Van dung BAT DANG THUC cosi

1. Cho
, x y
là 2 số dương thỏa
1x y+ =
. Tìm GTNN của
2 2
A x y= +

HD:

2 2 2 2
2 2 )( 0x m mx và y m ym m+ ≥ + ≥ >

 Suy ra
( )
2 2 2
2 2 2x y m m x y m+ + ≥ + =

 Suy ra
2 2 2
2 2A x y m m= + ≥ −

 Dấu “=” xảy ra khi
x y m= =
tức là
1
2
x y m= = =

 Vậy GTNN của A là
1

2
khi
1
2
x y= =

2. Cho
, , x y z
là 3 số dương thỏa
1x y z+ + =
. Tìm GTNN của
2 2 2
A x y z= + +

HD:

( )
2 2 2 2 2 2
2 , 2 , 2 0x m mx y m ym z m mz m+ ≥ + ≥ + ≥ >

 Suy ra
( )
2 2 2 2
3 2 2x y z m m x y z m+ + + ≥ + + =

 Suy ra
2 2 2 2
2 3A x y z m m= + + ≥ −

 Dấu “=” xảy ra khi

x y m= =
tức là
1
3
x y z m= = = =

 Vậy GTNN của A là
1
3
khi
1
3
x y z= = =

3. Cho
, x y
là 2 số dương thỏa
1x y+ =
. Tìm GTNN của
2 2
4A x y= +

HD:

( )
2 2 2 2
4 4 2 0, 0x m mx và y n yn m n+ ≥ + ≥ > >

 Suy ra
2 2 2 2

4 4 2x y m n mx ny+ + + ≥ +

 Ta chọn m, n sao cho
( )
4 2 2m n n m= =

 Suy ra
( )
2 2 2 2 2
4 4 4 5A x y m x y m n m m= + ≥ + = −−−

 Dấu “=” xảy ra khi
2 2x m và y n m= = =
, tức là:

5
1 2
2 2
m m
x y m= + = + =

2 4
,
5 5
m n⇒ = =
 Vậy GTNN của A là:
2
8 4 4
4 5 5.
5 25 5

m m− = − =
khi
1 4
,
5 5
x y= =
4. Cho
, ,x y z
là 3 số dương thỏa
1x y z+ + =
. Tìm GTNN của
2 2 2
4A x y z= + +

HD:

( )
2 2 2 2 2 2
4 4 , 2 , 2 0, 0, 0x m mx y n yn z p pz m n p+ ≥ + ≥ + ≥ > > >

 Suy ra
2 2 2 2 2 2
4 4 2 2x y z m n p mx ny pz+ + + + + ≥ + +

 Ta chọn
( )
, , 4 2 2 2m n p sao cho m n p n p m= = = =


( )

2 2 2 2 2 2 2
4 4 4 9Suy ra A x y z m x y z m n p m m= + + ≥ + + − − − = −

 Dấu “=” xảy ra khi
2 2x m và y z m= = =
, tức là:

9
1 4
2 2
m m
x y z m= + + = + =

2 4
,
9 9
m n p⇒ = = =
 Vậy GTNN của A là:
2
8 4 4
4 9 9.
9 81 9
m m− = − =
, khi
1 4
,
9 9
x y z= = =
5. Cho
, ,x y z

là 3 số dương thỏa
1x y z+ + =
. Cho 3 số dương a, b, c.
Tìm GTNN của
2 2 2 2 2 2
A a x b y c z= + +

HD:

2 2 2
a x m 2amx+ ≥
,
2 2 2
b y n 2bny+ ≥
,
2 2 2
c z p 2cpz+ ≥
( )
m 0,n 0,p 0> > >
 Suy ra:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
a x b y c z m n p 2amx 2bny 2cpz+ + + + + ≥ + +
 Ta chọn
, ,m n p
sao cho
am bn cp= =
 Suy ra:
2 2 2 2 2 2
A a x b y c z= + +
( )

