KHẢO sát một số đặc TÍNH của AXINO TRONG mô HìNH SIêU đối XỨNG

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

TRẦN MỸ HẠNH

KHẢO SÁT MỘT SỐ ĐẶC TÍNH CỦA AXINO TRONG
MÔ HÌNH SIÊU ĐỐI XỨNG

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC VẬT LÝ

HÀ NỘI, 2014

1


CÁC KÍ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT
Kỹ hiệu

Tên tiếng Anh

Tên tiếng Việt

QCD

Quantum Chromodynamics

Sắc động lực học lượng tử

DM

Dark Matter

Vật chất tối

CP

Charge – Parity

Tích – Chẵn lẻ

ADMX

Axion Dark Matter

Vật chất tối Axion

SUSY

Supersymmetry

Siêu đối xứng

PQ

Peccei-Quinn

PQWW

Peccei-Quinn-Weinberg-Wilozek

VEV

Vacuum Expectation Values

KSVZ

Kim – Shifman – Vainstein –
Zakharov
Dine – Fischler – Srednicki –
Zhitnitkii

DFSZ

Giá trị trung bình chân không


MỤC LỤC
TRẦN MỸ HẠNH...........................................................................................1
HÀ NỘI, 2014..................................................................................................1
CHƯƠNG I......................................................................................................4
MÔ HÌNH AXION SIÊU ĐỐI XỨNG.........................................................4
1.1. Giới thiệu về siêu đối xứng [1].................................................................4
1.2. Siêu trường và siêu không gian [1].........................................................5
1.2.1. Siêu không gian......................................................................................5
1.2.2. Siêu trường.............................................................................................7
1.3. Phép biến đổi siêu đối xứng [1]...............................................................8
1.4. Axion trong mô hình siêu đối xứng.........................................................9
1.5. Khối lượng của axino...............................................................................9
1.6. Kết luận...................................................................................................11
CHƯƠNG II...................................................................................................12
2.1. Tương tác của axino với photon............................................................12

2.2. Bình phương biên độ tán xạ của quá trình hủy axino thành cặp ......12
2.2.1. Giản đồ Feynman [7]...........................................................................12
2.2.2. Quá trình hủy axino thành cặp khi các chùm và chưa phân cực..13
2.2.3. Quá trình hủy axino thành cặp khi chùm phân cực....................15
2.2.4. Quá trình hủy axino thành cặp khi chùm chưa phân cực và
phân cực.........................................................................................................16
2.3. Tiết diện tán xạ của quá trình hủy axino thành cặp ..........................17
2.3.1. Tiết diện tán xạ của quá trình hủy axino thành cặp khi chùm
phân cực và chùm chưa phân cực................................................................19
2.3.2. Tiết diện tán xạ của quá trình hủy axino tạo thành khi chùm chưa
phân cực và chùm phân cực........................................................................23
2.4. Kết luận...................................................................................................27
CHƯƠNG III.................................................................................................29


QUÁ TRÌNH HỦY AXINO THÀNH .........................................................29
3.1. Bình phương biên độ tán xạ của quá trình hủy axino.........................29
3.1.1. Quá trình hủy axino thành khi chùm chưa phân cực...................29
3.1.2. Quá trình hủy axino thành khi chùm phân cực ............................31
3.2. Tiết diện tán xạ của quá trình hủy axino thành .................................31
3.3. Kết luận...................................................................................................36
KẾT LUẬN....................................................................................................38
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................39


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Với những bằng chứng thuyết phục rằng hầu hết vật chất trong vũ trụ là
vật chất tối, một trong những câu hỏi đã và đang được giải quyết trong vật lý
học hiện đại là: Vật chất tối là gì?

Bản chất của vật chất tối trong vũ trụ vẫn là một trong những vấn đề thách
thức nhất của vật lý hạt, thiên văn học và vũ trụ học. Nhiều bằng chứng quan
trọng cho thấy nó không thể là vật chất Baryon, tức là các proton và neutron. Mô
hình chủ đạo hiện nay là vật chất tối cấu tạo chủ yếu từ những hạt kỳ lạ hình thành
khi vũ trụ chưa đầy một giây tuổi. Một trong các loại hạt có khả năng đóng góp
vào vật chất tối là hạt giả vô hướng nhẹ, chẳng hạn như axion, saxion, ….Các hạt
vô hướng nhẹ là các boson Goldstone xuất hiện dưới thang phá vỡ đối xứng tự
phát của đối xứng Peccei – Quinn, đối xứng Lepton hoặc đối xứng thế hệ.
Trong mô hình chuẩn (SM – Standard model) của vật lý hạt còn tồn tại nhiều
vấn đề bí ẩn chưa được giải quyết, trong đó có những vấn đề khó khăn nhất của mô
hình chuẩn đó là vấn đề “bậc”, vấn đề vi phạm CP mạnh (strong CP) và vấn đề vật
chất tối, trong mô hình chuẩn không có vật chất tối. Cho đến nay đã có rất nhiều các
giải pháp để giải thích các vấn đề trên, tuy nhiên thành công hơn cả là các giải pháp
siêu đối xứng và cơ chế Peccei – Quinn (PQ), cả hai giả thuyết này đều liên quan đến
việc các đối xứng bị phá vỡ. Lý thuyết siêu đối xứng (SUSY) là sự mở rộng của mô
hình chuẩn (SM) và được đề xuất vào những năm 70 của thế kỉ XX, trong SUSY có
sự đối xứng của các hạt có spin khác nhau, lý thuyết này đã giải thích thuyết phục
cho vấn đề bậc. Vấn đề vi phạm CP được giải quyết thông qua cơ chế PQ, theo cơ
chế này người ta đưa vào một trường giả vô hướng đó là axion.
Trong mô hình axion siêu đối xứng, axino xuất hiện cùng axion trong
siêu đa tuyến axion: Φ =

1
( s + ia ) + 2a%θ + Fθθ, trong đó saxion (s) là thành
2

1


phần vô hướng thực, axino ( a% ) là bạn đồng hành siêu đối xứng của axion.

