Tài liệu bồi dưỡng học sinh lớp 9 môn toán sưu tầm (11)

CHUYÊN ĐỀ 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH
A - Lý thuyết: Các phương pháp giải
1. Phương pháp thế
- B1: Từ 1 pt nào đó ta rút 1 ẩn và biểu diễn theo ẩn còn lại ( thường rút ẩn có hệ số nhỏ
nhất)
- B2: Thế biều thức đó vào pt còn lại để được 1 pt 1 ẩn
- B3: Giải Pt thu được
- B4: Thay ẩn vừa tìm được vào 1 trong các pt để tìm ẩn còn lại và kết luận
2. PP cộng đại số
- B1: Nhân cả 2 vế của các pt với các số thích hợp ( nếu cần) để được hệ số của cùng 1 ẩn
ở 2 pt bằng nhau hoặc đối nhau
- B2: Cộng (nếu 2 hệ số đối nhau) hoặc trừ(nếu 2 hệ số bằng nhau) từng vế của 2 pt để
được 1 pt 1 ẩn
- B3: Giải Pt thu được
- B4: Thay ẩn vừa tìm được vào 1 trong các pt để tìm ẩn còn lại và kết luận
3. Đặt ẩn phụ: Khi ở các pt có những nhóm giống nhau thì ta chọn làm ẩn phụ
4. Dùng BĐT: Dùng BĐT để lập luận trường hợp xảy ra dấu bằng
- BĐT Côsi: a+b ≥ 2 ab ; a1 + a 2 + ... + a n ≥ n n a1.a 2 ...a n ( Dấu bằng xảy ra khi các số
bằng nhau)
- BĐT Bunhiacopxki: (a1.x1 + a 2 .x 2 + ... + a n .x n ) 2 ≤ (a12 + a 22 + ... + a 2n ).(x12 + x 22 + ... + x 2n )
Dấu bằng xảy ra khi 2 bộ số tương ứng tỉ lệ
B – Bài tập: (Riêng hệ vô tỷ ta xét sau cùng với PT vô tỷ)
I- Dạng 1. Hệ bậc nhất.
Bài 1. Giải các hệ phương trình
3 x + y = 11
a. 
7 x + 4 y = 29

3 x + 4 y = 1
b. 
2 x − 3 y = −2

x + y + z = 1

d. 2x + 3y − 2z = 4
− x + 2y + 2z = 5


 x − 2 y + 3z = 9

e. 2 x + 5 y − z = 10
3 x + 3 y + 2 z = 2


( x + 20)( y − 1) = xy
g. 
( x − 10)( y + 1) = xy

 x + y = 16

f.  x + z = 22
 y + z = 28


y + 27
 2 y − 5x
+5=
− 2x
 3
4
h. 

 x + 1 + y = 6 y − 5x
 3
7

Bài 2: Giải các hệ phương trình
 x + 2y 7
 5x + 6z = 9

 x 2 + y 2 = 4 − 2xy
 3y + 4z 8
=
a. 
b.: 
x
+
2y
7
 x − 2y = 5

 x + y + z = 128


x + y − z = 1

y + z − x = 5
x + z − y = 3


 x + y + z = 11


c. 3 x + 2 y + z = 24
2 x − y + z = 5


 x + y + z = 15
 x + y + t = 16

e. 
 x + z + t = 18
 y + z + t = 20

5 x 3 + y = 2 2
 x 6 − y 2 = 2

i. 

1

x − y = 1

1

c.  y − = 1
z

1

z − x = 1

x y z

 = =
f.  3 5 4
3 x − 5 y + 6 z = 16

d.


Bài 3: GHPT
1 1 1
 x + y = 12

a. 
 8 + 15 = 1
 x y

1
 2
 x + 2 y + y + 2x = 3

b. 
 4 − 3 =1
 x + 2 y y + 2 x

 x 2 + y 2 = 13
d.  2
3 x − 2 y 2 = −6

e. 

2

 3x
 x +1 − y + 4 = 4

c. 
 2x − 5 = 9
 x + 1 y + 4

3 x + 2 y = 16

 x + 4 y = 18
3 x + y = 10

f. 

2 x − 3 y = −11

5 x − 1 − 3 y + 2 = 7

2( x 2 − 2 x ) + y + 1 = 0
g.  2
3( x − 2 x) − 2 y + 1 = −7

h. 

