SKKN vận dụng bất đẳng thức côsi để tìm cực trị môn đại số 9

Vận dụng bất đẳng thức Côsi để tìm cực trị - Môn đại số 9
A. MỞ ĐẦU
I. Đặt vấn đề.
1. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu.
Trong toán học nói chung và môn toán THCS nói riêng, những bài toán
về cực trị được sử dụng rất nhiều, đặc biệt là trong các kì thi học sinh giỏi, thi
tuyển sinh lớp 10 tuy nhiên với dạng toán này trong chương trình không có
phương phương pháp giải chung mà chỉ được trình bày đơn lẻ trong các bài tập
của các phần. Do vậy việc hướng dẫn giúp các em có kỹ năng giải toán tìm cực
trị, ngoài việc nắm lý thuyết, thì các em phải biết vận dụng thực hành, từ đó phát
triển khả năng tư duy, đồng thời tạo hứng thú cho học sinh khi học nhằm nâng
cao chất lượng học tập là điều hết sức cần thiết.
Để làm tốt dạng toán này đòi hỏi học sinh cần phải sử dụng thành thạo về
bất đẳng thức, đặc biệt là rất nhiều các bất đẳng thức có thể sử dụng để tìm cực
trị được như là bất đẳng thức Côsi, bất đẳng thức Bunhia ...
Tuy nhiên trong chương trình toán THCS, học sinh chỉ được làm quen với
các bất đẳng thức này qua bài tập mà chương trình dạy học được đề cập rất ít
đến vấn đề này và không đưa ra phương pháp và các bước làm cụ thể. Vì thế,
khi gặp bài toán cực trị mà sử dụng các bất đẳng thức để làm thì học sinh thường
rất lúng túng không biết bắt đầu như thế nào. Chính vì vậy việc tổng hợp, đưa ra
những phương pháp giải cụ thể là rất quan trọng đối với học sinh.
2. Ý nghĩa của giải pháp mới.
Giúp cho học sinh tăng khả năng tự học, tự nghiên cứu.
Học sinh biết suy luận theo hướng logic theo các phương pháp giải chung.
Giúp học sinh biết liên hệ giữa các vấn đề, dẫn tới hiệu quả học tập tốt
hơn.
Giúp học sinh nhận dạng được dạng bài tập vận dụng được bất đẳng thức
Côsi, đưa ra phương pháp phù hợp từ đó yêu thích môn học và say mê với môn
học, làm giảm những suy nghĩ tiêu cực trong học sinh.

GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng

2


Vận dụng bất đẳng thức Côsi để tìm cực trị - Môn đại số 9
3. Phạm vi nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm.
Sáng kiến kinh nghiệm được thực hiện nghiên cứu tại trường THCS Đại
Hưng, huyện Khoái Châu, tỉnh Hưng Yên từ năm học 2014 - 2015 đến năm học
2015 - 2016.
Đối tượng cần nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm ở đây là các em học
sinh khối 9 của nhà trường.
Nội dung nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm chính là: "Vận dụng bất
đẳng thức Côsi để tìm cực trị - Môn Đại số 9”.
II. Phương pháp tiến hành.
1. Cơ sở lý luận.
Toán học là một môn học giữ vai trò quan trọng trong suốt bậc học, là
một môn học khó, đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nỗ lực rất lớn để chiếm
lĩnh những tri thức cho mình. Chương trình toán rất rộng, các em được lĩnh hội
nhiều kiến thức, các kiến thức lại có mối quan hệ chặt chẽ với nhau. Do vậy khi
học, các em không những nắm chắc lý thuyết cơ bản, mà còn phải biết tự diễn
đạt theo ý hiểu của mình, từ đó biết vận dụng để giải từng loại toán. Qua cách
giải các bài toán rút ra phương pháp chung để giải mỗi dạng bài, trên cơ sở đó
tìm ra các lời giải khác hay hơn, ngắn gọn hơn.
Trong quá trình học toán ở trường THCS học sinh cần biết cách tổ chức
công việc của mình một cách sáng tạo. Người giáo viên cần rèn luyện cho học
sinh kỹ năng độc lập suy nghĩ một cách sâu sắc, sáng tạo. Vì vậy đòi hỏi người
giáo viên một sự lao động sáng tạo biết tìm tòi ra những phương pháp để dạy
cho học sinh trau dồi tư duy lô gic giải các bài toán.
Là một giáo viên dạy toán ở trường THCS tôi nhận thấy việc giải các bài
toán ở chương trình THCS không chỉ đơn giản là đảm bảo kiến thức trong sách

giáo khoa, đó mới chỉ là những điều kiện cần nhưng chưa đủ . Muốn giỏi toán
cần phải luyện tập nhiều thông qua việc giải các bài toán đa dạng, giải các bài
toán một cách khoa học, biết phân dạng để đưa ra phương pháp chung cho các
dạng bài tập đó.
GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng

3


Vận dụng bất đẳng thức Côsi để tìm cực trị - Môn đại số 9
Muốn vậy người thầy phải biết vận dụng linh hoạt kiến thức trong nhiều
tình huống khác nhau để tạo hứng thú cho học sinh. Một bài toán có thể có nhiều
cách giải , mỗi bài toán thường nằm trong mỗi dạng toán khác nhau nó đòi hỏi
phải biết vận dụng kiến thức trong nhiều lĩnh vực một cách sáng tạo vì vậy học
sinh phải biết sử dụng phương pháp nào cho phù hợp.
Các dạng toán ở trường trìnhTHCS thật đa dạng và phong phú như: Bất
đẳng thức, Tìm cực trị …
“ Tìm cực trị” là một dạng toán có trong SGK lớp 9 nhưng chưa đưa ra
phương pháp giải chung. Hơn nữa “ Tìm cực trị” được sử dụng rất nhiều trong
các kì thi học sinh giỏi, thi tuyển sinh THPT, thi đại học.
Do vậy việc hướng dẫn giúp các em có kỹ năng giải toán tìm cực trị,
ngoài việc nắm lý thuyết, thì các em phải biết vận dụng thực hành, từ đó phát
triển khả năng tư duy, đồng thời tạo hứng thú cho học sinh khi học nhằm nâng
cao chất lượng học tập là điều hết sức cần thiết.
2. Cơ sở thực tiễn.
Qua thực tế giảng dạy môn toán lớp 9 nhiều năm tôi thấy không chỉ học
sinh gặp khó khăn trong giải toán mà bản thân tôi khi dạy phần “ Tìm cực trị”
cũng gặp rất nhiều khó khăn trong việc hướng dẩn học sinh giải bài toán phần
này. Chính vì vậy tôi luôn suy nghĩ từng bước để hoàn thiện phương pháp của
mình. Từ thực tiễn giảng dạy tôi thấy học sinh hay bế tắc, lúng túng về cách xác

