PHƯƠNG PHÁP hàm số HIỆN đại CHINH PHỤC 9 điểm

Bài 1: Những

điều cần biết để giải PT_HPT_BPT. Phương pháp sử dụng hàm
số( hàm đặc trưng).
Chúng ta đã biết, câu phân loại điểm 9 trong đề thi THPT Quốc gia liên quan đến lĩnh vực này. Để có thể
xử lý một cách hiệu quả cần rèn luyện theo đúng các phương pháp và nâng tầm tư duy. Thông thường,
một lời khuyên là trong khi xử lý 1 bài( không phải tự dung chúng ta suy ra được cách giải hay nhìn phát
ra luôn), chúng ta nên xử lý theo các phương pháp sau( THỨ TỰ ƯU TIÊN TỪ TRÊN XUỐNG DƯỚI).
1. Phương pháp hàm đặc trưng.
2. Phương pháp đặt ẩn phụ( thường là đưa về phương trình tích).
3. Phương pháp sử dụng liên hợp – ép tích – tách nhân tử.
4. Phương pháp đánh giá( sử dụng BĐT để đánh giá VT

≥

VP hoặc ngược lại).

Trong khoá học này, chúng ta sẽ cùng nhau nghiên cứu “ Bộ tứ” phương pháp giải trên kèm theo là các
bài tập và buổi tổng ôn tập. Đặc biệt là CÁCH NHẬN ĐỊNH PHƯƠNG PHÁP LÀM CHO BÀI THÔNG
QUA VIỆC LOẠI TRỪ.
Đối với một phương trình hay bất phương trình( thường là vô tỷ), chúng ta cần:
1. Sử dụng máy tính để tìm nghiệm trước( vừa định hướng giải, vừa giúp ta kiểm tra đáp số sau
này).
2. Chú ý đến điều kiện hay sự đặc biệt( nghiệm bội, loại nghiệm,..) và đương nhiên là kĩ năng áp
dụng phương pháp nào trong 4 phương pháp trên.
3. Đối với BPT cần lưu ý đến việc dấu( nhân hay chia 1 biểu thức) và việc xét dấu sau này.
Đối với một hệ phương trình, thông thường sẽ có 2 hướng giải:
1. Từ 1 phương trình, rút được x theo y rồi thế vào phương trình còn lại giải phương trình( 1 ần
và thường vô tỷ). Việc tìm quan hệ này cũng tuân theo 4 phương pháp trên và công cũ hữu
ích là máy CASIO.
2. Rút thế phương trình nọ sang phương trình kia. CÁCH NÀY RẤT ÍT ĐƯỢC BGD QUAN

TÂM ĐẾN.
( Xem them khoá CASIO HOÀN TOÀN MIỄN PHÍ tại đây: />
Phương pháp 1: Phương

pháp sử dụng hàm đặc trưng.

Cách làm: Phương pháp sử dụng hàm đặc trưng là việc chúng ta đưa phương trình ban đầu về theo 2 vế
của dấu “ = “ thành 2 biểu thức( 2 hàm số) có dạng tương tự nhau. Ví dụ:
trọng nhất). Dưới đây là các bước làm cụ thể:

x + x2 = y + y 2

( Điều quan

1. Đưa phương trình đã cho thành dạng hàm đặc trưng( có dạng tương tự nhau ở cả 2 vế).
2. Thiết lập hàm đặc trưng( theo ví dụ trên thì

f (t ) = t + t 2

).


3. Chứng minh hàm đó đồng biến hoặc nghịch biến( dung đạo hàm) và quan trọng là phải liên
tục tại miền nghiệm.
4. Kết luận: Do hàm đồng biến nên

f ( x) = f ( y ) → x = y

.

Dưới đây là các dạng thường gặp. Tuy nhiên trong các trường hợp phân loại thì sẽ phức tạp và khó hình
dung hơn:

Chúng ta cùng đến các ví dụ cụ thể sau( VIDEO):

VD1:

2 y 3 + 12 y 2 + 25 y + 18 = (2x + 9) x + 4

2
2
 3x + 1 + 3x − 14x − 8 = 6 − 4 y − y

.

