SKKN vận dụng tính chất đường phân giác trong tam giác để giải toán

www.huongdanvn.com
Sáng kiến kinh nghiệm (2010-2011)
Phòng giáo dục TP Phan Rang TC
TRƯỜNG THCS LÊ HỒNG PHONG

1
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIÊT NAM

Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

Tên đề tài:
VẬN DỤNG TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC
TRONG TAM GIÁC ĐỂ GIẢI TOÁN
Họ tên: Nguyễn Thò Dung
Chức vụ: Giáo viên
I.

HOÀN CẢNH NẢY SINH SÁNG KIẾN:

Thời gian gần đây nền giáo dục của chúng ta yêu cầu mỗi giáo
viên phải đổi mới phương pháp dạy học. Phương pháp dạy học mới này
chú ý đến đối tượng học sinh, coi trọng việc nâng cao khả năng cho học
sinh; nêu tình huống, kích thích hứng thú cho học sinh. Những giáo viên
dạy toán giỏi chính là những giáo viên biết phát huy sự đam mê yêu thích
học toán của học sinh.
Khi giảng dạy Toán, bên cạnh yêu cầu quan trọng là truyền thụ
kiến thức cơ bản cho học sinh, thì người giáo viên phải giúp các em phát
triển khả năng tư duy sáng tạo của mình . Muốn làm được điều đó, bằng
phương pháp đổi mới dạy học người dạy toán phải đưa ra được các tình
huống, khai thác, phát triển, phát huy óc sáng tạo của học sinh.
Năm học 1996-1997, tại Trường THPT Nguyễn Trãi, lần đầu tiên

kể từ khi ra trường tôi được phân công dạy môn Toán lớp 8. Ở thời điểm
đó trường THPT Nguyễn Trãi là một trong những trường tại tỉnh Ninh
Thuận có tỷ lệ học sinh có học lực khá, giỏi rất cao. Khi dạy tiết luyện
tập của bài “Tính chất đường phân giáctrong tam giác”, để kích thích tư
duy cho các em học sinh, ngoài những bài toán trong sách giáo khoa tôi
còn đưa thêm nhiều bài toán khó cho các em luyện giải. Qua tiết dạy tôi
hơi thất vọng khi nhận thấy các em vận dụng tính chất đường phân giác
của tam giác vào giải các bài tập liên quan mà tôi đã đưa ra còn yếu. Tỷ
lệ các em giải được các bài toán khó còn thấp.
Người viết: Nguyễn Thò Dung

Trường THCS Lê Hồng Phong


www.huongdanvn.com
Sáng kiến kinh nghiệm (2010-2011)

2

Trước thực tế đó, tôi đã băn khoăn, trăn trở rất nhiều. Trong đầu tôi
cùng lúc ùa về nhiều câu hỏi: Tại sao khả năng học tập của học sinh tại
trường Nguyễn Trãi được đánh giá là giỏi mà việc giải toán lại chưa
được tốt? Phải chăng các em nắm kiến thức cơ bản chưa vững? Phải
chăng khả năng tư duy, sáng tạo của các em trong giải toán chưa cao? …
Qua suy nghó, phân tích tôi đã nhận ra các em giải toán còn yếu là do khi
thiết kế bài dạy tôi chưa chú trọng đến việc gây hứng thú cho học sinh,
chưa tìm ra phương pháp dạy để “truyền lửa” cho học sinh. Từ đó trong
các tiết dạy sau, tôi đã cố gắng dạy cho các em hiểu thật sâu kiến thức
cơ bản. Về phần luyện tập, để tạo sự hứng thú và giúp các em nâng khả
năng tư duy sáng tạo, khi ra bài cho các em luyện giải, tôi đã xâu chuỗi,

