sáng kiên kinh nghiệm PHƯƠNG PHÁP tọa độ TRONG KHÔNG GIAN copy

Giúp học sinh học tốt chương 3 hình học lớp 12

GIÚP HỌC SINH HỌC TỐT CHƯƠNG 3
HÌNH HỌC LỚP 12
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Trong năm học 2010 – 2011 tôi đã thực hiện đề tài này và đã áp dụng đối
với các lớp 12A1, 12A2, 12B9 mà tôi giảng dạy , tôi nhận thấy rằng kết quả của
việc kiểm tra chương cũng như các bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập
cũng như một dạng toán trong thi tốt nghiệp , đại học đa số học sinh đều giải
được. Năm học 2011 – 2012 tôi tiếp tục áp dụng đề tài này đối với các lớp tôi
giảng dạy 12B7 và 12B10 đồng thời các thầy cô dạy toán 12 trong tổ cũng đã
vận dụng đề tài này trong giảng dạy trên lớp.Trong năm học 2011 – 2012 tôi có
bổ sung thêm một số dạng toán khác nhằm từng bước hoàn thiện đề tài và có thể
áp dụng rộng rãi và lâu dài trong tổ Toán của Trường THPT Đoàn Kết.
Trong toán học nói chung và trong hình học nói riêng không có một
phương pháp nào chung để giải các bài toán. Mỗi phương pháp đều có những
ưu, nhược điểm riêng. Với mỗi loại bài toán luôn đòi hỏi học sinh phải nắm
được các khái niệm , định lý, tính chất cơ bản nhất để giải , đồng thời phải biết
vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học và đề ra được phương pháp giải cho
từng bài cụ thể.
Với học sinh lớp 12, bước sang học kỳ 2 các em đã được làm quen với
phương pháp toạ độ trong không gian và các bài tập là đa dạng.Đa số học sinh
hiện nay là yếu môn Hình học nói chung và Hình học giải tích nói riêng, lúng
túng về vận dụng kiến thức đã học và lựa chọn phương pháp giải . Để phần nào
giúp cho học sinh bớt lúng túng trong khi giải toán “ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
TRONG KHÔNG GIAN” tôi đã tổng hợp và đưa ra một số bài toán quen thuộc
trong chương trình và hướng dẫn học sinh tìm phương pháp giải cơ bản nhất mà
học sinh có thể tiếp thu và vận dụng tốt trong khi giải toán, đồng thời từ đó học
sinh có thể hiểu rõ và vận dụng vào các bài tập nâng cao,gợi mở cho học sinh
những hướng phát triển, mở rộng .
II. TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

1. Cơ sở lý luận.
- Toán học là môn khoa học cơ bản , học toán đòi hỏi người học ngoài việc
phải nắm vững các khái niệm, định lý, tính chất còn đòi hỏi phải biết vận dụng
linh hoạt các kiến thức đó vào các bài toán cụ thể để giải , không thể chỉ đơn
thuần là thuộc.
- Trong quá trình học toán và giải toán lại không có phương pháp chung nào
để có thể giải được các bài toán, mỗi bài khác nhau thì có thể vận dụng các
phương pháp giải khác nhau.
- Phân loại các dạng toán cơ bản , phân tích tìm phương pháp giải để từ đó rút
ra kinh nghiệm giải đồng thời có thể vận dụng các kinh nghiệm , kiến thức đó
để giải các bài toán khác là cần thiết và hữu ích cho các đối tượng học sinh.
GV: Đinh Quang Minh

trang

1


Giúp học sinh học tốt chương 3 hình học lớp 12
2. Nội dung biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài
2.1. Thuận lợi:
- Được sự quan tâm và chỉ đạo của Ban lãnh đạo nhà trường về công tác đổi
mới phương pháp giảng dạy.
- Các em học sinh ngoan và có ý thức học tập.
2.2. Khó khăn:
- Điều kiện học tập chưa tốt, cơ sở vật chất còn hạn chế.
- Là một trường ở miền núi nên mặt bằng kiến thức chưa đồng đều giữa các
học sinh với nhau, còn nhiều học sinh có hoàn cảnh gia đình khó khăn , các em
phải phụ giúp gia đình kiếm từng bữa ăn nên thời gian cho học tập quá ít dẫn
đến học yếu là tất nhiên.

2.3. Phạm vi , đối tượng, thời gian thực hiện:
- Đối tượng nghiên cứu: Một số dạng toán quen thuộc và phương pháp giải
- Phạm vi nghiên cứu: Hình học lớp 12
Chương trình 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
- Thực hiện đề tài trong các giờ bài tập và chuyên đề của học sinh lớp 12A1 ,
12A2 , 12B9 năm học 2010 – 2011
2.4. Tình trạng thực tế trước khi thực hiện đề tài:
- Đa số học sinh chưa nắm vững về các khái niệm, định lý…
- Vận dụng kiến thức vào giải toán còn hạn chế.
- Lúng túng trong chọn phương án giải.
- Kết quả còn thấp.
- Chưa thực sự ham thích học toán với lý do không giải được bài tập.
Kết quả kiểm tra: ( kiểm tra lớp 12A1 , 12A2 và 12B9 với 124 học sinh)
Đề bài đã ra:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(1;1;0),B(1;0; 2),C(2; 2;0) .
a. Chứng minh A,B,C không thẳng hàng.
b. Lập phương trình mặt phẳng (ABC)
c. Lập phương trình mặt cầu có tâm I(0; 2;1) và tiếp xúc mặt phẳng (ABC)
Lớp SS
12A1 40
12A2 44
12B9 40
Tổng 124

1- 2- 3- 4- 5- 6- 7- 8- 91.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 9.5 10 >=TB %
0
0
3
6
6

4
7
5
6 3
31 77.5
0
2
9
6
7
7
5
4
3 1
27 61.36
2
4
8
5
6
7
5
3
0 0
21 52.5
2
6 20 17 19 18 17 12
9 4
79 63.71

- Chất lượng bài giải của học sinh thấp, kĩ năng giải toán còn yếu.
- Học sinh không nắm rõ :
+ Khái niệm vecto cùng phương.
+ Khái niệm khoảng cách,công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
+ Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu.
+ Kỹ năng tìm tích có hướng của hai vecto
2.5 Các biện pháp thực hiện đề tài:
GV: Đinh Quang Minh
trang 2


Giúp học sinh học tốt chương 3 hình học lớp 12
Bước 1: Hệ thống hoá các kiến thức.
Bước 2: Đưa ra một số ví dụ điển hình, phân tích và cùng học sinh xây dựng
phương pháp giải
Bước 3: Rèn luyện kĩ năng giải các bài tập tương ứng cho học sinh thông qua
một số bài tập bổ sung nâng cao. Gợi mở cho học sinh những hướng phát triển,
mở rộng .

