SKKN từ định lý talet đến chứng minh ba đường thẳng đồng quy ( dành cho học sinh lớp 8)

TỪ ĐỊNH LÍ TALET ĐẾN CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY

A. MỞ ĐẦU
I. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lí do chọn chuyên đề:
Trong cuộc cách mạng về giáo dục, quan trọng hơn cả là sự đổi mới về
phương pháp. Giáo dục được cải tiến theo xu hướng phát triển của phương
pháp dạy học hiện đại: Chuyển từ dạy học lấy giáo viên làm trung tâm sang
dạy học lấy học sinh làm trung tâm hợp lý hơn là đặt người học vào trung tâm
của quá trình dạy học, coi học sinh là trung tâm của nhà trường. Giáo dục phải
chuyển từ “cung cấp kiến thức” sang mục đích “luyện cách tự mình tìm ra
kiến thức” bằng con đường tự học, tự nghiên cứu, tự trau dồi nghề nghiệp.
Trong sự cạnh tranh và “bùng nổ thông tin” của thời đại, sự tư duy năng động
sáng tạo nổi lên hàng đầu. Vì vậy, giáo dục phải đề cao việc rèn óc thơng minh
sáng tạo, giảm sự “nhồi nhét”, “bắt chước”, “ghi nhớ”. Giáo viên từ vị trí
truyền thụ kiến thức chuyển sang vị trí người hướng dẫn học trị tự tìm lấy
kiến thức, cịn học trị từ vị trí thụ động tiếp thu kiến thức phải trở thành người
chủ động tìm học, tự học tự nghiên cứu. Theo nhà giáo người Đức - Distetverg
đã nói “Người thầy tồi truyền đạt chân lý, người thầy giỏi dạy cách tìm ra
chân lý”. Khắc phục loại bỏ lối dạy học thụ động “độc giảng”, “kinh viện”,
(thầy nói là chủ yếu, trò nghe và ghi chép). Dạy kiến thức phải phát huy lịng
say mê ham thích học tập của người học. Xét cho cùng giáo dục là quá trình
cung cấp kiến thức, hướng dẫn tìm kiến thức mới để làm cơ sở cho sự phát
triển năng lực tư duy và hành động .
Đổi mới phương pháp dạy học nói chung phải phát huy tính tích cực
trong dạy học, tích cực hố hoạt động của người học. Q trình giáo dục là
một quá trình nhận biết - thuyết phục - vận dụng để tiếp thu những kiến thức
mới từ chưa biết, chưa biết sâu sắc đến biết, biết sâu sắc và vận dụng vào thực
tiễn, “phải biết kết hợp giữa học đi đôi với hành, học hành phải kết hợp với
nhau; học và hành ở mọi lúc mọi nơi”, lý thuyết phải gắn với thực tế. Người
giáo viên phải thực hiện chủ trương đưa hơi thở của cuộc sống vào bài giảng,

Hoàng Phượng Ly – Trường THCS Nguyễn Thiện Thuật

1


TỪ ĐỊNH LÍ TALET ĐẾN CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY

phải cập nhật “thông tin” thường xuyên, liên tục đổi mới nội dung, phương
pháp phù hợp với sự phát triển, những biến đổi to lớn của thời đại.
Mỗi giáo viên cần phải tự xây dựng cho mình một phong cách dạy học
thích hợp với nội dung bài học khơng thể dạy học theo kiểu “dạy chay”, và
biến thầy giáo thành “thợ dạy” nhất là trong dạy học các môn khoa học ứng
dụng các phương pháp dạy học tích cực hoá người học để nâng cao chất lượng
dạy và học. Hơn nữa, toán học ở trường trung học cơ sở là mơn khoa học có vị
trí quan trọng trong hệ thống giáo dục đào tạo góp phần trang bị cho thế hệ trẻ
- đội ngũ những người lao động trong tương lai những kiến thức tốn học phổ
thơng cơ bản, hiện đại gần gũi với đời sống làm cơ sở cho việc tiếp thu những
kiến thức về khoa học công nghệ hiện đại tiên tiến trên thế giới.
Với mong muốn góp phần nhỏ bé vào việc đổi mới phương pháp dạy
học nói chung và dạy mơn tốn nói riêng, nhằm nâng cao chất lượng dạy và
học mơn tốn học, đào tạo những con người yêu lao động có vốn kiến thức
hiểu biết sâu sắc về hững thành tựu khoa học mới nhất, tiên tiến nhất trên thế
giới hoà nhập với quốc tế trong xu hướng hiện nay. Bắt nguồn từ những lý do
nói trên, đã thơi thúc tơi mạnh dạn tiến hành nghiên cứu chuyên đề “Từ định
lý Ta lét đến chứng minh các đường thẳng đồng quy”.
2. Phạm vi nghiên cứu của chuyên đề:
- Chuyên đề này được tôi tiến hành nghiên cứu tại trường THCS Nguyễn
Thiện Thuật, huyện Khối Châu, tỉnh Hưng n.
- Đối tượng được tơi áp dụng để tiến hành nghiên cứu là các em học sinh
của khối lớp 8 của trường. Chia làm hai thành phần đối tượng gồm học sinh đại trà

