Bài tập ôn tập hình học 9 hk1

Bài 1 : Cho đường tròn tâm (O) có hai dây AB và CD sao cho CD < AB . Các tia
AB và CD cắt nhau tại E nằm ngoài đường tròn . Chứng minh EC < EA
Bài 2 : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) , đường kính AD . Gọi H
là giao điểm hai đường cao BE và CF của tam giác ABC .
a) CMR : BHCD là hình bình hành .
b) Gọi I là trung điểm của BC . CMR : AH = 2OI .
c) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Chứng minh G cũng là trọng tâm
tam giác AHD .
Bài 3 : Cho nửa đường tròn tâm (O) đường kính AB = 2R . Lấy một điểm C trên
nửa đường tròn sao cho AB̂C = 30 . Gọi P là giao điểm của tiếp tuyến tại A với nửa
đường tròn và đường thẳng BC .
PA2 = PC.PB

a) CMR :
b) Từ P vẽ tiếp tuyến thứ hai với (O) tại M , PO cắt AM tại N . Tính PA , PO ,
AM theo R
c) Vẽ

MH ⊥ AB

tại H . Gọi I là giao điểm của PQ và MH . Tính NI theo R .

Bài 4 : Cho đường tròn (O ; R) đường kính AC . Trên đoạn thẳng OC lấy điểm B
và vẽ đường tròn (O’) có đường kính BC . Gọi M là trung điểm của AB , qua M kẻ
dây cung vuông góc với AB cắt đường tròn (O) tại D và E . Nối CD cắt đường tròn
(O’) tại I .
a) Tứ giác DAEB là hình gì ? Vì sao ?
b) Chứng minh MI = MD và MI là tiếp tuyến của đường tròn (O’)
c) Gọi H là hình chiếu của I trên BC . Chứng minh CH.MB = BH.MC
Bài 5 : Cho nửa (O) có đường kính AB = 2R , tiếp tuyến Ax , By với (O) ( Ax , By
nằm cùng nửa mặt phẳng bờ AB ) . Tiếp tuyến tại M với (O) ( M ≠A,B ) cắt Ax ,

By lần lượt tại C , D .
a) Chứng minh A , C , M , O cùng thuộc một đường tròn O , D , B , M cùng
thuộc một đường tròn và AC + BD = CD
AC.BD = R 2

b) Chứng minh CÔD = 90 và
c) Gọi N là giao điểm AD và BC . Tia MN cắt AB tại H . Chứng minh N là
trung điểm MH .
d) Cho

S ABCD

= 20

cm 2

, AB = 5 cm . Tính

S AMB

Bài 6 : Cho (O ; R) và dây cung BC cố định ( BC không di chuyển qua tâm O) .
Điểm A di động trên cung lớn BC . Gọi M là trung điểm AC , N là hình chiếu của
M trên AB .


Chứng minh rằng điểm N thuộc một đường cố định khi A di động trên cung lớn BC
.
Bài 7 : Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O ; R ) vẽ hai tiếp tuyến AB , AC với
đường tròn ( B , C là hai tiếp tuyến )
a) Chứng minh đường thẳng OA là trung trực của đoạn BC

b) Gọi H là giao điểm của OA và BC . Chứng minh HA.HO = HB.HC
c) Đoạn AO cắt (O) tại I . Chứng minh rằng I là tâm đường tròn nội tiếp tam
giác ABC
tan

d) Chứng minh

·ABC AH
=
2
p

( p là nủa chu vi tam giác ABC )

Bài 8 : Cho (O ; R ) , AB là dây cung (AB ≠2R) . Vẽ
cung bất kì ( ≠AB) đi qua I .

