SKKN bồi dưỡng năng lực suy rộng công thức lượng giác để phát hiện phương pháp giải nhanh một số dạng phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG YÊN
TRƯỜNG T.H.P.T ĐỨC HỢP

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC SUY RỘNG CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
ĐỂ PHÁT HIỆN PHƯƠNG PHÁP GIẢI NHANH MỘT SỐ DẠNG
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHO HỌC SINH LỚP 11.

Lĩnh vực: Toán học
Họ và tên: LÊ THỊ HINH
Chức vụ: Phó hiệu trưởng
Đơn vị công tác: Trường THPT Đức Hợp

Năm học: 2015- 2016


MỤC LỤC

NĂM HỌC 2015-2016

Nội dung
Trang
PHẦN I. TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU.............................
1
1. Lý do chọn đề tài................................................................................
1
2. Cơ sở thực tiễn....................................................................................
2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu..........................................................................
2
4. Mục đích nghiên cứu..........................................................................

2
5. Phạm vi, giới hạn, vấn đề nghiên cứu.................................................
2
6. Phương pháp nghiên cứu....................................................................
3
7. Giả thuyết khoa học của đề tài............................................................
3
8. Đóng góp của đề tài............................................................................
3
9. Hướng phát triển tiếp theo của đề tài……………………………
4
10. Cấu trúc của đề tài............................................................................
4
PHẦN II. NỘI DUNG...........................................................................
5
1. Kiến thức lý thuyết cơ bản..................................................................
5
2. Các công thức lượng giác suy rộng và các bài toán áp dụng..............
6
2.1 Các công thức lượng giác suy rộng từ công thức sẵn có và các bài
toán áp dụng
2.2 Tìm các công thức lượng giác phù hợp giải các phương trình

6

lượng giác chứa cung nx ( n ∈ N* ) và các bài toán áp dụng
3. Tổ chức thực nghiệm và đối chứng
PHẦN III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1. Kết luận...............................................................................................
2. Kiến nghị.............................................................................................

TÀI LIỆU THAM KHẢO......................................................................
PHỤ LỤC...............................................................................................

12
21
25
25
25
26
27


PHẦN I. TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
1. Lý do chọn đề tài
Căn cứ vào nhiệm vụ và mục tiêu của giáo dục phổ thông của nước ta hiện nay
đang thực hiện bước chuyển từ chương trình giáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp cận
năng lực của người học, để thực hiện được điều đó người giáo viên phải tích cực đổi
mới phương pháp dạy học từ PPDH theo lối “Truyền thụ một chiều” sang dạy cách
học, cách tiếp cận và vận dụng kiến thức, rèn luyện kỹ năng, phải hình thành năng lực
và phẩm chất, từ đó dần thay đổi cách kiểm tra đánh giá từ kiểm tra trí nhớ sang kiểm
tra, đánh giá năng lực vận dụng kiến thức giải quyết vấn đề để có thể tác động kịp thời
nhằm thúc đẩy học sinh sự ham học hỏi, khám phá và rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo nâng
cao chất lượng của các hoạt động dạy học và giáo dục.
Chương trình toán THPT hiện nay, cụ thể là chương trình lượng giác Lớp 11
các phương trình lượng giác đòi hỏi năng lực sáng tạo của học sinh xuất hiện không
nhiều trong sách giáo khoa, sách bài tập . Trong nhiều tài liệu tham khảo cũng có đề
cập đến các bài tập nâng cao về giải phương trình lượng giác nhưng tôi thấy chỉ có
các bài toán vận dụng công thức lượng giác sẵn có trong SGK hoặc các kỹ năng thêm
bớt, kỹ năng phân tích nhân tử, những bài tập dạng này chỉ cần kỹ năng thuần túy
hướng học sinh vào tư duy đường mòn mà không đòi hỏi tính sáng tạo, tạo hứng thú

nghiên cứu cho học sinh. Hơn nữa trong xu hướng dạy học hiện nay là đổi mới
phương pháp dạy học nhằm mục đích phát huy năng lực cho học sinh, tạo cho người
học hứng thú trong học tập, nghiên cứu khoa học và áp dụng vào thực tiễn cuộc sống
chứ không chỉ thuần túy là học để thi.
Dựa trên các tài liệu tham khảo do bản thân tự bồi dưỡng, với thực tế giảng dạy
và kinh nghiệm tôi đã chọn tìm hiểu và nghiên cứu đề tài: “Bồi dưỡng năng lực suy
rộng công thức lượng giác để phát hiện phương pháp giải nhanh một số dạng
phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11”. Tôi tập hợp các bài toán đòi hỏi
năng lực sáng tạo suy rộng công thức lượng giác sẵn có và tìm công thức lượng giác
phù hợp để giải lớp các phương trình từ đó cho học sinh tự rút ra các bài học kinh
nghiệm và các nhóm tự biên soạn các bài tập vận dụng tượng tự và nộp sản phẩm,
1


thông qua các tiết học tự chọn trong phân phối chương trình và các buổi hội thảo
chuyên đề nâng cao do ban chuyên môn nhà trường tổ chức. Đồng thời tạo cho các em
có cách nhìn tổng quát và sâu sắc hơn về vấn đề vừa được học. Bồi dưỡng năng lực tư
duy sáng tạo, qui lạ về quen, năng lực biến đổi lượng giác, năng lực nghiên cứu và
tổng hợp được vấn đề cần nghiên cứu. Tôi hi vọng đề tài này được các em học sinh
tích cực hợp tác và các đồng nghiệp nhiệt tình giúp đỡ để giúp tôi bổ sung và hoàn
thiện tốt đề tài này.
2. Cơ sở thực tiễn
Nội dung liên quan đến “Giải phương trình lượng giác” thường được quan
tâm trong các kỳ thi tuyển sinh vào các trường ĐH trước đây và kỳ thi THPT Quốc
gia hiện nay và trong kỳ thi học sinh giỏi các cấp. Mặt khác đây là một phần kiến thức
khó, học sinh học phần kiến thức này thường là học theo hình thức ghi nhớ công thức
lượng giác, ít khi nghiên cứu tìm tòi sáng tạo.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm ra được 15 công thức lượng giác suy rộng từ đó vận dụng vào giải nhanh
các phương trình lượng giác .

