Tính toán ổn định khí động flutter của dầm chủ trong kết cấu cầu hệ dây bằng phương pháp bước lặp
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.77 MB, 30 trang )
3 TÍNH TOÁN ỔN ĐỊNH FLUTTER CỦA DẦM CHỦ CẦU
TREO THEO MÔ HÌNH MẶT CẮT HAI BẬC TỰ DO BẰNG
PHƯƠNG PHÁP BƯỚC LẶP
Trong chương này, trên cơ sở các phương trình dao động tự kích khí động học uốn xoắn hai
bậc tự do đã biết [149, 153], áp dụng phương pháp bước lặp của Matsumoto (revised step-bystep method) nghiên cứu xác định vận tốc flutter tới hạn của gió tác dụng lên dầm chủ của cầu.
Bài toán này được gọi là bài toán ổn định flutter.
3.1 Mô hình dao động của dầm chủ theo lý thuyết flutter cổ điển
3.1.1 Các giả thiết cơ bản của lý thuyết flutter cổ điển
Khi sử dụng lý thuyết flutter cổ điển xác định vận tốc flutter giới hạn, ta thừa nhận các giả
thiết gần đúng sau đây [153]
1. Thiết diện mặt cắt của vật thể trong dòng chất lỏng có dạng tấm phẳng, mỏng. Các thiết
diện phẳng này kéo dài vô hạn dọc theo trục vuông góc với mặt cắt.
2. Dòng chất lỏng chuyển động trong mặt phẳng nằm ngang vuông góc với trục của vật thể
và có vận tốc không đổi như nhau. Tỷ số giữa vận tốc gió và vận tốc âm thanh nhỏ hơn 0,3.
3. Các giả thiết về lý thuyết thế vị và điều kiện chảy Kutta được thỏa mãn.
4. Mặt cắt có hai bậc tự do: dao động uốn theo phương thẳng đứng và dao động xoắn quanh
trục của vật thể.
5. Biên độ dao động là khá nhỏ, thỏa mãn lý thuyết tuyến tính.
6. Các nghiên cứu dao động giới hạn dao động là điều hòa, biên độ là hằng số.
7. Các lực đàn hồi và lực cản tỷ lệ bậc nhất với dịch chuyển và vận tốc.
3.1.2 Hệ phương trình dao động tự kích khí động học uốn xoắn hai bậc tự do
Xét mặt cắt của cánh hoặc của dầm cầu chịu tác dụng của luồng gió thổi đều (hình 3.1).
Mặt cắt giả thiết có hai bậc tự do: di chuyển uốn và di chuyển xoắn ký hiệu bởi h và . Một
đơn vị chiều dài nhịp có khối lượng m , momen quán tính I , lực hồi phục uốn và xoắn đặc
trưng bởi hệ số đàn hồi k h và k và các hệ số cản nhớt c h và c . Với các định nghĩa này, các
phương trình chuyển động có thể viết [149]
mh(t ) ch h(t ) kh h(t ) Lh
(3.1)
I(t ) c (t ) k (t ) M
(3.2)
với Lh và M lần lượt là lực nâng và momen tự kích trên mỗi đơn vị chiều dài của dầm.
52
c
U
k
ch
kh
h
M
Lh
B
m, I
Hình 3.1 Mô hình dao động flutter
3.1.3. Lực nâng và momen khí động
3.1.3.1.
Công thức lực khí động của Theodorsen trong trường hợp tấm mỏng
Như đã trình bày trong mục 2.2.2.6, trong trường hợp tấm mỏng, lực nâng và momen khí
đô ̣ng có da ̣ng [149]
1
Lh b2 U h 2UbC U h b
2
1
b
1
M b3 U Ub2C h U b
2
4
2
(3.3)
(3.4)
là mật độ không khí 1, 25 kg / m3 .
Công thức xấp xỉ xác định C k của R. T. Jones và W. P. Jones [70]
0.165
0.335
k 0.5
0.0455
0.3
1
i 1
i
k
k
0.165
0.335
C k 1
k 0.5
0.041
0.32
1
i 1
i
k
k
Công thức xấp xỉ các hàm F k , G k của U. Starossek [153]
C k 1
0.500502k 3 0.512607k 2 0.210400k 0.021573
F k
k 3 1.035378k 2 0.251293k 0.021508
0.000146k 3 0.122397k 2 0.327214k 0.001995
G k
k 3 2.481481k 2 0.934530k 0.089318
(3.5)
(3.6)
(3.7)
(3.8)
53
Bảng 3.1 Hàm C k F k iG k và các đại lượng liên quan [70]
k
10,00
6,00
4,00
3,00
2,00
1,50
1,20
1,00
0,80
0,66
0,60
0,56
0,50
0,44
0,40
0,34
0,30
0,24
0,20
0,16
0,12
0,10
0,08
0,06
0,05
0,04
0,025
0,01
0
3.1.3.2.