và học sinh giỏi, áp dụng phù hợp theo từng phần của chuyên đề.
- Nội dung nghiên cứu của chuyên đề thuộc lĩnh vực khoa học nghiên cứu
về chun mơn – mơn Tốn.
Trong q trình nghiên cứu, tơi đã có sự trao đổi kinh nghiệm với các bạn
bè, anh, chị, em đồng nghiệp. Đọc và nghiên cứu kĩ nhiều tài liệu có liên quan. Có
rút kinh nghiệm từ đồng nghiệp và học sinh.
Hồng Phượng Ly – Trường THCS Nguyễn Thiện Thuật

2


TỪ ĐỊNH LÍ TALET ĐẾN CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY

II. PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH:
1. Cơ sở lí luận:
- Quy luật của quá trình nhận thức từ trực quan sinh động đến tư duy
trừu tượng. Song quá trình nhận thức đó đạt hiệu quả cao hay khơng, có bền
vững hay khơng cịn phụ thuộc vào tính tích cực, chủ động sáng tạo của chủ
thể. Đặc điểm của lứa tuổi thiếu niên là đang có xu hướng vươn lên làm người
lớn, muốn tự mình tìm hiểu, khám phá trong quá trình nhận thức. Ở lứa tuổi
học sinh trung học cơ sở có điều kiện thuận lợi cho khả năng tự điều chỉnh
hoạt động học tập và tự sẵn sàng tham gia vào các hoạt động khác nhau. Các
em có nguyện vọng muốn có các hình thức học tập mang tính chất “Người
lớn” tuy nhiên nhược điểm của các em là chưa biết cách thực hiện nguyện
vọng của mình, chưa nắm được các phương thức thực hiện các hình thức học
tập mới. Vì vậy cần có sự hướng dẫn, điều hành một cách khoa học và nghệ
thuật của các thầy cô .
- Trong lý luận về phương pháp dạy học cho thấy. Trong mơn tốn sự
thống nhất giữa điều khiển của thầy và hoạt động học tập của trị có thể thực
hiện được bằng cách quán triệt quan điểm hoạt động, thực hiện dạy học toán

trong và bằng hoạt động. Dạy học theo phương pháp mới phải làm cho học
sinh chủ động nghĩ nhiều hơn, làm nhiều hơn, tham gia nhiều hơn trong q
trình chiếm lĩnh tri thức tốn học. Dạy học tốn thơng qua kiến thức phải dạy
cho học sinh phương pháp tư duy quan điểm này cho rằng dạy tốn là phải dạy
suy nghĩ, dạy bộ óc của học sinh thành thạo các thao tác tư duy phân tích, tổng
hợp, trừu tượng hố, khái qt hố ... Trong đó phân tích tổng hợp có vai trị
trung tâm. Phải cung cấp cho học sinh có thể tự tìm tịi, tự mình phát hiện và
phát biểu vấn đề dự đốn được các kết quả, tìm được hướng giải quyết một bài
tốn, hướng chứng minh một định lý ...
- Hình thành và phát triển tư duy tích cực độc lập sáng tạo trong dạy
học tốn cho học sinh là một q trình lâu dài, thông qua từng tiết học, thông
qua nhiều năm học, thơng qua tất cả các khâu của q trình dạy học trong nội
khố cũng như ngoại khố.
Hồng Phượng Ly – Trường THCS Nguyễn Thiện Thuật