Cũng giống như axion thì axino và saxion cũng tương tác yếu với vật chất
thông thường và khối lượng của axino phụ thuộc chặt chẽ vào các mô hình
axion. Gần đây tình hình nghiên cứu axino cũng được các nhà vật lý quan
tâm, chúng được xem là ứng cử viên cho vật chất tối lạnh và có thể được sinh
nhiều ở thời kì đầu của sự hình thành vũ trụ, tuy nhiên đặc tính hủy của nó
cần phải được tính toán chi tiết hơn nhằm hy vọng chỉ ra được những bằng
chứng có lợi để khẳng định sự tồn tại của nó trong mô hình cũng như trong vũ
trụ như là những hạt vật chất tối lạnh. Vì lí do đó tôi chọn đề tài : “KHẢO
SÁT MỘT SỐ ĐẶC TÍNH CỦA AXINO TRONG MÔ HÌNH SIÊU ĐỐI
XỨNG” làm đề tài nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ của mình.
2. Mục đích nghiên cứu:
Nghiên cứu một số quá trình hủy axino. Trên cơ sở đó đưa ra các đặc
tính quan trọng của axino và chỉ ra các hướng có lợi thu tín hiệu axino từ thực
nghiệm, khẳng định sự tồn tại của nó trong vũ trụ cũng như vai trò của nó
trong vật chất tối.
3. Phương pháp nghiên cứu
- Sử dụng phương pháp trường lượng tử với sự hỗ trợ của quy tắc
Feynman để tính biên độ tán xạ, tiết diện tán xạ .
- Sử dụng phần mềm Mathematica để đánh giá số và vẽ đồ thị.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu một số quá trình hủy axino.
- Phạm vi nghiên cứu: Trong khuôn khổ lý thuyết trường lượng tử,
chúng tôi tính toán giải tích và đánh giá số tiết diện tán xạ của quá trình hủy
axino thành vật chất thông thường. Từ đó chỉ ra các hướng có lợi thu tín hiệu
axino từ thực nghiệm cũng như đóng góp của nó trong vật chất tối.

2


5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận văn

Các kết quả nghiên cứu sẽ đóng góp vào thực nghiệm khẳng định sự
tồn tại của axino. Và quan trọng hơn nó là bằng chứng quan trọng về sự tồn
tại của chúng trong vũ trụ cũng như đóng góp của nó vào vật chất tối.
6. Bố cục của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và phụ lục, luận văn gồm 3 chương:
Chương I: Mô hình axion siêu đối xứng
Chương II: Quá trình hủy axino tạo thành e+ e−
Chương III: Quá trình hủy axino tạo thành γγ

3


CHƯƠNG I
MÔ HÌNH AXION SIÊU ĐỐI XỨNG
1.1. Giới thiệu về siêu đối xứng [1]
Lý thuyết thống nhất lớn ra đời dựa vào các nhóm Lie có biểu diễn
được lấp đầy bởi những hạt với spin cố định. Tuy nhiên, lý thuyết này chưa
thiết lập được quan hệ giữa các hạt có spin khác nhau. Ngoài ra nguyên lý
chuẩn chỉ cố định được các tương tác vector, còn các tương tác Yukawa và
tương tác vô hướng thì vẫn chưa chịu sự ràng buộc nào. Do đó, sự mở rộng
mô hình này là rất cần thiết và theo hướng xây dựng một đối xứng liên
quan giữa các hạt có spin khác nhau. Đối xứng này được gọi là “ siêu đối
xứng” (SUSY).
Mục tiêu của lý thuyết này là xây dựng một đối xứng mà có thể
thống nhất được đối xứng ngoài (không – thời gian) với đối xứng trong
(spin đồng vị). Dựa trên lý thuyết nhóm, người ta chỉ ra rằng các vi tử của hai
nhóm nói trên giao hoán với nhau. Do đó, để thực hiện được mục tiêu, người
ta đưa vào một vi tử mới Qαi có các tính chất liên hệ với các vi tử của nhóm
Poincare như sau:
[Qα ,Pµ ]=[Qα& ,Pµ ]=0; {Qα , Q β }={Qα& , Q β& }=0,

(1.1)

µ
{Qα , Q β& }=2σ αβ
Pµ ,

(1.2)

1
1
[Qα , M µν ]= (σ µν )αβ Qβ ;[Qα& , M µν ]= (σ µν )αβ Q β& ,
2
2

(1.3)

µ
0
i
−µ
0
i
trong đó: σ = ( σ , σ ) ; σ = ( σ , −σ ) với σ i là các ma trận Pauli, và