định dạng toán để đưa ra phương pháp phù hợp. Do đó Tôi chọn đề tài
“Vận dụng bất đẳng thức Côsi để tìm cực trị - Môn Đại số 9”.
3. Các biện pháp tiến hành.
Khi giảng dạy phần này giáo viên cần nhấn mạnh các kiến thức liên quan,
học sinh phải nắm vững môt số kiến thức cụ thể là:
* Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức:
Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của biểu thức A(x) khi: A(x) ≥ m và tồn tại
giá trị của x để A(x) = m.
Số n gọi là giá trị lớn nhất của biểu thức A(x) khi: A(x) ≤ n và tồn tại giá
trị của x để A(x) = n.
GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng

4


Vận dụng bất đẳng thức Côsi để tìm cực trị - Môn đại số 9
* Bất đẳng thức Côsi:
Bất đẳng thức Côsi với 2 số a, b không âm là:

a+b
≥ ab hoặc
2

a + b ≥ 2 ab . Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b
Chứng minh:
Do a, b ≥ 0 nên

a và

Ta có : a + b ≥ 2 ab

b xác định
(1)

⇔ a + b − 2 ab ≥ 0
⇔

(

a− b

)

2

≥0

(2)

do bất đẳng thức (2) đúng nên bất đẳng thức (1) đúng
Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b
Bất đẳng thức này còn được mở rộng
+ Với 3 số a, b, c không âm
a+b+c 3
≥ abc hoặc a + b + c ≥ 3 3 abc
3
Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b = c
+ Đối với n số không âm: a1 ,a 2 ,a 3 ,...,a n ≥ 0
Ta có:

a1 + a 2 + a 3 + ... + a n n
≥ a1.a 2 .a 3.....a n hoặc
n

a1 + a 2 + a 3 + ... + a n ≥ n. n a 1.a 2 .a 3.....a n
Dấu “=” xảy ra ⇔ a1 = a 2 = a 3 = ... = a n
4. Thời gian tạo ra giải pháp
Để thực hiện được sáng kiến kinh nghiệm của mình tôi đã thực hiện kể từ
đầu năm học 2014 - 2015 đến năm học 2015 - 2016 đối với các em học sinh lớp
9 của nhà trường.

GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng

5


Vận dụng bất đẳng thức Côsi để tìm cực trị - Môn đại số 9
B - NỘI DUNG
I- Mục tiêu
- Nhằm nâng cao chất lượng cho học sinh giải bài toán Tìm cực trị và tạo niềm
tin cho giáo viên trong quá trình hướng dẫn học sinh giải bài toán Tìm cực trị.
Giúp cho thầy và trò trong dạy và học đạt được kết quả cao. Giúp cho học sinh
có hứng thú học và yêu thích môn Toán
- Giúp học sinh biết hướng khai thác kết quả một bài toán để giải quyết vấn đề
linh hoạt hơn.
- Trao đổi với giáo viên hướng khai thác một bài toán trong chương trình bồi
dưỡng học sinh khá giỏi lớp 9
II- Phương pháp tiến hành
II.1. Mô tả giải pháp của đề tài.
Giải pháp được cụ thể hoá thông qua các phương pháp vận dụng bất đẳng

thức Côsi để tìm cực trị và một số ví dụ cụ thể.
Phương pháp 1. ĐÁNH GIÁ GIỮA TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN
a. Phương pháp
Biến đổi biểu thức đã cho thành một tổng của các biểu thức sao cho tích
của chúng là một hằng số để tìm giá trị nhỏ nhất hoặc biến đổi biểu thức đã cho
thành một tích của các biểu thức sao cho tổng của chúng là một hằng số để tìm
giá trị lớn nhất
b. Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho a > 0 Tìm GTNN của biểu thức:
1
A1 = a +
a
1
Giải:
Vì a > 0 nên > 0
a
1
Áp dụng bất đẳng thức cô si với 2 số dương a và
a
Ta có :

1
a

1
a

a+ ≥ 2 a. =2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a=

Vậy Min A1 = 2 ⇔ a = 1

1
⇔ a 2 = 1 ⇔ a = 1 (vì a > 0)
a

GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng

6


Vận dụng bất đẳng thức Côsi để tìm cực trị - Môn đại số 9
Nhận xét: Hai số dương a và

1
có tích là một hằng số
a

Ví dụ 2. Cho a ≥ 2 . Tìm GTNN của biểu thức: A 2 = a +

1
a

Giải:
Ta có A 2 = a +
Vì a ≥ 2 nên

1 3a a 1
= + +
a 4 4 a

a 1
3a 3.2
≥
. Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương ;
4 a
4
4

Do đó A 2 = a +

5
1 3a a 1 3a
a 1 3.2
5
= + + ≥ +2 . ≥
+ 1 = suy ra A 2 ≥
2
a 4 4 a 4
4 a
4
2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = 2 (t/m)
5
Vậy Min A 2 = ⇔ a = 2
2
Nhận xét: Trong ví dụ này nếu học sinh làm như ví dụ 1 thì sẽ dẫn đến sai lầm
vì dấu “=” xảy ra khi a = 1 không thỏa mãn a ≥ 2 . Do đó ta phải tách số a
thành

3a a
+ để thỏa mãn dấu “=” xảy ra theo đề bài a ≥ 2 , việc tách được
4 4

như vậy trong sử dụng bất đẳng thức Cô si được gọi là kĩ thuật chọn điểm rơi.
Trong cách làm này rõ ràng ta có thể dự đoán được dấu “=” xảy ra khi a = 2
do đó ta phải làm mất số hạng

1
khi sử dụng bất đẳng thức Côsi cần sử dụng
a

số hạng có dạng

a 1
a
, như vậy ta cần tìm số k sao cho = tại điểm dấu bằng
k a
k

xảy ra a = 2, để

a 1
3a a
= với a = 2 ta tìm được k = 4, nên ta biến đổi a = +
k a
4 4

để có cách làm trên.

