đại số 11 hàm số lượng giác

DANAMATH
www.toanhocdanang.com
www.facebook.com/ToanHocPhoThongDaNang

ĐẠI SỐ
11

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

GV:Phan Nhật Nam


HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trục

Đường tròn lượng giác :

− 3

−

−1
3π
4

Sin

π
1

2

1

2π
3

3

1

3

Trục

3

π
4

2
2

1
2

−
5π
4

1
3

2
2

3
1
2

4π
3

3π
2

1
2

2
−
2
3
−
2

−1

1
11π −

3
6
7π
4

5π
3

−1

1. Công thức cung liên kết :
1. Hai cung đối nhau (a , -a)
sin(− a)

− 3

3. hai cung phụ nhau (a ,

= − sin a

cos(− a) = cos a
tan(− a ) = − tan a
cot(− a ) = − cot a

sin(

π
2

cos(

2. Hai cung bù nhau (a , π − a )
sin(π − a ) = sin a
cos(π − a ) = − cos a
tan(π − a ) = − tan a
cot(π − a ) = − cot a
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

Trục

0

0

7π
6

tan(
cot(

2

Cot

π
6

−1
1
2

3
−
−
2
2
2

3

π

1
2

−

3

1

3
2

5π
6

π

Tan

Trục

π
2

π

2

π

2

π
2

− a)

=

cos a

− a)

=

sin a

− a)

=

cot a

− a)

=

tan a

−a)

www.toanhocdanang.com

Cos


HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

4. Hai cung hơn kém nhau π (a , π + a )
sin(π + a ) = − sin a
cos(π + a ) = − cos a
tan(π + a ) = tan a
cot(π + a ) = cot a
3. Công thức lượng giác cơ bản :
1. Công thức cộng cung :

5. Hai cung hơn kém nhau
sin(

2

cos(
tan(

sin( a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b
cos(a ± b) = cos a cos b  sin a sin b
tan(a ± b) =

π

cot(

π
2

π

2

π

2

π
2

π

(a , + a )

2

+ a)

=

+ a)

= − sin a

+ a)

= − cot a

+ a)

= − tan a

cos a

tan a ± tan b
1  tan a tan b

2. Công thức nhân đôi :
Sin 2a

= 2 sin a cos a = (sin a + cos a ) 2 − 1 = 1 − (sin x − cos x) 2

Cos 2a

= cos 2 a − sin 2 a = 2 cos 2 a − 1 = 1 − 2 sin 2 a

tan 2a =

2 tan a
1 − tan 2 a

cot 2a =

3. Công thức nhân ba :

4. Công thức hạ bậc hai :

Sin3a = 3 sin a − 4 sin 3 a
Cos 3a = 4 cos 3 a − 3 cos a
3 tan a − tan 3 a
Tan3a =
1 − 3 tan 2 a

1 − cos 2a
2
1 − cos 2a
Tan 2 a =
1 + cos 2a
Sin 2 a =

Cos 2 a =

1 + cos 2a
2

6. Công thức biến đổi tích thành tổng

4. Công thức hạ bậc ba :
3 sin a − sin 3a
4
3 cos a + cos 3a
Cos 3 a =
4

1
[cos(a + b) + cos(a − b)]
2
1
sin a. sin b = − [cos(a + b) − cos(a − b)]
2
1
sin a. cos b = [sin(a + b) + sin(a − b)]
2
cos a. cos b =

Sin 3 a =

7. ông thức biến đổi tổng thành tích :
a+b
a −b
. cos
2
2
a+b

a −b
sin a + sin b = 2 sin
. cos
2
2
sin(a ± b)
tan a ± tan b =
cos a. cos b
cos a + cos b = 2 cos

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

cot 2 a − 1
2 cot a

3

a+b
a −b
. sin
2
2
a+b
a −b
sin a − sin b = 2 cos
. sin
2
2
sin(b ± a )
cot a ± cot b =

sin a. sin b
cos a − cos b = −2 sin

www.toanhocdanang.com


HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
A. Tóm tắc lý thuyết :
I. Hàm số y = sinx :
• Miền xác định : D = R.
• y = sin x là hàm số lẻ trên R

{vì D là miền đối xứng và sin(-x) = - sinx}

•

{vì sin(x + k 2π ) = sinx với ∀k ∈ Z }

y = sin x tuần hoàn với chu kỳ 2π .

• Dựa vào đường tròn lượng giác ta có chiều biến thiên của hàm số y = sinx trên
khoảng (0 , π )
π
x 0

y

Đồ thị của : y = sin x

π

2
1

0

0

y

1

3π −π
−
2

−2π

II. Hàm số y = cos x :

π
−
2

π
2

0

π

x

3π
2

2π

-1

• Miền xác định : D = R.
• y = cos x là hàm số chẵn trên R

{vì D là miền đối xứng và cos(-x) = cosx}

•

{vì cos(x + k 2π ) = cosx với ∀k ∈ Z }

y = cos x tuần hoàn với chu kỳ 2π .

• Dựa vào đường tròn lượng giác ta có chiều biến thiên của hàm số y = cosx trên
khoảng (0 , π )
x −π

π

0

1

y
-1

-1

Đồ thị của : y = cos x
y
1

−2π

−

−π

3π
2

−

π

0

2

π

π

x

2
-1

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

4

www.toanhocdanang.com


HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

III. Hàm số y = tanx :

π

• Miền xác định : D = R\  + kπ , k ∈ Z  .
2



•

y = tan x là hàm số lẻ trên R

{vì D là miền đối xứng và tan(-x) = tanx}

•

y = tan x tuần hoàn với chu kỳ π .