- Từ các bài tập thực hiện chỉ ra được các bài toán tổng quát, các lớp bài toán
vận dụng nhằm hướng dẫn học sinh tự học, tự nghiên cứu.
- Kết thúc mỗi dạng bài tập các nhóm đưa ra một hệ thống các bài tập tự luyện
và mở rộng các dạng bài tập đó.
4. Mục đích nghiên cứu
- Giúp cho bản thân tự trau dồi kiến thức, nâng cao năng lực chuyên môn phục
vụ cho công tác dạy học.
- Bồi dưỡng cho học năng lực tư duy sáng tao, tư duy phân tích, tổng hợp từ
một dạng toán, từ đó phát triển năng lực tư duy lôgic, khái quát hoá vấn đề.
- Bồi dưỡng cho học sinh phát triển năng lực của các hoạt động trí tuệ, rèn
luyện đức tính cần cù, cẩn thận, góp phần hình thành những phẩm chất đạo đức, năng
lực làm việc cần thiết của một người công dân sau này.
5. Phạm vi, giới hạn, vấn đề nghiên cứu
2


5.1. Phạm vi nghiên cứu
Học sinh đang học lớp 11, 12; học sinh dự thi học sinh giỏi Tỉnh, học sinh ôn
thi THPT Quốc gia.
5.2. Giới hạn nội dung nghiên cứu: Hoạt động dạy học sinh hoạt chuyên đề bồi dưỡng
năng lực suy rộng công thức lượng giác để giải nhanh một số dạng phương trình
lượng giác.
5.3. Vấn đề nghiên cứu của đề tài: Sử dụng phương pháp dạy học nào để nâng cao
năng lực tư duy sáng tạo trong học tập bộ môn toán cho học sinh THPT đối với phần
Giải phương trình lượng giác.
6. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý thuyết về công thức lượng giác, phương pháp giải phương trình
lượng giác trong chương trình SGK Đại số và giải tích 11.
- Nghiên cứu về phương pháp dạy học đặc biệt là phương pháp dạy học theo
định hướng phát huy năng lực học sinh môn toán.

- Nghiên cứu về thực tế giảng dạy môn toán hiện nay ở trường THPT Đức Hợp,
khảo sát học sinh, qua sách báo và tài liệu tham khảo môn toán, học hỏi và tiếp thu
các ý kiến đóng góp của đồng nghiệp qua các tiết dự giờ.
7. Giả thuyết khoa học của đề tài
Trên cơ sơ lý luận của phương pháp dạy học môn toán và thực tiễn dạy học về
phương trình lượng giác nếu biết khai thác, vận dụng thành thạo công thức lượng giác
sẵn có, biết phân tích đề bài, học sinh sẽ phát huy được năng lực suy rộng, phát hiện
công thức lượng giác phù hợp để áp dụng vào giải một số dạng phương trình lượng
giác khó, đòi hỏi tính sáng tạo. Từ đó học sinh rút ra cho bản thân các bài học kinh
nghiệm, hệ thống hóa dạng toán, tích cực, chủ động, sáng tạo hơn trong việc học tập
và nghiên cứu.
8. Đóng góp của đề tài
- Bồi dưỡng được cho học sinh năng lực suy rộng các công thức lượng giác sẵn
có, tìm tòi sáng tạo các công thức lượng giác phù hợp giải nhanh một số dạng phương

3


trình lượng giác hay và khó phục vụ cho học sinh tham gia các kỳ thi THPT Quốc gia,
kỳ thi học sinh giỏi các cấp hằng năm.
- Cung cấp cho học sinh cơ sở lý thuyết phương trình lượng giác và các kỹ năng
trình bày lời giải bài toán giải phương trình lượng giác.
- Giúp cho các em học sinh rèn kỹ năng giải toán và không thấy e ngại khi gặp
bài toán khó.
- Giúp cho giáo viên có thêm nhiều kinh nghiệm về đổi mới phương pháp và
nâng cao chất lượng dạy học .
9. Hướng phát triển tiếp theo của đề tài
Vì thời gian có hạn vì vậy ở đề tài này Tôi mới chỉ dừng lại ở nội dung học
sinh sử dụng các công thức lượng giác vào giải các dạng phương trình lượng giác,
hướng tiếp theo của đề tài Tôi sẽ hướng dẫn học sinh vận dụng các công thức này vào

các lớp bài toán chứng minh bất đẳng thức lượng giác và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
của các hàm số lượng giác.
10. Cấu trúc của đề tài
Phần I: Tổng quan về vấn đề nghiên cứu
Phần II: Nội dung
1. Kiến thức lý thuyết cơ bản.
2. Các công thức lượng giác suy rộng và các bài toán áp dụng công thức,
sản phẩm của các nhóm học sinh tự ra các bài tập tương tự .
3. Tổ chức thực nghiệm và kết quả đối chứng.
Phần III: Kết luận và khuyến nghị.

4


PHẦN II. NỘI DUNG
1. Kiến thức lý thuyết cơ bản
Các phương trình lượng giác cơ bản:
 Phương trình: sin x =a

(1)

Nếu a > 1 thì phương trình (1) vô nghiệm
 x = α + k 2π

Nếu a ≤ 1 đặt sin α = a thì phương trình (1) có nghiệm 
 x = π − α + k 2π (k ∈ Z)
u ( x) = v( x) + k 2π

Phương trình: sin u(x)=sinv(x) ⇔ 
u ( x) = π − v( x) + k 2π , (k ∈ Z)

Phương trình:
sin x = 0 ⇔ x = kπ
π
sin x = 1 ⇔ x = + k 2π
2
π
sin x = −1 ⇔ x = − + k 2π (k ∈ Z)
2

 Phương trình: cosx =a

(2)

Nếu a > 1 thì phương trình (2) vô nghiệm
 x = α + k 2π

Nếu a ≤ 1 đặt cos α = a thì phương trình (1) có nghiệm 
 x = −α + k 2π (k ∈ Z)
u ( x) = v( x) + k 2π

Phương trình: cos u(x)=cosv(x) ⇔ 
u ( x) = −v( x) + k 2π , (k ∈ Z)
Phương trình:
π
+ kπ
2
cos x = 1 ⇔ x = k 2π
cos x = −1 ⇔ x = π + k 2π (k ∈ Z)
cos x = 0 ⇔ x =

 Phương trình: tanx =a
Điều kiện xác định: x ≠

(3)

π
+ kπ (k ∈ Z)
2

Với mọi giá trị thực của a và tan α =a thì phương trình (3) có nghiệm
x = α + kπ (k ∈ Z)

5


Phương trình: tanu(x)=tanv(x) ⇔ u ( x) = v( x) + kπ , (k ∈ Z) với
u ( x) ≠

π
π
+ kπ , v( x) ≠ + kπ
2
2

Với x ≠

π
+ kπ , k ∈ Z ta có phương trình:
2

tan x = 0 ⇔ x = kπ
π
tan x = 1 ⇔ x = + kπ
4
−π
tan x = −1 ⇔ x =
+ kπ (k ∈ Z)
4

 Phương trình: cotx =a

(4)

Điều kiện xác định: x ≠ π + kπ (k ∈ Z)
Với mọi giá trị thực của a và cot α =a thì phương trình (4) có nghiệm
x = α + kπ (k ∈ Z)

Phương trình: cotu(x)=cotv(x) ⇔ u ( x) = v( x) + kπ , (k ∈ Z) với u ( x) ≠ kπ , v( x) ≠ kπ
Với x ≠ π + kπ (k ∈ Z) ta có phương trình:
π
+ kπ
2
π
cot x = 1 ⇔ x = + kπ
4
−π
cot x = −1 ⇔ x =
+ kπ (k ∈ Z)
4
cot x = 0 ⇔ x =

