Bài giảng giải tích 2 chương 5.1 tổng quan về chuỗi số, chuỗi số dương, chuỗi đan dấu, chuỗi có dấu bất kỳ

CHƯƠNG IV: CHUỖI
§1. CHUỖI SỐ
1.CHUỖI SỐ DƯƠNG
2.CHUỖI ĐAN DẤU
3.CHUỖI CÓ DẤU BẤT KỲ
§2. CHUỖI LŨY THỪA
1.CHUỖI LŨY THỪA
2.CHUỖI TAYLOR - MACLAURINT
§1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số
Định nghĩa: Cho dãy số {u
n
}. Ta gọi tổng tất cả các
số hạng của dãy (TỔNG VÔ HẠN)
1
n
n
u
¥
=
å
là chuỗi số
Ta gọi: 1. u
n
là số hạng tổng quát của chuỗi
2. Tổng riêng thứ n của chuỗi là tổng n – số
hạng đầu tiên : S
n
=u
1
+u
2

+…+u
n
3. Tổng của chuỗi là giới hạn hữu hạn (nếu có)
n
n
S lim S
®¥
= <¥
Khi đó, ta nói chuỗi hội tụ. Ngược lại, tức là hoặc
không tồn tại giới hạn hoặc giới hạn ra vô tận thì ta
nói chuỗi phân kỳ
Vậy khi chuỗi hội tụ, chuỗi có tổng
1
lim
n n
n
n
u S S
¥
®¥
=
= =
å
§1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số
Ví dụ: Tìm số hạng tổng quát của các chuỗi:
1 3 7 15

2 4 8 16
+ + + +
2 1

2
n
n
n
u
-
Þ =
2 3 4
2 2 2 2

1 1.2 1.2.3 1.2.3.4
+ + + +
2
!
n
n
u
n
Þ =
Ví dụ: Tính số hạng u
n
của các chuỗi
1
2
4 1
n
n
n
¥
=

+
-
å
Tính u
5
?
5
5 2 7
4.5 1 19
u
+
Þ = =
-
1
(2 1)!!
( 1)!
n
n
n
¥
=
-
+
å
Tính u
6
6
(2.6 1)!! 11!! 1.3.5.7.9.11 99
(6 1)! 7! 1.2.3.4.5.6.7 48
u

-
Þ = = = =
+
§1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số
Ta bắt đầu từ việc tính tổng riêng thứ n của chuỗi
2
1
n
n
S q q q= + + + +
, 1
1
, 1
1
n
n q
q
q
q
ì
=
ï
ï
ï
=
í
-
ï
¹
ï

-
ï
î
Rõ ràng khi q=1, S
n
=n thì chuỗi là phân kỳ
Khi |q|<1:
1
lim
1
n
n
S S
q
®¥
= =
-
q
n
→0 khi n→∞ nên
Tức là chuỗi hội tụ và có tổng là S
Dãy {S
n
} không có giới hạn → chuỗi phân kỳKhi |q|>1:
Ví dụ: Tính tổng của chuỗi cấp số nhân
0
n
n
q
¥

=
å
Vậy chuỗi cấp số nhân
0
n
n
q
¥
=
å
hội tụ khi và chỉ khi |q|<1
§1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số
Ví dụ: Tính tổng của chuỗi
0
1 1
3 5
n n
n
¥
=
æ ö
÷
ç
-
÷
ç
÷
ç
è ø
å

Áp dụng kết quả ví dụ trên, ta có
0 0
1 1 1 3
( )
1
3 2
3
1
3
n
n
n n
¥ ¥
= =
= = =
-
å å
0 0
1 1 1 5
( )
1
5 4
5
1
5
n
n
n n
¥ ¥
= =

-
- = - = =-
-
å å
Vậy:
0
1 1 3 5 1
2 4 4
3 5
n n
n
¥
=
æ ö
÷
ç
- = - =
÷
ç
÷
ç
è ø
å
§1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số
Ví dụ: Tính tổng riêng và tổng (nếu có) của
2
1
1
4 1
n

n
¥
=
-
å
Tổng riêng:
1 2

n n
S u u u= + + +
Ta có:
Tổng của chuỗi:
2
1 1 1 1
( )
2 2 1 2 1
4 1
n
u
n n
n
= = -
- +
-
1 1 1 1 1 1 1 1
2
1 3 3 5 5 7 2 1 2 1
n
S
n n

