Phương pháp giải toán hình học giải tích trong không gian lê hồng đức

LÊ HỔNG ĐỨC - LÊ HỬU TRÍ

PHƯƠNG PHÁP
GIAI TOÁN

GỒ M 36 CHỦ ĐẾ CHO 58
DẠNG TOÁN VỚI 146 v í D Ị
119 BÀI TOÁN CHỌN LỌ C
VÀ 218 BÀI TẬP ĐỄ NGHỊ

Giải hình không gian bằng
phương pháp tọa độ
trong khôn? gian

Đ 2
CpGỈ
Hã NỘI

NHÀ XU Ấ T BẢN ĐẠI HỌC QUỐC G IA HÀ NỘI


LÊ HỔNG ĐỨC - LÊ HỮU TRÍ

n

n

lM

I I Ì N

I T

U

G

P

I I H

H

M

Ọ

Ỉ

H

I I Í P

G

C

I Ả

G

l lt

I Ả

a

I T O

I

T

G

Á N

Í C

H

I M

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI


PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH
TRONG KHÔNG GIAN

BIỆN SOẠN THEO CHƯƠNG TRÌNH CHỈNH LÝ HỢP NHẤT
HIỆN HÀNH CỦA Bộ GIÁO DỤC VÀ DÀO TẠO

Hưởng ứng lời kêu goi đối mới phương pháp day và hoc
LẤY HỌC TRÒ l.ÀM TRUNG TÂM

T à i liệ u n à y x in d à n h tặ n g ngươi C ha đ á n g k ín h củ a các tá c g iả .


LỜI GIỚI THIỆU
Xin trán trọng giới tihiộu tới l\ìti ítỉk lx) tiìi iiộu

P 1I I 0 \< , PHÁI* GIẢI TO ÁN
T R lT iW H Ọ C P H Ổ T I I Ô M Ỉ
do Thạc s ĩ 7(kín học Lô Hổm; Dứcchỉì Nôn. Bỏ tài iiôu gồm 10 tập:
Tập 1.
Tâp 2.
Tâp 3.
Tâp 4.
Tâp 5.
Tâp 6.
Tâp 7.
Tảp 8.
Tập 9.
Tập 10.

Phương phap giãi Toón LưỢng giác.
Phương pháp giài Toán Hình học Giai tích trong Măt phảng.
Phướng pháp giài Toán Hình học Giài tích trorg Khổng gian.
Phương pháp giài Toán Hình học Không gian

Phương pháp giải Toán Véctơ.
Phương pháp giài Toán Dại số.
Phương pháp giài Toan Hàm sổ.
Phương pháp giài Toán Tích phân.
Phương pháp giải Toán Tổ hợp.
Ôn tập Toán thi Tốt nghiộp Trung học phổ thông

Với mục LĨích giúp các Thả V, Cổ giáo cỏ dược bài giiìng có hiệu quà hơn và các
em có dược cái nhìn tông quan, hiểu dược bàn chài cúđ môi vấn dề đặt ra, từ đó
dưđ ra phương pháp giải mạch lạc phù hợp với nhừng đòi hỏi của một bài thi, nên
mỗi trong m ôi tập tài liệu chúng tỏi sắp xếp, hộ thông các kiến thức dược dề cập
trong chương trình Toán Trung học Phô thông thành các Chủ dề. Mỏi Chủ dể
liươc chia thành ba mục:
Kiến thức cơ bần: Gồm phương pháp giẩi cho mỗi dạng toán cơ bản
dược trình bày dưới dạng các bdi toán và các ví dụ vẻ giải toán.
II. Các bài toán chọn lọc: Gồm các bài toán được tuyển chọn có chọn lọc từ
các bài tập trong cuốn Bộ dề thi tuyển sinh môn Toán và từ cấc Dề thi
tuỵôn sinh môn Toán vào các trường Đại học kẽ từ năm 1994 tới nay.
III. Bài tập để nghị

I.

N hư vậy ở m ỗi chủ dề:
1.

Với việc trình bày dưới íỉiìĩlỊĩ các bái toán cơ hìn óìng ví dụ minh hoạ
ngay sau dó, sẽ giúp tăng chílt lượng bài giàng cho các Thày, Cô giáo và
với cấc em học sinh sè hiểu và biết cách trình bày bài.

2. Tiếp dó tới các bài toán chọn lọc dược lây ra từ các dề thi vào các ưường

Dại học, sè giúp các Thàv, Cô giảo dẫn dát các em học sinh tiếp cận nhanh
chóng với những đòi hòi của thực tế
3.

Đặc biột là nội dung của các chú ý sau một vài ví dụ h(Jăc bài toán chọn lọc
sè giúp các Thảy, Cô giáo củng cố những hiêu biết chưa thật thâu dáo,
cùng với cách ruhìn nhận vấn dỏ dặt ra cho các em học sinh, đô trả lờ i một
cách thoà dáng câu hòi " Tại sao Ịại nghĩ và làm ỉĩhư vậy ?

4. Ngoải ra có rât nhiều bài toán dược giải bắng nhiều cách khắc nhau sẽ
giúp các học sinh trờ lên linh hoạt trong việc lựa chọn phương pháp giai.
Bộ tài liệu được viết trôn một tư tường hoàn toàn mới mè, có tính sư phạm, có
tnh tông hợo cao, giai quvẽt tưitng dôi triệt LỈé các vấn đố cùa toán học sơ cấp. Bộ
5


tải liệu này ('hắc chăn phù hợp với nhiều dôi tượng bạn dọc từ các Thcìỵ, Cô giáo
đến cắc em Học sinh lớp 10, 11, 12 vả các em chuân bị dự thi môn Toán Tốt
nghiệp PTTH hoăc vào cắc Trường Đại học.
Cuốn IMIIÍOỈNG PH Ấ P GIẢI TOẢN II ì MI HỌC GIẢI TÍCH TRONG
KHÔNG GIAM được việt dựa trôn việc rút kinh nghiệm và tiếp thu ỷ kiến dórtg
góp của bạn dọc từcuôh Tuyên tập cấc Chuyên dề Luyện thi Đại học Môn Toắn Hình học Giẩi tích của Lê'Hồng Đức và Trán Phương, dã được Nhà xuất bản Hà
N ội âh hành quý II năm 2002. Cuôh tài liệu dược chia ứìành 5 phần:
Phẩn I.

Mặt phăng

Phẩn II.

Đường thăng trong không gian

Phẩn III. Các bải toán về điểm, đường thăng vả mặt phăng
Phần IV. Mătcầu
Phẩn V.