hệ thống các bài tập từ dễ đến khó...
Với phương pháp đó, về sau việc học tập của học sinh đã tốt lên rõ
rệt. Đặc biệt, qua năm học sau, khi dạy xong tiết luyện tập của bài “Tính
chất đường phân giác trong tam giác”, tôi rất vui khi nhận thấy học sinh
đã vận dụng “Tính chất đường phân giác trong tam giác” vào giải các bài
toán liên quan rất tốt .
Xuất phát từ lý luận và thực tiễn trên ta có thể rút ra: Khi dạy các
tiết luyện tập, bài tập nếu ta biết hệ thống, xâu chuỗi các bài tập theo
hướng từ dễ đến khó để hướng dẫn học sinh vận dụng phần lý thuyết
vào giải các dạng toán , sẽ là chìa khoá hữu hiệu cho mọi đối tượng học
sinh trong học tập. “Tính chất đường phân giác trong tam giác” ở chương
trình toán 8 chỉ gồm 2 tiết nhưng nó lại có tầm ảnh hưởng lớn; có thể vận
dụng vào rất nhiều bài toán hay; là sự kết hợp nhuần nhuyễn để có nhiều
lời giải hay, độc đáo. Học sinh có thể vận dụng tính chất đường phân giác
trong tam giác vào việc giải các bài toán khác có liên quan, qua đó phát
triển kó năng, kó xảo trong chứng minh hình học. Đó là lý do tôi chọn đề
tài : “ Vận dụng tính chất đường phân giác trong tam giác để giải
toán” trong Sáng kiến kinh nghiệm của mình.
II.QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN
Qua những năm tháng công tác tại Trường THPT Nguyễn Trãi,
cũng như về sau khi tôi đến dạy học tại Trường THCS Trần Phú và hiện
nay là Trường THCS Lê Hồng Phong, với cách thức giảng dạy như trình
bày ở trên tôi đã thu được rất nhiều thành công. Khi dạy xong các bài
học, với đối tượng là học sinh yếu, kém và trung bình cũng đã hiểu bài và
Người viết: Nguyễn Thò Dung

Trường THCS Lê Hồng Phong


www.huongdanvn.com

Sáng kiến kinh nghiệm (2010-2011)

3

giải được các bài tập cơ bản. Còn các đối tượng là học sinh kha,ù giỏi đã
có được khả năng vận dụng những kiến thức cơ bản để giải các dạng
toán khó.
Tại phạm vi báo cáo sáng kiến kinh nghiệm này, tôi xin nêu lên
một phương án đưa ra các bài tập mang tính xâu chuỗi, hệ thống các bài
tập từ dễ đến khó… nhằm giúp học sinh có thể “Vận dụng tính chất
đường phân giác trong tam giác để giải toán” một cách tốt nhất.
Bài toán 1 (Bài 15/67 SGK)
Tính x trong hình 24 và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất.
A
P
4,5

B

7,2

3,5

D

x

6,2

C

M

8,7

Q

x

N

12,5
a)

b)
Hình 24

Lời giải:
DB AB
·
a) ∆ ABC có AD là đường phân giác của BAC
nên DC = AC
3,5

4,5

hay x = 7, 2

⇒x=

3,5.7, 2
= 5, 6
4,5

QM PM
·
b) ∆PMN có PQ là đường phân giác của MPN
nên QN = PN

hay

12,5 − x 6, 2
=
⇒ 6,2x = 8,7(12,5 – x) ⇔ 6,2x + 8,7x = 8,7 . 12,5
x
8, 7

Người viết: Nguyễn Thò Dung

Trường THCS Lê Hồng Phong


www.huongdanvn.com
Sáng kiến kinh nghiệm (2010-2011)
8, 7.12,5
x = 14,9 ≈ 7,3

4

Nhận xét 1: Đây là một bài toán cơ bản, ta có thể vận dụng ngay tính

chất đường phân giác của tam giác để tính độ dài đoạn thẳng.
Bài toán 2: (Bài 16/67 SGK)
Tam giác ABC có độ dài các cạnh AB = m, AC = n và AD là đường
phân giác. Chứng minh rằng tỉ số diện tích của tam giác ABD và diện
m

tích của tam giác ACD bằng n .
A
m

B

n

H D

C

Lời giải:
Kẻ đường cao AH, ta có:
1
BD. AH
2
1
S ACD = CD. AH
2
1
BD. AH
S ABD 2
BD

=
=
(1)
S ACD 1 CD. AH CD
2
S ABD =

Theo tính chất đường phân giác trong tam giác , ta có:
BD AB m
=
= (2)
CD AC n

Người viết: Nguyễn Thò Dung

Trường THCS Lê Hồng Phong


www.huongdanvn.com
Sáng kiến kinh nghiệm (2010-2011)
S ABD AB m
Từ (1) và (2) suy ra: S = AC = n
ACD