1/ k
0,000
0,100
0,16667
0,250
0,33333
0,500
0,66667
0,83333
1,000
1,250
1,51516
1,66667
1,78572
2,000
2,27273
2,500
2,94118
3,33333
4,16667
5,000
6,250
8,33333
10,000
12,500
16,66667
20,000
25,000
40,000
100,000
F
0,5000
0,5006
0,5017
0,5037
0,5063
0,5129
0,5210
0,5300
0,5394
0,5541
0,5699
0,5788
0,5857
0,5979
0,6130
0,6250
0,6469
0,6650
0,6989
0,7276
0,7628
0,8063
0,8320
0,8604
0,8920
0,9090
0,9267
0,9545
0,9824
1,000
G
0
0,0124
0,0206
0,0305
0,0400
0,0577
0,0736
0,0877
0,1003
0,1165
0,1308
0,1378
0,1428
0,1507
0,1592
0,1650
0,1738
0,1793
0,1862
0,1886
0,1876
0,1801
1,1723
0,1604
0,1426
0,1305
0,1160
0,0872
0,0482
0
2G / k
0
0,00248
0,00686
0,01525
0,02667
0,0577
0,0948
0,1462
0,2006
0,2912
0,3964
0,4593
0,5100
0,6028
0,7236
0,8250
1,022
1,195
1,552
1,886
2,345
3,002
3,446
4,010
4,753
5,220
5,800
6,976
9,640
2F / k 2
0
0,010012
0,02787
0,06296
0,1125
0,2565
0,4631
0,7361
1,0788
1,7316
2,6166
3,2156
3,7353
4,7832
6,3326
7,8125
11,192
14,778
24,267
36,380
59,592
111,99
166,4
268,9
495,6
727,2
1158,3
3054,4
196,48
Công thức lực khí động của Scanlan với mặt cắt có dạng bất kỳ
Như đã trình bày trong mục 2.2.2.6, Simiu và Scalan biểu diễn hàm lực gió dưới dạng số
thực [149]
1
h
B
h
Lh U 2 B KH1* ( K ) KH 2* ( K )
K 2 H 3* ( K ) K 2 H 4* ( K )
(3.9)
2
U
U
B
1
h
B
h
M U 2 B 2 KA1* ( K ) KA2* ( K )
K 2 A3* ( K ) K 2 A4* ( K )
(3.10)
2
U
U
B
với K là tần số thu gọn
BF
K
2k
(3.11)
U
54
Mố i liên hê ̣ giữa các Hi* K , Ai* K với các hàm tuần hoàn Theodorsen [149]
H1* K
2
F k
K
H 3* K
A K
*
1
A3* K
;
H 2* K
2K 2
2K 2
4G k
2F k
1
K
4G k
1
2
K k
KF k
K
F k ; A2* K
G k
2
2K 4
4
KG k
K2
F k
A4* K
G k
;
4
2K
32
1
2F k G k K
2
K
2
2K
;
H 4* K
Để thuận tiện ta đưa vào khái niệm vận tốc gió thu gọn U red
U 2 U 2
U red
fB B
K k
(3.12)
(3.13)
3.1.4 Xác định các tham số flutter
Việc xác định các tham số flutter Ai* , H i* i 1,..., 4 là bài toán quan trọng hàng đầu khi
nghiên cứu ổn định của cầu dây dưới tác dụng của gió. Bài toán này được nhiều người nghiên
cứu từ những năm 40 của thế kỷ 20 đến nay.
Có hai phương pháp thực nghiệm chính để xác định các tham số flutter Ai* , H i* i 1,..., 4 :
phương pháp dao động tự do [54, 60, 75, 89, 157] và phương pháp dao động cưỡng bức [64,
111]. Mối liên hệ giữa các tham số flutter được tác giả Scanlan đề xuất trong tài liệu [143].
U. Starossek [156, 157] đã tiến hành xác định các tham số flutter cho 9 mặt cắt cầu điển
hình (hình 3.2) bằng cả thực nghiệm và mô phỏng số, U. Starossek cũng kết luận rằng sự thay
đổi của số Reynold không ảnh hưởng nhiều đến kết quả, trong trường hợp mặt cắt GB được sử
dụng trong luận văn này, sự thay đổi của biên độ dao động cũng không ảnh hưởng lớn.
Trên hình 3.2 đưa ra một số mặt cắt điển hình đã được nghiên cứu xác định các tham số
flutter trong tài liệu [156]. L. Thiesemann, trong tài liệu [165], đã xác định các tham số khí
động của 31 dạng mặt cắt khác nhau bằng cả thực nghiệm và mô phỏng số.
Với các kết quả đạt được về việc xác định các tham số flutter Ai* , H i* của GS. Starossek và
các cộng sự ở Trường Đại học Kỹ thuật Hamburg [156, 157, 165], việc tính toán vận tốc gió
tới hạn trở nên đơn giản hơn nhiều so với trước đây.
55
Mặt cắt cầu Millau
Mặt cắt chữ nhật (B:H = 8:1)
Mặt cắt cầu Severn
Mặt cắt cầu Great Belt
Mặt cắt cầu Gibraltar
Mặt cắt cầu Tacoma Narrows
Mặt cắt cầu Chongqing
Mặt cắt dạng hình thang
Mặt cắt dạng tấm dẹt
Hình 3.2 Các dạng mặt cắt cầu được thực nghiệm tìm tham số khí động [156]
56
3.2 Tính toán vận tốc tới hạn flutter cho mô hình mặt cắt bằ ng
phương pháp bước lặp
3.2.1 Phân tích ổn định hệ phương trình dao động tự kích khí động học uốn
xoắn hai bậc tự do
Thế hệ phương trình lực gió (3.9), (3.10) vào hệ phương trình dao động (3.1), (3.2), ta thu
được
1
h
B
h
m h 2 hh h h2 h U 2 B KH1* ( K ) KH 2* ( K )
K 2 H 3* ( K ) K 2 H 4* ( K )
2
U
U
B
(3.14)
1
h
B
h
I 2 2 U 2 B 2 KA1* ( K ) KA2* ( K )
K 2 A3* ( K ) K 2 A4* ( K )
2
U
U
B
(3.15)
với
k
k
c
c
(3.16)
h2 h ; 2 ; h h ;
m
I
2 m h
2 I
Hệ (3.14), (3.15) có thể viết lại dưới dạng ma trận như sau
D K q C K q 0
MK q
(3.17)
với q h ; M K ; D K ; C K là các ma trận vuông cấp 2.