NỘI DUNG
A. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN.
1/ Hệ trục toạ độ.
Cho ba rtrục
toạ độ x’Ox, yOy, z’Oz vuông góc với nhau từng đôi một tại điểm
r r
O. Gọi i , j , k là các véctơ đơn vị tương ứng trên các trục x’Ox, yOy, zOz.
Hệ ba trục toạ độ như vậy gọi là hệ
z
trục toạ độ Đề các vuông góc Oxyz hoặc
đơn giản là toạ độ Oxyz.

+ Trục Ox gọi là trục hoành.
r
+ Trục Oy gọi là trục tung.
r
k
j
y
+ Trục Oz gọi là trục cao.
+ Điểm O gọi là gốc của hệ toạ độ.
r O
2/ Tọa độ Vectơ , tọa độ điểm.
i
x
a. Cho hệ toạ độ Oxyz

r
r
r r
r
v  (x;y;z)  v  xi  yj  zk .
uuur
r r
r
M(x;y;z)  OM  xi  yj  zk

+ Với hai điểm M1  x1, y1,z1  và M2  x 2 , y 2 ,z2  thì:
uuuuur
M1M2   x 2  x1, y 2  y1,z 2  z1 
uur
uur

b. Nếu có hai vectơ v1  (x1,y1,z1 ) và v 2  (x 2 ,y 2,z2 ) thì:
b1
b2
b3
b4
b5
b6

uur uur
v1  v 2   x 1  x 2 , y1  y 2 ,z1  z 2 
uur uur
v1  v 2   x 1  x 2 , y1  y 2 ,z1  z 2 

uur
kv1  (kx1,ky1,kz1 )
uur uur
v1.v 2  x 1.x 2  y1.y2  z1.z2
uur uur
v1  v 2  x1x 2  y1y 2  z1z2  0
 x1  x 2
uur uur

v1  v 2   y1  y 2
z  z
2
 1

GV: Đinh Quang Minh

trang

3


Giúp học sinh học tốt chương 3 hình học lớp 12
uur
uur
3. Tích có hướng của hai vectơ v1  (x1,y1,z1) và v 2  (x 2, y 2,z2 ) là một
r
uur uuur
ur 


vectơ v được xác định bởi: v ,v  v 
 1 2



y
z z
1
1 1
,
y
z z
2
2 2

x x
1 1

,
x x
2 2

y 
1
y 
2

Ứng dụng của tích có hướng của hai vecto.
r r
r r
r 
c  a
a. a,b  c  r r
 

c  b
r r
r r
r
b. a,b cùng phương  a,b  0
 
r r r
r r r
c. a,b,c đồng phẳng  a,b c  0
 
r r
r r
r r

d. a,b  a . b sin(a,b)
 
4/ Khoảng cách giữa hai điểm.
Cho hai điểm M1  x1, y1,z1  và M2  x 2 , y 2,z2  , thì khoảng cách d giữa M 1
uuuuur
và M 2 là độ dài của vectơ M1M2 :
uuuuur
2
2
2
d  M1M2   x1  x 2    y1  y 2    z1  z2  .
5/ Góc giữa hai vectơ

uur
uur
v
v

(x
,y
,z
)
Góc  giữa hai vectơ 1
2  (x 2 ,y 2 ,z 2 ) xác định bởi:
1 1 1 và
x1.x 2  y1.y 2  z1.z2
cos  
.
x11  y11  z11 . x 22  y 22  z22
6/ Hai vectơ

uurcùng phương r
uur
v

(x
,
y
,z
)

0
Hai vectơ 1
và v 2  (x 2, y 2,z2 ) cùng phương với nhau
1 1 1

uur
uur
khi và chỉ khi tồn tại số thực k sao cho v 2  kv1
uur
uur
uur uur
r
Chú ý: v 2  kv1   v1,v 2   0 .



7/ Phương trình mặt phẳng.
a. Khái niệm.r r
Một vectơ n  0 được gọi là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( )
r

nếu giá của n vuông góc với ( ) .
Mặt phẳng ( ) hoàn toàn xác định nếu cho biết một điểm M 0  ( ) và
một vectơ pháp tuyến của nó.
b. Phương trình tổng quát của mặt phẳng:
r
+ Ax  By  Cz  D  0 (A 2  B2  C2  0) có VTPT n  (A;B;C)
r
+ Mặt phẳng qua điểm M(x 0;y 0;z0 ) có VTPT n  (A;B;C)

có phương trình: A(x  x 0 )  B(y  y 0 )  C(z  z0 )  0
GV: Đinh Quang Minh

trang

4


Giúp học sinh học tốt chương 3 hình học lớp 12
8/ Phương trình đường thẳng
r

r

a. Định nghĩa: Vectơ a  0 và có giá là đường thẳng d.
r r
d / / 
a  0 là vectơ chỉ phương của đường thẳng   
d  
b. Phương trình của đường thẳng:
r