2 4 x 2 − 8 x + 4 + 5 y 2 + 4 y + 4 = 13

HD: Đặt ẩn phụ
II - Dạng 2: Hệ bậc cao
1. Hệ đối xứng loại 1
-Nhận dạng: Là hệ pt mà nếu mỗi cặp số (x; y) là 1 nghiệm thì (y; x) cũng là nghiệm ( vai

trò x và y là như nhau ở các PT)
- PP giải: Đặt x+y = S; xy = P. Giải HPT với S và P sau đó tìm x, y nhờ PT:
X2 – S.X + P =0
Chú ý: Với hệ giả đối xứng loại 1 thì đặt x-y = S; -xy = P.
Khi đó nghiệm của Pt là x và -y
Bài 4: GHPT
 x 2 + y 2 - 2x - 2y = 6
a. 
 x + y − xy = 5
 x 2 + xy + y 2 = 19( x − y ) 2
d.  2
 x − xy + y 2 = 7( x − y )

5( x + y ) + 2 y = −19
 x + y + 3 xy = −35

c. 

x + y = 4
e.  2
2
3
3
( x + y )( x + y ) = 280

 x 2 + y 2 + xy = 13
f. 
 x − y + xy = 5

2

2
 x 2 + y 2 − 3xy = 4
 x + 4y + 6xy = 19 + 2y + 6y
g. 
h.  2
(HD: Đặt 2y+1=a)
 x + 4y2 = 1 − 4y
3x − xy = 3y + 6

2. Hệ đối xứng loại 2
- Nhận dạng: Cũng như loại I, loại II cũng “đối xứng” nhưng là đối xứng giữa 2 phương
trình chứ không không phải là đối xứng trong từng phương trình như kiểu I.
+ Một cách nhận dạng khác nữa là cho x=y thì 2 phương trình của hệ như nhau. Hay nói
cách khác x=y chính là nghiệm của hệ. Đây chính là đặc điểm khai thác của hệ này.
- Phương pháp: Thông thường, ta trừ theo vế ta thu được nghiệm x=y, và 1 số nghiệm
khác. Sau đó thay lại tìm ra nghiệm (x;y).
*Chú ý: Hệ giả đx thì x ở PT 1 được thay bằng –y ở PT 2 và ngược lại
Bài 5: GHPT


 x 2 + 2y = 5x + 4
a.  2
 y + 2x = 5y + 4

1
 2
2 x = y + y
c. 
2 y 2 = x + 1


x

2 x = y 2 − 4 y + 5
b. 
2 y = x 2 − 4 x + 5

 x 1 − y 2 = 1 / 4

 y 1 − x 2 = 1 / 4

1− y2
x
=

1+ y2

g. 
2
y = 1− x

1+ x2

| x |= 1 − y 2
e. 
| y |= 1 − x 2

d.

 x 3 = 3 x + 8 y
f.  3

 y = 3 y + 8 x
2y

 x = 1 − y 2
h. 
 y = 2x

1− x2

2
5x = y + 3y − 3
i. 
2
−5y = x − 3x − 3
3. Hệ đẳng cấp

(giả đx )

2
2
 x − 2y = 2x − y
k.  2
(giả đx)
2
 y − 2x = −2y + x

- Nhận dạng: Là HPT mà tất cả các hạng tử chứa ẩn đều có bậc bằng nhau
- Phương pháp: Đặt x = ty (hoặc y = tx), thế vào 2 pt sau dó chia từng vế ta được 1 pt ẩn t.
Giải pt tìm t, thay vào tìm x và y.
Bài 6: GHPT

 xy − 4 = 8 − y 2
a. 
 xy = 2 + x 2

 x 2 + 4 xy − 2 y 2 = 3
b.  2
2 x − xy + 3 y 2 = 4

 x 2 − 2 xy + 3 y 2 = 9
c.  2
 x − 4 xy + 5 y 2 = 5

4. Một số dạng khác
Bài 7: GHPT
 x 2 − 5 xy + 6 y 2 = 0
a.  2
( HD: Phân tích PT 1 thành nhân tử rồi thế x vào pt 2)
 4 x + 2 xy + 6 y − 27 = 0
 x 2 + y 2 + z 2 = xy + yz + zx
b.  2003
(HD: Từ PT 1 dùng BĐT phụ để suy ra x=y=z)
 x
+ y 2003 + z 2003 = 3 2004
 x 5 + y 5 = 1
(HD: Nhân vế trái của PT 1 với vế phải của PT 2 và ngược lại)
9
9
4
4
 x + y = x + y

c. 

