toanmath com áp dụng kỹ thuật hệ số bất định giải bất đẳng thức vũ hoàng vs bá cẩn

K THU T H S

B T

NH GI I B T
UCT

NG TH C

WWW.TOANMATH.COM
 Nguy n Thúc V Hoàng
H c sinh chuyên Tốn-Tin-THPT Chun Lê Q ơn-Niên kh́a 2006-2008
Th x̃ ơng Hà-T nh Qu ng Tr
 Võ Qu c Bá C n
Sinh viên K32 Khoa D c- i h c Y D c C n Th -Niên Kh́a 2006-2011
Thành Ph C n Th

Có bao nhiêu đi u bí n mà b n ch a bi t đ n ?! Câu tr l i là r t r t nhi u và đôi khi b n
c m th y b c b i, khó ch u khi khơng th tìm ra m t l i gi i thích th a đáng cho bí n
nào đó. Nh ng b n hãy quan ni m r ng đ ng sau b t kì m t đi u gì ln hàm ch a m t ý
ngh a nh t đ nh. Và c ng không ph i ng u nhiên mà s lí gi i l i đ c hình thành. Trong
th gi i b t đ ng th c c ng v y. ôi khi b n không th hi u đ c t i sao ng i ta l i có
th tìm ra m t l i gi i trơng có v “kì c c” nh th !!! Ph i ch ng là l n mị và may r i
l m m i tìm ra đ c ?
Câu tr l i l i m t l n n a đ c nh c l i: m i l i gi i đ u có s gi i thích c a riêng b n
thân nó. Vi c tìm ra l i gi i đó ph i đi qua m t quá trình l p lu n, th , sai và đ́ng. Trong
chuyên đ nho nh này ch́ng tôi mu n gi i thi u đ n các b n m t k thu t c b n nh ng
không ḱm ph n hi u qu trong vi c ch ng minh m t s d ng c a b t đ ng th c. Nó
khơng giúp ta gi i quy t t t c các bài tốn mà ch gíp ta tìm ra nh ng l i gi i ng n g n
và n t ng trong m t l p bài tốn nào đó. M t s bài toán tuy d đ i v i ph ng pháp
này nh ng l i là khó đ i v i k thu t kia. ây c ng là đi u hi n nhiên và d hi u.

M cl c











Ph
Ph
Ph
Ph
Ph
Ph
Ph
Ph
Ph
Ph

n
n
n
n
n
n

n
n
n
n

1. Bài toán m đ u.
2. Kh i đ u cùng m t s bài toán c b n.
3. K thu t chu n hóa và U.C.T
4. U.C.T và k thu t phân tách các tr ng h p
5. K t h p b t đ ng th c Vornicu Schur v i U.C.T
6. M t d ng bi u di n th́ v
7. Gi i quy t m t s bài toán mà đi u ki n liên quan m t thi t đ n nhau
8. U.C.T m r ng
9. L i k t
10. Bài t p áp d ng

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

pg. 1


Ph n 1. Bài toán m đ u
Bài toán. [Nguy n Th́c V Hoàng]
Cho a , b, c là các s th c d ng th a mãn a  b  c  3 . Ch ng minh r ng
1 1 1 2(a 2  b 2  c 2 )
  
5
a 2 b2 c2
3
Ch ng minh. Ta s d ng b t đ ng th c sau đây

1 2a 2 7 2a

 
a2
3
3 3
Th t v y b t đ ng th c trên t ng đ ng v i
(a  1) 2 (2a 2  6a  3)
0
3a 2
Hi n nhiên đ́ng v i a là s th c d ng.
S d ng các b t đ ng th c t ng t v i b và c. Ta có đi u ph i ch ng minh.
ng th c x y ra khi a  b  c  1.

Ch c ch n ngay khi đ c l i gi i cho bài toán “ đ n gi n” này b n có ph n ĺng t́ng và
khơng hi u t i sao l i có th tìm ra b t đ ng th c ph m t cách “khó hi u” nh v y. Ph i
ch ng là d đốn m t cách “vơ h ng”. Ho c c ng có ng i s ngh bài tốn trên đ c
t o ra t chính b t đ ng th c ph đó. Câu tr l i là hồn tồn khơng ph i. T t c đ u đi
theo 1 qui lu t c a nó.
các ph n ti p theo ch́ng tơi s phân tích v m t k thu t phân
tích gíp tìm ra các b t đ ng th c ph và m r ng v n đ này theo chi u h ng khá m i
m . K thu t này có tên là U.C.T, là vi t t t c a 3 ch cái đ u c a c m t ti ng Anh
Undefined Coefficient Technique. Hay còn g i là K Thu t H s b t đ nh. ây là m t k
thu t c b n và là n n t ng quan tr ng trên con đ ng tìm ki m l i gi i cho nh ng b t
đ ng th c khó.
Ph n 2. Kh i đ u c̀ng m t s bài toán c b n
Ch́ng ta s kh i đ u k thu t này b ng vi c đ a ra cách gi i thích cho vi c tìm ra b t
đ ng th c ph trên và nó c ng chính là cách gi i thích cho các bài tốn sau này c a
ch́ng ta.
Bài toán trên các bi n trong c 2 v và đi u ki n đ u không ràng bu c nhau đi u này

khi n ta ngh ngay s tách theo t ng bi n đ ch ng minh đ c đ n gi n h n n u có th .
Nh ng r̃ ràng ta ch t ng đó thơi là khơng đ . N u ta ch ng minh b t đ ng th c sau
1 2a 2 5
(a  1)( a  1)( 2a 2  3)



0
3
3
3a 2
a2
Rõ ràng khơng hồn tồn đ́ng v i a th c d ng.
ng b cu c t i đây b i vì cách trên ta ch a s d ng đi u ki n a  b  c  3 .
Nh v y ta s không đi theo đ ng l i suy ngh đ n gi n ban đ u n a mà s đi tìm h s
đ b t đ ng th c sau là đ́ng
1 2a 2 5

  ma  n
(1)
3
3
a2
Trong đó m và n là các h s ch a xác đ nh.
T ng t v i bi n b và c. C ng v theo v ta có

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

pg. 2

1
1
1 2a 2  2b 2  2c 2 5
5



  m(a  b  c)  3n   3(m  n)
2
2
2
3
3
3
a
b
c
Nh v y đây 2 h s m và n ph i th a mãn đi u ki n m  n  0  n  m . Th vào (1)
d nđ n
1 2a 2 5

  m(a  1) (2)
3
3
a2
n đây ta ch c n xác đ nh h s duy nh t là m đ b t đ ng th c (2) là đ́ng.
Ch́ ý bài toán này đi m c c tr đ t đ c t i a  b  c  1 nên ta c n xác đ nh m sao
cho


 (a  1)(2a 2  3)
1 2a 2 5

(
1
)
(
1
)






 m  0
m
a
a
2
2
3
3
3a
a


(a  1)( 2a 2  3)
2
2

  t đó ta d đốn r ng m   đ t o
2
3
3
3a
2
thành đ i l ng bình ph ng (a  1) trong bi u th c. T đó ta s ch ng minh b t đ ng
th c ph
1 2a 2 7 2a

 
a2
3
3 3

Khi cho a  1 thì ta có

Q trình đi tìm b t đ ng th c ph đã đ c phân tích c th
trên. Tuy nhiên đó khơng
ph i là cách duy nh t đ ta tìm ra h s . Ta c ng có th s d ng tính ch t c a đ ng ti p
tuy n t i m t đi m c a đ th hay s d ng đ o hàm. Nh ng có l cách d đốn trên là
h u hi u và đ n gi n v m t tr c quan c ng nh th c hi n. Tuy nhiên t t c c ng ch là
s d đốn. Nó khơng đ m b o r ng sau khi tìm ra b t đ ng th c ph r i thì bài tốn s
đ c gi i quy t. M t s d ng toán nh v y s đ c đ c p trong các ph n ti p theo c a
chuyên đ này.
ph n 1 này ch́ng ta s ch ng minh m t s b t đ ng th c c b n đ
hình thành trong đ u k thu t qua đó thành th c trong vi c phân tích. Ta ti p t c đ n v i
bài toán sau
Bài toán 1. [Vasile Cirtoaje]
Cho a , b, c, d là các s th c d ng th a mãn a  b  c  d  4 . Ch ng minh r ng

1
1
1
1
 2
 2
 2
2
2
a 1 b 1 c 1 d 1
Ch ng minh. Ta s xác đ nh h s m đ b t đ ng th c sau là đ́ng
2
(a  1)(a  1)
 a 1

 1  m(a  1)  
 m(a  1)  (a  1)  2
 m  0
2
2
a 1
a 1
 a 1

a 1
 1  m  1 . Ta d đoán b t đ ng th c sau đ́ng và th t
Khi a  1 ta s có  2
a 1
vy
2

a (a  1) 2
2
0



a
a 2 1
a 2 1
T ng t v i các bi n còn l i. C ng v theo v ta có đi u ph i ch ng minh.
ng th c x y ra khi và ch khi a  b  c  d  1 .
Nh n x́t.
Ta có th s d ng k thu t “Cơsi ng c d u” đ tìm ra b t đ ng th c ph trên

