Bải giảng giải tích 2 có bài tập

GIẢI TÍCH 2
HOÀNG HẢI HÀ
BÁCH KHOA TPHCM

21st February 2013

HÀ (ĐHBK TPHCM)

BÀI TẬP GIẢI TÍCH 2

21st February 2013

1 / 131


1

2

3

4

5

Nhận diện mặt bậc 2
Bài tập
Đạo hàm riêng-vi phân hàm nhiều biến
Tóm tắt lý thuyết
Bài tập
Vi phân cấp cao

Bài tập
Cực trị tự do
Tóm tắt lý thuyết
Bài tập
Cực trị có điều kiện và GTLN-GTNN
Lí thuyết
Bài tập
HÀ (ĐHBK TPHCM)

BÀI TẬP GIẢI TÍCH 2

21st February 2013

1 / 131


6

TÍCH PHÂN KÉP
Tích phân kép
Tọa độ cực
Diện tích miền phẳng

7

Tích phân bội ba
Tóm tắt lý thuyết
Bài tập

8

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
Tóm tắt lý thuyết
Tích phân đường loại 1
Tích phân đường loại 2
Green
Bài tập
HÀ (ĐHBK TPHCM)

BÀI TẬP GIẢI TÍCH 2

21st February 2013

1 / 131


Nhận diện mặt bậc 2

9

Tích phân mặt
Tích phân mặt loại 1
Tích phân mặt loại 2

10

Công thức Stoke

11

Chuỗi số
Lý thuyết
Các tiêu chuẩn để chuỗi hội tụ
Tích phân-Cauchy-D’lambert-Raph
Chuỗi đan dấu

12

Chuỗi lũy thừa
Chuỗi lũy thừa
Tổng chuỗi lũy thừa
HÀ (ĐHBK TPHCM)

BÀI TẬP GIẢI TÍCH 2

21st February 2013

2 / 131


Nhận diện mặt bậc 2

Nhận diện mặt bậc 2
Xét hàm hai biến z = z(x, y ), trong không gian, hàm này
mô tả một mặt nào đó.
Các mặt bậc 2 cơ bản:
(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R 2 : MẶT CẦU

HÀ (ĐHBK TPHCM)

BÀI TẬP GIẢI TÍCH 2

21st February 2013

2 / 131


Nhận diện mặt bậc 2

Nhận diện mặt bậc 2
Xét hàm hai biến z = z(x, y ), trong không gian, hàm này
mô tả một mặt nào đó.
Các mặt bậc 2 cơ bản:
(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R 2 : MẶT CẦU
x2 y2 z2
+
+
= 1 : ELLIPSOID
a2 b 2 c 2

HÀ (ĐHBK TPHCM)

BÀI TẬP GIẢI TÍCH 2

21st February 2013

2 / 131


Nhận diện mặt bậc 2

Nhận diện mặt bậc 2
Xét hàm hai biến z = z(x, y ), trong không gian, hàm này
mô tả một mặt nào đó.
Các mặt bậc 2 cơ bản:
(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R 2 : MẶT CẦU
x2 y2 z2
+
+
= 1 : ELLIPSOID
a2 b 2 c 2
x2 y2 z2
+
−
= 1: HYPERBOLID
a2 b 2 c 2
HÀ (ĐHBK TPHCM)

BÀI TẬP GIẢI TÍCH 2

21st February 2013

2 / 131


Nhận diện mặt bậc 2

x2 y2 z2
+
−

= 0: NÓN
a2 b 2 c 2

HÀ (ĐHBK TPHCM)

BÀI TẬP GIẢI TÍCH 2

21st February 2013

3 / 131


Nhận diện mặt bậc 2

x2 y2 z2
+
−
= 0: NÓN
a2 b 2 c 2
x2 y2
cz + d = 2 + 2 : PARABOLOID ELLIPTIC
a
b

HÀ (ĐHBK TPHCM)

