Phương pháp phần tử hữu hạn lý thuyết và lập trình tập 1 nguyễn quốc bảo trần nhất dũng

/

NGUYỄN QUỐC BẢO
TRẦN NHẤT DŨNG

0 5

NHÀ XUẤT BẢN KHOA HỌC VÀ KỸ THUẬT


NGUYỄN QUỐC BẢO - TRAN NHÂT DŨNG
Biên soạn

PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỦU HẠN
LÝ THUYẾT VÀ LẬP TRÌNH
TẬP MỘT
(In lổn thứ hai có điếu chỉnh và bổ sung)

D ùng cho sinh viên, học viên cao học, nghiên cứu sinh chuyên ngành cơ, kỹ
thuật thuộc khói ngành xây diíng, kiên trúc, giao thông, thuỷ lợi, mó địa chất...
ar Thích hợp cho moi đói tượng quan tám đến lý thuyết và kỹ thuật lập trình với
phấn từ hữu hạn.

NHÀ XUẤT BẢN KHOA HỌC VÀ KỸ THUẬT
HÀ NỘI


Phương pháp phần tứ hữu hạn (PP PTHH) là một phương pháp tính đã được hình thành và
phát trién trong vòng vài chục năm trở lại dây, nhưng do yéu cấu tính toán của một bậi toán
thực té thường dõi hỏi một khối lượng tính toán rất lớn, do vậy việc ứng dụng p p PTHH
trước đáy gập kháng ít khó khăn. Chỉ cho đến khi có sự xuất hiện của các máy tính cá nhàn

(PC) cùng với những tiến bộ to lớn của công nghệ thông tin trong những năm gần dây mới
thật sự cho phép phương pháp tính này dược ứng dụng một cách phô biên và rộng rãi. Cùng
với việc tính giói các dại lượng cơ học của két càu như biến dạng; ứng suất; chuyển v ị... p p
PTHH còn là cơ sở cùa lĩnh vực mó phỏng hoá trong các bài toán thiết kê. Thông qua sự
phát triển cùa kỹ thuật dổ hoạ trén máy tính người ta có the mô phỏng hoá các hoạt động của
kết càu; giá dịnh vò so các phương án tính toán dế từ dó chọn lựa giải pháp tối ưu. Điều này
cho phép giấm chi phí và thời gian thực hiện các thí nghiệm theo phương pháp truyền thông.
Cùng với sụ tiến bó cùa khoa học kỹ thuát máv tính dã trờ thành mót bó phán quen thuôc và
không thê thiêu trong các hoạt dọng nghiên cứu cũng nhu ứng dung thực tién. Theo dó,
cũng ngày càng xuất hiện nhiều hơn các chương trình tính toán sứ dụng p p PTHH với phạm
vi ímg dụng ngày càng phong phú và da dang : tính toán k ế t cấu; tính toán nhiệt; tính
tuổi thọ công trình; m ó p h ỏ n g ; tối ưu hoá .v.v. Đói với thực tè ở Việt Nam p p PTHH
cũng dã từng dược nghiên cứu và ứng dụng khoáng vài chục nám trở lại dày với sô lượng
người tham gia nghiên cứu ngày càng tăng nhanh, phạm vi ứng dụng ngày càng phong phú,
da dạng.
Đè đáp ứng nhu cầu học tập và nghiên cứu p p PTHH - nắm bắt các khía cạnh, cốt lõi của
nó theo một trình tự LOGIC và tạo diếu kiện cho bạn đọc có thê vận dụng nó để lập trình tìm
lời giải cho một bài toán cụ thể, chúng tôi dã cô gắng tìm hiểu và bién soạn tài liệu này. Đáy
là tài liệu dược biên soạn chủ yếu phục vụ các dối tượng nghiên cứu là sinh vién, kỹ sư
thuộc các ngành cơ kỹ thuật, kết cáu công trình, cơ khí, giao thông, thuỷ lợi, mỏ dịa chất...
Ngoài ra sách cùng hỗ trợ rất tốt cho các dối tượng là nghiên cứu sinh, học viên cao học,


4

PHƯƠNG PHÁP PTHH - LÝ THUYẾT VÀ LẬP TRÌNH

thuộc khói Kỹ thuật công trình và Cơ kỹ thuật - Là các đôi tượng dã được trang bị tốt các
kiến thức vé lý thuyết ma trận, vê đại số tuyến tính và tin học đại cương. Đây là một cuôn
sách được trình bày theo kiểu giáo trình với các diễn giòi lý thuyết cô đọng và dẻ hiểu, có

