CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO DÃY SỐ

MỤC LỤC

1

1


MỞ ĐẦU
1. Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực đề tài
Dãy số có vai trò quan trọng trong toán học cũng như nhiều lĩnh vực khác
trong cuộc sống. Ngay từ khi học tiểu học học sinh đã bắt đầu làm quen với một
số bài toán về dãy số như tìm quy luật của một dãy số đơn giản, tính tổng dãy
số. Trong chương trình trung học phổ thông hiện nay, vấn đề dãy số được đưa
vào chương III đại số và giải tích 11 (ban cơ bản và nâng cao). Học sinh bắt đầu
được tìm hiểu khái niệm dãy số, giới hạn dãy số, hai dãy số đặc biệt là cấp số
cộng và cấp số nhân và một số bài toán liên quan đến dãy số. Ở bậc đại học, sinh
viên tiếp tục được tìm hiểu, nghiên cứu sâu hơn về dãy số trong học phần toán
học cao cấp. Trong toán học, dãy số có vị trí đặc biệt không chỉ như là đối tượng
để nghiên cứu mà còn đóng vai trò như là một công cụ đắc lực của các mô hình
rời rạc của giải tích trong lý thuyết phương trình, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu
diễn. Dãy số cũng là một phần quan trọng của đại số.
Đặc biệt trong các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic toán học quốc tế
(IMO) hay trong những kỳ thi Olympic toán sinh viên các trường đại học và cao
đẳng trong toàn quốc, các bài toán về dãy số thường được xuất hiện khá nhiều
và thường được đánh giá ở mức độ khó. Vì vậy, dãy số luôn thu hút được sự
quan tâm của giáo viên toán, học sinh chuyên toán và sinh viên ngành toán.
Hiện nay có rất nhiều tài liệu viết về vấn đề dãy số. Các dạng toán về dãy
số khá là đa dạng và phong phú bao gồm các bài toán như tìm số hạng tổng quát
của dãy số, khảo sát sự hội tụ hay phân kỳ của dãy số, các bài toán tính tổng dãy
số. Bên cạnh đó, một số dạng toán về phương trình hàm, cũng có thể giải quyết
thông qua công cụ dãy số.

Để giải được các bài toán về dãy số đòi hỏi người làm toán phải có kiến
thức tổng hợp về số học, đại số, giải tích và đòi hỏi sự sáng tạo tư duy lôgic cao.
2. Tính cấp thiết của đề tài
Như đã trình bày trên, hiện nay có rất nhiều tài liệu viết về vấn đề dãy số,
các dạng toán về dãy số khá là đa dạng và phong phú. Tuy nhiên, trong các tài
liệu thì dãy số dường như mới được giới thiệu như là một kiến thức cơ sở để
nghiên cứu về hàm số, chuỗi số và ứng dụng của dãy số chưa được giới thiệu
nhiều. Trong các tài liệu, bài tập về dãy số hầu như chưa có sự phân loại và phân
dạng cụ thể.
Chính vì vậy, chúng tôi mạnh dạn chọn đề tài “Khai thác một số dạng
toán về dãy số” để nghiên cứu. Nhóm thực hiện đề tài hi vọng đây sẽ là tài liệu
2

2


tham khảo tốt cho các học sinh yêu thích toán, sinh viên chuyên ngành toán
quan tâm đến dãy số và các bạn sinh viên chuẩn bị tham gia vào kì thi Olympic
toán sinh viên.
3. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài
- Khai thác một số dạng toán về dãy số như: tìm số hạng tổng quát, tìm
giới hạn.
- Đưa ra một số ứng dụng của dãy số như giải phương trình hàm, một số
bài toán chứng minh bất đẳng thức trong dãy số.
- Đưa ra hệ thống ví dụ minh họa cho các dạng toán về dãy số.
4. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
4.1 Đối tượng nghiên cứu: dãy số.
4.2 Phạm vi nghiên cứu: tìm số hạng tổng quát, tính giới hạn của dãy số,
và ứng dụng của dãy số.
5. Nội dung nghiên cứu

Đề tài gồm 4 chương:
Chương 1: Dãy số
1.1. Các khái niệm cơ bản.
1.2. Giới hạn của dãy số.
1.3. Các dấu hiệu hội tụ của dãy số.
1.4. Dãy truy hồi.
Chương 2: Số hạng tổng quát của dãy số.
2.1. Phương pháp quy nạp.
2.2. Phương pháp sử dụng hằng đẳng thức.
2.3. Phương pháp sử dụng cấp số cộng, cấp số nhân.
2.4. Phương pháp sai phân.
2.5. Phương pháp thế lượng giác.
2.6. Phương pháp ma trận.
Chương 3: Giới hạn của dãy số.
3.1. Tính giới hạn của dãy số.
3.2. Xét tính hội tụ của dãy số.
Chương 4: Ứng dụng của dãy số
4.1. Giải phương trình hàm.
4.2. Một số bài toán về bất dẳng thức trong dãy số.
3

3


6. Phương pháp nghiên cứu
Từ việc nghiên cứu các tài liệu về dãy số, nhóm đề tài tổng hợp và phân
loại các phương pháp tìm số hạng tổng quát và tính giới hạn của dãy số. Thông
qua việc nghiên cứu về dãy số, nhóm đề tài nghiên cứu ứng dụng của dãy số vào
các dạng toán khác. Trên cơ sở lí thuyết đã nghiên cứu, nhóm đề tài xây dựng hệ
thống ví dụ và bài tập minh họa.

