Nghiên cứu chuyển pha trong mô hình sigma tuyến tính

Bộ giáo dục và đào tạo

Bộ khoa học và công nghệ
Viện năng lượng nguyên tử Việt Nam
----------oOo----------

Nguyễn Văn Thụ

nghiên cứu chuyển pha
trong mô hình sigma tuyến tính

luận án tiến sĩ vật lý

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
Mã số: 62.44.01.01

Hướng dẫn khoa học:
GS.TSKH Trần Hữu Phát
TS. Nguyễn Tuấn Anh

Hà Nội - 2011


Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các kết
quả thu được bằng phương pháp nêu trong luận án là trung thực và chưa từng
được công bố trong bất kỳ công trình nào khác.

Hà Nội, ngày 11 tháng 11 năm 2011
Tác giả luận án

Nguyễn Văn Thụ

i


Lời cảm ơn
Lời đầu tiên tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc nhất tới GS.
TSKH. Trần Hữu Phát - người thày đã luôn tận tình hướng dẫn, giúp đỡ và
tạo điều kiện thuận lợi nhất cho tôi trong suốt thời gian thực hiện luận án
này.
Tôi xin chân thành cảm ơn TS. Nguyễn Tuấn Anh và TS. Nguyễn Văn
Long đã nhiệt tình hướng dẫn tôi trong việc tính số bằng phần mềm Mathematica, đồng thời đã cho tôi nhiều ý kiến đóng góp quý báu trong suốt quá
trình tôi thực hiện luận án.
Tôi xin chân thành cảm ơn Bộ Giáo dục và Đào tạo, Việt Năng lượng
nguyên tử Việt Nam, Viện khoa học và kỹ thuật hạt nhân và Trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo những điều kiện thuận lợi nhất để tôi có thể hoàn
thành luận án.
Nhân dịp này tôi xin được bày tỏ tấm lòng biết ơn tới các thầy cô, bạn
bè và những người thân đã động viên và giúp đỡ tôi trong những năm qua.
Tôi cũng xin được cảm ơn sự quan tâm của anh chị em ở Trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2, đặc biệt là Khoa Vật lý đã tạo điều kiện thuận lợi nhất cho
tôi dành thời gian hoàn thành luận án.
Cuối cùng, tôi xin dành sự biết ơn của mình tới những người thân yêu
nhất trong gia đình đã động viên, giúp đỡ và dõi theo từng bước đi của tôi
trong nhiều năm qua.
Hà Nội, ngày 11 tháng 11 năm 2011
Tác giả luận án

Nguyễn Văn Thụ

ii


Mục lục

Trang
Trang bìa phụ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Lời cam đoan

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Mục lục

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

Danh mục các chữ viết tắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v

mở đầu

Chương 1:

1

cấu trúc pha trong mô hình sigma tuyến

tính khi không có sự tham gia của quark

8

1.1. Mô hình sigma tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2. Cấu trúc pha khi số hạng phá vỡ đối xứng có dạng chính tắc

9

1.2.1. Chuyển pha chiral khi thế hóa bằng không

. . . . . .

9

1.2.2. Cấu trúc pha ở nhiệt độ và ICP hữu hạn . . . . . . . .

16

1.3. Cấu trúc pha khi số hạng phá vỡ đối xứng có dạng không chính
tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

1.3.1. Khi

àI > m

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

1.3.2. Khi

àI < m

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

1.4. Vai trò của cân bằng điện tích . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

1.4.1. Khi số hạng phá vỡ đối xứng có dạng chính tắc . . . .

45

1.4.2. Khi số hạng phá vỡ đối xứng có dạng không chính tắc

49

1.5. Nhận xét

Chương 2:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

cấu trúc pha trong mô hình sigma tuyến

tính khi có sự tham gia của quark

54

2.1. Thế hiệu dụng trong gần đúng trường trung bình . . . . . . .

54

iii


2.2. Khi số hạng phá vỡ đối xứng có dạng chính tắc

=0.

2.2.1.

Giới hạn chiral

2.2.2.

Trong thế giới vật lý

. . . . . . .

56

. . . . . . . . . . . . . . . . .

57

=1

. . . . . . . . . . . . . . .

61

2.3. Khi số hạng phá vỡ đối xứng có dạng không chính tắc . . . .

72

2.3.1. Khi

àI > m

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76

2.3.2. Khi

àI < m

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

2.4. Vai trò của điều kiện trung hòa điện tích

. . . . . . . . . . .

84

2.4.1. Khi số hạng phá vỡ đối xứng có dạng chính tắc . . . .

88

2.4.2. Khi số hạng phá vỡ đối xứng có dạng không chính tắc

90

2.5. Nhận xét

Chương 3:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

Chuyển pha chiral trong không-thời gian

rút gọn

97

3.1. Chuyển pha chiral khi không tính đến hiệu ứng Casimir . . .

97

3.1.1. Thế hiệu dụng và phương trình khe

. . . . . . . . . .