Tìm nghiệm hệ (3.17) dưới dạng
q t qet
với q là vector hằng, là tham số chưa biết. Thay (3.18) vào (3.17) ta được
2M D C q 0
Điều kiện cần để (3.19) có nghiệm q 0 là
T
det 2M D C 0
Phương trình (3.20) được gọi là phương trình đặc trưng. Phương trình này có dạng
a0 4 a1 3 a2 2 a3 a4 0
Cấu trúc nghiệm của phương trình (3.21):
+ Trường hợp 1: Hai nghiệm phức liên hợp
m m im ; m m im
m 1, 2
+ Trường hợp 2: Bốn nghiệm thực
1 1; 2 2 ; 3 3 ; 4 4
+ Trường hợp 3: Hai nghiệm phức và hai nghiệm thực
1 1 i1; 2 1 i1; 3 3 ; 4 4
Phân tích ổn định
+ Trường hợp 1: Hệ (3.17) có thể có các nghiệm dạng như sau
(3.18)
(3.19)
(3.20)
(3.21)
57
qm e mt cos mt
qm n e mt sin mt
m 1, 2
m 1, 2; n 2
hay
q1 e1t cos 1t; q2 e2t cos 2t; q3 e1t sin 1t; q4 e2t sin 2t
Khi m 0 m 1, 2 thì qm 0 khi t
q2 t
Khi m 0 (giả sử với m 2 ) thì
khi t
q
t
4
q1 t
Nếu 1 0; 2 0 thì q2 cos 2t; q4 sin 2t giới nội và
khi t
q3 t
Nếu 1 0; 2 0 thì các qm giới nội.
Vậy:
Nếu m 0 m 1, 2 thì các nghiệm 0 khi t
Nếu tồn tại m 0 thì có nghiệm giới nội.
Nếu tồn tại m 0 thì có nghiệm
Điều kiện ổn định sẽ là m 0 với m .
+ Trường hợp 2: Hệ (3.17) có các nghiệm
q1 t e1t ; q2 t e2t ; q3 t e3t ; q4 t e4t
Khi m 0 với m thì qm 0 khi t
Khi tồn tại m 0 (giả sử với m 4 ) thì q4 t khi t
Khi tồn tại m 0 (giả sử với m 4 ) còn 1,2,3 0 thì q4 t giới nội và q1,2,3 0 khi
t
Điều kiện ổn định sẽ là m 0 với m .
+ Trường hợp 3: Hệ (3.17) có các nghiệm
q1 e1t cos 1t; q2 e1t sin 1t; q3 e3t ; q4 e4t
Khi m 0 với m thì qm 0 khi t
Khi tồn tại m 0 (giả sử với m 4 ) thì q4 t khi t
Khi tồn tại m 0 (giả sử với m 4 ) còn 1,2,3 0 thì q4 t giới nội và q1,2,3 0 khi
t
Điều kiện ổn định sẽ là m 0 với m .
Do n là hàm của K , trong đó K là tần số thu gọn, điều kiện ổn định flutter là
n K 0 n
n K 0 n
Trường hợp tới hạn: n K 0
58
3.2.2 Thuật toán phương pháp bước lặp
Phương pháp RSBS đươ ̣c tác giả Matsumoto [115, 116] đề xuất dựa trên phương pháp giải
bước lă ̣p của hê ̣ hai phương triǹ h uố n xoắ n , nghiê ̣m của phương triǹ h trước dùng để xác đinh
̣
lực khí đô ̣ng kế t hơ ̣p ở phương trình sau . Từ quá trình biế n đổ i , nhâ ̣n thấ y phương pháp bước
lă ̣p áp du ̣ng cho hai nhánh xoắ n và uố n . Bởi vì ổ n đinh
̣ nhánh xoắn là trội trong hầu hết các
trường hơ ̣p , do đó phân tích ổ n đinh
̣ từng bước cho nhánh xoắ n sẽ là thuâ ̣n tiê ̣n hơn để áp
dụng khi so với nhánh uốn.
Bước 1
Giả thiết chuyển vị xoắn có dạng
(3.22)
0e FF t sin F t
với 0 là biên độ của dao động xoắn và t là thời gian. Ta suy ra
(3.23)
F sin F t sin F t 2
F sin F t sin F t ta sử du ̣ng phương pháp giản đồ
2
0F e
Để tổ ng hơ ̣p dao đô ̣ng
F F t
vectơ quay (hình 3.3)
1 F2
0
0
1
2
F
F 0
1
1 F2
2
F
F 0
Hình 3.3 Giản đồ vector quay tổng hợp hai dao động
Dao đô ̣ng tổ ng hơ ̣p có da ̣ng
F sin F t sin F t 1 F2 sin F t 0
2
2
với
0 arctan F
1
Như vâ ̣y
0F e F F t F sin F t sin F t
2
0F 1 e
2
F
F F t
sin F t 0
2
Bước 2
Chuyể n vi ̣uố n phát sinh bởi các ngoa ̣i lực gây ra bởi chuyể n vi ̣xoắ n
vào (3.14), ta đươ ̣c da ̣ng dao đô ̣ng cưỡng bức như sau
(3.24)
, thay (3.22), (3.24)
59
B2
B2 2 *
B3
B3 2 *
h 2 hh
F H1* h h2
F H 4 h
F H 2*
F H 3
2m
2m
2m
2m
B3
F H 2* 0F 1 F2 e F F t sin F t 0
2m
2
B3
2m
F2 H 3* 0e
F F
(3.25)
sin F t
Đặt
h*2 h2
B2
F2 H 4*
2m
B 2F *
*
h 2 hh
H1 / (2h* )
2m
ta đưa phương triǹ h (3.25) về da ̣ng
B3 *
h 2 h*h*h h*2 h
H 2 0F2 1 F2 e F F t sin F t 0
2m
2
B3
F2 H 3* 0e
F F
2m
Nghiê ̣m của phương trình (3.28) có dạng
h h h1 h2
(3.26)
(3.27)
(3.28)
sin F t
(i) h là nghiệm của phương trình dao động tự do
h 2 h*h*h h*2 h 0
Nghiê ̣m phương triǹ h (3.30) có dạng
h h0e ht sin h*t
*
(3.29)
(3.30)
(3.31)
Chú ý rằng với các giá trị lớn của t, nghiệm thuần nhất (3.31) xấp xỉ bằng 0 và nghiệm tổng
quát của phương trình (3.28) xấp xỉ nghiệm riêng.