æ ö æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
= - + - + - + + -
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
è ø è ø è ø è ø
- +
1
2 1
2 1
n
S
n
= -
+
2
1
1 1
lim
2
4 1
n
n
n
S S
n
¥

®¥
=
= = =
-
å
§1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
1
1
ln(1 )
n
n
¥
=
+
å
Tổng riêng:
( )
1 1
1
ln(1 ) ln(1 ) ln
n n
n
k k
S k k
k
= =
= + = + -
å å
(ln2 ln1) (ln3 ln2) (ln( 1) ln )

n
S n n= - + - + + + -
ln( 1)
n
S n= +
Ta có:
lim lim ln( 1)
n
n n
S S n
®¥ ®¥
= = + = ¥
Vậy chuỗi đã cho phân kỳ
§1. Chuỗi số - Tính chất & điều kiện cần của sự hội tụ
Điều kiện cần của sự hội tụ :
1
n
n
u
¥
=
å
Chuỗi hội tụ thì u
n
→0
Ta thường dùng điều kiện này để chứng minh chuỗi
số phân kỳ bằng cách chứng minh
Ví dụ: Các chuỗi sau phân kỳ theo đkccsht
1
, vì lim lim 1 0

1 1
n
n n
n
n n
u
n n
¥
®¥ ®¥
=
= = ¹
+ +
å
1. lim 0
2. lim
n
n
n
n
u
u
®¥
®¥
é
¹
ê
ê
$
ê
ë

1
, vì lim lim 1 0
( 1) ( 1)
n
n n
n n
n
n n
u
n n
¥
®¥ ®¥
=
= =- ¹
- - - -
å
1
( 1) ( 1)
, vì lim 1 0
n n
n
n
n n
n n
¥
®¥
=
- + - +
= ¹
å

§1. Chuỗi số - Tính chất & điều kiện cần của sự hội tụ
Tính chất 1: Tính hội tụ (phân kỳ) của chuỗi không thay
đổi nếu ta bỏ đi một số hữu hạn các phần tử của chuỗi.
Tức là 2 chuỗi sau cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ
1
và
n n
n n p
u u
¥ ¥
= =
å å
Tính chất 2: Cho 2 chuỗi hội tụ
1 1
và
n n
n n
u Q v P
¥ ¥
= =
= =
å å
Các chuỗi sau hội tụ với tổng
( ) ( )
1 1
, = Q
n n n
n n
u v Q P ul l
¥ ¥

= =
+ = +
å å
Chú ý: Tổng của 1 chuỗi HT và 1 chuỗi PK thì PK
Khi đó, dãy tổng riêng {S
n
} là dãy số không giảm nên
chuỗi HT khi và chỉ khi dãy {S
n
} bị chặn trên
Chuỗi số
1
, 0
n n
n
u u
¥
=
³
å
với tất cả các số hạng
không âm thì gọi là chuỗi không âm
§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
Để khảo sát sự hội tụ của chuỗi số dương, chúng
ta sẽ sử dụng 1 trong 4 tiêu chuẩn :
1.Tiêu chuẩn tích phân Maulaurint – Cauchy
2.Tiêu chuẩn so sánh
3.Tiêu chuẩn Cauchy
4.Tiêu chuẩn d’Alembert
Chuỗi số

1
, 0
n n
n
u u
¥
=
³
å
với tất cả các số hạng
không âm thì gọi là chuỗi không âm
§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
Tiêu chuẩn tích phân Maclaurint – Cauchy:
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
Cho hàm f(x)≥0, liên tục và đơn điệu giảm trên [1,∞).
Khi ấy, chuỗi
1
( )
n
f n
¥
=
å
HT khi và chỉ khi tp
1
( )f x dx
¥
ò
HT
1