2. Các công thức lượng giác suy rộng và các bài toán áp dụng.
2.1 Các công thức lượng giác suy rộng từ công thức sẵn có và các bài toán áp
dụng
Hướng dẫn các nhóm học sinh chỉ ra được các công thức lượng giác suy rộng từ
các công thức lượng giác sẵn, phát hiện phương pháp giải nhanh và chính xác một số
dạng phương trình lượng giác. Từ đó rút ra các bài học kinh nghiệm bằng cách tổng
quát hóa các dạng phương trình lượng chứa cung nx ( n ∈ N* ).
 Công thức gốc 1: sin 3a=3sina- 4sin3a
6


Công thức suy rộng:
Hoặc:

sin 3a
= 3 − 4sin 2 a (1.1) hoặc sin a ( 4sin 2 a − 3 ) = sin 3a (1.2)
sin a

sin 3a
= 1 + 2 cos 2a (1.3)
sin a

Hoặc

4sin a
3
1
=
−

(1.4)
1 + 2 cos 2a sin 3a sin a

Vận dụng:
VD1: Giải phương trình sau: 6 cos3x=1+8sin2x.cos3x
Lời giải: 6 cos3x=1+8sin2x.cos3x (1)
Vì x= kπ (k ∈ Z) không là nghiệm của phương trình (1) nên áp dụng công thức (1.1)
ta có:
(1) ⇔ 2 cos 3x ( 3 − 4sin 2 x ) = 1 ⇔ 2 cos 3 x.

sin 3x
= 1 ⇔ sin 6 x = sin x
sin x

2π

( 2k ≠ 5m, k , m ∈ Z)
x = k 5
6 x = x + k 2π
⇔
⇔
6 x = π − x + k 2π
 x = π + k 2π ( 2k ≠ 7 m − 1, k , m ∈ Z)

7
7
2
2
VD2: Giải phương trình ( 3 − 4sin x ) . ( 3 − 4sin 3 x ) = 1 (2)

Lời giải:
Vì x= kπ (k ∈ Z) không là nghiệm của phương trình (2) nên áp dụng công thức (1.2)
ta có:
(2) ⇔ sin x. ( 3 − 4sin 2 x ) . ( 3 − 4sin 2 3 x ) = sin x
⇔ sin 3x. ( 3 − 4sin 2 3 x ) = sin x

π

x=k

9 x = x + k .2π
4
⇔ sin 9 x = sin x ⇔ 
⇔
9 x = π − x + k .2π
x = π + k π

10
5

(k ∈ Z)

Bài học kinh nghiệm:
2
2
2 n
Phương trình: ( 3 − 4sin x ) . ( 3 − 4sin 3 x ) .... ( 3 − 4sin 3 x ) = 1 ⇔ sin(3n +1 x) = sin x

Kết quả các nhóm học sinh tự ra các bài tập vận dụng: Giải các phương trình sau:
2

2
2
1) ( 3 − 4sin x ) . ( 3 − 4sin 3 x ) . ( 3 − 4sin 9 x ) = 1
2
2
2) 2cos 9x. ( 3 − 4sin x ) . ( 3 − 4sin 3 x ) = 1

( ⇔ sin 27 x = sin x )

( ⇔ 2 cos 9 x.sin 9 x = sin x ⇔ sin18 x = sin x )
7


3)

4sin x
12sin 3 x
36sin 9 x
27
+
+
=
−1
1 + 2 cos 2 x 1 + 2 cos 6 x 1 + 2 cos18 x sin 27 x

(

⇔ sin x = 1 áp dụng

công thức 1.4)

 Công thức gốc 2: cos 3x= 4cos3x- 3cosx
Công thức suy rộng:

cos 3 x
= 4 cos 2 x − 3 (2.1) hoặc cos x. ( 4 cos 2 x − 3) = cos 3x (2.2)
cos x

Ví dụ 3: Giải phương trình sau: 1+ 6 sin3x = 8 cos2x.sin3x
Lời giải: 1+ 6 sin3x = 8 cos2x.sin3x (3)
π
2

Vì x= + kπ (k ∈ Z ) không là nghiệm của phương trình (3) nên áp dụng CT (2.1) ta
có:
(3) ⇔ 2sin 3x ( 4 cos 2 x − 3) = 1
cos 3 x
π

= 1 ⇔ sin 6 x = cos x ⇔ sin 6 x = sin  − x ÷
cos x
2

π
2π
π


 x = 14 + k 7
6 x = 2 − x + k 2π
⇔

⇔
 x = π + k 2π (k ∈ Z)
6 x = π + x + k 2π

2
10
5

⇔ 2sin 3x.

2
2
Ví dụ 4: Giải phương trình ( 4 cos x − 3) . ( 4 cos 3 x − 3) = 1
2
2
Lời giải: ( 4 cos x − 3) . ( 4 cos 3 x − 3) = 1 (4)

π
2

Vì x= + kπ (k ∈ Z) không là nghiệm của phương trình (4) nên áp dụng CT (2.2) ta
có:
(4) ⇔ cos x. ( 4 cos 2 x − 3) . ( 4 cos 2 3 x − 3) = cos x
⇔ cos 3 x. ( 4 cos 2 3 x − 3) = cos x

π

x = k 4
9 x = x + k 2π
⇔ cos 9 x = cos x ⇔ 

⇔
9 x = − x + k 2π
9 x = k π (k ∈ Z)

5
2
2
Ví dụ 5: Giải phương trình 2sin 9 x. ( 4 cos x − 3) . ( 4 cos 3 x − 3) = 1
2
2
Lời giải: 2sin 9 x. ( 4 cos x − 3) . ( 4 cos 3 x − 3) = 1 (5)

8


π
2

Vì x= + kπ (k ∈ Z) không là nghiệm của phương trình (5) nên áp dụng CT (3.2)ta
có:
(5) ⇔ 2sin 9 x.cos x ( 4 cos 2 x − 3 ) . ( 4 cos 2 3 x − 3 ) = cos x

π
sin18 x = cos x ⇔ sin18 x = sin( − x)
2
π
2π
π



x
=
+
k
18
x
=
−
x
+
k
2
π


38
19
2
⇔
⇔
π
π
2
π
x =
18 x = + x + k 2π
+k


2

34
17

(k ∈ Z)

Bài học kinh nghiệm:
2
2
2 n
Phương trình: ( 4 cos x − 3) . ( 4 cos 3 x − 3) .... ( 4 cos 3 x − 3) = 1 ⇔ cos(3n +1 x) = cos x

Kết quả các nhóm học sinh tự ra các bài tập vận dụng
Giải các phương trình sau:
2
2
2
1) ( 4 cos x − 3) . ( 4 cos 3x − 3) . ( 4 cos 9 x − 3 ) = 1

2)

cos 3 x
. ( 4 cos 2 3x − 3) . ( 4 cos 2 9 x − 3) = 1
cos x

 Công thức gốc 3: tan 2 x =

( ⇔ cos 27 x = cos x )
( ⇔ cos 27 x = cos x )

2 tan x

1 − tan 2 x

Công thức suy rộng : 1 − tan 2 x =

2 tan x
1
tan 2 x
=
(3.1) hoặc
2
tan 2 x
1 − tan x 2 tan x

(3.2)

