Bài toán rẽ nhánh đối với một số lớp phương trình elliptic phi tuyến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

ĐỖ VĂN HẢI

BÀI TOÁN RẼ NHÁNH ĐỐI VỚI MỘT SỐ
LỚP PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC PHI TUYẾN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội, 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

ĐỖ VĂN HẢI

BÀI TOÁN RẼ NHÁNH ĐỐI VỚI MỘT SỐ
LỚP PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC PHI TUYẾN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số : 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học
TS. Nguyễn Hữu Thọ

HÀ NỘI, 2016

Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Hữu Thọ, người đã
định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành
luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các Thầy Cô phòng Sau
đại học, cùng các Thầy Cô giáo dạy lớp thạc sỹ chuyên ngành Toán giải
tích, Ban giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi
trong suốt quá trình học tập.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong
quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2016
Tác giả

Đỗ Văn Hải


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Hữu Thọ, luận văn
Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “ Bài toán rẽ nhánh đối
với một số lớp phương trình elliptic phi tuyến” được hoàn thành
bởi nhận thức của bản thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những
thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2016
Tác giả

Đỗ Văn Hải

Mục lục

Mở đầu

1

1 Kiến thức chuẩn bị

4

1.1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.1

Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.2

Không gian Lp (Ω) , (1 ≤ p ≤ +∞) . . . . . . . . .

5

1.1.3

Đa chỉ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.4

Không gian C k (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.5

Không gian Wk,p (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.6

Không gian W0k,p (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.7

Không gian H¨older . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Một số bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2.1

Bất đẳng thức H¨older

. . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2.2

Bất đẳng thức Hardy . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.3

Nguyên lý cực đại Stampacchia . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.4

Định lý hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.5

Định lý hàm ngược tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.2

Một số không gian hàm


ii

1.6

Định lý hàm ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2 Bài toán rẽ nhánh đối với phương trình elliptic phi tuyến 18
2.1
2.2
2.3

Định lý rẽ nhánh cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

Tính chất định tính của nghiệm cực tiểu gần điểm rẽ nhánh 23
Rẽ nhánh đối với phương trình logictics trong toàn không
gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.3.1

Giá trị chính xác của tham số nhánh . . . . . . . .

29

2.3.2

Rẽ nhánh đối với nghiệm . . . . . . . . . . . . . . .

32

Kết luận

44

Tài liệu tham khảo

45


Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Việc nghiên cứu phương trình phi tuyến nói chung và phương trình vi
phân đạo hàm riêng phi tuyến nói riêng đã và đang là một vấn đề hết sức
cần thiết của giải tích hiện đại. Trong các mô hình của bài toán thực tế
nhiều trường hợp yêu cầu chúng ta cần phải nghiên cứu các phương trình
vi phân đạo hàm riêng dạng elliptic (thường là phi tuyến), một trong các

bài toán đó là bài toán rẽ nhánh. Bài toán rẽ nhánh được nghiên cứu
đầu tiên từ thế kỷ thứ 18, đó là bài toán liên quan tới sự mất ổn định
của thanh truyền mỏng được phát hiện bởi Bernoulli và Euler vào khoảng
năm 1744. Từ đó, bài toán này đã và đang được quan tâm và phát triển
trong nhiều ứng dụng trong Hình học, Cơ học. . . Vai trò của bài toán rẽ
nhánh đã được Kielh¨ofer phân tích và đúc kết trong tài liệu [4].
Với mong muốn được tiếp cận tới lý thuyết định tính của bài toán rẽ
nhánh đối với phương trình elliptic phi tuyến. Được sự hướng dẫn của
Tiến sỹ Nguyễn Hữu Thọ, tôi đã thực hiện đề tài luận văn của mình là:
“Bài toán rẽ nhánh đối với một số lớp phương trình elliptic phi
tuyến”.