phần ví dụ minh hoạ và giải thuật để người đọc có thể vận dụng.
Toàn bộ nội dung sách dược trình bày trong tổng sô 12 chương, xuất bản thành 2 tập.
Táp 1 : gồm 7 chương trong đó 5 chương đấu dành cho việc nghiên cứu các lý thuyết
chung của p p PTHH. Chương 6 là cấu trúc và giói thuật cùa một chương trình tính
minh hoạ. Chương 7 trình bày các lý thuyết tính giai bài toán thanh phẩng (2D) và
thanh không gian (3D).
Táp 2 : gồm 5 chương trình bày các dạng bài toán diến hình của p p PTHH : bài toán
phẳng; bài toán ứng suất 3 chiều; tám chịu uốn; bài toán kết cấu vỏ V.V.. và cuối
cùng là phấn mã nguồn của toàn bộ chưmg trình tính theo các lý thuyết dã trình bày
trong các chương trước.
Đê tiện cho bạn dọc trong quá trình tim hiểu sách và liên hệ vận dụng lập trình trên máy
tính, trong toàn bộ sách này hệ thông các ký hiệu, quy ước vé hệ toạ độ; VẾ ma trận; vé vectơ
V.V.. được trình bày theo dáng "chuẩn" cùa cơ học kết cấu (ví dụ: { A } - là vectơA; [ K ] - là
ma trận K). Riêng phấn thé hiện dâu pháy dộng, thống nhát trong toàn bộ tài liệu được thè
hiện theo chuẩn Anh - Mỹ, nghĩa là sử dụng dấu chấm ( . ) thay cho dấu phảy ( , ) . Cách thé
hiện này chủ yếu tạo tính tiện dụng khi liên hệ lập trình và dối chiêu két quà trên PC, vì hiện
nay cách thế hiện số thực trên hầu hết các máy tinh vấn là lối thế hiện kiêu Anh - Mỹ (ví dụ:
viết theo kiểu Việt Nam tliì số Vi có trị số như sau Pi-3,14159265; còn viết theo kiểu Anh
Mỹ thì Pi=3.l4159265).
Sau lần xuất bản thứ nhát, năm 2003, sách đã dược độc giả gần xa nông nhiệt dón nhận và
cổ vũ. Sách cũng đã chính thức được nhiều trường dại học trong cả nước chọn làm tài liệu
giảng dạv môn học PTHH. Đáp lại sự yéu mến và dộng viên của đọc giá, chúng tôi cho tái
bán 02 tập sách này. Trong lấn xuất bán này chúng tôi có hiệu chinh và bổ sung một sô
thông tin cho phù hợp với sự phát triển của công nghệ thông tin những năm gân dày. Hy
vọng là các nội dung thông tin trong 02 tập sách này vẩn là món quà hữu ích cho các dọc
già.
Tuy nhiên do kiên thức có hạn, nội dung cần trình bày quá rộng lớn và phức tạp, chắc chắn
ngay cả lấn xuất bản này cũng sẽ không thẻ tránh khỏi các thiếu sót dáng tiếc, xin được
thông cảm và rất mong nhận dược các ý kiến dóng góp xây dựng của bạn đọc gần xa.

NGƯỜI BIÊN SOẠN


PHƯƠNG PH Á P P T H H - LÝ T H U Y Ế T

VÀ

LẬ P TR ÌN H

___ 5

MỤC LỤC
Lời nói đẩu
Chương 1 : Nhập môn

1.1. Điéu kiện cân bằng
1.2. Điéu kiện biên
1.3. Xấp xỉ nghiệm
1.3.1. Xấp xỉ hàm
1.3.2. Phương pháp sai phân hữu hạn
1.3.3. Phương pháp phần tử hữu hạn
Chương 2 : Các nguyên lý cơ bản của cơ học kết cấu

2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.

Các điéu kiện cân bằng
Quan hệ biến dạng và chuyển vị
Các quan hệ vật liệu tuyến tỉnh
Nguyên lý công khả đĩ
Các nguyên lý năng lương
Áp dụng cho phương pháp phán tử hữu hạn

Chương 3 : Tính chất phấn tử

3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
3.8.

Mỏ hình chuyển vị
Qaan hệ giữa bâc tự do nút và các tọa dộ tổng quát
Yêu cáu hội tụ
Hệ toạ độ "tự nhiên"
Hãm dáng
Ưng suất và biến dạng phần tử
Ma trận dộ cứng phần tử
Quy rút tĩnh học

Chương 4 : Phấn từ đồng tham số

4.1. Phán tử đổng tham SỐ hai chiếu

4.2. Tính ma trận dộ cứng phần tử dóng tham số
4.2.1. Tích phân số
4.2.2. Tính tích phân số trên máy
4.2.3. Tính toán nhanh dộ cứng phán tử
4.3. Tiêu chuẩn hội tụ cho phần tử đống tham sô'
Chương 5 : Phương pháp dộ cứng trực tiếp

5.1. Sắp xếp phần tử - phương pháp dộ cứng trực tiếp
5.2. Khử Gauss và phép phân tích ma trận

Trang
3
7

7
9
10
10
14
18
21

21
25
27
33
41
54
55

56
58
59
61
66
83
85
91
93

94
102
103
104
113
115
117

119
127


6

PHƯƠNG PHÁP PTHH ■ LÝ THUYẾT VÀ LẬP TRÌNH

5.2.1.
5.2.2.

Phân tích ma trận Choleski ([L][D][L]T)

Các bước cơ bản trong phân tích PTHH

Chương 6 : Chương trinh PASSFEM

6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
6.5.
6.6.
6.7.
6.8.
6.9.
6.10.
6.11.

Chương trinh chính
Chương trình con PASSíN
Chương trinh con FELIB
Chương trinh con COLUMH
Chương trinh con CADNUM
Chương trinh con PASSEM
Chương trình con PASOLV
Chương trinh con PASLOD
Chương trinh con DISP
Ghép các chương trinh
Nhập số liệu

Chương 7 : Phân tích kết cấu khung

7.1.
7.2.
7.3.
7.4.
7.5.
7.6.
7.7.
7.8.

Phán tử dần 2 chiéu
Phán tử dàn 3 chiéu
Phần tử dấm 2 chiéu
Phán tử thanh 3 chiéu
Biến dạng trượt trong dấm
Phán tử thanh bù BEAM2
Chương trinh con cho phấn tử dàn 3 chiếu
Chương trinh con cho phán tử thanh 3 chiéu

7.9. Thủ tục cho các phán tửbièn

Tài liệu tham khảo

131
139

143

143
146
150

153
156
157
159
160
161
162
166
169

170
177
179
199
211
222
226
228

231

235


Đối tượng nghiên cứu của phương pháp phần tử hữu hạn là tìm lời giải số cho các bài
toán của lý thuyết trường nói chung và của cơ học vật rắn biến dạng nói riêng. Phương
pháp phán tử hữu hạn được áp dụng đặc biệt thành công trong lĩnh vực cơ học vủt rắn
biến dạng, trong đó các ẩn số cần tìm là chuyển vị, biến dạng, ứng suất tại mỗi điếm bất
kỳ trong kết cấu.
Trong không gian 3 chiểu tổng quát, các ùn sô trên tạo lên các trường chuyến vị, biên

dạng và ứng suất và bài toán đặt ra là các bài toán của lý thuyết trường, trong đó các ẩn
sỏ cần tìm trên dược gọi chung là các biến trường. Đế có thê nhận lời giải, trước hêt cần
xác dịnh các quan hệ cơ học (các điểu kiện ràng buọc) giữa chúng cùng với ngoại tải tác
dụng lẻn cơ hệ. Các điểu kiện ràng buộc thường được phủn thành :
. Điếu kiện trường : điều kiện viết cho trường các thông sô bèn trong kết cấu.
. Điểu kiện biên viết cho trường các thòng số trên biên của kết cấu (với các bài toán
dộng còn cẩn tới các điều kiện dẩu).