Đường thẳng d qua M(x0;y0;z0) có VTCP u  (a;b;c)
 x  x0  at
 a2  b2  c 2  0 

có phương trình tham số  y  y0  bt


 t  IR

z  z  ct
0

Nếu abc  0 khử tham số t được phương trình:
x  x 0 y  y 0 z  z0


( gọi là phương trình chính tắc)
a
b
c
9/ Phương trình mặt cầu
a. Mặt cầu tâm I(a;b;c) , bán kính R>0 có phương trình:
(x  a)2  (y  b)2  (z  c)2  R2
b. Phương trình: x2  y2  z2  2ax  2by  2cz  d  0 (1)
Nếu a2  b2  c 2  d  0 thì phương trình (1) là phương trình mặt cầu có
tâm I( a; b; c) , bán kính R  a2  b2  c 2  d
10. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:
(P) : Ax  By  Cz  D  0 (A 2  B 2  C 2  0) M(x 0;y 0;z 0 )

d(M,(P)) 

Ax 0  By 0  Cz0  D

A 2  B 2  C2
11. Vị trí tương đối của mặt phẳng với mặt cầu:
Mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) , bán kính R
Mặt phẳng (P).
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên mp(P)
 (S)  (P)    d(I,(P))  R
 (S)  (P)  H  d(I,(P))  R ( mp(P) tiếp xúc mặt cầu tại H)
 (S)  (P)  (C)  d(I,(P))  R

Với (C) là đường tròn tâm H , bán kính r  R2  IH2

GV: Đinh Quang Minh

trang

5


Giúp học sinh học tốt chương 3 hình học lớp 12
B. NỘI DUNG CỤ THỂ:
1. Loại 1: Lập phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng:
- Học sinh cần nắm + Khái niệm vecto pháp tuyến của mặt phẳng.
r r
r r
r 
c  a
+ Tính chất của tích có hướng a,b  c  r r

 

c  b
r
uuur uuur

- Định hướng VTPT của mặt phẳng đi qua 3 điểm A,B,C là n  AB,AC


Ví dụ 1: Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A( 1;1;2),B(1; 1;0),C(2; 1;2) .
uuur
uuur
Giải: Ta có AB  (2; 2; 2),AC  (3; 2;0) .
(P) qua A
(P) qua A

r
uuur uuur
(P)
qua
B



 AB,AC   ( 4; 6;2)
(P)cóVTPTn

(P) qua C 




Phương trình mp(P):
4(x  1)  6(y  1)  2(z  2)  0  2x  3y  z  1  0
2. Loại 2: Lập PT mp(Q) với (Q) qua M và chứa d
- Học sinh cần hiểu đường thẳng d có 2 điểm
uuurphân biệt A,B thuộc mp(Q) thì
đường thẳng d chứa trong mp(Q). ( khi đó AB là một VTCP của d).
- Bài toán trở thành lập phương trình mp đi qua 3 điểm không thẳng hàng.
- Học sinh định ra được PP giải.
uuur
PP: - Lấy điểm A  d ( điểm cụ thể)  MA
r
r uuur
r
- mp(Q) qua M có VTPT n  u,MA  (với u là vtcp của d)


Ví dụ 2: Lập PT mp(Q) qua M( 1;1;2) và chứa đường
thẳng d : x  2  t , y  2t , z  1  3t
r
uuur
Giải: d có VTCP u  (1;2;3), A(2;0;1)  d  MA  (3; 1; 1)
(Q)quaM (Q)quaM(r1;1;2)
r uuur

Ta có: 

  (1;10; 7)
(Q)cóvtptn


u,MA
(Q)

d




(Q) : 1(x  1)  10(y  1)  7(z  2)  0  x  10y  7z  5  0
3. Loại 3: Lập phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc mp(P).
- Học sinh cần nắm được
+ Dạng của phương trình mặt cầu.
+ Điều kiện để mp và mặt cầu tiếp xúc nhau.
+ Công thức tính khoảng cách từ điểm đến mp.
PP. - Tìm bán kính mặt cầu: R  d(I,(P))
- Mặt cầu tâm I(a,b,c) bán kính R có phương trình:
(x  a)2  (y  b)2  (z  c)2  R2
Ví dụ 3: Lập phương trình mặt cầu tâm A(2;1; 3) và tiếp xúc
mp(P): 2x  y  2z  4  0
GV: Đinh Quang Minh

trang

6


Giúp học sinh học tốt chương 3 hình học lớp 12
4  1  6  4
5
3

Phương trình mặt cầu: (x  2)2  (y  1)2  (z  3)2  25

Giải: Ta có bán kính R  d(A,(P)) 

4. Loại 4: Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (Q).
- Học sinh cần hiểu được khái niệm hình chiếu vuông góc của một điểm lên
mặt phẳng
 MH  (Q)
- H là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (Q)  
 H  (Q)
PP: - Lập PT đường d qua M và vuông góc với mp(Q) ( thỏa tính vuông góc)
- Khi đó H  d  (Q) ( giải hệ tìm tọa độ điểm H) ( thỏa tính thuộc H  (Q) )
Ví dụ 4: Tìm tọa đô điểm H hình chiếu vuông góc của M(4; 2; 2) lên mặt
phẳng (Q) : 2x  y  3z  2  0
r
Giải: mp(Q) có VTPT n  (2;1; 3)

 x  4  2t
dquaM
dquaM(4; 2; 2) 
r r   y  2  t
Đ. thẳng d: d  (Q)  
d
có
v
tcpu
n




z  2  3t

 x  4  2t
t  1
 y  2  t
x  2


H  d  (Q)  

 H(2; 3;1)
z


2

3t
y


3


2x  y  3z  2  0
z  1
5. Loại 5: Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d
- Học sinh cần hiểu được khái niệm hình chiếu vuông góc của một điểm lên
đường thẳng
- H là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d  MH  d
H  d