2

2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu tổng quan về phân tích định tính của bài toán rẽ nhánh đối
với một số lớp phương trình elliptic phi tuyến. Cụ thể, luận văn trình bày
và chứng minh chi tiết Định lý rẽ nhánh, xem xét tính chất định tính của
nghiệm cực tiểu gần điểm rẽ nhánh. Trong luận văn cũng trình bày vấn
đề rẽ nhánh đối với phương trình logistics trong toàn không gian, quan
tâm tới tự tồn tại và duy nhất nghiệm cũng như sự không tồn tại nghiệm
dương của một số phương trình logistics.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu tổng quan về bài toán rẽ nhánh. Trình bày về định lý rẽ nhánh
cơ bản. Khảo sát định tính cho một số trường hợp nghiệm của bài toán
rẽ nhánh đối với một số lớp phương trình elliptic phi tuyến.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Một số lớp phương trình elliptic phi tuyến. Phương pháp rẽ nhánh đối với
phương trình đạo hàm riêng. Phương trình Logistics.

5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý thuyết, thu thập tài liệu, đọc và phân tích, tổng hợp để
nhận được một nghiên cứu về phân tích định tính của bài toán rẽ nhánh
đối với một số lớp phương trình elliptic phi tuyến.


3

6. Đóng góp của đề tài
Trình bày một cách có hệ thống và phân tích định tính của bài toán rẽ
nhánh đối với một số lớp phương trình elliptic phi tuyến.


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
(Những kiến thức cơ bản được trình bày trong chương này được trích dẫn
trực tiếp từ các tài liệu tham khảo [1] và [2].)
Trong chương này ta sẽ trình bày một số kiến thức cơ bản cần thiết sẽ
được sử dụng trong chương sau của luận văn.

1.1
1.1.1

Một số không gian hàm
Không gian Banach

a. Một dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) trong không gian định chuẩn X

là một dãy xn ∈ X sao cho ∀ε > 0, ∃ N sao cho ∀n ≥ N, ∀m ≥ N thì
xn − xm < ε.
b. Không gian định chuẩn X nếu mọi dãy cơ bản đều hội tụ khi đó X
được gọi là không gian định chuẩn đầy đủ hay không gian Banach.


5

Ví dụ 1.1. Không gian Rn là không gian Banach với chuẩn
1/2

n

x2i

x =

, x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn .

i=1

Ví dụ 1.2. Không gian C[a; b] gồm các hàm số f : [a; b] → R liên tục
trên đoạn [a; b] là không gian Banach. Chuẩn của f ∈ C[a; b] là
f = sup {|f (x)| ; x ∈ [a; b]} .

1.1.2

Không gian Lp (Ω) , (1 ≤ p ≤ +∞)

a. Cho một tập Ω, F là một σ- đại số các tập con của Ω, µ là một độ đo

trên F . Họ tất cả các hàm số f (x) có lũy thừa bậc p , (1 ≤ p < +∞) của
mô đun là khả tích trên Ω, tức là
|f |p dµ < ∞
Ω

gọi là không gian Lp (Ω, µ).
Nếu Ω là một tập đo được Lebesgue trong Rk và µ là độ đo Lebesgue thì
ta có thể viết gọn là Lp (Ω).
Chuẩn của f ∈ Lp (Ω) được xác định bởi:
1/p

f

Lp (Ω)

p

|f | dx

=

.

Ω

Ta dễ dàng chứng minh được rằng: Không gian Lp (Ω) là một không gian
Banach.
b. Hàm f (x) đo được trên Ω được gọi là bị chặn cốt yếu nếu tồn tại một
tập P có độ đo 0 sao cho f (x) bị chặn trên tập Ω\P . Tức là tồn tại số C

6

sao cho |f (x)| ≤ C với mọi x ∈ Ω\P .
Tập tất cả các hàm bị chặn cốt yếu trên Ω được gọi là không gian L∞ (Ω).
Chuẩn của f ∈ L∞ (Ω) được xác định bởi.
f

1.1.3

L∞ (Ω)

= inf C > 0 : |f (x)| ≤ C hầu khắp nơi trong Ω .