1
n
n
a
¥
=
å
* Khi α<0:
1
lim
n n
n
u u
n
a
®¥
= Þ = +¥
Chuỗi PK theo đkccsht
* Khi α=0:
1 lim 1 0
n n
n
u n u
®¥
= " Þ = ¹
Chuỗi PK theo đkccsht
* Khi α>0:
Xét hàm
1
( )f x

x
a
=
thỏa các điều kiện của
tiêu chuẩn tích phân
§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
Vì tích phân
1
1
dx
x
a
+¥
ò
hội tụ khi và chỉ khi α>1 nên
Chuỗi
1
1
n
n
a
¥
=
å
Hội tụ khi α>1 và phân kỳ khi α≤1
Ví dụ: Khảo sát sự HT của chuỗi
2
1
(ln )
n

n n
b
¥
=
å
Xét hàm
1
( )
(ln )
f x
x x
a
=
trên [2,+∞), ta có
f(x) không âm, hàm liên tục và khi x tăng thì lnx tăng
nên f(x) giảm tức là hàm f(x) thỏa điều kiện của tiêu
chuẩn tích phân
§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
Mặt khác
2 2
(ln )
(ln ) (ln )
dx d x
x x x
b b
+¥ +¥
=
ò ò
1
khi 1

1
khi >1
( 1)(ln2)
b
b
b
b
-
ì
+¥ £
ï
ï
ï
=
í
ï
ï
-
ï
î
Vậy chuỗi
2
1
(ln )
n
n n
b
¥
=
å

HT khi β>1 và PK khi β≤1
§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
Tiêu chuẩn so sánh 1:
1 1
và
n n
n n
u v
¥ ¥
= =
å å
Cho 2 chuỗi số không âm thỏa
:
n n
p u v n p$ ³ " ³
Khi ấy:
Ghi nhớ: Chuỗi “lớn” HT kéo theo chuỗi “nhỏ” HT và
ngược lại chuỗi “nhỏ” PK kéo theo chuỗi “lớn” PK
§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
1 1
1. HT HT
n n
n n
u v
¥ ¥
= =
Þ
å å
1 1
2. PK PK

n n
n n
v u
¥ ¥
= =
Þ
å å
§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
1
2
3 1
n
n
n
¥
=
+
å
Ta so sánh
2 2
,
3 1 3
n n
n n
n n
u v n= £ = "
+
Vì
1 1 1

2 2 2
,
3 3
3
n
n
n
n
n n n
q q
¥ ¥ ¥
= = =
æö
÷
ç
= = =
÷
ç
÷
ç
è ø
å å å
là chuỗi hội tụ
Suy ra chuỗi đã cho hội tụ
§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
Tiêu chuẩn so sánh 2:
Khi ấy:
§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
1 1
và

n n
n n
u v
¥ ¥
= =
å å
Cho 2 chuỗi số không âm thỏa
lim
n
n
n
u
K
v
®¥
=
1. Nếu K=∞ thì
1 1
HT HT
n n
n n
u v
¥ ¥
= =
Þ
å å
2. Nếu 0<K<∞ thì 2 chuỗi cùng HT hoặc cùng PK
3. Nếu K=0 thì
1 1
HT HT

n n
n n
v u
¥ ¥
= =
Þ
å å
§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
Khi dùng tiêu chuẩn so sánh, thường xuyên ta sẽ so
sánh với 1 trong 2 chuỗi cơ bản sau
Chuỗi cấp số nhân:
0
1
, 1
1
n
n
q q
q
¥
=
= <
-
å
1
n
n
q
¥
=

å
Hội tụ khi |q|<1
Phân kỳ khi |q|≥1
Chuỗi điều hòa :
1
1
n
n
a
¥
=
å
Hội tụ khi α>1
Phân kỳ khi α≤1
§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
2
3
1
2 2
1
n
n n
n n
¥
=
- +
+ +
å
Ta dùng T/c so sánh 2 bằng cách tính khi n→∞

Khi n→∞ thì
2
3
2 2 1
1
n n
n n
u v
n
n n
- +
= =
+ +
:
Tức là
lim 1
n
n
n
u
v
®¥
=
Mà
1 1
1
n
n n
v
n

¥ ¥
= =
=
å å
là chuỗi phân kỳ
(hai chuỗi cùng HT hoặc cùng PK)
Vậy chuỗi đã cho phân kỳ
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
2
3
1
2 2
1
n
n n
n n
¥
=
- +
+ +
å
§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
2
3
1
2 2
1
n
n n

n n
¥
=
- +
+ +
å
§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
2
1
1 1
n
n
n
n
n
¥
=
æ ö
+
÷
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
å
Khi n→∞ thì
2 2

