giản và chứng minh một số bất đẳng
thức.
- Vận dụng được công thức biến đổi tích thành tổng, công thức biến đổi tổng thành tích vào một
số bài toán biến đổi, rút gọn biểu thức.
3. Về tư duy, thái độ: Biết quy lạ về quen; cẩn thận, chính xác.

4. Về năng lực: tính tốn, giải quyết vấn đề
II. Chuẩn bò phương tiện dạy học:
1. Thực tiễn: Hs đã biết các công thức về: Giá trò lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt,...
III. Gợi ý về PPDH: Cơ bản dùng PP gợi mở, vấn đáp thông qua các HĐ điều khiển tư duy.
IV. Tiến trình bài học và các hoạt động:
BÀI TẬP
BÀI 1 : Tính giá trị của hàm số lượng giác − Biểu thức lượng giác
a) Biết cosα = 4/5 và 00 < α < 900 .
+ Tính sinα , tgα , cotgα .
+ Tính giá trị biểu thức A =

cot gα + tgα
.
cot gα - tgα

( sinα = 3/5 ; A = 25/7 )

b) Biết tgα = −2 , với α là góc của một tam giác .
+ Tính cosα, sinα .
+ Tính giá trị biểu thức B =

sin α + 2 cos α
.
sinα - 2cosα

( cosα = - 1

5 ; B = 0)

c) Cho tgα + cotgα = 2 . ( 00 < α < 900 )

+ Tính sinα, cosα , tgα, cotgα .
+ Tính giá trị biểu thức C =

sin α. cos α
tg 2 α + cotg 2 α

.

(α = 450 ; C = 1/4 )

d) Cho sinα + cosα = 2 .
+ Tính sinα, cosα, gα, cotgα .
+ Tính giá trị của biểu thức D = sin5α + cos5α .
( cosα = sinα = 2 2 ; D =
e) Cho 3sin4α − cos4α = 1/2
+ Tính biểu thức E = sin4α + 3cos4α .
(E=1)
BÀI 2 : Đơn giản biểu thức
A=

tgx
sinx
sin x cotgx

sin x
sinx 1 - sin 2 x
cos x
=
=
= cosx

cosx
sin x
cosx
sin x

B=
=

sin 3 x + cos 3 x
sin x + cos x
(sin x + cos x )(sin 2 x - sinx.cosx + cos 2 x
= 1 - sinx.cosx
sin x + cos x

2 /4)


Giáo án dạy thêm Toán 10
C=

Giáo viên; Văn Thị Thảo

THPT QL2

cos 2 x - sin 2 x
cotg 2 x - tg 2 x

cos 2 x - sin 2 x

= cos 2 x sin 2 x

= sin 2 x. cos 2 x

sin 2 x cos 2 x

D=

1 + cos x . 1 - cosx

= 1 - cos 2 x =| sin x |

π
2

E = tg ( + x ) + tg ( x +

3π
5π
π
) - tg ( x - ) - tg(x - )
2
2
2

π
π
π
2
2
2

π
π
= −cotgx + tg ( + x ) - tg(x - ) + cotgx = − cotgx − cotgx + cotgx +cotgx = 0
2
2
1 - cos 2 (900 + x )
- cotg(90 0 - x).tg(90 0 + x)
F=
2
0
1 - sin (90 - x)

= −cotgx + tg ( + x + π) - tg(x - - 2π ) - tg[-( - x)]

=

1 - sin 2 x
2

1 - cos x

− tgx(−cotgx) =

1 - sin 2 x
2

1 - cos x

+1 =

cos 2 x
2

sin x

+1=

1
sin 2 x

Bài 3: Rút gọn các biểu thức
2 cos 2 − 1
a) A =
b) B = sin 2 x (1 + cot x ) + cos 2 (1 + tan x)
sin x + cos x
Bài 4: Tính giá trị của biểu thức:
cot α + tan α
3
π
a) A =
biết sin α = và 0 < α <
cot α − tan α
5
2
2sin α + 3cos α
3sin α − 2 cos α
b) Cho tan α = 3 . Tính
;
4sin α − 5cos α
5sin 3 α + 4 cos 3 α

Bài 5: Chứng minh các đẳng thức sau:
sin x
1 + cos x
2
1
cos x
+
=
−
= tan x
a)
b) sin4x + cos4x = 1 – 2sin2x.cos2x c)
d)
1 + cos x
sin x
sin x
cos x 1 + sin x
cos 2 x − sin 2 x
1 + sin 2 x
2
2
sin6x + cos6x = 1 – 3sin2x.cos2x
e)
f)
=
sin
x
.cos
x
= 1 + 2 tan 2 x

2
2
2
cot x − tan x
1 − sin x


Giáo án dạy thêm Tốn 10

Giáo viên; Văn Thị Thảo

Bài 1 : Tính các giá trò lượng giác khác của α biet :
4
a ) sin α = (0 0 < α < 90 0 )
5
2
π
c) cot α = (0 < α < )
3
2
−8
3π
e) sin α =
(π < α <
)
17
2
Bai 2 : Cm

−5

3π
(π < α <
)
13
2
−4 π
d ) cos α =
( <α < π)
5 2
1
π
f ) tan α = (0 < α < )
3
2
b) cos α =

a ) sin 4 x + cos 4 x = 1 − 2 sin 2 x. cos 2 x
c) cot 2 x − cos 2 x = cos 2 x. cot 2 x
1 − cos x
sin x
e)
=
sin x
1 + cos x
2
1 + sin x
g)
= 1 + 2 tan 2 x
2
1 − sin x

sin x
1 + cos x
2
i)
+
=
1 + cos x
sin x
sin x
tan x + tan y
k ) tan x. tan y =
cot x + cot y
Bai 3 : Rút gon :
A = ( tan x + cot x ) − ( tan x − cot x )
2

C=

cot 2 x − cos 2 x sin x. cos x
+
cot x
cot 2 x

THPT QL2

b) sin 6 x + cos 6 x = 1 − 3 sin 2 x. cos 2 x
d ) tan 2 x − sin 2 x = tan 2 x. sin 2 x
sin x + cos x − 1
2 cos x
f)

=
1 − cos x
sin x − cos x + 1
cos x
1
h)
+ tan x =
1 + sin x
cos x
j ) 1 + sin a + cos a + tan a = (1 + cos a)(1 + tan a )
l)

2

sin x + tan x
= 1 + sin x. cot x
tan x

(

)

B = 1 − sin 2 x cot 2 x + 1 − cot 2 x
D=

cos x. tan x
− cot x. cos xg
sin 2 x

CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC

Ngày soạn :
I. Mục tiêu:
1. Về kiến thức:
- Hiểu công thức tính sin, côsin, tang, côtang của tổng, hiệu hai góc.
- Từ các công thức cộng suy ra công thức góc nhân đôi.
- Hiểu công thức biến đổi tích thành tổng và công thức biến đổi tổng thành tích.
2. Về kó năng:
- Vận dụng được công thức cộng, công thức góc nhân đôi để giải các bài toán như tính giá trò
lượng giác của một góc, rút gọn những biểu thức lượng giác đơn giản và chứng minh một số bất đẳng
thức.