1.1. Đ IẾ U K IỆ N C Â N B Ằ NG

Điểu kiện cân bang, vể toán, có thế hình thành theo các phương pháp của phương trình
vật lý - toán (phương trình đạo hàm riêng). Điéu kiện cân bằng cũng có thể hình thành
bằng cách sử dụng phép tính biến phân.
1.1.1. Phương trình đạo hàm riêng

Phương trình đạo hàm riêng mỏ tà điểu kiện trường của cơ hệ thường dược hình thành từ
các điều kiện cân bằng tĩnh học và điểu kiện liên tục của chuyên vị
Các phương trình đạo hàm riêng này cũng có thê nhân đtrợc bằng cách sứ dụng phương
trình Euler-Lagrange của nguyên lý biến phân như sẽ trình bày trong chương 2.


8

NHẬP MÒN

Chẳng hạn trong sức bển vật liệu, bài toán uốn của dầm được mô tả bằng phương trình vi
phân bậc 4.
E1

(Ị\v_

= p

( 1. 1)

dxA
trong đó vv - độ võng của dầm, là nghiệm cần tìm của phương trình trên.
Trong trường hợp của tấm mỏng đẳng hướng, phương trình đạo hàm riêng viết cho biên
vv - chuyển vị đứng của tấm, có dạng :
â Aw

------ T

âxA

^

â Aw
2

----------; ----------

â Aw
r "t-------------7

â x 2â y 2

âyA

p

( 1. 2)

— —

D

Với :
Eli*

D=

12(1 - ụ 1)
E - môđun đàn hồi;
ỊẤ - hệ số poisson;
h - độ dày tấm.

1.1.2. Tiếp cận biên phân

ở phương pháp tiếp cận này, việc giải bài toán dán tới tìm cực trị của các phiếm hàm mô
tà sự làm việc cùa kết cấu. Phiếm hàm mô tả ờ đây có thê là tổng thế năng hay năng
lượng bù của cơ hệ. Trong biến phân, như ta đã biết đê tìm cực trị phiếm hàm ta cho biến
phan bậc nhất bằng không. Áp dụng cho cơ hệ, điểu này dãn tới phương trình cân bằng
hoặc phương trình liên tục của bài toán, trong đó các biến trường phải thoả mãn. Chẳng
hạn thế năng của tấm đẳng hướng, chịu tải phân bỏ đều cường độ p được cho bời phiếm
hàm :

Eh'

( õ*w

2 4 ( l - / i 2) JJ u * 2

â*w
-

* d y 1)

2(1 - M )

Ở 2W õ w

( d w V

I h S lẼ ỹ 2

Kd x d y ;

- JJ w p d x d y
(1.3)

•dxdy


PHƯƠNG PHÁP PTHH - LÝ THUYẾT VÀ LẬP TRÌNH

9

Nghiêm chuyển vị w. phải dẫn tới giá trị dừng (cực trị) của phiếm hàm thế năng /7, đồng
thời phải thoả mãn các điều kiện biên động học. Trong chương II trình bày ngắn gọn

việc áp dụng phép tính biến phân đẻ hình thành các bài toán kết cấu. Để xem xét đáy đủ
hơn vấn đề áp dụng các nguyên lý năng lượng vào phân tích kết cấu dầm, khung, tấm
chịu uốn bạn đọc có thê tham khảo các chương [2; 3; 4; 5] của sách này.

1.2. Đ IẾ U K IỆN BIÊN

đối với các bài toán cơ học vật rắn biến dạng, để giải được, bên cạnh các điểu kiên
trường, phải kê đến các điều kiện biên. Các điều kiện biên có thê là động học - nghĩa là
chuyển vị và đạo hàm chuyên vị phải tuân thủ, hoặc tĩnh học nghĩa là nội lực hay ứng
suất phải tuân thủ. Khi giải các bài toán động còn cần thêm các điều kiện ban đầu. Trên
hình l .l minh hoạ dầm conson AB chịu tải phân bô đều. Coi chuyên vị đứng w là biến
trường. Biến này phải thoả mãn phương trình vi phân cân bằng (điểu kiện trường)
EI

d*w

dx*

=p

X

Nghiệm của phương trình trên phải đồng thời thoả mãn điều kiện biên tại đầu mút A và
B như sau :
■

Điều kiện biên động học tại A.

- Chuyên vị tại điểm A bầng 0

J I,í =0 = 0


NHẬP MÒN

10

- Lực cắt tại điếm B bằng O

- Mỏmen uốn tai điểm B bang 0

E l -----— , . = 0
dxì '
dïw I
E I -----—
dx 1 1

= 0

Trong mục 2.3.2 dẫn ra phương pháp hình thành bài toán trên bằng phép tính biến phân
và áp dụng phương trình Euler-Lagrange để nhận phương trình vi phân cân bằng.