{vì tan(x + k π ) =tanx với ∀k ∈ Z }

• Dựa vào đường tròn lượng giác ta có chiều biến thiên của hàm số y = cot x trên
khoảng (-

π π
, )
2 2 x

−

π

π

0

2

2
+∞

y
0

−∞

y

Đồ thị của: y = cot x
−

3π
2

−
−π

3π
2

π

π

2

2

0

π

x

III. Hàm số y = cotx :
• Miền xác định : D = R\ {kπ , k ∈ Z } .
•

y = cot x là hàm số lẻ trên R

{vì D là miền đối xứng và cot(-x) = cotx}

•

y = cot x tuần hoàn với chu kỳ π .

{vì cot(x + k π ) = cotx với ∀k ∈ Z }

• Dựa vào đường tròn lượng giác ta có chiều biến thiên của hàm số y = cot x trên
khoảng (0 , π ) x 0
π
0
+∞

y
0

y

Đồ thị của: y = cot x

−∞

x

−π

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

−

π

0

π
2

2

5

π

3π
2

2π

www.toanhocdanang.com


HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

B. Các dạng toán :

1. Tìm tập xác định của hàm số y = f ( x) : Thực hiện theo một trong hai hướng sau.
• D là tập hợp tất cả các giá trị của x sao cho f(x) có nghĩa.
• Tìm tập hợp S của x để f ( x) không có nghĩa , từ đó có tập xác định là D = R\S .
Chú ý :
+) với các hàm lượng giác cơ bản :
y = sin x có miền xác định : D = R.

y = cos x thì D = R.

π

y = tan x có miền xác định : D = R\  + kπ , k ∈ Z 
2


y = cot x thì D = R {kπ , k ∈ Z }.

+) f(x) cho bởi các đa thức đại số:
~
 f 1 ( x).và.. f 2 ( x)...có..ngh i a
f 1 ( x)
Nếu f(x) =
thì điều kiện f(x) có nghĩa là 
f 2 ( x)
 f 2 ( x) ≠ 0

Nếu f(x) =

2k

~
 f 1 ( x)..có..ngh i a
f 2 ( x) .(k ∈ Z ) thì điều kiện f(x) có nghĩa là 
 f 2 ( x) ≥ 0

Các ví dụ:
Ví dụ 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:
 2x 

 x −1 

a. y = sin 
d. y =

y
b. =

1
sin x + 1

g. y = sin x

2 − sin x

y
c. =


π

e. y tan  x − 
=
6


f. y =

tan x
2 cos x − 1

i. y =

h. y =

1 − cos2 x

1
tan x − 1
1 + 2 sin x
cot x − 3

Hướng dẩn giải :
 2x 
2x
có nghĩa ⇔ x − 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ 1
 xác định ⇔
x −1
 x −1 

a. Hàm số y = sin 

Vậy hàm số có tập xác định là D = R \{1}
b. Hàm số xác định ⇔ 2 − sin x ≥ 0 ⇔ sin x ≤ 2 đúng ∀x ∈ R (vì −1 ≤ sin x ≤ 1, ∀x ∈ R )
Vậy hàm số có tập xác định là D = R
c. Hàm số xác định ⇔ 1 − cos 2 x ≥ 0 ⇔ sin 2 x ≥ 0 đúng ∀x ∈ R
Vậy hàm số có tập xác định là D = R
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

6

www.toanhocdanang.com


HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

π
2

d. Hàm số xác định ⇔ sin x + 1 > 0 ⇔ sin x > −1 ⇔ sin x ≠ −1 ⇔ x ≠ − + k 2π
(vì −1 ≤ sin x ≤ 1, ∀x ∈ R ). Vậy tập xác định của hàm số là
 π

D= R \ − + k 2π | k ∈ Z 
 2


π
π π
2π
e. Hàm số xác định ⇔ cos  x −  ≠ 0 ⇔ x − ≠ + kπ ⇔ x ≠ + kπ



6

6

2
3
2π
Vậy tập xác định của hàm số là D= R \  + kπ | k ∈ Z 
 3


π

x ≠ + kπ

tan
x
1
≠


4
f. Hàm số xác định ⇔ 
⇔
cos x ≠ 0
 x= π + kπ

2

π
π

Vậy tập xác định của hàm số là D =
 + kπ , + kπ | k ∈ Z 
2
4


g. Hàm số xác định ⇔ sin x ≥ 0 ⇔ k 2π ≤ x ≤ π + k 2π
(nữa đường tròn LG phía trên trục Ox)
Vậy tập xác định của hàm số=
là D [ k 2π , π + k 2π ] , ∀k ∈ Z
h. Hàm số xác định
⇔−

π
3

cos x ≠ 0
1
⇔
⇔ cos x >
2
2 cos x − 1 > 0

+ k 2π < x <

π

3

3

+ k 2π

cos
1
2

0

Vậy tập xác định của hàm số là
π
 π

D = − + k 2π , + k 2π  , ∀k ∈ Z
3
 3


i. Hàm số xác định

π

sin

−

π

3

sin


sin x ≠ 0

⇔ cot x ≠ 3

1
sin x ≥ −

2

cot

π

3

6

0
−

π

1
−
2

6
3π

−
π

4
 x ≠ 6 + kπ

π
3π
⇔  x ≠ kπ
⇔−
+ k 2π ≤ x ≤ − + k 2π
4
4
 3π
π
−
+ k 2π ≤ x ≤ − + k 2π
4
 4

3π

cos
−

π

4

π

Vậy hàm số có tập xác định là: D = − + k 2π , − + k 2π  , ∀k ∈ Z
4
 4


GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

7

www.toanhocdanang.com


HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Ví dụ 2:(Dạng nâng cao) Cho hàm số : y =

sin 4 x + cos 4 x − 2m sin x cos x

Tìm tất cả các giá trị m để hàm số trên xác định x ∈ R (trên toàn trục số)
Giải :
Ta có : g ( x) = sin 4 x + cos 4 x − 2m sin x cos x = ( sin 2 x ) + ( cos 2 x ) − m sin 2 x
2