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

pg. 3


a2
a2
a
1




 1
1
1

2
2
2a
2
a 1
a 1

Bài toán 2. [Algebraic Inequalities Old and New Method]
Cho a , b, c là các s th c d ng th a mãn a  b  c  3 . Ch ng minh r ng
1
1
1
 2
 2
1
2
a bc b ca c a b
Ch ng minh. đây ta c n tìm m đ b t đ ng th c d i là đ́ng
1
1
1
a (a  1)
 2
  m(a  1)  
 m(a  1)
2
a bc a a 3 3
3(a 2  a  3)
1
T ng t nh trên ta tìm d đốn r ng v i m   thì b t đ ng th c ph đ́ng. Th t v y

9
2
(a  1) 2 (b  c)
(a  1) (3  a )
1
4 a






0
0
a2 a 3 9 9
3(a 2  a  3)
3(a 2  a  3)
Nh n x́t. Bài tốn trên có th gi i b ng k thu t “Phân tách Chebyshev” nh ng xem ra
cách gi i b ng U.C.T l i đ n gi n h n v m t ý t ng.
Bài toán t ng quát đã đ c gi i quy t b ng đ nh lí LCF trong “Algebraic Inequalities Old and New method” c a tác gi Vasile Cirtoaje
Cho a1 , a 2 ,..., a n là các s th c không âm th a mãn a1  a 2  ...  a n  n . Ch ng minh
r ng
1
1
1
 2
 ... 2
1
2
a1  a1  n a 2  a 2  n

an  an  n
Bài toán 3. [Nguy n Th́c V Hoàng]
Cho a , b, c, d là các s th c không âm th a a 2  b 2  c 2  d 2  4 . Ch ng minh r ng
3
2(a 3  b 3  c 3  d 3 )  2 
2  ab  ac  ad  bc  bd  dc
2
Ch ng minh. Theo bài ra a , b, c, d là các s th c d ng th a mãn
a 2  b2  c2  d 2  4
 (a  b  c  d ) 2  2(2  ab  ac  ad  bc  bd  cd )
 (a  b  c  d )  2(2  ab  ac  ad  bc  bd  cd )

B t đ ng th c c n ch ng minh t

ng đ

ng v i

3
2(a 3  b 3  c 3  d 3 )  2  (a  b  c  d )
2
Ta c n xác đ nh h s m đ b t đ ng th c sau đ́ng
3a  1
(2a  1) 2 (a  1)
 m(a  1) 
 m(a  1)
2a 3 
2
2
9

D dàng d đoán m  . Ta s ch ng minh đi u đó, th t v y
2
3a  1 9(a  1)
2a 3 

 2(a  1) 2 (a  2)  0
2
2
i u này hi n nhiên đ́ng.
ng th c x y ra khi và ch khi a  b  c  d  1.

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

pg. 4


Nh n x́t. Bài tốn này v i hình th c khá “c ng k nh” vì ch a c n th c. Tuy nhiên n u
nh n ra đi m m u ch t c a bài toán ta d dàng đ a v đ n l ng theo bi n đ gi i quy t.
Bài tốn trên cịn có th gi i quy t theo cách khác b ng cách ch ng minh tr c ti p v i 4
bi n. Nh ng dù sao vi c gi i quy t theo t ng bi n riêng bi t v n d dàng h n r t nhi u.
Bài toán 4.
Cho a , b, c là các s th c d

ng th a mãn a 3  b 3  c 3  3 . Ch ng minh r ng
 1 1 1
4     5(a 2  b 2  c 2 )  27
a b c

Ch ng minh.
Ta c n tìm h s m sao cho

4
(a  1)(5a 2  5a  4)
 5a 2  9  m(a 3  1) 
 m(a  1)(a 2  a  1)
a
a
Ta d dàng nh n ra đ ng th c x y ra khi và ch khi a  b  c  1.
Khi cho a  1 thì ta có th d đốn r ng m  2 . Ta s ch ng minh r ng v i m  2 thì b t
đ ng th c ph trên là đ́ng. Th t v y
4
(a  1) 2 (2a 2  a  4)
 5a 2  7  2a 3 
0
a
a
Do a  3 3  2a 2  a  4  0 . V y b t đ ng th c ph trên là đ́ng.
ng th c x y ra khi và ch khi a  b  c  1.
Bài toán 5.
Cho a1 , a 2 ,..., a n là các s th c không âm th a mãn

n

a
i 1

n

 3a
i 1

i

 n . Ch ng minh r ng

ai
n

2
8
i 5

Ch ng minh. Ta s tìm h s m sao cho
ai
(5  3a i )(a i  1)
1
  m(a i  1) 
 m(a i  1)
2
3a i  5 8
8(3a i2  5)
1
Ta d đoán r ng v i m 
thì b t đ ng th c ph trên là đ́ng. Th t v y:
32
ai
(5  a i )(a i  1) 2
1 (a i  1)
 
0
32

32(3a i2  5)
3a i2  5 8
i u này hi n nhiên đ́ng.
ng th c x y ra khi và ch khi các bi n b ng nhau và b ng 1 .
Nh n x́t. Qua các bài toán trên ta có th th y r ng b t đ ng th c không h quan tâm đ n
s bi n. Ta hồn tồn có th t ng qt v i n bi n mà không làm nh h ng đ n cách gi i.
ây là m t đi m th́ v c a U.C.T.
M t cách t ng quát ta đ a ra cách gi i quy t cho l p bài tốn có d ng sau
Bài tốn t ng quát
Cho các s th c không âm a1 , a 2 ,..., a n th a mãn
h(a1 )  h(a 2 )  ...  h(a n )  0
Ch ng minh r ng
f (a1 )  f (a 2 )  ...  f (a n )  0

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

pg. 5


L p bài tốn này có th đ c gi i quy t b ng cách phân tách đ ch ng minh theo t ng
bi n. Vì các bi u th c mang tính đ i x ng v i nhau nên th ng thì đi m c c tr đ t đ c
t i các bi n b ng nhau. Ta s ph i xác đ nh h s m sao cho
f (a i )  m  h(a i )
́ng v i m i bi n th a mãn đi u ki n đ t ra. V i cách gi i này ta s gi i quy t đ c m t
l ng l n các b t đ ng th c mà các bi n không ràng bu c l n nhau m t cách “m t thi t”.
Th ng là m t s d ng đi u ki n nh

n

a

i 1

k
i

 n . Có th khái quát t t

ng c a k thu t

này trong l p bài toán trên nh sau:
ch ng minh bài toán ta s xác đ nh h s trong
các b t đ ng th c ph theo t ng bi n riêng bi t sao cho
f ( a i )  m  h( a i )  g ( a i ) 2 k p ( a i )  0

Trong đó g (a i )  (a i  xk ) v i xk là đi m c c tr c a b t đ ng th c.
Bài toán s đ c gi i quy t n u p(ai )  0 . Trong tr ng h p p(ai )  0 ch đ́ng trong m t
mi n nghi m nào đó thì ta s ti n hành chia tr ng h p đ gi i quy t bài tốn. Tuy nhiên
trong ph n 1 này ta s khơng đ c p đ n nh ng bài toán nh v y mà s đ c p ph n
sau.
Sau khi đã tìm ra b t đ ng th c ph . V i nhi u công c nh đ o hàm, kh o sát hàm s
hay đ n gi n ch là phân tích nhân t ta đ u có th gi i quy t khơng q khó kh n.
Trong phép ch ng minh cho các b t đ ng th c ph
trên ta bi n đ i và qui v vi c phân
n
n 1
2
tích nhân t c a đa th c a n x  a n1 x  ...a 2 x  a1 x  a 0
Mà m c đích ch đ o là qui v d ng t ng các bình ph ng. Vi c nhân tích đa th c thành
nhân t là m t v n đ
i s c b n nên xin không nêu ra đây.