Để khai thác dạng toán về số hạng tổng quát của dãy số, chúng tôi sử
dụng một số phương pháp cơ bản như phương pháp quy nạp, phương pháp sai
phân, phương pháp truy hồi,…
Để khai thác dạng toán về giới hạn dãy số và sự hội tụ của dãy số, chúng
tôi sử dụng phương pháp kẹp giữa, phương pháp sai phân,…

4

4


CHƯƠNG 1: DÃY SỐ
Trong chương một chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản nhất về dãy
số: định nghĩa dãy số, giới hạn dãy số, các định lý liên quan đến giới hạn dãy số
và một số tiêu chuẩn hội tụ của dãy số. Các khái niệm trong chương một được
trích dẫn từ các tài liệu tham khảo[1], [3], [4], [6].
1.1. Các khái niệm cơ bản
1.1.1. Định nghĩa dãy số thực
Định nghĩa 1.1
- Một ánh xạ u từ tập các số nguyên dương N* vào tập hợp các số thực R
được gọi là một dãy số thực (dãy số vô hạn).
u : ¥* → ¡

n a u ( n)
Dãy số thường được viết dưới dạng khai triển
u1 , u2 ,......, un ,......
un = u ( n )
u1
un
trong đó

, gọi
là số hạng đầu,
là số hạng
thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số.
{ un } n∈Ν {un } ( un ) n∈Ν
Kí hiệu:
,
,
m∈ ¥*

- Mỗi ánh xạ u xác định trên tập M = {1,2,3,…, m} với
được gọi là một
dãy số hữu hạn.
u1 , u2 ,......, um
u1
um
Dạng khai triển của nó là
trong đó
là số hạng đầu,
là
số hạng cuối.
1.1.2. Dãy số bị chặn
{un }
Dãy số
được gọi là:
- dãy số bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho:

un < M , ∀n

un > m ∀n

- dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho:
,
- dãy số bị chặn nếu vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới.
Nhận xét:
5

5


- dãy số bị chặn khi và chỉ khi tồn tại một số M > 0 sao cho:

u n ≤ M , ∀n

1.1.3. Dãy số đơn điệu
{un }
Dãy số thực
được gọi là:
- dãy đơn điệu tăng nếu:

un ≤ un +1 , ∀n

- dãy đơn điệu tăng nghiêm ngặt nếu:
un ≥ un+1 , ∀n
- dãy đơn điệu giảm nếu:

un < un+1 , ∀n

un > un+1 , ∀n

- dãy đơn điệu giảm nghiêm ngặt nếu:

- dãy số thực tăng hoặc giảm gọi là đơn điệu, tăng nghiêm ngặt hoặc giảm
nghiêm ngặt gọi là đơn điệu nghiêm ngặt.
Nhận xét:
{ un } , { vn }
{ un + vn }
- Nếu 2 dãy
đều tăng (tương ứng giảm) thì dãy
tăng
(tương ứng giảm).
{ un } , { vn }
- Nếu 2 dãy
đều tăng (tương ứng giảm) và các số hạng không

{ u .v }
n

n

âm thì dãy
tăng (tương ứng giảm).
- Một dãy số có thể không tăng hoặc không giảm.
{un }
un = (−1) n , n ∈ N
Ví dụ: Dãy
xác định bởi
1.1.4. Dãy con của một dãy số thực
{un }: u1 , u2 , ......, un
Cho dãy
.
{u n }

Dãy

k

ra từ dãy

với các chỉ số thỏa mãn:

n1 < n2 < n3 .....

{un }.

1.2. Giới hạn của dãy số
1.2.1. Định nghĩa
Định nghĩa 1.2
6

6

được gọi là một dãy con trích


a) Dãy

(un )

được gọi là hội tụ đến l (hay có giới hạn l) nếu
un − l < ε , ∀n > n0
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N

sao cho
lim u = l
{un }
n →+∞ n
Kí hiệu:
và dãy
được gọi là dãy hội tụ.
Dãy số không hội tụ gọi là dãy phân kì.
lim u = 0
{un }
n →+∞ n
n → +∞
Nếu
thì dãy
được gọi là vô cùng bé khi
b) Giới hạn vô cùng
(un )
- Dãy
được gọi là có giới hạn dương vô cùng nếu:
∀A > 0, ∃n0 ∈ N , ∀n > n0 ⇒ un > A

lim un = +∞

n →+∞

Kí hiệu:
(un )
- Dãy
được gọi là có giới hạn âm vô cùng nếu:
∀A > 0, ∃n0 ∈ N , ∀n > n0 ⇒ u n < − A

lim un = −∞

n →+∞

Kí hiệu:
(un )
- Dãy
được gọi là một dãy vô cùng lớn nếu:
∀A > 0, ∃n0 ∈ N , ∀n > n0 ⇒ un > A
Nhận xét:

- Dãy
bé.

