CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN HÀM SỐ

WWW.VNMATH.COM

GIỚI HẠN HÀM SỐ
(Trích tạp chí THTT)
LaTeX:
02/10/2012

Mục lục
0
1 Giới hạn hàm số của dạng vô định
0
0
1.1 Dạng 1: Dạng vô định của hàm phân thức đại số . . . . . . . . . . . . .
0
0
1.2 Dạng 2: Dạng vô định của hàm phân thức chứa căn thức bậc hai . . .
0
0
1.3 Dạng vô dịnh của hàm phân thức chứa căn thức bậc 3 . . . . . . . . . .
0
0
1.4 Dạng 4: Dạng vô định của hàm phân thức chứa căn thức bậc cao . . .
0
0
1.5 Dạng 5: Dạng vô định của hàm phân thức chứa căn thức không cùng
0
bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0
1.6 Dạng 6: Dạng vô định của một hàm hàm số lượng giác . . . . . . . . .
0
0

1.7 Dạng 7: Dạng vô định của hàm số mũ và hàm số logarit . . . . . . . . .
0
1.8 Dạng 8: Áp dụng định nghĩa đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Giới hạn hàm số của dạng
∞
. . .
2.1 Dạng vô dịnh
∞
2.2 Dạng vô định ∞ − ∞
2.3 Dạng vô định 1∞ . . .
2.4 Dạng vô định 0.∞ . .

∞
, ∞ − ∞, 1∞ , 0.∞
∞
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vô định

2
2
2
3
3

3
4
4
5
6

6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6
7
7

3 Một số dạng toán liên quan
3.1 Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm . . . . . . . . . . . . .
3.2 Dạng 2: Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm . . . . . . . . . . . . . . .

7
7
8

1


WWW.VNMATH.COM

1

Giới hạn hàm số của dạng vô định

1.1

Dạng 1: Dạng vô định

0
0

0
của hàm phân thức đại số
0

f (x)
trong đó f (x), g(x) là các hàm đa thức khác 0 nhận x = x0 là nghiệm
g(x)
f (x)
(x − x0 )f1 (x)
f1 (x)
fk (x)
fk (x0 )
Cách giải: Ta có lim
= lim
= lim
= ... = lim
=
. Với
x→x0 g(x)
x→x0 (x − x0 )g1 (x)
x→x0 g1 (x)
x→x0 gk (x)
gk (x0 )
điều kiện fk2 (x0 ) + gk2 (x0 )
x3 + x2 − 2
Thí dụ 1: Tính lim 4

x→1 x − x3 + x2 + x − 2
Bài tập tự luyện
Tìm các giới hạn sau:
2x4 − 5x3 + 3x2 + x − 1
8x3 − 1
a. lim1 2
b. lim
x→1
3x4 − 8x3 + 6x2 − 1
x→ 2 6x − 5x + 1
√
√
2x3 − (4 2 + 1)x2 + (4 + 2 2)x − 2
√
√
c. lim
√
x→ 2 x3 − (2 2 + 1)x2 + (2 + 2 2)x − 2
Tìm lim

x→x0

1.2

0
Dạng 2: Dạng vô định
của hàm phân thức chứa căn thức bậc
0
hai

Tìm lim

x→x0

f (x) − a
trong đó
g(x)

f (x0 ) = a và g(x0 ) = 0

f (x) − a
=
x→x0
g(x)
f (x) − a2
(x − x0 )f1 (x)
f1 (x)
f1 (x0 )
lim
= lim
= lim
=
x→x0 g(x)( f (x) + a)
x→x0 (
2a.g1 (x0 )
f (x) + a)(x − x0 )g1 (x) x→x0 ( f (x) + a)g1 (x)
f (x) − a
f1 (x) − f2 (x)
f1 (x) − f2 (x)
, lim