Qua m t vài ví d nho nh h n ph n nào các b n đã hi u đ c U.C.T. các ph n ti p
theo vi c xác đ nh h s s đ c trình bày m t cách s l c b i vì nh ng bài tốn đó
mang tính ph c t p nhi u h n mà U.C.T ch đ n thu n là b c đ m đ đi đ n l i gi i ch
không th đ a ta cách ch ng minh tr c ti p .
Ph n 3. K thu t chu n h́a và U.C.T
Bây gi ch́ng ta s b c sang m t kho ng không gian m i v i l p b t đ ng th c thu n
nh t đ i x ng ba bi n và k thu t chu n hóa k t h p v i U.C.T.
a th c f (a , b, c) đ i x ng đ nh ngh a d i d ng: f (a , b, c)  f / (a / , b / , c / ) trong đó

(a / , b / , c / ) là m t hoán v tùy ý c a (a , b, c) . Hay nói cách khác là
f (a , b, c)  f (b, c, a )  f (c, a , b)
Tính thu n nh t c a m t đa th c đ i x ng ba bi n trên mi n D có ngh a là
f (ka , kb, kc)  k n f (a , b, c) v i m i k, a , b, c  D, n  const ch ph thu c vào hàm
f (a , b, c) . Hi u m t cách đ n gi n đa th c thu n nh t n u nó là t ng c a các đ n th c
đ ng b c. Do m t s tính ch t c a hàm thu n nh t ta có th chu n hóa đi u ki n c a bi n
đ đ n gi n hóa vi c ch ng minh. Ta có th chu n hóa m t đa th c thu n nh t đ i x ng
ba bi n b ng cách đ t a n  b n  c n  k, abc  p, ab  bc  ca  r ,... ây là k thu t r t
quan tr ng gíp ta đ n gi n hóa và qui b t đ ng th c v ch ng minh theo t ng bi n. Hãy
cùng đ n v i m t s b t đ ng th c thu n nh t đ i x ng ba bi n đ th y công d ng c a
U.C.T

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

pg. 6


Bài toán 6. [B t đ ng th c Nesbit]
Cho a , b, c là các s th c không âm. Ch ng minh r ng
a
b

c
3



bc ca a b 2
Ch ng minh. Khơng m t tính t ng qt chu n hóa a  b  c  3 .
Bài toán qui v vi c ch ng minh
a
b
c
3



3 a 3b 3c 2
Ta c n ch ng minh b t đ ng th c
a
1
3(a  1)
  m(a  1) 
 m(a  1)
3 a 2
2(3  a )
3
D dàng d đoán m  . Ta ch ng minh b t đ ng th c v i m nh v y thì ln đ́ng
4
3a  1
3(a  1) 2
a



0
3 a
4
4(3  a )
i u này hi n nhiên đ́ng.
S d ng t ng t v i các bi n còn l i. C ng v theo v ta có đi u ph i ch ng minh.
ng th c x y ra khi a  b  c.
Nh n x́t. b t đ ng th c Nesbit là m t b t đ ng th c đ i s c b n và có nhi u ph́p
ch ng minh. L i gi i trên là m t l i gi i đ p và ng n g n cho b t đ ng th c này.
Bài toán 7. [Ṽ Qu c Bá C n]
Cho a , b, c là các s th c không âm. Ch ng minh r ng

(b  c  a ) 2
( a  c  b) 2
(a  b  c) 2
3(a 2  b 2  c 2 )



2a 2  (b  c) 2 2b 2  (a  c) 2 2c 2  (b  a ) 2
(a  b  c) 2
Ch ng minh. Chu n hóa a  b  c  3 . Khi đó b t đ ng th c c n ch ng minh t ng
đ ng v i
2(3  2a ) 2
2(3  2b) 2 2(3  2c) 2
 a 2  b2  c2
 2


2
2
a  2a  3 b  2b  3 c  2c  3
Ta c n xác đ nh h s m đ b t đ ng th c sau là đ́ng
2(3  2a ) 2
 a 2  m(a  1)
a 2  2a  3
Ta l i có
2(3  2a ) 2
(a  1)(a  3)( a 2  4a  6)
2
a  
a 2  2a  3
a 2  2a  3
T đây d dàng d đoán v i m  6 thì b t đ ng th c ph trên là đ́ng. Th t v y
2(3  2a ) 2
(a  1) 2 (6  a ) a
2




0
a
a
6(
1)
a 2  2a  3
a 2  2a  3
i u này hi n nhiên đ́ng do a  (0,3).

T ng t v i các bi n còn l i.
ng th c x y ra khi và ch khi a  b  c.
Bài toán 8. [ thi Olympic 30-4, kh i 11, l n XII – 2006]
Cho a , b, c là các s th c d ng. Ch ng minh r ng
a (b  c)
b (c  a )
c ( a  b)
6



2
2
2
2
2
2
5
(b  c)  a
(c  a )  b
( a  b)  c

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

pg. 7


Ch ng minh. Khơng m t tính t ng qt, chu n hóa a  b  c  3 . Ta có b t đ ng th c c n
ch ng minh t ng đ ng v i
6

a (3  a )
b(3  b)
c(3  c)



2
2
2
5
9  6a  2a
9  6b  2b
9  6c  2c
T ng t nh trên ta d dàng tìm ra b t đ ng th c ph sau:
21  9a
(a  1) 2 (18a  9)
a (3  a )
0



9  6a  2a 2
25
25(9  6a  2a 2 )
i u này hi n nhiên đ́ng.
ng th c x y ra khi và ch khi a  b  c.
Nh n x́t. Có th th y r ng hai l i gi i cho các bài toán m đ u ph n 2 r t đ n gi n và
ng n g n. ây c ng có th xem là m t k thu t chính th ng. Gíp ta gi i quy t m t s
bài toán “cùng lo i” và đã r t quen thu c sau
Bài toán 9. [Darij Grinberg, Old and New Inequalities]

Cho a , b, c là các s th c d ng. Ch ng minh r ng
a
b
c
9



2
2
2
(b  c) (c  a ) (a  b)
4(a  b  c)
Ch ng minh. Không m t tính t ng quát, gi s a  b  c  3 . Bài toán c n ch ng minh
qui v d ng sau
a
b
c
3



2
2
2
(3  a ) (3  b) (3  c)
4
D dàng d đoán b t đ ng th c ph sau
2a  1
(a  1) 2 (9  2a )

a


0
(3  a ) 2
4
4(3  a ) 2
i u này hi n nhiên đ́ng do a [0,3).
S d ng b t đ ng th c này cho b, c r i c ng l i, ta có đpcm.
Bài tốn 10. [Ph m V n Thu n, Mathlinks forum]
Cho a , b, c là các s th c d ng. Ch ng minh r ng

(b  c  3a ) 2
(a  c  3b) 2
(a  b  3c) 2 1



2a 2  (b  c) 2 2b 2  (a  c) 2 2c 2  (b  a ) 2 2
Ch ng minh. Không m t tính t ng qt, chu n hóa a  b  c  3 . Ta có b t đ ng th c c n
ch ng minh t ng đ ng v i
(3  4a ) 2
(3  4b) 2
(3  4c) 2
1



2
2

2
2
2
2
2a  (3  a ) 2b  (3  b) 2c  (3  c)
2
S d ng b t đ ng th c ph sau
(3  4a ) 2
8a  7
( a  1) 2 (39  8a )


0
2a 2  (3  a ) 2
6
6(a 2  2a  3)
i u này hi n nhiên đ́ng vì 0  a  3  39  8a  39  24  15  0 .
T ng t v i các bi n còn l i ta có đi u ph i ch ng minh.
ng th c x y ra khi và ch khi a  b  c.
Bài toán 11: [USAMO 2003]
Cho a , b, c là các s th c d ng. Ch ng minh r ng

(b  c  2a ) 2
(a  c  2b) 2
( a  b  2c ) 2


8
2a 2  (b  c) 2 2b 2  (a  c) 2 2c 2  (b  a ) 2

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

pg. 8


Ch ng minh. Khơng m t tính t ng qt, chu n hóa a  b  c  1. Khi đó ta có b t đ ng
th c c n ch ng minh t ng đ ng v i
(a  1) 2
(b  1) 2
(c  1) 2


8
2a 2  (1  a ) 2 2b 2  (1  b) 2 2c 2  (1  c) 2
S d ng b t đ ng th c ph sau
(a  1) 2
12a  4
(3a  1) 2 (4a  1)
0



2a 2  (1  a ) 2
3
2a 2  (1  a ) 2
i u này hi n nhiên đ́ng.
ng th c x y ra khi và ch khi a  b  c.
Ph n 4. U.C.T và k thu t phân tách các tr

ng h p

các ph n trên ta đã làm quen v i m t s bài toán khi đ a v d ng
f (ai )  m h(ai )  g (ai )2k p(ai )  0
Thì có ngay đi u ph i ch ng minh. Tuy nhiên khơng ph i bao gi nó c ng xu t hi n
p(ai )  0 . Trong tr ng h p p(ai )  0 ch đ́ng v i m t mi n nghi m nào đó thì vi c
ch ng minh s ph i đi qua m t chi u h ng khác, đó là x́t thêm tr ng h p bi n a i
ngoài mi n xác đ nh đ p(ai )  0 . Th ng thì b c này ph c t p và địi h i ng i làm
ph i có nh ng đánh giá mang s tinh t nhi u h n. Ch́ng ta s đ n v i m t s bài toán
tiêu bi u cho k thu t này.
Bài toán 12.
Cho a , b, c là các s th c d

ng. Ch ng minh r ng
2

a
b2
c2
3



2
2
2
2
2
2
a  (b  c) b  (a  c) c  (b  a )
5

Ch ng minh. Khơng m t tính t ng quát chu n hóa a  b  c  3 . Qui b t đ ng th c v
d ng
3
3
a2
b2
c2
a2






2
2
2
2
2
2
2
5
5
a  (3  a ) b  (3  b) c  (3  c)
cyc 2a  6a  9
Ta s d ng b t đ ng th c ph sau
a2
12a  7

 (8a  21)(a  1) 2  0

2
2a  6a  9
25
Khơng m t tính t ng quát gi s a  b  c  a  1  c .
Xét hai tr ng h p sau
21
 8a  21  8b  21  8c  21  0 .
+ Tr ng h p 1. c 
8
21
+ Tr ng h p 2. max{a , b, c} 
8
Khi đó ta có:
a2
1
49 1
f (a )  2



2
2a  6a  9
50 5
3 
1    1
a 
Do f (a ) đ ng bi n trên (0,3] nên đi u này hi n nhiên đ́ng.
V y bài toán đ c ch ng minh.
ng th c x y ra khi và ch khi ba bi n b ng nhau.