3x(2 + 9x 2 + 3) + (4x + 2)(1 + 1 + x + x 2 ) = 0
VD2:

VD3:

.

( x − 1) x 2 − 2x + 5 ≥ 4x x 2 + 1 + 2( x + 1)

.

Bài tập tự luyện ( Chữa ở buổi sau, các bạn tự làm trước nha).

BT1:

 x + 3 + 4 x − 2 − y 4 + 5 = y
 2
2
 x + 2 x( y − 2) + y − 8 y + 4 = 0

.


BT2:

BT3:
BT4:

1
2x + 1 + 3 − 2x + 4 + 2 3 + 4x − 4x 2 = (4x 2 − 4x + 3)(2x − 1) 2
4
1 + x( x 2 + 2 + 2) + (x + 1) x 2 + 2x + 3 = 0
x x − 1 = (2x − 3) 2 (2x − 2) + x − 2

x +1 ≥
BT5:

.

.

.

x 2 − x − 2 3 2x + 1
3

2x + 1 − 3

Phương pháp 1: Phương pháp sử dụng hàm đặc trưng( Tiếp theo).

I, Lý thuyết:
Sau buổi đầu đã phần nào quen thuộc, bây giờ chúng ta sẽ nhắc lại lí thuyết về hàm đặc trưng
một chút:
y=

1
x−7

Mấu chốt: Cho hàm f(x) đơn điệu là 1 hàm liên tục với tập xác định là D. (Hàm
sẽ
1
y=
x−7
không liên tục với mọi x là số thực nhưng hàm
với x > 7 lại liên tục nhé). Khi f(x)
a, b ∈ D, f (a ) = f (b) ⇔ a = b
đồng biến hoặc nghịch biến trên D thì:
.
Ứng dụng trong bất phương trình:

1) Nếu f(x) là một hàm tăng với

∀x ∈ D

và f(x) liên tục trên D thì:

 a, b ∈ D
⇔ a≥b

 f (a ) ≥ f (b)

ngược lại.

2) Nếu f(x) là một hàm giảm

∀x ∈ D

và f(x) liên tục trên D thì:

ngược lại.
Các phương pháp HIỆN ĐẠI xử lý hàm đặc trưng:
Chúng ta xem xét ví dụ sau đây:

 a, b ∈ D
⇔a≤b

 f (a ) ≥ f (b)

và

và


VD: Giải hệ phương trình:

 2x 3 − 4x 2 + 3x − 1 = 2x 2 (2 − y ) 3 − 2 y



 x + 2 = 3 14 − x 3 − 2 y + 1

.

Phân tích tìm tòi lời giải:
-

Bước 1: Nhìn qua ta cũng biết cần xử lý phương trình (1) trước, tìm được quan hệ x, y
sau đó thế xuống dưới giải nốt. :D
Bước 2: Sử dụng công cụ máy tính CASIO tìm quan hệ:
Nhập PT 1: X = 100, SHIFT SOLVE for Y ta nhận được Y = 1,0095. Theo các
bước đã học( trong khoá casio MIỄN PHÍ) ta thay vào căn:
99 100 − 1 x − 1
1
3− 2y =
=
=
= 1−
100
100
x
x
( phân tích hệ số theo x như vậy). Do đó ta
3 − 2 y = 1−