π
π
π


 x ≠ + kπ , x ≠ + k , (k ∈ Z) ÷
2
4
2


2
2
2
Ví dụ 6: Giải phương trình sau: ( 1 − tan x ) . ( 1 − tan 2 x ) . ( 1 − tan 4 x ) = 8

Lời giải: ĐK : cos x ≠ 0, cos2 x ≠ 0, cos4x ≠ 0 , áp dụng CT (3.1) ta có:
1
1
1
1
.
.
=
2
2
2
1 − tan x 1 − tan 2 x 1 − tan 4 x 8
tan 2 x tan 4 x tan 8 x 1
⇔
.
.
=
2 tan x 2 tan 2 x 2 tan 4 x 8
π
⇔ tan 8 x = tan x ⇔ 8 x = x + kπ ⇔ x = k
(k ∈ Z)
7

(6) ⇔

2
2
2
Ví dụ 7: Giải phương trình sau: cot x. ( 1 − tan x ) . ( 1 − tan 2 x ) . ( 1 − tan 4 x ) = 8 (7)

Lời giải: ĐK: sin 8 x ≠ 0 , áp dụng CT (3.2) ta có:
9


2
2
2
.
.
2
2
1 − tan x 1 − tan 2 x 1 − tan 2 4 x
tan 2 x tan 4 x tan 8 x
⇔ cot x =
.
.
tan x tan 2 x tan 4 x
tan 8 x
⇔ cot x =
⇔ tan 8 x = 1
tan x
π
π
π
⇔ 8 x = + kπ ⇔ x =
+k
(k ∈ Z)
4
32

8

( 7 ) ⇔ cot x =

Ta có

x=

π
π
+k
32
8

(k ∈ Z) thỏa mãn điều kiện .

Bài học kinh nghiệm: Với ĐK : sin 2n +1 x ≠ 0 ta có:

( 1 − tan x ) . ( 1 − tan
2

2

2 x ) . ( 1 − tan 2 2 2 x ) ....(1 − tan 2 2 n x) =

2n +1 tan x
tan 2n +1 x

2
2

2 2
2 n
n +1
Phương trình : cot x. ( 1 − tan x ) . ( 1 − tan 2 x ) . ( 1 − tan 2 x ) ....(1 − tan 2 x) = 2

⇔ tan 2n +1 x = 1

Kết quả các nhóm học sinh tự ra các bài tập vận dụng: Giải phương trình sau:
2
2
2
1. ( 1 − tan x ) . ( 1 − tan 2 x ) . ( 1 − tan 4 x ) = 8.cot 8 x

( tan x = 1)

2
2
2 2
2
2. cot x. ( 1 − tan x ) . ( 1 − tan 2 x ) . ( 1 − tan 2 x ) .(1 − tan 8 x) = 16

( tan16 x = 1)

Ví dụ 8: Bài tập kết hợp các công thức suy rộng từ các công thức gốc 1,2,3
Giải phương trình sau: 1) (cot x − cot 3x).(4 cos 2 x − 3) = 2 (8.1)
Lời giải: ĐK: sin3x ≠ 0
(8.1) ⇔
⇔ 3x =

2 cos x

2 cos x cos 3 x
4 cos 2 x − 3) = 2 ⇔
.
= 2 ⇔ cot 3 x = 1
(
sin 3x
sin 3 x cos x

π
π
π
+ kπ ⇔ x = + k
4
12
3

(k ∈ Z) (t/m)



2
−
2) 
÷. ( 4 cos 2 x − 3 ) = 2 (8.2)
 sin x sin 3x 
1

1

Lời giải: ĐK: sin3x ≠ 0

10


2 cos 2 x
. ( 4 cos 2 2 x − 3) = 2
sin 3x
2 cos 2 x cos 6 x
π

⇔
.
= 2 ⇔ cos 6 x = sin 3 x = cos  − 3 x ÷
sin 3x cos 2 x
2


(8.2) ⇔

π
2π
π


 x = 18 + k 9
6 x = 2 − 3x + k 2π
⇔
⇔
π
 x = −π + k 2π

6 x = − + 3 x + k 2π


2
6
3

(k ∈ Z)

Bài học kinh nghiệm: Giải những phương trình sử dụng đồng thời nhiều công thức sẽ
khó giải hơn vì vậy học sinh phải lựa chọn vận dụng công thức phù hợp cho từng
bước giải phương trình.
Kết quả các nhóm học sinh tự ra các bài tập vận dụng: Giải các phương trình sau:

( ⇔ tan 3x = 1)

1. (tan 3x − tan x).(3 − 4sin 2 x) = 2
2. (tan 2 x − tan x) =

1
1 − tan 2 x )
(
2

( ⇔ sin

 Công thức gốc 4: cot a − cot b =
tan(a − b) =
1

2

2 x + sin 2 x − 1 = 0 )

sin(a − b)
sin(a − b)
, tan a − tan b =
sin a.sin b
cos a.cos b
tan a − tan b
1 + tan a.tan b

cot a − cot b

1

tan a − tan b

Công thức suy rộng: sin a.sin b = sin( a − b) (4.1) , cos a.cos b = sin(a − b)
tan a.tan b =

Ví dụ 9: Giải phương trình sau:

(4.2),

tan a − tan b
− 1 (4.3)
tan(a − b)

1

1
1
+
+
= 0 (9)
sin x.sin 2 x sin 2 x.sin 3 x sin 3 x.sin 4 x

Lời giải: ĐK: sin 3 x ≠ 0, sin 4 x ≠ 0 , Áp dụng CT (4.1) ta có:
cot x − cot 2 x cot 2 x − cot 3 x cot 3 x − cot 4 x
+
+
=0
sin x
sin x
sin x
π
⇔ cot x = cot 4 x ⇔ x = k
(k ∈ Z)
3

(9) ⇔

1
1
1
+
+ ... +
= 0 (n ∈ N, n ≥ 3)
sin( n − 1) x.sin nx
Baì học kinh nghiệm: sin x.sin 2 x sin 2 x.sin 3 x

⇔ cotx=cot(nx)
11


Ví dụ 10: Giải phương trình sau: tan x.tan 2 x + tan 2 x.tan 3 x + tan 3 x.tan 4 x + 3 = 0 (10)
Lời giải: ĐK: cos 3x ≠ 0, cos4 x ≠ 0, cosx ≠ 0, cos2x ≠ 0 , áp dụng CT (4.3) ta có:
tan 2 x − tan x
tan 3 x − tan 2 x
tan 4 x − tan 3 x
−1+
−1+
−1+ 3 = 0
tan(2 x − x)
tan(3 x − 2 x)
tan(4 x − 3 x)
tan 2 x − tan x + tan 3 x − tan 2 x + tan 4 x − tan 3 x
⇔
=0
tan x
tan 4 x − tan x
⇔
= 0 ⇔ tan 4 x = tan x ⇔ 4 x = x + kπ
tan x
π
⇔x=k
(k ∈ Z)
3

(10) ⇔

Baì học kinh nghiệm:

tan x.tan 2 x + tan 2 x.tan 3 x + ... + tan( n − 1) x.tan nx + ( n −1) = 0 (n ∈ N, n ≥ 3)
⇔ tan nx=tanx
Kết quả các nhóm học sinh tự ra các bài tập vận dụng: Giải các phương trình sau:
1.