(un )

được gọi là 1 dãy vô cùng lớn khi và chỉ khi dãy

- Dãy có giới hạn

1
 
 un 

là dãy vô cùng

±∞

đều phân kì.

+∞
- Mọi dãy tiến đến
đều bị chặn dưới.
−∞
- Mọi dãy tiến đến
đều bị chặn trên.
1.2.2. Một số tính chất cơ bản của giới hạn:
Định lý 1.1: Nếu một dãy số hội tụ thì giới hạn của nó là duy nhất.
7

7


Chứng minh:
lim u = a1 , nlim
u = a2 .
a1 = a2
n →+∞ n
→+∞ n
Giả sử:
Ta phải chứng minh:
a −a
ε= 1 2
a1 − a2 > ε
2
Chọn
. Ta có:
(1)
∀ε > 0
Khi đó

ε
∀n > n1; un − a1 <
lim un = a1 , ∃n1
n →+∞
2
sao cho
ε
∀n > n2 ; un − a2 <
lim un = a2 , ∃n2
n →+∞
2
sao cho
n = max(n1 , n2 )
Chọn
Ta có:
ε ε
a1 − a2 = a1 − un + un − a2 ≤ a1 − un + un − a2 < + = ε
2 2
(2)
a1 − a2 = 0 ⇒ a1 = a2 ⇒
Từ (1) và (2) suy ra
đpcm.
Định lý 1.2: Mọi dãy con của dãy hội tụ là dãy hội tụ và có cùng giới hạn của
dãy.
Chứng minh:
lim u = a.
∀ε > 0; ∃n0 ; ∀n > n0 : un − a < ε
n →+∞ n
Giả sử:
Khi đó

{u }
nk

Xét

k

là 1 dãy con của

{un }.

∀k > n0 ; nk ≥ k ≥ n0 ⇒ un − a < ε ⇒ n→+∞
lim un = a
k

Khi đó

Định lý 1.3: Nếu dãy

{un }

k

lim un = a

là dãy hội tụ và

n →+∞

thì dãy

lim un = a

n →+∞

và
.
Chứng minh:
lim u = a.
∀ε > 0; ∃n0 ; ∀n > n0 : un − a < ε
n →+∞ n
Giả sử:
Khi đó
8

8

{ un }

cũng hội tụ


un − a < ε , ∀n > n0 .

u n − a ≤ un − a ⇒
Mà

lim un = a

{ un }

n →+∞

Do đó dãy
cũng hội tụ và
Định lý 1.4: Mọi dãy hội tụ là dãy bị chặn.
Chứng minh:
lim u = a.
lim un = a
n →+∞ n
n →+∞
Giả sử:
Theo tính chất 3 ta có
ε =1
Chọn
.
lim u = a.
∃n0 ; ∀n > n0 : un − a < 1 ⇒ un < a + 1; ∀n > n0
n →+∞ n
Từ
có
M = max{ u1 , u2 ,......, un , a + 1}
0

Đặt
Ta có

un ≤ M , ∀n ∈ N *

Do đó dãy

{un }

bị chặn

Định lý 1.5: Giả sử các dãy
a) Dãy {
b) Dãy {

un + vn }
un .vn }

{un }

và

cũng hội tụ và

hội tụ. Khi đó:
lim(un + vn ) = lim un + lim vn

n →+∞

n →+∞

cũng hội tụ và

n →+∞

thì dãy

n →+∞

n →+∞

 un 
 
 vn 

lim u = a, ∃n1
n →+∞ n

cũng hội tụ và

9

∀n > n1 ; un − a <

ε
2

∀n > n2 ; vn − b <

ε
2

sao cho

lim vn = b, ∃n2

n →+∞

lim
n →+∞

Chứng minh:
lim u = a, lim vn = b.
n →+∞ n
n →+∞
a) Giả sử:
∀ε > 0
Khi đó

n →+∞

n →+∞

lim(un .vn ) = lim un .lim vn

lim vn = b ≠ 0

c) Nếu

{vn }

sao cho
9

un

un nlim
= →+∞
vn nlim
v
→+∞ n


Chọn
Ta có:

n0 = max( n1 , n2 )

(un + vn ) − (a + b) ≤ un − a + vn − b <

ε ε
+ = ε , ∀n > n0
2 2

lim(un + vn ) = a + b = lim un + lim vn

Do đó:

n →+∞

n→+∞

n→+∞

lim un = a, lim vn = b.

n →+∞

b) Giả sử:
Dãy
Đặt

{vn }

n →+∞

hội tụ nên bị chặn. Do đó

∃M > 0 : vn < M , ∀n

M 0 = max ( M , a )

Khi đó

∀ε > 0

ε
2M 0
ε
∃n2 , ∀n > n2 : vn − b <
2M 0
∃n1 , ∀n > n1 : un − a <

n0 = max ( n1 , n2 ) .