2

2

1
=
1 − sin 2 2 x − m sin 2 x
( sin 2 x + cos2 x ) − 2sin 2 x cos2 x − m sin 2 x =
2

Đặt:
=
t sin 2 x ⇒ t ∈ [ −1 , 1]
Hàm số xác định với mọi x ∈ R ⇔ g ( x) ≥ 0 , ∀x ∈ R
1
⇔ − t 2 − mt + 1 ≥ 0, ∀t ∈ [ −1 , 1]
2
⇔ f (t ) = t 2 + 2mt − 2 ≤ 0, ∀t ∈ [ −1 , 1]

Dễ thấy f (t ) = 0 có hai nghiệm t1 < 0 < t2 (vì a = 1, c = −2 trái dấu)
Cách 1: sử dụng định lý viet
Khi đó ta có bảng xét dấu của f (t ) như sau :
t

−∞

f (t )

t1
+

0

+∞

t2
-

0

+

Từ bảng xét dấu trên ta thấy :
t1 + 1 ≤ 0 < t2 + 1 ( t1 + 1)( t2 + 1) ≤ 0
f (t )= t 2 + 2mt − 2 ≤ 0, ∀t ∈ [ −1 , 1] ⇔ t1 ≤ −1 < 1 ≤ t2 ⇔ 
⇔
t1 − 1 < 0 ≤ t2 − 1 ( t1 − 1)( t2 − 1) ≤ 0

t t + (t1 + t2 ) + 1 ≤ 0
−2 − 2m + 1 ≤ 0
1
1
⇔12
⇔
⇔− ≤m≤
2
2
 −2 + 2 m + 1 ≤ 0
t1t2 − (t1 + t2 ) + 1 ≤ 0

1
2

Vậy hàm số xác định trên toàn trục số khi − ≤ m ≤

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

8

(theo viet cho f (t ) = 0 )
1
2

www.toanhocdanang.com


HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Cách 2: Sử dụng tính chất đồ thị của Parabol

t 2 + 2mt − 2 có hệ số a = 1 > 0 nên đồ thị của f (t ) sẽ rơi vào 1 trong 3 dạng sau.
Vì f (t ) =
y

y

y
f (1)

f (1)

f (−1)

t

t
-1

-1

0 1
f (−1)

0

t
0

-1

1

1

f (1)
f (−1)

Do đó ta có: Max f (t ) = f (1) hoặc Max f (t=) f (−1)
[ −1, 1]

[ −1, 1]

ycbt ⇔ f (t ) = t 2 + 2mt − 2 ≤ 0, ∀t ∈ [ −1 , 1] ⇔ Max f (t ) ≤ 0
[ −1, 1]

 f (1) ≤ 0
 −1 + 2m ≤ 0
1
1
⇔
⇔
⇔− ≤m≤
2
2
 f (−1) ≤ 0
 −1 − 2m ≤ 0

Bình luận: Ở cách giải 2, ta đã dùng cở sỏ lý thuyết sau: Với S ⊂ D f ( D f : TXĐ của f ( x) )
•

f ( x) ≤ m, ∀x ∈ S ⇔ Max f ( x) ≤ m

•

f ( x) ≥ m, ∀x ∈ S ⇔ Min f ( x) ≥ m

•

f ( x) ≤ m, ∃x ∈ S ⇔ Min f ( x) ≤ m

•

f ( x) ≥ m, ∃x ∈ S ⇔ Max f ( x) ≥ m

S

S

S

S

Bài tập áp dụng :
Bài 1: Tìm tập xác định của hàm số :
a) y =

1
2 cos x − 1

b) y =

2
(tan x − 1)(sin 2 x − 2)

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

π

π

3

3

(ĐS: D = R\  + kπ , − + kπ | k ∈ Z  )


π

π

2

4

(ĐS: D = R\  + kπ , + kπ | k ∈ Z  )

9

www.toanhocdanang.com




HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Bài 2: Tìm tập xác định của hàm số :
a) y = 1 + sinx − cos 2 x

π
5π

(ĐS: D =  + 2kπ ;
+ 2 kπ  )

2

π
π
(ĐS: D =  − + kπ ; − + kπ  )

b) y =

6

 3

− tan 2 x − ( 3 + 1) tan x − 3

Bài 3: Cho hàm số : y =



6

4



sin 4 x + cos 4 x − 2msinx.cosx .

Tìm giá trị của tham số m để hàm số xác định vơi ∀x ∈ R

(ĐS: –

1
1
≤m ≤ )
2
2

Bài 4: Tìm tập xác định của hàm số :
a) y =

cosx
1 − cosx
−
1 + 2cosx 1 − 2cosx

HD:

cosx
1 − cosx
−1
1
−
=
=
2
1 + 2cosx 1 − 2cosx 1 − 4 cos x 2 cos 2 x + 1

1
2

Hàm số xác định ⇔ cos 2 x > − ⇔ −
b) y =

c) y =


ĐS:=
D R \  kπ ,

1
cot x − 3



1
4 − 5cosx − 2 sin 2 x

4π
4π
+ k 2π < x <
+ k 2π
3
3

sin x ≠ 0

+ kπ | k ∈ R  HD: 
6

cot x ≠ 3

π

π

ĐS: D =R \ − k 2π ,
 3

π


+ kπ | k ∈ R 
3


cos x ≠ 2

HD: 4 − 5cosx − 2sin x ≠ 0 ⇔ 4 − 5cosx − 2(1 − cos x) ≠ 0 ⇔ 2 cos x − 5cos x + 2 ≠ 0 ⇔ 
1
cos x ≠ 2
2

2

2

2. Xét tính tuần hoàn của hàm số :
Dạng 1:Chứng minh hàm số y = f ( x) có tính chất tuần hoàn .
• Đoán số thực T >0 ( có thể là chu kỳ của hàm số hoặc cũng có thể là bội nguyên của
chu kỳ).

 x − T ∈ D và x + T ∈ D
f ( x)
 f (x + T ) =

• Chứng minh ∀x ∈ D ta luôn có 

• Kết luận y = f ( x) là hàm số tuần hoàn .