Đa chỉ số

Ký hiệu đa chỉ số là một ký hiệu toán học đơn giản hóa các công thức
tính toán nhiều biến. Một đa chỉ số n− chiều là một bộ n− số nguyên
không âm
α = (α1 , α2 , ..., αn ) .
Tập tất cả các đa chỉ số n− chiều ký hiệu là Nn0
Cho đa chỉ số α, β ∈ Nn0 và x = (x1 , x2 , .., xn ) ∈ Rn , khi đó:
α ± β = (α1 ± β1 , α2 ± β2 , ..., αn ± βn ) .
α ≤ β ⇔ αi ≤ βi , ∀i ∈ {i = 1, ..., n} .
|α| = α1 + α2 + ... + αn .
1.1.4

Không gian C k (Ω)

Cho Ω là tập mở trong Rn . Giá của hàm u xác định trên Ω ký hiệu suppu

là tập đóng nhỏ nhất mà ở ngoài nó u (x) = 0, tức là
suppu = {u ∈ Ω : u (x) = 0}.


7

Cho Ω là tập mở trong Rn , cho k là số nguyên không âm. Ta nhắc lại một
số không gian:
Không gian các hàm khả vi liên tục đến cấp k trong Ω ký hiệu là C k (Ω).
Tức là
C k (Ω) = u : Ω → C| u khả vi liên tục đến cấp k .
Không gian các hàm u ∈ C k (Ω) có giá compact ký hiệu là C0k (Ω). Tức là
C0k (Ω) = u : Ω → C| u ∈ C k (Ω) , suppu là tập compact
1.1.5

.

Không gian Wk,p (Ω)

Cho Ω là một tập mở trong Rn có biên là ∂Ω. Cho số tự nhiên k > 0 và
số 1 ≤ p < ∞. Không gian Wk,p (Ω) được định nghĩa gồm tất cả các hàm
thuộc Lp (Ω), có đạo hàm suy rộng đến cấp k cũng thuộc Lp (Ω). Tức là
W k,p (Ω) = u ∈ Lp (Ω) : Dα u ∈ Lp (Ω) ∀α thỏa mãn |α| ≤ k
trong đó α là đa chỉ số và
Dα u = Dxα11 Dxα22 ...Dxαnn ; Dxj =

Chuẩn của u ∈ W k,p (Ω) được xác định bởi:

u

W k,p (Ω)

∂
.
∂xj

1/p

|Dα u|p dx

=
Ω |α|≤k

.


8

Trường hợp p = 2 ta ký hiệu Wk,2 (Ω) là Hk (Ω).
Ta chứng minh được rằng: Không gian Wk,p là một không gian Banach.
Trường hợp k = 0 ta có
W0,p (Ω) = Lp (Ω) .
Khi k = 1 thì
W1,p (Ω) = {u (x) |u (x) ∈ Lp (Ω) ; Dxi u ∈ Lp (Ω) ∀i} .
Với k = 2 khi đó
W2,p (Ω) = u (x) |u (x) ∈ Lp (Ω) ; Dxi u ∈ Lp (Ω) ; Dxi xj u ∈ Lp (Ω) .
1.1.6

Không gian W0k,p (Ω)

Không gian W0k,p (Ω) là bao đóng của C0k (Ω) trong Wk,p (Ω). Tức là
W0k,p (Ω) = u (x) |u (x) ∈ Wk,p (Ω) , Dα u|∂Ω = 0, |α| ≤ k − 1 .
Trường hợp p = 2 ta ký hiệu W0k,p (Ω) là Hk0 (Ω).
Ta cũng chứng mình được rằng:
- Không gian W0k,p (Ω) là một không gian Banach
- Không gian W0k,p (Ω) là một không gian con đóng của W k,p (Ω).
- Không gian W0k,p (Ω) là một không gian con thực sự của W k,p (Ω) trừ
trường hợp Ω = Rn .
- Với mọi 1 ≤ p < ∞, thì W0k,p (Rn ) chính là W k,p (Rn ).


9

1.1.7

Không gian H¨
older

Giả sử Ω là một miền trong Rd . Nhắc lại rằng, với k = 1, 2, ... ta kí hiệu
k
Cloc
(Ω) là tập tất cả các hàm số u = u(x) mà đạo hàm của u là Duα với

|α| ≤ k là liên tục trong Ω. Đặt
[u]k;Ω = max |Dα u|0;Ω .

|u|0;Ω = [u]0;Ω = sup |u| ,

|α|=k

Ω

(1.1)

Với 0 < δ < 1, ta nói rằng hàm u liên tục H¨older với số mũ δ trong Ω
nếu nửa chuẩn
[u]δ;Ω = sup

x,y∈Ω

|u (x) − u (y)|
|x − y|δ

.