Từ khái niệm dẫn đến xây dựng PP giải
Cách 1 : - Lập PT mp(Q) qua M và vuông góc với d
( thỏa tính vuông góc)
- Khi đó H  d  (Q) ( giải hệ tìm tọa độ điểm H) ( thỏa tính thuộc H  d )
Cách 2 - Lấy điểm H  d ( dạng uuu
tham
( thỏa tính thuộc H  d )
r r số)
uuur
- Tìm MH , MH  d  MH.u  0 Giải tìm tham số
( thỏa tính vuông góc)
- Thay tham số vào H
Ví dụ 5: Tìm tọa đô điểm H hình chiếu vuông góc của M(1;2; 2) lên đường
thẳng d :

x y 1 z 1


,
2
1
2

GV: Đinh Quang Minh

trang

7

Giúp học sinh học tốt chương 3 hình học lớp 12
Giải: ( cách 2)

r

đường thẳng d có VTCP u1  (2; 1;2)

uuur

Ta có H(2t;1  t; 1  2t)  d  MH  (1  2t; 1  t;1 2t)

uuur r
MH  d  MH.u  0  2(1  2t)  1( 1  t)  2(1  2t)  0
t

5
9

 10 14 19 
 H  ; ;  
9 
 9 9

6. Loại 6: Lập PT mp(P) // mp(Q) và tiếp xúc mặt cầu ( S)
- Học sinh cần nắm được hai mp song song nhau thì VTPT mp này cũng là
VTPT của mp kia.
- Mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu khi khoảng cách từ tâm mặt cầu tới mp(P)
bằng bán kính mặt cầu.
- Công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.

Ví dụ 6: Lập PT mp(P). Biết (P)// (Q): 2x + y - 2z - 4 = 0 và tiếp xúc mặt cầu
2

2

2

(S) : x + y + z - 2x + 4y - 6z - 2 = 0
Giải:
- Mặt cầu (S) có tâm I(1;-2;3) , bán kính R = 4
- (P) / /(Q)  (P) : 2x + y - 2z + D = 0 (D  -4) ( có cùng VTPT)

- (P) tiếp xúc (S)  d(I, (P))  R 

2 2 6 D
3

D6
4 
(thỏa ĐK)
D18

Vậy (P1) : 2x + y - 2z - 6 = 0, (P2 ) : 2x + y - 2z +18 = 0
7. Loại 7: Lập PT mặt cầu ( S) có tâm nằm trên đường thẳng (d) và tiếp
xúc với hai mp(P) , mp(Q)
PP: - Lấy điểm I  (d) ( dạng tham số )
- Mặt cầu (S) tiếp xúc 2 mp  d(I,(P))  d(I,(Q))
- Giải tìm tham số và thay vào tìm tâm I và bán kính
x 1 y z 1
Ví dụ 7 : Lập PT mặt cầu (S) có tâm I  d :

và tiếp xúc
 
1
1
2
(P): 2x + y - 2z + 4 = 0, (Q): x - 2y + 2z - 5 = 0
Giải:
Ta có I(1 t;t;1 2t)  d
Mặt cầu (S) tiếp xúc (P),(Q)  d(I,(P))  d(I,(Q))
2(1  t)  t  2( 1  2t)  4 (1  t)  2t  2(1  2t)  5


3
3
 t  8  3t  6  t  1  t  7 / 2
t  1  I(0; 1; 3),R  3  x 2  (y  1)2  (z  3)2  9
7
9 7
3
9
7
9
t   I( ; ;6),R   (x  )2  (y  )2  (z  6)2 
2
2 2
2
2
2
4
GV: Đinh Quang Minh

trang

8


Giúp học sinh học tốt chương 3 hình học lớp 12
8. Loại 8: Lập phương trình mặt phẳng (Q) thỏa
a. (Q) chứa đường thẳng d1 và (Q)// d2.
b. (Q) // d1 và (Q)// d2.
( d1 , d2 là hai đường thẳng chéo nhau)

uu
r uur
u
- Học sinh cần nắm được đường thẳng d1,d2 lần lượt có VTCP 1,u2
r
uur uur

mp(Q)
chöù
a
d
và
mp(Q)
/
/d

mp(Q)
co

ù
VTPT
n

u
,u 
+
1
2
 1 2

r
uur uur

mp(Q)
/
/
d
và
mp(Q)
/
/d

mp(Q)
co
ù
VTPT
n

u

,u 
+
1
2
 1 2

x 1 y
z2
x y 1 z 1
d2 :




1
2
3
1
1
2
a.Lập PT mp(Q) chứa d1 và song song d2
b.Lập PT mp(Q) song song d1,d2 và tiếp xúc với mặt cầu (S):
(x  1)2  (y  2)2  (z  1)2  9
r
r
Giải: d1 có VTCP u1  (1;1;2) , d2 có VTCP u2  (1; 2;3)
(Q)quaA(0;1; 1)  d1
ad1
(Q)chöù
r

a. 

r r
(Q)
/
/d
(Q)có
vtpt
n
 u1,u2   (7; 5; 1)

2

 (Q) : 7x  5(y  1)  1(z  1)  0  7x  5y  z  4  0
Kiểm tra: B( 1;0;2)  d2,B  (Q) . Vậy PT (1) là PTmp(Q)
r
r r
b.(Q) / / d1,(Q) / /d2  (Q)có vtpt n  u1,u2   (7; 5; 1)

Ví dụ 8: Cho đường thẳng d1 :

 (Q) : 7x  5y  z  D  0
Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2;1) , bán kính R = 3
Mặt phẳng (Q) tiếp xúc mặt cầu (S)  d(I,(Q))  R

D  15 3  4
3
75
D  15 3  4
(Q1 ) : 7x  5y  z  15 3  4  0 (Q 2 ) : 7x  5y  z  15 3  4  0

Kiểm tra A(0;1; 1)  d1,B( 1;0;2)  d2 đều không thỏa (Q1 ),(Q 2 )
Vậy phương trình (Q1 ),(Q 2 ) là 2 PT mặt phẳng cần tìm.