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

pg. 9


Bài toán 13. [Vasile Cirtoaje - Algebraic Inequalities – Old and New Method]
Cho a , b, c, d là các s th c d ng th a mãn a  b  c  d  2 , Ch ng minh r ng
1
1
1
1
16
 2
 2
 2

2
3a  1 3b  1 3c  1 3d  1 7
Ch ng minh. Ta c n xác đ nh h s đ b t đ ng th c sau là đ́ng
1
4
  m(2a  1)
2
3a  1 7
D dàng tìm ra b t đ ng th c ph sau
1
52  48a
3(2a  1) 2 (12a  1)



0
3a 2  1
49
49(3a 2  1)
T ng t v i các bi n còn l i.
X́t hai tr ng h p sau đây
+ Tr ng h p 1.
1
min{a , b, c, d }   12a  1  12b  1  12c  1  12d  1  0
12
+ Tr ng h p 2.
1
49
1
48
d   1  3d 2 


2
12
48 1  3d
49
X́t t ng t v i các bi n còn l i ta tìm ra đi u ph i ch ng minh.
1
ng th c x y ra khi và ch khi a  b  c  d  .
2
Bài toán 14. [Vasile Cirtoaje, Algebraic Inequalities – Old and New Method]
Cho a , b, c là các s th c d ng th a mãn a 2  b2  c 2  3 . Ch ng minh r ng
a5  a2
b5  b 2

c5  c 2


0
a 5  b 2  c 2 b5  a 2  c 2 c 5  b 2  a 2
Ch ng minh. B t đ ng th c trên t ng đ ng v i
1
1
1
3
 5
 5
 2
5
2
2
2
2
2
2
a b c b a c
c b a
a  b2  c2
T đây suy ra ta ch c n ch ng minh tr ng h p a 2  b2  c 2  3 là đ .
Áp d ng b t đ ng th c AM-GM ta có
2a 6
2a 6

 a5
2

2
a 1 2 a

t a 2  x, b2  y, c 2  z ĺc đó ta có x  y  z  3 và do đó ta ph i ch ng minh
1
1
1


1
3
3
3
2x
2y
2z
 x3
 y3
 z3
x 1
y 1
z 1
x 1
y 1
z 1
1 3
 3
 3 2
2
2

2x  x  2x  3 2 y  y  2 y  3 2z  z  2z  3
x 1
 3 x

 
 3
0
2
6
2x  x  2x  3 
cyc 
 ( x  1) 2 (2 x2  3 x  3 
 
0
3
2
cyc  6(2 x  x  2 x  3) 

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

pg. 10


Khơng m t tính t ng qt gi s x  y  z  x  1  z . X́t hai tr ng h p
+ Tr ng h p 1. y  z  1  x  2 khi đó ta có
2 x2  3x  3  0, 2 y2  3 y  3  0, 2 z2  3z  3  0
D n đ n bài toán hi n nhiên đ́ng.
+ Tr ng h p 2. y  z  1  x  2 khi đó ta có
1 3 2


(2 x3  x2  2 x  3)  5( x  1)  2 x3  x2  3x  2  x3  2   2  3 
x x x 

3
1 3 2 x

 x3  2   2  3  
0
2 2 2  2

x 1
1
T đó suy ra
 nh v y ta c n ch ng minh
3
2
2x  x  2x  3 5
z 1
y 1
4
 3

3
2
2
2z  z  2z  3 2 y  y  2 y  3 5
i u này ln ln đ́ng vì v i k   0,1 ta có
2
k 1
  4k 3  (k  1)(2k  1)

2
2k  k  2k  3 5
3

1
thì bài toán đ c gi i quy t.
2
1
N u k  thì ta có
2
4k 3  (k  1)(2k  1)  4k 3  2(2k  1)  2(2k 3  2k  1)

N u k

T

y  z  1  y, z  0,1 .

 2(k 2  2k  1)  2(k  1) 2  0

V y bài tốn đ c gi i quy t hồn toàn. ng th c x y ra khi và ch khi a  b  c  1.
Nh n x́t. ây là m t k t qu “m nh h n” cho bài tốn 3 trong kì thi IMO 2005 c a tác
gi Vasile Cirtoaje. Bài toán g c ban đ u là v i đi u ki n abc  1 . i u ki n c a bài tốn
trên ch t h n vì theo b t đ ng th c AM-GM ta có
a 2  b 2  c 2  3  3 3 (abc) 2  3  abc  1
Ch́ng ta hãy đ n v i l i gi i c a chính tác gi bài tốn trên, đ c trích t
“Algebraic Inequalities, Old and New Method”
Ta qui v vi c ch ng minh bài toán sau:
Cho a , b, c là các s th c d ng th a mãn a 2  b2  c 2  3 . Ch ng minh r ng
1

1
1
 5
 5
1
5
2
2
a 3 a
b  3  b c  3  c2
Khơng m t tính t ng quát ta gi s a  b  c  0 . X́t hai tr ng h p sau
+ Tr ng h p 1. a  2  a , b  2 . Ta s d ng các b t đ ng th c ph sau

L i có

quy n

1
3 a2
1
3  b2
1
3  c2



, 5
,
a5  3  a2
6

b  3  b2
6 c5  3  c 2
6

1
3  a 2 (a  1) 2 (a 5  2a 4  3a 2  6a  3)


a5  3  a2
6
6(a 5  3  a 2 )
M t khác

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

pg. 11


+ Tr

L i có

6 3 

a 5  2a 4  3a 2  6a  3  a 2  a 3  2a 2  3   2 
a a 

3

1


 a 2  2 2  4  3  3 2    a 2   2   0
2

2

2
2
2
2
2
ng h p 2. a  2, a  b  c  3  b  c  1 khi đó ta có
1
1
1
1
1
1
 5
 5
 5


5
2
2
2
2
2
a 3 a

b 3b c 3c
a 3 a
3  b 3  c2

1
1
1
1
1




2
2
2
2
a 3 a
2 2a  3  a
(2 2  1)a  3 (2 2  1)2  3 6
Nh v y bài toán s đ c gi i quy t n u
1
1
5


2
2
3b 3c
6

Th t v y
1
1
5 9(b 2  c 2  1)  5b 2 c 2



0
3  b2 3  c2 6
6(3  b 2 )(3  c 2 )
Nh v y bài toán đ c gi i quy t. ng th c x y ra khi và ch khi a  b  c  1 .
L i gi i c a tác gi Vasile Cirtoaje ngay t đ u c ng đã s d ng U.C.T nh ng nó l i đ a
ta đ n cách x́t tr ng h p khá l vì ph i so sánh bi n v i 2 . ây là m t bài toán đ p
v i nhi u m r ng th́ v .
5

Bài tốn 15. [Ṽ Qu c Bá C n]
Tìm h ng s k t t nh t đ b t đ ng th c sau đ́ng v i m i a , b, c 0

a3
b3
c3
3(a  b  c)



2
2
2
2

2
2
ka  (b  c)
kb  (c  a )
kc  (a  b)
k4
Ch ng minh. Cho a  b  1, c  0 ta đ c k  5 . Ta s ch ng minh r ng 5 chính là giá tr
c n tìm, t c là qui v ch ng minh
a3
b3
c3
(a  b  c)



2
2
2
2
2
2
5a  (b  c)
5b  (c  a )
5c  (a  b)
3
S d ng b t đ ng th c Cauchy-Schwarz, ta có

a3

 cyc 5a 2  (b  c) 2


Ta c n ch ng minh

2




a2
  (a  b  c)   2
2 

 cyc 5a  (b  c) 


1
a2


2
2
3
cyc 5a  (b  c )
Khơng m t tính t ng quát ta chu n hóa a  b  c  1 và a  b  c  0 suy ra a 
B t đ ng th c c n ch ng minh t ng đ ng v i
a2
b2
c2
1