2 2 2
2am x y z m n p≥ + + − − −
2 2
2 2 2
1 1 1
2am a m
a b c
 
= − + +
 ÷
 
 Đặt
2 2 2
1 1 1
M
a b c
= + +
2 2
2A am Ma m⇒ ≥ −
Dấu “=” xảy ra khi:
2 2
, ,
1
1
m n p
x y z
m am am
a b c
amM
m n p

a b c
x y z
a b c

= = =


⇒ = + + =


= + + = + +


 Vậy:
2
1 1
,m x
aM a M
= =
;
2
1 1
,n y
bM b M
= =
;
2
1 1
,p z
cM c M

= =
 Vậy GTNN của A là:
2
2 1 1
A M
M M M
= − =
6. Cho
, ,x y z
là 3 số dương thỏa
1x y z+ + =
. Tìm GTNN của
3 3 3
A x y z= + +
.
HD:
 m>0

3 3 3 3 3 3 3 2
3 3x m m m m x m x+ + ≥ =
;
3 3 3 3 3 3 2
3
3 3y m m m m y m y+ + ≥ =

3 3 3 3 3 3 3 2
3 3z m m m m z m z+ + ≥ =
Suy ra
3 3 3 3 2 2
x y z 6m 3m (x ) 3y z m+ + + ≥ + + + =

 Suy ra
2 3
A 3m 6m≥ −
 Dấu “=” xảy ra khi
1
3
x y z m= = = =
 Vậy GTNN của A là:
3
1 1
3
3 9
A
 
= =
 ÷
 
7.
, , 0; 1Cho x y z x y z> + + =
. Cho 3 số dương
, ,a b c
. Tìm GTNN của:

3 3 3 3 3 3
.A a x b y c z= + +

HD:
 m>0, n>0, p>0

3 3 3 3 3 3 3 3 3 2

3 3a x m m m m a x m ax+ + ≥ =
;
3 3 3 3 3 3 3 3 2
3
3 3b y n n n n b y n by+ + ≥ =

3 3 3 3 3 3 3 3 2
3
3 3c z p p p p c z p cz+ + ≥ =
Suy ra
3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2
a x y z 2m 2 2 3m 3 3b c n p ax n by p cz+ + + + + ≥ + +
 Chọn
2 2 2
, , m n p sao cho m a n b p c= =

 Suy ra:
2 3 3 3
A 3m ( ) 2( )a x y z m n p≥ + + − + +
2 3 3 3
A 3m 2( )a m n p⇒ ≥ − + +
 Dấu “=” xảy ra khi:
, ,
m n p
x y z
a b c
= = =

1
m n p

x y z
a b c
⇒ = + + = + +
1
m m a m a
a
b b c c
⇒ = + +
1 1 1
1 m a
a a b b c c
 
⇒ = + +
 ÷
 
 Đặt
1 1 1
M
a a b b c c
= + +
ta được:

1 m aM=
1 1
,m x
M a Ma a
⇒ = =
;
1 1 1 1
, ; ,n y p z

M b Mb b M c Mc c
= = = =
 Vậy GTNN của A là:
3 3 3
1 1 1
A
M a a M b b M c c
= + +
3 2
1 1 1 1 1
A
M M
a a b b c c
 
= + + =
 ÷
 
8. Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là BC=a, CA=b, AB=c. Điểm M ở miền trong
hoặc trên cạnh của tam giác ABC. Gọi
( ) ( ) ( )
, , , , ,x d M BC y d M CA z d M AB= = =
.
Chứng minh
ax by cz+ +
không thay đổi. Tìm GTNN, GTLN của
f x y z= + +
.
HD:
 Diện tích ABC bằng tổng diện tích các tam giác MBC, MCA, MAB suy ra:
ax by cz 2 2 ( )( )( )S p p a p b p c+ + = = − − −

 Đặt
1 1 1 1 1 1
min , , , max , ,t T
a b c a b c
   
= =
 ÷  ÷
   
 Ta có:
1 1 1
f x y z ax by cz
a b c
= + + = + +
( ) 2f tax tby tcz t ax by cz St≥ + + = + + =
Xét dấu “=” xảy ra :
• Nếu
( )
1 2
0
S
t thì chon y z và x M A
a a
= = = = ≡