7  10  1  D

9. Loại 9: Lập PT đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc
với hai đường thẳng d1 , d2 ( d1,d2 chéo nhau hoặc cắt nhau)
dquaM
dquaM

PP: 
r
r r
d  d1,d  d2
d cóvtcpu  u1,u2 
Ví dụ 9: Lập phương trình đường thẳng qua M(1; 1;2) và vuông góc với 2 đường
x y 1 z 1
x 1 y
z2

,d2 :


thẳng d 1: 
1
1
1
2
r 2

r3
Giải: d1 có VTCP u1  (1;1;2) , d2 có VTCP u2  (1; 2;3)
GV: Đinh Quang Minh

trang

9


Giúp học sinh học tốt chương 3 hình học lớp 12
dquaM
dquaM(1; 1;2)

r
r r


d  d1,d  d2
d cóvtcpu  u1,u2   (7; 5; 1)
x 1 y 1 z  2
 d:


7
5
1

10. Loại 10: : Lập PT đường thẳng d đi qua điểm M , vuông góc với d1
và cắt d2
- Học sinh cần hiểu E  d2 thì tọa độ điểm đó thỏa phương trình đường thẳng.

- Đường thẳnguuu
qua
r uurM, E đã thỏa điều kiện cắt d2.
- ME  d1  ME.u2  0
PP: - Lấy điểm E  d2 ( dạng tham số)
uuur uur
uuur
- Tìm ME , ME  d1  ME.u1  0 Giải tìm tham số
uuur
- Khi đó d qua M có VTCP ME
Ví dụ 10: Lập phương trình đường thẳng qua M(1; 1;2) và vuông góc với
x y 1 z 1
x 1 y
z2


d 1: 

, cắt d2 :
2
3
1
1
2
uuur 1
E( 1  t; 2t;2  3t)  d2  ME  ( 2  t;1  2t;3t)
uuur r
1
ME  d1  ME.u  0  ( 2  t)  (1  2t)  6t  0  t 
3

uuur  7 1  1
uuur
 ME    ; ;1   7;1;3  . Đường thẳng d qua M có VTCP ME Có
 3 3  3
x 1 y 1 z  2


phương trình:
7
1
3
11. Loại 11: Gọi d là giao tuyến của hai mp(P) và mp(Q). Viết phương
trình tham số của d
PP: Cách 1
uur
uur
- mp(P) có VTPT n1 và (Q) có VTPT n2
uur uur
- Tìm n1,n2  và điểm A  (P)  (Q)


r
uur uur
- Khi đó đường thẳng d qua A và có VTCP u  n1,n2 


Cách 2 – Tìm A  d  (Q)  (P) , B  d  (Q)  (P)
- Đường thẳng d đi qua A,B viết được dạng tham số.
Cách 3: Đặt x = t dẫn đến giải hệ tìm y , z theo t
Ví dụ 11: Gọi d là giao tuyến của hai mp (P) : 2x  y  z  1  0 và

(Q) : x  3y  2z  2  0 . Viết phương trình tham số của d
Giải: cách 1 uur
uur
mp(P) có vtpt n1  (2;1; 1) , mp(Q) có vtpt n2  (1; 3;2)
GV: Đinh Quang Minh

trang 10


Giúp học sinh học tốt chương 3 hình học lớp 12
r
uur uur
 u  n1,n2   ( 1; 5; 7)
2x  y  z  1  0
d  (P)  (Q)  
 A(1;1;2)  d
x

3y

2z

2

0

x  1  t
dquaA(1;1;2)

r

uur uur
Ta có : 
 PT :  y  1  5t

  ( 1; 5; 7)
d
coù
vtcp
u

n
,n
1
2

z  2  7t




Cách 2:
2x  y  z  1  0
d  (P)  (Q)  
 A(1;1;2)  d,B(0; 4; 5)  d
x

3y

2z


2

0

x  1  t
dquaA
dquaA

uuur

 PTTS :  y  1  5t

d coùvtcp AB  ( 1; 5; 7)
dquaB
z  2  7t


12. Loại 12: lập phương trình đường thẳng d là hình chiếu vuông góc của
đường thẳng  lên mp(Q)
PP: (Cách 1)
- Lấy trên  hai điểm cụ thể A,B
- Tìm A’ , B’ là hình chiếu vuông góc của A,B lên mp(Q)
- Khi đó đường thẳng d chính là đường thẳng A’B’
( Lưu ý: nếu d  (Q)  M thì chỉ cần tìm thêm một điểm A  M )
(Cách 2) - Ta có d  (P)  (Q)
(P)quaA  
r
uur uur
- Với (P) là mp chứa  và (P)  (Q)  
u ,nq 

(P)
coù
vtpt
n




- chuyển PT đường thẳng d về tham số
x  2 y  3 z 1
Ví dụ 12: Cho mp(Q) : x  2y  3z  3  0 ,  :


1
2
1
Lập PT tham số của đường thẳng d là hình chiếu vuông góc của  lên mp(Q)
Giải: ( Cách 1)
Ta có   (Q)  M  M(1;1;2) ( giải hệ để tìm tọa độ điểm M)
A(2;3;1)   . Tìm tọa độ A’ là hình chiếu vuông góc của A lên mp(Q) được
uuuur  3 6 5  1
 10 13 19 
A '  ; ;   MA '   ; ;   (3;6;5)
 7 7 7 
7 7 7 7
uuuur  3 6 5  1
MA
'   ; ;   (3;6;5)
Đường thẳng d qua M(1;1;2) có vtcp
7 7 7 7

 x  1  3t

Có phương trình tham số d:  y  1  6t
z  2  5t

GV: Đinh Quang Minh

trang 11


Giúp học sinh học tốt chương 3 hình học lớp 12
( Cách 2)
uur
uur
Đường thẳng  có vtcp u  (1;2; 1) , mp(Q) có vtpt n1  (1;2; 3)
Ta có d  (P)  (Q) Với
(P)quaA(2;3;1)  
(P)  
r
uur uur





(P)
coù
vtpt
n


u
(P)

(Q)