97

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

3.2. Chuyển pha chiral dưới ảnh hưởng của hiệu ứng Casimir . . .

104

3.1.2. Tính số

3.2.1. Năng lượng Casimir

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

104

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

107

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

111

3.2.2. Tính số
3.3. Nhận xét

kết luận

114

Các công trình liên quan đến luận án . . . . . . . . . . . . . . . .

116

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

117

Phụ lục

124


Danh mục các chữ viết tắt
CEP

critical endpoint (điểm tới hạn).

CJT

Cornwall-Jackiw-Tomboulis.

HF

Hartree-Fock.

ICP

isospin chemical potential (thế hóa spin đồng vị).

IHF

improved Hatree-Fock (Hatree-Fock cải tiến).

LQCD

lattice quantum chromodynamics (mạng sắc động lực học lượng tử).

LSM

linear sigma model (mô hình sigma tuyến tính).

LSMq

linear sigma model with constituent quarks
(mô hình sigma tuyến tính với sự tham gia của quark).

NJL

Nambu-Jona-Lasinio.

PNJL

Polyakov-Nambu-Jona-Lasinio.

QCD

quantum chromodynamics (sắc động lực học lượng tử).

QCP

quark chemical potential (thế hóa quark).

SB

symmetry breaking (sự phá vỡ đối xứng).

SD

Schwinger-Dyson.

TQ

twisted quark (quark có cấu trúc trường xoắn).

UQ

untwisted quark (quark có cấu trúc trường không xoắn).

v


mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Nghiên cứu chuyển pha hiện đang là vấn đề thời sự của vật lý hiện đại.
Nó đang được các nhà vật lý quan tâm trong nhiều lĩnh vực khác nhau, từ
vũ trụ học đến vật lý hạt nhân.
Trong lĩnh vực vũ trụ học, người ta cho rằng đã xảy ra rất nhiều các quá
trình chuyển pha ở thời kì đầu khi vũ trụ được hình thành. Chuyển pha của
QCD là một trong số những chuyển pha đó. Có hai hiện tượng liên quan đến
chuyển pha QCD đó là hiện tượng không giam cầm của các quark và gluon
và hiện tượng phục hồi đối xứng chiral. ở giá trị nào đó của nhiệt độ sẽ xảy
ra sự chuyển pha từ pha các hadron đến pha quark-gluon plasma. Trạng thái
không giam cầm cũng xảy ra khi mật độ đạt giá trị tới hạn, ở đó có sự dịch
chuyển pha giữa pha hadron và pha của vật chất quark lạnh. Tại cùng giá trị
tới hạn của nhiệt độ và mật độ có thể xảy ra sự chuyển pha không giam cầm
và chuyển pha chiral.
Sắc động học lượng tử được xem là lý thuyết phù hợp nhất để mô tả vật
chất tương tác mạnh. Về mặt nguyên tắc, QCD có thể mô tả tất cả các pha

của vật chất tương tác mạnh ở mọi giá trị của nhiệt độ và mật độ. Việc khảo
sát cấu trúc pha của QCD sẽ cho ta cái nhìn tổng quát về sự chuyển pha vật
chất trong tương tác mạnh.
Trong những năm gần đây đã có rất nhiều các công trình nghiên cứu về
cấu trúc pha của QCD ở giá trị hữu hạn của nhiệt độ và thế hóa. Các nghiên
cứu này đã chỉ ra rằng bài toán cấu trúc pha chỉ có thể giải chính xác trong
một số trường hợp giới hạn. Trước tiên, ở nhiệt độ hoặc mật độ đủ cao để
đạt đến trạng thái tiệm cận tự do, sao cho tương tác giữa các hạt đủ nhỏ, lúc
này ta có thể sử dụng khai triển nhiễu loạn. Trong trường hợp này mô hình
hiệu dụng cho QCD được gọi là lý thuyết nhiễu loạn chiral [14, 36, 39, 57].


2

Khi nhiệt độ thấp và mật độ đủ lớn các nghiên cứu đã cho thấy rằng QCD
ở pha có màu và hương bị khóa, lúc này QCD được mô tả bởi các mô hình
như NJL [9, 24, 29, 30], LSM [4, 5, 52], PNJL [1, 43]. Trong số các mô hình
này thì LSM là một mô hình tiêu biểu, nó bắt đầu được nghiên cứu từ nhiều
thập kỷ trước đây. Đây là một mô hình rất phù hợp để nghiên cứu các hiện
tượng liên quan đến tương tác mạnh ở nhiệt độ thấp, bao gồm cả đối xứng
chiral. Tuy nhiên các nghiên cứu theo LSM cho đến nay vẫn chưa đầy đủ,
đặc biệt khi tính đến ICP và QCP. Chính vì lý do này mà chúng tôi chọn đề
tài "Nghiên cứu chuyển pha trong mô hình sigma tuyến tính" làm vấn
đề nghiên cứu của luận án này.
2. Lịch sử vấn đề
Mô hình sigma tuyến tính được đề cập lần đầu tiên trong công trình
nghiên cứu của M. Gell-Mann và M. Levy [25] khi nghiên cứu đối xứng
chiral trong QCD. Từ đó đến nay LSM luôn thu hút được sự quan tâm của
các nhà vật lý. Mô hình này được coi là lý thuyết hiệu dụng để nghiên cứu
sự ngưng tụ trong chất hạt nhân.