, lim
Chú ý: Việc tìm các giới hạn lim
x→x0
x→x0
g(x)
g(x) − b x→x0
g1 (x) − g2 (x)
hoàn toàn tương tự. √
x+8−3
Thí dụ 2: Tính lim 2
x→1 x + 2x
√− 3
√
x+ x−1−1
√
Thí dụ 3: Tính lim
x→1
x2 − 1
0
Chú ý: Khi tìm giới hạn hàm phân thức chứa căn bậc 2 dạng đôi khi ta tách thành tổng các
0
phân thức dạng trên rồi nhân lượng liên hợp.
Bài tập tự luyện
Tính các√giới hạn √
sau:
x + 2 − 2x
x−1
√
a. lim √
b. lim √

2
x→2
x→1
x + 3 + x3 − 3x
√ x − 1 − 43 − x 3
2
x − 1 + x − 3x + x + 3
√
c. lim
x→2
2x − 2
Cách giải: Khi đó thực hiện phép nhân biểu thức liên hợp

2

f (x) + a ta được lim


WWW.VNMATH.COM

1.3

Dạng vô dịnh

0
của hàm phân thức chứa căn thức bậc 3
0

f (x) − a
trong đó 3 f (x0 ) = a và g(x0 ) = 0

x→x0
g(x)
Cách giải: Thực hiện phép nhân biểu thức liên hợp 3 f 2 (x) + a 3 f (x) + a2
3
3
f (x) + a
f (x) ± a
; lim 3
Chú ý: Việc tìm các giới hạn dạng lim
;
x→x0
x→x0
g(x)
g(x) ± b
3
3
f (x) ± a
f1 (x) ± 3 f2 (x)
lim
; lim
;
x→x0
g(x) − b x→x0 g1 (x) − g2 (x)
3
f1 (x) ± 3 f2 (x)
lim 3
hoàn toàn tương tự.
x→x0
g1 (x) ± 3 g2 (x)
√

3
1
4x − 2
ĐS:
Thí dụ 4: Tính lim
x→2 √
x−2
3
3
x + x2 + x + 1
Thí dụ 5: Tính lim
x→−1
x+1
Bài tập
tự
luyện:
Tính
các
giới√
hạn sau:
√
√
3
2x − 1 − 3 x
2x − 1 + x2 − 3x + 1
√
b. lim √
a. lim
3
x→1

x→1
x−1
x − 1 + x2 − x + 1
3

Tìm lim

1.4

0
của hàm phân thức chứa căn thức bậc
Dạng 4: Dạng vô định
0
cao
√
n

1 + ax − 1
Dạng thường gặp: Tìm lim
x→0
x
√
tn − 1
n
n
và khi x → 0 thì t → 1
Cách giải: Đặt t = 1 + ax → t = 1 + ax → x =
a
√
n

a
a(t − 1)
1 + ax − 1
Khi đó lim
= lim n
=
x→0
t→1 t − 1
x √
n
5
1 + 5x − 1
Thí dụ 6: Tính lim
x→0
x
Bài tập
tự
luyện:
Tính
các
giới
hạn sau:
√
√
√
4
4
7
2x + 1 − 1
4x − 3 − 1

2−x−1
b. lim
c. lim
a. lim
x→1
x→1
x→0
x
x−1
x−1

1.5

Dạng 5: Dạng vô định

0
của hàm phân thức chứa căn thức không
0

cùng bậc
Cách giải: Thêm và bớt một số hạng thích hợp, tách ra thành hai giới hạn của dạng vô định
0
0

√
√
2 1+x− 38−x
Thí dụ 7: Tính lim
(Hướng dẫn: thêm bớt 2 ở tử số)
x→0 √

x √
1 + 2x − 3 1 + 3x
Thí dụ 8: Tính lim
(Hướng dẫn: thêm bớt 1+x ở tử số)
x→0
x2
Bài tập
tự luyện:√Tính các giới hạn √
sau:
√
√
3
3
8x + 11 − x + 7
1 + x2 − 4 1 − 2x
b. lim
a. lim
x→0
x→2 √ x2 − 3x√
+2
x + x√2
√
3
4
1 + 4x − 1 + 6x
2x − 1 + 5 x − 2
c. lim
d.
lim
x→0