x 2 + 72
Ví dụ 3. Cho x > 0. Tìm GTNN của biểu thức A3 =
3x
Giải:
x 2 + 72 x 24
Ta có A3 =
= +
3x
3 x
GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng

7


Vận dụng bất đẳng thức Côsi để tìm cực trị - Môn đại số 9
x
24
Vì x > 0 nên > 0; > 0
3
x
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số
A3 =

x 24
;
ta có:
3 x

x 24
x 24

+
≥2 . =4 2
3 x
3 x

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

x 24
=
⇔ x 2 = 72 ⇔ x = 6 2 (vì x > 0)
3 x

Vậy Min A3 = 4 2 ⇔ x = 6 2
x
24
x 2 + 72 x 24
Nhận xét: Phân tích
= +
để có tích hai số dương
với
là
3
x
3x
3 x
một hằng số
Ví dụ 4. Cho x > 0 T×m GTNN cña biÓu thøc
x 3 + 2000
A4 =
x

Giải:
1000
x 3 + 2000
1000 1000 . V× x > 0 nªn 2
x > 0;
>0
A4 =
= x2 +
+
x
x
x
x
1000 1000
Áp dông bÊt ®¼ng thøc C«si cho 3 sè d¬ng x 2 ;
ta cã:
;
x
x
x 3 + 2000
1000 1000
1000 1000
A4 =
= x2 +
+
≥ 3 3 x 2.
.
= 3.100 = 300
x
x

x
x
x
1000 1000
=
⇔ x 3 = 1000 ⇔ x = 10 (t/m)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x 2 =
x
x
Vậy Min A 4 = 1000 ⇔ x = 10 .
Nhận xét : Trong ví dụ này rõ ràng là nếu ta tách biểu thức A4 thành tổng
1000
1000
x2 +
thì việc áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số x 2 ;
không được
x
x
vì tích của chúng vẫn còn chứa biến x. Do vậy để tích của các số hạng là hằng
1000 1000
+
số không đổi thì ta biến đổi biểu thức A4 = x 2 +
thì ta có tích của
x
x
1000 1000
;
ba số hạng x 2 ;
không đổi để sử dụng được bất đẳng thức Côsi.
x

x
Ví dụ 5. Cho x >1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
25
A5 = 4x +
x −1
25
25
= 4 ( x − 1) +
+4
Giải : Ta có : A5 = 4x +
x −1
x −1
GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng

8


Vận dụng bất đẳng thức Côsi để tìm cực trị - Môn đại số 9
Vì x > 1 nên x – 1 > 0. Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương
25
4 ( x − 1) ;
ta được :
x −1
25
25
A5 = 4 ( x − 1) +
+ 4 ≥ 2 4 ( x − 1) .
+ 4 = 2.10 + 4 = 24
x −1
x −1

25
7
⇔ x = (t/m)
Dấu “=” xảy ra ⇔ 4 ( x − 1) =
x −1
2
7
Vậy Min A5 = 24 ⇔ x =
2
3
3
Ví dụ 6. Tìm GTLN của biểu thức A 6 = x ( 16 − x ) (với 0 ≤ x ≤ 2 3 2 )
Giải: Vì 0 ≤ x ≤ 2 3 2 nên x 3 ≥ 0;16 − x 3 ≥ 0
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số x 3 ≥ 0;16 − x 3 ≥ 0 ta có :
2

 x 3 + 16 − x 3 
3
3
A 6 = x ( 16 − x ) ≤ 
÷ = 64
2


3
3
Dấu “=” xảy ra ⇔ x = 16 − x ⇔ x = 2 (t/m)
Vậy Max A 6 = 64 ⇔ x = 2
Ví dụ 7. Tìm GTLN của biểu thức A 7 = x 4 − x 2 (với −2 ≤ x ≤ 2 )
Giải : Vì −2 ≤ x ≤ 2 nên x ≥ 0; 4 − x 2 ≥ 0 . Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai

số không âm ta được :
x2 + 4 − x2
A7 = x 4 − x 2 = x 2 ( 4 − x 2 ) ≤
=2
2
Dấu “=” xảy ra ⇔ x 2 = 4 − x 2 ⇔ x = ± 2 (t/m)
Vậy Max A 7 = 2 ⇔ x = ± 2
Ví dụ 8. Tìm GTLN của biểu thức: A8 = ( 1 − x ) ( 2x − 1) ( với

1
≤ x ≤ 1)
2

Giải:
Với

1
≤ x ≤ 1 thì ( 1 − x ) ≥ 0; ( 2x − 1) ≥ 0 . Áp dụng bất đẳng thức cho hai số
2

không âm ta có:
2

1
1  2 − 2x + 2x − 1  1
A8 = ( 1 − x ) ( 2x − 1) = ( 2 − 2x ) ( 2x − 1) ≤ . 
÷ =
2
2
2

 8
Dấu “=” xảy ra 2 − 2x = 2x − 1 ⇔ x =

GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng

3
(thỏa mãn).
4
9


Vận dụng bất đẳng thức Côsi để tìm cực trị - Môn đại số 9
1
3
Vậy Max A8 = ⇔ x =
8
4
Nhận xét: Việc viết 1 − x =

1
( 2 − 2x ) là một kĩ thuật hết sức khéo léo nhằm tạo
2

ra hai số hạng ( 2 − 2x ) ; ( 2x − 1) có tổng không đổi để chúng ta áp dụng bất
đẳng thức Côsi.
0 ≤ x ≤ 3
Ví dụ 9. Cho 
Tìm GTLN của biểu thức:
0 ≤ y ≤ 4
A9 = ( 3 − x ) ( 4 − y ) ( 2x + 3y )

Giải:
Ta có A9 = ( 3 − x ) ( 4 − y ) ( 2x + 3y ) =

1
( 6 − 2x ) ( 12 − 3y ) ( 2x + 3y )
6

0 ≤ x ≤ 3
với 
thì 6 − 2x ≥ 0;12 − 3y ≥ 0;2x + 3y ≥ 0
0 ≤ y ≤ 4
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số không âm ta có
3