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

10

www.toanhocdanang.com


HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

π
Ví dụ: Chứng minh hàm số y = f ( x) = 2 cos  2 x −  + 1 là một hàm số tuần hoàn.
3

2

Giải
π
π


Ta có: =
y f (=

x) 2 cos  2 x −  +=
1 cos  4 x −  + 2 có TXĐ: D = R.
6
3


2

Xét T =

π
2

ta có:

∀x ∈ R ⇒ x + T = x +

π
2

∈R

 
π π

π

+ T ) sin  4  x +  − =
+ 2 sin  4 x −  + 2π  + 2
f ( x=


2  3
3
 



π
π
π



= sin  4 x −  cos 2π + cos  4 x −  sin 2π=
+ 2 sin  4 x − =
+ 2 f ( x) , ∀x ∈ R
3
3
3




Vậy hàm số tuần hoàn {Dễ dàng chứng minh được chu kỳ chình là T =

π

2

}

Dạng 2:Chứng minh TO là chu kỳ của hàm số y = f ( x) (Chứng minh phản chứng)
(2)
f ( x)
• Giả sử ∃T ∈ R sao cho 0 < T < TO(1) thỏa mãn ∀x ∈ D thì f ( x + T ) =
• Biến đổi đẳng thức (2) để có được mâu thuẫn với giả thiết (1).
• Mâu thuẫn trên chứng tỏ TO là số thực dương bé nhất thỏa mãn tính chất tuần hoàn của
hàm số
⇒ TO là chu kỳ của y = f ( x)
y f=
( x) sin 2 x có chu kỳ là T = π
Ví dụ: Chứng minh hàm số=

Giải
Giả sử ∃T ∈ R : 0 < T < π

(1)

f ( x)
thỏa mãn ∀x ∈ R thì f ( x + T ) =

T ) f ( x), ∀x ∈ R ⇔ sin(2 x + 2=
T ) sin 2 x (*), ∀x ∈ R
Khi đó ta có: f ( x +=

Xét x =

π

π

π

π

π

ta có: sin  + 2T  =sin =1 ⇔ + 2T = + k 2π ⇔ T =kπ
4
2
2
2
2

mâu thuẫn với (1)vì k ∈ Z

f ( x) , ∀x ∈ R
Do đó không có số dương T nào nhỏ hơn π thỏa điều kiện f ( x + T ) =
=
y f=
( x) sin 2 x có chu kỳ T = π
Vậy hàm số
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

11

www.toanhocdanang.com


HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Bình luận:Để có thể dẫn đến mâu thuẫn thì ta phải xét x =

π
4

π

=
2 x sin
= 1
để sin
2

(tức là luôn chọn giá trị cho x để vế phải của (*) bằng 1
Dạng 3:Xác định chu kỳ của hàm số lượng giác bất kỳ.(sử dụng các chú ý sau)
Các chú ý cần nhớ về chu kỳ của hàm số lượng giác :
• Các hàm số y = sin(ax + b) + c và y = cos(ax + b) + c (với a ≠ 0)
tuần hoàn với chu kỳ T =

2π
a

• Các hàm số y = tan(ax + b) + c và y = cot(ax + b) + c (với a ≠ 0)
tuần hoàn với chu kỳ T =

π
a

• Giả sử f ( x) và g ( x) tuần hoàn với chu kỳ tương ứng là Tf , Tg .

F ( x) mf ( x) + ng ( x) tuần hoàn với chu kỳ: T = BSCNN(Tf ,Tg)
⇒=
• Trong trường hợp hám số chứa các số hạng chứa các hàm lượng giác bậc cao
hoặc có dạng tích ta cần dùng công thức hạ bậc hoặc công thức tích thành
tổng trước khi đi tìm chu kỳ.
• Nếu f ( x) tuần hoàn thì đồ thị của chúng cắt trục hoành (nếu có) tại những
điểm cách đều nhau.
Bài tập áp dụng :
Bài 1: Chứng minh rằng hàm số y = sinx tuần hoàn với chu kỳ T = 2 π .
Bài 2: Hàm số nào sau đay có tính chất tuần hoàn .Xác định chu kỳ của nó (nếu có)
a) f ( x) = tan(3x c) f ( x) = sin2x

π
)
6

(ĐS: T =

π
)
3

b) f ( x) = 2cos2(2x +

π
π
) (ĐS: T = )
3
2

(ĐS: T = π )

Bài 3: Hàm số nào sau đay có tính chất tuần hoàn .Xác định chu kỳ của nó (nếu có)
a) f ( x) = sinx +
b) f(x) = 2tan

1
1
sin2x + sin3x
3
2

(ĐS: T = 2 π )

x
x
– 3tan (ĐS: T = 6 π )
3
2

c) f ( x) = cosx + (1 + cos2x) + (cos3x – 3cosx)

(ĐS: T = 2 π )

d) f ( x) = sinx + sin(x 2 )
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

12

www.toanhocdanang.com

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

HD: không tuần hoàn vì 2 ∉ Q nên không có khái niệm bội số chung
e) f ( x) = tan x
HD: nếu f tuần hoàn thì đồ thị của chúng cắt trục hoành tại những
điểm cách đều nhau
f) f ( x) = sin(x2) (HD: tương tự câu e )
g) f ( x) = tan x

(ĐS: T = π )

h) f ( x) = 2cos2x + 3cos3x + 8cos4x

(ĐS: T = 2 π )

3. Xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác :
Phương pháp :
• Tìm tập xác định D và kiểm tra tính chất đối xứng của D.
+) Nếu ∃x ∈ D ⇒ − x ∉ D . Ta kết luận : Tập D không đối xứng nêu hàm số
không chẵn không lẻ
+) Nếu ∀x ∈ D ⇒ – x ∈ D. Ta có : D là tập đối xứng , thực hiện tiếp bước 2.
• Xác định f (− x)
f ( x) . Ta kết luận : y = f ( x) là hàm số chẵn.
+) Nếu f (− x) =
− f ( x) . Ta kết luận : y = f ( x) là hàm số lẻ.
+) Nếu f (− x) =

+) Nếu f (− x) ≠ f ( x) và f (− x) ≠ − f ( x) . Ta kết luận : y = f(x) là hàm số

không chẵn không lẻ
Chú ý : ( Tính chất đối xứng của hàm lượng giác cơ bản)
• y = sinx có vô số tâm đối xứng là Ik (k π ; 0) và vô số trục đối xứng x =

π
+ k π (k ∈ Z)
2

π
2

• y = sinx có vô số tâm đối xứng là Ik ( +k π ; 0) và vô số trục đối xứng x = k π (k ∈ Z)
π
; 0)
2
π
• y = cotx có vô số tâm đối xứng là Ik ( k ; 0 )
2

• y = tanx có vô số tâm đối xứng là Ik ( k

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

13

( với k ∈ Z)
( với k ∈ Z)

www.toanhocdanang.com

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

y f=
( x)
Ví dụ 1: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số:=

1
2sin x + 3

Giải
Tập xác đinh: D = R
Ta có : ∀x ∈ R ⇒ x ∈ R
Xét x =

π
6

1
1
1
π 
=
= =
f 
 6  2sin π + 3 2. 1 + 3 4
6
2
1
1

1
 π
=
=
f=
− 
 6  2sin  − π  + 3 2.  − 1  + 3 2


 
 6
 2

ta có:

π

π

Do đó: f  −  ≠ − f   đồng thời
 6
6
Vậy hàm số y =

 π
π 
f −  ≠ f  
 6
6

1
không có tính chẵn , lẻ.
2sin x + 3

y f=
(x)
Ví dụ 2: Chứng minh rằng đồ thị của hàm số=

sin x − tan x
nhận Oy làm trục
2sin x + 3cot x

đối xứng.
Giải
Hàm số xác định
 x ≠ kπ
π

sin x ≠ 0
π

x≠k
 π

x
k
≠





2
⇔ cos x ≠ 0
⇔  x ≠ + kπ
⇔
⇔
2
2sin x + 3cot x ≠ 0  2
−2cos 2 x + 3cos x + 2 ≠ 0  x ≠ ± 2π + k 2π
2

2sin x + 3cos x ≠ 0 
3


TXĐ:
D R \ k
=

π

 2

, ±

2π

+ k 2π | k ∈ Z 
3


Do đó ta có: ∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D
∀x=
∈ D ta có f (− x )
=

(1)

sin ( − x ) − tan ( − x )
( − sin x ) − ( − tan x )
=
2sin ( − x ) + 3cot ( − x ) 2 ( − sin x ) + 3 ( − cot x )

− ( sin x − tan x )
sin x − tan x
= = f (x)
− ( 2sin x + 3cot x ) 2sin x + 3cot x

Từ (1) và (2) ta có: y =

{theo công thức đối}

sin x − tan x
là hàm số chẵn
2sin x + 3cot x

Vậy đồ thị của hàm số y =

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

(2)

sin x − tan x
nhận Oy là trục đối xứng.
2sin x + 3cot x

14

www.toanhocdanang.com


HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Bài tập áp dụng :

Bài 1: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số :
f ( x) = sin

2009

ĐS: không chẳn,không lẻ

với (n ∈ Z)

x + cosnx

Bài 2: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số :
a) f ( x) =

x2

sin x + tan x

ĐS: Hàm số lẻ
ĐS: lẻ

b) f ( x) = x sinx
sin 2008 n x + 2009
c) f ( x) =
cos x

(n ∈ Z)

ĐS: Chẵn

Bài 2: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số :
π

b) y =

1
2sin x − 1

ĐS: không chẵn ,không lẻ
π

HD: TXĐ: D = R \  + k 2π ,
6

y sin x + cos x
c)=

d)=
y tan x + cot x
e) y = sin x cos x
f) y =

π

ĐS: không chẵn ,không lẻ (vì f   = −1 , f  −  =
−5 )
2
 2

=
y 2sin x − 3
a)

cos3 x + 1

sin3 x
g) y = tan x

π
π
5π

+ k 2π | k ∈ Z  do đó ta có: − ∈ D mà ∉ D
6
6
6



π
3 +1  π  − 3 +1
ĐS: không chẵn ,không lẻ (vì f   =
, f −  = )
2
2
3
 3
ĐS: Hàm số lẻ
ĐS: Hàm số lẻ

ĐS: Hàm số lẻ

ĐS: Hàm số chẵn
Bài 3: Chứng minh rằng đồ thị hàm số sau có trục đối xứng :
=
y f=
( x)

cos x
6x + 4x4 + 2x2 + 1

HD: Chứng minh f ( x) là hàm số chẵn ⇒ dfcm

6

Bài 4: Chứng minh rằng đồ thị hàm số sau có tâm đối xứng :
=

y f=
( x)

cos 2008 n x + 2009
sin x

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

HD: Chứng minh f ( x) là hàm số lẻ ⇒ dfcm

15

www.toanhocdanang.com


HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

4. Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm lượng giác :

Chuyển hàm số y = f(x) về dạng các hàm số lượng giác cơ bản và xét chiều biến thiên theo
bảng( với k ∈ Z).
SinU
Đồng biến

(-

cosU
(- π + k2 π , k2 π )

π

π
+ k2 π ,
+ k2 π
2
2

(

π

Nữa ĐTLG có tung độ
>0

π
π
+ k2 π , 3 + k2 π
2
2

cotU

R  + kπ , k ∈ Z 
2

)
Nữa ĐTLG có hoánh
độ >0
Nghịch
biến

tanU


Cả miền xác
định
R {kπ , k ∈ Z }

(k2 π , π + k2 π )

Cả miền xác
định

Nữa ĐTLG có tung độ
>0

)
Nữa ĐTLG có hoánh
độ <0

π  π

Ví dụ: Xét sự biến thiên củ hàm số =
y 4sin  x +  cos  x −  − sin 2 x trên 1 chu kỳ của nó.


