Bài toán biên cho một vài lớp phương trình có chứa toán tử elliptic suy biến mạnh

❇❐ ●■⑩❖ ❉Ö❈ ❱⑨ ✣⑨❖ ❚❸❖

✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆

P❤↕♠ ❚❤à ❚❤✉✛

❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❇■➊◆ ❈❍❖ ▼❐❚ ❱⑨■ ▲❰P P❍×❒◆●
❚❘➐◆❍ ❈➶ ❈❍Ù❆ ❚❖⑩◆ ❚Û ❊▲▲■P❚■❈ ❙❯❨
❇■➌◆ ▼❸◆❍

▲❯❾◆ ⑩◆ ❚■➌◆ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈

❚❤→✐ ♥❣✉②➯♥ ✲ ✷✵✶✸
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




❇❐ ●■⑩❖ ❉Ö❈ ❱⑨ ✣⑨❖ ❚❸❖

✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆

P❤↕♠ ❚❤à ❚❤✉✛

❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❇■➊◆ ❈❍❖ ▼❐❚ ❱⑨■ ▲❰P P❍×❒◆●
❚❘➐◆❍ ❈➶ ❈❍Ù❆ ❚❖⑩◆ ❚Û ❊▲▲■P❚■❈ ❙❯❨
❇■➌◆ ▼❸◆❍
❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ ❚♦→♥ ●✐↔✐ t➼❝❤
▼➣ sè✿ ✻✷ ✹✻ ✵✶ ✵✷

▲❯❾◆ ⑩◆ ❚■➌◆ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈

◆❣÷í✐ ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❦❤♦❛ ❤å❝
P●❙✳❚❙❑❍✳ ◆●❯❨➍◆ ▼■◆❍ ❚❘➑
❚❤→✐ ♥❣✉②➯♥ ✲ ✷✵✶✸
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥

❚æ✐ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ✤➙② ❧➔ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ tæ✐✳ ❈→❝ ❦➳t q✉↔ ✈✐➳t
❝❤✉♥❣ ✈î✐ t→❝ ❣✐↔ ❦❤→❝ ✤➣ ✤÷ñ❝ sü ♥❤➜t tr➼ ❝õ❛ ✤ç♥❣ t→❝ ❣✐↔ ❦❤✐ ✤÷❛
✈➔♦ ❧✉➟♥ →♥✳ ❈→❝ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❧✉➟♥ →♥ ❧➔ ♠î✐ ✈➔ ❝❤÷❛ tø♥❣ ✤÷ñ❝ ❝æ♥❣ ❜è
tr♦♥❣ ❜➜t ❦ý ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ❦❤♦❛ ❤å❝ ❝õ❛ ❛✐ ❦❤→❝✳
❚→❝ ❣✐↔
P❤↕♠ t❤à ❚❤õ②

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

✐




▲í✐ ❝↔♠ ì♥

▲✉➟♥ →♥ ✤÷ñ❝ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ✈➔ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ t↕✐ ❦❤♦❛ ❚♦→♥ t❤✉ë❝ tr÷í♥❣ ✣↕✐
❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ✲ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ ❞÷î✐ sü ❤÷î♥❣ ❞➝♥ t➟♥ t➻♥❤ ✈➔
♥❣❤✐➯♠ ❦❤➢❝ ❝õ❛ P●❙✳ ❚❙❑❍✳ ◆❣✉②➵♥ ▼✐♥❤ ❚r➼✳ ❚❤➛② ✤➣ tr✉②➲♥ ❝❤♦

t→❝ ❣✐↔ ❦✐➳♥ t❤ù❝✱ ❦✐♥❤ ♥❣❤✐➺♠ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❦❤♦❛ ❤å❝✳ ❱î✐ t➜♠
❧á♥❣ tr✐ ➙♥ s➙✉ s➢❝✱ t→❝ ❣✐↔ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ✈➔ s➙✉ s➢❝
♥❤➜t ✤è✐ ✈î✐ t❤➛②✳
❚→❝ ❣✐↔ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥ ❝→❝ t❤➛②✱ ❝æ ❣✐→♦ ❝ò♥❣ ❝→❝ ❛♥❤ ❝❤à ❡♠
♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ s✐♥❤✱ ❝❛♦ ❤å❝ tr♦♥❣ s❡♠✐♥❛r ❇ë ♠æ♥ ●✐↔✐ t➼❝❤ ❦❤♦❛ ❚♦→♥ ✲
tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ✲ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✈➔ P❤á♥❣ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
✈✐ ♣❤➙♥ ✲ ❱✐➺♥ ❚♦→♥ ❤å❝ ✤➣ ❧✉æ♥ ❣✐ó♣ ✤ï✱ ✤ë♥❣ ✈✐➯♥ t→❝ ❣✐↔ tr♦♥❣ ♥❣❤✐➯♥
❝ù✉ ❦❤♦❛ ❤å❝ ✈➔ tr♦♥❣ ❝✉ë❝ sè♥❣✳
❚→❝ ❣✐↔ ①✐♥ ❝↔♠ ì♥ ❇❛♥ ●✐→♠ ✤è❝ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ ❇❛♥ ❙❛✉ ✤↕✐
❤å❝ ✲ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ ❇❛♥ ●✐→♠ ❤✐➺✉ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠✲
✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ ❝→❝ P❤á♥❣ ❇❛♥ ❝❤ù❝ ♥➠♥❣✱ P❤á♥❣ ❙❛✉ ✤↕✐ ❤å❝✱
❇❛♥ ❝❤õ ♥❤✐➺♠ ❦❤♦❛ ❚♦→♥ ❝ò♥❣ t♦➔♥ t❤➸ ❣✐→♦ ✈✐➯♥ tr♦♥❣ ❦❤♦❛✱ ✤➦❝ ❜✐➺t
❧➔ tê ●✐↔✐ t➼❝❤ ✤➣ t↕♦ ♠å✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ t❤✉➟♥ ❧ñ✐ ❣✐ó♣ ✤ï t→❝ ❣✐↔ tr♦♥❣ q✉→
tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➔ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❧✉➟♥ →♥✳
❈✉è✐ ❝ò♥❣✱ t→❝ ❣✐↔ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ tî✐ ♥❤ú♥❣ ♥❣÷í✐ t❤➙♥ ✈➔
❜↕♥ ❜➧ ✤➣ ❣✐ó♣ ✤ï✱ ✤ë♥❣ ✈✐➯♥✱ ❦❤➼❝❤ ❧➺ ✤➸ t→❝ ❣✐↔ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❧✉➟♥ →♥✳
❚→❝ ❣✐↔
P❤↕♠ t❤à ❚❤õ②