2
2
2
6a  2a  1 6b  2b  1 6c  2c  1 3
Ta ph i x́t hai tr ng h p

+ Tr ng h p 1. c 

1
c0.
3

1
ta có
8

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

pg. 12


9
cyc

+ Tr


27a 2

27a 2 
(3a  1) 2 (8a  1)
a
12
1




0

 
2
6a 2  2a  1 cyc 
 cyc 6a  2a  1

ng h p 2. c 

1
ta có
8

6a 2
6b 2
6c 2
2a  1
2b  1
6c 2



2 2


6a 2  2a  1 6b 2  2b  1 6c 2  2c  1
6a  2a  1 6b 2  2b  1 6c 2  2c  1
a bc
bca
6c 2
 2
 2
 2
6a  2a  1 6b  2b  1 6c  2c  1
2(a  b) 2 (3c  2)
6c
1
1



 c 2
 2
 2

2
2
(6a  2a  1)(6b  2b  1)
 6c  2c  1 6a  2a  1 6b  2b  1 
Ta c n ch ng minh
6c
1

1
 2
 2
2
6c  2c  1 6a  2a  1 6b  2b  1
1
6c
Vì c  nên
 1 v y nên ta s ch ng minh b t đ ng th c sau
6c 2  2c  1
8
1
1
1 2
 2
6a  2a  1 6b  2b  1
1
N u b  khi đó
3
1
1 2
6b  2b  1
1
3

N u b  , áp d ng b t đ ng th c Cauchy-Schwarz, ta ch c n ch ng minh

4  6(a 2  b2 )  2(a  b)  2
i u này t

ng đ

ng v i

 2(a  b)  c (a  b  c)  3(a 2  b2 )

1
 3b  a do đó
3
 2(a  b)  c  (a  b  c)  2(a  b)2  3(a 2  b 2 )  4ab  a 2  b 2

T gi thi t b 

 3(a 2  b 2 )  a (3b  a )  3(a 2  b 2 )
Nh v y bài toán đã đ c ch ng minh.
ng th c x y ra khi và ch khi a  b  c ho c
và
các
hốn
v
.
H
ng
s
k
t
t
nh
t c n tìm là 5 .
a  b, c  0

Bài toán 16. [Nguy n V n Th ch]
Cho các s d ng a , b, c th a a  b  c  3, ch ng minh b t đ ng th c
1
1
1


3
2
2
2
a  3a  3
b  3b  3
c  3c  3
Ch ng minh. Khơng m t tính t ng qt, gi s a  b  c  0.
V i m i x

5 1
, ta có
2
2

Th t v y, b t đ ng th c t

ng đ

ng

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

x2  3x  3

 x 1

pg. 13


( x  1)2 ( x2  x  1)  0 (đú
ng)

T đây, suy ra
5 1
+, N u c 
, s d ng b t đ ng th c trên, ta có đpcm.
2
5 1
+, N u c 
, có 2 kh n ng x y ra
2
++, N u b  1 , ta có
2

3 3 3

a  3a  3   a    
2 4 4

2
b  3b  3  (b  1)2  b  2  1

2

2


5 1 
5 1
2
c  3c  3  (1  c)  c  2  1 
 
2 
2

2

2



16



5 1

2

Do đó

VT 

2
5 1

1  3
2
3

++, N u b  1 , suy ra 2  a  b  1 , x́t hàm s

f ( x) 

1
x2  3x  3

v i 1  x  2 , ta có

8 x2  24 x  15
0
4( x2  3 x  3)5/ 2
Suy ra f ( x) là hàm l̃m, do đó theo b t đ ng th c Jensen,
2
 a b
f (a )  f (b)  2 f 
  2 f (t )  2
 2 
t  3t  3
Ta ph i ch ng minh
2
1


3
2
2
t  3t  3
(3  2t )  3(3  2t )  3
Hay
2
1

3
t 2  3t  3
4t 2  6t  3
Hay
36(t  1) 2 (36t 6  252t 5  749t 4  1202t 3  1099t 2  546t  117)
0
(t 2  3t  3) 2 (4t 2  6t  3) 2
D dàng ki m tra đ c b t đ ng th c này đ́ng, v y ta có đpcm. ng th c x y ra khi và
ch khi a  b  c  1.
f // ( x) 

Bài toán 17. [M r ng t Poland 1996]
Cho a , b, c là các s th c th a mãn a  b  c  1. Ch ng minh r ng
a
b
c
9
 2
 2


2
a  1 b  1 c  1 10
1
Ch ng minh. Khơng m t tính t ng quát gi s a  b  c  a   c . X́t hai tr
3
sau:

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

ng h p

pg. 14


3
ta có
4
9  a
(3a  1)2 (4a  3)
b
c 
a 
 18a 5



 
0
  


10  a 2  1 b 2  1 c 2  1  cyc  25 30 a 2  1  cyc
50(a 2  1)
3
+ Ttr ng h p 2. c   áp d ng b t đ ng th c AM-GM, ta có
4
a
b
 2
1
2
a 1 b 1
9
3
c
Khi đó n u 2
   5  2 6  c   ta có ngay đi u ph i ch ng minh.
10
4
c 1
1
a
X́t tr ng h p: 5  2 6  c khi đó ta có 3  6  a  2
 . T đây suy ra:
a 1 5
a
b
c
a
b
1 1 7

9
 2
 2
 2
 2
  

2
a  1 b  1 c  1 a  1 b  1 5 2 10 10
1
V y b t đ ng th c đ c ch ng minh.
ng th c x y ra khi và ch khi a  b  c  .
3
Nh n x́t. Bài toán g c c a đ toán này là v i đi u ki n c a tr ng h p 1. Tuy nhiên bài
toán v n đ́ng v i m i s th c, đây là m t đi u r t lí th́. Có th ch ng minh bài tốn
trên v i k thu t d n bi n b ng hàm l i.

+ Tr

ng h p 1. c  

Ph n 5. K t h p b t đ ng th c Vornicu Schur v i U.C.T
Trong ph n này chúng tôi s gi i thi u đ n các b n vi c k t h p U.C.T v i b t đ ng th c
Vornicu Schur. Có th nói r ng khi ta k t h p nhu n nhuy n hai k thu t trên thì s nh n
đ c nh ng l i gi i khá n t ng và đ p m t. Tr c h t hãy cùng đ n v i d ng phát
bi u, các đ nh lí c ng nh k thu t phân tích v chính t c c a b t đ ng th c Vornicu
Schur.
B t đ ng th c Vornicu Schur:
Cho a  b  c và A, B, C  0 khi đ́ b t đ ng th c
A(a  b)(a  c)  B(b  c)(b  a )  C (c  a )(c  b)  0

Là đúng khi và ch khi
nh lí 1. A  B ho c C  B
nh lí 2. A a  B b
nh lí 3. B c  C  b (N u a,b,c là ba c nh c a m t tam giác)
nh lí 4. A  C  B
Khi đã n m trong tay các đ nh lí v b t đ ng th c Vornicu Schur thì ch c h n b n s ph i
ch́ ý đ n cách bi n đ i sao cho qui v d ng chính t c c a nó. đây xin nêu ra 2 ph́p
bi n đ i c c kì hi u qu và có cơng d ng l n trong nhi u bài toán, gíp b n có th đ a
bài tốn t d ng t ng các bình ph ng v d ng trên.
Tr c h t hãy bi n đ i đ a bài toán v hai d ng quen thu c sau
D ng 1.
A(a  b)2  B(b  c)2  C (c  a )2  0
D ng 2.
A(2a  b  c)2  B(2b  c  a )2  C (2c  a  b)2  0

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

pg. 15


Ti p t c th c hi n ph́p bi n đ i sau
A(a  b)2  B(b  c) 2  C (c  a ) 2

 A(a  b)(a  c  c  b)  B(b  c)(b  a  a  c)  C (c  a )(c  b  b  a )
  A(a  b)(a  c)   A(b  c)(c  a )   ( A B)(a  b)(a  c)
cyc

cyc

cyc

D ng 1 là d ng phân tích chính t c c a ph ng pháp S.O.S m t ph ng pháp đã l y làm
quen thu c v i nhi u ng i. T ph́p phân tích trên ta có th th y r ng m i liên h gi a
ph ng pháp S.O.S và b t đ ng th c Vornicu Schur là r t m t thi t. Tuy nhiên trong bài
vi t này không đ c p đ n v n đ này mà ch́ng ta s xem x́t d ng 2 trên. Vì tính ng
d ng c a nó trong U.C.T là nhi u h n và nó c ng là m t s k t h p mang nhi u ý ngh a.
A(2a  b  c) 2  B(2b  c  a ) 2  C (2c  a  b) 2

 2 A(a  b)(a  c)   A(a  b) 2   A(c  a ) 2
cyc

cyc

cyc

 2 A(a  b)(a  c)   ( A B)(a  b) 2
cyc

cyc

 2 A(a  b)(a  c)   (2 A B  C )(a  b)(a  c)
cyc

cyc

 2 (4 A B  C )(a  b)(a  c)
cyc

Hãy m đ u b ng m t bài tốn trơng có v đ n gi n nh ng c ng khơng q d đ tìm ra
l i gi i n u không ch n đ́ng đ ng đi.