1
σ µ v = γ µ , γ v  . Các chỉ số (α , β ) nhận giá trị (1,2) là các chỉ số thành phần
4

spinor Weyl; còn các chỉ số ( µ , v ) là chỉ số của các thành phần vector 4 chiều

nhận các giá trị {0,1,2,3}.
4


Từ (1.3) ta thấy các vi tử mới Qαi không giao hoán với phép quay, do đó
nó lập nên phép quay Lorentz không sơ đẳng và liên hệ với các hạt có spin
khác nhau, cụ thể là nó có thể biến đổi fermion thành boson và ngược lại:
Q fermion = boson ; Q boson = fermion

Đại số Lie thông thường kết hợp với các giao hoán tử và phản giao
hoán tử (1.1), (1.2), (1.3) gọi là đại số Lie phân bậc hay còn được gọi là đại số
siêu đối xứng, đây cũng là cơ sở cho sự ra đời của (SUSY) – đối xứng giữa
hai loại hạt theo các thống kê khác nhau: boson – fermion.
1.2. Siêu trường và siêu không gian [1]
1.2.1. Siêu không gian
Để xây dựng các mô hình siêu đối xứng ta cần hình thức luận siêu
trường. Khi đó không thời gian mở rộng thành siêu không gian. Thành phần
trong siêu không gian là siêu tọa độ. Ngoài các tọa độ không – thời gian x,
siêu tọa độ còn có thêm tọa độ Grassmann phản đối xứng. Nếu ta làm việc với
spinơ Majorana bốn chiều, khi đó nó sẽ có dạng
θ A 
& 2&
θ =  A& ÷
, A = 1, 2; A& = 1,
÷
θ 

(1.4)

Với các tính chất sau đây: Biến số Grassmann phản giao hoán với nhau

{ θ A ,θ B } = 0

{θ
{θ

A&
A

, θ B& } = 0

(1.5)

, θ B& } = 0

Như vậy θi2 = 0; i = 1, 2,1,& 2& . Ngoài ra các biến Grassmann này còn phản giao
&

hoán với các toán tử fermion QA , Q A . Với tính chất này ta có thể chuyển đại số
Lie phân bậc thành đại số Lie thông thường.
&
&
θA Q A , Pµ  =  θ A Q A , Pµ  = 0



θA Q A , θBQ B  =  θA& Q A , θB& Q B  = 0


&

&

5


 θA Q A , θB& Q B&  = 2θA ( δµ ) & θ B& Pµ


AB

(1.6)

Một điểm trong không gian được cho bởi siêu tọa độ (x µ , θA , θA& ) .
Trong siêu không gian, các vi tử của siêu đại số (1.6) có dạng
p µ = −i ∂ µ ,

(1.7)

M µv = −i ( x µ ∂ v − x v ∂ µ ) −
Qα =

β
1
∂
δµv ) α θβ
,
(
2
∂θα

(1.8)

∂
− iδµαα& θ α& ∂ µ ,
∂θα

Qα& = −

(1.9)

∂
+ i θ α δµαα& ∂ µ ,
∂θα

(1.10)

Tích phân theo các biến số Grassmann có tính chất sau

∫ dθ

i

= 0,

∫ dθ θ
i

j

(1.11)

= δij .

(1.12)

Từ (1.12) ta thấy đối với các biến số Grassmann , phép vi phân giống như
phép tích phân. Ta nên coi biến số Grassmann như là một định nghĩa. Còn rất
nhiều điểm chưa hiểu rõ về nó như tổng của hai số Grassmann, định lý Stokes
cho biến số Grassmann, v.v... Bây giờ ta tính tích phân theo biến số
Grassmann
I n = ∫ dθ1...d θn e

 1 T 
 − 2 θ Aθ



.

(1.13)

Có thể thấy rằng
I n = 0 khi n lẻ.

Khi n chẵn, ta có
1  1 T 
I n = ∫ dθ1...d θn
− θ Aθ 
( n / 2 ) !  2



n /2

= ( det A )

1/2

.

(1.14)

Việc tổng quát hóa cho tích phân phiếm hàm theo các trường fermion cho ta

6


∫ [ dψ ]e

 1

 − 2 dx dyψ ( x ) A ( x,y ) ψ ( y ) + dxρ( x ) ψ ( x ) 



∫ ∫

∫

1


 1

= exp  Tr ln A ÷× exp  − ρA −1ρ  ,
2

 2


∑ { Q, Q } µ E .
+

(1.15)
(1.16)

allQ

Công thức (1.15) và (1.16) có thể viết gộp lại như sau

∫ [ dψ ]e

 1

 − 2 ϕAϕ+ Jϕ 



 K

K


= exp  − Tr ln A ÷exp  JA −1J  ,
 2

2


(1.17)

trong đó K = 1 cho trường boson và K = -1 cho trường fermion.
So sánh công thức (1.14) và công thức (1.15) ta thấy khác nhau cơ bản đó là
định thức của A ở mẫu số khi lấy tích phân theo trường boson, còn định thức
tử số khi lấy tích phân theo trường fermion.
1.2.2. Siêu trường
Trong siêu không gian, siêu trường Φ ( x, θ, θ ) được hiểu như là các số
hạng của khai triển Taylor theo θ và θ .
Φ ( x, θ, θ ) = f ( x ) + θφ ( x ) + θχ ( x ) + θθm ( x ) + θθn ( x )
+θδµ θVµ ( x ) + θθθλ ( x ) + θθθψ ( x ) + θθθθd ( x ) ,

(1.18)

trong đó
f ( x) ,d( x) ,m( x) ,n ( x)

là các trường vô hướng phức,

φ( x) ,ψ ( x)

là các spinơ Weyl trái (left handed Weyl spinor),

χ( x) ,λ ( x)

là các spinơ Weyl phải (right handed Weyl spinor),

Vµ ( x )

là trường véc tơ phức.