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

✐✐






ệ ệ
r

ớ



ớ ỡ



ử ử



ởt số ỵ tr




ữỡ ổ t tữớ ừ t ố
ợ ữỡ tr t s ỷ t t



ỹ ổ tỗ t ổ t tữớ



ỵ ú

ỹ tỗ t



ử ồ



ữỡ tớ t r ổ ũ
ừ ữỡ tr r ỷ t t õ ự t tỷ
t s



rt



ổ rt





t
ử ổ tr ồ õ q
t

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

▼ët sè ❦þ ❤✐➺✉ tr♦♥❣ ❧✉➟♥ →♥

RN

❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝tì t❤ü❝ N ❝❤✐➲✉✳

C k (Ω)

❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❤➔♠ ❦❤↔ ✈✐ ❧✐➯♥ tö❝ ✤➳♥ ❝➜♣ k tr➯♥ ♠✐➲♥ Ω✳

Lp (Ω)

❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❤➔♠ ❧ô② t❤ø❛ ❜➟❝ p ❦❤↔ t➼❝❤ ▲❡❜❡s❣✉❡ tr➯♥
♠✐➲♥ Ω✳

x
y
z

∆x
∆y
∆z

∂
∂
, ...,
❝➜♣ ✶ t❤❡♦ x✳

∂x1
∂xN1
∂
∂
✈❡❝tì ❝→❝ t♦→♥ tû ✤↕♦ ❤➔♠ y =
, ...,
❝➜♣ 1 t❤❡♦ y ✳
∂y1
∂yN2
∂
∂
, ...,
❝➜♣ ✶ t❤❡♦ z ✳
✈❡❝tì ❝→❝ t♦→♥ tû ✤↕♦ ❤➔♠ z =
∂z1
∂zN3
N1 ∂ 2
❚♦→♥ tû ▲❛♣❧❛❝❡ t❤❡♦ ❜✐➳♥ x : ∆x =
2✳
i=1 ∂xi
N2 ∂ 2
❚♦→♥ tû ▲❛♣❧❛❝❡ t❤❡♦ ❜✐➳♥ y : ∆y =
2✳
j=1 ∂yj
N3 ∂ 2
❚♦→♥ tû ▲❛♣❧❛❝❡ t❤❡♦ ❜✐➳♥ z : ∆z =
2✳
l=1 ∂zl
✈❡❝tì ❝→❝ t♦→♥ tû ✤↕♦ ❤➔♠

x

=

(., .)

❚➼❝❤ ✈æ ❤÷î♥❣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ L2 (Ω)✳

Pα,β

Pα,β u = ∆x u + ∆y u + |x|2α |y|2β ∆z u✱ ✈î✐ α, β ≥ 0✱ α + β > 0,
|x|2α =

N1

α

x2i

, |y|2β =

i=1

N2

β

yj2

,

j=1

dx = dx1 dx2 ...dxN1 , dy = dy1 dy2 ...dyN2 , dz = dz1 dz2 ...dzN3 ✳
C(X, Y )

❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ❧✐➯♥ tö❝ tø X ✈➔♦ Y.

C 1 (X, Y ) ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ❦❤↔ ✈✐ ❋r➨❝❤❡t ❧✐➯♥ tö❝ tø X ✈➔♦ Y.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

✐✈








ỵ ồ t
t ổ ừ ự ữủ q
t ỳ ự ử rở r ừ õ tr t ỵ õ ồ
s ồ t ự tỗ t ổ tỗ
t ừ t õ ự t tỷ t s õ
ự t t q t ữủ tr q trồ tr
t tr ỵ tt t ồ ợ ỵ tr ú tổ ồ
t ự ừ t ởt
ợ ữỡ tr õ ự t tỷ t s

ử ừ t
ử q trồ tự t
ử q trồ tự t ừ r ữủ số ụ tợ
ừ ỵ ú ổ õ trồ t ợ t
tỷ t s ứ t q õ ú tổ ự ữủ sỹ
tỗ t ừ t õ ự ữỡ tr t s
ỷ t t

ử q trồ tự
ữ r ữủ ỗ t tự P tứ õ ú tổ ự
ữủ sỹ ổ tỗ t ổ t tữớ t
ố ợ ữỡ tr t s ỷ t t

ử q trồ tự
ú tổ ự ữủ sỹ tỗ t sỹ tỗ t
t ử sỹ tỗ t t út t ử ừ t õ ự
ữỡ tr r ỷ t t õ t tỷ t s
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn







tr trữớ ủ số t õ ở t ọ ỡ ở t tợ
số t õ ở t tý ỵ

ố tữủ ự

ố tữủ ự ừ t t t
tr õ ự t tỷ t s

P, u = x u + y u + |x|2 |y|2 z u, ợ , 0, + > 0.