  ,n1   ( 4;2;0)
 (P) : 4(x  2)  2(y  3)  0(z  1)  0  2x  y  1  0

 x  3t
2x  y  1  0

Khi đó d : 
chuyển về dạng tham số  y  1  6t
 x  2y  3z  3  0

1
 z   5t
3

13. Loại 13: Lập phương trình đường thẳng d cắt 2 đường thẳng
chéo nhau d1,d2 và song song
với
uur uu
r đường thẳng
uurd3
PP: - d1 , d2 chéo nhau và VTCP là u1,u2 , d3 có VTCP u 3
uuur
- Lấy điểm A  d1,B  d2 dạng tham số  AB
uuur

uur
uuur
uur
- AB / /d3  AB cùng phương với u 3  AB  mu3
uuur
uur
- Giải hệ tìm tham số  AB ,điểm A. Khi đó d qua A có VTCP u 3
Ví dụ 13: Cho 2 đường thẳng chéo nhau d1,d2 . Lập phương trình đường thẳng d
cắt d1,d2 và song đường thẳng d3 với
 x  2t
x 1 y z 1
x  2 y  3 z 1

d1 :  y  1  t d2 :
 
d3 :



2
2
3

1
2
1
z  1  t

uur
Giải: Ta có d3 có VTCP u3  ( 1;2;1)

A(2t ; 1  t ;1  t)  d1 , B(1  2k ;2k ;1  3k)  d2
uuur
 AB  (1  2k  2t ; 1  2k  t ; 3k  t)
uuur
uur
uuur
uur
AB / /d3  AB cùng phương với u 3  AB  mu3

1  2k  2t  m
k  0


1  2k  t  2m  t  1  A(2; 2;0)
3k  t  m
m  1


uur
Vậy đường thẳng d qua A(2;-2;0) có VTCP u3  ( 1;2;1)
x2 y2 z


Có PT :
1
2
1

GV: Đinh Quang Minh

trang 12


Giúp học sinh học tốt chương 3 hình học lớp 12
14. Loại 14: Lập phương trình đường thẳng d đi qua một điểm M
cắt 2 đường thẳng chéo nhau d1,d2
PP: - Lập PT mp(Q) với (Q) qua M và chứa d1
uuur
uur
- Tìm B  d2  (Q)  MB và so sánh với phương u1
(Nếu cùng phương thì loại – do MB không uuu
cắtr d1)
- Khi đó đường thẳng d qua M và có VTCP MB .
Ví dụ 14: Lập PT đường thẳng d qua M( 1;1;2) và cắt 2 đường thẳng
x  2 y z 1
x6 y2 z
d1 :
 
d2 :


1
2
3
2
1
1
Giải: mp(Q) qua M chứa d1 có PT: (Q) : x  10y  7z  5  0
Gọi B  d2  (Q)  B( 8;1;1) . ( giải hệ)
uur

uuur
Ta có: MB  ( 7;0, 1) không cùng phương với u1  (1;2;3)
uuur
Đường thẳng d qua M( 1;1;2) có vtcp MB  ( 7;0, 1)
 x  1  7t

Có phương trình:  y  1
z  2  t

15. Loại 15: Đường thẳng d cắt mp(Q) tại M. Lập PT đường thẳng 
qua M,  chứa trong (Q),  r d
r
PP: - M  d  (Q) ( giải hệ ) ,d có vtcp u , mp(Q) có vtpt n
uur
r r

-  qua M,   (Q),   d   qua M,  có vtcp u  u,n 
Ví dụ 15: Đường thẳng d : x  2  2t , y  t , z  1  2t cắt mặt
phẳng (Q) : x  y  2z  3  0 tại M . Lập phương trình đường thẳng qua M, 
chứa trong (Q),   d 
Giải: ta có M  d  (Q)  M(4; 1; 3)
 qua M
 qua M
uur
r r







có
vtcp
u

u,n


(Q),


d



   (0; 6;3)
Phương trình  : x  4 ; y  1  6t , z  3  3t
16. Loại 16: Mặt phẳng (Q) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn (C).
Tìm tọa độ tâm và bán kính của (C)
PP: - Mặt cầu (S) có tâm I bán kính R
- mp(Q) cắt (S) theo đường tròn (C)  d(I,(Q))  R
- Tâm của (C) là hình chiếu vuông góc của I lên mp(Q)
- Bán kính của (C) : r  R2  d2 (I,(Q))
Ví dụ 16: Cho mặt cầu (S) : x 2  y 2  z2  4x  2y  6z  2  0 và
mp (Q) : 2x  y  2z  3  0 . Chứng minh rằng mp(Q) cắt mặt cầu (S) theo một
đường tròn (C). Tìm tọa độ tam và bán kính (C).
Giải: Mặt cầu (S) có tâm I(2;1; 3) , bán kính R = 4.
GV: Đinh Quang Minh

trang 13

Giúp học sinh học tốt chương 3 hình học lớp 12
4  1 6  3
 2  R . Vậy (Q) cắt (S) theo đường tròn (C)
3
có bán kính: r  16  4  2 3
Tâm H là hình chiếu vuông góc của I lên mp(Q)  H    (Q) Với
 x  2  2t
quaI(2;1; 3)

 PT :  y  1  t

  (Q)
z  3  2t

 x  2  2t
t  2 / 3
y  1  t
x  2 / 3


2 5 5
Ta có 

 tâm H  ; ;  
3 3 3
z  3  2t
y  5 / 3
2x  y  2z  3  0

z  5 / 3
17. Loại 17: Lập PT đường vuông góc chung d của d1,d2
- Học sinh cần hiểu khái niệm hai đường thẳng vuông góc chung của hai đường
d  d1

thẳng chéo nhau. d  d2
 d là đường vuông góc chung.
d  d  M,d  d  N
1
2


Ta có d(I,(Q)) 

uur uur
PP: - d1 , d2 chéo nhau và VTCP là u1,u2
- Lấy điểm A  d1,B  d2 dạng tham số ( đường thẳng AB thỏa cắt d1 , d2)
uuur uur
uuur

 AB  d1
AB.u  0
-
giải hệ tìm 2 tham số  AB .
  uuur uu1r
 AB  d2

 AB.u2  0
( thỏa AB vuông góc với d1,d2). Vậy đường thăng qua A,B là đường
vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d1 , d2uuur

- Khi đó đường vuông góc chung d qua A có VTCP là AB
r
uur uur
( cũng có thể lấy VTCP u  u1,u2  và qua điểm A).