Các bài toán hình học không gian giải bàng phương pháp toạ độ
trong không gian

bao gồm 36 chủ dề, miêu tả chi tiết phương pháp giải cho hơn 60 dạng toán hình
học giải tích trong không gian thường gặp. Và đ ể giúp bạn đọc tiện tra cứu, chúng
tôi mạnh dạn tíìay dổi cách trình bày phần mục lục so với lề thói cù bằng việc liệt
kê các bài toán thay cho đáu mục.
Thay m ặt nhóm tác giả, tôi xừỉ bày tỏ tại đđỵ lời cảm ơn đến người học trò của
m ình là Lẽ Bích Ngọc đã vui lòng nhận kiêm tra lại từng phán của bản thảo cùng
với việc cộng tác viết cuốn " Phương pháp giãi Toán Tích phân " Xùi dược bày tỏ
lòng biết ơn sâu sắc tới sự giúp dờ động viên từìh thấn của những người Thảy mà
tôi hàng kmh trọng, gồm: GS. TS Trần Mạnh Tuâh nguyên Phó Giấm Đốc Trung
Tâm KHTN & CNQG, Nhà Giáo ưu tú Đào Thiện Khải nguyên Hiệu Trưởng
Trường PTTH Hà N ội - Amsterdam, PCS. TSKH Đinh Quang Lưu, GS. TSK tì
Nguyễn Văn Thu và người Thày thủa thiếu thời của tôi Bấc Ngô Lâm.
Cuối cùng, cho dù đả rđt cổ gắng bằng việc tham khảo m ột lượng rât lớn các
tài liệu hiện naỵ đ ể vừa viết, vừa mang đ ì giảng dạy ngay cho các học sinh của
m ình từ đó kiêm nghiệm và bô’xung thiếu só t cùng với việc tiếp thu có chọn lọc ý
kiến của các bạn dồng nghiệp đ ể hoàn thiện bộ tài liệu này.; nhưng thát khó tránh
khỏi nhùng thiêu sót bởi nhùng hiểu biết và kừứi nghiệm cỏn hạn chế, tác giả Tất
m ong nhận dược nhùng ý kiến dóng góp quý báu của bạn đọc gần xa.
M ọiý kiến xin liên hệ trực tiếp hoặc gửi về theo địa chỉ:
Nhóm tác giả Cự Mồn
Số 20 - Ngõ 86 - Đường Tô Ngọc Vân - Quận Tây Hò - Hà Nội
Điện thoại: (04) 7196671

E-maiỉ: cumon@)hn.vnn.vn hoặc lehongduc39(&yahoo.com
Website: www.toanpt.cumon.edu (sẽ khai trương vào ngày 31/10/2004)
Hà nội, ngày 1 ữiắng 1 năm 2003

LÊ HỔNG ĐỨC

6


MỤC LỤC
LỜIGIỚI THIỆU
MỞ DẦU................................................................................................................................... 1

PHẨN I
MẶT PHẢNG
Chủ đế 1.

Phương trình măt phăng .........................................................................15

Bài toán 1.

Phương trình măt phăng đi qua 1 điếm cỏ vtpt n .........................16

Bài toán 2.

Phưưng trình mặt phảng đi qua 1 điểm có vtcp ă và b ...............17

Bài toán 3.

Phương trình mặt phăng đi qua 3 điêYn khỏng thăng hàng........... 18

Bải toán 4.

Phương trình măt phăng theo đoạn chán.......................................19

Chủ để 2.

Chuyển dạng phương trình măt phăng.................................................... 21

Bầi toán 1.

Tìm một căp vtcp của măt phăng....................................................21

Bài toán 2.
Bải toán 3.

Tìm một vtpt của mặt phăng.......................................................... 22
Chuyển phương trình tổng quát của măt phăng

Bài toán 4.

về dạng tham số............................................................................ 23
Chuyển phương trình tham sô của mặt phăng
vẻ dạng tông quát..........................................................................24

Chủ đế 3.

Vị trí tương đối của hai măt phăng.......................................................... 31

Chù để 4.

Chùm mặt phăng..................................................................................... 35

Chủ để 5.

Khoảng cách từ một diêm đến một mặt phăng........................................49

Bải toán 1.
Bài toán 2.

Khoảng cách hình học từ một điểm đến một măt phăng................49
Viết phương trình mảt phăng cách mặt phăng (p)

Bài toán 3.

một khoảng băng h vầ thoả mản điểu kiện K................................50
Viết phương trình mặt phăng phân giác của góc tạo bởi
(Pj), (Pị) chứa điêm Mfl hoặc của góc đối đỉnh với nó....................51

Bài toán 4.

Viết phương trình mặt phăng phân giác của góc nhị diện............. 52

PHẨN II
ĐƯỜNG THẢNG t r o n g k h ô n g g i a n
Chủ để 1.

Phương trình đường thăng ......................................................................55

Chủ đế 2.

Chuyển dạng phương trình đường thăng................................................59

Bài toán 1.
Bàỉ toán 2.

Tim một vtcp của đường thâng (d) cho trước.................................59
Chuyển dạng phương trinh tổng quát của đường thăng

Bài toán 3.

sang dạng phương trình tham số hoặc chính tắc...........................60
Cách chuyển dạng phương trình tham số của đường thăng
sang dạng phương trình tổng quát................................................ 61

Chủ để 3.

Vị trí tương đối của đường thăng và mặt phăng......................................67

Bài toán 1.

Vị trí tương đối của đường thăng và mặt phăng...........................67


Bài toan 2.

Giả sử (d)r\(P)={A|. Lâp phương trình đường tháng (d,))
qua A vuông góc với (d) và năm trong mẫt phing (P)................ 75

Bài toán 3.

Chủ đê 4.

Bải toán về họ đường thăng (đm) ......................................................71

Vị trí tương đối của hai đường thăng...................................................... 77

Bàỉ toán 1.

ứng dụng tích hổn tạp xét vị trí tương đôi của hai đườnjg thăng .77

Bàỉ toán 2.
Bài toản 3.

Xét vị trí tương đô'i của hai đường thăng......................................... 78
Viết phương trình măt phăng (P) song song và cách đểu

Bài toán 4.

hai đường thảng (đ,), (dj) chéo nhau.............................................79
Viết phương trình đường thăng (d) song song, cách đéu hai
đường thăng song song (dj), (dj) và thuộc măt phăng chiứa

Bài toán 5.

hai đường thăng (dị), ( d j ................................................................. 79
Viết phương trình đường phân giác của hai đường thăn$
cắt nhau (dị), (cU)..............................................................................80

Chủ để 5.

Hai đường thăng đổng phăng và các bài toán lièn quan............................ 83

Bài toán 1.
Bài toán 2.

Xác định toạ độ giao điôm của hai đường thăng.............................83
Viết phương trình mặt phăng (P) chứa hai đường tháng
đổng phảng (dt) và (dj)....................................................................84

Chủ để 6.

Hai đường thăng chéo nhau vả các bài toán liên quan.............................. 93

Bài toán 1.
Bài toán z

CMR hai đường thăng chéo nhau...................................................93
Viết phương trình đường vuông góc chung của hai
đường thăng chéo nhau................................................................... 94

Bài toán 3.

Tính khoảng cách giừa hai đường thăng chéo nhau....................... 98

PHẦN IU
ĐIỂM, ĐƯỜNG THĂNG VÀ MẶT PHĂNG
w

•

Chủ để 1.
Chủ đế 2.

Đường thăng đi qua một điểm cắt cả hai dường thăng cho trướtc....... 109
Đường tháng đi qua một điôm vuông góc với hai

Chủ để 3.

đường thăng cho trước................. ......................................................... 119
Đường thăng đi qua một điôm vuông góc với
một đường thãng vả cắt một đường tháng khác...................................... 123

Chủ để 4.

Hình chiêu vuông góc của điểm lên mặt phăng.......................................129

Bài toán 1.

Tim toạ độ hình chiếu của một điểm lên một măt phăng.............. 129

Bài toán 2.
Bài toán 3.

Tìm điểm đối xứng của điểm A qua măt phăng (P).......................129
Xác định phương trinh đường thăng đối xứng với
một đường thing cho trước qua một mặt phăng cho trước......... 130

Chủ đ í 5.

Hình chỉéíi vuông góc của đường thing lén măt phăng......................137

Chủ để 6.

Hình chiếu vuổng góc cùa điểm lên đường thăng.............................. 147

8

Bái toán 1.

Tim toạ độ hình chiếu của một điểm lén một đường thăng;.....147

Bái toán 2.
Bài toán 3.

Tìm điểm đôì xứng của điểm A qua đường thing (d )...................147
Xác định phương trình đường thảng đối xứng với một
đường thăng cho trước qua một đường thăng cho trước......... 147


Chúi đề 7.