1.3. XẤP XỈ NGHIỆM
Trong các tính toán thực tế, nghiệm giải tích - nghiêm được biếu diễn bằng biểu thức
toán học xác định giá trị của biên trường tại vị trí bất kỳ trong vật thể, thường chỉ có thể
nhận được trong một sỏ ít các trường hợp mà điều kiện hình học, vật liệu và tải trọng
khá đơn giản. Đối với những bài toán có hình dạng, tính chất vật liệu, điều kiện biên và
tải trọng phức tạp thường khó hoặc không thê nhận được nghiệm giải tích. Vì vậy trong
tính toán thực tế thường sử dụng các phương pháp số cho lời giải xấp xi, trong đó ba
phương pháp gần đúng sau là phố biến :

1. Xấp xi hàm.
2. Phương pháp sai phùn hữu hạn.
3. Phương pháp phần tứ hữu hạn.
Dưới đáy dẫn ra ngắn gọn tư tướng hai phương pháp đáu. Mỗi phương pháp có những ưu
và nhược điểm riêng. Phương pháp thứ ba - phương pháp phần tử hữu hạn được coi là sự
kê thừa tư tường của hai phương pháp trên và trờ thành một trong các phương pháp sô
mạnh nhất, vạn năng nhất và được ứng dụng trong thực tê ngày càng rộng rãi cùng vói sự
phát triển cúa các thê hệ máy tính.

1.3.1. Xấp xỉ hàm

Trong tư tường của phương pháp gần đúng này, các hàm cán tìm là các hàm thoà mãn
các điều kiện biên và xấp XI cho biến trường cần tìm tại điểm bất kỳ, là tổ hợp tuyến tính
của một sô hữu hạn các hàm được chọn trước. Tiếp đó vấn đề xác định biến trường
chuyển thành bài toán xác định các tham sô tổ hợp cùa hàm xấp xỉ và các tham sô này
được xác định từ điểu kiện các nguyên lý biên phân. Các phương pháp biến phân cổ
điển quen thuộc như Rayleigh-Ritz, Galerkin và phương pháp khử sai sô điểm đều dựa


PHƯƠNG PHÁP PTHH - LÝ THUYẾT VÀ LẬP TRÌNH

11

trẽn tư tường xấp xi hàm. tuy nhiên giữa các phương pháp này khác nhau về thủ tục ước
lượng các tham số cần tìm. Phương pháp Rayleigh-Ritz có thể xét ngắn gọn qua ví dụ
minh hoạ sau :
Xét dầm tựa khớp đơn giản, trên hình l .2, chịu một tải trọng tập trung p giữa nhịp và tải
phân bô đểu cường độ p n . Ớ bài toán này, nếu xác định được độ võng cùa dầm thì đồng
thời xác định được mômen uốn và lực cất tại tiết diện bất kỳ. Chọn hàm xấp xỉ cho độ
võng H* của dầm dưới dạng :

, n .x
, in x
w = II. sin — + «, sin ——
L
L

, ,
(a)

Ở đó cả 2 hàm xấp xỉ đều thoả mãn các điều kiện biên còn a, và a2 là các tham số tổ hợp
cần tìm.

Hình 1.2 - Dầm tựa khớp dơn giản.
Từ lý thuyết sức bền vật liệu cơ bản, ta đã biết thế nàng biến dạng ư của dầm chịu uốn
là :
(b)

V

Thay biếu thức của tvtừ phương trình (a) vào (b)
u - 2 ? - io
f

Thế năng cùa ngoại tải là :

- n 1u. . n x
—sin

9 n 1u ,

. in X
sin

dx
(c)


NHẬP MÒN

12

/ / = “ I p ữw dx - Pw
Jo 1 u
m*'
= - Ị '0 P o ị ^ t s i n ™ + a ĩ s i n ^ Y - ỵ x - P ( a { - a 2)
2 p nL Í
(!,}
= - ± £ £ ± » ,+ T
n \
3 J

/

(d)

\

Tổng thế năng ĩĩc ủ a dầm là :

n = ơ + H =

E ln 4

+ 81 a 2) -

4L

2 p 0L (
fl,

n

+

- ^(«1 - a i )

(e)

\

Như sẽ chi ra trong mục 2.3.2, để vật thể cân bằng bển thì thê năng của vật thê phải đạt
tới giá trị dừng. Theo phương trình (e) tổng thê nâng được biểu diển qua các tham số a,
và a2. Vì vậy đê đạt giá trị dừng, tổng thế năng / 7 phải thoả mãn điều kiện sau :
õ\\
d(ỉx

ân

= 0;

õa.

=0

ơ)

áp dụng điều kiện trên cho phương trình (2) ta có:
Ẹ ln4

2 p ưL

2Ư ữị ~

n

81 E l n 4

2 p aL

lư

ỉn

(g), (h)
+ p =0

Giải phương trình trên ta được
2Ư
a'

=

2 p nL

^

*

+

P)

(i) , (j)

r t ì P ± _
81 E ln *
in
Như vậy độ võng cực dại tại giữa dâm là:

PƯ
=

48.1 I x E I

+

p 0ư
76.82 X £7

Độ võng cực đại của dám có thể coi là trùng với giá trị chính xác

Pư

p 0ư

48 X £ 7 + 76.8 X

£ /

(k)


13

PHƯƠNG PHÁP PTHH - LÝ THUYẾT VÁ LẬP TRÌNH

Mõmen uốn tại điêrn bất kỳ dọc theo dầm là

MX

(I)

Thay giá trị a, và a2 theo phương trình (i) và (j) vào phương trình (a) rồi lấy đạo hàm cấp
2 ta được trị sô mômen uốn tại giữa dầm

x= LỊ2

= PL | p 0L
' 4.44 8.05
Cần chú ý là sai sô của thành phần l là 9.92% của thành phần 2 là 0.62%. Sai số này có
thể giảm bớt bằng cách tăng số lượng hàm cho xấp xi của biến trường w.