3


TỪ ĐỊNH LÍ TALET ĐẾN CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY

2. Cơ sở thực tiễn:
- Hiện nay trong nhà trường phổ thơng nói chung cịn nhiều học sinh
lười học, lười tư duy trong quá trình học tập.
- Học sinh chưa nắm được phương pháp học tập, chưa có những hoạt
động đích thực của bản thân để chiếm lĩnh kiến thức một cách chủ động trong
những năm qua các trường trung học cơ sở dã có những chuyển đổi tích cực
trong việc đổi mới phương pháp giảng dạy trên cơ sở thay sách giáo khoa từ
khối 6 đến khối 9. Học sinh cũng đã chủ động nghiên cứu tìm tịi khám phá
kiến thức xong mới chỉ dừng lại những bài tập cơ bản đơn giản ở sách giáo
khoa.

- Định lý Talét là một phần kiến thức khó đối với các em, đặc biệt là khi
vận dụng vào giải quyết các bài tập. Việc vận dụng ngay những lý thuyết đã
được học trong sách giáo khoa vào giải bài tập còn khó khăn làm sao các em
có khả năng sáng tạo khi vận dụng vào các bài tập có nội dung mở rộng, nâng
cao. Ví dụ: Giải bài tập sau “ Chứng minh rằng nếu hai cạnh bên của một
hình thang cắt nhau thì đường thẳng đi qua giao điểm đó và giao điểm hai
đường chéo sẽ đi qua trung điểm của các đáy của hình thang”. Khi chưa thực
hiện chuyên đề này, tơi cho học sinh làm thì thấy kết quả như sau :
+ Lúc đầu 100% số học sinh trong lớp khơng xác định được dùng kiến
thức gì để chứng minh. Do đó các em khơng giải được. Sau đó tơi gợi ý rằng
“Bài tốn đề cập đến hình thang mà khơng phải là tứ giác lồi bất kì thì chúng
ta có được gợi ý gì ?” lúc này đã có khoảng 20% học sinh nghĩ đến việc dùng
định lý Talét (vì hình thang có 2 cạnh đáy song song). Nhưng các em cũng
khơng thể giải được, bởi vì để giải được bài tập này không phải dùng trực tiếp
định lý Talét hay hệ quả của định lý Talét mà gián tiếp thơng qua tính chất của
chùm đường thẳng đồng quy.
+ Sau đó tơi nghiên cứu, hướng dẫn học sinh theo chuyên đề này thì
80% số học sinh trong lớp đã xác định được ngay hướng chứng minh bài tốn
và có khoảng 60% - 70% học sinh chứng minh được. Ngồi ra các em cịn có
khả năng áp dụng chùm đường thẳng đồng quy vào giải một số bài tập khó
Hồng Phượng Ly – Trường THCS Nguyễn Thiện Thuật

4


TỪ ĐỊNH LÍ TALET ĐẾN CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY

hơn, phức tạp hơn. Đặc biệt các em còn biết áp dụng vào giải những bài tập
như chứng minh đường thẳng vng góc,các điểm thẳng hàng, tia phân giác,
diện tích, đặc biệt là các đường thẳng đồng quy ...