BÀI TẬP GIẢI TÍCH 2

21st February 2013

3 / 131


Nhận diện mặt bậc 2

x2 y2 z2
+
−
= 0: NÓN
a2 b 2 c 2
x2 y2
cz + d = 2 + 2 : PARABOLOID ELLIPTIC
a
b
2
x
y2
cz + d = 2 − 2 : PARABOLOID HYPERBOLIC
a
b

HÀ (ĐHBK TPHCM)

BÀI TẬP GIẢI TÍCH 2

21st February 2013

3 / 131

Nhận diện mặt bậc 2

x2 y2 z2
+
−
= 0:
a2 b 2 c 2
x2 y2
cz + d = 2 + 2 :
a
b
2
x
y2
cz + d = 2 − 2 :
a
b
x2 y2
+
= 1: TRỤ
a2 b 2

HÀ (ĐHBK TPHCM)

NÓN
PARABOLOID ELLIPTIC
PARABOLOID HYPERBOLIC
ELIPPTIC

BÀI TẬP GIẢI TÍCH 2

21st February 2013

3 / 131


Nhận diện mặt bậc 2

x2 y2 z2
+
−
= 0: NÓN
a2 b 2 c 2
x2 y2
cz + d = 2 + 2 : PARABOLOID ELLIPTIC
a
b
2
x
y2
cz + d = 2 − 2 : PARABOLOID HYPERBOLIC
a
b
x2 y2
+
= 1: TRỤ ELIPPTIC
a2 b 2
x2 y2
−
= 1: TRỤ HYPERBOLIC

a2 b 2

HÀ (ĐHBK TPHCM)

BÀI TẬP GIẢI TÍCH 2

21st February 2013

3 / 131


Nhận diện mặt bậc 2

x2 y2 z2
+
−
= 0: NÓN
a2 b 2 c 2
x2 y2
cz + d = 2 + 2 : PARABOLOID ELLIPTIC
a
b
2
x
y2
cz + d = 2 − 2 : PARABOLOID HYPERBOLIC
a
b
x2 y2
+

= 1: TRỤ ELIPPTIC
a2 b 2
x2 y2
−
= 1: TRỤ HYPERBOLIC
a2 b 2
y 2 = 2px: TRỤ PARABOLIC
HÀ (ĐHBK TPHCM)

BÀI TẬP GIẢI TÍCH 2

21st February 2013

3 / 131


Nhận diện mặt bậc 2

x2 y2 z2
+
−
= 0: NÓN
a2 b 2 c 2
x2 y2
cz + d = 2 + 2 : PARABOLOID ELLIPTIC
a
b
2
x
y2

cz + d = 2 − 2 : PARABOLOID HYPERBOLIC
a
b
x2 y2
+
= 1: TRỤ ELIPPTIC
a2 b 2
x2 y2
−
= 1: TRỤ HYPERBOLIC
a2 b 2
y 2 = 2px: TRỤ PARABOLIC
HÀ (ĐHBK TPHCM)

BÀI TẬP GIẢI TÍCH 2

21st February 2013

3 / 131


Nhận diện mặt bậc 2

Bài tập

Nhận diện các mặt bậc 2 sau:
y+

4x 2 + z + 2 = 0

x 2 + z 2 − y 2 = 2x + 2z − 2
4 − x2 − z2 + 3 − y = 0
x 2 − z 2 + y 2 = 2x + 2z
x 2 − xy + z 2 = 0

HÀ (ĐHBK TPHCM)

BÀI TẬP GIẢI TÍCH 2

21st February 2013

4 / 131


Đạo hàm riêng-vi phân hàm nhiều biến

Tóm tắt lý thuyết

ĐẠO HÀM RIÊNG
Đạo hàm riêng của hàm z = z(x, y ) tại điểm M(x0 , y0 ).
z(x, y0 ) − z(x0 , y0 )
.
x→x0
x − x0
z(x0 , y ) − z(x0 , y0 )
zy = lim
x→y0
y − y0

zx = lim

HÀ (ĐHBK TPHCM)