(1.2)

x=y

là hữu hạn. Nửa chuẩn này được gọi là hằng số H¨older bậc δ của u.
Khi δ = 1, nếu vế phải của (1.2) là hữu hạn, hàm u được gọi là liên tục
Lipschitz trong Ω. Ký hiệu
[u]k+δ;Ω = max [Dα u]δ;Ω .
|α|=k

(1.3)

Cho 0 < δ < 1 và k = 0, 1, 2... không gian H¨older C k+δ (Ω) là không gian
Banach của tất cả các hàm u ∈ C k (Ω) với chuẩn
|u|k+δ;Ω = |u|k;Ω + [u]k+δ;Ω .

(1.4)

là hữu hạn.
Để đơn giản, ta có thể bỏ qua chỉ số dưới Ω nếu Ω ≡ Rd . Chúng ta sẽ chỉ


10

ra rằng C k+δ (Ω) là không gian Banach.
Thật vậy, ta chỉ cần kiểm tra tính đầy đủ của C k+δ (Ω). Lấy một dãy
Cauchy {un } trong C k+δ (Ω). Những hàm số này là liên tục đồng bậc và
bị chặn đồng bậc trong tập con compact của Ω. Do vậy, tồn tại một dãy
con {uns } hội tụ đều đến một hàm số u trong tập con compact của Ω. Rõ
ràng u là liên tục và bị chặn trong Ω. Lập luận tương tự đối với các đạo
hàm đến cấp k của un . Khi đó, qua tính toán ta suy ra u có đạo hàm cấp
k liên tục và bị chặn trong Ω. Tiếp theo, với đa chỉ số bất kì α với |α| = k
và x, y ∈ Ω ta có
|[Dα u (x) − Dα u (y)] − [Dα un (x) − Dα un (y)]|
≤ limsup |[Dα um (x) − Dα um (y)] − [Dα un (x) − Dα un (y)]|
m→∞

≤ |x − y|δ limsup [Dα um − Dα un ]δ;Ω .
m→∞

Bằng cách tương tự ta có thể xét Dα u (x) − Dα un (x) , |α| ≤ k. Suy ra
|u − un |k+δ;Ω

limsup |um − un |k+δ;Ω .
m→∞

Vì biểu thức cuối cùng tiến đến 0 khi n → ∞ nên ta kết luận rằng dãy
Cauchy un hội tụ theo chuẩn của C k+δ (Ω) đến u.

1.2
1.2.1

Một số bất đẳng thức
Bất đẳng thức H¨
older

1 1
+ = 1 với
p p
1 < p, p < ∞. Giả sử các hàm f (x), g(x) đo được trên Ω và f ∈ Lp (Ω),
Cho Ω là tập con mở trong Rn ; các số p và p thỏa mãn


11

g ∈ Lp (Ω). Khi đó ta có f g ∈ L1 (Ω) và
1/p

f (x) g (x) dx ≤
Ω

1/p

p

p

|f (x)| dx

|g (x)| dx

Ω

.

Ω

Trong trường hợp đặc biệt p = p = 2 ta đã được biết đây là bất đẳng
thức Cauchy - Schwarz.

1.2.2

Bất đẳng thức Hardy

Cho u là một hàm thuộc W 1,p (Rn ) thỏa mãn

u
∈ Lp (Rn ). Giả sử 1 <
|x|

p < n, khi đó ta có

Rn

|u (x)|p

pp
dx ≤
|x|p
(n − p)p

|∇u (x)|p dx,
Rn

hơn nữa hằng số pp (n − p)−p là tối ưu.

1.3

Nguyên lý cực đại Stampacchia

Cho a ∈ L∞ (Ω) và số α > 0 thỏa mãn
|∇u|2 + a (x) u2 dx ≥α u
Ω

2
H01 (Ω)

với ∀ u ∈ H01 (Ω) .