Chỉ có một số hữu hạn các số hạng do tính chất phản giao hoán của các biến
2
Grassmann ( θ = 0 ) . Có 16 thành phần boson thực (hai cho mỗi trường vô

hướng, tám cho Vµ) và 16 thành phần fermion (bốn cho mỗi spinor). Như vậy
số boson và fermion bằng nhau.

7


1.3. Phép biến đổi siêu đối xứng [1]
Ta định nghĩa yếu tố của nhóm
G ( x, θ, θ ) = e

(

i − x µ Pµ +θQ +θQ

)

(1.19)

Công thức Hausdorff
e e =e
A B

1


A + B+ [ A,B] +...
2



(1.20)

và đồng nhất thức Jacobi có dạng

{ A,{ B, C ]] ± { B, { C, A]] ± { C, { A, B]] = 0 ,

(1.21)

trong đó mỗi móc {,] ký hiệu giao hoán tử hoặc phản giao hoán tử.
Sử dụng công thức (1.20) và cho giao hoán tử cao hơn triệt tiêu, ta có tích của
hai biến đổi
G ( 0, ς, ς ) G ( x µ , θ, θ ) = G ( x µ θδµ ς − iςδµ θ, θ + ς, θ + ς )

(1.22)

Dưới biến đổi siêu đối xứng cực vi, siêu trường biến đổi
δΦ ( x, θ, θ ) ≡ G ( 0,∈, ∈) Φ ( x, θ, θ ) − Φ ( x, θ, θ ) = i ( ∈ Q+ ∈ Q ) Φ ( x, θ, θ )

(1.23)

Ta đưa vào đạo hàm hiệp biến thỏa mãn điều kiện sau
D A ( δΦ ) = δ ( DA Φ ) ,
D A& ( δΦ ) = δ ( D A& Φ )

(1.24)

Từ điều kiện trên ta có
&

D A = ∂ A + iδµAB& θ B∂ µ ,
D A& = −∂ A& − iθBδµBA& ∂ µ

(1.25)

Đạo hàm hiệp biến này có thể dùng để đặt điều kiện
D A& Φ ( x, θ, θ ) = 0 ,

(1.26)

D A Φ + ( x, θ, θ ) = 0

(1.27)

Siêu trường thỏa mãn điều kiện (1.26) được gọi là siêu trường chiral hay siêu
trường vô hướng. Liên hợp hermitc của nó là Φ + thỏa mãn điều kiện được gọi
8

là siêu trương phản chiral hoặc siêu trường phản vô hướng. Người ta còn đặt
điều kiện khác nữa
V + ( x, θ, θ ) = V ( x, θ, θ )

(1.28)

Siêu trường thỏa mãn điều kiện này gọi là siêu trường vectơ.
1.4. Axion trong mô hình siêu đối xứng
Trong lý thuyết siêu đối xứng, ở vùng năng lượng thấp, axion xuất hiện
cùng với axino và saxion trong lý thuyết siêu trường chiral sau [5]:
φ=

1
( s + ia ) + 2 a% θ + Fφ θθ ,
2

(1.29)

trong đó: a là trường axion, a% là trường axino, s là trường saxion, Fφ là
trường phụ.
1.5. Khối lượng của axino
Đối với saxion và axino, do đặc tính tương tác rất yếu với vật chất
thông thường nên các tính chất của chúng (quá trình tạo và rã) ngoài phụ
thuộc vào độ đo PQ (hằng số phân rã axion f a) còn phụ thuộc rất mạnh vào
khối lượng.
Khối lượng của axino phụ thuộc chặt chẽ vào các siêu thế, có thể là rất
nhỏ (~ eV) hoặc khá lớn (~ vài chục GeV) [5], [10]. Không giống như trường
hợp của gravition (hạt có spin 3/2) và các bạn đồng hành siêu đối xứng thông
thường, khối lượng của axino không theo bậc của thang phá vỡ (SUSY).
Siêu thế tái chuẩn hóa được trong trường hợp đơn giản nhất được

chọn như sau [3] [4]:
W = gZ ( S1S 2 − f a2 )

(1.30)

trong đó: g là hằng số tương tác; Z, S1 , S2 là các siêu trường chiral với các tích
PQ lần lượt là 0, +1, -1. Trong trường hợp này khối lượng của axino có thể là

9


ở thang khối lượng phá vỡ SUSY mềm và nó xuất hiện từ việc chéo hóa ma
trận khối lượng của các bạn đồng hành siêu đối xứng Z , S1 , và S2 như sau:
 0

M =  ma%
 gf
 a

ma%
0
gf a

gf a 
÷
gf a ÷
0 ÷


(1.31)

trong đó: ma% = g Z và gf a ~ 1011 GeV . Các trị riêng của ma trận tương ứng là:
λ = − ma% và λ = ± 2 gf a + Θ(ma% ) . Trong giới hạn (SUSY) toàn cục Z = 0 , do đó

ở mức cây axino có khối lượng bằng. Tuy nhiên S1 và S2 thu được các (VEV)
và các số hạng mềm được gộp trong thế sau:
V= g

2

(S

1

2

+ S2

2

) Z + ( A gS S Z − A gf
2

1

1 2

2

2

a

Z + hc )

(1.32)