x→1
x2
x−1

3


WWW.VNMATH.COM

√
7

(x2 + 2004) 1 − 2x − 2004
e. lim
x→0
x

√
(x2 + 2001) 9 1 − 5x − 2001
f. lim
x→0
x

1.6

0
của một hàm hàm số lượng giác
0

Dạng 6: Dạng vô định

sin x
=1
x
sin u(x)
x
tan x
Hệ quả: lim
= 1 (nếu lim = 0);
lim
= 1; lim
=1
x→a u(x)
x→a
x→0 sin x
x→0
x
1
Thí dụ 9: Tìm limπ (
− tan x) Làm theo 2 cách
x→ 2 cos x
√
sin x − 3 cos x
Thí dụ 10:Tìm limπ
.
x→ 3
sin 3x
Bài tập tự luyện:
Tính các giới hạn sau:
√

2
√
sin
x
−
1 − cos x. cos 2x
2 .
;
b) limπ
a) lim
2
x→0
x→ 4 tan x − 1
x
√
cos4 x − sin4 x − 1
1 − 3 cos x
√
c) lim
d) lim
x→0
x→0
tan2 x
x2 + 1 − 1
π
√
cos ( cos x)
1 − 2x + 1 + sin x
2
e) lim

g) lim √
x
x→0
x→0
3x + 4 − 2 − x
sin2
2
1 − cos 3x. cos 5x. cos 7x
1 − |1 + sin 3x|
√
h) lim
i) lim
x→0
x→0
sin2 7x
1 − cos x
√
3
1 − cos x. cos 2x
tan x − 1
m) lim
k) limπ
2
x→0
x→ 4 2 sin x − 1
x2
Định lí: lim

x→0

1.7

Dạng 7: Dạng vô định

Định lý: lim

x→∞

1
1+
x

x

= e;

0
của hàm số mũ và hàm số logarit
0
1
lim (1 + x) x = e;

x→∞

1

eax − ebx
x→0
x
π

ln tan
+ ax
4
Thí dụ 12: Tính lim
x→0
sin bx
ln (sin x + cos x)
Thí dụ 13:Tính lim
x→0
x
Bài tập luyện tập :
Tính các giới hạn sau:
esin 2x − esin x
e2x − 1
√
a. lim
;
. lim √
x→0
x→0
sin x
1+x− 1−x
2
2
e3x . cos2 x − 1
3x − cos x
c. lim
;
d. lim
2

x→0
x→0
x
x2
√
3
−2x2
cos x−cos 3x
2
e
− 1+x
e
− cos 2x
e. lim
;
g.
lim
x→0
x→0
ln (1 + x2 )
x2
Thí dụ 11 : Tính lim

4

ln 1 + x
= 1;
x→0
x
lim

ex − 1
=
x→0
x
lim


WWW.VNMATH.COM

1.8

Dạng 8: Áp dụng định nghĩa đạo hàm

f (x) − f (x0 )
x→x0
x − x0
√
(x2 + 2010) 9 1 − 9x − 2010
Thí dụ 14 :Tìm A = lim
x→0
x
√
1 − 2x + 1 + sin x
√
Thí dụ 15 :Tìm B = lim
x→0
3x + 4 − 2
Bài tập tự luyện:
Tính các

giới hạn √
sau:
√
√
4
1 − 2x + 1 + sin x
2x − 1 + 5 x − 2
√
a. lim
;
b. lim
x→1
x→0
x−1
3x + 4 − 2
√
3
esin 2x − esin x
tan x − 1
;
d. limπ
c. lim
2
x→0
x→ 4 2 sin x − 1
sin x
√
2
e−2x − 3 1 + x2
e. lim