∀n > n0 : un vn − ab =

un vn − avn + avn − ab ≤ un − a vn + a vn − b <

lim(un .vn ) = ab = nlim
u . lim v
→+∞ n n →+∞ n

n →+∞

Do đó
lim u = a, lim vn = b ≠ 0.
n →+∞ n
n →+∞
c) Giả sử:
Chọn:
b
b
ε = . lim
v
=
b
,
∃
n
:
v
−
b
<
, ∀n > n1
n

1
n
2 n→∞
2
b
b − vn < vn − b ⇒ vn > b − , ∀n > n1
2
Do đó:

10

vn ≠ 0, ∀n > n1

10

ε
ε
.M 0 + M 0 .
=ε
2M 0
2M 0


1 1
=
vn b

lim
n →+∞
Ta chứng minh

Thật vậy:

b2
∀ε > 0, b ≠ 0 ⇒ .ε > 0
2

b2
lim v = b ⇒ ∃n2 : vn − b < .ε , ∀n > n2
n →+∞ n
2
n0 = max ( n1 , n2 )
1 1 vn − b b 2 2
− =
< ε 2 =ε
vn b
vn b
2 b
⇒ nlim
→+∞

1 1
=
vn b

Áp dụng phần b có
lim
n →+∞

u

un
1 a nlim
→+∞ n
= nlim
u
.lim
=
=
n
vn →+∞ n→+∞ vn b nlim
v
→+∞ n

lim un = a

Hệ quả: Nếu

n →+∞

lim α un = α a.

n →+∞

thì
{un } {vn }
Định lý 1.6: Cho 2 dãy hội tụ
,
.
n0
un ≥ vn , ∀n > n0

Giả sử tồn tại
sao cho
.
lim u ≥ lim vn
n →+∞ n
Khi đó
Chứng minh:

và

α ∈R

n →+∞

lim un = a < b = lim vn

Giả sử phản chứng

n →+∞

∃r : a < r < b

n →+∞

ε1 = r − a > 0; ε 2 = b − r > 0

Khi đó
. Đặt
lim u = a, ∃n1
∀n > n1 ; un − a < r − a

n →+∞ n
sao cho
lim v = b, ∃n2
∀n > n2 ; vn − b < b − r
n →+∞ n
sao cho

11

11


⇒ un < r , ∀n > n1
vn > r , ∀n > n2

∀n > max { n0 , n1 , n2 } ⇒ un < r < vn

Mà

un ≥ vn , ∀n > n0

(gt); mâu thuẫn với điều giả sử.
lim un ≥ lim vn

a≥b
n →+∞
n →+∞
Do đó
hay
Hệ quả:

lim u = a ∃n : u ≥ b, ∀n > n
n →+∞ n
a≥b
0
n
0
a) nếu
và
thì
lim u = a ∃n : u ≤ c, ∀n > n
a≤c
n →+∞ n
0
n
0
b) nếu
và
thì
{un } {vn } { wn }
un ≤ vn ≤ wn
Định lý 1.7: Giả sử các dãy
,
,
thỏa mãn
đồng thời
dãy

{un }

,

{w }
n

lim un = lim w n = a

cùng hội tụ đến a:

n →+∞

n →+∞

. Khi đó dãy

{vn }

lim vn = a

n →+∞

tụ và có cùng giới hạn bằng a. Ta có
Chứng minh:
∀ε > 0
Với
lim u = a, ∃n0 , ∀n > n0 : a − ε < un < a + ε
n →+∞ n

lim w n = a, ∃n1 , ∀n > n1 : a − ε < w n < a + ε

n →+∞

n2 = max { n1 , n0 } , ∀n > n2 : a − ε < u n ≤ v n ≤ w n < a + ε
⇒ vn − a < ε , ∀n > n2

lim vn = a

Vậy

n →+∞

1.3. Các dấu hiệu hội tụ dãy số
Định lý 1.8: (Tiêu chuẩn hội tụ Weierstrass)
a) Nếu
b) Nếu
12

{un }
{un }

lim un = sup { un }

n →+∞

dãy số tăng và bị chặn trên thì hội tụ và
dãy số giảm và bị chặn dưới thì hội tụ và
12

n ≥1

.

lim un = inf
{ un }
n ≥1

n →+∞

.

cũng hội


Chứng minh:
{un }
a) Vì dãy
bị chặn trên nên nó có cận trên đúng.
a = sup un ; a < +∞
Đặt
Ta có

n

.

un ≤ a, ∀n ∈ N *
a −ε < a

ε >0

Cho trước

vì
nên
∃n0 ∈ N * : a − ε < un ≤ a
Vì thế

a −ε

không là cận trên của

{un }

.