Một số hạng tuyến tính trong Z được sinh ra với Z ~ ( A1 − A2 ) / g với A1
, A2 là các thông số khối lượng tam tuyến mềm. Vì vậy khối lượng axino xuất
hiện ở thang khối lượng phá vỡ (SUSY) mềm.
Nếu chọn siêu thế phức tạp hơn ta thu được axino ở mức cây [10]. Siêu
thế thỏa mãn đối xứng (PQ) được chọn là:
i
3
W ' = gZ ( S1S 2 − X 2 ) + λ ( X − M )
3

(1.33)

trong đó X mang tích QPQ = 0 . Trong trường hợp cực tiểu hóa thế W ' ta được
kết quả phức tạp hơn, trị riêng nhỏ nhất của ma trận khối lượng fermion với
V = 0 và ma% = Θ( A − 2 B + C ) + Θ(mG2 / f a ) [5]. Với A, B, C là các thông số phá

vỡ mềm lần lượt là tam tuyến tính, lưỡng tuyến tính và tuyến tính. Đối với các
số hạng phá vỡ mềm ta có thể chọn B = A − 2mG° , C = A − 2mG° thì A − 2 B + C = 0 ,
do đó khối lượng axino ở mức cây có bậc của

10

mG°2
fa

~ 1keV [5].


Nếu khối lượng của axino bằng không hoặc có bậc của

mG°2
fa

thì sự đóng

góp từ các giản đồ vòng có thể trở nên quan trọng hơn. Trong mô hình axion
(KSVZ), khối lượng axino xuất hiện ở mức một vòng ma% ~ (

f Q2
fa

) A , với A là

thành phần phá vỡ (SUSY), fQ là hằng số Yukawa của các quark nặng với
trường đơn tuyến có chứa axion, dẫn tới khối lượng axino khoảng vài chục
GeV [5]. Trong mô hình axion (DFSZ) không có sự đóng góp của thành phần
A thì khối lượng axino khoảng vài keV [8], [10].
Qua phân tích ở trên ta thấy việc chọn các siêu thế và cơ chế phá vỡ
(SUSY) là rất quan trọng để đánh giá khối lượng axino. Nhìn chung nó có thể
có khối lượng từ vài eV đến vài chục GeV. Trong việc nghiên cứu các tính
chất của axino trong vũ trụ thì khối lượng axino được coi là một thông số tự
do [5].
1.6. Kết luận
Trong chương này chúng tôi trình bày về siêu đối xứng, siêu trường,

siêu không gian, phép biến đổi siêu đối xứng, mô hình axion siêu đối xứng và
sự xuất hiện của axion, saxion, axino từ siêu trường chiral cũng như đánh giá
khối lượng của axino.

11


CHƯƠNG II
QUÁ TRÌNH HỦY AXINO THÀNH CẶP e+ e−
Trong chương này, bằng phương pháp lý thuyết trường lượng tử,
chúng tôi nghiên cứu đặc tính của axino thông qua việc tính toán giải tích các
biểu thức tiết diện tán xạ vi phân và tiết diện tán xạ toàn phần của quá trình
hủy axino thành cặp e+ e− .
2.1. Tương tác của axino với photon
Lagrangian mô tả tương tác của axino –photon – photino có dạng [2]
% γ, γ% ) =
L(a,

αN
% µv  ,
λγ µ γ v ( 1 − γ 5 ) aF
4πf a

trong đó, N là thông số phụ thuộc vào các mô hình. Đối với mô hình axion
KSVZ thì N = 1 , mô hình axion DFSZ thì N = 6 , α =

e2
là hằng số tinh tế trong
4π

QED, λ là trường chuẩn photino và Fµv = ∂µ A v ( x ) − ∂ v Aµ ( x ) là tenxơ cường độ
điện từ trường với Aµ mô tả trường điện từ.
Dùng phương pháp “ bóc vỏ ”, ta thu được hàm đỉnh tương tác axino –
photon – photino [6], [7] như sau:
% γ, γ% ) =
V(a,

iα N  ˆ µ
(kγ − k µ ) ( 1 − γ 5 )  .


4πf a

2.2. Bình phương biên độ tán xạ của quá trình hủy axino thành cặp e+ e−
2.2.1. Giản đồ Feynman [7]
Quá trình va chạm với hai hạt ở trạng thái đầu là axino và photino, hai
hạt ở trạng thái cuối là e− và e+ được biểu diễn dưới dạng:
a% ( p1 , λ1 ) + γ% c ( p 2 , λ 2 ) → e − ( k1 ,s1 ) + e + ( k 2 ,s 2 )

12


trong đó p1, p2, k1 và k2; λ1, λ2, s1 và s2 lần lượt là xung lượng và trạng thái
spin của axino, photino, e− và e+ .
Quá trình va chạm (2.3) thông qua trao đổi photon có thể được mô tả
bằng giản đồ Feynman như hình 2.1.
γ~ c ( p 2 )

e − ( k1 )

µ

γ (q)

ν

a~ ( p1 )

e+ ( k2 )

% γ% c tạo thành e + e− .
Hình 2.1. Giản đồ Feynman mô tả sự hủy cặp a,
% γ% c và e + e− chưa
2.2.2. Quá trình hủy axino thành cặp e + e− khi các chùm a,

phân cực
Theo quy tắc Feynman, ta có biên độ tán xạ của quá trình này là
 −ig µν 
iαN