 x 3 + y 3 = 1
;(HD:Nhân chéo vế)
5
5
2
2
 x + y = x + y

d. 

 x 3 = 2 y + 1
e.  3
(HD: Hệ đx loại 2 - trừ từng vế)
 y = 2 x + 1

 x + xy + y = 1

f.  y + yz + z = 4
z + zx + x = 9


trong đó x, y, z > 0

(HD: cộng 1 vào 2 vế, PTTNT rồi nhân từng vế cả 3 pt)


 x 2 + x = 5 + y 2 + y

g.  3
 x + y 3 = x 2 y + xy 2 + 6

(HD: Đặt: x-y=a; x+y =b sau đó sử dụng pp thế)

 x 3 + x 3 y 3 + y 3 = 17
(HD :Đặt x+y = a; xy=b sau đó sử dụng pp thế)
 x + xy + y = 5

h. 

Bài 8: Giải các hệ phương trình (PP dùng BĐT)
x + y + z = 1

( HD: Dùng BĐT phụ a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca(*) cho PT (2) )

a. 

4
4
4
 x + y + z = xyz

 x 2 + y 2 = 1(1)
b. 1999
1999 y =
 x −

(

2000

)

y − 2000 x .(x + y + xy + 2001)(2)

(HD: Tìm ĐK, xét x>y và y>x sau đó suy ra x = y)
2
4
c.  x + 32 − x = y − 3

4
 x + 32 − x = 24 − 6 y

Giải:
ĐK: 0 ≤ x ≤ 32
Hệ đã cho tương đương với
( x + 32 − x ) + ( 4 x + 4 32 − x ) = y 2 − 6 y + 21

 x + 4 32 − x = y 2 − 3

Theo bất đẳng thức BunhiaCốp xki ta có
( x + 32 − x ) 2 ≤ (12 + 12 )( x + 32 − x ) = 64
⇒ x + 32 − x ≤ 8

(

4

⇒

x + 4 32 − x
4

) ≤ [2(
4

]

2

x + 32 − x ) ≤ 256

x + 4 32 − x ≤ 4

Suy ra ( x + 32 − x ) + ( 4 x + 4 32 − x ) ≤ 12
Mặt khác y 2 − 6 y + 21 = ( y − 3) 2 + 12 ≥ 12
Đẳng thức xẩy ra khi x= 16 và y=3 (t/m)
Vậy hệ đã có nghiệm là (x;y) = (16;3)
III- Dạng 3. Giải và biện luận hệ phương trình
Phương pháp giải:
• Từ một phương trình của hệ tìm y theo x rồi thế vào phương trình thứ hai để được
phương trình bậc nhất đối với x
• Giả sử phương trình bậc nhất đối với x có dạng: ax = b (1)
• Biện luận phương trình (1) ta sẽ có sự biện luận của hệ


+ Nếu a=0: (1) trở thành 0x = b
- Nếu b = 0 thì hệ có vô số nghiệm
- Nếu b ≠ 0 thì hệ vô nghiệm

+ Nếu a ≠ 0 thì (1) ⇒ x =

b
, Thay vào biểu thức của x ta tìm y, lúc đó hệ phương trình
a

có nghiệm duy nhất.
mx − y = 2m(1)
4 x − my = m + 6(2)

Ví dụ: Giải và biện luận hệ phương trình: 

Từ (1) ⇒ y = mx – 2m, thay vào (2) ta được:
4x – m(mx – 2m) = m + 6 ⇔ (m2 – 4)x = (2m + 3)(m – 2) (3)

(2m + 3)(m − 2) 2m + 3
=
m+2
m2 − 4
m
2m + 3
m
Khi đó y = . Hệ có nghiệm duy nhất: (
;)
m+2
m+2 m+2

+) Nếu m2 – 4 ≠ 0 hay m ≠ ± 2 thì x =

+) Nếu m = 2 thì (3) thỏa mãn với mọi x, khi đó y = mx -2m = 2x – 4

Hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x ∈ R
+) Nếu m = -2 thì (3) trở thành 0x = 4 . Hệ vô nghiệm
2m + 3
m
;)
m+2 m+2
- Nếu m = 2 thì hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x ∈ R