6



6

Từ đó suy ra sự biến thiên trên toàn trục số.
Giải
π
π
π
Ta có : y = 4sin  x +  cos  x −  − sin 2 x = 2  sin 2 x + sin  − sin 2 x ⇔ y = sin 2 x + 3
6
6
3












Do đó hàm số đã cho có chu kỳ T = π nên ta xét sự biến thiên trên [ 0 , π ]
Bảng biến thiên:x

0

2x

0

π
4
π
2

π
2
π

3π
4
3π
2

π
2π

1+ 3
y

3

3

3
−1 + 3

Từ bảng biến thiên ta có:

3π
π
Hàm số đồng biến trên các khoảng  0 ,  và  , π 
 4

 4

π 3π
Hàm số nghịch biến trên khoảng  , 
4

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

16

4 

www.toanhocdanang.com


HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

π

π


 

y sin 2 x + 3 tuần hoàn với chu kỳ T = π

y 4sin  x +  cos  x −  − sin 2 x ⇔=
Hàm số:=
6
6








π
3π
Hàm số đồng biến trên các khoảng  kπ , + kπ  và  + kπ , π + kπ 
4


 4

π
3π
Hàm số nghịch biến trên khoảng  + kπ , + kπ 
4

4



với k ∈ Z

Bài tập áp dụng :
Bài 1: Xét sự biến thiên của hàm số sau trên một chu kỳ của nó
a) y = tan2x

b) y = 1 – sinx.

Bài 2: Xét sự biến thiên của hàm số sau trên một chu kỳ của nó
y = sinx – cosx
Bài 3: Xét sự biến thiên của hàm số sau trên một chu kỳ của nó
a) y = cos2x

b) y = cot3x

Bài 4: Vẽ đồ thị của các hàm số :
a) y = cos x

b) y = tan x

c) y = cot(-x)

d) y = 1 – sinx

Bài 5: Vẽ đồ thị của các hàm số :
a) y = sin(x –

π
)
4

c) y = cot(x –

π
)
3

b) y = 1 + cosx
d) y = tan(2x –

π
)
6

5. Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác :
Sử dụng tính bị chặn của hàm số lượng giác ( với k ∈ Z).
• -1 ≤ sin2k+1 [f(x)] ≤ 1

sin[ f ( x)] ≤ 1

0 ≤ sin2k[f(x)] ≤ 1

• -1 ≤ cos2k+1 [f(x)] ≤ 1

cos[ f ( x)] ≤ 1

0 ≤ cos2k[f(x)] ≤ 1

Sử dụng tính chất của tam thức bậc hai .
• Nếu a < 0 thì ax 2 + bx + c ≤ –

∆
4a

• Nếu a > 0 thì ax 2 + bx + c ≥ –

∆
4a

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

17

www.toanhocdanang.com


HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

• Nếu hàm số bật 2 mà có điều kiện không phải ∀x ∈ R thì ta phải lập bảng biến
thiên của Parabol tương ứng để tìm được GTLN hoặc GTNN.
Sử dụng tính chất của hàm số bậc nhất theo Sin , Cos


a
b
=
y a sin u + b cos u ⇒ y =
sin u +
cos u  a 2 + b 2
 2
2

a 2 + b2
 a +b


a
Vì  2 2
 a +b

⇒ y=

2



b
 + 

 2
2

 a +b

2


a
b
 = 1 ⇒ ∃α ∈ R sao cho cos α =
sin x =
và


a 2 + b2
a 2 + b2


a 2 + b 2 (sin u.cos α + cos u.sin α ) ⇒ y=

Vì -1 ≤ sin(u + α ) ≤ 1

⇒ –

a 2 + b 2 sin(u + α )

a2 + b2 ≤ y ≤ a2 + b2

 Mở rộng :
• a.sinx + b.cosx = c (1) . ∃ x thỏa (1) ⇔ – a 2 + b 2 ≤ c ≤ a 2 + b 2
•

y = a.sin [ f ( x) ] + b cos [ f ( x) ] + c ⇔ –

a2 + b2 + c ≤ y ≤ a2 + b2 + c

Ví dụ 1: Cho hàm số y =
2 cos 2 x − 2 3 sin x cos x + 1
a. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên
7π
b. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn 0 ,  .


12 

Giải
=
y 2 cos 2 x − 2 3 sin x cos x=
+ 1 cos 2 x − 3 sin 2 x + 2

1

3
π
π

sin=
2 x  + 2 2  cos 2 x cos − sin 2 x sin  + 2
=
⇔ y 2  cos 2 x −
2
3
3

2


π

=
⇔ y 2 cos  2 x +  + 2
3


a. Ta có:

π

−1 ≤ cos  2 x +  ≤ 1 , ∀x ∈ R
3


π

⇔ −2 ≤ 2 cos  2 x +  ≤ 2 , ∀x ∈ R
3


π

⇔ 0 ≤ 2 cos  2 x +  + 2 ≤ 4 , ∀x ∈ R
3

⇔ 0 ≤ y ≤ 4 , ∀x ∈ R

Vậy

π
π

Max( y ) = 4 khi cos  2 x +  =⇔
− + kπ
1 x=

3
6

π
π

Min( y ) = 0 khi cos  2 x +  =−1 ⇔ x = + kπ
3
3


GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

18

www.toanhocdanang.com


π

b.=
y 2 cos  2 x +  + 2


HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

3

π
π 3π

7π
 7π 
∀x ∈ 0 ,
⇔0≤ x≤
⇔ ≤ 2x + ≤

12
3
3
2
 12 
π

 7π 
Lập bảng biến thiên của hàm số=
y 2 cos  2 x +  + 2 trên đoạn 0 ,

x

2x +

π
3
π

π

π
3

0

π
3

12

π
2

3  7π
12
3π
2





3

f ( x)