ˆ
M=
u ( p 2 ) ( qγ µ − q µ ) ( 1 − γ 5 )  u ( p1 )  2 ÷v ( k1 ) ( ieγ ν ) v ( k 2 )
4πf a q 2
 q 
=

iαNe
u ( p 2 ) ( pˆ 1 + pˆ 2 ) γ µ − p1µ − p 2µ  ( 1 − γ 5 ) u ( p 1 ) v ( k1 ) γ µ v ( k 2 )

2
4πf a q
2

với q = k1 + k2 = p1 + p2 và N ≈ 1 .
Chú ý: Trong biểu thức (2.4) để cho gọn ở đây chúng tôi không viết chỉ
số spin của các hạt tham gia.
Sử dụng các phương trình Dirac:

(

)

u ( p 2 ) pˆ 2 -m γ% c =0

( pˆ 1 +ma% ) u ( p1 ) =0
ta thu được
M=

iαNe
u ( p 2μ)  mγγ5c 1-γ
( a -μ) m( 1μγ% +p2μ +p

4πf a q 2

Ma trận liên hợp Hermit của ma trận M:
13

( ) u p( v) k( γ) v k( )
)1-γ

μ

5

1

1

2


M+ = −

(

)

,
iαNe
v ( k 2 ) γ µ v ( k1 ) u ( p1 )  m γ% c ( 1 + γ 5 ) γ µ, − ( 1 + γ 5 ) m a% γ µ, + p1µ, + p 2µ,  u ( p 2 )
2


4πf a q

Bình phương của biên độ tán xạ là:
2

M =

∑ MM

+

spins

2

 αe 
=
2 ÷
 4πf a q 

∑ u ( p ) m
2

spins

γ% c

γ µ ( 1 − γ 5 ) − ( m a% γ µ + p1µ + p 2µ ) ( 1 − γ 5 ) 


u ( p1 ) v ( k1 ) γ µ v ( k 2 ) v ( k 2 ) γ µ v ( k1 ) u ( p1 )
,

(

)

m c ( 1 + γ ) γ , − ( 1 + γ ) m % γ , + p , + p ,  u ( p ) .
5
5
a µ
2
µ
1µ
2µ 
 γ%

Khi không quan tâm đến độ xoắn của các hạt ở trạng thái cuối, ta sử
dụng công thức (2.8) sau:

∑ u ( p ) u ( p ) = ( pˆ
1

1

+ m a% ) ,

1

spins

∑ u ( p ) u ( p ) = ( pˆ
2

2

2

spins

)

− m γ% c ,

∑ v ( k ) v ( k ) = ( kˆ
1

spins

s
∑ v ( k ) v ( k ) = ( kˆ
2

2

2

spins

1

1

)

+ me ,

)

− me ,

ta được:
2

 αe 
M = 32 
{2  2m γ% c m γ% c − m a% − ( p1p 2 ) 
2 ÷
/


4
π
f
q
a



(

2

)

(

)

× ( k1p1 ) ( k 2 p1 ) + 2 2m 2γ% c − 3m γ% c m a% + m a2% ( k1p1 ) ( k 2 p 2 )

(

)

+2 2m 2γ% c − 3m γ% c m a% + m a2% ( k1p 2 ) ( k 2 p1 ) − 2 ( p1p 2 ) ( k1p 2 ) ( k 2 p 2 ) + ( p1p 2 ) ( k1k 2 ) ( p 2p 2 )

14


(

)

(

)

− 5m 2γ% c − 8m γ% c m a% + 3m a2% ( p1p 2 ) ( k1k 2 ) −  2m γ% c m γ% c − m a% − ( p1p 2 )  ( k1k 2 ) ( p1p1 )



(

)

−m e2  2m γ% c m γ% c − m a% − ( p1p 2 )  ( p1p1 ) + m e2 ( p1p 2 ) ( p 2 p 2 )




(

)

+ m e2 −3m 2γ% c + 4m γ% c m a% − m a2% ( p1p 2 ) } .
% γ% c phân cực
2.2.3. Quá trình hủy axino thành cặp e+ e− khi chùm a,
% γ% c phân cực và e + e −
Quá trình hủy axino thành cặp e+ e− khi chùm a,

chưa phân cực chỉ thu được biên độ tán xạ khác 0 khi chùm a,
% γ% c cùng phân
cực trái hoặc chùm a% phân cực trái, γ% c phân cực phải. Đối với trường hợp
chùm a,
% γ% c cùng phân cực phải hoặc chùm a% phân cực phải, γ% c phân cực trái
thì biên độ tán xạ bằng 0.
Đối với trường hợp chùm a,
% γ% c cùng phân cực trái, ta có bình phương
biên độ tán xạ là:
2

M LL

2

2
 αe 

= 32 
m γ% c − m a% [−3 ( k1k 2 ) ( p1p 2 ) + 2 ( k1p 2 ) ( k 2 p1 )
2 ÷
 4πf a q 

(

)

+2 ( k1p1 ) ( k 2 p 2 ) − m e2 ( p1p 2 ) ]

Đối với trường hợp chùm a% phân cực trái, γ% c phân cực phải, bình
phương biên độ tán xạ của quá trình có dạng:
2

M LR

2

 αe 
= 32 
p p {2 ( k1p1 ) ( k 2 p1 ) + ( p1p 2 ) ( p1k 2 )
2 ÷ ( 1 2)
 4πf a q 
+2 ( k1p1 ) ( k 2 p 2 ) + 2 ( k1p 2 ) ( k 2 p 2 ) − ( k1k 2 ) ( p1p1 ) − 2 ( k1k 2 ) ( p1p 2 )
− ( k1k 2 ) ( p 2 p 2 ) + ( k1p 2 ) ( k 2 p1 ) − m e2 ( p1p1 ) − 2m e2 ( p1p 2 ) − m e2 ( p 2 p 2 ) }