OI ⊥ AB

tại I . CD là dây

Chứng minh rằng ABBài 9 ; Cho (O ; R ) đường kính AB . Lấy điểm H nằm giữa hai điểm A và O . Vẽ
dây cung CD vuông góc với AB tại H .
·ABC

a) Chứng minh H là trung điểm của CD và tính
b) Gọi E là điểm đối xứng với A qua H . Chứng minh tứ giác ACDE là hình
DE ⊥ BC

thoi . Từ đó suy ra
c) Gọi F là giao điểm của DE và BC . Chứng minh HF là tiếp tuyến của đường
tròn (I) đường kính EB .
d) Tìm vị trí của H trên đoạn OA sao cho tam giác BCD đều và tính
R trong trường hợp đó

S BCD

theo

Bài 10 : Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB . M là điểm thuộc nửa đường
tròn . Qua M vẽ tiếp tuyến d của nửa đường tròn . Kẻ các tia Ax , By // nhau , cắt d
lần lượt tại H , K . Chứng minh rằng AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính
HK .
Bài 11 : Cho đường tròn (O ; R ) đường kính AB . Vẽ tiếp tuyến Ax và By với
đường tròn . Trên đường tròn lấy điểm C sao cho BC = R . Tiếp tuyến tại C với
đường tròn cắt Ax , By và đường thẳng lần lượt tại E , F và K .
a) Chứng minh rằng

CB ⊥ AC

·
EOF

b) Chứng minh rằng : AE + BF = EF và
= 90
c) Gọi D là giao điểm của AC và By . Tính tích CD . AD theo R .
d) Chứng minh rằng FC . EK = EC . FK

Bài 12 : Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB . Vẽ hai tiếp tuyến Ax và By ở
cùng nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn . Tiếp tuyến tại M của nửa đường tròn
cắt Ax , By lần lượt ở C và D .
a) Chứng minh AC + BD = CD
b) Chứng minh
c) Chứng minh

·
COM

và

·
MOD

AC.BD = R

phụ nhau

2

Bài 13 : Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) . Gọi D , E , F theo thứ
tự là trung điểm của BC , CA , AB và H là trực tâm của tam giác ABC . Chứng
minh rằng : AH = 2OD , BH = 2OE , CH = 2OF .
Bài 14 : Cho tam giác ABC có các đường cao AD , BE , CF và trực tâm H . Gọi L ,
M , N lần lượt là trung điểm của AB , AC và BC . Gọi P , Q và R lần lượt là trung
điểm của BH , AH , CH . Chứng minh rằng : P , Q , R , D , E , F , L , M , N cùng
nằm trên một đường tròn ( Đường tròn này còn được gọi là đường tròn Ơ-le )
Bài 15 : Cho đoạn thẳng AB cố định và điểm M di động trên AB ( M ≠ A , B ) .
Trong cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB ta dựng các hình vuông

AMCD , MBEF . Hai đường thẳng AF và BC cắt nhau tại N .
AF ⊥ BC

a) Chứng minh :
. Suy ra N nằm trên đường tròn đi qua A , M , C , D
đồng thời N cũng nằm trên đường tròn đi qua M , B , E , F
b) Chứng minh rằng : D , N , E thẳng hàng
MN ⊥ DE

tại N .

Bài 16 : Cho tam giác ABC cân tại A có Â tù , đường cao AH . Đường thẳng
vuông góc với AB tại A cắt BC tại D . Đường tròn đường kính CD cắt cạnh AC tại
K . Chứng minh HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD .
Bài 17 : Cho tam giác ABC vuông tại A . Đường tròn đường kính AB cắt cạnh BC
tại D . Tiếp tuyến đường tròn tại D cắt cạnh AC tại E . Gọi H là chân đường vuông
góc kẻ từ D đến AB . Chứng minh :
a) Chứng minh : E là trung điểm AC .
b) Chứng minh : BE đi qua trung điểm của DH .
Bài 18 : Cho hình thang ABCD có Â = D̂ = 90 . I là trung điểm của AD . Cho biết
·
BIC

= 90 . Chứng minh :

a) AD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC
b) BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AD