Pữỡ ự
ú tổ t t tờ ủ ử tự q tợ
t ự sỷ ử ữỡ ờ t
ữỡ ữỡ ự tr ỵ tt
ừ t s t ợ sỹ ũ ủ
ợ t tỷ P, r ỏ sỷ ử ữỡ t ở
ự sỹ tỗ t t ử tỗ t t út t ử
ừ ỷ õ S(t) s ữỡ tr r ợ
t ủ tr trữớ ủ rt ữỡ r tr
trữớ ủ ổ rt

ờ q t
ứ ờ sỡ ừ ỵ tt ữỡ tr r ữớ t
q t tợ t t t ừ ừ ữỡ tr
ữỡ tr r tr õ ở trỡ t t ữủ
t ồ q t t ở trỡ ừ ữủ ổ t
tr ợ t tỷ t t t tỷ rs

Gk u = x u + |x|2k y u ợ (x, y) RN1 +N2 , N1 , N2 1, k Z+ ,
tr t ồ ữớ rs t ữủ t q


k = 0 t G0 t tr .
k > 0 t Gk ổ t tr RN1 +N2 õ
rộ ợ t x = 0

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn





t ồ rs ự ữủ Gk u ổ
tr t ụ ổ tr t
t ữỡ ừ Gk ữủ t ự ừ tr
ữ ú t t ởt tr ỳ t tỷ t ữủ ự
õ t tỷ

u =

2u 2u
2u
+
+
...
+
.
x21 x22
x2n

ự sỹ tỗ t ổ tỗ t ừ t
ỷ t t ự t tỷ ữủ t ồ
t tr ự t tứ ỷ t tự ữỡ
r ổ tr P t t

u + f (u) = 0 tr ,
(1)

u = 0 tr ,
ợ ợ ở tr Rn (n 2),

f (u) = u + |u|p1 u.
t q t ữủ tr ổ tr

n = 2 1 < p < , t t ổ õ ổ t
tữớ
n 3 = 0 p
ổ õ ữỡ

n+2
s t t
n2

n+2
, t t õ ữỡ
n2
n+2
n 3 tr p0 =
tr rt t tr
n2
2n
q p0 + 1 =
tr tợ t õ ỵ ú
n2
p0 ữủ ồ số ụ tợ ừ t

t tỷ

n 3 = 0 1 < p <

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn




✹
✣➳♥ ♥➠♠ ✶✾✽✸✱ ❤❛✐ ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝ ❍✳ ❇r❡③✐s ✈➔ ▲✳ ◆✐r❡♥❜❡r❣ ❬✶✻❪ ✤➣
❝æ♥❣ ❜è ❦➳t q✉↔ tç♥ t↕✐ ♥❣❤✐➺♠ ❞÷ì♥❣ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥

n+2

−∆u = λu + u n−2
tr♦♥❣ Ω,

(2)


u = 0 tr➯♥ ∂Ω,
✈î✐ Ω ❧➔ ♠✐➲♥ ❜à ❝❤➦♥ ❝â ❜✐➯♥ trì♥ tr♦♥❣ Rn , n ≥ 3 ✳ ❑➳t q✉↔ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤
r➡♥❣

• ❑❤✐ n ≥ 4 ❜➔✐ t♦→♥ ✭✷✮ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❞÷ì♥❣ ♥➳✉ 0 < λ < λ1 ✱ ✈î✐ λ1 ❧➔
❣✐→ trà r✐➯♥❣ ✤➛✉ t✐➯♥ ❝õ❛ t♦→♥ tû ▲❛♣❧❛❝❡ ù♥❣ ✈î✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❉✐r✐❝❤❧❡t✳
• ❑❤✐ n = 3 ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tç♥ t↕✐ ♥❣❤✐➺♠ ❧➔ 0 < λ∗ < λ < λ1 ❦❤✐ Ω ❧➔
1
❤➻♥❤ ❝➛✉✱ λ∗ = λ1 ✳

4
◆❤ú♥❣ ❦➳t q✉↔ ♠❛♥❣ t➼♥❤ t✐➯♥ ♣❤♦♥❣ ♥➔② ❝ò♥❣ ✈î✐ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ♠ð
✤÷ñ❝ ✤➦t r❛ ✤➣ t❤ó❝ ✤➞② ❤➔♥❣ tr➠♠ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ s❛✉ ✤â ✭①❡♠
❬✻✱ ✼✱ ✶✶✱ ✶✼✱ ✸✾❪ ❝ò♥❣ ✈î✐ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❦➧♠ t❤❡♦✮✳
◆❤÷ ✈➟② sü tç♥ t↕✐ ♥❣❤✐➺♠ ❦❤æ♥❣ t➛♠ t❤÷í♥❣✱ tç♥ t↕✐ ♥❣❤✐➺♠ ❞÷ì♥❣
❝õ❛ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❜✐➯♥ ❝❤ù❛ t♦→♥ tû ❡❧❧✐♣t✐❝ ✤↕t ✤÷ñ❝ t÷ì♥❣ ✤è✐ trå♥ ✈➭♥✳
▼ët ❝→❝❤ t÷ì♥❣ tü✱ ❝→❝ ✈➜♥ ✤➲ ❧↕✐ ✤÷ñ❝ ✤➦t r❛ ✤è✐ ✈î✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❝â ❝❤ù❛
t♦→♥ tû ❡❧❧✐♣t✐❝ s✉② ❜✐➳♥✳
❱➔♦ ♥➠♠ ✶✾✾✽ tr♦♥❣ ❬✹✷✱ ✹✸❪✱ ◆✳ ▼✳ ❚r➼ ✤➣ ①➨t ❜➔✐ t♦→♥ ❜✐➯♥