DiCrn và một phàn>;

...............................159

Chúi đế 8.
Diổm và đườn^ t h c l n ^ ...............................
.................................. lf>7
Bài toán 1.
Tìm trOn đưnin^ thãnp, (li) vliõm M(xN„ VM, /A1) thoti mãn

tính chất K
Bai toán 2.

............................. 167

Tim tròn đường tilling (li) đh'm \1(xM, yu, /v.,)
sao cho xịt + V\1 +

Bai toán 3.

nhỏ nhát ...................................................168

Cho htii điốm A, Bvá đưỏng thàng (lỉ) Tim itiôm Me(d)
sao cho MA+MB nho nhát................................................................ 168

C hủ đê 9.

Góc trong không gian................................................................................ 173

Bài toán 1.

Xác định góc giữa hai đưỡnj; thăn^.................................................. 173

Bài toán 2.

Góc giữa đường thân}' va mặt phănj;............................................... 174

Bài toán 3.

Xác dinh góc giữa 2 măt piling................................................... 175

Chủ để 10. Tam giác trong không gian.................................................................... 181
PHẦN IV

M Ặ TC Ầ U
Chủ đế 1.

Phương trình một cẩu...........................................................................189

Chủ đê 2.

Mặt cầu tiếp xúc với mặt phăng................................................................ 197

Chủ đê 3.

Măt cầu cắt mặt phàng.........................................................................203

Chủ để 4.

Măt cầu tiếp xúc với đường tháng.............................................................. 207

Bài toán 1.

Lập phương trình mặt cầu (S) cỏ tâm I(a, b, c)
và tiếp xúc với đường thăng (đ) cho trước...................................... 207

Bài toán 2.

Lâp phương trình mặt cấu (S) tiỏp xúc voi dường thăng (d)
tại điỏm H(x(l/ V(í/ /-(») và thoả mán điều kiên K................................ 208

Bài toán 3.

Lâp phương trình măt câu (S) tiêp xúc với 2 đường thăng
cắt nhau (đj), (d2) cho trướr và thoa mãn điổu kiộn K.................. 209

Bải toán 4.

Lập phương trình mặt cảu (S) tiếp xúc với 2 đường thăng (đ ,),
( d j song song với nhau cho trước và thoà mân điểu kiện K......210

Bài toán 5.

Lâp phương trinh mặí cầu (S) tiôp xúc vơi 2 dường thăng
chéo nhau (đ |), (d:) cho trước và thoà mànđiõu kiộn K................ 2i2

Chủ để 5.

Mặt cầu cắt đường thỉỉng...................................................................... 219

Chu để 6.

Mặt cầu ngoại tiếp khỏi đa diện...................................................................223

Chủ đê 7.

Măt cầu nội tiếp khối đa điện................................................................. 231

Chủ đê 8.

Vị trí tương đối cùa diêm và mặt c ầ u ......................................................... 237

Bài toán 1.

Xác định vị trí tương đỏi cùa mạt câu (S) và điôm A cho trước. .237

Bài toán 2.

Cho mặt cầu (S) và đỏm A khồng trùng với tâm ỉ của (S).
Tìm toạ độ đi ỏm M thuộc (S) sao cho khoảng cách MA
đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất............................................................ 237

Chù đế 9.
Vị trí tương đối của đường thăng và măt c ầ u ............................................239
Bài toán 1.
Xae định vị trí tương đối của mặt cầu (í- 'à đường thăng (đ) . ..239

0


Báỉ toán 2.

Tìm toạ độ điếm M thuộc (S) sao cho khoảng cách từ M đỏn
(d) đạt giá trị lớn nhâ't, nhỏ nhất................................................. .. . 241

Chủ đế 10. Vị trí tương đối của mặt phăng vả mặt cầu ............................................ 245
Bái toán 1.
Xác định vị trí tương đối của măt cầu (S) và mặt pháng ( P)...... 245
Bài toán 2.
Tìm toạ độ điểm M thuộc (S) sao cho khoảng cách tử M <đẻn (P)

đạt giá trị lớn nhâ*t, nhỏ nhâ't......................................................... 246
Bài toán 3.

Chùm măt cầu dạng 1....................................................................248

Chủ đ í 11. Vị trí tương đối của hai măt c ầ u .............................. ...............................253
Bảỉ toán 1.
Xác định vị trí tương đối của hai mặt cầu (S,) và (Sj).................... 253
Bài toán 2.
Chùm mặt cầu dạng 2.................................................................... 254
Chủ để 12.

Tiếp tuyến của mặt cầu, tiếp diện của măt cầu........................................257

PHẦN V
CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Chù
Chủ
Chủ
Chủ

đế 1.
để 2.
để 3.
đế 4.

Giải bải toán định lượng trong hình học không gian...............................263
Giải bài toán định tính trong hình học không gian..................................279
Giải bài toán về điểm và quỹ tích trong hình học không gian.................287

Giải bài toán cực trị trong hình học khổng gian............................................ .. 291

TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................................... 302

10


MỞ ĐẨU
Cho hệ toạ độ Oxyz.
Vectơ
Cho hai điểm Mj(xj, y u Zị) và Mị(x^ yy z2) thì:
M1M2 = ( x 2- x „ y2-y1,

Z2’ Z\)

Các p h ép toán Vectơ
y u Zj)

Nếu

c ó h a i v e c t ơ Vj ( x „

(i).

V 1 4* v 2 = ( x , + x 2/ y , + y 2, z , + z 2)

(ii)

V, - V , = ( x r x 2, y r y 2, z r z 2)

(iii).

k V , (X j, y „ Z j ) = ( k x „ k y v k z j ) , k e R .

v à v 2 ( x 2/ y 2/

z2) thì:

Khoáng cách đ giữa hai điêm M^Xj, y u Zj) s p,( ?!) và Mj(x2/ y2, z2) s P2( r2) là
đ ộ dài của vectơ M ịM 2

d = | M,M: I = >/(x1 - X,)2 + (y, - y2): + (z, - Z,)2
Chia m ột đoan thăng theo m ột tĩ số cho trưởc. Điểm M(x, y, z) chia đoạn
thăng M,M2 theo một tỉ sốk: MMj =k MM, được xác định bởi các công thức:
kx2

X=

1-k

v =Z iz M
7
z =

( 1)

l-k
Zị - k z 2

1- k

Đặc biệt nếu k=-l, thì M là trung điểm của đoạn thảng M ịM2 , khi đó toạ
độ của M được xác định bởi:

v =

L lU ±

y
z =

Góc

( 2)

2
Zt + z ,
—-

a g i ữ a h a i v e c t ơ Vj (Xj, y t, Zị) v à v 2 ( x 2,

cosa=

y2/ Z2)

x á c đ ị n h b ở i:

*Ị-*2 + yi-y2 + *i-*2

(3)

V*1 +yi + Z 1 V xí + y* + z*

Các Emhoc smh hãv tham gia hoc tâp theo phưưng pháp" LJvhoc trò lit

unetim "

Dưới sự hỗ trợ cùa NhómCựlvtòn doThs. Lê Hổng Đúc và Nhà giáo ưu tú Đào Thiớn Khái phụ trach.

11


Hình hoc Giài tích troiift Mionfi friian
Côsin chĩ phương. Côsin của các góc giừa vectơ V (x, y, z) và hướng dương
của các trục Ox, Oy, Oz được gọi ỉà Côsin chĩ phương cosax, cosay/ cosa,
được xác định bởi:
X
cosa,

I 2+ y 2 + z 2 '

COSCL.

L
1 2 + y 2 + z2 '
yx

y~

cosa,

y X + y
c o s : a v+ c o s 2a

(4.1)

(4.2)

(4.3)

2+ z 2 /

(4-4)

+ c o s 3a ?= l .

Ba điểm th ăn g hàng. Ba diêm A(x„ y„

Z j),

B(x-,, Vj, z2) và C(xv yv

Z j)

thăng

hàng nếu (điểu kiện cần và đủ) AC = kAB
o

X, - X

1 = 11211
y2 - y .