Ngoài ra, ta thu được biên độ giao thoa giữa hai trường hợp trên:
2

M LL M

+
LR

= M LR M

+
LL

 αe 
= 32 
m γ% c m γ% c − m a% {2 ( k1p1 ) ( k 2 p1 ) + ( k1p 2 ) ( k 2 p1 )
2 ÷
 4πf a q 

(

)

+ ( k1p1 ) ( k 2 p 2 ) − [( k1k 2 ) + m e2 ][( p1p1 ) + ( p1p 2 ) ]}
15

(2.12)


% γ% c chưa phân cực
2.2.4. Quá trình hủy axino thành cặp e+ e− khi chùm a,

và e+ e− phân cực

% γ% c chưa phân cực và
Quá trình hủy axino thành cặp e+ e− khi chùm a,
e + e − phân cực chỉ thu được biên độ tán xạ khác 0 khi chùm e + e − cùng phân

cực trái hoặc cùng phân cực phải. Đối với trường hợp chùm e+ e− phân cực trái
ngược nhau (tức là chùm e+ phân cực phải, chùm e- phân cực trái hay ngược
lại, chùm e+ phân cực trái, chùm e- phân cực phải) , thì biên độ tán xạ bằng 0.
Đối với trường hợp chùm e+ e− cùng phân cực trái, ta có bình phương
biên độ tán xạ là:
2

M LL

2

 αe 
= 16 
{2  2m γ% c m γ% c − m a% − ( p1p 2 ) 
2 ÷
/


4
π
f
q
a



(

)

(

)

× ( k1p1 ) ( k 2 p1 ) + 2 2m 2γ% c − 3m γ% c m a% + m a2% ( k1p1 ) ( k 2 p 2 )

(

)

+2 2m 2γ% c − 3m γ% c m a% + m a2% ( k1p 2 ) ( k 2 p1 ) − 2 ( p1p 2 ) ( k1p 2 ) ( k 2 p 2 ) + ( p1p 2 ) ( k1k 2 ) ( p 2p 2 )

(

)

(

)

− 5m 2γ% c − 8m γ% c m a% + 3m a2% ( p1p 2 ) ( k1k 2 ) −  2m γ% c m γ% c − m a% − ( p1p 2 )  ( k1k 2 ) ( p1p1 ) }



(2.1
3)

Đối với trường hợp chùm e+ e− cùng phân cực phải , ta có bình phương
biên độ tán xạ là:
2

M RR

2

 αe 
= 16 
{2  2m γ% c m γ% c − m a% − ( p1p 2 ) 
2 ÷
/


4
π
f
q
a



(

)

(

)

× ( k1p1 ) ( k 2 p1 ) + 2 2m 2γ% c − 3m γ% c m a% + m a2% ( k1p1 ) ( k 2 p 2 )

(

)

+2 2m 2γ% c − 3m γ% c m a% + m a2% ( k1p 2 ) ( k 2 p1 ) − 2 ( p1p 2 ) ( k1p 2 ) ( k 2 p 2 ) + ( p1p 2 ) ( k1k 2 ) ( p 2p 2 )

16


(

)

(

)

− 5m 2γ% c − 8m γ% c m a% + 3m a2% ( p1p 2 ) ( k1k 2 ) −  2m γ% c m γ% c − m a% − ( p1p 2 )  ( k1k 2 ) ( p1p1 ) }



(2.14)
Ngoài ra, ta thu được biên độ giao thoa giữa hai trường hợp trên:
2

M LL M

+
RR

= M RR M

+
LL

 αe 
= 16 
2 ÷
 4πf a q 
× {− m e2  2m γ% c m γ% c − m a% − ( p1p 2 )  ( p1p1 ) + m e2 ( p1p 2 ) ( p 2 p 2 )



(

)

(

)

+ m e2 −3m 2γ% c + 4m γ% c m a% − m a2% ( p1p 2 ) }

(2.15)

2.3. Tiết diện tán xạ của quá trình hủy axino thành cặp e + e−
Trong phần này chúng tôi tính tiết diện tán xạ vi phân và tiết diện tán

% γ% c và
xạ toàn phần của quá trình hủy axino thành cặp e + e− khi các chùm a,
% γ% c hoặc e + e − phân cực. Sau đó vẽ đồ thị khảo
e + e− không phân cực, chùm a,

sát tiết diện tán xạ vi phân theo góc cos θ và khảo sát tiết diện toàn phần theo
các hệ số phân cực và năng lượng khối tâm.
Xét bài toán trong hệ quy chiếu khối tâm với các véc tơ năng xung
lượng 4 chiều của hệ được biểu diễn như sau:
r
r
r
r
p1µ ( E1 , p ) , p 2µ ( E 2 , −p ) , k1µ ( E 3 , p ) , k1µ ( E 4 , − p ) .

Các véc tơ xung lượng 3 chiều của hệ được biểu diễn như hình vẽ:

r r
k1 = k

r r
p1 = p

θ

r
r
p2 = − p

r

r
k2 = − k
trong đó E = E1 + E 2 = E 3 + E 4 = s, với

s được gọi là năng lượng khối tâm,
ur
r
còn góc θ là góc hợp giữa vectơ xung lượng p và k .