1
1
1
1
+
+
+
=0
sin 3 x.sin 6 x sin 6 x.sin 9 x sin 9 x.sin12 x sin12 x.sin15 x

2. tan x.tan 2 x + tan 2 x.tan 3 x + tan 3 x.tan 4 x + tan 4 x.tan 5 x + 4 = 0

( ⇔ cot 3x = cot15 x )
( ⇔ tan 5 x = tan x )

2.2 Tìm các công thức lượng giác phù hợp giải các phương trình lượng giác chứa
cung nx ( n ∈ N* ) và các bài toán áp dụng
Hướng dẫn học sinh phân tích đề bài phát hiện công thức lượng giác phù hợp
với mỗi phương trình lượng giác từ đó giải nhanh, chính xác các phương trình lượng
giác chứa cung nx ( n ∈ N* ). Sau mỗi dạng các em tự rút ra cho mình bài học kinh
nghiệm bằng cách tổng quát hóa cho mỗi dạng phương trình lượng giác chứa cung nx
( n ∈ N* ).
Ví dụ 11: Giải phương trình sau:

1
1
1
+
+
= 0 (11)
sin 2 x sin 4 x sin 8 x

Hướng dẫn học sinh tìm công thức: Các hạng tử trong phương trình có đặc điểm gì ? (
1
1
) , vì vậy các em tìm xem
được biến đổi thành biểu thức nào?
sin 2a
sin 2a

Ta có :

1
1
sin a
sin(2a − a) sin 2a cos a − cos 2a sin a
=
=
=
=
=cota-cot2a
sin 2a sin 2a sin a.sin 2a sin a.sin 2 a
sin a sin 2 a

Học sinh chốt được công thức :

1
= cot a − cot 2a (sin2a ≠ 0) (5)
sin 2a
12


Vận dụng công thức (5) với sin 8 x ≠ 0 ta có :
(11) ⇔ cot x − cot 2 x + cot 2 x − cot 4 x + cot 4 x − cot 8 x = 0
⇔ cot x − cot 8 x = 0
π
⇔ cot 8 x = cot x ⇔ 8 x = x + kπ ⇔ x = k
(k ∈ Z)
7

( t/m)

Bài học kinh nghiệm: Với sin 2n x ≠ 0 ta có:
1
1
1
+
+ ... +
= 0 ⇔ cot x = cot(2 n x) (n ∈ N, n ≥ 2)
n
sin 2 x sin 4 x
sin 2 x

Kết quả các nhóm học sinh tự ra các bài tập vận dụng: Giải các phương trình sau:
1.

1
1
1
+
+
=0
sin 4 x sin 8 x sin16 x

2.

1
1
1
1
+
+
+
=0
sin 2 x sin 4 x sin 8 x sin16 x

(⇔ cot 2 x = cot16 x)

Ví dụ 12: Giải phương trình sau:

(⇔ cot x = cot16 x)
tan x tan 2 x tan 4 x
+

+
= 0 (12)
cos 2 x cos 4 x cos8 x

Hướng dẫn học sinh tìm công thức: Các hạng tử trong phương trình có đặc điểm gì ? (
tan a
tan a
) , vì vậy các em tìm xem
được biến đổi thành biểu thức nào?
cos 2a
cos 2a
tan a
sin a
sin(2a − a)
=
=
cos 2a cos a.cos 2a cos a.cos 2a
sin 2a.cos a − cos 2a sin a
=
cos a.cos 2a
= tan2a-tan a

Học sinh chốt được công thức :

tan a
= tan2a-tan a ( coa ≠ 0, cos2a ≠ 0) (6)
cos 2a

Vận dụng công thức (6) , với cos8 x ≠ 0, cos4x ≠ 0, cos2x ≠ 0 ta có :
(12) ⇔ tan 2 x − tan x + tan 4 x − tan 2 x + tan 8 x − tan 4 x = 0

⇔ tan 8 x = tan x
π
⇔ 8 x = x + kπ ⇔ x = k
(k ∈ Z) ( t/m )
7

Bài học kinh nghiệm:

Với cos 2 x ≠ 0, ....cos2n x ≠ 0

tan x tan 2 x
tan 2 n −1 x
+
+ ... +
= 0 ⇔ tan 2n x = tan x ( n ∈ N, n ≥ 2)
n
cos 2 x cos 4 x
cos 2 x
13


Kết quả các nhóm học sinh tự ra các bài tập vận dụng: Giải các phương trình sau:
1.

tan x tan 2 x tan 4 x tan 4 x
+
+
+
=0
cos 2 x cos 4 x cos8 x cos8 x

2.

tan 2 x tan 4 x tan 8 x tan16 x
+
+
+
=0
cos 4 x cos8 x cos16 x cos 32 x

Ví dụ 13: Giải phương trình sau:

( ⇔ tan 8 x = tan x )
( ⇔ tan 32 x = tan 2 x )

cos x cos 3 x cos 9 x
+
+
= 0 (13)
sin 3 x sin 9 x sin 27 x

Hướng dẫn học sinh tìm công thức: Các hạng tử trong phương trình có đặc điểm gì ? (
cos a
cos a
) , vì vậy các em tìm xem
được biến đổi thành biểu thức nào?
sin 3a
sin 3a

Ta có:

1
1
sin 2a
sin(3a − a)
cos a sin a.cos a
2
2
=
=
=
sin 3a sin a.sin 3a sin a.sin 3a sin a.sin 3a
1
(sin 3a.cos a − cos 3a.sin a)
1
=2
= (cot a − cot 3a ) (sina ≠ 0, sin 3a ≠ 0)
sin a.sin 3a
2

Học sinh chốt được công thức :

cos a 1
= (cot a − cot 3a )
sin 3a 2

Vận dụng công thức (7) , với sin 27 x ≠ 0 ⇔ x ≠ k

( sin 3a ≠ 0) (7)

π

ta có:
27

1
(cot x − cot 3 x + cot 3 x − cot 9 x + cot 9 x − cot 27 x) = 0
2
π
⇔ cot 27 x = cot x ⇔ 27 x = x + kπ ⇔ x = k
(k ∈ Z) (t/m)
26

(13) ⇔

Bài học kinh nghiệm: với sin 3n +1 x ≠ 0
cos x cos 3 x
cos 3n x
+
+ ... +
= 0 ⇔ cot x = cot 3n +1 x
n +1
sin 3x sin 9 x
sin 3 x

Kết quả các nhóm học sinh tự ra các bài tập vận dụng: Giải các phương trình sau:
1.

cos 3 x cos 9 x cos 27 x
+
+
=0

sin 9 x sin 27 x sin 54 x

( ⇔ cot 3x = cot 54 x )
14


2.

cos x cos 3 x cos 9 x cos 27 x
+
+
+
=0
sin 3 x sin 9 x sin 27 x sin 54 x

Ví dụ 14: Giải phương trình sau:

( ⇔ cot x = cot 54 x )

cos 2 x cos 6 x cos18 x
+
+
= 0 (14)
sin 3 x sin 9 x sin 27 x

Hướng dẫn học sinh tìm công thức: Các hạng tử trong phương trình có đặc điểm gì ? (
cos 2a
cos 2a
) , vì vậy các em tìm xem
được biến đổi thành biểu thức nào?