Yi Z1 1
o

y , Z,

1

yj z3

1

z,

X,

1

X1 y i

= z 2 x2 1 =
Zj

(5)

*2

X j-X ,

Xj

1

x 2 Y’ 1

=0 .

(6)

*3 yj 1

1

Bốn điếm đổng p h ỉn g . Bốn điêrn A(x„ y„ Z | ) , B(xj, y y
D(x4, Ỵị, z4) đồng phăng nếu (diều kiện cần và đủ)
X,

y,

Zj

X, y ,

Zj

1

x 3 y 3 Zj

1

Z j)

và C(xv yv

Z j)

và

1

0

= .

(7)

x4 y 4 z 4 1

Tích vỏ hưởng giữa hai vectơ V, (Xj, y„ Zj) và

V,

(Xj, yj, Zj) xác định bời:

v , . v 2-x , .x,+ y, .y2+ Z, .Zj.

(8)

Tích vectơ (hay tích có hướng ) của hai vectơ Vj ( X |, y„
hiệu [ V

,, V, ]

là m ột vectơ

[ v ,,v ,] = v

V

yi h

z,

X,

*1 yi

y2

z 2 X,

x 2 Ỹ2

(9)

V j,v 2 cộng tuyến <=> [Vj ,v 2]= õ ,

(ii). V |l [ v 1 /v2], v2l [ v j , v : ],
(iii). | [ v , , v , ] | = | V, |. | V; l-sina,
trong đó a

12

là

và v2 (x:, y„ Zj) kí

được xác định bởi:

C ic tin h c h ít
(i).

Z ị)

góc giữa hai vectơ

V)

và v2.


(iv). [ Vj #v2]=-[ v2 , Vj ].
(v).

[ÀV, , v : ] = | V, ,x v 2 ]=/ h

K

( vi ) . [ V , V, + v 3 ] = [ V, Vj J+ l \

Dỉẽn t í c h tam giác. Diện tíc h cù tì tam 1.11 <.ì và C(xv Vv z 0 được cho bởi công thm
|[ÃB,AC]|

1
■-<
J
1N
1
N

S aabc = ị

1 x' - x 1
+i
Ị/.,-/ 1 ^ -* 1

1
'<
N
1
N

y:
y5

1*2-*1 >'2 - y i

ỵ3 “ y 1

( 10)

Tích hổn tap của ba vectcl Vj (Xị, V, , Zị), V. (x:, y:, z:) và V, (xv Vv z ì) được kí
hiệu là D( Vị, V,, v3) được xác định bời:
D (V,, v , , v 3)=

1
1
*1 Vi
/ > \ nỊ
V-,
|v- /-I
= '
i.\ị +
X, y .
Vị +
" ■
/ , x ,j
X, V,
X3 y* 7 3

(11 )

Các tính chất.
(i).

D( Vj , Vọ ,

)=-D( v 2 , V, , V; )= -D( VỊ , V*>, V2 )= -D ( V „ V 2 ,V j ) .

(ii). D(X Vj, v2,v 3)=D( Vj ,k V2 , V, )=D( Vj, v:
(iii). D( Vj ,ả

+

b, v3 )=D(ã

)=XD( Vj, v2, v3), ẰeR.

,V, )+D ( b, v 2 , V , ) ,

, V2

D( Vj ,ã + b / v,)=D ( Vị ,ã , Vi )+D( Vị h, V,),
D( V j, v 2 , ẩ + b ) = D ( v , , v 2,ã )+D( V j, v : , b ).

Ba vectơ đổng phăng. Điéu kiện cán và

đù

để 3 vectơ

Vị (Xj,

y v z1)(

v 2 (x2/ y2/ z2) và v3 (xv y3, z3) đồng phảng là:
X1 >'! Z]

D ( v j , v2/ v3)=

x 2 Y:

7 2

( 12)

=0.

*3 y* Zj

T h ể tích

V của

X,-X j

N

x4 - x ,

(13)

pT
1
-r

tích

z2 " z l

N

(b). Thê

V 2 - Yl

1

V = I I D( AB, AC, AD ) I= -

, B(x2, y2, Z2)/ C ( xv y> zj)

1

X-, - Xj

Zị)

1
N

(a). Thể tích V của tứ diện có các đỉnh A ( X ị , y„
và D(x4/ y4/ z4) được cho bởi công thức:

h ì n h h ộ p d ự n g trên ba v e c t ơ Vj (Xj, y „ Zj), v 2 ( x 2,

y:, z2)

Các Em hcx' sinh hãy tham gia học tập theo phưttng pháp" U y hoc trò làm trung tám "
^•rới sư hỗ trợ cùa Nhóm Cư Môn do Tlìs. Ịjô Ị ỉóny; Dm và Nhíì £Ìáo Ifu tú Đao Thiên Khtìi phu trai h


Hình hoc Giải tích trong Khổng gian
và v3 (X3, Ỵy, Zy) được cho bởi cổng thức:
*1 yi *1
V =|D (Ã B ,Ã C ,Ã D )| = x2 y2 z2
*5 y 3

14

(14)


PHẨN I

MẶT PHẲNG
CHỦ ĐỂ 1

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHANG
I. KIẾN T H Ứ C C ơ BẢN
1. CẶP VECTƠCHỈ PHƯƠNG VÀ VECTƠ PHÁP TUYẾN
Đ ịnh nghĩa 1: Hai vectơ ấ ,b gọi là cặp vectơ c h ỉ ph ư ơ ng (vtcp) c ủ a măt
phăng (P) nếu chúng không cộng tuyến và các đường thăng chứa chúng đểu
song song với (P) (hoăc nằm trẽn (P)).
Các tính chất của căp vectơ chỉ phương của măt phăng
(i). Mỗi m ặt phăng có nhiều cặp vectơ chỉ phương.
(ii). Hai mát phăng phân biệt có cùng một cặp vectơ chỉ phương thì song
song với nhau.

(iii). Một m ặt phăng (P) được hoàn toàn xác định nếu biết m ột điẽm M
và cặp vectơ chỉ phương ( ã , b ) của nó.
Đ ịnh nghĩa 2: Vectơ n là vtpt của mặt phăng (P)
Ịn l(P )
N hân x é t fi là vtpt của (P) thì mọi vectơ k n với k*0 đều là vtpt của m ăt
phăng đó.
C hú ý . Toạ độ của vectơ fi vuông góc với hai vectơ không cùng phương
ă (a,, a->, a3) và b (b|, b2, bj) cho trước, được xác định bời:
\
/ 3i
a3 a i ai a:
a3
n = [ ã , b ]=
/
/
Vbi b, b, b, b, b2 /
Ví dụ 1:
a. Xác định toạ độ của vectơ n vuông góc với hai vectơ ă (2, -1, 2) và
b.

6(3,-2,1).
Tìm m ột vtpt của m ặt phăng (P), biết (P) có căp vtcp là ã (2, 1, 2) và
b (3, 2,1).

Giải.
a

Ta có:
ni3
_ - 1 2 2 2 2 -1

^ , o n * [ã , b]=
-2 1 1 3 3 -2
n lb

b

Gọi n là vtpt cần tìm của (P). Ta có:
/
n ia
_ 1 2 2 2 2 1\
^ r o n * [ ã ,b Ị ’
9
/ lh
a lb
V2 1 1 3 3 2 /

- n (3, 4, -1).

n ( '3 ,4 , 1 ).

Vây m ặt phăng (P) có m ổt vtpt là n (-3,4,1).
Cic Em học sóih hảy tham gia học tậổ ứieo phương pháp" Lầyhoe ệứ lim ừvrur Um"
r ưóí sư tó trơ cùa NhómCự Mòn <ỉ>Ths. Lê Hổng Đúc và Nhà gi4o ưu tú Đào Thiện Khải phụ trách.