2

2

0

Từ bảng biến thiên ta thấy:

Min f ( x) = 0 Khi x =

 7π 
0 , 12 



π
3

Max f ( x) = 3 khi x = 0

 7π 
0 , 12 



số y
Ví dụ 2: Tìm GTNN và GTLN của hàm =

4

sin x − cos x

Giải
0 ≤ 4 sin x ≤ 1
⇒ −1 ≤ 4 sin x − cos x ≤ 1 ⇔ −1 ≤ y ≤ 1
Ta có: 
0 ≤ cos x ≤ 1


 x=
=
sin
1
x

⇔
Max ( y ) = 1 khi 
cos x = 0
 x=


π
2

π

2

+ k 2π
⇔x=
+ kπ

=
sin x 0=
 x kπ
⇔
Min ( y ) = −1 khi 
=

cos x 1=
 x k 2π

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

19

π
2

+ k 2π

⇔x=
k 2π

www.toanhocdanang.com

12 


HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Bài tập áp dụng :

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của các hàm số .
a) y = 2sinx + 4

(ĐS: 6 và 2)

b) y = 1 – 2cosx – 2sin2x

(ĐS: 3 và − )

c) y = sinx + 3 cosx

(ĐS:2 và -2)

d) y =

3
2

sin x + 2 cos x + 3
2 sin x + cos x + 3

(ĐS:2 và

1
)
2

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của các hàm số .
a) y = 2(1 + sin2x.cos4x) –

1
(cos4x – cos8x)
2

(ĐS: 5 và 1)
(ĐS: 1 và

b) y = sin10x + cos10x
c) y =
e) y =

2 + cos x
sin x + cos x − 2

d) y =

2 cos 2 x + cos x + 1

sin x + 2 cos x + 3
2 cos x − sin x + 4

f) y = 2sin2x + 4sinx.cosx + 5

cos x + 1

g) y = 1 +

1
)
16

3 sin x
2 + cos x

h) y = sin

4x
2x
+1
+ cos
2
1+ x
1+ x2

Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số .
y=

1
1
+
sin x cos x

(ĐS: 2 2 )

Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số .
y = cos 2 x + 7 sin 2 x + sin 2 x + 7 cos 2 x

(4 và 1 + 7 )

Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số .
y = sin x + cos x

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

20

www.toanhocdanang.com


HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số .
a) y = sinx + 3sin2x
b) y = 1 + 2 sin x + 1 + 2 cos x
x
c) y = cos3x + 2sin 2
2

Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của các hàm số .
a) y = 1 − 2 cos x + 1 − 2 sin x
b) y = 1 + 2 cos x + 1 + 2 sin x
c) y =

3 cos 4 x + 4 sin 2 x
3 sin 4 x + 4 cos 2 x

Bài 8: Tìm m để giá trị nhỏ nhất của hàm số : y =
Bài 9: Cho hàm số :

y=

m. sin x + 1
nhỏ hơn – 1 .
cos x + 2

2m sin x + m

.
cos x + sin x + 2

a) Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số với m = 1.
b) Xác định m để giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 10: Cho hàm số :

y=

2m cos x + m + 1
.
cos x + sin x + 2

a) Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số với m = 1.
b) Xác định m để giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 11: Cho hàm số :
F(x) = cos22x + 2(sinx + cosx)2 – 3sin2x + m.
Tính theo m giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của F(x).Từ đó tìm m sao cho F2(x) ≤ 36 , ∀ x ∈ R
Bài 12: Tìm giá trị nhỏ nhất của :
1
1
π
+
với 0 < x <
sin x cos x
2
9π
b. y =4 x + + sin x với 0 < x < +∞
x
y

a.=

c. y =
2sin 2 x + 4sin x cos x + 5

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

21

www.toanhocdanang.com


HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Bài 13: Tìm giá trị nhỏ nhất của :

=
a. y sin x cos x + cos x sin x

y sin x + 3sin 2 x
b.=

c. y= cos x + 2 − cos 2 x
6. Một số phép biến đổi đồ thị:
y f ( x) ± a hoặc=
y f ( x ± a ) thì ta
• Từ đồ thị hàm số y = f(x), suy ra đồ thị hàm số=
thực hiện phép tịnh tiến như hình vẽ .
với a > 0

=
y f ( x) + a (cùng chiều dương trục Oy)
a đơn vị

y = f ( x)

=
y f ( x + a)
(ngược chiều dương trục Ox)

=
y f ( x − a)
(cùng chiều dương trục Ox)

=
y f ( x) − a (ngược chiều dương trục Oy)

• Từ đồ thị y = f(x), suy ra đồ thị y = –f(x) bằng cách lấy đối xứng đồ thị
f(x) qua trục hoành.
• Từ đồ thị y = f(x), suy ra đồ thị y = f(-x) bằng cách lấy đối xứng đồ thị
y = f(x) qua trục tung.
 f ( x ), neáu f ( x ) ≥ 0
• Đồ thị=
y =
f (x) 

− f ( x ), neáu f ( x ) < 0

y

=

được suy từ đồ thị y = f(x) bằng cách giữ

nguyên phần đồ thị y = f(x) ở phía trên Ox và bỏ phần đồ thị phía dưới Ox đồng thời
lấy đối xứng phần đồ thị y = f(x) nằm ở phía dưới Ox qua trục Ox.
 f ( x ), neáu x ≥ 0
• Đồ thị=
y f=
(x) 

 f (− x ), neáu x < 0

được suy từ đồ thị y = f(x) bằng cách giữ

nguyênphần đồ thị y = f(x) ở phía phải Oy ( x ≥ 0 ) và bỏ phần đồ thị phía trái Oy
đồng thời lấy đối xứng phần đồ thị y = f(x) nằm ở phía phải Oy qua trục Oy.
• Đồ thị y = k . f ( x) được suy từ đồ thị y = f(x) bằng cách có ( k < 1 ) giản ( k > 1 ) theo
phương của trục tung (Oy) theo tỷ số k
• Đồ thị y = f (k .x) được suy từ đồ thị y = f(x) bằng cách có ( k < 1 ) giản ( k > 1 ) theo
phương của trục hoành (Ox)theo tỷ số k

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

22

www.toanhocdanang.com


HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Ví dụ 1: Cho hàm số y = 3cos 2 x

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên .

π



b. Từ đồ thị của hàm số y = cos 2 x hãy suy ra đồ thị của=
y 3sin  2 x +  + 2
3




Giải
a. TXĐ: D = R
Bảng biến thiên:

x

0

2x

0

3π
4

3π
2

π
2
π

π
4
π
2

π
2π

3

3

f ( x)
0

0
-3

π
Hàm số ngịch biến trên các khoảng  kπ , + kπ 




2

π
Hàm số đồng biến trên các khoảng  + kπ , π + kπ  , k ∈ Z (vì hàm số có chu kỳ T = π )
2

Đồ thị:



y

3

−π

π
−
2

π
−
4

0

π
2

π
4

3π
4

x

π

5π
4

-3

Nhận xét : Đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng , Hàm số tuần hoàn với chu kỳ T = π
b.
Bước 1: Bằng cách tịnh tiến (C): y = cos 2 x theo ngược chiều dương của trục
Ox

π
π
π


đơn vị ta có được đồ thị (C’):
=
y 3sin  2 x +  vì =
(C ') : y 3sin 2  x + 
6

3
6


y

3

−

7π
6

−

2π
3

5π − π
−
6
12

0 π

12

π
3

7π
12

5π
6

13π
12

x

-3

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

23

www.toanhocdanang.com


HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

π



Bước 2: Bằng cách tịnh tiến đồ thị (C’):
=
y 3sin  2 x +  lên trên 2 đơn vị
3





π



(theo cùng chiều dương của trục Oy) ta có đồ thị (C ")=
: y 3sin  2 x +  + 2
3


y



3

−
−

2π
3

π
−
6

7π

6

π
3

x

5π
6

0
-1

13π
12

π

Bước 3: Bằng cách giữ nguyên phần đồ thị (C”):=
y 3sin  2 x +  + 2 nằm phía


3

trên trục Ox , và bỏ phần đồ thị phía dưới Ox đồng thời lấy đối xứng phần đồ thị
(C”) nằm ở phía dưới Ox qua trục Ox ta thu được đồ thị của hàm số :
π

=
y 3sin  2 x +  + 2 như hình vẽ sau:

3

y
3

−

7π
6

π
−
6

2π
−
3

0
-1

π
3

x
5π
6

13π
12

Ví dụ 2: Tìm các phép biến hình để có thể biến đồ thị (C) thành (C’) sau đay:
a. (C ) : y = sin x
π

b. =
(C ) : y 2 tan  x − 


6

c. (C ) : y = cos x
d. (C ) : y = cos x

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

24

π

− sin  x +  + 1
(C ') : y =
3

π

(C ')=
: y 2 tan  − x −  − 3
6


π

(C ') :=
y cos  x −  + 3
4

(C ') : y =
−2 cos x + 2

www.toanhocdanang.com


HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Giải

a. Để biến đổi (C) thành (C’) ta cần thực hiên lần lượt các bước sau:
Bươc 1: Tịnh tiến (C) sang trái

π
π

sin  x + 
đơn vị ta có ( C=
1): y
3
3


(theo ngược chiều dương trục Ox )

π

Bươc 2: Đối xứng ( C1 ) qua trục Ox ta được ( C2 ) : y =
− sin  x + 


3

Bươc 3: Tịnh tiến ( C2 ) lên trên 1 đơn vị ta có ( C ') (theo chiều dương trục Oy )
b. Để biến đổi (C) thành (C’) ta cần thực hiên lần lượt các bước sau:
π

: y 2 tan  − x − 
Bươc 1: Đối xứng ( C ) qua trục Ox ta được ( C1 )=


6

Bươc 2: Tịnh tiến ( C1 ) xuống dưới 3 đơn vị ta có ( C ')
(theo ngược chiều dương trục Oy )
c. Để biến đổi (C) thành (C’) ta cần thực hiên lần lượt các bước sau:
Bươc 1: Tịnh tiến (C) sang phải

π
π

cos  x − 
đơn vị ta có ( C=
1): y
4

4


(theo chiều dương trục Ox )
Bươc 2:Giữ nguyên phần đồ thị ( C1 ) ở phía phải Oy ( x ≥ 0 ) và bỏ phần đồ
thị phía trái Oy đồng thời lấy đối xứng phần đồ thị ( C1 ) nằm ở phía
π



cos  x − 
phải Oy qua trục Oy, ta thu được đồ thị ( C=
2): y
4




Bươc 3: Tịnh tiến ( C2 ) lên trên 3 đơn vị ta có được đồ thị ( C ')
(theo chiều dương trục Oy)
d. Để biến đổi (C) thành (C’) ta cần thực hiên lần lượt các bước sau:
Bươc 1: Thực hiện phép giản (C) 2 đơn vị ta thu được ( C1 ) : y = 2 cos x
Bươc 2: Đối xứng ( C1 ) : y = 2 cos x qua trục Ox ta thu được ( C2 ) : y = −2 cos x
−2cos x + 2
Bươc 3: Tịnh tiến ( C2 ) : y = −2cos x lên trên 2 đơn vị ta thu được (C ') : y =

(theo chiều dương trục Oy)

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

25

www.toanhocdanang.com