−Lk u + f (u) = 0 tr♦♥❣ Ω,
(3)

u = 0 tr➯♥ ∂Ω,
2
∂ 2u
2k ∂ u
tr♦♥❣ ✤â Ω ❧➔ ♠✐➲♥ ❣✐î✐ ♥ë✐ tr♦♥❣ R ✱ Lk u =
+x
✱ (k ≥ 1)✱
∂x2
∂y 2
f (u) = u|u|γ−1 ✳ ❈→❝ ❦➳t q✉↔ ✤↕t ✤÷ñ❝ ð ✤➙② ❧➔
2

4
✈➔ Ω ❧➔ Lk ✲ ❤➻♥❤ s❛♦ t❤➻ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✸✮ ❦❤æ♥❣ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❦❤æ♥❣
k
t➛♠ t❤÷í♥❣✳

•γ≥

4
• 0 < γ < ❜➔✐ t♦→♥ ✭✸✮ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❦❤æ♥❣ t➛♠ t❤÷í♥❣✳ ❇ð✐ ✈➟② ❝♦✐
k
4+k
❣✐→ trà
❧➔ sè ♠ô ❙♦❜♦❧❡✈ tî✐ ❤↕♥ ❝❤♦ t♦→♥ tû Lk ✳
k
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên





t ữỡ r tr
ữỡ tr ữ r ổ tỗ t
ổ t tữớ ừ t tữỡ tỹ t ữ
s
ợ t



Pk u + f (u) = 0 tr ,

u = 0 tr ,

tr õ ợ ở tr R3 (k 1) f (u) = u|u|1
2

2u 2u
2k u
Pk u = 2 + 2 + x
.
x
y
z 2

ổ tỗ t ổ t tữớ ừ t
4
Pk s

k+1
ợ t


Gk u + f (u) = 0 tr ,


u = 0 tr ,
tr õ

Gk u = x u + |x|2k y u,

ợ k 1,

ợ ở tr RN1 +N2 x RN1 y RN2 trỡ
f (u) = u|u|1 ổ tỗ t ổ t tữớ
4
ừ t tr trữớ ủ >

N1 + N2 (k + 1) 2
Gk s
t t t t ú r
2N (k)
tr r số ụ tợ ừ ỵ ú 2k =
ợ
N (k) 2
N (k) = N1 +(k +1)N2 tứ õ ự t tr õ ổ
N1 + N2 (k + 1) + 2
.
t tữớ t õ ở t ọ ỡ
N1 + N2 (k + 1) 2
ỹ số ụ tợ t P
P tr ự sỹ tỗ t t
ử sỹ tỗ t t út t ử ố ợ ữỡ tr r õ
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn





ự t tỷ rs ừ t tr




ut Gk u + f (u) + g(x, y) = 0 ợ (x, y) , t > 0,

u(x, t) = 0
ợ (x, y) , t > 0,





u(x, 0) = u0 (x)
ợ (x, y) ,

(4)

tr RN1 +N2 trỡ u0 S01 ()

g(x, y) L2 () f : R R tọ
|f (u) f (v)| C0 |u v|(1 + |u| + |v| )
ợ

2
4
<<
,
N (k) 2
N (k) 2
àu2
F (u)
C1 ,
2
f (u)u àu2 C2 ,

C0 , C1 , C2 0 à < 1 , 1 tr r t ừ t tỷ Gk
tr ợ rt t t ỹ tỗ t
ữủ ự ữỡ t ở ỹ ữỡ
t t tr ự ữủ sỹ
tỗ t t út t ử tổ t sỹ tỗ t t út t ử
1

ỹ t tr X 2
ởt t t ợ
ừ f : R R tọ

C1 |u|p C0 f (u)u C2 |u|p + C0 , ợ p > 2,
f (u) C3 , ợ ồ u R,
tr õ C0 , C1 , C2 , C3 số ữỡ õ tr t
ự ữủ sỹ tỗ t t ử t út t ử
ừ t
ứ t s ừ t tỷ Gk t s ởt số tr
q tr ự t ữ

ổ ừ t
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn






sỹ tỗ t ổ tỗ t ổ t
tữớ

t ử t ừ
tớ t r ổ ũ

trú tờ q
ỗ ữỡ
ữỡ ổ t tữớ ừ t ố ợ
ữỡ tr t s ỷ t t
ữỡ tớ t r ổ ũ ừ ữỡ
tr r ỷ t t õ ự t tỷ t s
ở ỡ ừ tứ ữỡ
P ú tổ tr ỵ ồ t ử
ừ t ố tữủ ự ữỡ ự tờ
q t trú tr ởt số tự
ỡ õ q
r ữỡ t t é ử sỷ ử
ờ t ự ữủ ỗ t tự
P ờ ỹ t q õ ự sỹ ổ tỗ
t ổ t tữớ ừ t ỵ
t ự ữủ sỹ ổ tỗ t ữỡ ừ
t ỵ ợ g(x, y, z, t) = t + |t| t 0
4

t ú tổ ự ữủ t ổ
N, 2
õ ổ t tữớ u H 2 () ỵ r
ử ú tổ ự ữủ ỵ ú ổ

õ

trồ





ỵ





ỵ



ỵ ỹ t q ừ ờ ú tổ ự
ữủ ỵ ú ỵ r ử ú tổ
r sỹ tỗ t ổ t tữớ ừ t õ
ự t tỗ t ứ ừ
t ỹ ừ
ỵ ử t ợ ừ g(x, y, z, t) ú tổ
ự ữủ (x, y, z, t) tọ
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