Sau [25], nghiên cứu đáng kể về LSM phải kể đến công trình của D. K.
Campell, R. F. Dashen và J. T. Manassah [18]. Trong công trình này các
tác giả đã khảo sát chi tiết cấu trúc năng lượng của hệ với hai dạng khác
nhau của số hạng phá vỡ đối xứng: số hạng phá vỡ đối xứng dạng chính tắc
(standard case) hay còn gọi là phá vỡ đối xứng dạng

cos

và số hạng phá

vỡ đối xứng dạng không chính tắc (non-standard case) hay còn gọi là phá vỡ
đối xứng dạng

sin2 . Tuy nhiên các tính toán ở đây chỉ dừng lại ở gần đúng

cây.
Bây giờ chúng tôi điểm qua về việc sử dụng LSM ở gần đúng bậc cao
trên hai phương diện: hai dạng khác nhau của số hạng phá vỡ đối xứng và
sự tham gia của các quark.


3

Trước tiên ta nói đến trường hợp không có sự tham gia của các quark và
số hạng phá vỡ đối xứng có dạng chính tắc. Khi không có ICP, các tác giả
[38] đã sử dụng phương pháp tác dụng hiệu dụng CJT để khảo sát sự phụ
thuộc nhiệt độ của khối lượng các pion và hạt sigma theo LSM ở nhiệt độ
hữu hạn trong hai gần đúng khác nhau là gần đúng HF và gần đúng khai
triển

N

lớn. Cũng xét cho trường hợp không có ICP, các tác giả [59] khảo

sát sự chuyển pha chiral trong LSM theo phương pháp tác dụng hiệu dụng
CJT và đề xuất một phương pháp tái chuẩn hóa mới trong gần đúng HF. Kết
quả cho thấy, trong giới hạn chiral chuyển pha là loại một, trong thế giới vật
lý thì đối xứng chiral được phục hồi ở nhiệt độ cao.
Trường hợp số hạng phá vỡ đối xứng có dạng không chính tắc, sau [18],
hiện chưa có công trình trình nào khảo sát bài toán này ở gần đúng bậc cao.
Bây giờ ta xét đến bài toán cấu trúc pha của vật chất tương tác mạnh với
sự tham gia của các quark. Hiện nay nghiên cứu cấu trúc pha của LSMq mới
chỉ dừng lại ở trường hợp không có ICP [52], trong đó bỏ qua khối lượng
dòng của quark. Các nghiên cứu về cấu trúc pha của QCD hiện nay chủ yếu
tập trung vào mô hình NJL [6] và mô hình PNJL [51].
Nghiên cứu về không-thời gian rút gọn với số chiều không gian được bổ
sung thêm (extra dimension) đang thu hút được sự quan tâm lớn của nhiều
nhà nghiên cứu trong nhiều lĩnh vực khác nhau của vật lý. Công trình đầu
tiên nghiên cứu về vấn đề này thuộc về Kaluza và Klein [54] khi cố gắng
thống nhất lực hấp dẫn với các lực khác trong tự nhiên. Từ đó đến nay vấn
đề này đã có những bước tiến đáng kể. Trước tiên phải kể đến những thành
công trong lý thuyết siêu hấp dẫn, siêu dây và lý thuyết màng [53]. Đặc biệt,
thành phần không gian bổ sung đã được mở rộng đến thang năng lượng thấp
[3, 48]. Toàn ảnh QCD [50], lý thuyết hạt nhân toàn ảnh [12] và lý thuyết
toàn ảnh về siêu dẫn nhiệt độ cao [32] đã hình thành và phát triển với những
kết quả rất đáng quan tâm. Bên cạnh đó các nghiên cứu về không-thời gian


4

với topo không tầm thường cũng đưa đến những hiệu ứng vật lý mới như
hiệu ứng Casimir [15, 46] gây ra bởi cấu trúc chân không của trường lượng
tử của không-thời gian rút gọn, lý thuyết về năng lượng tối [22], sự dãn nở
vũ trụ [21].
3. Mục đích nghiên cứu
Luận án đặt ra mục đích là nghiên cứu cấu trúc pha của LSM trong hai
trường hợp: có và không có sự tham gia của quark. Trong mỗi trường hợp
này đều lần lượt khảo sát hai dạng khác nhau của số hạng phá vỡ đối xứng.
Bên cạnh đó chúng tôi cũng đặt ra mục tiêu nghiên cứu chuyển pha chiral
trong không-thời gian rút gọn trong trường hợp không có ICP.
4. Đối tượng, nhiệm vụ và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng chúng tôi lựa chọn để nghiên cứu trong luận án này là mô hình
sigma tuyến tính mô tả tương tác của các hạt pion, sigma và các quark.
Mô hình sigma tuyến tính cũng là đối tượng mà chúng tôi lựa chọn khi
nghiên cứu chuyển pha chiral trong không-thời gian rút gọn.
Trên cơ sở đó, những mục tiêu chính mà chúng tôi đặt ra trong luận án
này như sau:



Khảo sát sự khôi phục đối xứng chiral trong mô hình sigma tuyến tính ở
ICP bằng không khi số hạng phá vỡ đối xứng có dạng chính tắc, trong
cả giới hạn chiral và thế giới vật lý.