Vậy: - Nếu m ≠ ± 2 thì hệ có nghiệm duy nhất: (x,y) = (
- Nếu m = -2 thì hệ vô nghiệm
Bài 9: Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
mx + y = 3m − 1
mx + 4 y = 10 − m
b) 
 x + my = m + 1
 x + my = 4

(m − 1) x − my = 3m − 1
2 x − y = m + 5

a) 

)

IV - Dạng 4: Xác định tham số để hệ có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước
*Phương pháp giải:
• Giải hệ phương trình theo tham số
• Viết x, y của hệ về dạng: n +

k

với n, k nguyên
f (m)

• Tìm m nguyên để f(m) là ước của k
Ví dụ1: Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên:
mx + 2 y = m + 1

2 x + my = 2m − 1

HD Giải:
mx + 2 y = m + 1
⇔

2 x + my = 2m − 1

2mx + 4 y = 2m + 2

2
2
2mx + m y = 2m − m

(m 2 − 4) y = 2m 2 − 3m − 2 = ( m − 2)(2m + 1)
⇔
2 x + my = 2m − 1
để hệ có nghiệm duy nhất thì m2 – 4 ≠ 0 hay m ≠ ± 2
Vậy với m ≠ ± 2 hệ phương trình có nghiệm duy nhất
(m − 2)(2m + 1) 2m + 1
3

=

= 2−
2
 y =
m+2
m+2
m −4

x = m − 1 = 1 − 3

m+2
m+2
Để x, y là những số nguyên thì m + 2 ∈ Ư(3) = {1;−1;3;−3}


Vậy: m + 2 = ± 1, ± 3 => m = -1; -3; 1; -5
Bài Tập:
Bài 10:
Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên:
(m + 1) x + 2 y = m − 1
 2
2
m x − y = m + 2 m

Bài 11
a) Định m, n để hệ phương trình sau có nghiệm là (2; -1)
2mx − (m + 1) y = m − n

(m + 2) x + 3ny = 2m − 3

(HD: Thay x = 2 ; y = -1 vào hệ ta được hệ phương trình với ẩn m, n)

b) Định a, b biết phương trình ax2 -2bx + 3 = 0 có hai nghiệm là
x = 1 và x = -2
(HD: thay x = 1 và x = -2 vào phương trình ta được hệ phương trình với ẩn a, b
c) Xác định a, b để đa thức f(x) = 2ax2 + bx – 3 chia hết cho 4x – 1 và x + 3
(HD:Dùng định lí bơzu cho f(x))
d) Cho biểu thức f(x) = ax2 + bx + 4. Xác định các hệ số a và b biết rằng
f(2) = 6 , f(-1) = 0
Bài 12:
Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2)
Bài 13:
Định m để 3 đường thẳng 3x + 2y = 4; 2x – y = m và x + 2y = 3 đồng quy
Bài 14 :Định m để 3 đường thẳng sau đồng quy
a) 2x – y = m ;
x - y = 2m ;
mx – (m – 1)y = 2m – 1
2
b) mx + y = m + 1 ; (m +2)x – (3m + 5)y = m – 5 ; (2 – m)x – 2y = -m2 + 2m – 2
Bài 15:
mx + 4 y = 9
 x + my = 8

Cho hệ phương trình: 

Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) thỏa mãn hệ thức:
2x + y +

38
=3
m −4
2

HD Giải:
- Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất: m ≠ ± 2
- Giải hệ phương trình theo m
8m − 9

y= 2

mx + 4 y = 9
(m − 4) y = 8m − 9
mx + 4 y = 9

m −4
⇔
⇔
⇔

2
 x + my = 8
mx + m y = 8m
 x + my = 8
 x = 9m − 32

m2 − 4
9m − 32
8m − 9
- Thay x = 2
;y= 2
vào hệ thức đã cho ta được:
m −4

m −4
9m − 32
8m − 9
38
2. 2
+ 2
+ 2
=3
m −4
m −4 m −4
2

=> 18m – 64 +8m – 9 + 38 = 3m2 – 12
⇔ 3m2 – 26m + 23 = 0
⇔ m1 = 1 ; m2 =

Vậy m = 1 ; m =

23
3

23
(cả hai giá trị của m đều thỏa mãn điều kiện)
3