(ii) h1 là nghiệm của phương trình dao động cưỡng bức
B3 *
h 2 h*h*h h*2 h
H 2 0F2 1 F2 e F F t sin F t 0
2m
2
Ta tim
nghiê
phương
tri
n
h
(3.32)
dươ
i
da
̣m
̣ng
́
̀
̀
h1 M1e F F t sin F t 0 N1e F F t cos F t 0
2
2
suy ra
h1 M 1 F F N1F e F F t sin F t 0
2
M 1F N1 F F e F F t cos F t 0
2
(3.32)
(3.33)
(3.34)
60
h1 M 1 F2F2 M 1F2 2 N1 F F2 e F F t sin F t 0
2
2M 1 F N1 N1
2
F
2
F
2
F
2
F
e
F F t
cos F t 0
2
Thay (3.33), (3.34), (3.35) vào (3.32) ta đươ ̣c
M1 F2F2 M1F2 2 N1 F F2 e FF t sin F t 2 0
2M 1 F F2 N1 F2F2 N1F2 e F F t cos F t 0
2
2 h*h* M 1 F F N1F e F F t sin F t 0
2
(3.35)
(3.36)
M 1F N1 F F e F F t cos F t 0 h*2 M 1e F F t sin F t 0
2
2
3
B *
N1e F F t cos F t 0
H 2 0F2 1 F2 e F F t sin F t 0
2
2
2m
Sử du ̣ng biện pháp so sánh hệ số cho e F F t sin F t 0 và e F F t sin F t 0
2
2
hai vế của phương trình (3.36) ta rút ra
M1 F2F2 M1F2 2 N1 FF2 2 h*h* M1 FF N1F h*2 M1
(3.37)
B3 *
2
2
H 2 0F 1 F
2m
(3.38)
2M1 FF2 N1 F2F2 N1F2 2 h*h* M1F N1 FF h*2 N1 0
Biế n đổ i hê ̣ phương triǹ h (3.37), (3.38) về da ̣ng hệ 2 phương triǹ h bâ ̣c nhấ t với M1 , N1
2
F
F2 2 h*h* F F h*2 F2 M1 2 F F2 h*h*F N1
B3
H 2* 0F2 1 F2 (3.39)
2m
(3.40)
2 F F2 h*h*F M1 F2F2 2 h*h* F F h*2 F2 N1 0
Như vâ ̣y nghiê ̣m của hê ̣ (3.39), (3.40) có dạng
B3 *
H 2 0F2 1 F2
2 F F2 h*h*F
2m
0
F2F2 2 h*h* F F h*2 F2
M1
2 F F2 h*h*F
F2F2 2 h*h* F F h*2 F2
2 F F2 h*h*F
2
F
2
F
F2F2 2 h*h* F F h*2 F2
F2 2 h*h* F F h*2 F2
2 F F
2
F
*
h
*
h
*2
h
2
F
2
B3
(3.41)
H 2* 0F2 1 F2
2m
2
4 F F2 h*h*F
61
B3
F2F2 2 h*h* F F h*2 F2
N1
2
F
*
h
*
h
0
F2 2 h*h* F F h*2 F2
2 F F2 h*h*F
2 F F2 h*h*F
2m
2 F F
2
F
2 F F2 h*h*F
B3
H 2* 0F2 1 F2
2
F
(3.42)
F2 2 h*h* F F h*2 F2
H 2* 0F2 1 F2
2m
2
2
2 F F F2 4 F F2 h*h*F
2
F
2
F
*
h
*
h
*2
h
Nghiê ̣m h1 có thể được biểu diễn dưới dạng
h1 h10e F F t sin F t 0 01
2
với
(3.43)
h10 cos01 M1
h10 sin 01 N1
suy ra
B3
h10 M12 N12
2m
2
F
H 2* 0F2 1 F2
2 F F
2
F
*
h
*
h
*2
h
2
F
2
4 F F
2
F
*
h
*
h
H 2* F2F2 2 h*h* F F h*2 F2
M1
cos 01
2
h10
*
2 2
* *
*2
2 2
2
* *
H
2
4
2
F
F
h
h
F
F
h
F
F
F
h
h
F
2 H 2* F F2 h*h*F
N1
sin
01
h10 H * 2 2 2 * * *2 2 2 4 2 * * 2
F F h h F F h F F F h h F
2
Để thuâ ̣n tiê ̣n ta viế t la ̣i dưới da ̣ng
h1 h10 sin F t 1
với
1 01
2
0
2
(3.44)
(3.45)
(3.46)
(iii) h2 là nghiệm của dao động cưỡng bức
B 3 2 * F F
h 2 h*h*h h*2 h
F H 3 0 e
sin F t
2m
Ta tìm nghiê ̣m phương trình (3.47) dưới da ̣ng
h2 M 2e F F t sin F t N2e FF t cos F t
suy ra
h2 M 2 F F N 2F e F F t sin F t
M 2F N 2 F F e F F t cos F t
(3.47)
(3.48)
(3.49)
62
h2 M 2 F2F2 M 2F2 2 N 2 F F2 e F F t sin F t
(3.50)
2M 2 F F2 N 2 F2F2 N 2F2 e F F t cos F t
Thay (3.48), (3.49), (3.50) vào (3.47) ta đươ ̣c
M 2 F2F2 M 2F2 2 N 2 FF2 e FF t sin F t