Nghiên cứu chuyển pha nhiệt và chuyển pha lượng tử trong trường hợp
số hạng phá vỡ đối xứng có dạng chính tắc, trong giới hạn chiral và ở
ICP hữu hạn.

Nghiên cứu sự phá vỡ đối xứng, sự phục hồi đối xứng và giản đồ pha ở
ICP hữu hạn khi số hạng phá vỡ đối xứng có dạng chính tắc.


5



Nghiên cứu sự phá vỡ đối xứng, sự phục hồi đối xứng và giản đồ pha ở
ICP hữu hạn khi số hạng phá vỡ đối xứng có dạng không chính tắc.



Nghiên cứu cấu trúc pha của LSMq với số hạng phá vỡ đối xứng có
dạng chính tắc.



Nghiên cứu cấu trúc pha của LSMq với số hạng phá vỡ đối xứng có
dạng không chính tắc.



Khảo sát ảnh hưởng của điều kiện trung hòa điện tích lên cấu trúc pha
của LSM và LSMq.

Nghiên cứu chuyển pha chiral trong không-thời gian rút gọn trong
LSMq khi bỏ qua và khi có tính đến năng lượng Casimir.

5. Phương pháp nghiên cứu
Trong khuôn khổ luận án này chúng tôi sử dụng kết hợp phương pháp
trường trung bình và tác dụng hiệu dụng.
Lý thuyết trường trung bình là một phương pháp được sử dụng khá rộng
rãi trong nghiên cứu các vấn đề của vật lý hiện đại, đặc biệt là các bài toán
có liên quan đến hiện tượng chuyển pha của vật chất. Đây là một phương
pháp tương đối đơn giản nhưng lại có thể cho ta kết quả với độ chính xác
chấp nhận được. Chính vì những lý do này mà chúng tôi lựa chọn phương
pháp trường trung bình để nghiên cứu cấu trúc pha của LSMq.
Phương pháp tác dụng hiệu dụng CJT ở nhiệt độ hữu hạn là phương pháp
rất phù hợp để nghiên cứu sự chuyển pha trong lý thuyết trường lượng tử.
Ngoài ra, phương pháp này còn cho phép ta tính toán ở gần đúng cao hơn so
với phương pháp trường trung bình. Hơn thế nữa, khi sử dụng phương pháp
này chúng tôi muốn vận dụng và tiếp tục phát triển cách tái chuẩn hóa thế
hiệu dụng ở gần đúng hai vòng.


6

6. Đóng góp của luận án
Thực hiện luận án này có nhiều ý nghĩa về phương diện khoa học. Bên
cạnh những mô hình như mô hình NJL, mô hình LQCD, LSM là một trong
những mô hình được sử dụng nhiều trong QCD do những ưu điểm nổi bật
của nó. Việc nghiên cứu cấu trúc pha của LSM góp phần quan trọng vào
việc nghiên cứu các quá trình chuyển pha ở thời kỳ đầu của vũ trụ sau vụ nổ
lớn, các hiện tượng chuyển pha liên quan đến cấu trúc của vật chất đậm đặc,
những tính chất và sự chuyển pha trong chất hạt nhân, sự phá vỡ và phục hồi

đối xứng ở nhiệt độ cao hay ở giá trị lớn của thế hóa,... đang là những vấn
đề có tính thời sự và rất có ý nghĩa trong vật lý hiện đại.
Việc hoàn thành những nhiệm vụ đặt ra trong luận án sẽ là một đóng góp
đáng kể vào việc giải quyết những vấn đề có liên quan đến các hiện tượng
tới hạn trong vật lý hiện đại.
7. Cấu trúc của luận án
Ngoài phần mở đầu, kết luận và phần phụ lục, luận án gồm ba chương:
Chương I: Cấu trúc pha trong mô hình sigma tuyến tính khi không có
sự tham gia của quark.
Trong chương này chúng tôi khảo sát cấu trúc pha của LSM. Trong
LSM thì số hạng phá vỡ đối xứng đóng vai trò rất quan trọng. Có hai dạng
khác nhau của số hạng phá vỡ đối xứng: dạng chính tắc và dạng không chính
tắc. Các nghiên cứu của chúng tôi trong chương này cho thấy cấu trúc pha
trong hai trường hợp này khá khác nhau. Khi số hạng phá vỡ đối xứng có
dạng chính tắc chúng tôi lần lượt khảo sát cấu trúc pha với ICP bằng không
và khi ICP có giá trị hữu hạn. Tương ứng với hai khả năng của ICP, bài toán
cấu trúc pha được khảo sát cả hai trường hợp là giới hạn chiral và thế giới
vật lý.
Bên cạnh đó chúng tôi cũng khảo sát ảnh hưởng của điều kiện trung hòa