0

∀n > n0 ; un ≤ un

{un }

0

Mặt khác vì
là dãy tăng nên
a − ε < un ≤ un ≤ a < a + ε ⇒ un − a < ε , ∀n ≥ n0
Do đó
lim u = a = sup { un }
n →+∞ n
0

n ≥1

Vậy
b) Nếu dãy

{un }

giảm thì dãy

{−un }

tăng. Theo phần a)

lim(−un ) = a = sup { −un } = − inf un

n →+∞

Do đó

n ≥1

lim un = inf
{ un }
n ≥1

n →+∞

Định lý 1.9: (Định lý Bolzano – Weierstrass)
Mọi dãy số thực { un } bị chặn đều có một dãy con hội tụ.
Chứng minh:
Gọi K là tập hợp tất cả các số nguyên dương k sao cho u k là một cận trên của tập

≤
≥
hợp {uk+1, uk+2, …} tức là un uk với mọi n k+1.
 Nếu K là một tập hợp vô hạn thì gọi k1, k2, … là những số nguyên dương thuộc
uk
K sao cho k1 < k2 … . Dãy số thực {

n

} là một dãy con của dãy

{ un }. Từ định nghĩa của tập hợp K suy ra u
Dãy số thực { u
13

kn

k1

≥

u

k2

≥

…

≥

u

} đơn điệu giảm và bị chặn dưới nên hội tụ.
13

kn

≥

…


 Nếu K là một tập hữu hạn thì tồn tại một số nguyên dương k 1 lớn hơn mọi số
nguyên thuộc K. Vì k1

∉

k1

K nên u không phải là một cận trên của tập hợp

{ uk+1, uk+2, … } . Do đó tồn tại một số nguyên dương k 2 > k1 sao cho u
∉
Vì k2 K nên tồn tại một số nguyên dương k3 > k2 sao cho
k3

k2

u > u . Tiếp tục như vậy, ta được một dãy con { u

k1

u
k2

<…
Dãy số thực { u

kn

kn

kn

k2

k1

>u .

} của dãy { un } sao cho

<…

} đơn điệu tăng và bị chặn trên nên hội tụ.

Định lý 1.10: (Nguyên lý Cauchy)
{un }

- Dãy Cauchy: Dãy
được gọi là dãy Cauchy nếu:

∀ε > 0, ∃n ∈ N * , ∀m, n > n0 : un − um ≤ ε

-

⇔ ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N * , ∀n > n0 : un − un + p ≤ ε , ∀p ≥ 0

{un }

là dãy cauchy
{un }
- Dãy
là dãy Cauchy khi và chỉ khi nó hội tụ.
Chứng minh:
⇒

Giả sử dãy

Vậy
⇐

{un }

hội tụ đến giới hạn a. Khi đó:
ε
∀ε > 0, ∃n0 , ∀n > n0 : un − a <
2
ε ε

∀m, n > n0 ; un − um ≤ un − a + a − um < + = ε
2 2

{un }

là 1 dãy cơ bản.

Giả sử

{un }

là 1 dãy cơ bản. Khi đó

chuẩn hội tụ Weierstrass dãy

{un }

là một dãy bị chặn. Do đó theo tiêu

có một dãy con hội tụ đến giới hạn a nào đó.

Theo định nghĩa của dãy Cauchy dãy
14

{un }

{un }
14

cũng hội tụ đến a.

1.4. Dãy truy hồi
1.4.1. Dãy truy hồi cấp 1 với hệ số là hằng số.
un +1 = aun + b, ∀n ∈ N ; a, b ∈ R
a) Dạng tổng quát:
b) Công thức:
{un }
+) a=1 thì
là cấp số cộng.
n
a ≠ 1 un = Aa + B, A, B ∈ R
+)
thì
1.4.2. Dãy truy hồi cấp 2 với hệ số là hằng số.
un + 2 = aun+1 + bun , ∀n ∈ N ; a, b ∈ R
a) Dạng tổng quát:
b) Công thức:
Xét phương trình đặc trưng của dãy:
λ 2 − aλ − b = 0;
+) Nếu phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
un = Aλ1n + Bλ2 n ; ∀n ∈ N
+) Nếu phương trình có nghiệm kép:
un = ( A + Bn)λ n

λ1 , λ2 ; ∃A, B ∈ R

λ , ∃A, B ∈ R

λ = x + iy

+) Nếu phương trình có nghiệm phức
y
 π π
r = λ = x 2 + y 2 ; tan α = ; α ∈  − , ÷
x
 2 2
Đặt:
λ = r (cos α + i sin α )

un = r n ( A cos nα + B sin nα ); ∀n ∈ N ; A, B ∈ R

1.4.3. Dãy truy hồi cấp 1 dạng:
Cách làm:

15

un+1 = f ( un , n )

15


 ρ ( un ) = f ( ρ ( un ) )

 ρ ( un ) = f ( ρ ( un ) , n )

Bước 1: Biến đổi đưa về dạng:
vn = ρ ( un )
Bước 2: Đặt dãy phụ:

Khi đó ta thu được một dãy truy hồi mới theo

1.4.4. Dãy truy hồi cấp 2 dạng:
Cách làm:

Bước 1: Biến đổi đưa về dạng:

Bước 2: Đặt dãy phụ:

đơn giản hơn

un+1 = f ( un , un−1 , n )
 ρ ( un ) + ρ ( un −1 ) = f ( ρ ( un ) , ρ ( un −1 ) )

 ρ ( un ) + ρ ( un −1 ) = f ( ρ ( un ) , ρ ( un −1 ) , n )

vn = ρ ( un )

Khi đó ta thu được một dãy truy hồi mới theo

16

vn

16

vn

đơn giản hơn

CHƯƠNG 2: SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ
Trong chương 2 đề tài đưa ra các phương pháp tìm số hạng tổng quát
của dãy số như: Phương pháp quy nạp, phương pháp sử dụng hằng đẳng thức,
phương pháp sử dụng cấp số cộng, cấp số nhân, phương pháp sai phân, phương
pháp thế lượng giác, phương pháp ma trận. Trong mỗi một phương pháp chúng
tôi trình bày sơ lược phương pháp, việc áp dụng các phương pháp đó vào tìm số
hạng tổng quát của dãy số. Bên cạnh đó chúng tôi đưa ra các ví dụ minh họa để
làm rõ phương pháp đó.
2.1. Phương pháp quy nạp
2.1.1. Sơ lược phương pháp quy nạp
Phương pháp qui nạp thực sự có hiệu lực với lớp các bài toán chứng minh
∈
một mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n N.
n≥ p
Để chứng minh một mệnh đề Q(n) đúng với mọi
, ta thực hiện 2 bước
theo thứ tự:
n= p
 Bước 1 : Kiểm tra mệnh đề là đúng với
n=k≥ p
 Bước 2 : Giả sử mệnh đề đúng với
, ta phải chứng minh
n = k +1
rằng mệnh đề đúng với
.
Ví dụ 2.1: Chứng minh rằng:
12 + 22 + 32 + ... + (n − 1)2 + n2 =

n(n + 1)(2n + 1)

6

n ≥1
Mọi
, ta có:
Giải.
Kiểm tra n = 1 ta thấy (1) đúng
≥ 1,
Giả sử (1) đúng với n =k
tức là ta có:
k ( k + 1)(2k + 1)
2
12 + 22 + 32 + ... + ( k − 1) + k 2 =
6

Ta phải chứng minh (1) cũng đúng với n = k +1, tức là:
2
(k + 1)( k + 2)( k + 3)
2
12 + 22 + 32 + ... + ( k + 1) − 1 + ( k + 1) =
6
17

17

(1)


Thật vậy:
12 +22+32+…+(k-1)2 + k2 +(k+1)2

= 12 + 22 + 32 + ... + ( k − 1) + k 2  + ( k + 1)
2

=

=

k (k + 1)(2k + 1)
6

2

+ (k+1)2

 2k 2 + 7 k + 6 
k
+
1
(
)

6



=

(k + 1)( k + 2)(2k + 3)
6

.
Vậy (1) đúng với mọi số tự nhiên n thuộc N*.
2.1.2 Sử dụng phương pháp quy nạp tìm số hạng tổng quát của dãy số
Phương pháp quy nạp là một phương pháp rất có hiệu quả trong việc đi
tìm số hạng tổng quát của dãy số. Nó là một trong những công cụ đắc lực cho
việc tìm công thức tổng quát của dãy số. Sau khi tìm được công thức tổng quát
của dãy số ta thường dùng phương pháp quy nạp để làm cho bài toán thêm chặt
chẽ hơn.
Trong một số bài toán đơn giản ta có thể dự đoán được công thức tổng
quát của dãy số bằng cách cho một vài giá trị đầu của dãy số dựa vào công thức
truy hồi đã cho. Sau đó ta dùng phương pháp quy nạp chứng minh công thức
tổng quát của dãy số.
Ví dụ 2.2: Tìm số hạng tổng quát của dãy số sau :
u1 = 3, un+1 = 2un ( n ≥ 1)
,
Giải.
Bằng cách thử trực tiếp một vài giá trị đầu của dãy số ta dự đoán
Ta chứng minh (1) bằng qui nạp .
u1 = 3
Khi n = 1 ta có
nên (1) đúng .
( k ≥ 1)
uk = 3.2 k −1
Giả sử (1) đúng với n = k,
tức là :
18

18

un = 3.2n−1

(1)


uk +1 = 3.2k

Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k+1, tức là :
uk +1 = 2.uk = 3.2.2k −1 = 3.2k
Thật vậy :
Vậy (1) đúng với n = k+1 nên cũng đúng với mọi
un = 3.2n−1
Kết luận:
Ví dụ 2.3:

n ≥1

u1 = 3

{ un } : 
un−1 + 2 − 1
, ∀n ≥ 2
un =
1
+
(1
−
2)
u

n −1

Cho dãy số
u2013
Tính
Giải.
Ta có
π
tan = 2 − 1
8
π
u1 = 3 = tan
3
π
π
tan + tan
3
8 = tan  π − π 
u2 =

÷
π
π
3 8
1 − tan .tan
3
8
..............................................................