1
1  6 − 2x + 12 − 3y + 2x + 3y 
A9 = ( 6 − 2x ) ( 12 − 3y ) ( 2x + 3y ) ≤ 
÷ = 36
6
6
3

x = 0
Dấu “=” xảy ra ⇔ 6 − 2x = 12 − 3y = 2x + 3y ⇔ 
(t/m)
y = 2
x = 0
Vậy Max A9 = 36 ⇔ 
y = 2
Nhận xét: Cũng giống như ví dụ 8, để làm xuất hiện 3 số hạng có tổng không

đổi ở đây ta đã khéo léo nhân thừa số thứ nhất với 2 và thừa số thứ hai với 3,
khi đó ta đã áp dụng được bất đẳng thức Côsi.
Ví dụ 10. Cho a,b,c ≥ 0;a + b + c = 1 . Tìm GTLN của biểu thức:
A10 = a + b + b + c + c + a
Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các số không âm
Ta có

2 3
3
a + b = ( a + b) . . =
.
3 2
2

GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng

2
3 (
( a + b) . ≤ .
3
2

a + b) +

2
3

2
10

Vận dụng bất đẳng thức Côsi để tìm cực trị - Môn đại số 9
Tương tự

b+c ≤

3
.
2

( b + c) +

2
3;

2

c+a ≤

3
.
2

( c + a) +

2
3

2

Do đó A10 = a + b + b + c + c + a
2
2
2
b + c) +
c + a) +
(
(
3
3 + 3.
3 + 3.
3
≤
.
2
2
2
2
2
2
3 2( a + b + c) + 2
3
=
.
=
.2 = 6
2
2
2

( a + b) +

Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b = c =

1
(t/m)
3

Vậy Max A10 = 6 ⇔ a = b = c =

1
3

Nhận xét: Trong ví dụ trên nếu ta áp dụng ngay bất đẳng thức Côsi cho hai số
a + b và 1; b + c và 1; c + a và 1
Ta có A10 =
nên A10 ≤

( a + b ) .1 + ( b + c ) .1 + ( c + a ) .1

a + b + 1 b + c + 1 c + a + 1 2( a + b + c) + 3 5
khi đó ta sẽ
+
+
=
=
2
2
2
2

2

không tìm được dấu bằng xảy ra. Cho nên trong ví dụ này ta thấy được biểu
thức A10 là biểu thức đối xứng của a, b, c nên A10 đạt giá trị lớn nhất khi a = b
= c mà
a + b + c = 1 nên a = b = c =

biến đổi xuất hiện thừa số

1
2
khi đó a + b = b + c = c + a = Do đó ta mới
3
3

2
như trên.
3

c. Bài tập tự giải
Bài 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
A=

9x
2
1
+ (với 0 < x < 2) . Đáp số Min A = 7 ⇔ x =
2−x x
2

Bài 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng

11


Vận dụng bất đẳng thức Côsi để tìm cực trị - Môn đại số 9
1
1
1
B = 2a + 2 (với 0 < a ≤ ). Đáp số MinB = 5 ⇔ a =
a
2
2
x 2 + 2x + 17
Bài 3. Cho x ≥ 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C =
2 ( x + 1)
(Đáp số: Min C = 4 khi x = 3)
Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất của D = x 9 − x 2 với −3 ≤ x ≤ 3
(Đáp số: MaxD =

9
3 2
)
⇔x=±
2
2

Bài 5. Cho x > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của E =

x
x −1

(Đáp số Min E = 2 khi x = 2)
1
5
Bài 6. Cho biểu thức G = ( 6x + 3) ( 5 − 2x ) Với − ≤ x ≤ . Tìm giá trị
2
2
lớn nhất của G .
(Đáp số Max G = 27 khi x = 1)
Bài 7. Cho x, y > 0; x + y ≤ 1 . Tìm GTNN của H = xy +
(Đáp số Min H =

1
xy

17
1
⇔x=y= )
4
2

x 2 + y2
Bài 8. Cho x.y = 1, x > y > 0 . Tìm GTNN của biểu thức I =
x−y

6+ 2
 x =

2
(Đáp số Min I = 2 2 ⇔ 
)
y = 6 − 2

2
2x 3 + 27
Bài 9. Cho x > 0 . Tìm GTNN của biểu thức K =
x2
(Đáp số Min K = 9 khi x = 3)
Phương pháp 2. TÌM CỰC TRỊ CỦA BIỂU THỨC THÔNG QUA TÌM CỰC TRỊ CỦA
BÌNH PHƯƠNG BIỂU THỨC ĐÓ

a. Phương pháp
GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng

12


Vận dụng bất đẳng thức Côsi để tìm cực trị - Môn đại số 9
- Tính bình phương của biểu thức.
- Tìm cực trị của biểu thức bình phương.
- Tìm cực trị của biểu thức đó.
b. Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm GTLN của biểu thức: B1 = x + 1 − x
Giải: ĐKXĐ: 0 ≤ x ≤ 1
Ta có: B12 =

(

x + 1− x

)

2

=1+ 2 x(1− x)

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm x và 1 – x ta có:
B12 = 1 + 2 x ( 1 − x ) ≤ 1 + ( x + 1 − x ) = 2
Do B1 ≥ 0 nên B12 ≤ 2 ⇔ B1 ≤ 2
Dấu “=” xảy ra ⇔ x = 1 − x ⇔ x =
Vậy MaxB1 =

2⇔x=

1
(t/m)
2

1
2

Nhận xét :
Biểu thức B1 là tổng hai căn thức nhưng biểu thức dưới dấu căn có tổng
không đổi cho nên ta bình phương biểu thức B1 thì ta có hai lần tích của hai căn
thức để có thể dùng bất đẳng thức Côsi . Với ví dụ này ta có thể áp dụng bất
đẳng thức Bunhia cho hai cặp số ( 1;1) ;

(

)

x; 1 − x cách làm tương tự.