1 1 1
.
n
n n
n
u e v
n
n n
æ ö
+
÷
ç
= =
÷
ç
÷
ç
è ø
:
Mà chuỗi
2
1 1
1
.
n
n n
v e
n
¥ ¥
= =

=
å å
hội tụ
Theo tiêu chuẩn so sánh 2 ta được kết quả: Chuỗi
đã cho HT
§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
1
1 2 1
ln
1 1
n
n
n n
¥
=
æ ö
+
÷
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
- -
å
Ta có :
1 2 1 1 3
ln ln 2(1

1 1 1 2( 1)
n
n
u
n n n n
æ ö
æ ö
+
÷
÷
ç
ç
= = +
÷
÷
ç
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
è ø
- - - -
1 3 ln2 1 3
ln2 ln(1 ) ln(1 )
1 2( 1) 1 1 2( 1)
n
u
n n n n n

æ ö
÷
ç
= + + = + +
÷
ç
÷
ç
è ø
- - - - -
2
1 3 1 3 3
: ln(1+ ) .
1 2( 1) 1 2( 1)
2( 1)
n
n n n n
n
® ¥ =
- - - -
-
:
Do
Nên theo t/c so sánh 2: chuỗi đã cho PK vì nó là tổng
của 2 chuỗi
2 2
ln2 1 3
PK và ln(1 ) HT
1 2 2( 1)
n n

n n n
¥ ¥
= =
+
- - -
å å
§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
1
1
1 sin
n
n
n
a
¥
=
æ ö
÷
ç
-
÷
ç
÷
ç
è ø
å
Khi n→∞ thì
1
0

n
®
Nên ta có thể khai triển Maclaurint hàm
1
sin
n
Vậy khi n→∞ thì
1
1 sin
n
u n
n
a
æ ö
÷
ç
= -
÷
ç
÷
ç
è ø
Mà chuỗi
Nên chuỗi đã cho HT
3 3
1 1 1 1
1 ( )
3!
n O
n

n n
a
æ ö
æ ö
÷
÷
ç
ç
= - - +
÷
÷
ç
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
è ø
2
1
6n
:
2
1
1
6
n
n
¥

=
å
HT
§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
2
3
2
1
ln
1
n
n
n e n
n
n
−
∞
=
− +
 
 ÷
−
 
∑
Khi n →∞ :
2
2
1
0

n
n
e
e
-
= ®
Suy ra
2 2
3 3
1 1
ln( ) ln(1 )
1 1
n n
n
n e n n e
u
n n
n n
- -
- + -
= = +
- -
2
3 3 3
1 1 1
ln(1 )
1
n
n
n e n

u
n n
n n n
-
-
= + =
-
:
Mà chuỗi
3
1
1
n
n
¥
=
å
phân kỳ nên chuỗi đã cho phân kỳ
§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
Xét chuỗi số dương:
Tiêu chuẩn d’Alembert :
Đặt :
•
∃ q < 1: D
n
< q : chuỗi hội tụ
•
D
n
≥ 1 : chuỗi phân kỳ

•
D < 1 : hội tụ
•
D > 1 : phân kỳ
•
D = 1 : không có kết luận
Xét chuỗi số dương:
1
n
n
u
¥
=
å
1n
n
n
u
D
u
+
=
1
lim lim
n
n
n n
n
u
D D

u
+
→∞ →∞
= =
§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
Tiêu chuẩn Cauchy :
Xét chuỗi số dương:
1
n
n
u
¥
=
å
•
∃ q < 1: C
n
< q : chuỗi hội tụ
•
C
n
≥ 1 : chuỗi phân kỳ
Đặt :
•
C < 1 : hội tụ
•
C > 1 : phân kỳ
•
C = 1 : không có kết luận
n

n n
C u=
lim lim
n
n n
n n
C C u
→∞ →∞
= =
§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
Tiêu chuẩn Rapb :
(sử dụng khi D = 1 và D
n
< 1 hoặc C=1 và C
n
<1)
•
R > 1 : hội tụ
•
R < 1 : phân kỳ
•
R = 1 : không có kết luận
Hoặc
1
1
lim
n
n
n
n

n
u
R n
u
R R
+
→∞
 
= −
 ÷
 
=
( )
1
lim
n
n n
n
n
R n u
R R
→∞
= −
=
Đặt