Khi đó, nếu
−∆u + a (x) u ≥ 0 trong Ω
u = 0 trên ∂Ω,
thì hoặc u ≡ 0 trong Ω hoặc u > 0 trong Ω và

∂u
< 0 trên ∂Ω.

∂ν


12

1.4

Định lý hội tụ

Định lý 1.1. (Định lý hội tụ trội Lebesgue)
Cho fn : Rn → R là một dãy các hàm trong L1 (Rn ). Giả sử
(i) fn (x) → f (x) hầu khắp nơi trong Rn ,
(ii) tồn tại g ∈ L1 (Rn ) sao cho với mọi n ≥ 1, |fn (x)| ≤ g (x) hầu khắp
nơi trong Rn .
Khi đó f ∈ L1 (Rn ) và fn − f

L1

→ 0 khi n → ∞.

Định lý 1.2. (Định lý hội tụ đơn điệu)
Giả sử fn : R → [0; ∞] là một dãy các hàm tăng, đo được không âm và
hội tụ tới f , khi đó
f dµ = lim
R

1.5

n→∞

fn dµ.
R

Định lý hàm ngược tổng quát

Định lý 1.3. Cho Ω là một tập mở trong Rn và f : Ω → Rn là hàm thuộc
lớp C 1 . Giả sử x0 ∈ Ω là điểm mà tại đó J(f ) = 0 khả nghịch. Khi đó
tồn tại lân cận U ⊂ Ω của x0 và lân cận V của f (x0 ) sao cho ánh xạ
f : U → V là song ánh, hơn nữa hàm ngược g : V → U thuộc lớp C 1 .

1.6

Định lý hàm ẩn

Định lý 1.4. Cho X, Y là không gian Banach thực và (u0 , λ0 ) ∈ X × R.
Xét một ánh xạ F : X × R → Y thuộc lớp C 1 và thỏa mãn các điều kiện


13

sau:
(i) F (u0 , λ0 ) = 0;
(ii) Ánh xạ tuyến tính Fu (u0 , λ0 ) : X → Y là song ánh.
Khi đó tồn tại một lân cận mở U0 của u0 và một lân cận mở V0 của
λ0 sao cho với mỗi λ ∈ V0 có duy nhất phần tử u (λ) ∈ U0 thỏa mãn
F (u (λ) , λ) = 0. Ngoài ra ánh xạ sau thuộc lớp C 1
u : V0 → U0

.

λ → u (λ)
Chứng minh. Xét ánh xạ:
Φ: X ×R→ Y ×R
(u, λ) → Φ (u, λ) = (F (u, λ) , λ) .
Rõ ràng Φ ∈ C 1 , và ta sẽ áp dụng Định lý hàm ngược với Φ. Với mục đích
đó ta sẽ chứng minh ánh xạ
Φ (u0 , λ0 ) : X × R → Y × R là song ánh.
Thật vậy, ta có:
Φ (u0 + tu, λ0 + tλ) = (F (u0 + tu, λ0 + tλ) , λ0 + tλ)
= (F (u0 , λ0 ) + Fu (u0 , λ0 ) · (tu) + Fλ (u0 , λ0 ) · (tλ) + o (1) , λ0 + tλ)
điều đó dẫn đến

Φ (u0 , λ0 ) = 

Fu (u0 , λ0 )
0

Fλ (u0 , λ0 )
1


.


14

Từ giả thiết suy ra đây là toán tử song ánh. Vì thế theo Định lý hàm ngược
sẽ tồn tại lân cận U của (u0 , λ0 ), lân cận V của (0, λ) sao cho phương trình
Φ (u, λ) = (F, λ0 )
có nghiệm duy nhất với mọi (F, λ) ∈ V. Từ đó, ta có F = 0, vậy định lý

được chứng minh.
Bằng cách tương tự, ta có thể chứng minh định lý dạng toàn cục của
Định lý hàm ẩn sau:
Định lý 1.5. Cho F : X × R → Y là một hàm thuộc lớp C 1 trên X × R
và thỏa mãn:
(i) F (0, 0) = 0,
(ii) Ánh xạ Fu (0, 0) : X → Y là song ánh.
Khi đó tồn tại một lân cận mở I của 0 và một ánh xạ I