Ví dụ 2. Tìm GTLN của biểu thức:
B2 = x + 2 y với x, y ≥ 0; x + 4y = 4
Giải:
Ta có B22 =

(

x +2 y

)

2

= x + 4y + 4 xy

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm ta có:
B22 = x + 4y + 2 x.4y ≤ x + 4y + x + 4y = 2 ( x + 4y ) = 8
Do B2 ≥ 0 nên B22 ≤ 8 ⇔ B2 ≤ 2 2
GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng

13


Vận dụng bất đẳng thức Côsi để tìm cực trị - Môn đại số 9
x = 2


Dấu “=” xảy ra ⇔ 
1 (t/m)
y
=

2
Vậy Max B2 = 2 2 ⇔ x = 2 và y = ½
Nhận xét:
Trong ví dụ trên khi đánh giá biểu thức sau khi bình phương ta đã khéo léo biến
đổi 4 xy = 2 x.4y để sau khi dùng bất đẳng thức Côsi xuất hiện giả thiết đề
bài cho.
Ví dụ 3. Tìm GTNN và GTLN của
B3 = 5 − x + x − 1
ĐKXĐ: −1 ≤ x ≤ 5

Giải:
+ Ta có B32 =
Vì 2

(

)

2

5 − x + x +1 = 4 + 2

( 5 − x ) .( x − 1) ≥ 0

( 5 − x ) .( x − 1)

nên B32 ≥ 4 . Mà B3 ≥ 0 nên B32 ≥ 4 ⇔ B3 ≥ 2

Dấu “=” xảy ra khi x = 1 hoặc x = 5(t/m)
+ Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm ( 5 − x ) ; ( x − 1) ta được:
B32 = 4 + 2

( 5 − x ) .( x − 1)

≤ 4 + ( 5 − x + x − 1) = 8 suy ra B3 ≤ 2 2

Dấu “=” xảy ra 5 − x = x − 1 ⇔ x = 3 (t/m)
Vậy Min B3 = 2 ⇔ x = 1 hoặc x = 5
Max B3 = 2 2 ⇔ x = 3
Nhận xét: Trong ví dụ trên khi tính bình phương của biểu thức ta dễ dàng tìm
được GTLN và GTNN. Lưu ý ở ví dụ này khi tìm GTNN của biểu thức mà chỉ ra
B3 ≥ 0 nên GTNN của biểu thức là 0 thì sai lầm vì khi đó không có giá trị của x
để biểu thức bằng 0.
c. Bài tập tự giải
Bài 1. Tìm GTNN và GTLN của biểu thức:
A=

x − 5 + 23 − x

(Đáp số Min A = 3 2 khi x = 5 hoặc x = 23; MaxA = 6 khi x = 14)
GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng

14

Vận dụng bất đẳng thức Côsi để tìm cực trị - Môn đại số 9
Bài 2. Tìm GTNN và GTLN của biểu thức
3x − 5 + 7 − 3x

B=

(Đáp số MinB =

2 khi x = 5/3 hoặc x = 7/3; MaxB = 2 khi x = 2)

 x, y,z > 0
Bài 3. Cho 
. Tìm GTNN của biểu thức sau:
 x + y + z ≥ 12
C=

x
y
z
+
+
(Đáp số Min C = 6 khi x = y = z = 4)
y
z
x

3. Phương pháp 3. TÌM CỰC TRỊ CỦA BIỂU THỨC BẰNG CÁCH NHÂN
HOẶC CHIA BIỂU THỨC CHO CÙNG MỘT SỐ KHÁC 0.
a. Phương pháp

+ Nhân hoặc chia biểu thức cho cùng một số khác 0.
+ Dùng bất đẳng thức Côsi để tìm cực trị.
b. Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm GTLN của biểu thức C1 =

x −9
5x

Giải: ĐKXĐ: x ≥ 9
Ta có

C1 =

x −9
=
5x

Dấu “=” xảy ra ⇔
Vậy Max C1 =

1 x −9

x −9
+ 3÷
.3

2 3
3
 = x −9+9 = 1 .
≤ 

5x
5x
30x
30

x −9
= 3 ⇔ x = 18 (t/m)
3

1
⇔ x = 18
30

Nhận xét: Trong cách giải trên, x - 9 được biểu diễn thành

gặp ở chỗ khi vận dụng BĐT Côsi , tích

x −9
.3 và ta đã
3

x −9
.3 được làm trội thành nửa tổng
3

x −9
1
+ 3 = x có dạng kx có thể rút gọn cho x ở dưới mẫu, kết quả là một
3
3

GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng

15


Vận dụng bất đẳng thức Côsi để tìm cực trị - Môn đại số 9
hằng số . Còn số 3 ở trên tìm được bằng cách lấy căn bậc hai của 9, số 9 này có
trong đề bài.
 x, y > 0
Ví dụ 2. Cho 
. Tìm GTLN của biểu thức: C2 = xy
7x
+
9y
=
63

Giải:
Ta có C2 = 63xy.

1
1
= .7x.9y
63 63

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ta có:
2

2

1
1  7x + 9y 
1  63  63
C2 = .7x.9y ≤ .
÷ = . ÷ =
63
63  2  63  2 
4
9

x=

63

2
⇔
Dấu “=” xảy ra ⇔ 7x = 9y =
(t/m)
2
y = 7

2
9

x
=

63
2
C

=
⇔
Vậy Max 2

4
y = 7

2
Nhận xét:
Cũng giống như ví dụ việc nhân biểu thức với 63 và chia cho 63 để
làm xuất hiện thừa số 7x và 9y có tổng không đổi để từ đó dùng bất đẳng thức
Côsi.
c. Bài tập áp dụng
Bài 1. Tìm GTLN của biểu thức A =

x−4
2x

(Đáp số Max A = 1/8 khi x = 8)
Bài 2. Cho các số x, y,z, t > 0 . Tìm GTNN của biểu thức:
B=

x
y+t
y
t+x
t
x+y
+
+

+
+
+
y+t
x
t+x
y
x+y
t

(MinB = 15/2 khi x = y = z = t)
Bài 3. Cho x, y, z ≥ 0 và x + y + z = 1 . Tìm GTLN của biểu thức:
GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng

16


Vận dụng bất đẳng thức Côsi để tìm cực trị - Môn đại số 9
C = xyz ( x + y ) ( y + z ) ( z + x )
(Đáp số MaxC = 8/729 khi x = y = z = 1/3)
Bài 4. Tìm GTLN của D = 3a + 4 1 − a 2 (với −1 ≤ a ≤ 1 )
(MaxD = 5 khi a = 3/5)
4. Phương pháp 4. THÊM VÀO BIỂU THỨC ĐÃ CHO MỘT HẠNG TỬ.
a. Phương pháp
Ta cộng thêm hoặc nhân thêm vào biểu thức đã cho một hạng tử hoặc một
thừa số để sử dụng bất đẳng thức Côsi.
b. Các ví dụ
2
Ví dụ 1. Cho a > 0. Tìm GTNN của biểu thức D1 = a +