sin 3a
sin 3a

Ta có:
1
(sin 3a − sin a)
cos 2a sin a.cos 2a 2
1 1
1
=
=
= (
−
)
sin 3a sin a.sin 3a
sin a.sin 3a
2 sin a sin 3a

Học sinh chốt được công thức :

cos 2a 1 1
1
= (
−
)
sin 3a 2 sin a sin 3a

Vận dụng công thức (8), với sin 27 x ≠ 0 ⇔ x ≠ k

( sin 3a ≠ 0) (8)

π
ta có:
27

1 1
1
1
1
1
1
(
−
+
−
+
−
)=0
2 sin x sin 3 x sin 3 x sin 9 x sin 9 x sin 27 x
 27 x = x + k 2π
1
1
⇔
=
⇔ sin 27 x = sin x ⇔ 
sin x sin 27 x
 27 x = π − x + k 2π

(14) ⇔

π

 x = k 13
⇔
(k ∈ Z) (t/m)
x = π + k π

28
14

Bài học kinh nghiệm: với sin 3n +1 x ≠ 0
cos 2 x cos 6 x
cos 3n.2 x
1
1
+
+ ... +
=0⇔
−
= 0 ⇔ sin 3n +1 x = sin 3 x (n ∈ N* )
n +1
sin 3 x sin 9 x
sin 3 x
sin 3 x sin 3n +1 x

Kết quả các nhóm học sinh tự ra các bài tập vận dụng: Giải các phương trình sau:
1.

cos 2 x cos 6 x cos18 x cos 54 x
+

+
+
=0
sin 3 x sin 9 x sin 27 x sin 81x

( ⇔ sin 81x = sin 3x )

2.

cos 6 x cos18 x cos 54 x cos162 x
+
+
+
=0
sin 9 x sin 27 x sin 81x sin 243 x

( ⇔ sin 243x = sin 9 x )

Ví dụ 15: Giải phương trình sau:

sin x sin 3 x sin 9 x
+
+
= 0 (15)
cos 3 x cos 9 x cos 27 x
15


Hướng dẫn học sinh tìm công thức: Các hạng tử trong phương trình có đặc điểm gì ? (
sin a

sin a
) , vì vậy các em tìm xem
được biến đổi thành biểu thức nào?
cos 3a
cos 3a

Ta có:
sin a 1 2sin a.cos a 1 sin 2a
= .
=
cos 3a 2 cos a.cos 3a 2 cos a.cos 3a
1 sin(3a − a ) 1
=
= (tan 3a − tan a )
2 cos a.cos 3a 2

Học sinh chốt được công thức :

sin a 1
= (tan 3a − tan a )
cos 3a 2

( cosa ≠ 0, cos3a ≠ 0) (9)

Vận dụng công thức (9), với cos 27 x ≠ 0 ta có :
1
(tan 3 x − tan x + tan 9 x − tan 3 x + tan 27 x − tan 9 x) = 0
2
π
⇔ tan 27 x = tan x ⇔ 27 x = x + kπ ⇔ x = k

(k ∈ Z) (t / m)
26

(15) ⇔

Bài học kinh nghiệm: với cos 3n x ≠ 0 ta có phương trình:
sin x sin 3 x
sin 3n −1 x
+
+ .... +
= 0 ⇔ tan 3n x = tan x
n
cos 3 x cos 9 x
cos 3 x

(n ∈ N* )

Kết quả các nhóm học sinh tự ra các bài tập vận dụng: Giải các phương trình sau:
1.

sin x sin 3 x sin 9 x sin 27 x
+
+
+
=0
cos 3 x cos 9 x cos 27 x cos81x

2.

sin 3x sin 9 x sin 27 x

+
+
=0
cos 9 x cos 27 x cos81x

3.

sin 3x 1
1
+ tan3x- =0
cos 9 x 2
2

( ⇔ tan 81x=tan x)
( ⇔ tan 81x=tan 3x)

( ⇔ tan 9x -1=0)

Ví dụ 16: Giải phương trình sau:

cos 5 x cos10 x cos 20 x
+
+
= 3 (16)
cos x cos 2 x cos 4 x

Hướng dẫn học sinh tìm công thức: Các hạng tử trong phương trình có đặc điểm gì ? (
cos 5a
cos 5a
) , vì vậy các em tìm xem

được biến đổi thành biểu thức nào?
cos a
cos a

Ta có:
16


cos 5a = cos 5a + cos 3a − (cos 3a + cos a) + cos a
=2cos4a.cosa-2cos2a.cosa+cosa
=cosa.(2cos4a-2cos2a+1)
cos 5a
⇔
= 2cos4a-2cos2a+1
cos a

Học sinh chốt được công thức :

cos 5a
= 2cos4a-2cos2a+1
cos a

Hoặc công thức suy rộng:

1
2cos4a-2cos2a+1
=
cos a
cos 5a

( cosa ≠ 0) (10)
( cosa ≠ 0, cos5a ≠ 0) ( 11)

Vận dụng công thức (10), với cos x ≠ 0, cos 2 x ≠ 0, cos 4 x ≠ 0 ta có :
(16) ⇔ 2 cos 4 x − 2 cos 2 x + 1 + 2 cos8 x − 2 cos 4 x + 1 + 2 cos16 x − 2 cos8 x + 1 = 3

π

x=k

16 x = 2 x + k 2π
7
⇔ cos16x=cos2x ⇔ 
⇔
16 x = −2 x + k 2π
x = k π

9

(k ∈ Z) ( t/m)

Bài học kinh nghiệm: với cosx ≠ 0, cos 2x ≠ 0,.....cos 2n x ≠ 0 ta có phương trình:
cos 5 x cos10 x
cos 5.2n x
+
+ ... +
= n + 1 ⇔ cos 4.2n x=cos2x (n ∈ N)
cos x cos 2 x
cos 2n x

Kết quả các nhóm học sinh tự ra các bài tập vận dụng: Giải các phương trình sau:
1.
2.

cos 5 x cos10 x cos 20 x cos 40 x
+
+
+
=4
cos x cos 2 x cos 4 x
cos8 x

( ⇔ cos 32 x = cos 2 x )

cos10 x cos 20 x cos 40 x cos80 x
+
+
+
=4
cos 2 x cos 4 x
cos8 x cos16 x

3.

cos 5 x
+ 2 cos 2 x = 0
cos x

4.

cos 5 x
− 2 cos 4 x = 0
cos x

5. 2 cos 4 x − 2 cos 2 x +

( ⇔ cos 64 x = cos 4 x )
( 2 cos 4 x + 1 = 0 )
( 2 cos 2 x − 1 = 0 )

1
1
=
cos 5 x cos x

( vận dụng công thức (11) với: cos x ≠ 0, cos 5 x ≠ 0 ta có:

17


1
1
= 1+
cos 5 x
cos x
1
2 cos 4 x − 2 cos 2 x + 1
⇔ 2 cos 4 x − 2 cos 2 x + 1 +
= 1+
cos 5 x

cos 5 x
 1

⇔ ( 2 cos 4 x − 2 cos 2 x ) . 
− 1÷ = 0
)
 cos 5 x 

(5) ⇔ 2 cos 4 x − 2 cos 2 x + 1 +

Ví dụ 17: Giải phương trình sau:
sin 5 x sin10 x sin 20 x
+
+
= tan x + tan 2 x + tan 4 x (17)
cos x cos 2 x cos 4 x

Hướng dẫn học sinh tìm công thức: Các hạng tử trong phương trình có đặc điểm gì ? (
sin 5a
sin 5a
) , vì vậy các em tìm xem
được biến đổi thành biểu thức nào?
cos a
cos a

Ta có:
sin 5a = sin 5a + sin 3a − (sin 3a + sin a) + sin a
=2sin4a.cosa-2sin2a.cosa+sina
sin a
=cosa.(2cos4a-2cos2a+

)
cos a
sin 5a
⇔
= 2cos4a-2cos2a+tan a
cos a

Học sinh chốt được công thức :

sin 5a
= 2cos4a-2cos2a+tana ( cosa ≠ 0) (12)
cos a

Vận dụng công thức (12) với cos x ≠ 0, cos 2 x ≠ 0, cos 4 x ≠ 0 ta có :
(17) ⇔ 2 cos 4 x − 2 cos 2 x + tan x + 2 cos8 x − 2 cos 4 x + tan 2 x + 2 cos16 x − 2 cos 8 x + tan 4 x
= tan x + tan 2 x + tan 4 x

π

x=k

16 x = 2 x + k 2π
7
⇔ cos16x=cos2x ⇔ 
⇔
16
x
=
−
2

x
+
k
2
π
π

x = k

9

Bài học kinh nghiệm:

(k ∈ Z) ( t/m)

với cosx ≠ 0, cos 2x ≠ 0,.....cos 2n x ≠ 0 ta có phương trình:

sin 5 x sin10 x
sin 5.2 n x
+
+ ... +
= tan x + tan 2 x + .... + tan 2 n x ⇔ cos 4.2 n x=cos2x (n ∈ N)
n
cos x cos 2 x
cos 2 x

Kết quả các nhóm học sinh tự ra các bài tập vận dụng: Giải các phương trình sau:
18

1.

sin 5 x sin10 x sin 20 x sin 40 x
+
+
+
= tan x + tan 2 x + tan 4 x + tan 8 x
cos x cos 2 x cos 4 x cos8 x

( ⇔ cos 32 x = cos 2 x )
2.

cos10 x cos 20 x cos 40 x cos80 x
+
+
+
= tan 2 x + tan 4 x + tan 8 x + tan16 x
cos 2 x cos 4 x
cos8 x cos16 x

( ⇔ cos 64 x = cos 4 x )
3.

sin 5 x cos 5 x
−
=4
sin x
cos x

sin 5 x

= 2 cos 4 x + 2 cos 2 x + 1,
sin x
( áp dụng các công thức
cos 5 x
= 2 cos 4 x − 2 cos 2 x + 1
cos x

Ví dụ 18: Giải phương trình sau:

ta được cos 2 x = 1 )

sin 2 x sin 2 3 x sin 2 9 x
+
+
= 0 (18)
cos 3 x cos 9 x cos 27 x

Hướng dẫn học sinh tìm công thức: Các hạng tử trong phương trình có đặc điểm gì ? (
sin 2 a
sin 2 a
) , vì vậy các em tìm xem
được biến đổi thành biểu thức nào?
cos 3a
cos 3a

Ta có:
sin 2 a 1 4 cos a.sin 2 a 1 2sin 2a.sin a
=
=
cos 3a 4 cos a.cos 3a 4 cos a.cos 3a

1 cos 3a − cos a 1
1
1
=−
= (
−
)
4 cos a.cos 3a 4 cos 3a cos a

Học sinh chốt được công thức :

sin 2 a 1
1
1
= (
−
)
cos 3a 4 cos 3a cos a

Vận dụng công thức (13) với cos 9 x ≠ 0 ta có :

19

( cos 3a ≠ 0) (13)


1
1
1
1

1
1
1
(
−
+
−
+
−
) =0
4 cos 3 x cos x cos 9 x cos 3 x cos 27 x cos 9 x
 27 x = x + k 2π
1
1
⇔
=
⇔ cos 27 x = cos x ⇔ 
cos 27 x cos x
 27 x = − x + k 2π

(19) ⇔

π

x
=
k

13
⇔

x = k π

14

(k ∈ Z)

Bài học kinh nghiệm:

với cos 3n +1 x ≠ 0 ta có phương trình:

sin 2 x sin 2 3 x
sin 2 3n x
+
+ ... +
= 0 ⇔ cos 3n +1 x = cos x
n +1
cos 3 x cos 9 x
cos 3 x

(n ∈ N)

Kết quả các nhóm học sinh tự ra các bài tập vận dụng: Giải các phương trình sau:
1.
2.

sin 2 x sin 2 3 x sin 2 9 x sin 2 27 x sin 2 81x
+
+
+
+

=0
cos 3 x cos 9 x cos 27 x cos81x cos 243 x
sin 2 3 x sin 2 9 x sin 2 27 x
+
+
=0
cos 9 x cos 27 x cos 81x

( ⇔ cos 243x = cos x )
( ⇔ cos81x = cos 3x )

sin 2 x sin 2 3 x
1
1
+
+
− =0
3.
cos 3 x cos 9 x 4 cos x 4

Ví dụ 19: Giải phương trình sau:

( ⇔ cos 9 x = 1)
4sin x
12sin 3 x
36sin 9 x
27
+
+
=

− 1 (19)
1 + 2cos 2 x 1 + 2cos 6 x 1 + 2cos18 x sin 27 x

Hướng dẫn học sinh tìm công thức: Các hạng tử trong phương trình có đặc điểm gì ? (
4sin a
4sin a
) , vì vậy các em tìm xem
được biến đổi thành biểu thức nào?
1 + 2 cos 2a
1 + 2 cos 2a

Ta có:
4sin 3 a
3
1
4sin a = 3sin a − sin 3a ⇔
=
−
sin a.sin 3a sin 3a sin a
4sin a
3
1
4sin a
3
1
⇔
=
−
⇔
=

−
sin 3a sin 3a sin a
1 + 2 cos 2a sin 3a sin a
sin a
3

Học sinh chốt được công thức :

4sin a
3
1
=
−
1 + 2 cos 2a sin 3a sin a

Vận dụng công thức (14) , với sin 27 x ≠ 0 ta có :
20

( sin3a ≠ 0) (14)


3
1
9
3
27
9
27
−
+

−
+
−
=
−1
sin 3 x sin x sin 9 x sin 3 x sin 27 x sin 9 x sin 27 x
π
⇔ sin x=1 ⇔ x= +k2π ( k ∈ Z)
( t / m)
2

(19) ⇔

Bài học kinh nghiệm:

với ta có phương trình: với sin 3n x ≠ 0 ta có:

4sin x
12sin 3x
4.3n −1 sin 3n −1 x
3n
+
+ ... +
=
−1
1 + 2 cos 2 x 1 + 2 cos 6 x
1 + 2 cos(2.3n −1 x) sin 3n x
⇔ sin x = 1

Kết quả các nhóm học sinh tự ra các bài tập vận dụng: Giải các phương trình sau:

1.

