Bài tập hình học 9

Luyện thi vào lớp 10


(1)
Bài 1 : Cho đờng tròn (O) đờng kính AB. Vẽ tiếp tuyến xBx , gọi C, D là hai điểm nằm
trên đờng tròn và ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ là AB, Tia AC cắt Bx tại M,
tia AD cắt Bx tại N.
a) Chứng minh: ADC ~ AMN.
b) Chứng minh: tứ giác MNDC nội tiếp.
c) Chứng minh: Tích AC.AM không đổi khi C, D di động trên đờng tròn.
Bài 2: Cho tam giác cân ABC ( AB = AC ), Một cung tròn BC nằm bên trong tam giác và
tiếp xúc với AB, AC tại B và C sao cho A và tâm của cung BC nằm khác phía đối
với BC. Trên cung BC lấy một điểm M, kẻ MI, MH, MK lần lợt vuông góc với BC,
CA, AB. Gọi P là giao điểm của BM và IK, Q là giao điểm của CM và IH.
a) Chứng minh các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp.
b) Chứng minh MI
2
= MH.MK
c) Chứng minh tứ giác IPMQ nội tiếp. Suy ra PQ vuông góc với MI.
Bài 3: Cho đờng tròn (O) và dây BC cố định, một điểm A thay đổi trên cung lớn BC sao
cho AC > BC, AC > AB; Gọi D là điểm chính giữa của cung nhỏ BC. Các tiếp tuyến của
(O) tại D và C cắt nhau ở E. Gọi P,Q lần lợt là giao điểm của AB với CD; AD với CE.
a) Chứng minh DE // BC.
b) Chứng minh tứ giác PACQ nội tiếp.
c) Tứ giác PBCQ là hình gì? tại sao?
Ngời viết:
Nguyễn Đình Tiếp
Luyện thi vào lớp 10


(2)

d) Gọi R là giao điểm của AD và BC. Chứng minh
.
CR
1
CQ
1
CE
1
+=
Bài 4: Cho đờng tròn (O) , vẽ dây AB. Tiếp tuyến tại A và B cắt nhau ở P.
a) Chứng minh tứ giác AOBP nội tiếp.
b) Kẻ hai dây AC // BD và nằm cùng phía đối với AB. Gọi Q là giao điểm của AD
và BC. Chứng minh tứ giác AQBP nội tiếp.
c) Chứng minh PQ // AC.
Bài 5: Cho hai đờng tròn (O,R) và (O ,R ) cắt nhau ( R > R ). Các tiếp tuyến chung MN
và PQ ( M, P nằm trên (O) )
a) Chứng minh ba đờng thẳng MN, PQ, OO đồng quy tại một điểm.
b) Chứng minh tứ giác MNPQ nội tiếp.
c) Xác định vị trí của (O) và (O ) sao cho đ ờng tròn đờng kính OO tiếp xúc với
MN và PQ.
d) MQ cắt (O) , (O ) lần l ợt tại S và T. Chứng minh MS = QT..
Bài 6: Cho hai đờng tròn bằng nhau (O) và (O ) cắt nhau tại A và B. Đ ờng thẳng vuông
góc với AB kẻ qua B cắt (O) và (O ) lần l ợt tại các điểm C và D. Lấy điểm M trên
cung nhỏ CB. Đờng thẳng MB cắt (O ) tại N, CM cắt DN tại P.
a) AMN là tam giác gì? tại sao?
b) Chứng minh tứ gicá ACPD nội tiếp.
c) Gọi Q là giao điểm của AP với (O ). Tứ giác BCPQ là hình gì? tại sao?
Ngời viết:
Nguyễn Đình Tiếp
Luyện thi vào lớp 10

(3)
d) Gọi E là điểm đối xứng với D qua N. Chứng minh khi M di động trên cung nhỏ
BC thì điểm E luôn nằm trên một đờng tròn cố định.
AV
Bài 7: Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB, một điểm M nằm trên cung AB, gọi H là
điểm chính giữa của cung AM. Tia BH cắt AM tại I và cắt tiếp tuyến tạ A ở K. AH
cắt BM tại S.
a) Tam giác Bá là tam giác gì? tại sao? Suy ra S nằm trên một đờng tròn cố định.
b) Xác định vị trí tơng đối của đờng thẳng KS với (B, BA ).
c) Đờng tròn đi qua B, I, S cắt đờng tròn (B, BA ) tại N. Chứng minh đờng
thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định khi M di động.
d) Xác định vị trí của M sao cho
0
90AK