Thù tục trên có thể mờ rộng để phân tích cho vật thể ba chiều. Nói chung vật thê biến
dạng bao gồm vô sô các chất điểm, vì vậy bao gổm vô hạn bậc tự do. Theo phương pháp
Rayleigh-Ritz, các hệ liên tục được thay bằng các hệ hữu hạn bậc tự do. Đôi với trường
hợp các vật thể 3 chiều, các biến trường

w , U, V

có thể xấp xỉ bằng hàm 3 biến :

u = atệ t( x ,y ,z ) + a 2ự>2(x, T,z) +... + a j n(x,y,z)
v = bịp ị (.Y,J\z) + bĩ P ĩ (x,y,z) + ... + bnP n(x,y,z)

( l 4)

w = c tụ/i (x,y,z) + c ì iỵ2(x,y,z) + - + c nụ/n(x,y,z)
trong đó a,,bj,c, là các Àn sô độc lộp tuyến tính và 0{(x,y,z), Pi(x,y,z), ụ/ị(x,y,z), i = \-=r n
là các hàm liên tục của x,y,z đồng thời thoả mãn các điểu kiện biên động học. Theo xấp
xỉ này vật thề liên tục dược quy rút vể hệ 3n bậc tự do. Trong đó thề nâng vật thê là
phiếm hàm cùa các tham sô tổ hợp này.

n = ( m, v\ h0 = Ỉ7 (x,y,z,aị ...an,bl ...bn,cị...cn)

(1.5)

Như đã trình bày trên, đối với vật thể củn bàng bén, thế năng đạt tới giá trị dừng và khi
biểu diển thế năng qua các tham số tố hợp hàm ait b„ c, thì phải thoả mãn các phương
trình sau:
s n ^
âax

* " - 0
da 2

...

t n . t
àan

õbx

s n =*
âb2

...

i n . t
âbn

âỉI -0

âcx

s n

ớcĩ

= 0 ...

â n

dcn

. .

(1.6)


14

NHẬP MÔN

Từ (1.6), ta được hệ phương trình đại số tuyến tính bậc 3n đê giải ra các ẩn số tổ hợp fl„
bi, c,.
Khó khăn chủ yếu trong phương pháp xấp xỉ hàm là phải chọn họ hàm 3 biến xấp xì sao
cho đảm bảo tính liên tục và thoả mãn mọi điều kiện biên cho trước trên phạm vi toàn
kết cấu. Do vậy với các kết cấu có dạng hình học phức tạp, khó khăn trên, về thực tê là
không thể khắc phục được. Vì vậy phương pháp cổ điển dẫn tới phương trình (1.6) ít
được dùng trong các tính toán thực tế. Dầu sao các khái niệm được sử dụng trong
phương pháp Rayleigh-Ritz như thay thế biến trường bàng tổ hợp tuyến tính các hàm 3
biến, tìm các ẩn số tổ hợp bằng cực tiểu hoá thế năng đã được triệt đê áp dụng trong
phương pháp phần tử hữu hạn để xây dựng tính chất phần tử.

1.3.2. Phương pháp sai phân hữu hạn

Trước sự ra đời của phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp sai phân hữu hạn đã
được sử dụng để giải một số bài toán phức tạp của cơ học kết cấu. Trong phương pháp
này, vật thê hay hệ kết cấu được rời rạc bằng luới các điểm nút như trên hình 1.3
Biến trường được mô tả bởi các trị rời rạc của biến tại các điếm nút. Như vậy phương
pháp sai phân hữu hạn không cho phép tính biến trường tại các điểm bất kỳ trong kết cấu
mà chỉ tính trên một số hữu hạn các điểm nút. Tuy nhiên khi lưới sai phân đủ dày, kết

quả nhận được trên các nút của lưới sai phân cũng đủ để mô tả sự làm việc của kết cấu.

Ví dụ trong trường hợp của tấm chịu uốn, chuyên vị pháp tuyến w tại mỗi nút được xem
là ẩn số. Phương trình vi phân mô tả sự làm việc của hệ và các điều kiện biên được


PHƯƠNG PHÁP PTHH - LÝ THUYẾT VÀ LẬP TRÌNH

15

chuyển về dạng sai phân hữu hạn. Xét trường hợp tấm mỏng đẳng hướng, dạng sai phân
hữu hạn của phương trình (1.2) viết cho mỗi nút của lưới hình vuông trên hình 1.4 là:
20»V, - 8x ( h>2 +

+ WA + H»,) + 2 X ( k'6 + W1 + H»8 + H»9)

p

0 7)

+ *1 0 + * l. + *I2 + *.J = 0 - *

Trong đó : Ả - là chiều dài bước xấp xỉ và
__
Ehì
J
,
D = ------------ — - độ cứng cua trục tám.
12(1 - ụ 1)
Áp dụng lần lượt dạng sai phân hữu hạn của phương trình vi phân và điều kiện biên cho

các nút, ta được hệ phương trình đại số tuyến tính với biến trường rời rạc

tại các nút là

ẩn số. Thủ tục của phương pháp sai phân hữu hạn được minh hoạ như sau.
10
6

2

5

7

r3

f4

9

,

II

,K

1 12

Hình 1.4 * Mau sai phân hữu hạn.
Xét tấm vuông tựa khớp, kích thước 4m X 4m chịu áp lực 6kN/m: kể cả trọng lượng bàn

thân. Bề dày tấm 12cm. Giả thiết E - 2 .107kN/m2, ụ - 0 . 15.
Rời rạc tấm bằng 25 nút như trên hình 1.5. Ngoài ra cần bổ sung các nút phụ 26 -*• 37
ngoài phạm vi tấm. Điều đó là cần thiết như sẽ trình bày dưới đây.
Do tải và điều kiện biên là đối xứng qua hai trục cho nên ta chỉ cẩn xét cho 1/4 tấm.
áp dụng các điều kiện biên :
(i) chuyển vị w = 0 dọc theo gối tựa.
*1 = *2 = *J =
=

M’ 20

=

= *6 = K’,0 =

W l i = w 22 = W 2Ì = * 2 4

=

*25

=

= ^.6
0

(a)