Bài 19 : Cho đường tròn (O) có đường kính AB . Cho dây AC của đường tròn

MD ⊥ AC

( C≠B) . Đường kính
( M thuộc cung nhỏ AC ) cắt AC tại K . Tiếp tuyến
tại M của đường tròn cắt đường thẳng BC tại I .
a) Chứng minh : KMIC là hình chữ nhật
b) Chứng minh : IKDB là hình bình hành
Bài 20 : Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R . Trên nủa mặt phẳng bờ
AB chứa nửa đường tròn kẻ 2 tiếp tuyến Ax và By . Lấy điểm M trên nửa đường
tròn ( M ≠ A , B ) kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax , By lần lượt tại C , D .
VCOD

AC.BD = R 2

a) Chứng minh : CD = AC + BD ,
vuông và
b) Gọi H là giao điểm AM , OC , gọi K là giao điểm MB và OD . Chứng minh :
tứ giác OHMK là hình chữ nhật
c) Cho biết R = 2 cm và diện tích tứ giác ABCD bằng

32cm 2

. Tính

SVABM

Bài 21 : Cho điểm A nằm ngoài đường (O) . Từ A kẻ tiếp tuyến AB đến đường tròn
(

B là tiếp điểm ) . Kẻ dây

BC ⊥ OA

tại H .

a) Chứng minh : AC là tiếp tuyến của (O) .
b) Từ B kẻ Bx//OA cắt (O) tại D (D ≠ B) .
Chứng minh CD là đường kính của (O).
BI ⊥ CD

c) Kẻ
tại I . Chứng minh : 4 HO.HA = CI . CD
d) Gọi K là giao điểm của AD và BI . Chứng minh K là trung điểm BI
e) Tiếp tuyến tại D của đường tròn (O) cắt đường trung trực AH tại S . Chứng
minh SH = SD
Bài 22 : Cho (O ; R ) đường kính AB . Kẻ 2 tiếp tuyến Ax , By ( Ax , By thuộc
cùng một nửa mặt phẳng bờ AB ) . Qua điểm M thuộc nửa đường tròn ( M ≠ A ,
B ) . Kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn nó cắt Ax , By theo thứ tự ở C và D .
·
COD

AC.BD = R 2

a) Chứng minh :
= 90 , suy ra :
b) Gọi N là giao điểm của BC và AD . Chứng minh : MN // AC
c) MN cắt AB tại P . Chứng minh : N là trung điểm của MP .
Bài 23 : Cho điểm M ở ngoài đường tròn (O ; R ) , vẽ tiếp tuyến MA , MB với
đường tròn (O)
OM ⊥ AB

OH .OM = R 2

a) Chứng minh :
tại H và
b) Vẽ dây BC //OM . Chứng minh : O , A , C thẳng hàng
c) Cho biết BC = R , tính độ dài AM theo R
d) Vẽ

BI ⊥ AC

tại I ; MC cắt BI tại E . Chứng minh : E là trung điểm của BI


Bài 24 : Cho (O ; R ) đường kính AB . Trên tiếp tuyến tại A của (O) lấy điểm C với
AC = R .
a) Tính độ dài BC theo R và tính

·ABC

làm tròn đến độ

CH .CB = R 2

b) CB cắt (O) tại H . Chứng minh :
c) Lấy điểm D thuộc (O) sao cho CD = R , CD cắt tiếp tuyến tại B của (O) tại F
. Chứng minh : FD = FB .
d) Gọi E là trung điểm của OD . Chứng minh : A , E , F thẳng hàng
Bài 25 : Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R và điểm C thuộc đường tròn
đó ( C ≠ A , B ) . Lấy điểm D thuộc dây BC ( D ≠ B , C ) . Tia AD cắt cung nhỏ BC

tại điểm E , tia AC cắt tia BE tại điểm F .
a) Chứng minh : F , C , D , E cùng nằm trên một đường tròn
b) Chứng minh : DA . DE = DB . DC
·
CFD