2.

4sin x
12sin 3 x
36sin 9 x
108sin 27 x
81
+
+
+
=
−1
1 + 2cos 2 x 1 + 2cos 6 x 1 + 2cos18 x 1 + 2 cos54 x sin 81x

( ⇔ sin x = 1)

2cos 2 x − 3 4 cos 4 x − 6 8cos18 x − 12
8
+
+
= 1−
cos 3 x
cos 9 x
cos 27 x
cos 27 x
(⇔ cos x = 1)

Ví dụ 20: Giải phương trình sau:

sin 2 x.cos 2 x sin 2 3 x.cos 6 x sin 2 9 x.cos18 x
+
+
= 0 (20)
cos 2 3 x
cos 2 9 x
cos 2 27 x

Hướng dẫn học sinh tìm công thức: Các hạng tử trong phương trình có đặc điểm gì ? (
sin 2 a.cos 2a
sin 2 a.cos 2a
) , vì vậy các em tìm xem
được biến đổi thành biểu thức nào?
cos 2 3a
cos 2 3a

Ta có:
sin 2 a.cos 2a 1 2sin 2 a.sin 2a.cos 2a
=
cos 2 3a
8
cos 2 3a.cos 2 a
1 sin(3a − a ).sin(3a + a)
=
8
cos 2 3a.cos 2 a
1 (sin 3a cos a − cos3a sin a).(sin 3a cos a + cos 3a sin a)
=
8

cos 2 3a.cos 2 a
1 (sin 2 3a cos 2 a − cos 2 3a sin 2 a).
=
8
cos 2 3a.cos 2 a
1
= (tan 2 3a − tan 2 a)
8

Học sinh chốt được công thức :

8sin 2 a.cos 2 a
= tan 2 3a − tan 2 a ( cos 3a ≠ 0 ) (15)
2
cos 3a

Vận dụng công thức (15), với sin 27 x ≠ 0 ta có :
21


(20) ⇔ tan 2 3 x − tan 2 x + tan 2 9 x − tan 2 3 x + tan 2 27 x − tan 2 9 x = 0
⇔ tan 2 27 x = tan 2 x
 tan 27 x = tan x
⇔ 
⇔
 tan 27 x = tan(− x )

Bài học kinh nghiệm:

π


 x = k 26

x = k π

28

( k ∈ Z)

với ta có phương trình: với cos3n x ≠ 0 ta có:

sin 2 x.cos 2 x sin 2 3 x.cos 6 x
sin 2 3n −1 x.cos 2.3n −1 x
+
+
...
+
=0
cos 2 3 x
cos 2 9 x
cos 2 3n x
⇔ tan 2 3n x = tan 2 x

3. Tổ chức thực nghiệm và kết quả đối chứng
3.1: Hình thức tổ chức thực nghiệm: Để đánh giá hiệu quả của sáng kiến kinh
nghiệm trong giảng dạy với việc nắm vững kiến thức của học sinh, trước hết tôi theo
dõi đánh giá hoạt động của cá nhân học sinh và các nhóm học sinh trong tiến trình
dạy học căn cứ vào mục tiêu của buổi học. Kết hợp với cách đánh giá này, tôi cho
học sinh làm bài kiểm tra 60 phút. Chúng tôi tiến hành thực nghiệm sư phạm đối
tượng là học sinh lớp 11 trường THPT Đức Hợp. Nhìn chung, trình độ học sinh các

lớp khảo sát thử nghiệm là tương đương nhau về tư duy, về khả năng tiếp thu kiến
thức, đội tuyển học sinh giỏi trường chủ yếu ở lớp 11A1.
- Lớp đối chứng là: 11A1 năm học 2015- 2016, sĩ số 45
- Lớp thực nghiệm là: 11A2, 11A3 năm học 2015- 2016, sĩ số 44, 38
Giáo viên dạy các lớp thực nghiệm và lớp đối chứng đều do một giáo viên dạy.
Hình thức, nội dung giảng dạy :
Lớp đối chứng 11A1: Giáo viên dạy theo nội dung và tiến trình dạy các bài tập
như SGK, sách bài tập, sách tham khảo và tài liệu luyện thi THPT Quốc Gia với
phương pháp dạy học truyền thống ( gợi mở vấn đáp).
- Lớp thực nghiệm 11A2, 11A3: Giáo viên dạy theo nội dung và tiến trình dạy các
bài tập như sáng kiến kinh nghiệm theo định hướng đổi mới phương pháp dạy học
nhằm phát huy năng lực học sinh ( Dạy học theo nhóm, dạy học dự án, kết hợp với PP
gợi mở vấn đáp).
22


Khảo sát mức độ đáp ứng nội dung của học sinh với các tình huống bài tập mà
giáo viên đưa ra, sự hứng thú và hoạt động của học sinh trong và sau tiết học, kiểm tra
năng lực học sinh thông qua sản phẩm vận dụng sáng tạo của các nhóm. Tiến hành lấy
phiếu thăm dò ý kiến học sinh, thực hiện kiểm tra 45 phút ở cả ba lớp, giáo viên chấm
bài để thu thập thông tin, từ đó rút ra những bài học kinh nghiệm và tiếp tục điều
chỉnh.
Đề kiểm tra (Phụ lục 1): Các bài tập trong đề kiểm tra được soạn từ sách tham
khảo, đề thi Đại học, đề thi HSG các Tỉnh trong những năm vừa qua và giáo viên tự
biên soạn.
Thăm dò ý kiến học sinh( Phụ lục 2) : Lấy ý kiến góp ý từ kênh thông tin học sinh
về phương pháp tổ chức các hoạt động dạy học, tính mới, tính hấp dẫn của đề tài.
Thời gian tiến hành thực nghiệm trong tuần 7, và 8 của học kỳ I năm học 20152016.
3.2 Xử lý kết quả thực nghiệm bằng thống kê toán học :
Để đánh giá và so sánh chất lượng kiến thức của học sinh trong các lớp thực

nghiệm và lớp đối chứng Tôi vận dụng kiến thức nội môn chương thống kê ( Đại số
lớp 10 ):
Bảng 1: Phân bố tần số kết quả bài kiểm tra.
Số
HS

Lớp

Thực
nghiệm
Đối
chứng

Điểm số

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

82

0

0

0

0

3

11

7

35

11

10

5

7,1

45

0

0

1

3

3

10

15

11

2

0

0

5,4

Bảng 2: Bảng phân số tần số, tần suất ghép lớp

LỚP THỰC NGHIỆM
CÁC LỚP ĐIỂM
KIỂM TRA

LỚP ĐỐI CHỨNG

TẦN SỐ

TẦN SUẤT

TẦN SỐ

TẦN SUẤT

[ 0; 4 )

0

0%

4

9%

[ 4;6 )

14

17%

13

28%

[ 6;8 )

42

51%

26

58%

23