17


Các đại lượng trong hệ khối tâm có các kết quả sau:
r2
r2
E12 = p12 + p = m a2% + p ,
r2
r2
E 22 = p 22 + p = m 2γ% c + p ,
r2
r2
E 32 = k12 + k = m f2 + k ,
r2
r2
E 24 = k 22 + k = m f2 + k ,

s + m a2% − m 2γ% c
E1 =
2 s



s − m a2% + m 2γ% c

⇒ E 2 =
,
2 s


s
E 3 = E 4 =
2


r
p = E12 − m a2% ,
r
k = E 32 − m f2 =

s
− m f2 .
4

Tiếp tục, ta tính tích vô hướng giữa các vectơ xung lượng 4 chiều trong
hệ khối tâm và thu được kết quả như sau:
k1p1 = p1k1 = E1E 3 − pk cos θ,
p1p 2 = p 2 p1 = E1E 2 + p 2 ,
k1p 2 = p 2 k1 = E 2 E 3 + pk cos θ,
k1k 2 = k 2 k1 = E 3 E 4 + k 2 ,
p1k 2 = k 2 p1 = E1E 4 + pk cos θ,
p 2 k 2 = k 2 p 2 = E 2 E 4 − pk cos θ,

p1p1 = E1E1 − p 2 ,
p2 p2 = E 2 E 2 − p2 .

Thay các giá trị đã tính toán trên vào công thức (2.9), ta thu được bình
2

phương biên độ tán xạ M trong hệ quy chiếu khối tâm.

18


2

Thay bình phương biên độ tán xạ M vào biểu thức tiết diện tán xạ vi phân
r
k
dσ
1
1 2
=
r M ,
2
dΩ 64π s p 4

(2.16)

trong đó dΩ = d ( cos θ ) dϕ với θ ∈ [ 0; π] , ϕ ∈ [ 0; 2π] ta có được biểu thức tiết diện
tán xạ vi phân trong hệ khối tâm.
Lấy tích phân theo ϕ biểu thức tiết diện tán xạ vi phân, ta được:
r

k
dσ
dσ
2π
1
1
2
= 2π
=
r M =
2
d(cosθ)
dΩ 64π s p 4
32πs

r
k 1
2
r M .
p 4

(2.17)

Lấy tích phân biểu thức (2.17) theo cos θ , ta được biểu thức tiết diện tán xạ
toàn phần.
Xét trong hệ đơn vị SI, chúng tôi chọn các thông số: α =

1
,
137

−4
10
e = 4πα , me = 5,1.10 GeV , mγ% = 200GeV , f a = 10 GeV , ma% = 0,5GeV ,

s = 106 GeV , để khảo sát tiết diện tán xạ vi phân theo góc cos θ và khảo sát tiết

diện toàn phần theo các hệ số phân cực và năng lượng khối tâm.
2.3.1. Tiết diện tán xạ của quá trình hủy axino thành cặp e+ e− khi chùm
%% c phân cực và chùm e + e − chưa phân cực.
aγ

Đầu tiên, chúng tôi khảo sát sự phụ thuộc của tiết diện tán xạ toàn phần
vào các hệ số phân cực P1 và P2 được biểu diễn như hình 2.2

19


Hình 2.2 Sự phụ thuộc tiết diện tán xạ toàn phần vào P1 và P2 của
quá trình a%%γ c → e+ e− khi chùm aγ
%% c phân cực.
Từ hình 2.2 ta thấy nếu tính đến sự phân cực của các chùm aγ
%% c khi các
chùm a% và γ% c phân cực khác nhau thì tiết diện tán xạ toàn phần là khác nhau.
Trong trường hợp 100% các chùm a,
% γ% c phân cực ngược nhau thì tiết diện tán
xạ toàn phần thu được là lớn nhất bằng 0,3.10-18 pbarn. Ngược lại, khi 100%
các chùm aγ
%% c phân cực giống nhau, tiết diện tán xạ có giá trị nhỏ nhất bằng
không. Điều này cho thấy ảnh hưởng của sự phân cực đối với các chùm hạt

trong quá trình tán xạ cần phải được xét tới.
Từ đồ thị hình 2.2, ta tiếp tục khảo sát tiết diện tán xạ vi phân trong các
trường hợp đặc biệt sau:
+ Khi chùm aγ
%% c không phân cực (P1=P2 =0), ta được đồ thị biểu diễn
như hình 2.3:

20


 

 
D C S a  c  e e  1 0  18 p b a rn

1. 10 20
8. 10 21
6. 10 21
4. 10 21
2. 10 21
0

 1 .0

 0 .5

0 .0

0 .5

1 .0

co s

Hình 2.3. Sự phụ thuộc tiết diện tán xạ vi phân vào cos θ của quá
%% c không phân cực.
trình a%%γ c → e+ e− khi chùm aγ

+ Khi 100% chùm a% phân cực phải và 100% chùm γ% c phân cực trái (P1



  


D C S a  c p h a n c u c  e e  1 0  1 8 p b a rn

= 1, P2 = -1), ta được đồ thị biểu diễn như hình 2.4:

2. 10 20
1 .5  1 0  2 0
1. 10 20
5. 10 21
0

 1 .0

 0 .5

0 .0

0 .5

1 .0

cos
Hình 2.4. Sự phụ thuộc tiết diện tán xạ vi phân vào cos θ của quá
trình a%%γ c → e+ e− khi P1 = 1, P2 = -1.

21