λ → u (λ) thuộc

lớp C 1 thỏa mãn u (0) = 0 và F (u (λ) , λ) = 0 .
Kết quả sau đây cũng sẽ được sử dụng trong các phần sau.
Định lý 1.6. Cho F : X × R → Y là một hàm thuộc lớp C 1 trên X × R
và thỏa mãn
(i) F (0, 0) = 0,
(ii) Ánh xạ Fu (0, 0) : X → Y là song ánh.
Khi đó tồn tại một khoảng mở tối đa I chứa tập gốc tọa độ và tồn tại duy
nhất ánh xạ thuộc lớp C 1 : I

λ → u (λ) thỏa mãn những điều kiện sau:


15

(i) F (u (λ) , λ) = 0 với mọi λ ∈ I,
(ii) Ánh xạ tuyến tính Fu (u (λ) , λ) là song ánh với λ ∈ I,
(iii) u (0) = 0.
Chứng minh. Giả sử u1 , u2 là nghiệm của
F (u (λ) , λ) = v.

Xét các khoảng mở tương ứng I1 và I2 mà trên đó các nghiệm tương ứng
tồn tại. Khi đó u1 (0) = u2 (0) = 0 và
F (u1 (λ) , λ) = 0, với λ ∈ I1 ,
F (u2 (λ) , λ) = 0, với λ ∈ I2 .
Hơn nữa, ánh xạ Fu (u1 (λ) , λ) và Fu (u2 (λ) , λ) là đơn ánh trên I1 và I2
tương ứng. Nhưng khi λ dần tới 0 ta có u1 (λ) = u2 (λ). Chúng ta sẽ chỉ
ra rằng nghiệm toàn cục là duy nhất. Đặt
I = {λ ∈ I1 ∩ I2 ; u1 (λ) = u2 (λ)} .
Mục đích của ta là chỉ ra rằng I = I1 ∩ I2 . Đầu tiên ta nhận thấy 0 ∈ I
vì thế I = ∅. Do đó I là đóng trong I1 ∩ I2 . Như vậy để chứng minh
I = I1 ∩ I2 ta sẽ phải chứng tỏ I là một tập mở trong I1 ∩ I2 . Thật vậy
áp dụng Định lý 1.4 khi thay thế λ bởi 0 . Từ đó ta sẽ có I = I1 ∩ I2 .
Bây giờ để chứng minh sự tồn tại của một khoảng tối đa I, ta xét các đường
cong un (λ) thuộc lớp C 1 , được định nghĩa trên các khoảng mở tương ứng
In sao cho 0 ∈ In , un (0) = u0 , F (un (λ) , λ) = 0 và Fu (un (λ) , λ) là một
đẳng cấu với bất kỳ λ ∈ In . Với cách xác định đó ta có thể xây dựng được
một khoảng mở tối đa ∪n In .


16

Hệ quả 1.1. Cho X, Y là không gian Banach và F : X → Y là một
hàm thuộc lớp C 1 . Giả sử rằng ánh xạ tuyến tính Fu (u) : X → Y là một
song ánh với mỗi u ∈ X và tồn tại C > 0 sao cho (Fu (u))−1 ≤ C với
u ∈ X. Khi đó F là toàn ánh.
Chứng minh. Không mất tính tổng quát, giả sử F (0) = 0 và cố định f
tùy ý thuộc Y . Xét toán tử F (u, λ) = F (u) − λf xác định trên X × R.
Từ Định lý 1.6 tồn tại một hàm u (λ) thuộc lớp C 1 , hàm đó được xác
định trên khoảng cực đại I sao cho F (u (λ)) = λf . Đặc biệc u := u (1) là
một nghiệm của phương trình F (u) = f . Ta sẽ chứng minh I = R. Thật