2 M 2 F F2 N 2 F2F2 N 2F2 e F F t cos F t
2 h*h* M 2 F F N 2F e F F t sin F t
(3.51)
M 2F N 2 F F e F F t cos F t h*2 M 2e F F t sin F t
N 2 e F F t cos F t
B3
2m
F2 H 3* 0e
F F
sin F t
e F F t sin F t và e F F t sin F t hai vế của
Sử du ̣ng biê ̣n pháp so sánh hê ̣ số cho
phương triǹ h (3.51) ta rút ra
M 2 F2F2 M 2F2 2 N2 FF2 2 h*h* M 2 FF N2F h*2 M 2
(3.52)
B3 2 *
F H 3 0
2m
2
2 2
2
* *
(3.53)
2M 2 FF N2 FF N2F 2 hh M 2F N2 FF h*2 N2 0
Biế n đổ i hê ̣ phương trình (3.52), (3.53) về da ̣ng hệ 2 phương trình bâ ̣c nhấ t với M1 , N1
F2F2 2 h*h* FF h*2 F2 M 2 2 FF2 h*h*F N2
B3
F2 H 3* 0
2m
2
* *
2 2
* *
*2
2 F F hhF M 2 F F 2 hh F F h F2 N2 0
Như vâ ̣y nghiê ̣m của hê ̣ (3.54), (3.55) có dạng
M2
F2F2 2 h*h* FF h*2 F2
2
F
2 F F
2
F
*
h
*
h
*2
h
2
F
2 F F2 h*h*F
2
B3
2m
(3.54)
(3.55)
F2 H 3* 0
4 F F2 h*h*F
2
(3.56)
B3
F2 H 3* 0
2
m
N2
2
2
F2F2 2 h*h* FF h*2 F2 4 FF2 h*h*F
(3.57)
Nghiê ̣m h2 có thể được biểu diễn dưới dạng
h2 h20e F F t sin F t 2
với
(3.58)
h20 cos 2 M 2
h20 sin 2 N 2
suy ra
63
B3
h20 M N
2
2
2
2
M
cos 2 2
h20
H 3*
N2
sin 2
h20 H *
3
2m
2
F
F2 H 3* 0
2 F F
2
F
*
h
*
h
*2
h
2 2
F
4 F F
2
F
*
h
*
h
2
(3.59)
H 3* F2F2 2 h*h* F F h*2 F2
2
F
F2 2 h*h* F F h*2 F2 4 F F2 h*h* F
2
2
(3.60)
2 H 3* F F2 h*h*F
2
F
F2 2 h*h* F F h*2 F2 4 F F2 h*h* F
2
2
Như vâ ̣y, nghiê ̣m phương triǹ h dao đô ̣ng uố n có da ̣ng
h h10e F F t sin F t 1 h20e FF t sin F t 2
h h1 h2 h10 F F e F F t sin F t 1 h10F e F F t cos F t 1
h20 F F e F F t sin F t 2 h20F e F F t cos F t 2
F F
Khai triể n h, h và chú ý rằng e F F t sin F t ; e F F t cos F t
, ta có
0
0F
F F
h h10
cos 1 h10
sin 1
0
0F
F F
h20
cos 2 h20
sin 2
0
0F
F F
h h10 F F
cos 1 h10 F F
sin 1
0
0F
F F
h10F
cos 1 h10F
sin 1
0F
0
F F
h20 F F
cos 2 h20 F F
sin 2
0
0F
F F
h20F
cos 2 h20F
sin 2
0F
0
(3.61)
Bước 3
Tiế p tu ̣c, chuyể n vi ̣xoắ n la ̣i đươ ̣c phát sinh bởi chuyể n vi ̣uố n , có dạng dao động tự do
B3
B3 2 * B 4
B4 2 *
(3.62)
2 2
F A1*h
F A4 h
F A2*
F A3
2I
2I
2I
2I
Khai triể n lực tự kić h có nguyên nhân do uố n bên vế phải
64
B3
2I
F A1*h
B3
2I
F2 A4*h
B3
2I
F A1* h10 F F
F F
cos 1
0
F F
sin 1 h10F
cos 1
0F
0F
F F
h10F
sin 1 h20 F F
cos 2 h20 F F
sin 2
0
0
0F
h10 F F
h20F
h10
b3 2 *
F F
cos 2 h20F
sin 2
F A4 h10 cos 1
0F
0
I
0
F F
F F
sin 1 h20
cos 2 h20
sin 2
0F
0
0F
B3 B3
2I
2
F
2m
F2
F2 2 h*h* F F h*2 F2 4 F F2 h*h*F
2
2
{ A* H * 1 2
F
1 2
3/2
F2 sin 1
A1* H 3* 1 F2 F2 sin 2 A4* H 2* F2 1 F2 (cos 1 F sin 1 )
A4* H 3* F2 (cos 2 F sin 2 )} { A1* H 2* 1 F2 F F sin 1 cos 1
A1* H 3* F F sin 2 cos 2 A4* H 2* F 1 F2 sin 1 A4* H 3* F sin 2 }
(3.63)
Để thuâ ̣n tiê ̣n ta ký hiê ̣u
B4
1
; 2
2I
B2 2
F
2m
2
F
2 F F
2
F
*
h
*
h
*2
h
2 2
F
4 F F
2
F
*
h
*
h
2
(3.64)
như vâ ̣y