36
a +1

Giải: Ta có
D1 = a 2 − 4a + 4 +

36
36
2
+ 4 ( a + 1) − 8 = ( a − 2 ) +
+ 4 ( a + 1) − 8
a +1
a +1

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương ta có :
D1 ≥ 0 + 2

36
.4 ( a + 1) − 8 = 24
a +1

a − 2 = 0

⇔ a = 2 (t/m)
Dấu bằng xảy ra khi ⇔  36
=
4
a
+
1

(
)
 a + 1
Vậy Min D1 = 24 ⇔ a = 2
Nhận xét: Trong ví dụ này để sử dụng được bất đẳng thức Cô si ta đã
thêm vào số hạng 4(a + 1).
Ví dụ 2. Cho a, b, c là các số lớn hơn 1. Tìm GTNN của biểu thức
D2 =

a2
b2
c2
+
+
b −1 c −1 a −1

Giải:
Ta có a > 1,b > 1,c > 1 nên a − 1 > 0,b − 1 > 0,c − 1 > 0

GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng

17


Vận dụng bất đẳng thức Côsi để tìm cực trị - Môn đại số 9
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số không âm ta có:
a2
a2
+ 4 ( b − 1) ≥ 2
.4 ( b − 1) = 4a

b −1
b −1
b2
c2
+ 4 ( c − 1) ≥ 4b;
+ 4 ( a − 1) ≥ 4c
Tương tự
c −1
a −1
a2
b2
c2
+
+
≥ 4a + 4b + 4c − 4 ( a − 1) − 4 ( b − 1) − 4 ( c − 1)
do đó
b −1 c −1 a −1
a2
b2
c2
+
+
≥ 12 . Dấu “=” khi a = b = c = 2(t/m)
suy ra:
b −1 c −1 a −1
Vậy Min D 2 = 12 ⇔ a = b = c = 2
Nhận xét: Trong ví dụ này để triệt tiêu được mẫu thức ta đã thêm vào các
số hạng 4 lần mẫu thức để khi sử dụng bất đẳng thức Côsi làm mất mẫu thức,
không chỉ vậy việc thêm này đã giúp chúng ta sau khi dùng bất đẳng thức Côsi
ta còn rút gọn được hết các hạng tử chứa biến chỉ còn hằng số từ đó tìm được

giá trị nhỏ nhất. Ví dụ này còn có thể làm cách khác như sau:
2

2
a2
4a 2
 b −1+1 b
≥
Ta có b − 1 = ( b − 1) .1 ≤ 
. Tương tự ta suy ra được
÷ = ⇒
4
b − 1 b2
 2 

 a 2 b2 c2 
a2
b2
c2
a 2 b2 c2
3
+
+
≥ 4  2 + 2 + 2 ÷ ≥ 4.3. 2 . 2 . 2 ≥ 12
b −1 c −1 a −1
c
a 
b c a
b
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 2.

Ví dụ 3. Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn

2 2
+ = 1 . Tìm GTNN của biểu thức
x y

D3 = x + y
Giải:
Ta có

2 2
2 2
2x 2y
+ = 1 suy ra D3 = ( x + y )  + ÷ = 4 +
+
x y
x
y
y
x



Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ta có:
D3 = 4 +

2x 2y
2x 2y
+
≥4+2

.
=4+4=8
y
x
y x

GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng

18


Vận dụng bất đẳng thức Côsi để tìm cực trị - Môn đại số 9
 2x 2y
 y = x
⇔ x = y = 4 (t/m)
Dấu “=” xảy ra 
2
2
 + =1
 x y
Vậy Min D3 = 8 ⇔ x = y = 4
Nhận xét: Trong ví dụ này ta đã nhân thêm giả thiết của bài vào biểu thức để áp
dụng được bất đẳng thức Cô si. Đây cũng là cách rất hay sử dụng khi tìm cực
trị của biểu thức.
c. Bài tập áp dụng
Bài 1. Cho a, b, c là các số lớn hơn 1. Tìm GTNN của biểu thức
A=

a
b

c
+
+
b −1
c −1
a −1

(Đáp số Min A = 12 khi a = b = c = 4)
Bài 2. Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 2. Tìm
x2
y2
z2
+
+
GTNN của biểu thức B =
.
y+z z+x x+y
(Đáp số Min B = 1 ⇔ x = y = z =
Bài 3. Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn

2
)
3

1 4
+ = 1 . Tìm GTNN của biểu thức
x y

C = x + y.
(Đáp số Min C = 9 khi x = 3, y = 6)

Bài 4. Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức
D=

4 1
+
x 4y

(Đáp số Min D = 25/4 khi x = 4/5, y = 1/5)
II.2. Phạm vi áp dụng
* Để thực hiện được sáng kiến kinh nghiệm này:

GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng

19


Vận dụng bất đẳng thức Côsi để tìm cực trị - Môn đại số 9
Yêu cầu giáo viên phải có thời gian, kinh phí, tâm huyết, yêu nghề, yêu
trẻ, có lòng say mê tìm tòi sáng tạo. Giáo viên cũng cần rèn cho học sinh ý thức,
thói quen học tập nghiêm túc, rèn kĩ năng quan sát, làm việc theo sự hướng dẫn
của giáo viên. Đối với học sinh cần phải có tinh thần học tập bộ môn những bạn
học khá giỏi giúp đỡ những bạn học yếu hơn mình có như vậy giờ học mới đảm
bảo đúng tiến độ của giờ lên lớp.
* Đối tượng:
Đề tài có thể tùy theo mức độ, yêu cầu đối tượng học sinh mà giáo viên có
thể sử dụng toàn bộ hay ít nhiều. Đối với học sinh giỏi thì việc truyền thụ cho
các em một số phương pháp, kỹ năng trên là cần thiết và rất có ích.
* Phạm vi:
Tất cả các giáo viên giảng dạy bộ môn toán đều có thể áp dụng vào giảng
dạy cho học sinh lớp 9 khi ôn thi tuyển sinh hoặc ôn thi học sinh giỏi