NHẬP MÔN

16

(ii) mômen uốn bằng không dọc theo gối tựa.
õ lw

=

~ảS

õ 1w

hay

0

=

0

(b)

~cp~

áp dụng điểu kiện (b) tại điểm 2, 3, 4, 6, 10, 11, 15, 16, 20, 22, 23,24 ta nhạn được các
điều kiện sau :
*26

=

*29

=

*32
*35

*7

*27

=

-* 8

*28 = - * 9

- * 7

*30

=

- * 9

*

=

-* .4

*33

=

-* .7

*36

=

=

3Í = - * 1 2

-* .7

*34 = - * . 9

-* .8

*37 = - * . 9

(c)

Ap dụng dạng sai phân hữu hạn của phương trình (1.7) cho các điểm nút 8, 9, 13, sử
dụng điều kiện (a), (c) và điều kiện đối xứng ta được.
2 0 »v8 - 8 ( w , +

+ m>13) + 2(2 m>8) + ( - h>8 + h>8) =

PÃ4

2 0 h>9 —8(»v8 + k-8) + 2 ( h’i3) + ( - k’9 - w q + h>9 + tv,)
20 w>,3 - 8(4 WH) + 2(4w>9) 4-0 =

D
PÀ4
D

PẢ4
D
y

26

27

28

Hình 1.5 - Rời rạc hoá tấm tựa khớp dơn giản.

(d)


17

PHƯƠNG PHÁP PTHH - LÝ THUYẾT VÀ LẬP TRÌNH

Rút gọn phương trình (d) trên ta được:

2 4 m>8 - 1 6 w>9 - 8 m',3 =
- 1 6 h’8 + 2 0 h’9 + 2 w' 13 =
- 321 tvs + 8 h>, - 2 0 »VI3 =
Giải phương trình trên ta dược :

PX*
D

w 13 = 1.03125

0,75

PX*

0.5468

PsV
D

Theo số liệu đã cho ta có :

Eh3

D

2 x 107 x 0.123

12(1 -

p = 6.0

)
A

= 2946.3 kN .m

12(1 - 0 .1 5 ) 2

1.0

=

Thế các giá rị sổ trong phương trình (f) cho wmmi = H»u ta được :

n m.» w =1.03125
= 1 03125 X

PX*
D

6.0 X l . o 4

2946 .3

= 2.1 X 10 -Ỉ »I = 2.1 mm

Mỏmen uốn
M

= -/)

d*w
dx1

r i n h sa: phi

M

â lw

+ M-

ây1

n trung tâm cho Afxtại điểm 13 ta được
_
, 2 h’ - 2 k' 1,
= - D ị ỉ + fii)-----8 -T

= -2946 . 3 x ( l + 0.16)

2x 0 . 7 5 - 2 x 1.03125

1.0*
= 3.8813 kN .m / m

x

6 X 1. o 4

— ——r
2946 .3


NHẬP MÒN

18

Từ lý thuyết tâm ta nhận được nghiệm là :

m"

= 0.00406

D

= 0 00406 x 6 x 4
2946.3

= 2.117x 10 3( w) = 2.117

Lấy 2 thành phần đầu của nghiệm dạng chuỗi cho Mx (xem thêm chương [3]) và thay sô
với p = 0.15 ta có :

M x =0.042192 X Pa 2 = 0.042192 x 6 x 4 2 = 4.0504 kN .m Im
So sánh giá trị nhân được bằng phương pháp sai phân hữu hạn với các tính toán chính
xác, chuyên vị tấm là phù hợp với lý thuyết và sai sô’ mômen max là 4.18%. Rõ ràng là
vói bước rời rạc Ả =1.0 thì sai sô phạm phải là hoàn toàn chấp nhận được theo quan điểm
áp dụng thực tế. Dẫu sao, nói chung nên rời rạc hoá tốt hơn để nhận nghiêm chính xác
hơn.

Ví dụ trên minh hoạ phương pháp giải bài toán khi dạng sai phân hữu hạn cùa phương
trình vi phân mô tả sự làm việc của kết cấu là đã biết. Trong trường hợp lưới rời rạc là
đểu đặn thì dề nhận được dạng sai phân hữu hạn, tuy nhiên điều đó càng phức tạp hơn
với lưới rời rạc bất kỳ. Đặc biệt khi vật liệu không đảng hướng, hình dạng vật thế là tuỳ
tiện. Nói chung phương pháp này ít được sử dụng trên máy để giải các lớp bài toán tổng
quát. Dầu sao những khái niệm rời rạc trong phương pháp này đã hình thành cơ sờ của
phương pháp phần từ hữu hạn.

1.3.3. Phương pháp phấn tử hữu hạn

Argyris và Kelsey là những tác giả có đóng góp chù đạo trong phát triển các phương pháp
ma trận cho phân tích kết cấu. Trong các cỏng trình của mình, các tác giả trên đã đưa ra
các dạng ma trận cho phương pháp lực và phương pháp chuyển vị trên cơ sờ ứng dụng
các nguyên lý năng lượng cùa cơ học kết cấu. Tiếp theo phải kể tới các công trình của
Turner, Clough, Martin và Topp đã dẫn tới phát minh phương pháp phán tử hữu hạn.
Clough trong nhiều tác phẩm đã mô tà vật lý cho phương pháp và là người đầu tiên dùng
thuật ngữ phần tử hữu hạn. Từ đó hàng loạt các công trình đã ra đời trong 25 năm trở lại
đây cả về nển tảng toán học lẫn các thế hệ phương pháp để giải các bài toán trường của
phân tích kết cấu (xem các chương [10; 11; 12]). Cũng trong thời gian đó, cùng với sự