* Chú ý: cũng có thể giải: d  (P)  (Q)
(P)  d1
(Q)  d2
Với 
sau đó chuyển về dạng tham số

(P)

d
(Q)

d

2

1
x  2 y z 1
Ví dụ 17: Cho hai đường thẳng chéo nhau: d1 :


1
1
1
x y 1 z 1

. Lập PT đường vuông góc chung của d1,d2.
d2 : 

2
1
1

r
r
Giải: d1 có VTCP u1  (1; 1; 1) , d2 có VTCP u2  (2; 1;1)
Ta có A(2  t; t; 1  t)  d1 , B(2k; 1  k;1  k)  d2
uuur
 AB  (2k  t  2; k  t  1;k  t  2)
GV: Đinh Quang Minh

trang 14


Giúp học sinh học tốt chương 3 hình học lớp 12
uuur uur

AB  d1
(2k  t  2)  ( k  t  1)  (k  t  2)  0
AB.u1  0


uuu
r
uu
r




2(2k  t  2)  ( k  t  1)  (k  t  2)  0
AB  d2

AB.u2  0
Giải hệ được :
uuur  9 27 9  9
3
8
 2 8 1
k   ,t    AB    ;  ;  
( 2; 3;1),A   ; ; 
14
7
 7 14 14  14
 7 7 7
uuur
9
Đường vuông góc chung d qua A và có VTCP AB  ( 2; 3;1)
14
2
8
1
Có phương trình: x    2t , y   3t , z   t
7
7
7
18. Loại 18: Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ( không

dùng công thức khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau để tính)
- Học sinh cần nắm được:
+ Độ dài đoạn vuông góc chung là khoảng cách giữa hai đường.
+ Các phương pháp tính khác trong hình học không gian lớp 11.
- PP:
- Cách 1: Tìm tọa độ điểm A,B theo như ví dụ 12.
- Cách 2: Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song
đường thẳng kia. ( mp(P) chứa d1 , (P)//d2) )
Khi đó: d(d1,d2 )  d(d2,(P))  d(M,(P)) ( M tùy ý trên d2).
x 1 y
z2
x y 1 z 1
d2 :


Ví dụ 18: Cho đường thẳng d1 : 
.

1
2
3
1
1
2
1. Chứng minh d1,d2 chéo nhau
2. Tính khoảng cách giữa d1,d2

r
r
Giải: d1 có VTCP u1  (1;1;2) , d2 có VTCP u2  (1; 2;3)

1. Học sinh đã biết cách giải.
2. Tính khoảng cách giữa d1,d2.
Lập phương trình mp(P) chứa d1và (P)//d2.
(P)quaA(0;1; 1)  d1
ad1
(P)chöù
r

r r


(P)
/
/d
(P)có
vtpt
n
 u1,u2   (7; 5; 1)

2

 (P) : 7x  5(y  1)  1(z  1)  0  7x  5y  z  4  0
Ta có M( 1;0;2)  d2

Khi đó : d(d1,d2 )  d(d2,(P))  d(M,(P)) 

7  2  4
75



5
5 3



3
.
3

Trên đây là một số dạng toán cơ bản mà học sinh hay gặp phải, tôi đã định
hướng và cùng học sinh xây dựng phương pháp giải để từ đó học sinh hiểu rõ
hơn về lý thuyết đồng thời có một số phương pháp cơ bản nhất định để vận
dụng vào giải các bài toán có nội dung phức tạp hơn.
GV: Đinh Quang Minh

trang 15


Giúp học sinh học tốt chương 3 hình học lớp 12
- Ví dụ như
1. Trong không gian Oxyz cho mp(P) và mặt cầu(S)
(P) : 2x  2y  z  4  0,(S) : x 2  y 2  z2  2x  4y  6z  11  0 CMR: (P) cắt
(S) theo một đường tròn. X. định tâm,bán kính
x 1 y z  2
2. Cho đ thẳng  :
, mp(P) : x  2y  z  0 . Gọi M  ,
 
2
1

1
C    (P) . Tính d(M,(P)) , biết MC  6 .
3. Cho hai mp(P) : x  y  z  3  0,mp(Q) : x  y  z  1  0 . Viết PT mp(R).
Biết (R)  (Q),(R)  (Q) và d(O,(R))  2
x3 y z
x  2 y 1 z
4. Cho đường thẳng 1 :
  , 2 :

 . Xác định điểm
1
1 1
2
1
2
M  1 sao cho d(M,  2 )  1
III. HIỆU QUẢ CỦA ĐÊ TÀI
- Với cách phân tích , hướng dẫn và cùng học sinh xây dựng phương pháp giải
cho từng loại toán cụ thể đã phần nào giúp học sinh có học lực yếu và trung bình
học tập tốt hơn, thích học toán hơn vì đã từng bước giải được các bài tập cơ bản
trong sách giáo khoa, sách bài tập cũng như một số sách tham khảo khác. Đối
với học sinh khá , giỏi thì có thể khai thác phương pháp đã biết để giải quyết các
bài phức tập hơn.
- Kết quả áp dụng đề tài cho các lớp 12A1,12A2 , 12B9 ( năm học 2010– 2101)
Đề kiểm tra khảo sát: ( thời gian làm bài 30 phút)
Trong không gian Oxyz cho A(1;1;1),B(2;1; 1),C(1; 2;2),D(1; 1; 3)
a. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua các điểm A,B,C . Suy ra A,B,C,D
là 4 đỉnh của tứ diện.
b. Lập phương trình mặt cầu tâm D và tiếp xúc mp(P).
c. Lập phương trình mp(Q) chứa đường thẳng AB và song song đường thẳng