3. Biện pháp tiến hành:
Dựa trên cơ sở lí luận và tình hình thực tiễn đã nêu, biện pháp mà tơi sẽ
áp dụng cho đề tài được tiến hành như sau:
- Trước tiên là kiểm tra nắm tình hình nhận thức của các em về các kiến
thức cơ bản của định lí Talet nói chung trong đó có tính chất liên quan đến
điểm thẳng hàng, đường đồng quy nói riêng. Giới thiệu cho các em thấy được
sự cần thiết của việc học đề tài.
- Việc đầu tiên phải làm cho chuyên đề là củng cố thật chắc các kiến
thức cơ bản về sử dụng định lí Talet thuận và đảo, cách chứng minh điểm
thẳng hàng, đường đồng quy.
- Sau đó dẫn dắt các em đến với từng dạng bài cụ thể, hướng dẫn các
em phương pháp, giải cùng các em các ví dụ điển hình, bổ sung một số kiến
thức có liên quan, bước đầu hình thành cho các em có được những phương
pháp cơ bản nhất để có thể giải và làm bài tập tương tự.
- Trước khi vào mỗi dạng tốn, các em đều được định hình qua phần
phương pháp giải, phù hợp với từng dạng bài. Các ví dụ minh họa khá đầy đủ
đặc trưng cho nhiều dạng, loại được sắp xếp từ dễ đến khó, từ đơn giản đến
phức tạp. Tất cả các ví dụ đều có sự móc xích lẫn nhau, ví dụ trước là cơ sở
cho các ví dụ tiếp sau, ví dụ nào cũng đều có sự phân tích thật kĩ cho cách giải
và có lời giải chi tiết.
- Sau các ví dụ minh họa, trong từng dạng bài đều có bài tập tương tự
cho học sinh thực hành, tự giải.
- Kết thúc chuyên đề các em được thử sức qua các bài kiểm tra 15 phút,
30 phút, 60 phút, … để một lần nữa chắc chắn rằng các em đã được học
chuyên đề một cách bài bản, và có sự tổng hợp kiến thức như thế nào.

Hoàng Phượng Ly – Trường THCS Nguyễn Thiện Thuật

5

TỪ ĐỊNH LÍ TALET ĐẾN CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY

4. Thời gian tạo ra giải pháp:
- Tôi bắt đầu tiến hành cho các em học sinh khối lớp 8 của trường
THCS Nguyễn Thiện Thuật làm một bài kiểm tra khảo sát từ ngày 25 tháng 2
năm 2015, ngay sau khi kết thúc phần kiến thức lý thuyết về chương III – Tam
giác đồng dạng - SGK Hình học 8. Nội dung đề kiểm tra dành cho cả đối
tượng đại trà và học sinh giỏi.
- Căn cứ một phần trên kết quả của bài kiểm tra, tôi chia các em học
sinh khối 8 thành hai nhóm đối tượng: nhóm 1 gồm các em học sinh Trung
bình – Khá; nhóm 2 gồm các em học sinh Khá – Giỏi. Mỗi nhóm tơi chia
thành hai lớp và bắt đầu dạy các em học chuyên đề “Từ định lý Ta lét đến
chứng minh các đường thẳng đồng quy” từ ngày 01 tháng 3 năm 2015.
- Sau 6 buổi học chuyên đề, đến ngày 15 tháng 4 năm 2015 thì cả bốn
lớp học theo đối tượng mà tôi chia ra ban đầu đều kết thúc chuyên đề “Từ
định lý Ta lét đến chứng minh các đường thẳng đồng quy”. Trong các buổi
học chuyên đề tơi đều có xen các bài kiểm tra nhanh 15 phút, 30 phút để kiểm
tra đánh giá việc tiếp thu kiến thức của từng dạng bài riêng lẻ.
- Ngày 22 tháng 4 năm 2015 tôi tổ chức cho cả bốn lớp làm chung một
bài kiểm tra tổng hợp các dạng bài trong chuyên đề đã học. Kết thúc chuyên
đề “Từ định lý Ta lét đến chứng minh các đường thẳng đồng quy”.