(I)1 (I)6 ỵ ỹ ỵ tr tợ
ú tổ r t õ ổ t tữớ
ỵ t ỡ tr ỵ ú tổ ự
ữủ t õ ổ số ổ t tữớ
t t ởt số t t tr ừ ữỡ
tr ỹ t q ừ ờ ú tổ ự
ữủ t õ ổ số ổ t tữớ
ỵ P ố ừ ữỡ ởt số ử
t tỗ t ổ tỗ t
ổ t tữớ
t q ừ ữỡ ữủ t ỹ tr
r ữỡ ú tổ ự
tớ t r ổ ũ ừ ữỡ tr r ỷ t t
õ ự t tỷ t s ừ t tr
rt ổ rt r ử
ợ rt ú tổ ự ữủ Lp () ú tử
2, (2 p)

D ợ >
ờ ỹ ừ f
2p(2, 2)
tr ữủ f : u(x, y, z) f (x, y, z, u(x, y, z)) s

1
t tứ D 2 D0 ợ 0 =
ờ ữỡ
2(2, 2)
t ở ú tổ ự sỹ tỗ t t

1
u C([0, T ], D 2 ) sỹ tỗ t t
1
ử t u C([0, T ], D 2 ) P ố ừ ử
ỵ ợ tt ừ f ự ữủ ỷ õ
1
S(t) õ t út t ử tổ t tr D 2 t ự
ữủ ỷ õ S(t) s t õ t út ỹ
t tr S01 () ỵ ữ r ử ồ t
tr trữớ ủ rt r ử t t trữớ
ủ ọ tt ở t t ừ f, ự ữủ
t tỗ t t ỵ ự
ữủ t ởt ỷ õ tử S(t) õ
t út t ử tổ t tr L2 () ỵ ố
ũ ử ồ t tr trữớ ủ
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn




✾
❦❤æ♥❣ ❣r❛❞✐❡♥t✳
❑➳t q✉↔ ❝õ❛ ❈❤÷ì♥❣ ✷ ✤÷ñ❝ ✈✐➳t ❞ü❛ tr➯♥ ❜➔✐ ❜→♦ ❬✹❪✳
❙❛✉ ✷ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❜➔② ♥ë✐ ❞✉♥❣✱ ♣❤➛♥ ❝á♥ ❧↕✐ ❝õ❛ ❧✉➟♥ →♥ ❧➔ ❦➳t
❧✉➟♥ ✈➔ ✤➲ ♥❣❤à✱ ❞❛♥❤ ♠ö❝ ❝→❝ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ✤➣ ❝æ♥❣ ❜è ✈➔ ❝✉è✐ ❝ò♥❣ ❧➔ t➔✐
❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦✳
◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ❧✉➟♥ →♥ ✤➣ ✤÷ñ❝ ❜→♦ ❝→♦ t↕✐✿
❙❡♠✐♥❛r ❝õ❛ ❇ë ♠æ♥ ●✐↔✐ t➼❝❤✱ ❑❤♦❛ t♦→♥✱ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ✲
✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✳
❙❡♠✐♥❛r ❝õ❛ P❤á♥❣ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥✱ ❱✐➺♥ ❚♦→♥ ❤å❝ ✲ ❱✐➺♥ ❑❤♦❛

❤å❝ ✈➔ ❈æ♥❣ ♥❣❤➺ ❱✐➺t ◆❛♠✳
❍ë✐ ♥❣❤à q✉è❝ t➳ ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥✱ ▼❛t①❝ì✈❛ ✭✷✵✵✾✮✳
❍ë✐ t❤↔♦ q✉è❝ t➳ ✈➲ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ù♥❣ ❞ö♥❣ ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥✱
❍➔ ◆ë✐ ✭✷✵✶✵✮✳
✣↕✐ ❤ë✐ ❚♦→♥ ❤å❝ ❱✐➺t ✲ P❤→♣✱ ❍✉➳ ✭✷✵✶✷✮✳
❚r♦♥❣ ♣❤➛♥ ▼ð ✤➛✉✱ ❧✉➟♥ →♥ ❞➔♥❤ ♠ët ♣❤➛♥ ❝❤♦ ✈✐➺❝ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët
sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ❝â ❧✐➯♥ q✉❛♥✳

✯ ❚♦→♥ tû ❡❧❧✐♣t✐❝ s✉② ❜✐➳♥
❳➨t t♦→♥ tû ✈✐ ♣❤➙♥

P (x, D) =

aα (x)D,
|α|≤m

ð ✤➙② x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Ω ⊂ Rn ✱ α = (α1 , ..., αn ) ∈ Nn ✱

|α| = α1 + α2 + ... + αn , D = (D1 , ..., Dn ), Dj = −i
α

α1

α2

D = D D ...D
trì♥ ❝❤♦ tr÷î❝✳

αn

∂
,
∂xj

∂ |α|
= (−i)
✱ aα (x) ∈ C(Ω) ❧➔ ❝→❝ ❤➔♠
∂ α1 x1 ...∂ αn xn
|α|

❚❛ ✤➦t

ξ α = ξ1α1 ξ2α2 ...ξnαn , ✈î✐ ξ = (ξ1 , ξ2 , ..., ξn ) ∈ Rn .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên





số P (, )

a (x) ữủ ồ trữ ừ

=
||m

t tỷ P (x, D)
số Pm (x, D) =

a (x) ữủ ồ trữ ừ t

||=m

tỷ P (x, D)

P (x, D) ồ t t x
Rn : Pm (x, ) = 0 = 0.