PHƯƠNG PHÁP PTHH - LÝ THUYẾT VÀ LẬP TRÌNH

19

phát triển như vũ bão của công nghệ máy tính, một sô lượng lớn các bộ chương trình đã
ra đời đê phủn tích phđn từ hữu hạn và ngày càng chiếm vị trí trọng yếu trong linh vực
kỹ thuật này. Dưới đAy trình bày ngắn gọn tư tường phương pháp.
Phương pháp phán tử hữu hạn khái quát những đạc điểm tốt nhất cùa 2 phương pháp xấp
xi đã nói trên. Đặc biệt nội dung phương pháp này được trình bày qua các khái niệm vật

lý và vì thế nó hoàn toàn thích hợp với phương pháp tư duy của các kỹ sư xây dựng và
kết cấu.
Tư tường cơ bản cùa phương pháp là vật thể hoặc kết cấu có thể phân chia thành các
phần từ nhỏ hơn, có kích thước hữu hạn và được gọi là các "phần tử hữu hạn". Vật thể
hay hệ kết câu ban đầu được coi là tập hợp các phán tử được nôi với nhau tại một số hữu
hạn các điếm - “điếm nút” . Như vậy khái niệm rời rạc trong phương pháp phần tử hữu
hạn cũng giông như trong phương pháp sai phân hữu hạn.
Các tính chất của phần tử được xây dựng và tố hợp lại đê nhận nghiệm cho toàn bộ kết
cấu. Ví dụ trong mô hình chuyến vị, theo phân tích phần tử hữu hạn thường chọn một số
hàm đơn giản - “ hàm dáng ” để xấp xi đường cong chuyên vị trong phần tử theo chuyển
vị tại nút của phần tử. Thủ tục này tựa như thủ tục đã dùng trong phương pháp xấp xỉ
hàm theo Rayleight-Ritz, điểm khác biệt là ờ chỗ quá trình xấp xi các biến trường chỉ
nằm ờ mức phần tử. Biến dạng và ứng suất bên trong phần tử cũng được biểu diển theo
chuyến vị nút. Vì vây có thế dùng nguyên lý chuyên vị khả dl hay nguyên lý cực tiểu
thê nàng đê dản ra phương trình cân bẳng chì cho phẩn tử với các chuyên vị nút là ẩn số.
Phương trình cAn bằng của toàn kết cấu được thành lập từ tổ hợp các phương trình cân
bằng cùa từng phần tử sao cho bảo toàn tính liên tục của chuyên vị tại các nút, nơi các
phần tử được nối với nhau. Đưa vào các điểu kiện biên cần thiết và giải phương trình cân
bằng đôi với các chuyển vị nút. Sau khi nhận giá trị chuyên vị nút của mỗi phần tử, có
thê tính ứng suất và biến dạng theo các tính chất phán tử đã biết trước.
Như vậy thay vì giải bài toán cho toàn bộ kết cấu trong một thuật toán, trong phương
pháp phần hữu hạn, lưu ý chủ yếu tới hình thành các tính chất phần tử. Các thù tục tổ
hợp phần tử, giải phương trình, tính ứng suất, biến dạng phán từ là như nhau cho mọi
loại kết cấu. Do đó phương pháp phần tử hữu hạn mở ra khả năng xây dựng các bộ
chương trình có tính tổng quát, trong đó chứa thư viện các loại phẩn tử khác nhau và một
khôi chung cho tất cả các thú tục phân tích khác. Cấu trúc phân khối của tổ chức chương


20

NHẬP MÔN

trình đã được áp dụng cho phẩn lớn các bộ chương trình phần tử hữu hạn đã và đang
được sử dụng rộng rãi trên thế giới và Việt Nam. Cách phân khối này cũng đặc biệt tiện
lợi cho việc xây dựng các Module chương trình phục vụ cho các bài toán thuộc nhiều
lĩnh vực khác nhau, kể cả các bài toán ứng dụng thuộc kỹ thuật chuyên ngành, lẫn các
bài toán ngt

Trong c á c chương sau của sách này sẽ trình bày các tính chất c ủ a c á c loại
p h ần t ử k lá c nhau, các thủ tục Hên kết phẩn tử, kỹ năng giải \ à p h á t triển
c á c chư ơn g trình tính toán cho các lớp bài toán khác nhau.


Các nguyên lý cơ bản
của cơ học kết '
I

\ ICC n y h i c i i

n c n c c n i\
c hưói u: Ii a\

cứu và áp dụng phương pháp phán tử hữu hạn đòi hỏi những hièu

bu-t nhai

»hương trình cơ bản của lý thuyết dàn hồi, nguyên lý cống kl

‘Ỉ!

nang lượng. Các vấn đề trên đã dược trình bày trong nhiều tác
húng ta sẽ dề câp ngắn gọn các nguyên lý cán thiết cùa cơ họ

1

1

hẩm. Trong
K

I

(. au đc

c tính chất cùa phần tử hữu hạn.

2. 1

C A C Đ IỂ U K IỆ N C Â N B Ằ N G

X I Iina-Ii.: I ợp vật thể biến dạng trong trạng thái cân bàng. Dưới tác dụn g của ngoại
I

I I Ma g vạt thê nảy sinh trạng thái ứng suất và biến dạng. Ngoại Ị ực có thè’ là

các lực tập tr ung. lực diện hay lực khôi gây ra từ trọng lượng bàn thân kết I:ấu. Các lực
g bên trong vật thể (i) và có thứ nguyên ià lực/dơn vị thể tích ưc trên biên
vật thể (ii) biếu diễn qua iực/đơn vị diện tích. Ta thừ xét điều kiện cân bằng tại một
điểm bên trong vật thể.
Trên hình 2.1 minh hoạ phân tô vi phủn dx.dy.dz bên trong vật thể biến dạng, trạng

thái ứng suất tổng quát và chuyên dịch từ điểm A đến AX Các thành phần lực tác động
lên phần tử song song trục X, như trên hình 2.1 b phải cfln bằng:

= 0 ta có :


22

CÁC NGUYÊN LÝ c ơ BẢN CỦA c ơ HỌC KẺT CẤU

x dxdydz + —

—

dxdydi

+ ^ r ~v

dxdydi

+

X hdxdydz

= 0

trong đó A-* là thành phần của lực khối tác động lên vật thê theo hướng

X.