Hoàng Phượng Ly – Trường THCS Nguyễn Thiện Thuật

6


TỪ ĐỊNH LÍ TALET ĐẾN CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY

B. NỘI DUNG
I. MỤC TIÊU:
- Cung cấp cho học sinh một cách hệ thống các kiến thức về Định lí
Talet, cách chứng minh điểm thẳng hàng, đường đồng quy. Biết sử dụng định
lí Talet để chứng minh đường thẳng đồng quy.
- Hướng dẫn các em làm quen với việc phát hiện ra điểm thẳng hàng,
các đoạn thẳng tỉ lệ rồi dựa vào định lí Talet để lập luận đi đến chứng minh
các đường thẳng đồng quy.
- Hình thành cho học sinh khả năng tư duy tìm tịi, sáng tạo khi giải
toán, biết vận dụng các kiến thức một cách linh hoạt trong những trường hợp
khác nhau.
- Góp phần trang bị kiến thức cho các em học sinh, nhất là các em thuộc
đội tuyển Tốn, hành trang trong các kì thi học sinh giỏi các cấp.
- Là một tài liệu tham khảo cho học sinh và các giáo viên khi tìm hiểu
các kiến thức về giải tốn sử dụng định lí Talet.
- Là tài liệu tham khảo cho giáo viên tổ toán trong trường khi dạy đại
trà, bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8 về lĩnh vực hình học mà cụ thể là giải tốn
sử dụng định lí Talet.
II. PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH:
1. Giải pháp của chuyên đề:
a) Mô tả giải pháp:
Phần một. Kiến thức cần nhớ
1. Nội dung kiến thức sách giáo khoa đã được chứng minh
2. Khai thác từ kiến thức cơ bản
Phần hai. Các ví dụ điển hình
Phần ba. Bài tập tự giải
Phần bốn. Một số đề tự kiểm tra
b) Giải pháp cụ thể:
Hoàng Phượng Ly – Trường THCS Nguyễn Thiện Thuật

7


TỪ ĐỊNH LÍ TALET ĐẾN CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY

Phần một. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Nội dung kiến thức trong sách giáo khoa đã chứng minh được là:
a) Định lý Talet trong tam giác:
- Định lí Ta-let: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam
giác và cắt hai cạnh cịn lại thì nó định ra trên cạnh đó những đoạn thẳng
tương ứng tỷ lệ. Cụ thể:

A

Nếu: B’C’ // BC
B'

AB′ AC′ AB′ AC′ AB AC
=
;
=
;
=
Thì:
AB AC B′B C′C B′B C′C

C'

B

C

- Định lí Ta-let đảo: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam
giác và định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường
thẳng đó song song với cạnh cịn lại của. Cụ thể:
Nếu

AB′ AC′
AB′ AC′
AB AC
=
=
=
hoặc
hoặc
Thì B’C’ // BC
AB AC
B′B C′C
B′B C′C

b) Hệ quả của định lý Talét:
- Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với
cạnh cịn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với
ba cạnh của tam giác đã cho.

Cụ thể: a cắt AB tại B’, cắt AC tại C’. Nếu a // BC thì:
AB′ AC′ B′C′
=
=
AB AC

BC

2. Khai thác từ kiến thức cơ bản:
Từ định lý Talét, ta đã chứng minh được hệ quả, vậy thì một vấn đề đặt
ra là: Từ đỉnh A của tam giác ABC ở trên ta kẻ thêm một số đường thẳng cùng

Hoàng Phượng Ly – Trường THCS Nguyễn Thiện Thuật

8


TỪ ĐỊNH LÍ TALET ĐẾN CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY

cắt đường thẳng a và đường thẳng BC thì có những điều gì xảy ra. Chẳng hạn
từ A ta vẽ thêm đường thẳng cắt BC tại D và cắt đường thẳng a tại D’.
Ta dễ dàng suy ra rằng:
B ' C ' C ' D'  AC ' 
=
=
÷
BC
CD  AC 

Ngược lại: Nếu có

B' C ' C ' D'
=
= k (k ≠ 1)
BC
CD

thì ba đường thẳng BB’, CC’, DD’ có cịn
đồng quy tại một điểm A nữa hay khơng? Nếu C là trung điểm của BD thì C’
có là trung điểm của B’C’ hay không ?
Từ những suy nghĩ đó tơi thấy có thể giúp học sinh giải được những bài
tập về đường thẳng đồng quy, các điểm thẳng hàng ...
Nhưng vấn đề quan trọng là ở chỗ phải sắp xếp hệ thống bài tập sao cho
học sinh có thể tích cực, độc lập suy nghĩ, tự xây dựng, tự khái quát hoá, tổng
hợp kiến thức cần thiết cho việc giải bài tập có nội dung nói trên .
Sau đây là hệ thống các câu hỏi, bài tập cơ bản dẫn dắt học sinh.
Phần hai. CÁC VÍ DỤ ĐIỂN HÌNH
Ví dụ 1. Cho ba tia Oa, Ob, Oc cắt hai đường thẳng song song m, m’ lần lượt
tại A, A’; B, B’; C, C’ (A, A’ ∈ OA; B, B’ ∈ OB ; C, C’∈ OC). Chứng minh
rằng:

AB
BC
=
.
A ' B ' B 'C '

Giải:

Xét tam giác OAB ta có:

AB
OB
=
A ' B ' OB '

(Hệ quả của định lý Talét)

Xét tam giác OBC ta có:

AB
OB
=
A ' B ' OB '

(Hệ quả của định lý Talét)

Từ đó suy ra:

AB
BC  OB 
=
=
÷
A ' B ' B ' C '  OB ' 

(đpcm)

Hoàng Phượng Ly – Trường THCS Nguyễn Thiện Thuật

9


TỪ ĐỊNH LÍ TALET ĐẾN CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY

* Khai thác bài toán:

- Bài toán trên vẫn đúng khơng nếu có bốn tia Oa, Ob, Oc, Od cắt hai
đường thẳng song song m và m’. Học sinh đã có thể dựa vào bài tốn 1 để
chứng minh được điều này.
- Ta có thể tổng quát hóa bài toán cho n đường thẳng: Nếu các đường
thẳng đồng quy tại một điểm và cắt hai đường thẳng song song thì chúng định
ra trên hai đường thẳng song song ấy các đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ. Tính
chất này gọi là “Tính chất ba đường đồng quy”.
Chúng ta hãy cùng xem xét vấn đề ngược lại?
Ví dụ 2. Cho ba đường thẳng a, b, c cắt hai đường thẳng song song m, m’ lần
lượt tại A, A’∈OA; B, B’ ∈OB ; C, C’∈ OC sao cho:

AC
BC
=
= k (k ≠ 1)
A' C ' B ' C '

Chứng minh rằng các đường thẳng a, b, c đồng quy tại một điểm.
Giải:
Giả sử hai đường thẳng a, b cắt nhau tại O
ta cần chứng minh đường thẳng c đi qua O.
Gọi giao điểm của đường thẳng OC với m’
là C”. Theo định lý Talet, ta có:
Mặt khác ta lại có:

AC
BC
=
AC ' ' B' C '

AC
BC
=
A' C ' B ' C '

(gt)

Từ đó suy ra A’C” = A’C’ và B’C’ = B’C” ⇒ C ' ≡ C ' '
Vậy c đi qua O hay a, b, c đồng quy tại O.
* Nhận xét:
- Đến đây GV cho học sinh phát biểu khái quát bài toán trên “Nếu ba
đường thẳng cắt hai đường thẳng song song và định ra trên hai đường thẳng
đó những đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ thì ba đường thẳng đó đồng quy”.

Hoàng Phượng Ly – Trường THCS Nguyễn Thiện Thuật

10


TỪ ĐỊNH LÍ TALET ĐẾN CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY

- Bằng cách làm sử dụng kết quả trên với ba đường thẳng một một cách
liên tiếp ta thấy kết quả đúng với n – đường thẳng. Ta có tính chất với chùm
đường thẳng.
- Như vậy học sinh đã được phát triển tư duy độc lập, khái quát lên hai
nội dung kiến thức cần thiết cho việc chứng minh một số bài tập có liên quan
đến định lý Talét. Từ nay trở đi, khi làm bài tập, các em được phép vận dụng
những điều vừa chứng minh vào giải quyết bài tập .
Ví dụ 3. Chứng minh rằng hai đường thẳng chứa hai cạnh bên và đường thẳng
nối trung điểm của hai đáy của một hình thang đồng quy.

Giải:
Vì M là trung điểm của AB nên:
MA = MB
Vì N là trung điểm của CD nên :
NC = ND
Từ đó suy ra:

AM
MB
=
DN
NC

Theo kết quả ví dụ 2 ta được AD, BC, MN đồng quy.
Ví dụ 4. Chứng minh rằng: Trong hình thang giao điểm hai cạnh bên ,giao
điểm hai đường chéo và trung điểm của hai đáy thẳng hàng .
Giải:
Gọi: Giao điểm của AD và BC là O
Giao điểm của AC và BD là I.
M là trung điểm của AB,
N là trung điểm của CD.
Ta có: O, M, N thẳng hàng (theo ví dụ 3)
Cũng theo ví dụ 3, tương tự, ta có I, M, N thẳng hàng.
Suy ra: O, M, N, I thẳng hàng (đpcm)
Ví dụ 5.