·
OCB

c) Chứng minh
=
. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác
FCDE . Chứng minh IC là tiếp tuyến của đường tròn (O)
d) Cho biết DF = R , chứng minh tan

·AFB

=2

Bài 26 : Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH . Vẽ đường tròn tâm A ,
bán kính AH . Từ B và C kẻ các tiếp tuyến BD , CE với đường tròn ( D , E là các
tiếp điểm không nằm trên BC )
a)
b)
c)
d)

Chứng minh : BD + CE =BC
Chứng minh : D , A , E thẳng hàng
Chứng minh : DE tiếp xúc với đường tròn đường kính BC

Đường tròn đường kính BC cắt đường tròn (A) tại M và N . MN cắt AH tại I
. Chứng minh I là trung điểm AH

Bài 27 : Cho điểm A nằm ngoài đường tròn ( O ; R ) sao cho OA = 2R . Kẻ các
tiếp tuyến AB , AC với đường tròn (O) ( B , C là tiếp điểm )
a) Chứng minh :

OA ⊥ BC
VABC

và tính độ dài AB theo R

b) Chứng minh :
đều
c) Tia AO cắt đường tròn tại I và K ( I nằm giữa A và K ) . Gọi D , E là chân
các đường vuông góc kẻ từ I , K đến AB . Chứng minh : BD = BE và KB là
·
HKE

phân giác của
d) Chứng minh : IK là tiếp tuyến của đường tròn đường kinh DE
DE 2 = 4 KE.ID


Bài 28 : Cho ( O ; R ) , từ một điểm M cố định nằm bên ngoài đường tròn (O) vẽ
tiếp tuyến MA của đường tròn (O) (A là tiếp điểm ) . Gọi B là một điểm trên đường
tròn (O) ( ≠ A) và MA = MB
a) Chứng minh : MB cũng là tiếp tuyến của (O)
OM ⊥ AB

b) Chứng minh :
tại H
c) Vẽ đường kính AC của đường tròn (O) . Từ điểm C vẽ đường thẳng vuông
góc với AC cắt AB tại D . Chứng minh : BD . BM = BO . BC
d) Từ một điểm N trên cung nhỏ AB của đường tròn (O) , vẽ tiếp tuyến với
đường tròn (O) cắt MA , MB lần lượt tại E , F . Chứng minh rằng nếu diện
tích tam giác AMO bằng hai lần diện tích tam giác EOF thì ME + MF = 3EF
Bài 29 : Cho nửa đường tròn (O ; R ) có đường kính AB , tiếp tuyến tại M trên nửa
đường tròn lần lượt cắt hai tiếp tuyến tại A và B ở C và D .
a) Chứng minh : AC + DB = CD
AC.BD = R 2

b) Chứng minh : tam giác COD vuông và
c) OC cắt AM tại E và OD cắt BM tại F . Chứng minh :
- Tứ giác OEMF là hình chữ nhật
-

OE.OC = OF .OD = R 2
EF ⊥ BD

- AB là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính CD
- AD cắt BC tại N . Chứng minh : MN // AC
Bài 30 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn , kẻ hai đường cao BD và CE cắt nhau
tại H .
a) Chứng minh : A , E , H , D cùng thuộc một đường tròn . Xác định tâm I của
đường tròn đó
AH ⊥ BC

b) Chứng minh :
c) Cho  = 60 , AB = 6 cm . Tính BD

d) Gọi O là trung điểm của BC . Chứng minh OD là tiếp tuyến của đường tròn
(I)
Bài 31 : Cho đường tròn (O ; R) , đường kính AB . Lấy điểm C tùy ý trên cung AB
sao cho AB < AC .
a) Chứng minh : tam giác ABC vuông
b) Qua A vẽ tiếp tuyến d với (O) , BC cắt d tại F . Qua C vẽ tiếp tuyến d’ với
đường tròn (O) , d’ cắt d tại D . Chứng minh DA = DF
c) Hạ
CH