15


Phcìn 1: Mat phàntt

2. PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT PHẢNG

Măt phăng (P) trong không gian Oxyz có phướng trình tông q u á t :
(P): Ax+By+Cz+D=0 với A2+B2+C2>0
nhận vectơ n (A, B, C) làm vtpt.

(1)

M ồt s ố trường hơ p đăc b iê t của p h ư ơ n g trìn h (1)
• Nếu D=0, m ặt phăng (P) đi qua gốc toạ độ.
•

Nếu A=0, B*0, o o , m ăt phăng (P) có dạng (P): By+Cz+D=0 sẽ chứa hoăc
song song với trục x'Ox. Thật vây, vtpt của (P) trong trường hdp này là
n (0, B, C), do đó: n . ĩ =0 <=> n -Lĩ <=> n vuông góc với trục x'Ox.
Vậy (P) song son^ với trục x'Ox.
Tương tự, mặt phăng ^P) có dạng (P): Ax+Cz+D=0 sẽ chứa hoặc song song
với trục y'Oy, m ặt phăng (P) có dạng (P): Ax+By +D=0 sè chứa hoăc song
song với trục z'Oz.

•

Nếu A=0, B=0, o o , m ặt pháng (P) có dạng (P): Cz+D=0 sè chứa hoăc
song song với trục x'Ox và y'Oy nên nó song song hoặc trùng với m ặt
phăng xOy.
Tương tự, mặt phăng (P) có dạng (P): Ax+D=0 sè song song hoặc trùng
với mặt phăng yOz, m ăt phăng (P) có dạng (P): By +D=0 sè song song
hoặc trùng với m ặt phăng xOz.
Đặc biệt các phương trình x=0, y=0, z=0 theo thứ tự là phương trình của
các m ặt phăng toạ độ yOz, xOz, xOy.

•

Nếu A*0, B*0, o o , D*0 thì bằng cách đăt a=- — , b=- — , c=- — ta đươc:
6
•
A
B
c
(P): £ + £ + £ - !
a

b

(2)

c

Phương trình (2) gọi ià phư ơ ng trình đoạn chăn của m ăt phăng (p).
•

Chia hai v ế của phương trình (1) cho M= V a: + B2 + c 2 . Khi đó, đặt
A A n
B _ c ^
D
A0- — Bn3 — C0- — D()= —
M
M
M
M
ta được: (P): AoX+B0y+CoZ+Do= 0 với Aổ + Bổ + C5 =1
Ị

/

f

(3)

Phương trình (3) được gọi là phư ơ n g trình p h á p dạng cùa m ặt phăng (P).

PHƯƠNG PHÁPCHUNG

Ta có:
[qua M0(x0,y0,z0)
[vtpt n(n1/n2/n 3)
a.

Phương trhứi vectơcủa m ặ tp h ã n g
Điêm M(x, y, z)€(P) o M ()M ln o

lị ị
M0M . n *=0

Ị V

b.
16

Phương trình tông q u á t Ciifi m ặ t ph ă n g
(P)7n1 (x-x0)+n 2(y-y0) K ( Z-*0) *0
• '■* ìn ẵ u

Ị
'

...»

(1)


( hu lie I Phương tnnh mjit plì.^n^

C hú ý :
1.

Mạt phăng (p) có vtpt ri (11 ,, n , n^), luôn ró đcỉiH':
(P): n ,x + n :y+n^z+m =0
Đẽ xác đ ịn h (P), ta cần đi XtH định m.

2.

Mạt phăng (P )//(Q ): Ax+By+Cz+D=0, luôn có dạng:
(P): Ax+By+Cz+E=0
Dê xác định (P), ta cần đi xả< định E.

Ví dụ 2: Láp phương trình tồng quát của mặt phăng (P) biết:
a. (P) đi qua điểm M (l, 3, -2) và nhận ri (2, 3, 1) làm vtpt.
b. (P) đi qua điểm M (l, 3, -2) và song song với (Q): x+y+z+l=0.
Giãi.
a. Ta có:
jquaM (U .-2)

Ịvtpt n(2,3,l)

2(x-l)+3(y-3)+z+2=0 <=> (P): 2x+3y+z-9=0.

Vậy phường trình tổng quát cùa mặt phăng (P) là: (P): 2x+3y+z-9=0.
b. Ta có:
íquaM (U ,-2)
' ; [(P )//(Q ):x + y + z + l =0
• Vì (P )//(Q ): x+y+z+1=0, có dạng: x+y+z+E=0.
• Vì M (í, 3,-2) e(P), ta có 1+3+2.(-2)+E=0 Cv E=0.
Vậy phương trình tông quát của mặt phăng (P) có dạng: x+y+z=0.
Bài toán 2 Lập pluíiTg trình măt ỊÌiàng (F) đi qua điêm M, , y,> và oó ựip vtLp la ă (&i,AyA^
và b
PHƯONGPHÁPCHUNG
Ta có:
qua M(x0,y 0,z„)

X = x0 + a J11 + bịt-,

(P): hai vtcp ã ( a ,. a %,a ,) o (P): y = y0 + a2tj + b2t2, (tị, t2eR).
ỉ. = /.() + ‘V j +
b(bj/ b 2/ b,)

( 1)

Phương trình (1) chính là phương trình tham sốcủa mặt phăng (P)
Ngược lại: nếu (P) có pỉhương trình (1), ta có nhận xét:
• Măt phăng (P) đi qua điêỉn Mofxjv y0/ z0).
•

Măt phăng (?) có căp vtcp ă (alr a2, a3) và b (bị, b2/ by).

Ví d u 3: Lập phương trìr\h tham số của măt phăng (?) đi qua điểm M (l, 3, 2)
vả c ó c ặ p v t c p là ã (2, - 1 , 2 ) v à b (3, - 2 , 1 ) .

Giải.

Ta có:
X= 1 + 2tj + 3t,
[qua M(l,3,2)
-----------(P):
'
r
^ ( p)- y = 3 - t/- 2 t*
Ịhai vtcpã(2,-l,2)& b(3,-2,l)
z = t 2 V 2 f { K t ,Q i i O C G ỈA HA INỤ!
Đo chính là phương trình tham số của mặt pháng (p).1

iiỉj.ụ,.v im .
17

u
í ặ ế

L


Phần 1: MAI phủny

Ví dụ 4: Lập phương trình tham sô của mạt phăng đi qua hai điếm A(4, -1, 1),
B (3,1, -1) và cùng phương với trục Ox.
Giai.
Ta có:
ỊquaA(4,-l,l)& B(3,1,- 1)
jquaA(4, - U )
' [cung phuongOx

Ịhai vtcp AB(-l,2,-2) & 0x(l,0,0)

X= 4 - t J + u
o ( P ) : • y = - l + 2 t, / ( t„ t 2€R)
z -1 -2 t,
Đó chính là phương trình tham sô' của măt phỉing (P).
— —

. .. —

-------------- IT —

— -- - - - - —n m r —

~ n i---------------- ■ ------------------------------------------------------------------------------------ —---------- — ------I M ------------ T

I ...................................................