(5)

P (x, D) ữủ ồ t tr õ t t ồ x
ự t t ừ t tỷ ữớ t tữớ ỹ
ố ợ Gk k > 0 ổ tọ
õ rộ ợ t x = 0 t ồ Gk t tỷ t
s
tỷ
P, u = x u + y u + |x|2 |y|2 z u,
ợ x = (x1 , x2 , ..., xN1 ) RN1 y = (y1 , y2 , ..., yN2 ) RN2

z = (z1 , z2 , ..., zN3 ) RN3 , + > 0, 0, 0,
õ trữ trữ
2
2
2
P, (x, y, z, ) = (12 + 22 + ... + N
+ N
+ ... + N
1
1 +1
1 +N2
2

2
+(N
+ ... + N
)|x|2 |y|2 ).
1 +N2 +1
1 +N2 +N3

t t M 0 (x0 , y 0 ) x0 = 0 y 0 = 0 t P, (x, y, z, ) = 0
i = 0 i = 1, ..., N1 + N2 + N3 P, t tỷ t
x0 = 0 y 0 = 0 t tỗ t = (0, ..., 0, 1) = 0

P, (x, y, z, ) = 0 ổ tọ
ự M 0 . P, ồ t tỷ t s t
P, s tr RN1 +N2 +N3 õ rộ ợ ởt tr
t t x = 0 y = 0 t ồ P, t tỷ
t s

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn




✶✶

✯ ▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈➲ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ❝õ❛ t♦→♥ tû ①→❝ ✤à♥❤
❞÷ì♥❣✳
●✐↔ sû ❍ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❧❜❡rt✱ ❣å✐ ✭✳✱✳✮ ❧➔ t➼❝❤ ✈æ ❤÷î♥❣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣
❣✐❛♥ ❍✐❧❧❜❡rt ❍ ✈➔ ❝❤✉➞♥ ❝õ❛ u ∈ H ✤÷ñ❝ ❦þ ❤✐➺✉ ⑤⑤✉⑤⑤✳
❚♦→♥ tû A ✈î✐ ♠✐➲♥ ①→❝ ✤à♥❤ D(A)(D(A) = H) ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ t♦→♥ tû ✤è✐
①ù♥❣ ♥➳✉ (Au, v) = (u, Av)✱ ✈î✐ ♠å✐ u, v ∈ D(A).

❚♦→♥ tû ✤è✐ ①ù♥❣ A ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣ ♥➳✉ tç♥ t↕✐ ♠ët ❤➡♥❣
sè ❈ ❞÷ì♥❣ s❛♦ ❝❤♦

(Au, u) ≥ C||u||2 ❤❛② ♥â✐ ❝→❝❤ ❦❤→❝

(Au, u)
> 0 ✈î✐ ♠å✐
u∈D(A) ||u||2
inf

u ∈ D(A) \ {0}.
❚❛ ❞➵ ❞➔♥❣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷ñ❝ ✈î✐ ♠å✐ u, v ∈ D(A), ✤↕✐ ❧÷ñ♥❣
[u, v]A = (Au, v)H
❧➔ t➼❝❤ ✈æ ❤÷î♥❣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ D(A) ✈➔ |u|A =

[u, u]A ❧➔ ❝❤✉➞♥

tr♦♥❣ D(A).
❚❛ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♥➠♥❣ ❧÷ñ♥❣ HA ♥❤÷ ❧➔ ❧➔♠ ✤➛② ❝õ❛ D(A)
t❤❡♦ |u|A ✳ ❉♦ ❆ ❧➔ ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣ ♥➯♥ t❛ ❝â HA ⊂ H.
✣➦t

|a|2A
inf
= λ1 > 0.
a∈HA \{0} ||u||2

|a|2A
◆➳✉ inf
✤↕t ✤÷ñ❝ t↕✐ u1 , t❤➻ u1 ❧➔ ❤➔♠ r✐➯♥❣ t÷ì♥❣ ù♥❣ ✈î✐ λ1

a∈HA \{0} ||u||2
❝õ❛ ❆ ❤❛② Au1 = λ1 u1 .
❚❛ ❣å✐
(1)
HA = {u ∈ HA : [u, u1 ]A = (Au, u1 )H = 0},
❦❤✐ ✤â

|a|2A
= λ2 ≥ λ1 .
2
(1)
a∈HA \{0} ||u||
inf

|a|2A
◆➳✉
inf
✤↕t ✤÷ñ❝ t↕✐ u2 , t❤➻ u2 ❧➔ ❤➔♠ r✐➯♥❣ t÷ì♥❣ ù♥❣ ✈î✐ λ2
2
(1)
a∈HA \{0} ||u||
❝õ❛ ❆ ❤❛② Au2 = λ2 u2 .
❈ù t✐➳♣ tö❝ ❧➟♣ ❧✉➟♥ ♥❤÷ tr➯♥ t❤➻ t❛ ✤÷ñ❝ ♠ët ❞➣② ❝→❝ ❣✐→ trà r✐➯♥❣
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

0 < 1 2 3 ... n ... u1 , u2 , ..., un ..., r tữỡ
ự
ú tứ HA H t t
|a|2A
2
(i)
aHA \{0} ||u||
inf

(i)

t ữủ tr HA i = 1, 2..., ợ tr r tữỡ ự

1 , 2 , ..., ú ỵ ợ ộ tr r i , i = 1, 2...,
õ t õ r tữỡ ự ợ i , ữ số ừ ổ
tữỡ ự ợ i , i = 1, 2..., ỳ lim m = +
m

X Y ổ U (x)
ừ x f : U (x) X Y ữủ ồ rt t
x tỗ t ởt T L(X, Y ) s

f (x + h) f (x) T h = o( h ), h > 0,
ợ ồ h tr ừ 0 õ T ồ rt
ừ f t x ỵ f (x) = T
rt ữủ df (x; h) = f (x)h