Bài toán 18. [Vasile Cirtoaje]
Cho a , b, c là các s th c không âm th a mãn a  b  c  3 . Ch ng minh r ng

3(a 4  b4  c 4 )  a 2  b2  c 2  6  6(a 3  b3  c3 )
Ch ng minh. Theo U.C.T d dàng tìm ra b t đ ng th c ph sau
3a 4  a 2  2  3a 3  4a  4  (a  1)2 (3a 2  2)  0
Ta qui bài toán v ch ng minh
 (a 1)2 (3a 2  2)  0
Th t v y

cyc

 (a  1) (3a
2

2

 2)  0

cyc

  (3a  3) 2 (3a 2  2)  0
cyc

  (3a  a  b  c) 2 (3a 2  2)  0
cyc

  (2a  b  c) 2 (3a 2  2)  0
cyc

  (4a 2  b 2  c 2  4)(a  b)(a  c)  0
cyc

Không m t tính t ng quát gi s a  b  c khi đó ta có
4a 2  b2  c2  4  4b2  a 2  c 2  4  4c 2  b2  a 2  4
L i có
( a  b) 2
(3  c) 2
(3c  1) 2
 4  4c 2 
4
0
4c 2  a 2  b 2  4  4c 2 
2
2
2

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

pg. 16


Theo đ nh lí 1 ta có đi u ph i ch ng minh.
4 4 1
ho c (a , b, c)   , ,  .
 3 3 3
Nh n x́t. Bài toán s đ

ng th c x y ra khi và ch khi a  b  c  1

c gi i quy t trong tr

ng h p 3a 2  2  0  a 

2
. Tr
3

ng

2
r̃ ràng s khó gi i quy t vì v ph i c a đi u ki n trong tr ng h p 2
3
khá l , nhi u kh n ng s d n đ n nh ng tính tốn l ng nh ng không c n thi t. Tuy nhiên
c n ch́ ý m t đi u là đ ng th c c a bài toán này x y ra t i hai đi m c c tr vì v y khơng
th áp d ng m i U.C.T vì d ng phát bi u c a k thu t này s cho ta duy nh t m t đi m
c c tr c n tìm. Nh v y vi c k t h p gi a U.C.T và b t đ ng th c Vornicu Schur không
đ n thu n là gi i quy t bài toán m t cách đ p m t mà còn h ng ta đ n vi c gi i quy t
tr ng h p đ ng th c x y ra khi có hai bi n b ng nhau và khác bi n còn l i.
h p cịn l i a 

Bài tốn 19. [Nguy n Th́c V Hoàng]
Cho a , b, c là các s th c d ng th a mãn a  b  c  3 . Ch ng minh r ng
2(a 3  b3  c3 )  9  5(a 2  b2  c 2 )
Ch ng minh. Ta c n xác đ nh h s cho b t đ ng th c ph sau:
2a 3  3  5a 2  m(a  1)  (a  1)(2a 2  3a  3)  m(a  1)
T đây ta s d đoán m  4 ta có
2a 3  3  5a 2  4a  4  (a  1)2 (2a  1)  0
T ng t v i các bi n còn l i ta có b t đ ng th c c n ch ng minh t ng đ
2(a 3  b3  c3 )  9  5(a 2  b 2  c 2 )

ng v i

 (a  1) 2 (2a  1)  (b  1) 2 (2b  1)  (c  1) 2 (2c  1)  0
 (2a  b  c) 2 (2a  1)  (2b  c  a ) 2 (2b  1)  (2c  a  b) 2 (2c  1)  0
 6a (a  b)(a  c)  6b(b  c)(b  a )  6c(c  a )(c  b)  0
Khơng m t tính t ng quát gi s a  b  c . Khi đó theo b t đ ng th c Vornicu Schur ta có
đi u ph i ch ng minh.
3
ng th c x y ra khi và chi khi a  b  c ho c a  0, b  c  cùng các hoán v .
2
Nh n x́t. L i m t bài toán đ n gi n nh ng đi u th́ v bài toán này là đ ng th c đ t
đ c t i 2 đi m. N u nh gi i m t cách thông th ng b ng U.C.T thì khơng th gi i
quy t bài toán m t cách tri t đ và m t l n n a b t đ ng th c Vornicu Schur l i phát huy
tác d ng c a nó.

Bài tốn 20. [Vasile Cirtoaje, Romania TST 2006]
Cho a , b, c là các s th c d ng th a mãn a  b  c  3 . Ch ng minh r ng
1 1 1
   a 2  b2  c2
a 2 b2 c2
Ch ng minh.
Theo U.C.T d dàng tìm ra b t đ ng th c ph sau
1
 4a  a 2  4
2
a
Bài toán c n ch ng minh t ng đ ng v i

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

pg. 17



cyc

(a  1) 2 (1  2a  a 2 )
0
a2


cyc

(2a  b  c) 2 (1  2a  a 2 )
0
a2

  (4 A B  C )(a  b)(a  c )  0
cyc

Trong đó
1  2a  a 2
1  2b  b 2
1  2c  c 2


,
B
,

C
a2
b2
c2
Khơng m t tính t ng qt gi s a  b  c khi đó ta có
1  2b  b 2 1  2a  a 2 ( a  b)(2ab  a  b)


0
A B 
b2
a2
a 2b 2
T đó suy ra
4C  A B  4B  A C  4 A B  C
Áp d ng b t đ ng th c AM-GM ta có
3
a  b  c  3  3 3 abc  1  3 abc  3
3
abc
Do đó
4 1 1 8 2 2
4 A B  C  2  2  2     6
a
b c
a b c
 4 1 1 6 1 1 1 
  2  2  2    2     3
b c
a a b c

a

A

 3

1 1 1 
 2     3  2  3
 3   2(3  3)  0
a b c

 abc

Theo đ nh lí 1 ta có đi u ph i ch ng minh.
ng th c x y ra khi và ch khi a  b  c  1.
Nh n x́t.
bài toán này ch́ng ta v n có th chia tr ng h p đ gi i quy t. D i đây là
l i gi i c a tác gi bài toán Vasile Cirtoaje
Sau khi đã đ a bài toán v d ng
(a  1)2 (1  2a  a 2 )
0

a2
cyc
Khơng m t tính t ng quát gi s r ng a  b  c khi đó áp d ng đ nh lí v d u c a tam
th c b c 2 ta chia nh bài toán thành hai tr ng h p
+ Tr ng h p 1. a  1  2  c  b  a  1  2 t đó d n đ n
1  2a  a 2  0,1  2b  b2  0,1  2c  c 2  0
2
+ Tr ng h p 2. a  1  2  b  c  3  a  2  2  suy ra

3
2
(b  c)
1
bc 

4
9
Khi đó
1
1 1
1
1
2
 2 2  2 2
 18  (a  b  c) 2  a 2  b 2  c 2
2
a
b c
a
b
bc
Bài toán đ c gi i quy t.
ng th c x y ra khi và ch khi a  b  c  1.
Còn nhi u l i gi i b ng các k thu t khác cho b t đ ng th c trên. Tuy nhiên khn kh
chun đ có h n nên xin không nêu ra đây.

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

pg. 18

Ph n 6. M t d ng bi u di n thú v
đây ch́ng tơi mu n nói đ n d ng bi u di n theo t ng c a 1. ây là m t t t ng tuy
đ n gi n nh ng s gíp ta tìm ra nhi u l i gi i n t ng. Bây gi ta hãy ch́ ý đ n đ ng
th c sau đây
a k  bk  ck
ak
bk
ck



1 k
a  bk  ck a k  bk  c k a k  bk  c k a k  bk  c k
ng th c t ng ch ng nh là m t đi u hi n nhiên, không mang nhi u ý ngh a nh ng
l i có vai trò khá quan tr ng trong vi c ch ng minh m t l p b t đ ng th c mà ch́ng tôi
s nêu ra d i đây.
ph n này k thu t xác đ nh h s không cịn có th th c hi n nh
tr c b i vì đây xu t hi n l y th a p. N u ch s d ng nh ng bi n đ i thơng th ng thì
s ph c t p. Vì v y cơng c mà ch́ng ta ch n đây s là đ o hàm. Tr c h t xin nh c
l i 2 đ nh lí c b n sau đây
nh lí Fermat. Gi s hàm s

f ( x) xác đ nh trên [a , b] và có c c tr đ a ph

ng t i

x0  [a , b] . Khi đó n u f có đ o hàm t i x0 thì f / ( x0 )  0
nh lí Roll. Gi s

f :[a , b]  liên t c và kh vi trong (a , b) . N u f (a )  f (b) thì
t n t i x0  (a , b) sao cho f / ( x0 )  0