■ ! ÌIIIIII—

I -------- — —

Bài toán 3: ĩh ư ơ n g ùùứì n ứ tp h ă n g (F) đ i qua 3 điếm A(xj, y v Zj), B(xy Ỵy Zo) và Cịxy yv 7ý

không thăng hảng Gốdạng;
_ _ _ _ _ _ _ _

PHƯƠNG PHÁP CHlỉNr,

Ta có thẽ lựa chọn m ột trong ba cách trình bày sau:
Cách 1: Áp dụng bài toán 2, thực hiện theo các bước:
Bước ĩ: Ta có AB, AC là một cặp vtcp của mặt phăng (P), ta được:
AB(x2 ~ x l,y 2- y 1/z2 - z 1)
AC(x5 - x 1/y3 - y 1/z3 - z 1)
Bước 2. Khi đó phương trÌẳih m ặt phăng (P) được cho bởi:
m íq u a Ă íx ,,^ )

(p):r[2 vtcp AB k
—

AC

Cách 2. Áp dụng bài toán 1, thực hiện theo các hước:
Bước 1: Gọi ĩị là vtpt của m ặt phăng (P), ta được: n =[ AB, AC ].
B ước2. Khi đó phương trình m ặt phăng (P) được cho bởi:

(Pvíqua

(vtpt n

Cách 2. Thực hiện theo các bước:
Bước 1: Giả sử (P ): Ax+By+Cz+D=0

B ước2. Vì A, B, Ce(P), ta được:
AX| + Byị +CZ| + D = 0
A = k|D
A x2 ♦ By2 + Cz2 ♦ D = 0 => - B = k2D .
Ax* + By^ + Czj + D = 0
c =k
Bước 3: Khi đó:
(P): k 1Dx+k 2Dy+k:iDz+D,BS0 « (P): l^x+k-iy+kjZ+lK).

Chủ ỷ.
1.
2.
3.
tại

sử dụng cách 1 ta nhận được phương trình tham số của mặt phăng (P).
sử dung cách 2 , 3 ta nhận được phương trình tổng quát của mặt phăng (P)
P hương trìn h m ặ t p h ă n g theo các đoạn chắn. M ặt phăng (P) cắt trục Ox
A(a, 0, 0), trục Oy tại B(0, b, 0), trục Oz tại C(0, 0, c) có phương trình
(P ):Ị + J Ù 4 - 1 .
a

18

b

c

I

Ví du 5: Lập phương t r ì n h mạt pỉuiiy, đi LỊUcì bcì đk ‘111
a. A(l, l! 0), B(l, 0, 0) vã c ( 0 , 1 , 1)
b. A(1,0, 0), B(0,2,0) v à( Ịiựi.h).
Chìị
a.

Cáclì /: Ta có AB,AC la một v/.ìp v k p của mật pluìn^ (ĩ>), ta được:

!
Khi đó phương trình mặt phăn^ (P) được cho bời:
íX :
<=>

I

(P). y = I
/ = t,

t2
t ị,

(tị, t: eR)

Cách 2 Gọi lĩ là vtpt của mật phăng (P), ta đước:
n = [Ã B ,Ã C ]= (-l,0,-l)
Khi itó phương trình mặt pỉìáng (P) dược cho bời:

b.

Nhện xét ràng A, B, c theo thứ tư thuộc

bcì

trục toa độ, do đó:

(ABC): - + X + - =1 <=> (ABC): 6x+3v+7.-f»=0.
1 2
6
II.CÁC BÀI TOÁN C H Ọ N LOC

z

Bài 1 Gv>hai điẩìi A(l, 3); B((3,4>-1)
ktàìg gian Ga Vỉét Ị^iufclT£hình Iiiăit phảng (T) là tiling tnl' của AB.
b. Viêt phuttig mặt phảng (Q Ljua A, vuông $óc với (ĩ^ và vuồ! Ìg$ x với (yQz).
c Viêt phưtlig nứt phăỉng (R) LỊua A và sang saig với (ư).
BAI (Ỉ1AI
ả. Ta có:
Gọi I là trung điểm AB. Khi đó I có toạ độ 1(2, 3, 1).
Vlàt phăng (P) là trung trực của AB, khi đó:
[qua 1(2,3,1)

(PH

TS 11

[vtpt AB(2,2/-4)

° (p): 2(x-2)+2(y-3)-4(z-l)»0 o (P): x+y-2z-6=0,

Đó thính là phương trình tỏng quát của (p).
b. Ta có:
Vlăt phăng (yOz)=>nhận fi| (1, 0, 0) làm một vtpt.
vlạt phăng (Q) vuông góc với (yOz)
nhận iĩ I (1, 0, 0) làm một vtcp.
vlăt phảng (Q) vuông góc với (P) => nhân

AB (2, 2, 4) làm một vtcp.

"bây ràng n Ị, AB không cùng phương. Vậy
X= 1 + 1J + 2ti
° (Q):< y = 2t:
, tj, t2eR.
/ = 4t~
Đó chính là phương trình tham số của (Q).
19


Phán I: M at phàntt

c.

Ta có:
Măt phăng (R) qua A và song song với (P) =s> (R) nhân AB (2, 2, 4) làm
vtpt. Vây:
(R):

[qua A(l,2,3)

21

»(R):2(x-l)+2(y-2)-4(z-3)=0<i>(R):x+y-2z+6=0.

[vtpt AB{2,2,-4)

Đó chính là phương trình tông quát của (R).

/

Bài2 (ĐHCĐ/chua phân ban-99): ViêtphutlTg trình mặt phăng tnnTgtnxcủdđoạntììăpg AB
vớiA£l,4);B(-l,A5).
HƯỚNG DAN GIẢI

™

Thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Tìm toạ độ trung điểm I là trung điểm của AB, bởi công thức:
..

_ XA + * B

XI = —

2—

„

Ya+Yb

/ yI - — 2—

T _ *A+*B

/ ZI - — 2—

Bước 2: Gọi (P) là m ặt phăng trung trực đoạn AB, k h i đó:
qua I
(P):
<=> (P): 6x+8y-2z+ll=0.
vtpt AB

Đó chính là phương trình tông quát của (P).
III.BÀI TẬP ĐÊ NG H Ị
Bài tâp 1.

Lập phương trình tham số của mặt phăng (P) đi qua M(2, 3, 2) và

có cặp vtcp là ã (2,1, 2) và b (3, 2,-1).
Bài tâp 2. Lập phương trình tham số của m ặt phăng (P) đi qua M (l, 1,1) và
a. Song song với các trục Ox và Oy.
b. Song song với các trục Ox và Oz.
c. Song song với các trục Oy và Oz.
Bài tập 3. Lập phươne trình tham số của các mặt phăne đi qua hai điêm
A (l,-1 ,1 ),B (2 ,1 ,1 ) và:
a. Cùng phương với trục Ox.
b. Cùng phương với trục Oy.
c. Cùng phương với trục Oz.
Bài tập 4. Xác định toạ độ của vectơ ii vuông góc với 2 vectơ ã (6, -1, 3) và

b (3,2,1).
Bàỉ tâp 5.

Tìm m ột v tpt của m ật phăng (P), biết (P) có căp vtcp là ẳ (2, 7, 2),

6 (3 / 2* 4).
Bài tâp 6. Lập phương trình tổng quát của m ặt phăng (P) biết:
a. (P) đi qua điểm M (-l, 3, -2) và nhận n (2, 3, 4) làm vtpt.
b. (P) đi qua điểm M (-l, 3, -2) và song song với (Q): x+2y+z+4=0.
Bài tập 7. Lập phương trình tổng quát của các m ặt phăng đi qua 1(2, 6, -3)
và song song với các m ặt phăng toạ độ.
Bài tập 8. (ĐHL-99): Trong không gian Oxyz cho điểm A (-l, 2, 3) và hai mặt
phăng (P): x-2=0; (Q): y-z-l=0. Viết phương trình mặt phăng (R) đi qua A và
vuông góc với hai m ặt phăng (P), (Q).

20


CHUYÊN DẠNG
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHĂNG
I. K IẾN m ứ c C ơ BẢN
>

y

Bài toán 1: Tìm niộtcặp vkpcua niặt plỲíi(í 'VI ’trutv.

□

PHƯONíỉ PHAP( III N<»

a.