Chia hai vế cho dx.dy.dz ta được điểu kiện cân bằng
â ơ x Ị â r yx
âx
d y

dx.
dz

■+ * .

=

0

Tương tự, áp dụng điều kiện cân bàng tĩnh học cho các lực tác dụng dọc theo trục y và
trục z : ^ Fy = 0 và ^ Fz = 0

. Kết quả ta được hệ phương trình vi phân cán bằng

biểu diển quan hệ giữa ứng suất và các lực khôi
d ơ d x
dx „
—
+ — S- + x h = 0
ởx
ây
âz
õx Xy

dơ.

Õx.

+ y h=0
dz
ây
dx „ dx
da
+ -—^- +
L + Z„ - 0
dx
dy
dz
Ỡx

■\

y

(

2. 1)


PHƯƠNG PHÁP PTHH - LÝ THUYẾT VÀ LẬP TRÌNH

23

trong đó : Yh và Z h là các thành phần lực khôi tác dụng dọc theo hướng y và z tương

ứng.

ơ„dydz
/

(L\dz

Hình 2.1 b - Các lực tác dụng lên phản tố theo hướng

X.

Phương trình cân bằng mômen đỏi với các trục ,v.v.z là :
y \ M r = 0 ,y M ,, = 0,

T... = r.

r .v :

= 0 . Ta dược:

i

=

( 2 .2 )

Tn = T *

Như vậy trạng thái ứng suất tại điểm bất kỳ có thê’ xác dịnh bởi 6 thành phần ứng suất
ơ ' , ơ y, ơ., T,y, Tyí, Tzx . Biểu diển chúng dưới dạng vectơ :

{ơ }1 = [ ơ x

ơ,

ơt

Tv

Tyz

T.x]

(2.3)

Thay phương trình (2.2) vào (2.1) ta có :

âT„ ỚT.
dơ
+ v + “ +x h = 0
âx
ây
dz
â v xt âơ v Õ T
- + — - ■+
rỉ- + Y. = 0
dx
ây
Ớz
dĩ
ÕT.

dơ
+ ---- - + z h = 0
âx
ây
dz

►

(2 .la)


24

CÁC NGUYÊN LÝ Cơ BẢN CỦA c ơ HỌC KÉT CẤU

Xét phẩn tứ có diện tích AS trên bề mặt (trên biên) của vật thể trong trạng thái cân
băng, già sử x„ Y„ z, là các thành phàn ngoại lực (tính trên một đơn vị diện tích) tác
dụng trên bể mặt. (hình 2.1.C).
ơ,lds

Hinh 2.1c • Hệ lực tác dụng lên phẩn tử trên biên.

Đe phàn tỏ cân bằng thì phải thoả mãn các phương trình sau:

* , / + v » + rw#» = x ,
Tv l + ơ ym + Tn n = Y'
T*-»Ỉ + T,1ỉ m + ơ ỉn — z

X

trong dó /, /lị n là các cosin chỉ phương cùa pháp tuyến bề mảt tai điểm \et 1’hirniu:
trình (2.4) th ường được gọi là các điểu kiện biên tình học.
J

Điếu kien cân bằng cho phân tố ứng suất hai chiểu

Các
C:tc điểu
diếu hicli
hitịn cân bàng tĩnh học trong và trên biên cho phân tô' ứng suàt
SI hai chiêu
Ichăng han t ^ong mặt phẳng OXY) có thể suy trực tiếp từ phương trình (2 I a) và (2.4).
Băng cách k B bỏ mọi thcành phần lực tác dụng theo phươne z , trong biên ta co

âơr

àr

âz.

da

âx
Còn trên biên ta có:

ớy + n = 0

(2.5)

PHƯƠNG PHÁP PTHH - LÝ TH U YẾT VÀ LẬP TRÌNH

25

ƠJ + Txytn = X ,
T j

( 2. 6 )

+ ơ m = Ys

2.2. Q U A N HỆ B IÊ N D Ạ N G V À C H U Y Ê N

Chuyến

vị

tạ |m ộ t điếm cúa vật thế biên dạng

có

vị

thé mô tá bảng các thành

ấn

u , V, w

Mine SOIUI lãn lượt vói các trục X, Y, z của hệ toạ độ Descartes. Các thầih phán cùa

chiụcn

VI

dune I hu

nay nói chung là hàm cùa các toạ độ X, Y, z. Biến dạng trong vạt the hiên
h

1

là các đạo hàm riêng của chuyển vị u,

V,

H>. Mối quan hệ chu\

\I

biến

o bởi các hộ thức vi phân sau :
e, =

£. =

âv

du

âu âu

dv dv

dw dw

âx

ôy

ôx ây

dx dy

dx dy

âw

âv

âu du

ỡv dv

dw âw

ây

dz

d y dz

dy dz

d y dz

âw

âu

du du

dv dv

dw dw

âz

d x dz

d x dz

d x dz

âx

(2.7)
■
y

( ,u thanh p án biến dạng £ , e , , £ . , ỵ Xf , Ỵn ,YIX xác định trạng thái biế dang tione
I ■ i! li '• hi c I

ạng được viết dưới dạng vectơ
{£ Y = k

£y

ez

r Xy

r yz

r j

( 2 .8 )

Các thành phấn của biến dạng trong phương trình đạo hàm riêng (2.7) là phi tuyến đối
với các thành phần chuyển vị chưa biết. Trong nhiểu bài toán phân tích ứng suất khi
biến dạng là nhỏ ta có thế giả thiết tích và bình phương của các đạo hàm cấp một là
các vô cùng bé có thê bỏ qua được so với chính các đạo hàm này. Môi quan hệ chuyển