CH ⊥ AB

(H thuộc AB ) , BD cắt CH tại K . Chứng minh K là trung điểm


d) Tia AK cắt DC tại E . Chứng minh EB là tiếp tuyến của (O) , suy ra OE //
AC
Bài 32 : Cho đường tròn (O ; R ) và điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho OA =
2R . Vẽ các tiếp tuyến AB ; AC với (O) ( B ; C là các tiếp điểm )
a)
b)
c)
d)

Chứng minh : tam giác ABC đều
Từ O kẻ đường vuông góc với OB cắt AC tại S . Chứng minh SO = SA
Gọi I là trung điểm của OA . Chứng minh SI là tiếp tuyến của (O)
Tính độ dài SI theo R

Bài 33 : Cho đường tròn (O ; R ) đường kính AB . H là trung điểm của OB . Qua H

vẽ dây CD vuông góc AB .
a) Chứng minh : tam giác OCB đều
b) Tính độ dài AC và CH theo R
c) Tiếp tuyến tại C và D cắt nhau ở L . Chứng tỏ 3 điểm : O , B , I thẳng hàng
4 HB.HI = 3R 2

d) Đường vuông góc với AD kẻ từ H cắt CB ở E , OE cắt CI tại K . Chứng
minh KB là tiếp tuyến của (O) và B là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ICD
Bài 34 : Từ một điểm A ở ngoài (O ; R ) , kẻ tiếp tuyến AB với (O) ( B là tiếp điểm
) . Đường thẳng qua B và vuông góc với AO tại H cắt (O) tại C . Vẽ đường kính
BD của (O) .
a) Chứng minh : tam giác BCD vuông
b) Chứng minh : AC là tiếp tuyến của (O)
DC. AO = 2 R 2

c) Chứng minh :
d) Biết OA = 2R . Tính diện tích tam giác BCK theo R
Bài 35 : Từ một điểm M ở ngoài đường tròn (O) vẽ tiếp hai tiếp tuyến MA , MB
(A và B là hai tiếp điểm ) , OM cắt AB tại H .
a) Chứng minh : H là trung điểm của AB
b) Trên đường thẳng AB lấy điểm N ( với A nằm giữa B và N ) . Từ M kẻ một
đường thẳng vuông góc với ON tại K và cắt AB tại I . Chứng minh : O , K ,
A , M , B cùng nằm trên một đường tròn
c) Chứng minh : NA . NB = NI . NH
d) Tia MK cắt đường tròn (O) tại C và D ( với C nằm giữa M và D ) . Chứng
minh NC và ND là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) .
Bài 36 : Cho một điểm M nằm ngoài đường tròn (O ; R ) với OM = 2R , từ M kẻ
hai tiếp tuyến MA , MB ( A , B là hai tiếp điểm )
a) Chứng minh :

OM ⊥ AB

. Tính MA theo R .


b) Đường thẳng vuông góc với OA tại O cắt MB tại I . Chứng minh tam giác
MOI cân
c) Gọi H là giao điểm của OM với cung nhỏ AB , tia IH cắt MA tại J . Chứng
minh tứ giác OIMJ là hình thoi
d) Tính diện tích AJIB theo R
Bài 37 : Cho đường tròn (O ; R ) , đường kính AB , H là trung điểm của OH . Qua
H vẽ dây CD vuông góc với AB .
a) Chứng minh : tam giác OCB đều
b) Tính độ dài AC và CH theo R
c) Tiếp tuyến tại C và D cắt nhau tại I . Chứng minh rằng : O , B , I thẳng hàng
4 HB.HI = 3R 2