BÀI TẬP GIẢI TÍCH 2

21st February 2013

5 / 131


Đạo hàm riêng-vi phân hàm nhiều biến

Tóm tắt lý thuyết

Hàm hợp z = z(u, v ), u = u(x, y ), v = v (x, y )
zx = zu ux + zv vx .
zy = zu uy + zv vy .
Kí hiêu: zx =

HÀ (ĐHBK TPHCM)

∂z
∂x

BÀI TẬP GIẢI TÍCH 2

21st February 2013

6 / 131

Đạo hàm riêng-vi phân hàm nhiều biến

Tóm tắt lý thuyết

Hàm hợp z = z(u, v ), u = u(x, y ), v = v (x, y )
zx = zu ux + zv vx .
zy = zu uy + zv vy .
Kí hiêu: zx =

∂z
∂x

Cho hàm z = z(x, y ) và điểm M(x0 , y0 ). Ý nghĩa của
zx (M)
Hàm z = z(x, y ) xác định mặt cong S. Mặt phẳng y = y0
cắt mặt S theo một đường cong C. Khi đó: zx (M) là hệ
số góc tiếp tuyến của đường cong C tại điểm P(x0 , y0 , z0 )
HÀ (ĐHBK TPHCM)

BÀI TẬP GIẢI TÍCH 2

21st February 2013

6 / 131


Hàm z = z(x, y ) được cho dưới dạng ẩn
F (x, y , z) = 0

HÀ (ĐHBK TPHCM)

zx = −

Fx
Fz

zy = −

Fy
Fz

BÀI TẬP GIẢI TÍCH 2

21st February 2013

7 / 131


Hàm z = z(x, y ) được cho dưới dạng ẩn
F (x, y , z) = 0
zx = −

Fx
Fz

zy = −

Fy
Fz

Grandient
Cho hàm hai biến z = z(x, y ). Vecto Gradient của hàm z,
( Kí hiệu: gradz hoặc ∇z) là vecto:
gradz = (zx , zy )
HÀ (ĐHBK TPHCM)

BÀI TẬP GIẢI TÍCH 2

21st February 2013

7 / 131


Đạo hàm theo hướng
Cho hàm z = z(x, y ), điểm M(x0 , y0 ), vecto u. Đạo hàm
theo hướng vecto u của hàm z tại M, kí hiệu : zu (M).
zu (M) = (gradz(M), u0 )
với u0 là vecto đơn vị cùng hướng với u

HÀ (ĐHBK TPHCM)

BÀI TẬP GIẢI TÍCH 2

21st February 2013

8 / 131


Vi phân cấp 1 của hàm hai biến z = z(x, y ).

HÀ (ĐHBK TPHCM)

BÀI TẬP GIẢI TÍCH 2

21st February 2013

9 / 131


Vi phân cấp 1 của hàm hai biến z = z(x, y ).
dz = zx dx + zy dy
Vi phân cấp 2:
d 2 z = zxx dx 2 + 2zxy dxdy + zyy dy 2

HÀ (ĐHBK TPHCM)

BÀI TẬP GIẢI TÍCH 2

21st February 2013

9 / 131


Bài tập

Tính các biểu thức sau :
1. f = (1 + sin2 x)lny . Tính A = fx (M) + fy (M) với
π
M = ( , 2).

2 x
2. f = xyy t 2 cos2tdt. Tính fx + fy .
3. f =

3

x 3 + y 3 . Tính fy (0, 0)

HÀ (ĐHBK TPHCM)

BÀI TẬP GIẢI TÍCH 2

21st February 2013

10 / 131


Bài tập

Tính vi phân cấp 1 các hàm sau:
1. f = ln(x + (x 2 + y 2 ))
y
−
2. f = 2 x
3. f = u 2 v − v 2 u, u = xsiny , v = ycosx
Tìm hàm u(x, y ) liên tục biết rằng:
ux = x 2 − 2xy 2 + 3, uy = y 2 − 2yx 2 + 3

HÀ (ĐHBK TPHCM)

BÀI TẬP GIẢI TÍCH 2

21st February 2013

11 / 131