N ôít ĩĩhỉtphăng (P) cho dư ới íỉiìỉịíỊ thiìiìì sỏ
X =

x() + a ,t|

+

bịt2

(P): ' y = y« + a2*i + b2{2, (t|, t:eR).
7 = z0 + , + b-^ụ
thì một cặp vtcp của (P) là:
â(a I,

,a 3)

b ( b |, b 2, b 3)

b.

N ếu m ặt phă n g cho dư ới dạng tổng L/Ucìt
(P): Ax+By+Cz+D=0 với A:+B:+C:>0

( 1)

thì một cặp vtcp ã (aj, a-», a3) và b (b|, b:, bo của (P) được xác định bởi:
n ã = 0 (2)

- n.b = 0 (3) , trong đó n (A, B, C) là vtpt của (P).
ã//b

(4)

Đê tìm ả (a„ a:, a3) và b (bv b2/ bi) thoả mần (2), (3), (4) ta có:

-

Từ (2) o A a1+Ba2+Ca3=0

(5)

Từ (3) o A b1+Bb2-*'Cb3=0

(6)

Từ (5), (6) ta chọn ă (aj, a2, a 3)

v à b (bị, b 2,

b^) s a o

cho th oả

m ãn (4).

Vậy ta có một cặp vtcp của (P) là: ã (a,, a2, a,) và b (bị, b2, b3).
Chú ý. Ta có thê chọn ba điểm không thăng hàng A, B, c thuộc (P). Khi đó,
cặp vtcp cần tìm

là A B , A C .

Ví dụ 1: Tìm một cặp vtcp của các mặt phăng sau:
X= 1 + 11 + t->
a. (P): , (tj, t2€R).
b. (P): x+2y+3z-5=0.
z = 1 + 3tj + t2
Giải.
a. Mặt phăng (p) có cặp vectơ chỉ phương lả:
ẳ(l,2,3)
b(l-*v»)
Các Em hoc sinh hãy tham gia học tập theo phương pha p " U y hoc trò làm truns. tâm "
Dưổi sự hỏ trơ cùa Nhóm Cự Môn do Ths. Lê Hổng Đúc và Nhà giáo ưu tú Đao Thiôn Khải phụ trách.


Phàn I

b.

Mat ph á n g

Mặt phăng (P) có một vtpt là: n (1, 2, 3).
Gọi ẩ (a„ a-,, a*) là một vtcp của (P), ta có: ã . n =0 <r> a l+2a: +3aì=0
■ Ta đi tìm bộ ba thứ nhất (a„ a2, a 3) thoà m ãn (1)
Cho a3=0 thì (1) có dạng aị+2a*>=0

(1)
( 2)

Cho aj*2 thì từ (2) ta có a2*-l.
Ta được vtcp thứ nhât ã (2, -1, 0).
■Ta đi tìm bộ ba thứ hai (a|, a-V a 3) thoả m àn (1)
Cho a,=0 thì (1) có dạng a!+3a3=0
Cho a,=3 thì từ (3) ta có a3=-l.

(3)

=> Ta được vtcp thứ hai b (3, 0, -1).
N hận thây ã , b không cùng phương.
Vậy một cặp vtcp của (P) là:
íã(2,-l,0)

|b(3,0,-l)
Bải toán 2 Tim mộtvtptcủa mặt phăng (P)cho tmớc
PHƯƠNG PHÁP CHUNG

a.

N ê u m ặ t p h ă n g cho d ư ớ i dạng tông quát

(P): Ax+By+Cz+D=0 với A2+B2+C2>0
thì n (A, B, Q là vtpt của (P).
b.

N ếu Iììặ tp h ă n g cho d ư ớ i dạng tham s ố
X = x0 + ajtj + bjto
(P):
.....................

Khi đó vtpt n của (P) được xác định bởi:
/
\
a-, a J «3 al
a, a2
n = [ã ,b ]'
/
bị b j *>3 b, bj b2 /
V

ã(àì , a 2 , à ?í)

Í

C/u J

(P): 2x+y-4z-5=0.
X = l - 2 t , +3t,

b.

(P): y = 3 + 2tj - 3 t 2 , (t„ t2eR)
z = 2 + tj +2t,

Giải.
a. Mặt phăng (P) sẽ có m ột vtpt là: n (2,1, -4).
b. Mặt phăng (P) có m ột cặp vtcp là:
ịi<-2,2,ì)

Ịb(3,-3,2) '

Khi đó vtpt n của ( P) được xác định bởi:
n =[ã , b ] “ i I

22

-

H b ,,b : ,b ,)

9

a.

I

? 1 - n (7 ,7 ,0 ) .


( hi! do 2 Chuvi/n v-ỉan^ phưi
ị Bài hxín\ í huyổiphutlhgtrìiihtcỉ^qiutalì (FKu>;đạiì£thunisô
PHI o m ; PHAP niUN(i
Gici sứ m ặt phăng (P) có phương trin lì tong quát d ư ới dcing:
(P): A x+ B y+ C z+ D = 0 VỚI V * B :+( *>()
Đ ê c h u v é n p h ư ơ n g trình cu LÌ (p) Ncin^ LỈạng tham

(1)
'

íd ch ọ n m ộ t tro n g

c á c c á c h sau:

Cách Ị. Thực hiện theo các bưỏv sau
Bước /: Chọn ba điểm thuộc mạt phảng (ỉ5) bcHng várh:
Cho x=v=(), Um /., ta có đièm A
C h o x=z=(), tìm V, ta có điểm B.

Cho y=z=0, tim

X,

ta có điếm c .

Bước 2. Kiểm tra lạ i:" AB không cùng phương với AC
Bước 3: Viết phương trình tham số của (P) đi qua A và nhận AB,
làm cặp vtcp.

AC

Cách 2. Thực hiện theo các bước sau:
Bước 1\ Tìm một điểm A thuộc (P).
Bước 2. Dựa vào bài toán 3 /b tìm một cặp vtcp của (P). Từ đó suy ra
được phương trình tham sô của (p).
Cách 3. Đặt x=f(t1), y=g(t2), thay vào (1), suy ra z=h(tj, t2).
Tập X, y, z chính là phương trình tham số của (P).
Ví d ụ 3: Chuyển dạng phương trình của (P): x+2y+3z-6=0 sang dạng tham số.
G iả i.
Cách 1\ Chọn ha điêm A, B, c mặt phăng (P) băng cách:
- Cho x^y^o, suy ra z=2, ta cỏ điòni A(0, 0, 2).

- Cho x=z=0, suy ra y=3, tacó điỏm B(0, 3, 0).
- Cho y=z=0, suy ra x=6, tacó điểm C(6, 0, 0).
■Ta có: AB (0,3, -2) và AC (6, 0, -2) —r* AB, AC không cùng phương.
■
Từ đó:
\ = 6t->
qua A(0,0,2)
, ( t ì f t2eR)
( P ):r '
—
— _
o ( P ): y = 3tị
hai vtcp AB(0,3,-2)& AC(6,0,-2)
z = 2 - 2t ị - 2t3
Đó chính là phương trình tham số của mặt phăng (P).
Cách 2 Lấy điểm A(0, 0, 2)e(P).
Mặt phăng (P): x+2y+3 z-6=0 có một vtpt là: n (1, 2, 3).
Gọi ã (aj, a 2/ a^) là một vtcp của (P), ta có: ẫ . n = 0 o a|+2a2+3aý=0
■

Ta đi tìm bộ ba th ứ nhất (aj, a2/ a^) thoả màn (1)
Cho a^=0 thì (1) có dạng a,+2a2=0
Cho aj=2 thì tử (2) ta có a,=-l.
^ Ta được vtcp thứ nhất ã (2, -1,0).