7

điện tích lên cấu trúc pha của LSM.
Chương II: Cấu trúc pha trong mô hình sigma tuyến tính với sự tham
gia của quark.
Khi có sự tham gia của quark, cấu trúc pha của LSM thay đổi đáng
kể. Trong chương này chúng tôi khảo sát cấu trúc pha của LSMq. Hai dạng
khác nhau của số hạng phá vỡ đối xứng được khảo sát chi tiết. Khi số hạng
phá vỡ đối xứng có dạng chính tắc chúng tôi khảo sát cả hai trường hợp là

giới hạn chiral và thế giới vật lý.
Điều kiện trung hoà điện tích cũng được tính đến ở cuối chương để khảo
sát hệ trong trạng thái cân bằng bền.
Chương III: Chuyển pha chiral trong không-thời gian rút gọn.
Mô hình sigma tuyến tính với sự tham gia của các quark được sử dụng
trong chương này để nghiên cứu chuyển pha chiral trong không-thời gian rút
gọn khi bỏ qua ICP. Các nghiên cứu thực hiện với cả giới hạn chiral và thế
giới vật lý.


CHƯƠNG 1

cấu trúc pha trong mô hình sigma tuyến tính
khi không có sự tham gia của quark

Mô hình sigma tuyến tính là mô hình được sử dụng rộng rãi trong QCD.
Bài toán cấu trúc pha trong QCD có ý nghĩa rất lớn trong vật lý hiện đại.
Trong chương này, sau khi giới thiệu sơ lược về LSM, chúng tôi khảo sát
bài toán về cấu trúc pha trong mô hình này cho các trường hợp khác nhau
của số hạng phá vỡ đối xứng.
1.1. Mô hình sigma tuyến tính
Trong LSM, hệ được mô tả bởi Lagrangian

(i)

LLSM = LM S + LSB V,
1
LM S =
( )2 + ( )2 + 2iàI (1 0 2 2 0 1 ) ,
2

2
2 2
m 2
à2I 2
2
2
V =
( + ) (1 + 2 ) + ( + 2 )2 ,
2
2
4
trong đó

= x1 , x2 , x3 , x0 , = (1 , 2 , 3 ), àI

(1.1)

là ICP. Theo các tác giả

[18] có hai dạng khác nhau của số hạng phá vỡ đối xứng

(1)

LSB = m f2 ,
với

(1.2)

= 0, 1 và
(2)

LSB

m2 2
.
=
2

(1.3)

Nếu số hạng phá vỡ đối xứng có dạng (1.2) ta gọi đây là trường hợp chính
tắc (standard). Trong trường trường hợp này

m2 =
trong đó

m

và

số phân rã pion.

m

m2 m2
3m2 m2
< 0, 2 = 2 > 0,
2
2f

là khối lượng của các hạt pion và hạt sigma,

(1.4)

f

là hằng


9

Trường hợp số hạng phá vỡ đối xứng có dạng (1.3) ta gọi đây là trường
hợp không chính tắc (non-standard). Khi đó các hệ số trong biểu thức thế
năng tương tác có dạng

m2
m2
2
< 0, = 2 > 0.
m =
2
2f
2

(1.5)

1.2. Cấu trúc pha khi số hạng phá vỡ đối xứng có dạng chính tắc
Khi số hạng phá vỡ đối xứng có dạng chính tắc Lagrangian của hệ có
dạng

(1)

LLSM = LM S + LSB V,

(1.6)

với các hệ số tương tác được xác định như ở (1.4). Ta sẽ lần lượt khảo sát
cấu trúc pha trong trường hợp ICP bằng không và ICP hữu hạn.

1.2.1. Chuyển pha chiral khi thế hóa bằng không
Khi ICP bằng không lại có thể xảy ra hai khả năng khác nhau. Bây giờ
ta sẽ lần lượt xét hai trường hợp này.

1.2.1.1. Giới hạn chiral

=0

Trong trường hợp này chúng ta đã biết trạng thái cơ bản của hệ là

= u,
Trong gần đúng cây (tree-level),

u

i = 0.
được tìm từ điều kiện cực tiểu của thế

tương tác

m2 + 2 u2 u = 0,
và do đó

u=
khi

u = 0.

m2
2,


(1.7)


10

Chúng ta tiến hành phép dịch chuyển

u + , i i .