Bài tốn 21. [Ṽ Qu c Bá C n]
Tìm h ng s k  0 t t nh t đ b t đ ng th c sau là đ́ng v i m i s a , b, c là các s th c
d ng
a
b
c
3



2
2
2
2
2
2
k4
ka  (b  c)
kb  (c  a )
kc  (a  b)
Ch ng minh. Cho a  1, b  c  0 ta có k 

1
. Ta s ch ng minh đó là giá tr k t t nh t đ
2

b t đ ng th c là đ́ng. B t đ ng th c c n ch ng minh.
a
b
c


1
2
2
2
2
2
a  2(b  c)
b  2(c  a )
kc  (a  b)2
Ta s ph i xác đ nh h s k sao cho b t đ ng th c sau là đ́ng
a
ak
 k
k
k
a 2  2(b  c)2 a  b  c

đây ta chu n hóa b  c  1 đ vi c vi c xác đ nh h s đ c đ n gi n h n. Khi đó ta
c n xác đ nh h s k sao cho
a
ak
 k
 a k  2  2a 2 k  a 2  0
2

a 8 a  2
t f (a )  a k  2  2a 2 k  a 2 . L i có f (a )  0, f (1)  0 nên theo đ nh lí Fermat ta có
f / (1)  0 . Ti n hành đ o hàm f (a ) suy ra
f / (a )  (k  2)a k 1  4ka 2 k 1  2a
Theo trên thi ta có
4
f / (1)  (k  2)  4k  2  0  k  .
3
Nh v y ta s d đoán b t đ ng th c sau là đ́ng

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

pg. 19


a

3



a4

a 2  2(b  c)2 3 a 4  3 b4  3 c 4
Sau khi đã hoàn thành xong b c d đốn ch́ng ta có nhi u con đ ng đ l a ch n.
Thông th ng thì ph́p bi n đ i t ng đ ng luôn mang l i hi u qu n u b t đ ng th c
ph là đ́ng. Nên nh r ng b t đ ng th c ph trên ch là d đốn mà thơi, có th nó s
khơng đ́ng ho c ng c l i. T ng bài toán ta s “tùy c ng bi n”. T t nhiên nhi u bài
tốn khơng th áp d ng theo cách này. Ch́ng ta ti p t c quay l i bài toán trên v i ph́p
ch ng minh cho b t đ ng th c ph .

bc
b  c 2 
 t đây ta s ph i ch ng minh
 2 
4

Theo b t đ ng th c Holder ta có
b t đ ng th c

3

4

a
a 2  8t 2

3



4

3

3
3

a4

a4  23 t4

 3 a 4  2 3 t 4  3 a a 2  8t 2
 4 3 t 4 ( 3 a 2  3 t 2 )2  0
bc
. V y b t đ ng th c này hi n nhiên đ́ng .
2
ng th c x y ra khi và ch khi a  b  c ho c a  t  0, b  c  0 và các hoán v .
Nh n x́t. Q trình tìm ki m h s k có th thông qua vi c đánh giá theo b t đ ng th c
AM-GM nh sau
a
ak
 k
 a k  2  2a 2 k  a 2  0  a k  2  a 2  2a 2 k
2
a 8 a  2

đây t 

M t khác theo b t đ ng th c AM-GM thì a k  2  a 2  2 a k  4 . Nh v y ta có c n xác đ nh
k sao cho
3
2 a k  4  2 a 2 k  a k  4  a 4 k  k  4  4k  k 
4
Bài toán 22. [IMO 2001]
Cho a , b, c là các s th c d

ng. Ch ng minh r ng
a
b
c



1
2
2
2
a  8bc
b  8ca
c  8ab
Ch ng minh. B ng cách làm t ng t , ta thi t l p đ c b t đ ng th c sau
a
a 4/3
 4/3 4/3 4/3
a 2  8bc a  b  c
Th t v y, s d ng b t đ ng th c AM-GM, ta có b4/ 3  c4/ 3  2b2/ 3c2/ 3  2t 4/ 3 , ta c n ch ng
minh
a 4 / 3  2t 4 / 3  a 1/ 3 a 2  8t 2
 4t 4 / 3 (a 2 / 3  t 2 / 3 ) 2  0 (đú
ng)
Do đó, b t đ ng th c trên đ́ng. S d ng t ng t cho b, c r i c ng l i, ta có đpcm.
th c x y ra khi và ch khi a  b  c  1 ho c b  0, c  0.

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

pg. 20

ng


Bài toán 23.

Cho a , b, c là các s th c không âm. Ch ng minh r ng

a3
b3
c3


1
a 3  (b  c)3
b 3  (c  a ) 3
c 3  ( a  b) 3
Ch ng minh. T ng t nh trên ta có xác đ nh đ c b t đ ng th c ph sau:
a3
a2
(*)

a 3  (b  c)3 a 2  b 2  c 2
Có th ch ng minh b t đ ng th c ph trên theo nhi u cách:
Cách 1.
(*)  2a 2 (b2  c 2 )  (b2  c 2 )2  a (b  c)3
i u này hi n nhiên đ́ng, th t v y
2a 2 (b 2  c 2 )  (b 2  c 2 ) 2  a 2 (b  c) 2 

(b  c) 4
a 2 (b  c)6
2
 a (b  c)3
4
4

Cách 2.
Theo b t đ ng th c AM-GM ta có
k2
(1  k)  (1  k  k 2 )
 1
1  k  (1  k)(1  k  k ) 
2
2
Áp d ng b t đ ng th c ph trên ta có
3

2

a3

a 3  (b  c)3

1
a2


 2 2 2
2
2
2
3
a b c
1  b  c  1 b  c
bc


1
2
1 



a
2 a 
 a 
Áp d ng t ng t v i các bi n còn l i. C ng v theo v ta có có đi u ph i ch ng minh.
ng th c x y ra khi và ch khi 3 bi n b ng nhau ho c có 2 bi n d n v 0.
1

1

Bài toán 24. Cho a , b, c là các s th c d

ng. Ch ng minh r ng

3

a
b3
c3
1



3
3

3
3
3
3
a  (b  c) b  (c  a ) c  (a  b)
3
Ch ng minh. S d ng b t đ ng th c Cauchy-Schwarz, ta có

B t đ ng th c đ

a3
1
VT    3
3  cyc a  (b  c)3

c ch ng minh.

2

 1
 
 3

ng th c x y ra khi và ch khi a  b  c.

Ph n 7. Gi i quy t m t s bài toán mà đi u ki n liên quan m t thi t đ n nhau
a ph n các bài toán x́t đ n trên đ u có đi u ki n mà các bi n liên h v i nhau ko quá
ch t Th ng là đi u ki n d ng a1k  a2k  ...  ank1  ank  n . T c là ta có th tách ra theo
t ng bi n đ tìm b t đ ng th c ph . Tuy nhiên v i m t s bài toán mà đi u ki n thi t l p
k

 n 
m i quan h “b n ch t” đ i lo i nh   ai  thì vi c tìm ra b t đ ng th c ph t ng đ i
 i 1 
khó kh n vì ta khơng th đánh giá theo t ng bi n n a. Và đ áp d ng U.C.T trong nh ng
bài toán nh v y ch́ng ta ph i dùng đ n m t s tính ch t c a hàm s .

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

pg. 21


Bài toán 25.
Cho a , b, c là các s th c d

ng th a mãn abc  1 . Ch ng minh r ng

a bc b c a c a b


 2
b  c 1 c  a 1 a  b 1
Ch ng minh. Áp d ng b t đ ng th c Holder ta có
2

 a b  c b c  a c a  b   a (b  c  1) 2 
3




  
  (a  b  c)
bc

 b  c  1 c  a  1 a  b  1   cyc
Do đó ta c n ph i ch ng minh
a (b  c  1) 2
( a  b  c ) 3  2
bc
cyc
a
b
a
  a 3  3 3 6  4 ab  4 a  2
cyc
cyc b
cyc a
cyc
cyc
cyc b  c
Áp d ng b t đ ng th c AM-GM ta có
a
b
a
1 a 1 b
 ab,   ab, 2
   

2 cyc b 2 cyc a
cyc b

cyc
cyc a
cyc
cyc b  c
T đó ta có
5 a 5 b
VT  VP   a 3     4 ab 4 a 6
2 cyc b 2 cyc a
cyc
cyc
cyc

1


  a 3   ab 4 a 6    a 3  4a   2 
a

cyc
cyc
cyc
cyc 
1
X́t hàm s f ( x)  x3  4 x   2  2 ln x v i x  0 ta có
x
1 1

f / ( x)  ( x  1)  3x  3  2  
x x


1 1
1
N u x  1 thì 2  , n u x  1  1  do đó f / ( x)  0  x  1
x
x
x
T đó đ dàng ki m tra r ng f ( x)  f (1)  0, x  0
Hay
1
x3  4 x   2  2 ln x, x  0
x
Nh v y ta có
1
 3


 a  4a   2   2 ln a  0
a

cyc 
cyc
Bài toán đ c gi i quy t.
ng th c x y ra khi và ch khi a  b  c  1 .
Bài toán 26. [Lê H u i n Khuê, THPT Qu c H c, Thành ph Hu ]
Cho a , b, c là các s th c d ng th a mãn abc  1 . Ch ng minh r ng
1
1
1
 2
 2