π
π

un = tan  − ( n − 1) ÷(*)
8
3
Bằng quy nạp ta chứng minh được (*)
Do đó

π
3
π
π π 
u2013 = tan  − 2012 ÷ = tan  − ÷ =
8
3
3 2 3
2.2. Phương pháp sử dụng hằng đẳng thức

19

19

.


Trong một số trường hợp đặc biệt nhờ sử dụng các hằng đẳng thức bình
phương của một tổng, lập phương của một tổng và khéo léo đổi biến ta cũng có
thể tìm được một số hạng tổng quát của dãy số.
Bài toán 2.1:
Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un)
u1 = α
b 2 − 2b

, ∀n ≥ 1; a ≠ 0; c =

2
4a
un +1 = aun + bun + c(1)
Giải.
vn = un +
Đặt

b
2a

Thay vào (1) có
2

b
b 
b 


vn+1 −
= a  vn − ÷ + b  vn − ÷+ c; ∀n ≥ 1
2a
2a 
2a 


b
b2
b 2 b2 − 2b

2
⇔ vn +1 −
= avn − bvn +
+ bvn −
+
; ∀n ≥ 1
2a
4a
2a
4a
⇔ vn +1 = avn 2
vn = avn −12 = a ( avn −2 2 ) = ...... = a 2
2

Do đó

un = a

Vậy

b
v1 −
= a2
2a

2n−1 −1

n−1

−1

v12

n−1

2n−1

n −1

−1

b 
b

α +
÷ − ( 1)
2a 
2a


Bằng quy nạp ta chứng minh được (1)
Ví dụ 2.4: Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un)
u1 = 2
, ∀n ≥ 1; a ≠ 0;

2
un+1 = un + 4un + 2(1)

Giải.
20

20


n−1

Áp dụng bài toán 2.1 ta có

un = 4 2 − 2

Bài toán 2.2: Tìm số hạng tổng quát của dãy số

(un):

u1 = α
b ( c − 3)
b2
, ∀n ≥ 1; a > 0; c = , d =

3
2
3a
9a
un +1 = aun + bu n + cun + d (1)

Giải.
vn = un +
Đặt

b

3a

Thay vào (1) có:
3

2

b
b 
b 
b 



vn +1 −
= a  vn − ÷ + b  vn − ÷ + c  vn − ÷+ d ; ∀n ≥ 1
3a
3a 
3a 
3a 



b
b2
b3
2b2
3
2
2

⇔ vn+1 −
= avn − bvn + vn −
+ bvn −
vn
3a
3a
27 a 2
3a
b3 b 2
b3 b ( c − 3 )
+ 2 + vn − 2 +
; ∀n ≥ 1
9a 3a
9a
9a
⇔ vn+1 = avn 3 ; ∀n ≥ 1
Do đó
vn = avn −13 = a ( avn − 2

un = a

Vậy

3n−1 −1
2

)

3 3

n −2

n −1

= ...... = a1+3+3 +....+3 v13 = a
2

3n−1 −1
2

3n−1

b 
b

α + ÷ −
3a 
3a


Ví dụ 2.5: Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un)
u1 = 2

3
2
un +1 = un + 6un + 12un + 6

21

21

n −1

v13 = a

3n −1 −1
2

3n−1

b 

α + ÷
3a 



n −1

Giải. Áp dụng bài toán 2.2 có

u n = 43 − 2

2.3. Phương pháp sử dụng cấp số cộng, cấp số nhân
Cấp số cộng, cấp số nhân là một trong những nội dung của chương trình
toán học phổ thông. Trong một số bài toán xác định số hạng tổng quát của dãy
số nếu ta đưa được công thức truy hồi về dạng của cấp số cộng hoặc cấp số nhân
thì bài toán trở nên khá là đơn giản.
2.3.1. Sơ lược về cấp số cộng, cấp số nhân
Định nghĩa 2.1:

un = un −1 + d ∀n ≥
Dãy số (un) có tính chất
,
2,
d
là số thực không đổi gọi là cấp số cộng.
d: gọi là công sai của cấp số cộng;
u1 gọi là số hạng đầu,
un gọi là số hạng tổng quát của cấp số cộng.
un = u1 + (n − 1)d
Định lý 2.1: Cho cấp số cộng (un). Ta có:
Định lý 2.2: Gọi Sn là tổng của n số hạng đầu của cấp số cộng (
d
ta có:
n
Sn = [2u1 + ( n − 1)d ]
2

un

) có công sai

Định nghĩa 2.2:
un
un +1 = q.un ∀n ∈ ¥ *
Dãy số ( ) có tính chất
gọi là cấp số nhân
q
: gọi là công bội
un = u1q n−1

un
q
Định lý 2.3: Cho cấp số nhân ( ) có công bội . Ta có
Sn
un
q
Định lý 2.4: Gọi
là tổng n số hạng đầu của cấp số nhân ( ) có công bội ta
có:
1 − qn
S n = u1
1− q
22