-

-

1
x

có nhân tử rồi:
.
Bước 3: Một KINH NGHIỆM nữa là nếu x, y có thể chuyển hoàn toàn độc lập với nhau
thì 90% là sử dụng được hàm số. Chúng ta sẽ nhắc thêm các kinh nghiệm này ở bài sau.
Chia cả 2 vế cho x3 ta được( việc xét x khác 0 đơn giản nhưng đừng quên nhaz):
4 3 1
(1) ⇔ 2 − + 2 − 3 = (4 − 2 y ) 3 − 2 y
x x
x
Bước 4: Xử lý và đưa về hàm số:
3− 2y
Chúng ta đã có mối quan hệ ở bước 2. Có thể đặt t =
cho đơn giản cũng được
nhưng mình sẽ làm luôn. Đến đây phân tích như sau:
1) Hàm đặc trưng thì chúng ta cần đưa 2 vế của dấu bằng thành 2 biểu thức hàm
→
số TƯƠNG TỰ NHAU( chỉ đổi biến)
Ta sẽ xét từ bậc cao xuống bậc thấp.
1
3 − 2 y ,1 −
→
x
2) Nhìn nào: Bậc cao nhất của ông
trong phương trình là bậc 3
f (t ) = at 3 + bt 2 + ct + d
Hàm đặc trưng sẽ MAX là bậc 3( có dạng

lưu ý là a,
b, c, d có thể bằng 0).
3) Nguyên tắc làm: ĐỐI VỚI BẬC 3( 90% HÀM SỐ THƯỜNG Ở DẠNG
NÀY) ta xử lý bậc 3 trước rồi đến bậc 1 rồi bậc 2 và cuối cùng bậc 0. Why?
t t
3.1: Bậc 3 là hiển nhiên rồi và nó thường là
ở đây sẽ là
(3 − 2 y ) 3 − 2 y
3.2: Tại sao không xử lý bậc 2:


( 3 − 2 y )2 = 3 − 2 y
Vì nó là bình phương nên ông
đẹp nên có thể thêm bớt 2
vế( VD trên thì x, y độc lập nên không sao nhưng hàm số đối với giải 1 biến x
thì việc này có thể Chúng ta sẽ xem ví dụ sau để rõ hơn).
3− 2y
3.3: Vì sao xử lý bậc 1 sớm thế: Vì nó chỉ là
, là căn không đào
thêm đâu ra được, bắt buộc hệ số phải như vậy.
4) Tiến hành:
1
(1 − )3 , (3 − 2 y ) 3 − 2 y
x
+) Bậc 3:
, tách 2 vế theo 2 ông này trước, thêm
1
1
(1 − )3 + (1 − ) = (3 − 2 y ) 3 − 2 y + 3 − 2 y
x

x
bớt như nào tính sau:
.
+) Đến đây tách bậc 1: hệ số là 1. Nhưng có lẽ không cần vì đã quá rõ
rang.
Lời giải hoàn chỉnh: Các em học sinh tự hoàn thiện nha.

II, Bài tập vận dụng: ( Video – Các ví dụ đã đưa ở buổi 1).
 x + 3 + 4 x − 2 − y 4 + 5 = y
 2
2
 x + 2 x( y − 2) + y − 8 y + 4 = 0

BT1:

.

2x + 1 + 3 − 2x + 4 + 2 3 + 4x − 4x 2 =
BT2:
BT3:

1
(4x 2 − 4x + 3)(2x − 1) 2
4

1 + x ( x 2 + 2 + 2) + (x + 1) x 2 + 2x + 3 = 0

BT4:

x x − 1 = (2x − 3) 2 (2x − 2) + x − 2

x +1 ≥
BT5:

x 2 − x − 2 3 2x + 1
3
2x + 1 − 3

III, Bài tập tự luyện:

Bài 1:

x+ y

2
(4x
+
1)
x
=
(
) y

2

 xy − 3 y + 9x − 1 = 2x − y

4

.

.

.

.


Bài 2:
Bài 3:
Bài 4:

( x 2 + 1 − 3x 2 y + 2)( 4 y 2 + 1 + 1) = 8x 2 y 3
 2
 x y − x + 2 = 0

.

5( x 2 − x − 6) 5x − 19 = ( x + 2)( x + 5 + 4 x − 3)( x − 3 + 2)

x − 3x 2 ≥ x x 2 − x + 1 + (2x − 1) 4x 2 − 2x + 1