5

Nhận xét 2:
( Từ bài toán trên, GV mở rộng bài toán và khắc sâu kiến thức)
S

BD

-

ABD
Khi điểm D là điểm bất kỳ nằm giữa B và C thì S = CD
ACD

-

ABD
Khi D là trung điểm của BC thì S = 1 , nghóa là S ABD = S ACD
ACD

-

ABD
Khi D là chân đường phân giác của góc A thì S = AC
ACD

S

S

AB

* Qua bài toán trên ta có được một tính chất mới có thể vận dụng để giải
toán sau này.
Sử dụng kết quả của bài toán 2 đã được GV mở rộng để làm tiếp bài toán
sau với lời giải ngắn gọn hơn.

Bài toán 3: (Bài 21/68 SGK)
a) Cho tam giác ABC với đường trung tuyến AM và đường phân giác
AD. Tính diện tích tam giác ADM, biết AB = m, AC = n(n > m) và
diện tích của tam giác ABC là S.
b) Cho n = 7cm, m = 3cm, hỏi diện tích tam giác ADM chiếm bao
nhiêu phần trăm diện tích tam giác ABC?
A

m
B

n
HDM

C

Lời giải:

Người viết: Nguyễn Thò Dung

Trường THCS Lê Hồng Phong


www.huongdanvn.com
Sáng kiến kinh nghiệm (2010-2011)

6
S

BD

AB

m

ABD
a) AD là đường phân giác của ∆ABC nên: S = CD = AC = n
ACD

S

m

ABD
Do đó: S + S = n + m
ACD
ABD

⇒ S ABD =

m
.S
n+m
1

AM là đường trung tuyến của ∆ABC nên: S ABM = 2 .S
Mà: S ADM = S ABM − S ABD
1

n−m

m

Suy ra: S ADM = 2 S − n + m S = 2(n + m) S
7 −3

4

b) Với n = 7cm, m = 3cm thì S ABD = 2(7 + 3) S ABC = 20 S ABC = 20 0 0 S ABC
Bài toán 4: Cho tam giác ABC với I là tâm đường tròn nội tiếp và G là
trọng tâm. Biết rằng AI vuông góc với IG. Chứng minh: AB + AC > 2BC.
A

I

G
D

B

E

M

C

Lời giải:
Nhận xét rằng nếu ∆ABC cân tại A thì AI trùng với AG, vi phạm giả
thiết AI ⊥ IG.
Giả sử AB < AC, AI cắt BC tại D, AG cắt BC tại M.

Người viết: Nguyễn Thò Dung

Trường THCS Lê Hồng Phong


www.huongdanvn.com
Sáng kiến kinh nghiệm (2010-2011)

7

Dựng ME ⊥ AD (E thuộc tia AD).
·
·
Khi đó ·ADC = ·ABC + BAD
.
> ·ACB + DAC

Mà ·ADC + ·ADB = 1800 .
Nên ·ADC > 900
Do đó D nằm giữa I và E ⇒ IE > ID.
Mặt khác từ IG//EM (cùng ⊥ AD), theo đònh lí Talét ta có:
AI AG
=
=2
IE GM
⇒ AI = 2 IE > 2 ID

Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác, ta được:
AB AC AI

=
=
>2
BD DC ID
⇒ AB + AC > 2(BD + DC) = 2 BC (Điều phải chứng minh).

* Ta thấy điều kiện AI ⊥ IG trong giả thiết là để cho AI > 2 ID và tam
giác ABC không cân tại A. Nếu tam giác ABC có thêm điều kiện AB < AC
thì muốn có AI > 2 ID ta chỉ cần cho ràng buộc GI cắt tia MB là đủ.
Nhận xét 3: Cho tam giác ABC với AB < AC. Gọi AD là đường phân
giác trong, AM là đường trung tuyến của tam giác đó thì M nằm giữa C
và D. (Hình vẽ bài toán 4)
BM

AB

BD

BC

BC

Thật vậy ta có: CM = 1 > AC = CD ⇒ CM > CD ⇒ CD > CM
Suy ra M nằm giữa C và D.
Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC thì:
AI AB AC AB + AC AB + AC
=
=
=
=

ID BD CD BD + CD
BC
Người viết: Nguyễn Thò Dung

(1)
Trường THCS Lê Hồng Phong


www.huongdanvn.com
Sáng kiến kinh nghiệm (2010-2011)