22


2.3.2. Sử dụng cấp số cộng, cấp số nhân để đi tìm số hạng tổng quát của một
số dạng dãy số
Bài toán 2.3:
u1

un un = aun −1 + f (n), ∀n ≥ 2
Dãy số
:
f (n)
n
trong đó
là một đa thức bậc k theo
Ta xác định công thức tổng quát như sau:

f (n) g (n) − ag (n − 1) (1)
g ( n)
n
Phân tích
=
với
cũng là một đa thức theo . Khi
đó ta có:

un − g (n) = a[un−1 − g (n − 1)]=...=a n−1[u1 − g (1)]
un = [u1 − g (1)]a n−1 + g ( n)

Vậy ta có:

g ( n)
Ta xác định
Ta thấy :

∗

Nếu

:

a =1

thì

g (n) − ag (n − 1)

là một đa thức bậc nhỏ hơn bậc của

g ( n)

g (n)
một bậc và không phụ thuộc vào hệ số tự do của

bậc

k

, mà

g ( n)
nên để có (1) ta chọn đa thức

f (n)

là đa thức bậc

là đa thức

k +1

, có hệ số tự do
k +1
bằng không và khi đó để xác định g(n) thì trong đẳng thức (1) ta cho
giá trị
k +1
của n bất kỳ ta được hệ

phương trình, giải hệ này ta tìm được các hệ số của
g(n).
g (n) − ag (n − 1)
g ( n)
a ≠1
∗
Nếu
thì
là một đa thức cùng bậc với
nên ta

g (n)
chọn

là đa thức bậc k và trong đẳng thức (1) ta cho

k +1

giá trị của n thì ta

g ( n)
sẽ xác định được

.

Ví dụ 2.6: Xác định số hạng tổng quát của dãy (un) được xác định bởi :
23

23

u1 = 1, un = un−1 − 2 ∀n ≥ 2
,

Giải.
Ta thấy dãy (un) là 1 cấp số cộng có công sai
Áp dụng kết quả ta có:
un = 1 − 2(n − 1) = −2n + 3

Ví dụ 2.7: Cho dãy số

d = −2

.

u = 2
(un ) :  1
un = un −1 + 2n + 1
(un )

Tìm công thức tổng quát của dãy
.
Giải.
2
2
2n + 1 = g (n) − g (n − 1) = a[n − (n − 1) + b[n − (n − 1)]
Ta phân tích
g (n) = an 2 + bn
Trong đó
n = 0, n = 1

Cho
ta có hệ:
−a + b = 1 a = 1
⇔
⇒ g ( n ) = n 2 + 2n

a + b = 3
b = 2
⇒ un = n 2 + 2n − 1.
Bài toán 2.4: Xác định công thức tổng quát của dãy:
u1
(un ) : 
n
un = a.un −1 + b.α , ∀n ≥ 2

Ta xác định công thức tổng quát như sau:
a =α
•
Nếu
ta phân tích
α n = n.α n − α (n − 1).α n −1

•

Nếu

⇒

un − bn.α n = α (un −1 − b(n − 1).α n −1 = ... = α n −1 (u1 − bα )

⇒

un = b(n − 1)α n + u1α n −1.

a ≠α

ta phân tích
α = k .α n − ak .α n−1
n

24

24


k=

α
.
α −a

n =1
Cho
ta tìm được
Khi đó:
un − kb.α n = a(un −1 − kb.α n−1 ) = ... = a n−1 (u1 − bk )
⇒

un = a n−1 (u1 − bk ) + bk .α n

Ví dụ 2.8: Cho dãy số
u1 = 1
(un ) : 
n
un = 3un −1 + 2 ;

∀n ≥ 2

.
(un )

Tìm công thức tổng quát của dãy
.
Giải.
2n = k .2n − 3k .2n−1
n =1
a = −2 ⇒ 2n = −2.2 n + 3.2.2n−1
Ta phân tích
cho
ta có
un + 2.2n = 3(un −1 + 2.2n −1 = ... = 3n−1 (u1 + 4)
Nên ta có:
un = 5.3n−1 − 2n +1
Vậy
.
Bài toán 2.5: Xác định công thức tổng quát của dãy
u1 = p
(un ) : 
n
un = a.un−1 + b.α + f (n); ∀n ≥ 2

f (n )
trong đó
là đa thức theo n bậc k, ta phân tích
tích ở dạng 1 và dạng 2.
Ví dụ 2.9: Tìm công thức tổng quát của dãy

αn

f ( n)
và

như cách phân

u1 = 1
(un ) : 
n
un = 2un −1 + 3 − n; ∀n ≥ 2

Giải.
3n = 3.3n − 2.3.3n −1

n = −n − 2 + 2[( n − 1) + 2]

Ta phân tích :
nên ta viết công thức truy hồi của dãy như sau:
un − 3.3n − n − 2 = 2[un−1 − 3.3n −1 − ( n − 1) − 2] = ... = 2n −1 (u1 − 12)
25

25