d) Đường vuông góc với AD kẻ từ H cắt CB ở E . OE cắt CI tại K . Chứng
minh KB là tiếp tuyến của (O) và B là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ICD
Bài 38 : Từ một điểm A nằm ngoài (O ; R ) kẻ tiếp tuyến AB với (O) (B là tiếp
điểm ) . Đường thẳng qua B và vuông góc với AO tại H cắt (O) tại C . Vẽ đường
kính BD của (O) .
a) Chứng minh : tam giác BCD vuông
b) Chứng minh : AC là tiếp tuyến của (O)
DC. AO = 2 R 2

c) Chứng minh :
d) Biết OA = 2R . Tính diện tích tam giác BCK theo R
Bài 39 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn , kẻ hai đường cao BD và CE cắt nhau
tại H .

a) Chứng minh : A , E , H , D cùng thuộc một đường tròn . Xác định tâm I của
đường tròn đó
b) Chứng minh :

AH ⊥ BC

µA

c) Cho = 60 , AB = 6 cm . Tính BD
d) Gọi O là trung điểm của BC . Chứng minh OD là tiếp tuyến của đường tròn
(I)
Bài 40 : Cho đường tròn (O ; R ) , đường kính AB và dây AC không qua tâm . Gọi
H là trung điểm của AC .
·ACB

a) Tính
và chứng minh OH // BC
b) Tiếp tuyến tại C cắt tia OH tại M . Chứng minh : MA là tiếp tuyến của (O)
c) Vẽ CK vuông góc AB . Gọi I là trung điểm CK và đặt
Chứng minh : IK = R . sinα . cosα
d) Chứng minh : M , I , B thẳng hàng

·
CAB

=a


Bài 41 : Cho (O ; R ) và M là một điểm ở ngoài đường tròn . Từ M vẽ tiếp tuyến
MA của đường tròn (O ; R ) với A là tiếp điểm . Vẽ AH vuông góc OM tại H , tia

AH cắt (O) tại B
·AOB

a) Chứng minh : OM là phân giác của
b) Chứng minh : BM là tiếp tuyến của đường tròn (O)
AB =

4R 2
3

c) Cho
. Tính AH , OH , OM , AM theo R
d) Đoạn thẳng OM cắt (O) tại I . Chứng minh : điểm I cách đều ba cạnh tam
giác ABM
Bài 42 : Cho (O ; R ) đường kính BC , A nằm trên (O) sao cho AB = R , gọi H là
trung điểm của AC .
OH ⊥ AC

a) Chứng minh : tam giác ABC vuông tại A ,
tại H
b) Qua C vẽ tiếp tuyến của (O) cắt tai OH tại D . Chứng minh ; DA là tiếp
tuyến của (O)
c) Chứng minh : tam giác ADC đều
d) Trên tia đối của tia AC lấy điểm M . Từ M vẽ 2 tiếp tuyến ME , MF của
(O) . Chứng minh : D , E , F thẳng hàng
Bài 43 : Cho tam giác ABC vuông tại A có đường AH . Vẽ đường tròn tâm A , bán
kính AH . Từ B và C kẻ các tiếp tuyến BD , CE với đường tròn ( D , E là tiếp điểm
không nằm trên BC )
a)
b)

c)
d)

Chứng minh : BD + CE = BC
Chứng minh : D , A , E thẳng hàng
Chứng minh : DE tiếp xúc với đường tròn đường kính BC
Đường tròn đường kinh BC cắt đường tròn (A) tại M , N . MN cắt AH tại I .
Chứng minh : I là trung điểm của AH

Bài 44 : Cho điểm A nằm ngoài (O ; R ) , vẽ 2 tiếp tuyến AB , AC với (O) (B , C là
tiếp điểm ) . Vẽ dây BD của (O) và BD // OA
a) Chứng minh : A , B , O , C cùng thuộc 1 đường tròn
OA ⊥ BC

b) Chứng minh :
c) Chứng minh : C , O , D thẳng hàng
d) Gọi E là giao điểm của AD và (O) ( E ≠ D ) , H là giao điểm của OA và BC .
Chứng minh :