II.3. Kết quả.
Tôi có làm một bài tập khảo sát với thời gian làm bài 60 phút với hai
nhóm học sinh của hai lớp: Lớp thực nghiệm 9A (lớp được giảng dạy theo sáng
kiến kinh nghiệm) và lớp đối chứng 9C (không áp dụng sáng kiến kinh nghiệm)
với đề bài như sau:
Đề bài:
Câu 1(2đ). Cho a > 1. Tìm GTNN của biểu thức A = a +

1
a −1

Câu 2(2đ). Cho 0 < x < 1. Tìm GTNN của biểu thức B =

x
1
+
1− x x

Câu 3(2đ). Tìm GTLN của biểu thức C = 4 − x + 4 + x
1
5
Câu 4(2đ). Cho biểu thức D = ( 6x + 3) ( 5 − 2x ) Với − ≤ x ≤ .
2
2
Tìm giá trị lớn nhất của D.
Câu 5(2đ). Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn x + y = 1.
Tìm GTNN của biểu thức E =

4 1
+

x 4y

Đáp án và biểu điểm:
GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng

20


Vận dụng bất đẳng thức Côsi để tìm cực trị - Môn đại số 9
Câu 1. Ta có a > 1 nên a – 1 > 0. Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số
không âm ta có:
A=a+

1
1
= a −1 +
+1≥ 2
a −1
a −1

Dấu “= ” xảy ra ⇔ a − 1 =

( a − 1) .

1
+1 = 3
a −1

(1đ)

1
⇔ a = 2 (t/m)
a −1

(0,5đ)

Vậy MinA = 3 ⇔ a = 2

(0,5đ)

Câu 2. Ta có 0 < x < 1 nên x > 0, 1 – x > 0
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm
B=

x
1
x
1− x + x
x
1− x
+ =
+
=
+
+1
1− x x 1− x
x
1− x
x

≥2

(0,75đ)

x 1− x
.
+1= 3
1− x x

Dấu “= ” xảy ra

(0,5đ)

x
1− x
1
=
⇔x=
1− x
x
2

Vậy MinB = 3 ⇔ x =

(0,5đ)

1
2

(0,25đ)

Câu 3. ĐKXĐ: −4 ≤ x ≤ 4
Ta có C2 =

(

4−x + 4+x

)

2

=8+2

(0,25đ)

( 4 − x) ( 4 + x)

(0,5đ)

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm ta có:
C2 ≤ 8 + 4 − x + 4 + x = 16 do C ≥ 0 nên C2 ≤ 16 ⇔ C ≤ 4

(0,5đ)

Dấu “=” xảy ra ⇔ 4 − x = 4 + x ⇔ x = 0 (t/m)

(0,5đ)

Vậy MaxC = 4 ⇔ x = 0

(0,25đ

1
5
Câu 4. Với − ≤ x ≤ ta có ( 2x + 1) ≥ 0; ( 5 − 2x ) ≥ 0
2
2
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm

(0,25đ)

ta có:
2

 2x + 1 + 5 − 2x 
D = ( 6x + 3) ( 5 − 2x ) = 3 ( 2x + 1) ( 5 − 2x ) ≤ 3.
÷ = 27 (0,5đ)
2


Dấu “=” xảy ra ⇔ 2x + 1 = 5 − 2x ⇔ x = 1 (t/m)

(0,5đ)

Vậy MaxD = 27 ⇔ x = 1

(0,25đ)

GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng

21


Vận dụng bất đẳng thức Côsi để tìm cực trị - Môn đại số 9
Câu 5. Ta có E =

4 1 4 1 
17 4y x
+
= +
( x + y) = + +
÷
x 4y  x 4y 
4
x 4y

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm
E=

(0,25đ)

ta có:

17 4y x 17
4y x
25
+
+
≥ +2

.
=
4
x 4y 4
x 4y 4

(0,5đ)

1

 4x y
x
=

 =

5
Dấu “=” xảy ra ⇔  y 4x ⇔ 
(t/m)
x + y = 1
y = 4


5

(0,5đ)

1

x=


25

5
⇔
Vậy MinE = ⇔
4
y = 4

5

(0,25đ)

Kết quả thực hiện
Lớp

Giỏi

Số

bài SL

TL

Khá
SL

TL

TB

SL

TL

SL

TL

30%

0

0

2

6,7%

9A

30

6

20%

15 50%

9

9C

30

2

6,7%

6

20 66,6%

20%

Dưới TB

Ghi chú
Áp dụng SKKN
Không áp dụng
SKKN

* Những kinh nghiệm rút ra từ đề tài:
Qua đây tôi nhận thấy để học sinh ham mê môn học và học sinh phát huy
được trí sáng tạo, năng lực nhận thức, tư duy sâu, giải thành thạo về bất đẳng
thức Côsi cho hai số không âm, cho ba số không âm trong việc tìm cực trị thì ta
cần có một vài kinh nghiệm sau:
1- Giáo viên phải nghiên cứu kĩ bài giảng. Phải chuẩn bị các cách giải bằng
các phương pháp khác nhau.
2 - Phải hiểu và làm thành thạo cách phương pháp chứng minh bất đẳng
thức Côsi và vận dụng tốt trong tìm GTLN, GTNN.

GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng

22


Vận dụng bất đẳng thức Côsi để tìm cực trị - Môn đại số 9
3 - Phải truyền thụ đầy đủ và chính xác nội dung kiến thức cơ bản, cho học
sinh được làm thành thạo các bài tập cơ bản về bất đẳng thức Côsi và bài toán
cực trị.
4 - Phải đọc nhiều sách tham khảo và phải chắt lọc kiến thức.
5 - Dạy học sinh các bài tập mở rộng phải theo tính logic để học sinh có thể
chủ động sáng tạo.
6 - Giáo viên phải tích cực học hỏi đồng nghiệp, trau dồi kiến thức, thường
xuyên bồi dưỡng kiến thức thông qua tài liệu tham khảo, qua các đề thi học sinh
giỏi, đề thi tuyển sinh vào THPT, qua mạng Internet.