B3
2I
F A1*h
B3
2I
F2 A4*h 12 { A1* H 2* 1 F2 F2 sin 1
3/2
A1* H 3* 1 F2 F2 sin 2 A4* H 2* F2 1 F2 (cos 1 F sin 1 )
A H (cos 2 F sin 2 )} { A H
*
4
*
3
2
F
*
1
*
2
1 F F sin 1 cos 1
(3.65)
2
F
A1* H 3* F F sin 2 cos 2 A4* H 2* F 1 F2 sin 1 A4* H 3* F sin 2 }
Thay (3.65) vào phương trình (3.62) ta có
65
2 2 1 2 { A1* H 2* 1 F2 F2 sin 1
3/2
A1* H 3* 1 F2 F2 sin 2 A4* H 2* F2 1 F2 (cos 1 F sin 1 )
A4* H 3* F2 (cos 2 F sin 2 )} { A1* H 2* 1 F2 F F sin 1 cos 1
A1* H 3* F F sin 2 cos 2 A4* H 2* F 1 F2 sin 1 A4* H 3* F sin 2 }
4
4
B
B 2 *
F A2*
F A3
2I
2I
Phương trình (3.66) đươ ̣c viế t la ̣i dưới da ̣ng chuẩ n
2 F F F2 0
với
(3.66)
(3.67)
F [2 1F2 A3* 1 2F2 { A1* H 2* 1 F2 sin 1
3/2
A1* H 3* 1 F2 sin 2 A4* H 2* 1 F2 (cos 1 F sin 1 )
(3.68)
A4* H 3* (cos 2 F sin 2 )}]1/2
2 F 2
1 A2* 12 { A1* H 2* 1 F2 F sin 1 cos 1
F
(3.69)
A1* H 3* F sin 2 cos 2 A4* H 2* 1 F2 sin 1 A4* H 3* sin 2 }
Sau khi tính được F , theo định nghĩa độ cản Lehr [10], ta suy ra
F 2 F
(3.70)
Chú ý rằng, ứng với mỗi vận tốc gió, 1 const , 2 2 F , F , sin 1 ,cos 1 ,
sin 2 , cos 2 cũng là các hàm của F và F . Vậy hệ (3.68) và (3.69) là hệ hai phương trình
đại số phi tuyến với 2 ẩn F và F . Giải hệ hai phương trình này bằng phương pháp lặp
Newton-Raphson, ta tìm được F , F . Sau đó ta tìm F theo công thức (3.70).
Dựa trên thuật toán trình bầy ở trên và sử dụng phần mềm đa năng MATLAB, chúng tôi đã
xây dựng một phần mềm tính toán vận tốc flutter tới hạn của mô hình mặt cắt của dầm chủ của
cầu. Phần mềm được đặt tên là Flutter-BK01. Các tham số flutter Ai* , H i* được tính theo các
công trình của Starossek và các cộng sự [156, 157, 165] đối với một số mặt cắt thông dụng của
dầm cầu.
Hình 3.4 mô tả sơ đồ thuật toán tóm tắt của phương pháp bước lặp.
66
Begin
Nhập các dữ liệu động lực của kết cấu m, I , h , , h , , , B , U min ,U max , U
F 0 , F 0 0
Nhập các đa thức xấp xỉ của Hi* , Ai* (i 1, 2,3, 4) theo U red
U U min : U : U max
Vòng lặp vận tốc gió
i 1
U (i)
Giải hệ hai phương trình phi tuyến (3.68), (3.69) với hai ẩn
F , F , xấp xỉ ban đầu là F 0 , F 0
f (i) F / 2 ; F i 2 F
i i 1
U i U i U
F 0 F , F 0 F
Đ
i length U
S
In đồ thị (U , f ) , In đồ thị (U , F )
Kiểm tra vị trí thứ k , tại đó F k
min
k 0 , U
F
F
U k
End
Hình 3.4 Sơ đồ khối thuật toán phần mềm Flutter-BK01
67
3.3 Mô hình thí nghiệm mặt cắt dầm cầu tại trường Đại học Kỹ thuật
Hamburg
Mô hình mặt cắt dầm cầu GB được thực hiện trong hầm gió của Viện Phân tích kết cấu và
Công trình thép thuộc Đại học Công nghệ Hamburg, mặt cắt có dạng thu nhỏ của mặt cắt
ngang dầm cầu Great Belt ở Đan Mạch. Bốn máy đo chuyển vị laser để đo chuyển vị theo
phương thẳng đứng tại bốn điểm góc của mặt cắt dầm cầu.