M
=
Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A, một điểm M thay đổi trên cạnh AC. Đờng tròn đ-
ờng kính MC cắt BM tại N và cắt NA tại P.
a) Chứng minh bốn điểm A, B, C, N cùng nằm trên một đờng tròn.
b) Chứng minh CA là tia phân giác của góc BCP.
c) Gọi D, E là các điểm đối xứng với M qua BA và BC chứng minh tứ giác BDCE
nội tiếp.
d) Xác định vị trí của M để đờng tròn ngoại tiếp tứ giác BDCE có đờng kính nhỏ
nhất.
Ngời viết:
Nguyễn Đình Tiếp
Luyện thi vào lớp 10

(4)
Bài 9: Cho đờng tròn (O, R) đờng kính AB, một điểm M trên đờng tròn sao cho MA >
MB, Các tiếp tuyến của đờng tròn tại M và B cắt nhau ở P, các đờng thẳng AB,
MP cắt nhau tại Q; các đờng thẳng AM, OM cắt BP lần lợt tại R, S.
a) Chứng minh tứ giác AMPO là hình thang.
b) Chứng minh MB // SQ.
c) Gọi C là điểm đối xứng với M qua AB. Chứng minh tứ giác AQS C nội tiếp.
d) Gọi D là giao điểm của AM và SQ, cho biết OMDP là hình bình hành. Tính OS
theo R.
Bài 10: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB, các điểm C, D nằm trên đờng tròn sao cho C,
D không nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB đồng thời AD > AC. Gọi M, N
lần lợt là các điểm chính giữa của các cung AC, AD. MN cắt AC, AD thứ tự tại H,
I; MD cắt CN tại K.
a) Chứng minh NKD, MAK cân.
b) Chứng minh tứ giác MCKH nội tiếp; suy ra KH // AD.
c) So sánh góc CAK và DAK.
d) Tìm hệ thức giữa số đo cung AC và AD là điều kiện cần và đủ để AK // ND.
Bài 11: Cho đờng tròn (O) trên đó có cung cố định AB bằng 90
0
và một điểm C thay đổi
trên cung lớn AB. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. AH, BH cắt (O) lần lợt
tại M, N, AN cắt BM tại P.
a) Chứng minh M, O, N thẳng hàng.
Ngời viết:
Nguyễn Đình Tiếp
Luyện thi vào lớp 10

(5)
b) Tứ giác ACBP là hình gì? tại sao?
c) Chứng minh CO // PH.
d) Chứng minh
PH

CMO

A

không phụ thuộc vào vị trí điểm C .
Bài 12: Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R và một điểm M bất kỳ trên nửa đờng
tròn ( M khác A, B ). Đờng thẳng d tiếp xúc với nửa đờng tròn tạ M và cắt đờng
trung trực của đoạn thẳng AB tại I. Đờng tròn tâm I tiếp xúc với AB và cắt d tại
C, D ( D nằm trong góc BOM ).
a) Chứng minh OC, OD lần lợt là tia phân giác của góc AOM, BOM.
b) Chứng minh CA và DB vuông góc với AB.
c) Chứn minh AC.BD = R
2
.
d) Xác định vị trí điểm M sao cho S
ABCD
nhỏ nhất.
Bài 13: Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB, một điểm M trên cung AB và điểm C nằm
giữa A và B sao cho CA < CB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm M kẻ các
tiaAx, By vuông góc với AB. Đờng thẳng đi qua M vuông góc với MC cắt Ax, By
theo thứ tự tại P, Q. Gọi giao điểm của AM với CP; BM với CQ lần lợt là R, S.
a) Chứng minh các tứ giác APMC, BQMC, RMSC nội tiếp.
b) Chứng minh RS // AB.
c) Tứ giác áC có thể là hình bình hành không? tại sao?

d) Chứng minh nếu RC.RP = SC thì RC = SQ; RP = SC.
Ngời viết:
Nguyễn Đình Tiếp