1
2
2
2
3a  (a  1) 3b  (b  1) 3c  (c  1) 2
Ch ng minh. X́t hai tr ng h p sau

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

pg. 22


+ Tr

ng h p 1. N u trong ba s

a , b, c t n t i ít nh t m t s không l n h n

1
. Gi s
2

1
 3a 2  (a  1) 2  1 . Khi đó b t đ ng th c hi n nhiên đ́ng.
2
1
+ Tr ng h p 2. C ba s a , b, c đ u không nh h n
khi đó ta x́t hàm s sau
2
Gi ng nh các ph n tr c ta có c ng s thi t l p m t b t đ ng th c ph d ng

1
1
  k ln x
2
2
3 x  ( x  1)
3
đây ta có qui v hàm s m và ch́ ý ln x  ln y  ln z  0 .
Ti p t c quan sát th y đ ng th c x y ra khi và ch khi a  b  c  1 . T đó ta có ph i xác
đ nh k sao cho f / (1)  0 .
1
2
1
f ( x)  2
 ln x 
2
3 x  ( x  1) 3
3
1
V i x  . Khi đó ta có
2
2(16 x4  16 x3  x  1) 2( x  1)(16 x3  1)
f / ( x) 

3 x(4 x2  2 x  1) 2
3 x(4 x2  2 x  1) 2
1
T đây suy ra f / ( x)  0  x  1, do x 
2
1

D dàng ki m tra đ c f ( x)  f (1)  0, x  . i u này t ng đ ng v i
2
1
1 2
1
  ln x, x 
2
2
3x  ( x  1)
3 3
2
S d ng b t đ ng th c ph trên theo t ng bi n a , b, c r i c ng v theo v ta có
1
1
1
2
 2
 2
 1   ln a  1
2
2
2
2
3a  (a  1) 3b  (b  1) 3c  (c  1)
3 cyc
B t đ ng th c đ c ch ng minh.
ng th c x y ra khi và ch khi a  b  c  1 , ho c

a  , b  , c  0 và các hoán v .
Nh n x́t. Bài tốn trên cịn m t l i gi i r t n t ng c a Vasile Cirtoaje. Xin trình bày

l i l i gi i đó. S d ng b t đ ng th c ph sau đây
1
1
2a ( a  1) 2


0
3a 2  (a  1) 2 2a 3  1
(4a 2  2a  1)(2a 3  1)
i u này hi n nhiên đ́ng v i m i s th c không âm. T ng t v i các bi n còn l i suy
ra đi u ph i ch ng minh.

s đó là a. Ta có a 

Bài tốn 27. [Gabriel Dospinescu]
Cho a1 , a 2 ,..., an là các s th c d ng th a mãn a1a 2 ...a n  1 . Ch ng minh r ng

a12  1  a 22  1  ...  a n2  1  2(a1  a 2  ...  a n )
Ch ng minh. X́t hàm s sau v i x  0
1 

f ( x)  x2  1  2 x   2 
 ln x
2

Khi đó ta có

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

pg. 23

( x  1)  2 x2  x  1  2 x2 2( x2  1) 

  f / ( x)  0  x  1
f ( x) 
2
2
2
x 2( x  1)( 2 x  x  1)
/

Qua 1 thì f / ( x) đ i d u t d

ng sang âm nên

f / ( x)  f (1)  0, x  0
i u đó có ngh a là

1 

x2  1  x 2   2 
 ln x, x  0
2

S d ng b t đ ng th c ph này cho n bi n và c ng v theo v ta có
1 

a12  1  a 22  1  ...  a n2  1  2(a1  a 2  ...  a n )   2 
 (ln a1  ln a 2  ...  ln a n )

2


1  n

 2(a1  a 2  ...  a n )   2 
 ln  a i
2  i 1

 2(a1  a 2  ...  a n )
V y b t đ ng th c đ c ch ng minh.
ng th c x y ra khi và ch khi a1  ...  a n  1 .
Nh n x́t. Bài tốn trên cịn có th gi i quy t b ng m t b t đ ng th c ph quen thu c

x2  1  2( x  x  1)  0  ( x  1)4 , x  0
S d ng b t đ ng th c trên l n l t cho n bi n c ng l i ta có
n


a12  1  a 22  1  ...  a n2  1  2(a1  a 2  ...  a n )  2  n   a i 
i 1


B t đ ng th c đã đ

 2(a1  a 2  ...  a n )
c gi i quy t hồn tồn.

Bài tốn 28. [Algebraic Inequalities – Old and New Method]
Cho a , b, c là các s th c d ng th a mãn abc  1 . Ch ng minh r ng

a 2  b2  c 2  9(ab  bc  ca )  10(a  b  c)
Ch ng minh. Ta có c n xác đ nh h s k sao cho b t đ ng th c sau là đ́ng
9
a 2  9bc  a 2   10a  k ln a
a
T ng t các ph n tr c ta có tìm ra k  17 . Ta có s ch ng minh
9
f (a )  a 2   10a  17 ln a  0
a
Th t v y
9
17 2a 3  10a 2  17 a  9 (a  1)(2a 2  8a  9)

f / (a )  2a  2  10  
a
a
a2
a2
f / (a )  0  a  1
T đây, ta có th d dàng th y đ c f (a )  f (1)  0, a  0 hay
9
a 2   10a  17 ln a
a
S d ng t ng t v i b, c r i c ng l i v theo v , ta có đpcm. ng th c x y ra khi và
ch khi a  b  c  1.

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

pg. 24

Ph n 8. U.C.T m r ng
Ngay t đ u bài vi t ta đã x́t đ n vi c xác đ nh h s m theo cách
h(ai )  f (ai )  ma k  n
V i đi u ki n xác đ nh c a bài toán là a1k  a2k  ...  ank  n
Tuy nhiên v i cách xác đ nh đó đ i v i m t s bài tốn l i khơng mang l i hi u qu .
i u đó c ng khơng ph i hồn tồn là khơng t t. Vì nó s thơi th́c ch́ng ta tìm ra các
d ng xác đ nh h s khác. M t cách tr c quan ch́ng ta s phân tích m t bài toán c th
đ th y đ c nh ng gì đã đ c nêu ra trên
Bài tốn 29. [T p chí Crux, Canada]
Cho a , b, c là các s th c d ng th a mãn a  b  c  3 . Ch ng minh r ng
1
1
1
3



9  ab 9  bc 9  ac 8
Ch c h n ngay t đ u khi đi vào ch ng minh bài toán này b n s ngh ngay đ n vi c thi t
l p m t b t đ ng th c ph d ng
8
8
 1  mx  n 
 1  m( x  1)
9 x
9 x
1
D dàng d đoán m  . Nh ng r t đáng ti c v i m nh v y thì b t đ ng th c trên hồn

8
tồn khơng đ́ng k c t t ng chia tr ng h p nh
ph n 3 c ng không th áp d ng
đ c. Th t v y
8
7 x
( x  1) 2

0
9 x
8
8(9  x)
Tuy nhiên U.C.T v n có tác d ng trong tr ng h p này nh ng b ng m t ý t ng m i m
h n. Hãy ch́ ý đ n cách thi t l p b t đ ng th c ph sau
8
 1  m( x2  1)  n( x  1) (*)
9 x
Vi c xác đ nh h s trong b t đ ng th c trên đòi h i s ch t ch trong l p lu n vì đơi khi
n i l ng mi n nghi m c a bi n s khi n cho bài toán khơng đ́ng. Có nhi u h s th a
mãn đ t o thành đ i l ng bình ph ng ( x  1)2 nh ng ta ph i xác đ nh sao cho d u c a
b t đ ng th c là đ́ng. Ta có
1 

(*)  0  ( x  1)  m( x  1)  n 
 (**)
9 x

T phân tích trên r̃ ràng ta ph i xác đ nh n theo m sao cho xu t hi n nghi m x  1 đ
hình thành đ i l ng ( x  1)2 , t c là
1

1
1
m( x  1)  n 
0n
 m( x  1)  n   2m
9 x
9 x
8
T đây th vào (**) ta có
1
1 

(**)  0  ( x  1)  m( x  1)  2m  

8 9 x

 0  ( x  1) 2 (72m  8mx  1)
D th y r ng vi c xác đ nh h s
đây không cịn đ n gi n nh tr c. Nó địi h i ta ph i
tìm ra nh ng c l ng ch t ch đ b t đ ng th c không đ i chi u. Ta hãy ch́ ý đ n
đi u ki n c a bài toán đ tìm ra c l ng “t t nh t”. Ch́ ý r ng 3  max{ab, bc, ca}  0

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

pg. 25