Hầm gió có dạng hầm gió mở kiểu Eiffel với vận tốc gió lớn nhất là 24m/s. Bề rộng và
chiều cao của thí nghiệm mô hình mặt cắt đều là 0,8m. Cường độ rối nhỏ hơn 0,1% tại vận tốc
gió cực đại (hình 3.6)
Các thông số của mô hình:
m 34,8kg , I 0,71kgm2 , kh 2790 N/m , k 70,8 Nm/rad ,
ch c 0 , B 2b 0, 420m
26,61
2,79
183,39
40,53
84
252
18,21
183,39
61,59
26,61
84
420
Hình 3.5 Hình dáng mặt cắt mô hình thí nghiệm (đơn vị: mm)
Hình 3.6 Mô hình thí nghiệm trong thí nghiệm hầm gió
Kết quả vận tốc gió tới hạn của mô hình thực hiện trong hầm gió của trường Đại học Kỹ
thuật Hamburg là 9,8 m/s (35,28km/h)
68
Bảng 3.2 Các tham số khí động Hi* , Ai* (i 1, 2,3, 4) mặt cắt GB, Re 250000, 20 [156]
U
fB
20,957
13,954
10,458
8,373
6,988
5,979
5,236
4,650
4,194
3,831
3,493
3,222
2,991
2,801
2,622
2,468
2,328
2,209
2,100
U red
U
fB
20,880
13,974
10,531
8,378
6,982
5,986
5,245
4,657
4,196
3,808
3,492
3,227
2,998
2,795
2,624
2,468
2,330
2,207
2,098
U red
H 2*
8,372
2,93
1,338
0,066
-0,124
-0,322
-0,458
-0,502
-0,464
-0,486
-0,468
-0,454
-0,418
-0,398
-0,384
-0,36
-0,33
-0,31
-0,294
H1*
-14,052
-8,702
-5,954
-4,506
-3,758
-3,036
-2,614
-2,276
-1,998
-1,744
-1,602
-1,44
-1,306
-1,17
-1,136
-1,058
-0,98
-0,94
-0,854
H 3*
A2*
A3*
-2,704
-1,2
-0,636
-0,404
-0,27
-0,196
-0,156
-0,118
-0,092
-0,08
-0,064
-0,06
-0,05
-0,044
-0,04
-0,034
-0,028
-0,026
-0,022
12,05
4,95
2,668
1,666
1,148
0,836
0,646
0,516
0,422
0,354
0,304
0,264
0,234
0,208
0,188
0,17
0,156
0,146
0,136
H 4*
A1*
A4*
-1,574
-2,352
-1,804
-0,81
0,05
-0,072
0,114
0,064
0,158
0,376
0,45
0,524
0,582
0,624
0,6
0,638
0,672
0,656
0,662
3,57
2,052
1,508
1,154
0,928
0,798
0,696
0,618
0,546
0,508
0,464
0,43
0,402
0,396
0,362
0,348
0,336
0,32
0,312
0,696
0,64
0,4
0,33
0,274
0,15
0,144
0,106
0,084
0,076
0,048
0,044
0,034
0,024
0,014
0,006
-0,006
-0,002
-0,014
-49,004
-19,326
-10,024
-6,19
-4,09
-2,886
-2,168
-1,684
-1,362
-1,108
-0,938
-0,796
-0,704
-0,6
-0,53
-0,478
-0,418
-0,384
-0,346
69
U red
U red
U red
U red
U red
U red
U red
U red
Hình 3.7 Đồ thị Ai* , H i* theo U red của mặt cắt GB
Chú ý:
Trong trường hợp chiều dài mô hình khác 1 đơn vị, phương trình (3.14) - (3.15) có dạng
1
h
B
h
m h 2 hh h h2 h U 2 B l KH1* ( K ) KH 2* ( K )
K 2 H 3* ( K ) K 2 H 4* ( K )
2
U
U
B
(3.71)
1
h
B
h
I 2 2 U 2 B 2 l KA1* ( K ) KA2* ( K )
K 2 A3* ( K ) K 2 A4* ( K )
2
U
U
B
(3.72)
70
với l là chiều dài mô hình, m, I là khối lượng và momen quán tính của mô hình. Trong
trường hợp mô hình thí nghiệm tại trường Đại học Kỹ thuật Hamburg, chiều dài của mô hình
là 0.79m.
Đa thức nội suy bậc ba của các Ai* , Hi* i 1, 2,3, 4 với biến U red là
3
2
A1* 5,3*105U red
0,0016U red
0,11U red 0,058
3
2
A2* 3,6*105U red
0,0076U red
0,017U red 0,03
3
2
A3* 0,00027U red
0,022U red
0,014U red 0,066
3
2
A4* 0,00018U red
0,0046U red
0,02U red 0,069
3
2
H1* 0,00032U red
0,019U red
0, 42U red 0,1
3
2
H 2* 0,00075U red
0,053U red
0, 4U red 0,32
3
2
H3* 0,0015U red
0,086U red
0,11U red 0, 21
3
2
H 4* 0,002U red
0,052U red
0,13U red 0,59
Hình 3.8 Đồ thị quan hệ U f và U F đố i với mô hình thí nghiệm tại Đại học Hamburg
Sử dụng phần mềm Flutter-BK01 ta tìm được vận tốc flutter tới hạn như trên hình 3.8.
U F 9,31m/s 33,5km/h
f F 1, 4996Hz F 9, 42 rad/s
Kết quả trên phù hợp tốt với kết quả thực nghiệm là U F 9,8m/s , sai số là 5%.
71
Hình 3.9 Đồ thị góc xoắn theo thời gian t của mặt cắt GB với các vận tốc gió
3.4 Tính toán vận tốc gió tới hạn mô hình mặt cắt của một vài cầu cụ
thể
3.4.1 Tập hợp các số liệu với mặt cắt GB của tác giả Thiesemann [165]
Trong mục này của luận văn, tính toán lại vận tốc flutter của bốn bộ số liệu với mặt cắt GB
của tác giả Thiesemann trong tài liệu [165] bằng phương pháp bước lặp. Sử dụng phần mềm
Flutter-BK01, tìm được các vận tốc flutter tới hạn và tần số thu gọn flutter tới hạn như bảng
3.4 và 3.5.