• Nếu
1
t
b
=
thì chọn

( )
2
0
S
x z và y M B
b
= = = ≡

• Nếu
1
t
c
=
thì chọn
( )
2
0
S
x y và z M C
c
= = = ≡

Giá trị nhỏ nhất của f là 2St
 Tương tự, giá trị lớn nhất của f là 2ST.
9. Cho
0, 0, 0 1x y z và x y z≥ ≥ ≥ + + =
. Tìm GTLN của
( )
1
n n n

A x y z n= + + >

HD:
 Do
0 1 1
n
x và n nên x x≤ ≤ > ≤
. Tương tự với y, z.

1A x y z≤ + + =

 Dấu “=” xảy ra khi x = 1 hoặc y = 1 hoặc z = 1
 A lớn nhất là 1.
10. Cho
0, 0, 0 1x y z và x y z≥ ≥ ≥ + + =
. Cho
0, 0, 0a b c> > >
. Tìm GTLN của:

( )
1
n n n
A ax by cz n= + + >

HD:
 Gọi T là
( )
, ,max a b c

 Do

0 1 1
n
x và n nên ax ax Tx≤ ≤ > ≤ ≤
. Tương tự với
, y z
.

( )
A T x y z T≤ + + =

 Dấu “=” xảy ra khi:
( ) ( ) ( )
, 1, 0 , , 1, 0 , , 1, 0T a x y z T b y x z T c z x y= = = = = = = = = = = =

Tóm tắt kết quả 10 bài BĐT 1-10
Xét GTNN và GTLN của:
q q q
f ax by cz= + +
(q nguyên dương và n>1), trong đó:
, ,x y z
là các số dương thay đổi thỏa:
x y z 1+ + =
và a, b, c là các hằng số dương.

 Với GTNN ta chặn f≥g(a,b,c) bằng cách xét từng phần và áp dụng BĐT
Côsi:
q 1 1
ax (q 1)m
q q
q q q

q ax m qx am
− −
+ − ≥ =
q 1 1
by (q 1)
q
q q q
q
n q by n qy bn
− −
+ − ≥ =
q 1 1
cz (q 1)p
q q q
q q
q cz p qz cp
− −
+ − ≥ =
Ta chọn m, n, p dương sao cho:
1 1 1q q n
am bn cp t
− − −
= = =
Suy ra các giá trị m, n, p là:
1 1 1
1 1 1
, ,
q q q
t t t
m n p

a b c
− − −
     
= = =
 ÷  ÷  ÷
     
Cộng vế các BĐT trên để có:
( 1)( )f qt q m n p≥ − − + +
Dấu đẳng thức xảy ra khi:
1
1
( 1)
1
1
1
q q
q
q
q
t t
ax m x
a
a
−
−
−
 
= = ⇒ =
 ÷
 

;
1
1
( 1)
1
1
1
q q
q
q
q
t t
by n y
b
b
−
−
−
 
= = ⇒ =
 ÷
 
1
1
( 1)
1
1
1
q q
q

q
q
t t
cz p z
c
c
−
−
−
 
= = ⇒ =
 ÷
 
1
( 1)
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1
q q
q q q
x y z t
a b c
−
− − −
 
 ÷
= + + = + +
 ÷
 

1 1 1
1 1 1
1 1 1
q q q
M
a b c
− − −
= + +
;
( 1)
1
q q
t
M
−
 
=
 ÷
 
,
1 1 1
1 1 1
1 1 1
, ,
q q q
x y z
Ma Mb Mc
− − −
= = =
1 1 1

1
1 1 1
1 1 1 1 1
q q
q q q
f
M M
a b c
−
− − −
 
 ÷
= + + =
 ÷
 
 Trường hợp riêng
n 1, f ax by cz= = + +
thì
( , , )f Max a b c≤
và
( , , )f Min a b c≥
Với GTLN ta có:
( , , )f ax by cz Max a b c≤ + + ≤