(1)
(2)

23

Phán 1: MtV. phÃn^Ị

■

Ta đi tìm bộ ba thứ hai (aj, a2, a3) thoả mân (1)
Cho av=0 thì (1) có dạng aj+3a^=0

(3)

Cho aj=3 thì từ (3) ta có a3=-l.
Ta được vtcp thứ hai b (3, 0, -1).
■N hận thấy ã , b không cùng phương.
Vậy ă ,
■

b là một cặp vtcp của (P)

Khi đ ó :
X = 2tj + 3 t 2
ỊquaA(0,0,2)
, (t„ t2eR)
(P ):r
:
r
« (P ): y =" ti
hai vtcp a(2 -1,0) & 0(3,0 -1)
z = 2 - 12

Đó chính là phương trình tham số của mặt phăng (P).

Cách 3: Đăt x=3tj, y=3t>, thay vào (1), suy ra z=2-tr 2t>. Ta được:
X = 3tj

y = 3t2
, (tj, t: eR)
z = 2 -tj - 2 t:
Đó chính là phương trình tham số của (P).
Bài toán4: Chuyên phưttTg trình tham sốcủa mặt phăng (P)về dạng lớng quát
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Giả sử m ặt phăng (P) có phương trình tham số dưới dạng:
x = x0 + a1t 1+ b 1t2
(P): - y = y0 + a,tJ + b ,to , tj, t2eR.
z = z0 + a3t Ị + b3t 2
Đế’ chuyển phương trình của (P) sang dạng tham số, ta lựa chọn Iĩìột trong
các cách sau:
Cách 1: Khử các tham số t|, t2 giữa các phương trình tham số trên.
Cách 2 Thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Ta có ã (aỉ7 ay a3) và b (bj,

bj) là một cặp vtcp của (P).

Bước 2. vtpt n của (P) đươc xác đinh bởi: fi = *2
t 1 ' L1 ti
vv b 2 b 3 b 3 t>1
b
I
Bước 3: Lập phương trình của (P): đi qua M(xo, Ỵo, zo) có vtpt i ĩ .
Ví dụ 4: Cho m ặt phăng (P) có phương trình tham số:
X = 1 - 2tj + 3 u

(P): z « 2 + tj + 2 t2
C huyển phương trừih tham số của (P) sang dạng phương trình tổng quát.
Giải.
Cách 1: Khử các tham số tj, t2 từ hệ phương trình tham số của (P) ta được:
x+y-4*0.
Vậy phương trình tổng quát của mặt phăng (P) là: x+y-4=0.
24


( h u dó 2 ( IniNvn J. iid : [ 'hư' 'lit;

tnnh W.M plU n n

Ccii li 2.

Mạt p h ả n g (P) c ó
p (-2 ,2 ,l)

m ộ t I lip v t c p

1.1

I b(3,-3,2)

Khi đó vtpt n của (P) đ UXK cho bơi:
/
2 1 1 - 21 - 2 2
n = [ã , b]=
n (7, 7, 0), chon ri (1,1, 0).

vV - 3.w2 2c .1
3 1I 3, --3^ >J
9

■

Khi đó:
^ [qua M il,3,2)
p)-i . - ' ;o (P ):x -l+ y -3 = 0 o (P ):x + v -4 = 0 .
v ; [vtpt 11 (1 , 1 ,0 )
v '
•

v ''

Vậy phương hình tổng quát của Iiìăt phăng (P) la: x+v-4=0.
II.CÁC BÀI TO Á N C H Ọ N LỌC
Bài 1 Lộp ỊTỈìUũhgtành thain sốvà phưtt ìg trình \LXìg quát a u lìvỊt pỉứiìg (T) đi qua A(3,4, -5) và
oócặpvteplà ă (3,1,-1) và b (1,-2,1).
BÀI GIẢI

■

~™

Ta có:
[qua A(3,4,-5)
(p):

o (P ):

hai vtcpa(3,!,-!)& b(l -2,1)

X = 4 + 3t ị + u

(1)

y = 4 + tj - 212
/ = -5 - tị + t :

( 2 ) , ( t 1/t2€R)
(3)

Đó chính là phương trình tham sô của mặt phăng (P).
Từ (2) và (3) ta tính được
1 *1 -

y 2z 6

Ị t 2 = -y - z - 1

v£ơ /|S
ay

v

j ược: x+4y+7z+16=0.
v

'

Đó chính là phương hình tông quát của mặt phăng (P).
Bài 2Trong không gian Ocyz, cho hi điẢmA(1AU); Bfl2ífcC(2ft2).
& Vỉêt phưciTg trình tham sỏ mặt
(ABC),
h Viêtpỉìiiaigiáìgquátcủa mătplìãiig(AĐC).
”

a

BÀI C.IẢI

Phương trình tham số mặt phăng (ABC)
• Ta có:
X = 1 - t, + t2
íquaA(lAO)
(ABC):
ỊỊỊ
O(ABC): y = 2tj
,( t„ t2€R)
2 vtcp AB(-1,2,0)& AC(1,0,2)
/ = 2ụ

Đó chính là phương trình tham số của mặt phàng (ABC),
b.

Phương tổng quát của mặt phăng (ABC)

Cách 1: Từ phương trình tham số của (ABC)
■

Thay phương trình 2, 3 vào 1, ta đươc x=l- —y + - z o 2x+y-z-2=0.
2
L.
Đó chính là phương trình tổng quát của (ABC).
25


Phàn í: Mat phảng

Cách 2 Gọi fi là vtpt của (P). Khi đó:
n = [ ã ,b ]=

2 0 0 -1
0 2 2 1

-1

2

1 0

- n (4, 2, -2)

Khi đó:
(ABC): | qua A(1'0,0) o (ABC): 2x+y-z-2=0.
v
’ Ịvtpt n(2,l,-l)
v
’
y

ĐÓ chính là phương trình tông quát của mặt phăng (ABC).
Cách 3: Phương trình tông quát của (ABC) có dạng: ax+by+cz+d=0.
■ Vì A, B, c nằm trẽn (P) nên ta có hệ:
a+d = 0

2b + d

= 0

2a + 2c + đ = 0

a = —li
=> « b = - d / 2 .
[c = d / 2

Thay a, b, c vào (1) được: 2x+y-z-2=0.
Đó chính là phương trình tông quát của (ABC).
Cách 4: sử dụng tích hỗn tạp.
M(x, y, x)e(ABC) <=> D( AM, AB, AC)=0
o

X- 1 y z
0 -1
2 0
-1 2
z = 0 o 2x + y -z-2= 0 .
- 1 2 0 =0 <=>
(x -l) +
•y
+

0 2
2 1
1 0
1 0 2

Đó chính là phương trình tổng quát của (ABC).
Bài 3 Viáphưt*E trình tham sốvà 4ỐỈngquát của mặtphẳng (P)
a QìúaOxvàđiquaA(l/*i3).
b. GiifcOyvadiquaBflA-Z).
c Chúa Cte và đi qua (1(1,0,-2).
BÀI GIẢI

a.

Mặt phăng (P) chứa Ox => Oe(P) và (P) có một vtcp là ã (1,0, 0). v 7ậj:

■

Phương trìiĩỉĩ thà 111 sô '
'x = t , + t 2 (1)

íqua 0(0,0,0)
(P):<
^ —
o (P): y = -2 ụ
[hai vtcp ă(l,0,0)&OA(l,-2,3)
7. = 31 2

Đó chính là phương trình tham số của
■

(2) , t „ t 2€R.
(3)

mặt phăng (P).

Phương trìiứì tông qu át

Cách 1: Khử các tham số tj, t2 giửa các phương trình tham số trên.
Từ (2), (3), ta được 3y+2z=0.
Đó chính là phương trình tông quát của (P).

26

(1)