Bảng 3.3 Tập hợp bốn bộ số liệu với mặt cắt GB [165]
b
h
m
I
h
Đơn vị
m
rad/s
1
5,95
0,84
2
15,5
0,62
3
15,5
0,622
4
30
0,383
rad/s
kg/m
kgm2/m
-
1,11
8500
177730
0
1,17
17800
2173000
0
1,71
22740
2470000
0,002
0,509
39500
26700000
0,003
-
0
0
0,002
0,0015
72
Bảng 3.4 Kết quả tính toán vận tốc flutter U F (m/s)
Tính toán lý thuyết trong luận văn
Kết quả tính lý thuyết [165]
Kết quả tính thực nghiệm [165]
Công thức Selberg1
Sai số giữa kết quả tính toán lý thuyết
trong luận văn và trong tài liệu [165]
1
21,78
21,5
20,6
21,90
2
39,6
40,2
41,3
41,73
3
74,1
73,0
70,2
73,54
4
19,4
15,5
16,1
23,16
1,3%
1,49%
1,5%
25,16%
Bảng 3.5 Kết quả tính toán tần số thu gọn flutter k F (m/s)
Tính toán số
Kết quả tính toán lý thuyết [165]
Kết quả thực nghiệm [165]
Sai số giữa kết quả tính toán lý thuyết
trong luận văn và trong tài liệu [165]
1
0,27
0,27
0,29
2
0,38
0,37
0,37
3
0,26
0,26
0,28
4
0,74
0,96
0,92
0%
2,7%
0%
22,91%
3.4.2 Cầu Great Belt của Đan Mạch
Cây cầu Great Belt (hoàn thành năm 1998) nối liền các đảo Zealand và Funen của Đan
Mạch. Nó gồm một cầu treo nối liền các Zealand và đảo Sprogø (cầu Đông) và một cầu dầm
hộp nối liền Sprogø và Funnen (cầu Tây). Thông thường, tên gọi Great Belt dùng chỉ để chỉ
cầu Đông. Cầu Đông có chiều dài nhịp lớn thứ ba trên thế giới (1,6km) và là cầu dài nhất
ngoài khu vực châu Á (www.en.wikipedia.org).
Hình 3.10 Hình ảnh và mặt cắt cầu Great Belt của Đan Mạch (đơn vị: m) [146]
1
Công thức Selberg [37]
U F 2.623 f B 1 1/ 2 r
với
r I / mB 2 ;
(3.73)
2m
;
h
B2
73
Các thông số cầu Great Belt [146]
B 31m, m 17,8 103 kg/m, I 2,173 106 kgm2 /m, 1, 225kg/m3
h 0, 62 rad/s, 1,17 rad/s, h 0
Các tham số flutter Ai* , H i* được xác định theo mặt cắt GB cho trong bảng 3.2.
Hình 3.11 Đồ thị quan hệ U f và U F đố i với mặt cắt cầu Great Belt (RSBS)
Sử dụng phần mềm Flutter-BK01, ta tìm được vận tốc gió flutter tới hạn như trên hình 3.11.
U F 40,14 m/s 144,5km/h
f F 0,1558Hz F 0,978rad/s
Theo tài liệu [146], U F 39, 2 m/s 141,12km/h ; F 0,995rad/s . Sai số vận tốc gió tới
hạn giữa tính toán lý thuyết trong luận văn và theo tài liệu [146] là 2,4%.
3.4.3 Cầu Tacoma Narrows cũ của Mỹ
Cây cầu Tacoma Narrows cũ (sụp đổ vào năm 1940) là một cây cầu treo ở bang
Washington ở Mỹ, kéo dài qua eo biển giữa Tacoma và bán đảo Kitsap. Tại thời điểm xây
dựng, cây cầu này là cây cầu treo có chiều dài nhịp chính lớn thứ ba trên thế giới, sau cầu
Golden Gate và cầu George Washingtion (www.en.wikipedia.org).
Hình 3.12 Hình ảnh và sơ đồ bố trí chung, mặt cắt của cầu Tacoma Narrows cũ [93]
74
Sử du ̣ng công thức lực gió cho tấm mỏng, với các công thức xấ p xỉ cho các hàm F k và
G k của tác giả Starossek (công thức (3.7)-(3.8)) và mối liên hệ giữa các Ai* , H i* với F k
và G k (công thức(3.12)) , ta dễ dàng tính được các Ai* , H i* theo U red như trên hình 3.13.
Hình 3.13 Biểu đồ các tham số khí động Ai* , H i* , i 1, 2,3, 4 của tấm mỏng
75
Xét mặt cắt dầm cầu Tacoma Narrows cũ với các tham số [153]:
m 8500kg/m; 1, 25kg/m3 ; b 5,95m; h 0,84rad/s; 1,11rad/s
r
1 I
0, 77; h 0, 05; 0, 05 ; 1,25kg/m3
b m
Hình 3.14 Đồ thị quan hệ U f và U F đố i với mặt cắt cầu Tacoma Narrows (RSBS)
Sử dụng phần mềm Flutter-BK01, ta tìm được vận tốc gió flutter tới hạn như trên hình 3.14.
U F 23, 75m/s 85,5km/h
f F 0,1540Hz F 0,9671rad/s
Kết quả tính toán lý thuyết trong tài liệu [153] là U F 23,6 m/s 84,96km/h ;
F 0,97 rad/s . Sai số vận tốc gió tới hạn tính toán theo lý thuyết trong luận văn và theo tài
liệu [153] là 0,64%.
3.4.4 Cầu Jiangyin của Trung Quốc
Cầu Jiangyin bắc qua sông Dương Tử của Trung Quốc, kết nối các thành phố Jiangyin và
Jingjiang. Nhịp chính của cầu là 1.385 m, là cây cầu có chiều dài nhịp chính lớn nhất ở Trung
Quốc và có chiều dài nhịp chính lớn thứ bảy trên thế giới vào thời điểm cây cầu hoàn thành
năm 1999. Sau khi cầu Runyang hoàn thành trong năm 2005 và cầu Xihoumen hoàn thành
năm 2007, nó trở thành cây cầu lớn thứ ba tại Trung Quốc (www.en.wikipedia.org).
Hình 3.15 Hình ảnh mặt cắt ngang của cầu Jiangyin (đơn vị: m)[75]
76