ợ ộ 0 f Lp(Rn) 1 p < g (f )
2

ữủ g (f ) = G f ợ G (x) = (1 + 4 2 |x|2 )
> 0 g (f ) = f t

|G |p = 1 |g (f )|p |f |p .
ổ Lp (Rn ) ữủ Lp (Rn ) = g (Lp (Rn )) 0

1 p <

sỷ X ởt ổ tr ừ
S(t) : X X ợ t 0 ởt ồ tọ
S(0) = I ợ ỗ t
S(t + s) = S(t)S(s) = S(s)S(t) ợ ồ t, s 0
S(t)u0 tử ố ợ (t, u0 ) [0, +) ì X.
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn





õ {S(t)}t0 ữủ ồ ỷ õ t tử tr X

ởt ỷ õ S(t) tử ữủ ồ rt
tử tỗ t C 0 (X, R) s (S(t)u) (u) ợ ồ

t 0, ợ ồ u X (S(t)u) = (u) ợ ồ t 0, t u
tự S(t)u = u ợ ồ t 0. ồ
ỷ õ S(t)

sỷ S(t) ỷ õ tử tr ổ tr
ừ X A X ữủ ồ t út t ử ố ợ ỷ õ

S(t)
A t t
A t t tự S(t)A = A ợ ồ t 0
A út ồ t tự ợ ồ t B X t
dist(S(t)B, A) 0 t +
dist(S(t)B, A) = sup inf d(a, b).
aS(t)B bA

sỷ X ổ ỷ õ S(t) ồ
t t ợ ồ t > 0, S(t) õ t ữủ ữợ


S(t) = S (1) (t) + S (2) (t),
õ S (1) (t) S (2) (t) tọ t t s
ợ t ý t B X

sup ||S (1) (t)||X 0, t +.
yB

ợ t ý t tr tỗ t t0 s õ ừ

tt0 S (2) (t)B t tr X.

ỵ sỷ S(t), t 0 ởt rt t t
t t S(t) õ ởt t út t ử
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

t
ổ t tổ

sỷ E ổ tỹ (E) ỵ
ợ t tr E ừ E \ {0} ố ự q ố 0 A (E)
ữủ ồ ố n ỵ (A) = n n số ọ t
s tỗ t C(A, Rn \ {0}), õ t t ố ự
ổ tỗ t n ỳ t (A) = + () = 0.

sỷ X ổ C([0, T ]; X) ổ
ỗ tt tử u : [0, T ] X ợ

u

C([0,T ];X)

= max ||u(t)||X .
0tT

X ổ tr ữỡ ừ x X
t + (x) = {S(t)x : t 0}.
B X t q ữỡ ừ t B t

+ (B) = t0 S(t)B = zB + (z).

sỷ ổ ổ Lp((a, b); X)
ổ ỗ tt u : (a, b) X tọ
b

||u||pLp ((a,b);X) =

||u||pX dt < +.
a

ờ sỷ (t) ởt ổ tử tr
(0, T ) s
t

(t) c0 t0 + c1

(t s)1 (s)ds, t (0, T ),
0

ợ c0 , c1 0 0 0 1 < 1 õ tỗ t ởt số
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn




✶✺

K = K(γ1 , c1 , T ) s❛♦ ❝❤♦
ϕ(t) ≤

c0 −γ0
t K(γ1 , c1 , T ), ✈î✐ t ∈ (0, T ).
1 − γ0

❇ê ✤➲ ✶✸✳❬✷✷❪ ●✐↔ sû X0, X, X1 ❧➔ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ s❛♦ ❝❤♦
X0 → X → X1 , ♣❤➨♣ ♥❤ó♥❣ ❝õ❛ X ✈➔♦ X1 ❧➔ ❧✐➯♥ tö❝✱ ♣❤➨♣ ♥❤ó♥❣
❝õ❛ X0 ✈➔♦ X ❧➔ ❝♦♠♣❛❝t✱ X0 , X1 ❧➔ ♣❤↔♥ ①↕✳ ●✐↔ sû 1 < α0 , α1 < ∞,
✤➦t
du
E = {u ∈ Lα0 (0, T ; X0 ),
∈ Lα1 (0, T ; X1 )},
dt
✈î✐ ❝❤✉➞♥
du
.
||u||E = ||u||Lα0 (0,T ;X0 ) +
dt Lα1 (0,T ;X1 )
❑❤✐ ✤â E → Lα0 (0, T ; X) ❧➔ ❝♦♠♣❛❝t✳

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




❈❤÷ì♥❣ ✶
◆❣❤✐➺♠ ❦❤æ♥❣ t➛♠ t❤÷í♥❣ ❝õ❛ ❜➔✐
t♦→♥ ❜✐➯♥ ✤è✐ ✈î✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
❡❧❧✐♣t✐❝ s✉② ❜✐➳♥ ♠↕♥❤ ♥û❛ t✉②➳♥ t➼♥❤
❚r♦♥❣ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ✤✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❜➔✐ t♦→♥ ❜✐➯♥ s❛✉

Pα,β u − C(x, y, z)u + g(x, y, z, u) = 0 tr♦♥❣ Ω,

tr➯♥ ∂Ω,

u=0

✭✶✳✶✮

✭✶✳✷✮

tr♦♥❣ ✤â Ω ❧➔ ♠✐➲♥ ❣✐î✐ ♥ë✐ tr♦♥❣ RN1 +N2 +N3 ✱ ✈î✐ ❜✐➯♥ ∂Ω trì♥✳ Ð ✤➙②

x = (x1 , x2 , ..., xN1 ) ∈ RN1 ✱ y = (y1 , y2 , ..., yN2 ) ∈ RN2 ✱
z = (z1 , z2 , ..., zN3 ) ∈ RN3 ✱ C(x, y, z) ≥ 0✱ C(x, y, z) ∈ C 0,σ (Ω)✱
g(x, y, z, 0) = 0✱ g(x, y, z, t) = 0✳ α, β ≥ 0✱ α + β > 0✱ 0 < σ ≤ 1✳
❚❛ ✤➦t
t