CD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD.
d. ( dành riêng cho lớp A)
Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Thang điểm : Lớp B câu a: 4 điểm , câu b: 3 điểm , câu c : 3 điểm
Lớp A : mỗi câu 2,5 điểm.
Lớp
12A1
12A2
12B9
Tổng

1- 2- 3- 4- 5- 6- 7SS 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5
40
2
44
1
5
6
6
40
1
2
7
6
5
8
124 0
1
2
8 11 11 16

GV: Đinh Quang Minh

88.5
13
13
6
32

99.5 10 >=TB
18 7
40
10 3
43
4
1
30
32 11
113

%
100
97.7
75
91.13

trang 16


Giúp học sinh học tốt chương 3 hình học lớp 12

- Kết quả áp dụng đề tài cho các lớp 12B7, 12B10 ( năm học 2011– 2012)
( Thời gian làm bài 40 phút)
Trong không gian Oxyz cho Cho 2 đường thẳng chéo nhau, mặt cầu (S)
x  2 y z 1
x y 1 z 1
, điểm M( 1;-2;0)
1 :


2 : 

1
1
1
2
1
1
(S) : x 2  y 2  z2  2x  4y  4z  0
1. Tìm toạ độ điểm M’ là hình chiếu vuông góc của M lên
2. Lập PT mp(  ) chứa 1 và (  )//  2 .Tìm d( 1,  2 )
3. Viết phương trình đường thẳng  3 đi qua A(1;2;3) và  3  1 ,  3   2 .
4. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với 1;2 và tiếp xúc mặt cầu (S)
( Thang điểm mỗi câu 2,5 điểm)
1- 2- 3- 4- 5- 6- 7- 8- 9%
Lớp SS 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 9.5 10 >=TB
12B7 40 0
1
2
6
8

7
7
3
4
2
31
77.5
12B10 41 0
0
1
5
8
6
7
5
6
3
35
85.4
Tổng 81 0
1
3 11 16 13 14 8 10 5
66
81.5
IV. ĐỀ XUẤT – KHUYẾN NGHỊ:
- Để áp dụng tốt và có hiệu quả của đề tài thì giáo viên cần từng bước xây dựng
và củng cố các kiến thức cơ bản có liên quan cho học sinh , đồng thời phải chỉ ra
cho học sinh hiểu rõ dấu hiệu bản chất của khái niệm, định lý, tính chất đó.
- Từ khái niệm cơ bản định hướng phương pháp giải
Ví dụ : Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng d

+ Học sinh cần hiểu được H là hình chiếu vuông góc của điểm M lên
MH  d
đường thẳng d  
H  d
+ Từ đó xây dựng phương pháp giải. ( nhiều cách khác nhau)
- Tập cho học sinh xây dựng phương pháp giải từ bài cơ bản nhất sau đó tới các
bài phức tạp hơn để từng bước củng cố kiến thức và tạo ra sự đam mê học toán
cho học sinh.
V. Tài liệu tham khảo:
1. Sách giáo khoa hình học 12 ( ban cơ bản và nâng cao) – Bộ GD
2. Sách bài tập hình học 12 ( ban cơ bản và nâng cao). Bộ GD
3. Tài liệu chuẩn kiến thức Hình học 12 - Bộ GD
4. Sách giáo viên Hình học 12 ( ban cơ bản và nâng cao)- Bộ GD
5. Các chuyên đề hình học giải tích – Tác giả: Huỳnh Công Thái.
6. Các chuyên đề hình học giải tích – Tác giả: Nguyễn Đức Đồng.

GV: Đinh Quang Minh

trang 17


Giúp học sinh học tốt chương 3 hình học lớp 12
MỤC LỤC.
STT
1
2
3
4
5
6

7
8

9

10

11
12
13

14
15

16
17

Nội dung
Lý do chọn đề tài
Tổ chức thực hiện đề tài
Cơ sở lý luận.
Nội dung biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài
Một số kiến thức cơ bản
Loại 1: Lập phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm không
thẳng hàng
Loại 2: Lập PT mp(Q) với (Q) qua M và chứa d
Loại 3: Lập phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc mp(P).
Loại 4-5: Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của M lên
mặt phẳng (Q), lên đường thẳng d

Loại 6: Lập PT mp(P) // mp(Q) và tiếp xúc mặt cầu ( S)
Loại 7: Lập PT mặt cầu ( S) có tâm nằm trên đường thẳng
(d) và tiếp xúc với hai mp(P) , mp(Q)
Loại 8: Lập phương trình mặt phẳng (Q) thỏa
a. (Q) chứa đường thẳng d1 và (Q)// d2.
b. (Q) // d1 và (Q)// d2.
Loại 9: Lập PT đường thẳng d đi qua điểm M và vuông
góc với hai đường thẳng d1 , d2
Loại 10: : Lập PT đường thẳng d đi qua điểm M , vuông
góc với d1 và cắt d2
Loại 11: Gọi d là giao tuyến của hai mp(P) và mp(Q). Viết
phương trình tham số của d
Loại 12: lập phương trình đường thẳng d là hình chiếu
vuông góc của đường thẳng  lên mp(Q)
Loại 13: Lập phương trình đường thẳng d cắt 2 đường
thẳng chéo nhau d1,d2 và song song với đường thẳng d3
Loại 14: Lập phương trình đường thẳng d đi qua một điểm
M cắt 2 đường thẳng chéo nhau d1,d2
Loại 15: Đường thẳng d cắt mp(Q) tại M. Lập PT đường
thẳng  qua M,  chứa trong (Q),   d
Loại 16: Mặt phẳng (Q) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn
(C). Tìm tọa độ tâm và bán kính của (C)
Loại 17: Lập PT đường vuông góc chung d của d1,d2
Loại 18: Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
( không dùng công thức khoảng cách giữa 2 đường thẳng
chéo nhau để tính)
Hiệu quả của đề tài
Đề xuât- khuyến nghị

GV: Đinh Quang Minh

Trang
1
1
1
2
3-5
6

7
8

9

10

11
12
13

14
15

17
17

trang 18