x→0
ln (1 + x2 )
Một số bài
√ trong các
√ đề thi
2x − 1 − x
Bài 1: lim
(HVNH-98)
x→1
x√− 1
x3 − 3x − 2
Bài 2: lim
(ĐHQG-98)
x→1 √ x − 1
√
2 1+x− 38−x
(ĐHQG KA-97)
Bài 3: lim
x→0 √
x √
4
2x − 1 + 5 x − 2
(ĐHSP II KA-99)
Bài 4: lim
x→1
x−1
1 − cos2 2x
Bài 5: lim
(ĐH ĐN KD-97)
x→0

x sin x
1 − |1 + sin 3x|
√
Bài 6: lim
(ĐHQG KB 97)
x→0
1 − cos x
2
Bài 7: lim
− cot x (ĐHL-98)
x→0
sin 2x
tan x − sin x
(HVKTQS-97)
Bài 8: lim
x→0
x3
π
cos
cos x
2
Bài 9: lim
(ĐHTN-KA-97)
x
x→0
sin2
2
1 − sin 2x − cos 2x
Bài 10: lim
x→0 1 + sin 2x − cos 2x

tan(a + x). tan(a − x) − tan2 a
Bài 11: lim
(ĐHTN-98)
x→0
x2
98 1 − cos 3x. cos 5x. cos 7x
(ĐHAN KA00)
Bài 12: lim
x→0 83
sin2 7x
√
1 − 2x + 1 + sin x
(ĐHGTVT 98)
Bài 13: lim √
x→0
√ 3x + 4 − 2 − x
1 + x2 − cos x
Bài 14: lim
(ĐHTM-99)
x→0
√ x2
1 − cos x
√ (ĐHHH-97)
Bài 15: lim
x→0 1 − cos x
√
√
1 + tan x − 1 + sin x
Bài 16: lim
(ĐHHH 00)

x→0
x3
sin 2x
sin x
e
−e
Bài 17: lim
(ĐHHH 99)
x→0
sin x
Ta có f (x0 ) = lim

5


WWW.VNMATH.COM
3

2

x +x −2
(ĐHQG KD-99)
x→1 sin(x − 1)
√
2
e−2x − 3 1 + x2
lim
(GTVT 01)
2)
x→0

ln(1
+
x
√
√
2x + 1 − 3 x2 + 1
(ĐHQG-00)
lim
x→0 √
sin√
x
5 − x − 3 x2 + 7
(TCKT-01)
lim
x→1 √
x2 − 1√
1 + 2x − 3 1 + 3x
lim
(ĐH Thủy Lợi -01)
x→0
x2
lim tan 2x. tan π4 − x (ĐHSP II-00)
π
x→
4
2
3x − cos x
(ĐHSP II-00)
lim
x→0

x2
4
cos x − sin4 x − 1
(ĐHHH-01)
lim √
2+1−1
x→0
x
√
√
x+1+ 3x−1
lim
(TK-02)
x→0
x
x6 − 6x + 5
(TK-02)
lim
x→1
(x√
− 1)2
1 − 2x2 + 1
lim
(ĐHBK-01)
x→0
1 − cos x

Bài 18: lim
Bài 19:
Bài 20:

Bài 21:
Bài 22:
Bài 23:

Bài 24:
Bài 25:
Bài 26:
Bài 27:
Bài 28:

2

Giới hạn hàm số của dạng vô định

2.1

Dạng vô dịnh

∞
, ∞ − ∞, 1∞, 0.∞
∞

∞
∞

Cách giải : Để khử dạng vô định

∞
ta thường chia tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của
∞

biến.

√
x+ x
Thí dụ 1 : Tính lim √
x→+∞
x+1
x2 + 2x + 1
√
Thí dụ 2 : Tính lim
x→+∞ x x + 1
Bài tập tự luyện :
Tính các giới hạn:
√
√
√
x+1
x+ 3x+ 4x
√
√ ; b. lim
a. lim √
x→+∞ x x +
x→+∞
x
2x + 1

2.2

Dạng vô định ∞ − ∞

Cách giải: Thực hiện phép nhân liên hợp để khử dạng vô định ∞ − ∞. Đôi khi phải cùng
thêm và bớt một số hạng để tách thành hai giới hạn dạng ∞ − ∞, rồi mới thực hiện phép nhân
liên hợp như trên.
√
Thí dụ 3: Tìm lim ( x2 − 1 − x)
x→+∞
√
√
Thí dụ 4 : Tìm lim ( 3 x3 + 3x2 − x2 − x + 1)
x→+∞

Bài tập tự luyện:
Tìm các giới hạn sau:

6


WWW.VNMATH.COM

√
√
a. lim ( x2 + x + 1 − x2 − x + 1)

√
√
b. lim ( 4x2 + 3x − 1 − 3 8x3 − 5x2 + 3)

x→+∞

2.3

Dạng vô định 1∞
f (x)
g(x)

Tìm lim

x→+∞

Cách giải: Biến đổi
lim

t→+∞

1
1+
t

x

, trong đó lim

x→+∞

f (x)
=1
g(x)

f (x)

1
= 1 + , khi đó x → +∞ ⇔ t → +∞. Đưa về giới hạn cơ bản
g(x)
t

t

=e

Thí dụ 5 : Tìm lim

x→+∞

Bài tập tự luyện:
Tìm các giới hạn:
x
2x + 3
a. lim
x→+∞
2x − 1

2.4

x→+∞

x+3
x+1

x

b. lim

x→+∞

x+3
x−1

x

Dạng vô định 0.∞

Cách giải: Biến đổi đưa về dạng

0
∞
hoặc
0
∞

0
x
) Tìm lim + (x3 + 1)
2
x→−1
0
x −1
∞
x+1
Tìm lim (x − 2)
Thí dụ 7: (Đưa về dạng

x→+∞
∞
x3 − x
Bài tập tự luyện:
Tìm các giới hạn:
x
x−1 √
x+2
a. lim+ (x2 − 16)
b. lim 3
3
x→+∞ x + 5
x→4
x − 64

Thí dụ 6: (Đưa về dạng

3

Một số dạng toán liên quan

3.1

Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm

Cách giải (Sử dụng định nghĩa)
• Hàm số y = f (x) liên tục tại điểm x = x0 khi và chỉ khi lim f (x) = f (x0 )
x→x0

• Đôi khi ta phải sử dụng đến tính liên tục từng phía tại điểm x = x0 . Hàm số y = f (x) liên

tục tại điểm x = x0 khi và chỉ khi lim+ f (x) = lim− f (x) = f (x0 ).
x→x0

x→x0

Thí dụ8: √
Tìm a để √
hàm số sau liên tục tại điểm x = 1 :
 3 x − 2 + 2x − 1
khi x = 1
f (x) =
x
−
1
 a
khi x = 1
x
e
khi x < 0
Thí dụ 9: Cho f (x) =
Hãy tìm a sao cho hàm số f (x) liên tục.
a + x khi x ≥ 0
Bài tập tự luyện:
Tìm m để hàm số f (x) liên tục:
7


WWW.VNMATH.COM

 tan x − 3 cot x khi x = π

3x − π
3
a. f (x) =
π
 m
khi x =
3
x
e
khi x < 1
b. f (x) =
mx − 1 khi x ≥ 1

3.2

Dạng 2: Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm

Cách giải: Sử dụng định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm
Thí dụ 10:Tính đạo hàm của hàm số sau tại điểm x = 0:
 etan x−sin x − 1
khi x = 0
2
y = f (x) =
x
 0
khi x = 0
Bài tập tự luyện:
ln (cos 2x)
khi x = 0
1. Tính đạo hàm của hàm số sau tại điểm x = 0: y = f (x) =

sin x
0
khi x = 0
2
x
khi x ≤ 1
2. Cho hàm số y = f (x) =
ax + b khi x > 1
Tìm a, b để f (x) có đạo hàm tại điểm x = 1
x2 − 2|x + 3|
liên tục tại x = −3 nhưng không có đạo hàm tại
3. Chứng minh rằng hàm số y =
3x − 1
điểm này.
—————– Hết ——————–

8