8

Bài toán 5: Cho tam giác ABC (AB < AC). Gọi G, I lần lượt là trọng
tâm, tâm đường tròn nội tiếp tam giác và GI cắt tia MB tại N. Chứng
minh rằng: AB + AC > 2 BC.
A

G

I

B

N

K

D

C

M

Lời giải: Gọi D, M lần lượt là giao điểm của AI và AG với BC. Kẻ
IK//DM (K ∈ AM). Khi đó theo nhận xét 2 và chứng minh tương tự bài
AI

AK

AG

toán 4, ta có K nằm giữa G và M. Do đó ID = KM > GM = 2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra AB + AC > 2 BC (điều phải chứng minh).
*Từ bài toán 5 đặt ra cho chúng ta câu hỏi: Khi nào AB + AC < 2 BC ?
Giải xong bài toán 6 chúng ta sẽ trả lời được câu hỏi đó.
Bài toán 6: Cho tam giác ABC (AB < AC). Gọi G, I lần lượt là trọng
tâm, tâm đường tròn nội tiếp tam giác và GI cắt tia DC tại N. Chứng minh
rằng: AB + AC < 2 BC.
A

I

G

K
B

Người viết: Nguyễn Thò Dung

D

M

C

N

Trường THCS Lê Hồng Phong


www.huongdanvn.com
Sáng kiến kinh nghiệm (2010-2011)

9

Lời giải: Gọi D, M là các giao điểm tương ứng của AI và AG với BC.
Kẻ GK//DM (K ∈ AD) thì K nằm giữa I và D (Theo nhận xét 2 và chứng
minh tương tự bài toán 4 ). Do đó:

AI AK AG
<
=
=2
ID KD GM

(3)

Từ (1) và (3) ta suy ra: AB + AC < 2 BC.
* Xét bài toán 7, ta sẽ trả lời được câu hỏi: Khi nào AB + AC = 2 BC ?

Bài toán 7: Cho tam giác ABC (AB < AC). Gọi I, G lần lượt là tâm
đường tròn nội tiếp, trọng tâm của tam giác đó. Chứng minh rằng:
IG // BC ⇔ AB + AC = 2 BC.

A

I

B

G

D M

C

Lời giải:
Gọi giao điểm của AI và AG với BC lần lượt là D và M.
Ta có: IG // BC ⇔

AI AG
=
=2
ID GM

Theo (1) điều này xảy ra khi và chỉ khi AB + AC = 2 BC.

Người viết: Nguyễn Thò Dung

Trường THCS Lê Hồng Phong

www.huongdanvn.com
Sáng kiến kinh nghiệm (2010-2011)

10

III. ĐÁNH GIÁ HIỆU QUẢ:
Qua quá trình giảng dạy học sinh học Toán, với phương pháp dạy “ Xâu
chuỗi, hệ thống các bài tập theo hướng từ dễ đến khó để hướng dẫn học
sinh vận dụng phần lý thuyết vào giải các dạng toán” như tôi đã trình
bày tại chuyên đề “Vận dụng tính chất đường phân giác trong tam
giác để giải toán” nêu trên, đã giúp học sinh dễ hiểu và nhớ bài lâu hơn,
phát triển tốt hơn tư duy giải toán. Cách làm này, không những đã làm
cho học sinh có kỹ năng giải tốt các bài toán thông thường trong sách giáo
khoa, mà còn giúp các em học sinh giải được các bài toán nâng cao có
liên quan đến tính chất đường phân giác trong tam giác. Đặc biệt, khi áp
dụng phương pháp này vào giảng dạy ở các chuyên đề khác ( cả Hình học
lẫn Đại số ) cũng mang lại kết quả rất tốt. Nhờ vậy, kết quả học tập môn
Toán của học sinh mà tôi giảng dạy qua hàng năm thu được rất khả quan.
Học sinh đã hứng thú hơn khi học Toán. Điểm kiểm tra một tiết môn hình
học, hàng năm ở các lớp mà tôi đã giảng dạy đạt được khá cao.
Lấy kết quả bài kiểm tra một tiết môn Hình học từ năm học 2001-2002
đến năm học 2004-2005 ở một số lớp mà tôi đã giảng dạy tại trường
THPT Nguyễn Trãi để làm ví dụ minh chứng:

Bảng thống kê điểm kiểm tra một tiết môn Hình học của học
sinh (từ năm học 2000-2001 đến năm học 2003-2004 tại các
lớp 81 , 82, 81, 83 của trường THPT Nguyễn Trãi )

Tỷ lệ HS đạt
9,0 → 10,0
Tỷ lệ HS đạt
7,0 → 8,8
Tỷ lệ HS đạt
5,0 → 6,8
Tỷ lệ HS đạt
0,0 → 4,8

Năm học
2000-2001

Năm học 20012002

Năm học 20022003

Năm học 20032004

12%

30%

35%

48%

44%

40%

40%

45%

40%

28%

23%

7%

4%

2%

0%

0%

Người viết: Nguyễn Thò Dung

Trường THCS Lê Hồng Phong


www.huongdanvn.com
Sáng kiến kinh nghiệm (2010-2011)

11

IV. KẾT LUẬN:
Trong tiếp thu kiến thức Toán, điều đầu tiên là học sinh phải hiểu và
nắm thật vững phần lý thuyết. Bên cạnh đó giáo viên nên xâu chuỗi , hệ
thống các bài tập theo hướng từ dễ đến khó; tìm cách cuốn hút học sinh
vào những hoạt động do giáo viên tổ chức và chỉ đạo, thông qua đó học
sinh tự khám phá những điều mình chưa biết chứ không phải tiếp thu thụ
động những tri thức đã sắp đặt sẵn. Làm được điều này, không những
giúp học sinh “Vận dụng tính chất đường phân giác trong tam giác để
giải toán” tốt, mà còn giúp các em học tốt các chuyên đề Toán khác. Từ
đó, học sinh khá giỏi có thể tự giải được các bài toán khó dễ dàng, còn
các học sinh trung bình và yếu cũng có thể giải thành công nhiều dạng
toán khác nhau từ dễ đến khó, nhờ vậy tỷ lệ học sinh khá giỏi trong học
Toán không ngừng được nâng cao, đáp ứng được yêu cầu của nền giáo
dục hiện nay : Đổi mới phương pháp dạy học theo hướng tích cực với nội
dung chủ yếu là phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh.
Với sáng kiến kinh nghiệm nhỏ bé này, bản thân hy vọng được chia
sẻ với tất cả đồng nghiệp gần xa trong công tác giảng dạy môn Toán nói
chung và chuyên đề “ Vận dụng tính chất đường phân giác trong tam giác
để giải toán” nói riêng.
Bên cạnh đó, bản thân xin có một số kiến nghò như sau:
- Các ban ngành chức năng hữu quan nên tổ chức các diễn đàn để
các giáo viên có thể trao đổi , bàn bạc tìm ra các phương pháp giảng dạy
toán cho học sinh một cách tốt nhất.
-Khi dạy các chủ đề tự chọn môn toán, chúng ta nên thiết kế các
bài tập xâu chuỗi , hệ thống các bài toán từ dễ đến khó để học sinh hiểu
sâu, nhớ lâu từng dạng toán và có thể nâng cao tư duy trong giải toán cho
các em.
- Để đạt kết quả cao, ngoài phương pháp dạy tốt thì giáo viên phải
thường xuyên nghiên cứu thêm tài liệu và có đầy đủ phương tiện dạy học.
Hiện nay đồ dùng dạy học môn hình học và sách tham khảo thiếu nhiều.

Người viết: Nguyễn Thò Dung

Trường THCS Lê Hồng Phong


www.huongdanvn.com
Sáng kiến kinh nghiệm (2010-2011)

12

Kính mong cấp trên trang bò thêm để giáo viên có đủ phương tiện dạy
học.
Do trình độ và khả năng bản thân còn nhiều hạn chế, nên sáng
kiến kinh nghiệm này chắc chắn còn nhiều thiếu sót, rất mong nhận được
sự góp ý, chỉ giáo của quý cấp và các đồng nghiệp gần xa.
Xin chân thành cảm ơn!

TP Phan Rang TC, ngày 06 tháng 4 năm 2011
NHẬN XÉT CỦA HĐKH

NGƯỜI VIẾT

Nguyễn Thò Dung

Người viết: Nguyễn Thò Dung

Trường THCS Lê Hồng Phong