·AHE

=

·
OED

rồi suy ra BC là đường phân giác

·
DHE

Bài 45 : Qua điểm A nằm ngoài đường tròn (O ; R ) vẽ hai tiếp tuyến AB , AC với
đường tròn ( B , C là tiếp điểm )
a) Chứng minh : AO là trung trực của BC


b) Gọi H là giao điểm của AO và BC . Chứng minh : AH . HO = BH . CH
c) AO cắt đường tròn (O ; R ) tại I và K ( I nằm giữa A và O ) . Chứng minh :
AI . KH = IH . KA
d) Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và AC . Trên tia đối của tia MN lấy
điểm P tùy ý . Từ P kẻ tiếp tuyến PQ với đường tròn ( Q là tiếp điểm ) .
Chứng minh : PA = PQ
Bài 46 : Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O ; R ) . Vẽ tiếp tuyến AB , AC đến (O)
( B , C là tiếp điểm )
OA ⊥ BC

a) Chứng minh :
b) Lấy điểm M bất kỳ trên cung nhỏ BC . Vẽ tiếp tuyến tại M của (O) cắt AB ,
·
EOF

·
BOC
2

AC theo thứ tự tại E và F . Chứng minh :
=
c) Kẻ đường kính BD của (O) và vẽ CK vuông góc BD tại K . Chứng minh :
AC . BD = CK . OA
Bài 47 : Cho (O ; R ) , A nằm ngoài đường tròn sao cho OA = 2R , vẽ tiếp tuyến

AB của (O)
a) Chứng minh : tam giác AOB vuông tại B . Tính AB theo R .
BC ⊥ OA

b) Từ B vẽ dây BC của (O) sao cho
tại H . Chứng minh : AC là tiếp
tuyến của (O)
c) Chứng minh : tam giác ABC đều
d) Từ H vẽ đường thẳng vuông góc AB tại D . Đường tròn đường kính AC cắt
cạnh DC tại E . Gọi F là trung điểm của OB . Chứng minh : A , E , F thẳng
hàng
Bài 48 : Cho đường tròn (O ; R ) đường kính AB . Qua A , B ta vẽ hai tiếp tuyến
của đường tròn (O) . Trên đường tròn (O) lấy một điểm C bất kì ( C ≠ A ,B ) . Qua
C ta vẽ tiếp tuyến của (O) cắt tiếp tuyến qua A tại M và tiếp tuyến qua B tại N .
a) Chứng minh : MN = MA + NB
b) OM cắt AC tại E , ON cắt CB tại F . Chứng minh : CEOF là hình chữ nhật
c) Chứng minh :
d) Cho

AC = R 3

MA.NB = R 2

. Tính độ dài MN theo R

Bài 49 : Cho đường tròn (O ; R ) dây cung AB không qua tâm . Vẽ các tiếp tuyến
tại A và B của (O) cắt nhau tại C .
OC ⊥ AB

a) Chứng minh :

b) Vẽ đường kính AD của (O) . Chứng minh : DB // OC
c) Vẽ BH vuông góc AD tại H , CD cắt BH tại I . Chứng minh : BH = 2IH


d) Biết

·AOB

= 120 . Tính diện tích tam giác ABC theo R

Bài 50 : Cho đường tròn (O ; R) đường kính AB và điểm M thuộc (O) (MA < MB ,
M≠ A , B ) . Kẻ MH vuông góc với AB tại H
a) Chứng minh : tam giác ABM vuông . Giả sử MA = 3 cm , MB = 4 cm , hãy
tính MH
b) Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt tia BM tại C . Gọi N là trung điểm
AC . Chứng minh đường thẳng NM là tiếp tuyến của đường tròn (O)
c) Tiếp tuyến tại B của (O) cắt đường thẳng NM tại D . Chứng minh :
NA.BD = R 2

d) Chứng minh :

OC ⊥ AD