vậy, ta có
uλ (λ) = (Fu (u))−1 f,
nên u là một ánh xạ Lipschitz trên I, nghĩa là I = R.
Định lý hàm ẩn được sử dụng để giải phương trình dạng F (u) = f , trong
đó F ∈ C 1 (X, Y ). Một phương pháp đơn giản để chứng minh F là toàn
ánh , tức là ImF = Y đó là ta sẽ đi chứng minh điều sau đây:
(i) ImF là mở,
(ii) ImF là đóng.
Để chỉ ra (i), ta thường sử dụng Định lý hàm ngược, cụ thể là nếu Fu (u)
là ánh xạ 1 − 1 với mọi u ∈ X thì (i) thỏa mãn. Còn với (ii), điều kiện đủ
để (ii) thỏa mãn đó là F là ánh xạ chính quy.
Một dạng khác của Định lý hàm ẩn được nêu trong định lý sau.
Định lý 1.7. Cho F (u, λ) là một ánh xạ thuộc lớp C 1 trong lân cận của
(0, 0) và thỏa mãn F (0, 0) = 0. Giả sử


17

(i) ImFu (0, 0) = Y ;
(ii) Không gian X1 := Ker Fu (0, 0) có phần bù đóng X2 .
Khi đó tồn tại B1 = {u1 ∈ X : u1 < δ} , B2 = {λ ∈ R : |λ| < r}
B3 = {g ∈ Y : g < R} và một lân cận U của gốc tọa độ trong X2 sao
cho với bất kỳ u1 ∈ B1 , λ ∈ B2 và g ∈ B3 , tồn tại duy nhất nghiệm
u2 = ϕ (u1 , λ, g) ∈ U của phương trình
F (u1 + ϕ (u1 , λ, g) , λ) = g.


Chương 2
Bài toán rẽ nhánh đối với phương
trình elliptic phi tuyến

(Những kiến thức trình bày trong chương này được trích dẫn trực tiếp từ
các tài liệu tham khảo [4] và [5].)

Cho f : R → R là một hàm lồi, dương, thuộc lớp C 2 và thỏa mãn
f (0) > 0. Xét bài toán
−∆u = λf (u) trong Ω,
(2.1)
u = 0 trên ∂Ω,
trong đó λ là tham số dương. Chúng ta sẽ nghiên cứu nghiệm cổ điển của
bài toán này, đó là hàm u ∈ C 2 (Ω) ∩ C Ω .
Như chúng ta đã biết, Định lý hàm ẩn là một công cụ mạnh trong các bài
toán tìm nghiệm, chúng ta cũng sẽ thực hiện đối với bài toán (2.1).
Đặt
X = u ∈ C 2,α Ω ; u = 0 trên ∂Ω ; Y = C 0,α Ω với 0 < α < 1.


19

Định nghĩa
F (u, λ) = −∆u − λf (u) .
Dễ thấy F thỏa mãn tất cả các giả thiết của Định lý hàm ẩn. Do đó tồn
tại một lân cận I lớn nhất chứa gốc tọa độ và tồn tại duy nhất một ánh xạ
u = u (λ) là nghiệm của bài toán và toán tử tuyến tính −∆ − λf (u (λ))
là song ánh. Nói cách khác với mỗi λ ∈ I, bài toán (2.1) sẽ có nghiệm ổn
định được xác định bởi Định lý hàm ẩn.
Đặt λ∗ := sup I ≤ +∞, ta ký hiệu λ1 (−∆ − a) là giá trị riêng thứ
nhất của toán tử (−∆ − a) trong H01 (Ω), ở đây a ∈ L∞ (Ω).

2.1

Định lý rẽ nhánh cơ bản

Mục đích của chúng ta là chứng minh định lý rẽ nhánh cơ bản sau đây.
Định lý 2.1. Giả sử f : R → R là một hàm lồi, dương trong C 2 sao cho
f (0) > 0. Khi đó ta có các kết quả sau đây:
(i) λ∗ < +∞;
(ii) λ1 −∆ − λf (u (λ)) > 0;
(iii) Ánh xạ I

λ → u (x, λ) là tăng với mọi x ∈ Ω;

(iv) Với mọi λ ∈ I và x ∈ Ω ta luôn có u (x, λ) > 0;
(v) Bài toán (2.1) không có nghiệm với điều kiện λ > λ∗ ;
(vi) u (λ) là nghiệm cực tiểu của bài toán (2.1);
(vii) u (λ) là nghiệm ổn định duy nhất của bài toán (2.1).