C. KẾT LUẬN
1. Nhận định chung
Việc dạy học theo chuyên đề và tổng hợp ra các phương pháp giải chung
cho từng chuyên đề giúp học sinh phát huy tính năng động sáng tạo của học sinh
sẽ hình thành thói quen tư duy độc lập, năng lực tự giải quyết vấn đề của học
sinh. Học sinh hiểu bài và say mê học tập, thích tìm tòi, phát hiện những điều
mới lạ.
Tuy nhiên để hình thành thói quen cho học sinh đòi hỏi hoạt động đồng
bộ của các thày cô giáo giảng dạy các bộ môn trong một lớp. Hơn thế nữa
phương pháp dạy học này cần được triển khai trong cả quá trình học tập của các
em từ bậc Tiểu học cho đến Trung học và nhất là Cao đẳng và Đại học.
Trong sáng kiến này, tôi đã cố gắng chọn lọc, sắp xếp đưa ra các phương
pháp đồng thời phân dạng bài tập phù hợp với những phương pháp đó và phù

hợp với đối tượng học sinh. Tôi thấy các em hào hứng say mê hơn trong học
toán. Các em không còn phải hoảng hốt, lúng túng khi gặp phải loại toán này...
Với sự nỗ lực của bản thân tôi trong việc nghiên cứu, tham khảo sách vở,
tài liệu đồng thời được sự giúp đỡ, đóng góp ý kiến bổ ích của các đồng chí
trong tổ khoa học tự nhiên trường THCS Đại Hưng cùng với sự ủng hộ nhiệt
tình của các em học sinh khối 9 trường THCS Đại Hưng tôi đã hoàn thành sáng
kiến kinh nghiệm này.
GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng

23


Vận dụng bất đẳng thức Côsi để tìm cực trị - Môn đại số 9
Trong quá trình thực hiện sáng kiến kinh nghiệm không trách khỏi thiếu
sót mong sự đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp.
2. Những điều kiện áp dụng
Đối với SKKN này giáo viên dạy toán trường THCS đều có thể tham
khảo áp dụng sáng kiến này vào giảng dạy trong bài học đối với chương trình
hiện nay.
SKKN áp dụng được cho các đối tượng học sinh lớp 9, đặc biệt là học
sinh giỏi, đối với các học sinh các lớp khác cũng có thể tham khảo để trang bị
cho mình cách giải toán và đặc biệt có thể vận dụng vào giải một số bài tập hình
học khó.
3. Hướng tiếp tục nghiên cứu
Để giúp học sinh không còn chán nán học tập mà giúp học sinh ham mê
môn học và học sinh phát huy được trí sáng tạo, năng lực nhận thức, tư duy sâu
môn toán tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu thêm các dạng chuyên đề khác và đưa ra
cách giải chung cho các chuyên đề đó ví dụ như: “Phương pháp giải phương
trình quy về phương trình bậc hai”, “Kĩ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức
Côsi”, “Các phương pháp tứ giác nội tiếp” ...

4. Những đề xuất, kiến nghị.
1 - Đối với giáo viên:
Để hệ thống được dạng bài tập và đưa ra phương pháp giải cho mỗi dạng
thì đòi hỏi mỗi giáo viên phải đầu tư thời gian cho nghiên cứu bài dạy, tham
khảo thêm nhiều tài liệu đặc biệt là tài liệu nâng cao, tài liệu phát triển, tài liệu
bồi dưỡng. Cần tham khảo, học hỏi đồng nghiệp để rút ra kinh nghiệm cho bản
thân.
2 - Đối với học sinh:
Cần phải coi trọng môn học, nắm vững lí thuyết và các kiến thức cơ bản,
làm tốt các bài tập cơ bản, đọc tham khảo các tài liệu tìm ra các bài tập áp dụng
rồi cùng giải.
Học hỏi bạn bè, điều chưa hiểu mạnh dạn hỏi giáo viên.
Một số tài liệu tham khảo ngoài sách giáo khoa và sách bài tập như là:
GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng

24


Vận dụng bất đẳng thức Côsi để tìm cực trị - Môn đại số 9
Sách toán cơ bản và nâng cao
NXBGD
Sách bồi dưỡng toán

NXBGD

Sách phát triển toán

NXBGD

Sách nâng cao và các chuyên đề

NXBGD

Sách 23 chuyên đề

NXB trẻ

3 - Đối với nhà trường và phòng giáo dục
Cần phải bổ sung thêm các tài liệu theo các chuyên đề để học sinh và giáo
viên sử dụng đặc biệt trong giai đoạn thay sách giáo khoa này tạo cho thầy cô và
các em có điều kiện hơn để nghiên cứu và học tập.
Cần thường xuyên cho các thầy cô giáo học tập các lớp tập huấn, học tập
các chuyên đề để được cập nhật thường xuyên chủ trương, đường lối, chính sách
mới của Đảng, nhà nước về giáo dục cũng như được cập nhật kịp thời các
phương giáp giảng dạy mới. Cũng là điều kiện để các giáo viên ở các trường
được trao đổi, học tập lẫn nhau.
Trên đây là SKKN của bản thân tôi viết, không sao chép nội dung của
người khác.
Mong các cấp xem xét và giúp đỡ tôi để tôi hoàn thiện mình hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Đại Hưng, ngày 22 tháng 01 năm 2016
NGƯỜI VIẾT

Bùi Thanh Liêm

GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng

25

Vận dụng bất đẳng thức Côsi để tìm cực trị - Môn đại số 9

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Toán cơ bản và nâng cao toán 9

NXBGD

2. Toán bồi dưỡng 9

NXBGD

3. Sách giáo khoa toán 9

NXBGD

4. Sách bài tập toán 9

NXBGD

5. Sách nâng cao và các chuyên đê toán 9

NXBGD

6. Bài tập toán nâng cao 9

NXBGD

7. Tuyển chọn 400 bài toán 9

NXB Đà nẵng

8. 23 chuyên đề bồi dưỡng học sinh

NXB trẻ

9. Thông tin toán học trên mạng internet
10. Thông tin từ các bạn đồng nghiệp
DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT
Từ viết tắt
THCS
THPT
GV
HS
ĐKXĐ
SKKN
GTLN
GTNN
t/m

Nội dung
Trung học cơ sở
Trung học phổ thông
Giáo viên
Học sinh
Điều kiện xác định
Sáng kiến kinh nghiệm
Giá trị lớn nhất
Giá trị nhỏ nhất
Thỏa mãn

GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng

26