G(x, y, z, t) =

g(x, y, z, s)ds,
0

ν = (νx , νy , νz ) ❂ (νx1 , νx2 , ..., νxN1 , νy1 , νy2 , ..., νyN2 , νz1 , νz2 , ..., νzN3 )
❧➔ ✈❡❝tì ♣❤→♣ t✉②➳♥ ✤ì♥ ✈à ♥❣♦➔✐ tr➯♥ ∂Ω✱
N = N1 + N2 + N3 , Nα,β = N1 + N2 + N3 (α + β + 1),
(a, b, c) = (a1 , ..., aN1 , b1 , ..., bN2 , c1 , ..., cN3 ) ∈ RN ,
Pα,β u = ∆x u + ∆y u + |x|2α |y|2β ∆z u.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

✶✻

ỹ ổ tỗ t ổ t
tữớ
r ử ú tổ ợ t tt ỗ t tự
P tứ õ r ổ tỗ t ổ t tữớ
ừ t

ữủ ồ õ P, s ự ợ
{(0, 0, 0)} t tự

(x, x ) + (y, y ) + ( + + 1)(z, z ) > 0
ú ợ ồ (x, y, z) .

ờ sỷ r C(x, y, z) = 0, g(x, y, z, t) = g(t) u(x, y, z)

ừ t tr ổ H 2() t
u(x, y, z) tọ tự
N, G(u)

N, 2
g(u)u dxdydz
2



|x|2(1) |y|2(1) |

+

2
2
z u| ((x, a)|y|

+ (y, b)|x|2 )dxdydz



=

1
2

,
, (a,b,c)

u


2

ds,



tr õ
, = |x |2 + |y |2 + |x|2 |y|2 |z |2 ,
,
(a,b,c)

= (x a, x ) + (y b, y ) + ( + + 1)(z c, z ).

ự

t ú t tt tự t
ử ổ tự r

G(u)dxdydz =


S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

xi g(u)

u
dxdydz,
xi





✶✽
s✉② r❛

G(u)dxdydz = −

N1
Ω

(x − a),

xu

g(u)dxdydz.

Ω

❱î✐ α1 , β1 ❧➔ ❝→❝ sè t❤ü❝ t❛ ❝â

G(u)dxdydz = −

α1

α1
N1

(x − a),

xu

g(u)dxdydz,

(y − b),

yu

g(u)dxdydz,

Ω

Ω

G(u)dxdydz = −

β1

β1
N2
Ω

Ω

G(u)dxdydz = −

1
N3

Ω

(z − c),

zu

g(u)dxdydz.

Ω

❉♦ ✈➟②

α1 ((x − a),
N1

G(u)dxdydz = −

(α1 +β1 +1)
Ω

x u)

+

β1 ((y − b),
N2

y u)

β1 ((y − b),
N2

y u)

Ω

+

((z − c),
N3

z u)

g(u)dxdydz,

✈î✐ ♠å✐ sè t❤ü❝ α1 , β1 ✳ ❚ø ✭✶✳✶✮ ❝❤ó♥❣ t❛ s✉② r❛

g(u) = −(∆x u + ∆y u + |x|2α |y|2β ∆z ).
❱➻ ✈➟② ❝❤ó♥❣ t❛ ✤÷ñ❝

(α1 + β1 + 1)
Ω

+

α1 ((x − a),
N1

G(u)dxdydz =

x u)

+

Ω

((z − c),
N3

z u)

× (∆x u + ∆y u + |x|2α |y|2β ∆z )dxdydz.

❍❛②
9

(α1 + β1 + 1)

G(u)dxdydz =

Ω
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Ii ,
i=1



✭✶✳✹✮


✶✾
tr♦♥❣ ✤â

α1 (x − a),
I1 =

xu

∆x udxdydz,

N1

Ω

α1 (x − a),
I2 =

xu

∆y udxdydz,

N1
Ω

I3 =

α1
(x − a),
N1

xu

|x|2α |y|2β ∆z udxdydz,

β1
(y − b),
N2

yu

∆x udxdydz,

β1
(y − b),
N2

yu

∆y udxdydz,

β1
(y − b),
N2

yu

|x|2α |y|2β ∆z udxdydz,

Ω

I4 =
Ω

I5 =
Ω

I6 =
Ω

(z − c),
I7 =

zu

∆x udxdydz,

N3
Ω

(z − c),
I8 =

zu

∆y udxdydz,

N3
Ω

(z − c),
I9 =

N3

zu

|x|2α |y|2β ∆z udxdydz.

Ω

❚✐➳♣ t❤❡♦ ❝❤ó♥❣ t❛ ✤✐ t➼♥❤ ❝→❝ Ii ✈î✐ i = 1, 9✳
✣➛✉ t✐➯♥ ❝❤ó♥❣ t❛ t➼♥❤ I1 .

I1 =

α1
N1

(x1 − a1 )
Ω

∂u
∂u
∂u
+ (x2 − a2 )
+ ... + (xN1 − aN1 )
∂x1
∂x2
∂xN1

∂ 2u
∂ 2u
×
+ ... + 2 dxdydz.
∂x21
∂xN1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên