Phương pháp phần tử hữu hạn lý thuyết và lập trình tập 1 nguyễn quốc bảo, trần nhất dũng

NGUYỄN QUỐC BẢO
TRẦN NHẤT DŨNG


NGUYỄN QUỐC BẢO - TRẤN NHÂT DŨNG
Biên soạn

TẬP HAI
(In lần thứ hai có điếu chỉnh và bổ sung)

ar Dùng cho sinh viên, học vién cao học, nghiên cứu sinh chuyên ngành cơ, kỹ
thuật thuộc khối ngành xây dựng, kiên trúc, giao thông, thuỷ lợi, mỏ địa chất...
Thích họp cho mọi doi tuợng quan tám đèn lý thuyết và kỹ thuật lập trình với
phấn tử hữu hạn.

NHÀ XUẤT BẢN KHOA HỌC VÀ KỸ THUẬT
HÀ NỘI


Phương pháp phấn tứ hữu hạn (PP PTHH) là một phương pháp tính đã được hình thành và
phát triển trong vòng vài chục năm trở lại dãy, nhưng do yêu cấu tính toán của một bài toán
thực tế thường dõi hỏi một khôi lượng tính toán rất lớn, do vậy việc ứng dụng pp PTHH
trước đày gặp không ít khó khăn. Chỉ cho đến khi có sự xuất hiện cùa các máy tính cá nhãn
(PC) cùng vói những tiến bộ to lớn của cóng nghệ thông tin trong những năm gần dãy mới
thật sự cho phép phương pháp tính này được ứng dụng một cách phổ biến và rộng rãi. Cùng
với việc tính giải các dại lượng cơ học của két Cấu như biên dạng; ứng suất; chuyên v ị... pp
PTHH còn là cơ sở của lỉnh vực mò phỏng hoá trong các bài toán thiết kế. Thòng qua sự
phát triến cùa kỹ thuật đố hoạ trẽn máy tính người ta có thế mó phỏng hoá các hoạt dộng của
két cấu; giá định vô sô các phương án tính toán dể từ dó chọn lựa giải pháp tối ưu. Điéu này
cho phép giám chi phí và thòi gian thực hiện các thí nghiệm theo phương pháp truyền thống.
Cùng với sụ tiến bộ cùa khoa học kỹ thuật máy tính dã trở thành một bộ phận quen thuộc và

không thể thiêu trong các hoạt dộng nghiên cứu cũng như ứng dụng thực tiễn. Theo dó,
cũng ngày càng xuất hiện nhiều hơn các chương trình tính toán sử dụng p p PTHH với phạm
vi ứng dung ngày càng phong phú và da dọng : tính toán kết cấu; tính toán nhiệt; tính
tuổi thọ công trình; m ô phỏng; tối Uli hoá .v.v. Đối với thục té ở Việt Nam pp PTHH
cũng đã từng được nghiên cứu và ứng dụng khoảng vài chục năm trở lại đày với sô lượng
người tham gia nghiên cứu ngày càng tăng nhanh, phạm vi ứng dụng ngày càng phong phú,
da dạng.
Đế dáp ứng nhu cầu học tập và nghiên cứu pp PTHH - nắm bắt các khía cạnh, cót lõi cùa
nó theo một trình tự LOGIC và tạo diều kiện cho bạn dọc có the vận dụng nó dể lập trình tìm
lời giải cho một bài toán cụ thè, chúng tói dã cô gắng tìm hiểu và biên soạn tài liệu này. Đáy
là tài liệu được biên soạn chủ yếu phục vụ các đỏi tượng nghiên cứu là sinh viên, kỹ su
thuộc các ngành cơ kỹ thuật, kết càu công trình, cơ khí, giao thõng, thuỷ lợi, mỏ địa chát...
Ngoài ra sách cũng hỗ trợ rất tốt cho các dối tượng là nghiên cứu sinh, học viên cao học,
thuộc khói Kỹ thuật công trình và Cơ kỹ thuật - Là các dối tượng dã dược trang bị tốt các


MỤC LỤC

4

kiến thức vé lý thuyết ma trận, vê đại sô tuyến tính và tin học đại cương. Đày là một cuốn
sách được trình bày theo kiêu giáo trình với các diẻn giải lý thuyết cô dọng vò dẻ hiểu, có
phần ví dụ minh hoạ và giải thuật dê người dọc có thè vận dụng.
Toàn bộ nội dung sách dược trình bày trong tông so 12 chương, xuất bản thành 2 tập.
Táo 1 : gôm 7 chương trong đó 5 chương đáu dành cho việc nghiên cứu các lý thuyết
chung của p p PTHH. Chương 6 là cấu trúc và giãi thuật của một chương trình tính
minh hoạ. Chương 7 trình bày các lý thuyết tính giải bài toán thanh phắng (2D) và
thanh không gian (3D).
Táp 2 : gồm 5 chương trình bày các dạng bài toán diến hình của p p PTHH : bài toán
phẳng; bài toán ứng suất 3 chiểu; tấm chịu uốn; bài toán két cấu vỏ V.V.. VÀ cuối

cùng là phần mã nguồn của toàn bộ chương trình tính theo các lý thuyết đã trình bày
trong các chương trước.
Đẻ tiện cho bạn đạc trong quá trình tìm hiểu sách và liên hệ vận dụng lập trình trên máy
tính, trong toàn bộ sách này hệ thống các ký hiệu, quy ước vê hệ toạ độ; vé ma trận; vế vectơ
V.V.. dược trình bày theo đúng "chuẩn" của cơ học kết cấu (ví dụ: { A } - là vectơA; Ị K ] - là
ma trận K). Riêng phần thè hiện dấu phảy động, thống nhất trong toàn bộ tài liệu được thể
hiện theo chuẩn Anh - Mỹ, nghĩa là sử dụng dấu chấm ( . ) thay cho dâu phảy ( , ). Cách thê
hiện này chủ yếu tạo tính tiện dụng khi liên hệ lập trình và đói chiếu kết quá trên PC, vì hiện
nay cách thê hiện sô thực trẽn hầu hết các máy tính vẩn là lôi thê hiện kiêu Anh - Mỹ (ví dụ:
viết theo kiêu Việt Nam thi sô Pi có trị số như sau Pi=3,14159265; còn viết theo kiểu Anh Mỹ thì Pi=3.14159265).
Sau lấn xuất bàn thứ nhất, năm 2003, sách dã dược dộc già gần xa nống nhiệt dốn nhận và
cổ vũ. Sách cũng dã chính thức dược nhiêu trương dại học trong cà nước chọn làm tài liệu
giảng dạy môn học PTHH. Đáp lại sự yêu mến và động viên cùa dọc giả, chúng tôi cho tái
bản 02 tập sách này. Trong lần xuất bán này chúng tôi có hiệu chỉnh và bổ sung một sô
thông tin cho phù hợp với sự phát triển cùa cóng nghệ thông tin những năm gấn đáy. Hy
vọng là các nội dung thông tin trong 02 tập sách này vẩn là món quà hữu ích cho các dọc
giả.
Tuy nhiên do kiến thức có hạn, nội dung cấn trình bày quá rộng lớn và phức tạp, chắc chắn
ngay cả lấn xuất bàn này cũng sẽ không thé tránh khỏi các thiếu sót đáng tiếc, xin dược
thông cảm và rất mong nhặn dược các ý kiến đóng góp xáy dựng của bạn đọc gán xa.

NGƯỜI BIÊN SOẠN


PHƯƠNG PHÁP PTHH - LÝ THUYẾT VÀ LẬP TRÌNH

5

MỤC LỤC
Trang

Lời nói đẩu

3

Chương 8 : Bài toán phẳng
8.1. Các phấn tử tam giác
8.2. Phấn tử chữ nhật
8.3. Phấn tử đóng tham số
8.4. Mô hình chuyển vị không tương thích
8.5. Phép kiểm định "Patch''
8.6. Phần tử bêtông cốt thép
8.7. Phần tử đối xứng trục
8.8. Thủ tục Plane
8.9. Ví dụ'

7
7
14
20
25
33
34
36
40
44

Chương 9 : Phản tích ứng suất 3 chiếu
9.1. Phán tử 3 chiéu
9.2. Phần tử dóng tham số 8 nút
9.3. Phần tử dóng tham số 20 nút

9.4. Tính chất của các mặt phần tử
9.5. Vectơ tải trọng phần tử
9.6. Tính ứng suất phắn tử
9.7. Thủ tục THREDS
9.8. Các ví dụ tính

49
50
54
64
66
68
72
75
80

Chương 10 : Phản tích tâm chịu uốn
10.1. Lý thuyết cơ bản của tấm uốn
10.2. Các hàm chuyển vị
10.3. Các phần tử tấm chịu uốn
10.4. Biến dạng trượt trong tấm
10.5. Phán tử đống tham số 4 nút
10.6. Phần tử đổng tham số 8 nút (PLATE8)
10.7. Chương trinh con PLATE
10.8. Các ví dụ

87
87
91
91

96
103
113
119
123

Chương 11 : Kết cấu vỏ
11.1. Khái niệm vé kết cấu vỏ
11.2. Tổng quan phần tử vỏ
11.3. Phấn tử vỏ giảm bậc song tuyến tính
11.3.1. Hàm dáng cho hình học và chuyển vị
11.3.2. Ma trận chuyển vị nút - biến dạng

131
131
133
134
135
140


MỤC LỤC

6

11.3.3. Ma trận chuyển vị nút - ứng suất
11.3.4. Ma trận độ cứng phần tử
11.3.5. Đô cứng chống xoắn
11.3.6. Vec tơ tải trọng phán tử
11.4. Phần tử vỏ 8 nút

11.5. Chương trình con SHELL
11.6 Ví dụ

147
149
151
153
155
163
168

Chương 12 : Phẩn mềm phân tích phần tử hữu hạn
12.1. Nhập và xuất số liệu
12.2. Tổng quan phần mém phân tích PTHH
12.3. Chương trinh nguổn PASSFEM

171
171
173
176

Tài liệu tham khảo

263


Như đã trình bày trong chương 2, khi thoả mãn một số các điều kiện đơn giản hoá, các bài
toán phân tích kết cấu 3 chiều tổng quát có thể quy về bài toán phảng như bài toán ứng suất
phảng, biến dạng phăng v.v... Trong chương 3 cũng đã dẫn ra phần tử tam giác biến dạng
không đổi (tam giác 3 nút), phẩn tử chữ nhật 4 nút nhàm phân tích các loại kết cấu phẳng

này. Trong chương này chúng ta sẽ nhắc lại ngắn gọn các phần tử đã trình bày trên, đồng
thời dẫn ra công thức phần tử hữu hạn cho các phần tứ tam giác bậc cao và phần tử đồng
tham sô.
Các bước xây dựng công thức phần tử hữu hạn đê phàn tích bài toán ứng suất phảng và biến
dạng phăng có thê dược mớ rộng dễ dàng đê phân tích bài toán vật thê đỏi xứng chịu tải
trong đôi xứng. Điều đó đươc minh hoa qua các bước xây dưng tính chất phần tử cho phần tử
đồng tham số 4 nút. Ngoài những nội dung cơ bản bàn về xây dựng tính chất phần tử để giải
các bài toán phảng, trong chương này còn đề cập đến kiểm định Patch và phần tử bétông cốt
thép. Kết quả phân tích lý thuyết được thê hiện lập trinh trong hai chương trình con. Chương
trình con CST cho phần tứ tam giác phảng 3 nút và chương trình con PSQR4 cho phần tứ tứ
giác đồng tham sô' 4 nút. Cà hai chương trình con trên đều được đưa vào trong thư viện phần
tử của PASSFEM.

8.1.

CÁC PHẦN TỬ TAM GIÁC

Các phẩn tử tam giác có ưu điểm là đơn giản trong quá trình xây dựng tính chất phần tử và
thê hiện trong lập trình, v ề sứ dụng, loại phần tứ này cũng tỏ ra thích hợp khi nghiên cứu


8

BÀI TOÁN PHẲNG

các vùng tập trung ứng suất và các bài toán có biên phức tạp. Dưới đây ta xét hai loại phần
từ tam giác là tam giác biến dạng không đổi và tam giác biến dạng tuyến tính.
8.1.1.

Tam giác biến dạng không dổi (CST)

Trên hình 8.1 minh hoạ phần tử tam giác 3 nút. Đặt mặt phảng phần từ vào hộ toạ độ
Descartes tổng quát Oxy. Phần tử có 3 nút, mỗi nút có hai thông số chuyển vị. Chuyển vị u

dọc trục

X

và chuyển vị

V

dọc trục y. Hàm dáng của phần tử trong hệ toạ độ tự nhiên

đã

được

dẫn ra theo công thức (3.39). Tính chất phần từ cũng nhận được theo các cỏng thức (3.85),
(3.90) và (3.105) trong chương 3. Do hàm dáng được xây dựng từ nội suy tuyến tính chuyển
vị cùa điểm bất kỳ trong phần tử theo toạ độ nên biến dạng và ứng suất là khống đổi trong
toàn phần tử và phần tử tam giác 3 nút còn được gọi là phần tứ tam giác biến dạng không
đổi. Đây là phần tử đơn giản nhất trong xây dựng tính chất phần tử cũng như trong thể hiện
lập trình.
8.1.2.

Phẩn tử tam giác biến dạng tuyến tính ( LST)

Phần từ tam giác biến dạng tuyến tính là phần từ tam giác 6 nút, 3 nút chính đặt tại 3 đỉnh
cùa tam giác và 3 nút phụ đạt tại 3 điểm giữa của 3 cạnh như chi ra trên hình 8.2. Chuyên vị

tại mỗi diêm bất kỳ trong phần tử được xấp xí bậc hai theo toạ độ. Từ xấp xỉ trên dẫn ra
được hàm dáng theo các công thức (3.46) và (3.47).

Ạy

u2

->
Hình 8.1 - Phần tửCST.

Hình 8.2 - Phần tử LST.


PHƯƠNG PHÁP PTHH - LÝ THUYẾT VÀ LẬP TRÌNH

m

1'

- H «

w

9

( 8.

{0}r

1)

l> r

trong đó:
{A ự ‘ = [ L ,(2 L ,-1 )

và:

{
L2(2Lz- ỉ )
m2

«,

L ,(2L ,-1)

4L ,L 2

u4 us u6 V, v2 V, v4

4L 2L ,

4L,L, ]

V, v j

Việc tính ma trận độ cứng theo công thức (3.97a) cho phần tử tam giác biến dạng tuyến tính
khá phức tạp nên ít được sử dụng. Trong thực hành thường sừ dụng phương pháp do Felippa
để xuất.

Tư tưởng thù tục của Felippa cũng khá đơn giản. Biến dạng tại mỗi điểm trong phần tử được
biểu diễn như các thành phần dạo hàm của chuyển vị theo các phương trình cỏsi (Cauchy).
Như vậy nếu các thông số chuyển vị được nội suy bậc hai theo toạ độ thì biến dạng tại mỏi
điểm tương ứng sẽ có quan hệ bậc nhất với toạ độ. Để nội suy bậc hai cho chuyển vị ta cần 6
nút, đê nội suy bậc nhất cho biến dạng ta chi cần 3 nút là dù. Trên cơ sở lập luận này,
Felippa đặt vấn để nội suy biến dạng và ứng suất tại mỗi điểm trong phần tử theo các thông
sô tương ứng tại 3 nút chính. Đạt biểu thức nội suy cho biến dạng và ứng suất dưới dạng:
{£} = [N*\{en}

(8.2a)

{<7} = [
(8.2b)

Trong hai công thức trên chí số n chi các thông số tại nút. Nếu vật liệu là đồng nhất và đẳng
hướng trong toàn phần tử thì hai hàm dáng lA^] và INcl sẽ dồng nhất với nhau. Mạt khác
như đã biết trong chương 3, các giá trị biến dạng tại nút có thể biêu diễn thông qua các
thông số chuyển vị nút nhờ ma trận chuyên vị nút - biến dạng [B„] theo công thức (3.9).
{*„} = |fi„) {d }

(8.3)

ứng suất tại mỗi điểm biểu diễn qua biến dạng, như đã biết qua ma trận vật liệu:

{ơ„} = [C J {en}

(8.4)

Với các quan hệ trên, năng lượng biến dạng trong phần tử có thể biểu diễn như sau:

v =\ JJJ, Mr =\ k Y k r k ]k,}

(8.5a)


BÀI TOÁN PHẲNG

10

Thay (8.2) và (8.3) vào ta được:
u = \ w

{*. ìr fff, K r [ N . ][c, ][«. ] { d ) d v

(8.5b)

Từ đó suy ra công thức ma trận độ cứng:
(8.6a)

I* ] = Ifin]r[ữ )[C J[fi„]

trong đó: ma trận \D\ có dạng tích phân:
[ o H J J > . ] rK

(8.6b)

K

Tích phân phương trình (8.6b) là dễ hơn nhiều so với tích phân phương trình (3.97a) [chương

3) do hàm dưới dấu tích phân là đơn giản hơn.
Quan hệ chuyển vị nút-biến dạng đối với phần tử LST được dẫn ra tương tự như đối với phần
tử CST ở mục (3.6). Quan hệ này có thê biểu diễn như sau:
M r

Mr

w

w r

'K IỊ

Ík í

=[*M

(8.7)

.

K ìr w r
fr
trong đó:

■£y

•

7*.

{BxỴ = ^ r [ ( * L x- \ ) b x

{4L* ~ ỉ)bĩ

4(Libĩ + Lĩb} )
í^ r

2A

4( M , + W

(8.8a)

4(Libì + Lịb{) ]

(4 I2- l) a 2
4 (L 3a 2 + I 2a 3)

(4^3-1)^3

(4 I3 - l) a 3

4( V . + L . a , )

(8.8b)

4 (L ,fl3 + ¿3«,) ]

Vectơ biến dạng nút bao gồm 9 thành phần là:

u„}r = [£„ el2 £z, £„ £,2 £,,

ỵxy,

ỵXf2 Yx,y\

( 8 .9 )


PHƯƠNG PHÁP PTHH - LÝ THUYẾT VÀ LẬP TRÌNH

[f i j

[0]

[»]

k ,ì =

( 8.

[à j M

k ,I

(rong đó:

11

U

10)

i

k (]= T 7

36,

- * 2

- * 3

4*2

- 6 ,

3 62

- * 3

46,

- * ,

- * 2

2A
3«,

3 ¿>3

0

0

4*3
4*2

4*3

(8.1 la)

0
46,

1_

-« 3

4« 2

0

4 f lj'

3*2

-« 3

4«,

4 « ,

0

-« 2

3« 3

0

4«2

(8.1 lb)

4 fl,_

Vectơ ứng suất nút cũng bao gồm 9 thành phần:
í ơ „ì

— [ ơ xl

ơ x2

Ơ IĨ

ơ v.

ơ yl

'y.l

Trv2 ^xy.li

‘■xvl

( 8.

12)

Trong trường hợp vật liệu là đồng nhất trên toàn phần tử, biến thiên tuyến tính của biến
dạng và ứng suất tại mỗi điểm trong phần tử có thể nội suy theo hàm nội suy dạng ma trận
sau:
> , r

{«tr

W'

í»ìr

k ,r

ì»ìr

(or

k r

k l= K ] =

> r
trong đó :

Lt

(V,)r = [í.,

(8.13a)

L,

(8.13b)

Đôi với bài toán hai chiểu, ma trận vật liệu [C] có dạng :
Cu

c \2

c ,3

Cu

c 22

C 23

Cu

Cn

C 33

Giá trị tại nút của ma trận vật liệu [Cn] có thể tính như sau:

c„[/] c,,[/]<-„[/]
c„[/] cn[/]c„[/]
c„[/] c j/]
trong đó: Ị / ] là ma trận đơn vị kích thước 3 x 3 .

(8.14)


BÀI TOÁN PHÀNG

12

Trong trường hợp chiểu dày phần tử là khỏng đổi và có giá trị h . Tích phân khối tính ma
trận ỊD] trong công thức (8.6b) có thể chuyên về tích phân diện và công thức tính ma trận
[D] có thể tính theo trình tự sau:

[f]= ịịl [N.Ĩ\N.ỳv =A-í{,[vJ [A’Ji4
M

[0]

[0 ] ]

( 8 .I5a)

[0 [ậ,l [«]
. [0]

[0]

[» ,] !
(8 .15b)

Trong đó :
Sử dụng cống thức (3.24), ta có kết quả tích phân tính ma trận [£>|] :

A.h
k l=

12

2

1

1

1

2

1

1

1

2

(8.16)

Đến đây các ma trận thành phần trong biêu thức tính ma trận độ cứng [/cml theo công thức
(8.6a) là hoàn toàn xác định. Thù tục tính ma trận độ cứng phần tử ỊẤím] chi còn là nhân liên
tiếp 4 ma trận:
[ k j = [fln] ' . Ị D U C n).[fln]
Ma trận [fln| được tính bằng cách thay các giá trị cùa |finl| và |fin2) từ (8.1 1a) và (8.1 1b) vào
(8.10). Ma trận [ C J được tính theo (8.14). Đế tính ma trận [D], trước hết ta tính ma trận
[D|l theo (8.16) sau đó thay vào (8.15a). Cuối cùng nhan liên tiếp 4 ma trân trên đê tính

[AJ.
8.1.3.

Tính vectơ tải nút

Tải trọng nút nảy sinh từ các thành phần lực khối và lực diện cho phần tử tam giác biến dạng
không đổi đã được dẫn ra trong mục 3.7.1. Dưới đay ta xét tài trọng nút cho phần từ LST.


PHƯƠNG PHÁP PTHH - LÝ THUYẾT VÀ LẬP TRÌNH

13

3

Hình 8.3 • Tính vectơ tải nút cho phấn tử LST.

Xét phần tử LST chịu lực diện tác dụng lên cạnh chứa các nút 1-4-2 theo phương trục X như
minh hoạ trên hình 8.3. Biến thiên của tải trọng giả sử là bậc hai và được xấp xỉ bằng hàm
nội suy sau :
Xi

o
xl

p , = [ i , ( 2 A , - 1 ) L ,{2 L , - 1 )

(8.17)

ự x<

Vectơ tải trọng nút cho theo công thức (3.92) có thể tách thành hai thành phần, một theo
hướng trục

X

và một theo hướng trục

y

như sau.
(8.18)

Trong ví dụ minh hoạ này, áp lực diện chỉ tác dụng theo hướng trục

X,

nghĩa là thành.phần

{Qy\ - 0- Ký hiệu p x là lực trên một đơn vị dài ta có:

«2x> = I [N\)PldS

(8.19)

Tích phân diện trên chuyển thành tích phân dường lấy dọc theo cạnh 3, cạnh chứa các nút
(1-4-2) của tam giác. Ta có:


BÀI TOÁN PHẲNG

14

¿ ,(2 L ,- 1)
¿ 2(2L2- 1)

te H

¿3(2 ¿ 3 - 1)
[ ¿ , ( 2 1 , - 1 ) ¿ 2(2L2 - 1 )
41,¿ 2

4 ¿ . ¿ 2} Px2 <«3

( 8. 20 )

p A*4

4 ¿>¿3
4l a
Ta có nhận xét là dọc theo cạnh 3 này: ¿3 = 0; ¿ 2 = 1-L,
Và
Thay các biểu thức trên vào công thức (8.20) ta có :

(1 - L .X 1 -2 L ,)
Pv,

0
0

41,(1-/,)

[¿,(2L,-1) (1-L,)(1-2L,) 4L,(1-L,)]< Pxl •r/L,

(

8 . 21 )

(

8 . 22 )

Px4

0
0
Sau khi tích phân ta được:

2

Qx>'
Qx2 1 = —

15

<2*4.

1
2
1

1

Px\

2

1

1

8 .Px4.

Các thành phần khác của {(?,} nghĩa là Qxĩ

Pxl

QxS

Qr6 bằng 0 khi không có ngoại lực tác

dụng trên hai cạnh còn lại.

8.2. PHẦN TỬ CHỮ NHẬT
Phần từ chữ nhật thường được sử dụng trong phân tích ứng suất các bài toán có biên thẳng
như các bài toán dạng dầm, tấm. Ưu điểm cơ bản của phần tử này là tính đơn giản trong quá
trình xây dựng tính chất phần tử cũng như khi thê hiện trong lập trình. Cũng có thể coi việc


PHƯƠNG PHÁP P T H H - LÝ THUYẾT VÀ LẬP TRÌNH

15

xem xét phần tử này như quá trình chuẩn bị kiến thức để xem xét các phần tử phức tạp hơn.
Dưới đây ta xét phần tử chữ nhật 4 nút ( ký hiệu PSR4) và phần tử chữ nhật 8 nút ( PSR8).

8.2.1.

Phấn tử chữ nhật 4 nút - PSR4
v4

4 . ------ ► a«_____________ 3
. s

r

Vị

«1

ị
r

a

II

°

2

Hình 8.4 • Phấn tử chữ nhật 4 nút PSR4.

Phần tử chữ nhật như minh hoạ trên hình 8.4 có 4 nút. Phần tử này có thể sứ dụng trong
nhiều bài toán khác nhau. Khi được dùng để nghiên cứu các bài toán ứng suất phẳng và biến
dạng phảng có thể ký hiệu phần tử này là PSR4. Hệ toạ độ tự nhiên của phần từ được chọn
theo công thức (3.48). Trong hệ trục tự nhiên xác định này, hàm dáng cho phần tử được cho
bàng Cổng thức (3 52) và (3.53). Nhir dã trình bày trong mục 4 2, các cổng thức này có thể
sắp xếp như sau:

u,
B M

'N i

0

0
Nx 0

0
^2

^3
0

0
*3

^4 0 "
0 * 4 . H»
M.
l v4

(8.23a)


BÀI TOÁN PHĂNG

16

\ĩ _ ( l + r ) ( J + s )

(l-r )(l-s )
4

trong đó:

,,

_ ( 1 + '•)(!-*)
4

2

)

"

N4.s = a s .t ủ

j

(8.23M

Theo các thành phần hàm dáng đã cho trên, chuyên vị dọc theo mỗi cạnh sẽ biến thiên tuyến
tính và chuyển vị trong phần tử biến thiên song tuyến tính. Để xây dựng tính chất phần tử
cần phải sử dụng mối liên hệ đạo hàm của hàm f bất kỳ trong hai hệ toạ độ tự nhiên và
Descartes tổng quát (8.24)

âx

và

a dr

õy

(8.24)

b âs

Áp dụng công thức (8.24), ma trận chuyển vị nút biến dạng [B] có dạng:
M = [ £ ] { rfì

1-5
a
0
ỉ-r
b
và

{dỴ = [liị

với

0
1- r
b
1- 5
a
vì

1-5
a

0
1+ r
b
u2

1+5
a

0
ỉ +r
b
1- 5
a
v2

1+ r
b
1+ 5
a

0
1+ r
b
v3

«3

1+5
a

0

1-r
b
1+ 5
a

0
1- r
b
u4

0

m4]

(8.25b)

Trong trường hợp phần tử có chiểu dày không đổi và mọi thông só biến dạng và ứng suất
không thay đổi theo chiểu dày phần tử, tích phân khối tính ma trận độ cứng được chuyển vể
tích phân diện :
[*] = h.\\[B]T[C)[B\ dA

Thay dA = a.b drds ta có :

I +1

[k] = a.b./iỊ J [ f l] r [c][B\ir.ds
-1 -1

(8.26)


PHƯƠNG PHÁP PTHH - LÝ THUYẾT VÀ LẬP TRÌNH

8.2.2.

17

Tính vectơ tải nút

Vectơ tải nút tính cho các thành phần lực diện tác dụng trên các cạnh của phần tử có thể tính
theo các biểu thức tổng quát đã trinh bày trong mục 8.1 cho phần tử LST. Hình 8.5 minh hoạ
phần tử chữ nhật chịu lực diện biến thiên tuyến tính riêng trên cạnh 2.3 với cường độ trên
đơn vị dài px2 và p x, tại các nút 2 và 3 tương ứng.
y

>

x

Hình 8.5 - Phẩn tử PSR4 chịu lực diện.

Tại mồi diếnl bất kỳ trên cạnh 2.3 , cường độ lực diện có thể biểu diẻn t

ICO

ham nôi su> như

sau :

(8.27)
Yeutơ tai nong nút dược tính theo công thức chung :

(8.28)
dọc theo cạnh 2.3 X - I do đó :
0
(1 -5 )
(1 + * )
0
o p m p ẸmmmmmmmmM
♦I
Do ịí/Sị = 2b và ds¡= 2bds, thay vào (8.27) và (8.28) ta được :
-I

(8.29)


BÀI TOÁN PHÀNG

18

0

0
1-5
• [ (1- s) (l + s ) ] | / , ' ! | * = ~
t e , } - £4 J
j
ÌP ..1
3

-1 1 + 5
0

8.2.3.

2Px2 + Pxi

(8.30)

Pxĩ + 2 p xì
0

Phần tử chữ nhật 8 nút PSR8

Đê cải thiện phần từ chữ nhật 4 nút đã trình bày trên, sao cho biến thiên chuyển vị trên mỗi
cạnh có thể đạt tới bậc 2, ta đặt thêm vào giữa mỗi cạnh một nút như chỉ ra trên hình (8.6).
Kết quả ta được phần tử chữ nhật 8 nút ký hiệu PSR8. Hàm dáng cho biến thiên chuyên vị
của phần tử này được cho theo công thức (3.59) và (3.60). Xếp vectơ chuyển vị nút theo thứ
tự nút, với nút lần lượt theo các thông sô' chuyển vị UịVị (i = l 4- 8), ta có hàm dáng và quan
hệ chuyển vị nút - chuyển vị:

o

:

--301

*

.•

•

(8.30a)

"8
.v8.
nghĩa là :

{«} = \N].{d}

(8.30b)

troiig dó: mỗi thành phần của hàm dáng iY,(i = l 4 8) được xác định theo cỏng thức (3.59a).
Ma trận [5] trong quan hệ chuyển vị nút - biên dạng:
{*} = \B).{d)
đưcrc tính theo các đạo hàm hàm dáng:


PHƯƠNG PHÁP PTHH - LÝ THUYẾT VÀ LẬP TRÌNH

ỞN,
âx

ÕNX
0
âx
âNt

ỚN.

ôx

0

âN2

0

19

ỚN.
õx

0

âNì
ây

0 dN'
ây
ày
dy
Õ N XÕNXÕN2 â N 2 â N , â N , d N x â N x
ây âx à y âx
. ày õx ây õx
0

M -

âNs

õx

0

0

âN>
âx

0

0

ỞN,
âx

0

àỉv 8
âx

(8.31)

0

âNb
âN7
àNt
âN’ 0
0

0
ây
ây
ày
ây
âN, â N s â N b â N b â N n â N 7 âN â N t
ây õx
ây
dx
âx
õy
õx
ày
0

Các đạo hàm cùa hàm dáng trong công thức trên được tính lần lượt theo các công thức sau:
= (1 - s)(2r + s)/4a

âN
— = (1 - s)(2r - s)/4a
õx

â N ± = (ỉ + s)(2r + s)/4a

ÕN
= (1 + s)(2r - s ) / 4 a
õx

ỚNX

õx
âx

ỞN5

õx
dN j_

âx
âN t

= -(1 - s ) r / a

^ - = ( l - s 2)/2 a

= -(1 + s ) r / a

3tỉ ' = (1 s ' ) H a
ơX

= (1 - s)(2r + s)/4b

ày
dN ì

= (1 + r)(2s + r)/4b

ày
ÕN,

ày

âN

— =(1 + s ) ( 2 s - r ) / 4 ố

ày
ÕN
4 =( 1
ây

r)(2s

= - ( ì - r 1)/2b

â N * = (l + r)s/ b
ày

= ạ - r 2)/2b

Ẽ£± = -ạ -r)s /b
ày

ày
ỔN,

ỡx

r)/4b

V

(8.32)


BÀI TOÁN PHANG

20

Trong trường hợp phần từ có chiểu dày h không đổi, ma trận độ cứng phần tử được tính theo
công thức chung:

[k]=ablíỊ+i j ' w [c][B]drds

( 8. 33)

Tích phân trên được tính theo thù tục cầu phương Gauss đã được trình bày trong chương 4.
Trong trường hợp này thường sử dụng sơ đồ cầu phương 2x2 điểm

Hình 8.6 - Phần tử chữ nhật 8 nút PSR8.

8.3.

PHẨN TỬ Đ Ổ N G TH A M SỐ

Như đã trình bày trong chương 4, phần từ đồng tham số được sử dụl g rộng rãi trong thực
hành do tính chất tổng quát của phần tử trong cách tiếp cận và tính thuận lợi trong tổ chút I
lập trình. \4| sử dụng, phần tử đổng tham số đăc biệt thuận lợi để phân tích các bài toán có
biên phức tạp. Dưới đây dẫn ra hai phần tử đồng tham số PSQ4 và psọx cho phan tích bìu
toán phảng.B

8 3.1

Phần tử đổng

tham Số 4 nút PSQ4

VỚI phán tử này, lý thuyết tiếp cận và thù tục cầu phương Gauss tính ma trận độ cứng [/c,„]
dã dược tnnh bày trong chương 4. Cả hai nội dung trên đếu thíchiiợp VỚI lập trình nén
không cần ba i^ n ẻ m nữa. Trong mục n a ỹ t ã x e t t h ẻ m c a c n
ra do các lực diện tác dụng lên cạnh phần tử.

tải nút {Q„,} sinh


PHƯƠNG PHÁP PTHH - LÝ THUYẾT VÀ LẬP TRÌNH

21

* I
Ư2___

V >1
1

X

->
Hình 8.7 - Phẩn tử đông tham sô' PSQ4

Hình 8.8 • Tinh vectơ tải nút
cho phần tử PSQ4.

( iia sư phan lư chiu tải biến thiên tuyến tính như trên hình 8.8. Cạnh chịu tải là Cạnh I -2 còn
<-ưiniL' đo p , \ a />.
Cường đo /?,va />, tại diêm
bât kỳ trên 1-2 có
diểm bất
cố thê
thể biêu
biểu diên
diễn qua hàm nội suv
suy như $an:

>„■

1 -r

0

0

1- r

1+ r

(8.34)

4

0

0

Px2
Py>.

Do tải trọng chi tác
này nhãn dược từ biểu thức tổng quát băng cách cho s =- 1 trong phương trìrn (8.23a) và
(8.23b). Như vậy :
1 -r

M =

—2
0

0

1+ r

0

0 0 0 0
(8. 35)

1—

0

—

0

0

0

0

Ap dụng công thức tổng quát tính vectơ tải nút :
{< ?}= //,k ’ ] > ì *

(8.18)


BÀI TOÁN PHĂNG

22

Trong trường hợp này [An và {p} được tính lần lượt theo các công thức (8.35) và (8.34)
tương ứng. Nếu chiều dày phần từ tại điểm r bất kỳ được ký hiệu là h'r, ds = hr.dl. Trong đó
dl là vi phân chiều dài. Có thê chỉ ra là:
2

dr

(8.36)

1

dx . ây
Các đạo hàm —— và
âr

1

+

ì —
\ â r ,

âr

là các phần tử của ma trận Jacobian được cho theo công thức

(4.6). Thay s = -1 vào ta được :

ớx
âr

x ĩ - Xị
2

ày
õr

y 1- y t
2

Thay (8.37) vào công thức (8.36) ta có :

(8.38)

trong đó / là chiểu dài cạnh 1.2.
Bằng phép đổi biến trên, tích phân (3.18) chuyển thành :
le } =

ìV

-1

T M ''.- '"

(8-3»)

Tích phân trên là tích phân đường, sau khi thay tất cả các thành phần từ các công thức (8.32)
(8.35) và (8 38), tích phan trẽn có thể tính tưởng minh Tuy nhiên ngay cà trong trưởng hợp
này, đê tiện lợi lập trình vẫn nên sử dụng tích phân số. Thù tục tích phủn sô được trình bày
ngắn gọn theo các bước sau:
Sừ dụng cđu phương Gauss trong mục 4.2.1. Ta có :
fe} = 7 j k ĩ Í p Ì M ^ Ẻ '*',/('•/>
1 -1
<"■
trong d ó :

(8.40)

/ ( r)= 2 [^T -Íp K

Giả thiết chiểu dày phần tử h là hằng số, ta có
(8.41)


PHƯƠNG PHÁP PTHH - LÝ THUYẾT VÀ LẬP TRÌNH

23

Sau khi chọn hai điểm mẫu, tích phân được tính như sau :
{Q} = W J (rt) + W J(r2)
trong đó : r. ——Ị=

w x= w2=1

VI

r' ~

ử

và

Thay các giá trị r, , r ? vào phương trình (8.34) và (8.35), tính {Q} theo (8.40) và (8.41) . Thủ
tục tính theo cống thức (8.42a).
1-4-

Qxi
Q,1

1-

Qx:
Qyĩ

0

VI

//»

1+4=

8

VI

0

Qx 3
Q»
Qx*
Qy4

VI

1+4=

VI

0

0

0

0

0

0

0

0

Pyl

1 VI

0

0
1-

0

1+

VI

0

1+

VI

VI

Pyi
Pxl
Py2

1+4=

VI

0

1+

VI
p*l

1lli

VI

VI
0

1-

1+4=

1_VI

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Kết quả tính cho biểu thức (8.42b) dưới đây:

1+4=

VI

VI
0

0
p ,ĩ
1— ^

VI.

Pxl
Pyl

(8.42a)


BÀI TOÁN PHANG

24

2 p ,. +

Px2

2 p ,| +

Pyl

Pxl + 2 Pxl
2 Pyi

8.3.2.

(8.42b)

Phần tử

Phân tích các bài

ụng các phần tử

cũng có biên cong

trên hình

(8.9) là phần tử bậc

theo biêi

Hỉnh 8.9 - Phẩn tử đổng tham sô 8 nút.

Khái niệm phẩn tử đồng tham số đã được trình bày trong chương 4. Trong £> chúng ta đã
thấy một phần tử c

phần từ hình

vuông có cạnh đơn vị trong hệ trục tự nhiên. Ta thường gọi phép biến đổi trên là phép chiếu
hình học từ một hình phức tạp vể một hình đơn giản hơn. Tương tự, bủy giờ ta sử dụng hàm
dáng cho theo công thức (3.59) để mô tả hình học cho phần tử PSQ8. Ta có:

PHƯƠNG PHÁP PTHH - LÝ THUYẾT VÀ LẬP TRÌNH

25

H ư /V, 0 / v 2 0 /Vj 0 yv4 0 yv, 0 yv6 0 /V7 0 / v g 0
W\ [ 0 yVị 0 i v 2 o i y , o i v 40 i v , 0 i v 6 fl i v , f l JV8
Nghĩa là :

(8.43a)

•{*» }

{xì = [An.{x„}

ImiiH dó :
U

J '

=U |

X,

V,

VI

Xị, y } x4 y 4 Xi y f xt y t Xj y 7 X,

y ,]

l.t \ccto cac ih.iidi phần toạ độ nút.
( u thành phán .v,(/

.8) được định nghĩa theo công thức (3.9a).

1liêng Iư hion Ihicii chuyển vị cũng được mô tả bằng cùng một hàm dáng :

N , 0
0

JV,

/v 2 0

0

iVj 0

N 1 0

n

iV 4 0 iV , 0 iV 6 0

3 0

yv4 0

/v50

]V,

N b 0

0

N,

0

{4
(8.43b)

í I I >11'.’ dc >

{
»2 «.1 V.1 u4 v4 U, V, «„ V* u7 v7 Ug V,]

I.I Via te I -K thanh plìẩn chuyển vị nút.
Các tlianli phan ham dáng Nị(i =1+ 8) được xác đinh theo công thức (3.59a)! Ma trân d(>
cưng phan tưdưiK tiihbằngcầu phương Gauss như dã trinh bày trong chương 4.

8 4

MÒ HÌNH C H U Y Ể N VỊ KHÔ NG TƯƠNG THÍCH

1ĨOIIU phan tích phai từ hữu hạn, độ chính xác cùa lời giải có thể dạt được bằng cách táng
sô lượng phan tư ( chi a mịn hơn), hoặc là bằng cách sử dụng các phần tử bậc cao tiệm cận tốt

!

liên cả hai phương pháp trên đẻu đẫn tới tăng thời gian tín 1 va đòi hoi

dung lượng bộ nhớ

mà không

đòi hỏi quá nhiều về thời gian tính và dung lượng bộ nhớ? Một hướng suy nghĩ khác đã đươc
Willson phát triển là khả năng sứ dụng mode chuyển vị không tương thích. Chúng ta sẽ khảo

sát nội dung này thỏng qua phần tử PSQ4.