(1.8)

Thay (1.8) vào (1.6) và thực hiện một vài phép biến đổi ta sẽ thu được
Lagrangian tương tác

2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
= (1 + 2 ) ( + 3 ) (1 + 22 )( 2 + 32 )

4
4
2
2
2
2
2
2 2
2
u(u + + 3 ) (1 + 2 ),
(1.9)

Lint

và các hàm truyền nghịch đảo

iD1
= n2 k 2 m2 2 u2 , iD1
= n2 k 2 m2 2 u2 ,
1
2
2
iD1 = n2 k 2 m2 32 u2 , iD1
= n2 k 2 m2 2 u(1.10)
.
3
Từ (1.7) và (1.10) ta thấy rõ ràng các pion là các boson Goldstone.
Dựa vào (1.9) và (1.10) chúng ta có thể tính được thế hiệu dụng CJT trong
gần đúng hai vòng (double-bubble) [19]. Gần đúng này được gọi là phép gần
đúng HF. Kết quả cho ta

VCJT (u, G)
+

1
2

m2 2 2 4 2
32 2
=
u + u + (P2 P + P2 P3 ) +
(P + P23 ),
2
4
2
4


1
1
1
ln G1
1 (k) + ln G2 (k) + ln G (k) + ln G3 (k)

G1
+D1
1

+

D1
G 2
2

+

D1 G

+

G3
D1
3

32 2
4 +
P
4 1

32 2
2
P + (P1 P2 + P1 P + P P3 + P1 P3 ),
+
4 2
2

(1.11)

trong đó

1
f (k) =


Pa =

+
n=

2n
1
d3 k
f
(
,
k),

=
,

=
.
n
n
(2)3

T

Ga (k); a = 1 , 2 , 3 , .

Từ (1.11) ta có thể rút ra được phương trình khe và các hàm truyền nghịch
đảo.


11

- Phương trình khe

m2 + 2 u2 + 2 (P1 + P2 + P3 + 3P ) u = 0.

(1.12)

- Các hàm truyền nghịch đảo

2
2
2
2 2
G1
1 = n + k + m + u + 1 ,
2
2
2
2 2
G1
2 = n + k + m + u + 2 ,
2
2
2

2 2
G1
= n + k + m + 3 u + ,
2
2
2
2 2
G1
3 = n + k + m + u + 3 ,

(1.13)

với

1 = 2 (3P1 + P2 + P + P3 ),
2 = 2 (P1 + 3P2 + P + P3 ),
= 2 (P1 + P2 + 3P + P3 ),
3 = 2 (P1 + P2 + P + 3P3 ).

(1.14)

Các phương trình (1.12)-(1.14) cho thấy trong gần đúng HF không xuất hiện
boson Goldstone nào.
Để khôi phục lại các boson Goldstone như trong gần đúng cây, chúng ta
sử dụng phương pháp được dùng trong [34], tức là thêm số hạng

VCJT

2
= (P21 P22 P23 + 2P1 P + 2P2 P + 2P P3 ),

2

vào biểu thức của thế hiệu dụng

VCJT (u, G)
+

1
2



=

VCJT

+

VCJT ,

VCJT

m2 2 2 4
u + u
=
2
4

1
1

1
1
ln G1
1 (k) + ln G2 (k) + ln G (k) + ln G3 (k) + D1 G1

2 2
+
+
4 + (P1 + P22 )
4
2 2
32 2 32
2
P +
P 3 P
+ P1 P2 + P3 +
2
4
4
2
+D1
G2
2

D1 G

D1
G 3
3

12

2
+ (P1 P3 + P2 P3 + P1 P + P2 P ).
2

(1.15)

Từ (1.15) chúng ta dễ dàng thu được
- Phương trình khe

m2 + 2 u2 + 2 (P1 + P2 + P3 + 3P ) = 0.

(1.16)

- Các hàm truyền nghịch đảo

2
2
1
2
2
iG1
1 = k , iG2 = k ,
2
2
1
2
2

2
iG1
3 = k , iG = k M .

(1.17)

Rõ ràng rằng trong (1.17) đã xuất hiện các boson Goldstone như trong gần
đúng cây. Để thuận tiện chúng ta sẽ gọi gần đúng mà ở đó bảo toàn các
boson Goldstone là gần đúng IHF.
Cần chú ý rằng thế hiệu dụng (1.15) có chứa các số hạng phân kỳ do đóng
góp của thành phần nhiệt độ không của các tích phân mô men xung lượng.
Việc tái chuẩn hóa thế hiệu dụng này được trình bày chi tiết trong Phụ lục
A. Bỏ qua các ký hiệu cho thành phần hội tụ, thế hiệu dụng (1.15) sau khi
tái chuẩn hóa có dạng

VCJT (u, G)

m2 2 2 4 1
1
u + u +
ln G1
1 (k) + ln G2 (k)
2
4
2
1
1
1
+ ln G1
(k) + ln G3 (k) + D1 G1 + D2 G2

2 2
1
1
+D G + D3 G3 4 + (P1 + P22 )
4
2
2
2
2
3 2 32

P +
P3 P
+ P1 P2 + P3 +
2
4
4
2
2
+ (P1 P3 + P2 P3 + P1 P + P2 P ).
(1.18)
2

=

Các thành phần hội tụ của các tích phân mô men xung lượng được trình bày
trong Phụ lục B.


13

Dạng thông thường (conventional form) của thế hiệu dụng thu được bằng
cách thay phương trình khe và hàm truyền nghịch đảo vào (1.15),

V (u)

=

m2 2 2 4 1
u + u +
2
4
2



1
ln G1
1 (k) + ln G2 (k)

2 2
(P1 + P22 )
4
2
2
2

3 2 32
2
P1 P2 P3

P
P 3 P
2
4
4
2
2
(P1 P3 + P2 P3 + P1 P + P2 P ).
2
1
+ ln G1
(k) + ln G3 (k)

(1.19)

Để tiến hành tính số, chúng ta chọn các tham số của mô hình ở nhiệt
độ không làm điều kiện ban đầu. Trong chân không, khối lượng của pion,
sigma và hằng số phân rã pion lần lượt là
và

m = 138

MeV,

m = 500

MeV

f = 93 MeV. Ngoài ra, do sự phân kỳ của các thành phần nhiệt độ không

của các tích phân mô men xung lượng mà ta sẽ phải đưa vào đây hệ số tái
chuẩn hóa

. Giá trị của

chính là nghiệm thực của phương trình

u( = 0 , T = 0) = f ,
dẫn đến

0 = 500 MeV.

(1.20)

Bây giờ chúng ta có thể tính số để khảo sát sự phụ thuộc nhiệt độ của
ngưng tụ chiral và sự biến thiên của thế hiệu dụng theo tham số trật tự
Đồ thị

u(T )

tụ chiral:

u.

được vẽ trên hình 1.1 cho thấy chuyển pha loại hai của ngưng

u(T ) = 0

khi

T > Tc

và

u(T ) = 0

khi

T < Tc ,

ở đây

MeV là nhiệt độ tới hạn. Sự biến thiên của thế hiệu dụng
được vẽ trên hình 1.2 với một số giá trị của

T,

Tc = 131.6

V (u)

theo

u

đồ thị này cũng xác nhận

rằng chuyển pha chiral thuộc chuyển pha loại hai. Chuyển pha loại hai trong
LSM cũng là kết quả ở [45, 47] khi sử dụng phương pháp nhóm tái chuẩn

14

1.0

u f

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

20

40

60

80

100

120

140

T MeV

Hình 1.1: Sự phụ thuộc nhiệt độ của ngưng tụ chiral

u(T ).

20

15

V MeV.fm

3

10

5

0

5

10
0

20

40

60

80

100

u MeV

Hình 1.2: Sự biến thiên của thế

V (u, T ) theo u ở một số giá trị của nhiệt độ. Từ trên xuống

dưới, các đồ thị lần lượt ứng với

T = 200 MeV, Tc = 131.6 MeV và T = 100 MeV.


15

hóa. Tuy nhiên trong các công trình [16, 44] không cho kết quả như vậy vì
không thỏa mãn định lý Goldstone. Từ đây chúng ta có thể đi đến khẳng
định rằng nếu tính đến định lý Goldstone thì chuyển pha chiral là chuyển
pha loại hai.

1.2.1.2. Thế giới vật lý

=1

Để kết thúc phần chuyển pha khi ICP bằng không, chúng ta khảo sát
trường hợp cuối cùng với

= 1,

ta gọi trường hợp này là thế giới vật lý.

Tương tự như trên, thế hiệu dụng CJT có dạng

VCJT

m2 2 2 4 1
1
(u, G) =
u + u +
ln G1
1 (k) + ln G2 (k)
2
4
2
1
1
1
ln G1
(k) + ln G3 (k) + D1 G1 + D2 G2
2 2
(P1 + P22 )
+D1 G + D1
G

4
+

3
3
4
2
2
2

2
3 2 32
+ P1 P2 + P3 +
P +
P 3 P
2
4
4
2
2
+ (P1 P3 + P2 P3 + P1 P + P2 P ) f m2 u. (1.21)
2

Từ (1.21) ta có thể tìm được ngay phương trình khe

m2 + 2 u2 + 2 (P1 + P2 + P3 + 3P ) u f m2 = 0,

(1.22)

và các phương trình SD

M21 = m2 + 2 u2 + 2 (3P1 + P2 + P3 + P ),
M22 = m2 + 2 u2 + 2 (P1 + 3P2 + P3 + P ),

M23 = m2 + 2 u2 + 2 (P1 + P2 + P3 + 3P ),
M2 = m2 + 32 u2 + 2 (P1 + P2 + 3P3 + P ).

(1.23)

Cũng cần nhắc lại rằng, do sự phân kì của thành phần nhiệt độ không ở các
tích phân mô men xung lượng mà sau khi tái chuẩn hóa thế hiệu dụng, chúng
ta phải đưa vào hệ số tái chuẩn hóa

0 . Hệ số tái chuẩn hóa trong trường hợp


16

này đòi hỏi

u(àI = 0, T = 0, = 0 ) = f ,
cho nên

0 = 484.373 MeV.

(1.24)

Tiến hành tính số dựa vào các phương trình (1.22) và (1.23) chúng ta thu
được đồ thị biểu diễn ngưng tụ chiral theo nhiệt độ trên hình 1.3 và sự phụ
thuộc nhiệt độ của khối lượng pion và sigma trên hình 1.4. Kết quả cho thấy
đối xứng chiral sẽ được phục hồi ở nhiệt độ cao.
1.2

1.0

u f

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0
100

200

300

400

500

T MeV

Hình 1.3: Sự phụ thuộc nhiệt độ của ngưng tụ chiral

u(T ).

1.2.2. Cấu trúc pha ở nhiệt độ và ICP hữu hạn
Khi nhiệt độ và ICP có giá trị hữu hạn ta cũng lần lượt xét hai khả năng

của hệ số

.

1.2.2.1. Giới hạn chiral

=0


17

800

M, MeV

600

M
400

M

200

0
0

50

100

150

200

250

300

T MeV

Hình 1.4: Sự biến thiên của khối lượng hiệu dụng của pion và sigma theo nhiệt độ.

Chúng ta biết rằng trong trường hợp này [29] thì

= u = 0, m =

12 + 22 = v 2 = 0, 3 = 0 và phá vỡ đối xứng chiral thuộc nhóm đối

0,

xứng

O(2).

và đối xứng

Để thuận tiện ta chọn trạng thái cơ bản có

1 = v,

2 = 0

O(2) bị phá vỡ tự phát. Trong gần đúng cây ta có
2 v 2 = à2I m2 ,

(1.25)

hay

v = f

1+

2à2I
.
m2

Thực hiện phép dịch chuyển

, 1 v + 1 , 2,3 2,3 ,
thì sau một số phép biến đổi ta sẽ thu được Lagrangian tương tác

2 2
2
(1 + 22 )2 ( 2 + 32 )2 àI v(0 1 )
4
4
2

(12 + 2 )( 2 + 32 ) + (à2I m2 )v1 m2 v
2
2 v1 (v 2 + 12 + 22 ) 2 v1 ( 2 + 32 ),

Lint =

(1.26)


18

và các hàm truyền nghịch đảo




n2

iD01 (k; v) =

k

m21

2iàI n



iG1
0 (k; v) =

2

n2

2

k

2iàI n
n2

2

k

m23

0
n2

0

m22

2

k

m23

,

,

(1.27)

trong đó

m21 = à2I + m2 + 32 v 2 , m22 = à2I + m2 + 2 v 2 ,
m23 = m2 + 2 v 2 .
Từ (1.25) và (1.27) ta thấy xuất hiện boson Goldstone cho thành phần

2 .

Thế hiệu dụng CJT ở gần đúng 2 vòng trong trường hợp này có dạng

VCJT

trong đó

m2 à2I 2 2 4
(v; D, G) =
v + v
2
4
1
1
1
1

+
tr ln D (k) + ln G (k) + D0 (k; v)D
2
2
2
2
+G1
(k,
v)G

2.1
1
+
(3P11
+ 3P22
+ 2P11 P22 )
0
4
2
+ (3Q211 + 3Q222 + 2Q11 Q22 )
4
2
+ (P11 Q11 + P11 Q22 + P22 Q11 + P22 Q22 ),
2

(1.28)

11 là ma trận đơn vị. Từ đây ta tìm được phương trình khe
à2I + m2 + 2 v 2 + 1 = 0,

(1.29)

và các hàm truyền nghịch đảo





D1 (k) =

n2

+k +

M12

n2

2

+k +
0

2àI n
n2

2àI n


G1 (k) =

2

M32

2

+k +

M22

0
n2

2

+k +

M42

,

,

(1.30)


19

với

M12 = à2I + m2 + 32 v 2 + 1 , M32 = m2 + 2 v 2 + ,
M22 = à2I + m2 + 2 v 2 + 2 , M42 = m2 + 2 v 2 + 3 ,

(1.31)

và

1 = 2 (3P11 + P22 + Q11 + Q22 ),
2 = 2 (P11 + 3P22 + Q11 + Q22 ),
= 2 (P11 + P22 + 3Q11 + Q22 ),
3 = 2 (P11 + 3P22 + Q11 + 3Q22 ).

(1.32)

Rõ ràng rằng ở đây không xuất hiện boson Goldstone nào. Để thỏa mãn
định lý Goldstone ta thêm vào thế hiệu dụng một số hạng

VCJT = x2 [2Pab Pba Paa Pbb ] + 2y2 Paa Qbb .
Có thể dễ dàng thấy rằng khi

x = 1/2, y = 0 thì định lý Goldstone sẽ được

khôi phục. Lúc này thế hiệu dụng có dạng

VCJT

m2 à2I 2 2 4
(v; D, G) =
v + v

2
4
1
1
1
1
+
tr ln D (k) + ln G (k) + D0 (k; v)D
2
2 2
2
+G1
(k,
v)G

2.1
1
+
(P11 + P22
+ 6P11 P22 )
0
4
2
+ (3Q211 + 3Q222 + 2Q11 Q22 )
4
2
+ (P11 Q11 + P11 Q22 + P22 Q11 + P22 Q22 ).
2

(1.33)

Từ đây ta thu được phương trình khe và các hàm truyền nghịch đảo như sau

à2I + m2 + 2 v 2 + 2 = 0,

(1.34)




D1 (k) =

n2

2

+k +
2àI n

M12

2àI n
n2

+k

2

,