Hồng Phượng Ly – Trường THCS Nguyễn Thiện Thuật

11

TỪ ĐỊNH LÍ TALET ĐẾN CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY

a) Chứng minh rằng nếu hai cạnh bên của một hình thang cắt nhau thì
đường thẳng đi qua giao điểm đó và giao điểm hai đường chéo sẽ đi qua trung
điểm của các đáy của hình thang.
b) Hãy nêu ra cách dùng chỉ một cái thước (không dùng com pa) để
dựng trung điểm của đoạn thẳng AB cho trước khi cho một đường thẳng d
song song với AB và dựng qua điểm M cho trước một đường thẳng song song
với đoạn thẳng AB cho trước mà đã biết trung điểm I của AB.
Giải:
a) Giả sử hình thang ABCD có hai cạnh bên AD, BC cắt nhau tại E và
hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại F. Gọi giao điểm của EF với AB, CD
theo thứ tự là M,N .
Với hai đường thẳng song song AB, CD
và ba đường thẳng đồng quy ED, EN, EC, ta có:
AM MB
=
DN NC

Do đó :

AM DN
=
MB NC

(1)

Với hai đường thẳng song song AB, CD và ba đường thẳng đồng quy
AC, MN, BD, ta có:

AM MB
=
NC DN

Do đó

AM NC
=
MB ND

Từ (1) và (2) suy ra

(2)
DN NC
=
do đó DN = NC
NC DN

Nên N là trung điểm của CD.
Từ DN = NC và (2) suy ra AM = MB nên M là trung điểm của AB .
b) Nếu có đường thẳng d song song với đoạn thẳng AB thì ta lần lượt
nối A, B với cùng một điểm E nào đó ở ngồi D và khác phía đối với A. Gọi
giao điểm của d với EA, EB theo thứ tự là C, D. Nối AD, BC và gọi giao điểm

Hoàng Phượng Ly – Trường THCS Nguyễn Thiện Thuật

12


TỪ ĐỊNH LÍ TALET ĐẾN CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY

của hai đường thẳng đó là F. Nối F với E thì theo chứng minh ở phần a giao
điểm của EF với AB là trung điểm M của đoạn thẳng AB
Nếu điểm M nằm trên đường thẳng AB
thì khơng thể có đường thẳng song song với AB
và đi qua M. Nếu điểm M khơng nằm trên đường
thẳng AB thì ta chọn một điểm O tuỳ ý trên đường
thẳng AM (không trùng với A, M). Gọi K là giao điểm của OI và MB, gọi N
là giao điểm của AK và OB. Khi đó MN // AB.
Thật vậy giả sử đường thẳng song song với AB sẽ
qua M cắt OB tại N’ và hai đường thẳng MB, AN’
cắt nhau tại K’. Khi đó, theo chứng minh ở phần a
đường thẳng OK’phải đi qua trung điểm I của AB.
Do đó K’ trùng với K và vì vậy N’ trùng với N nên
MN // AB.
* Khai thác vấn đề:
Đến đây giáo viên đặt câu hỏi: Hãy phát biểu khái quát phần a của bài
toán trên: “Nếu ba đường thẳng đồng quy cắt hai đường thẳng song song, tạo
ra trên đường thẳng thứ nhất hai đoạn thẳng bằng nhau thì cũng tạo ra trên
đường thẳng thứ hai hai đoạn thẳng bằng nhau”.
Làm xong bài tập trên học sinh đã nắm chắc về tính chất của ba đường
thẳng đồng quy. Tôi tiếp tục cho học sinh làm một số bài tập vận dụng có yêu
cầu cao hơn, phức tạp hơn trong đó có sử dụng đến tính chất của ba đường
thẳng đồng quy mà các em đã được chứng minh ở trên.
Ví dụ 6. Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AD, BE, CF. Gọi I, K, M, N
theo thứ tự là chân các đường vng góc kẻ từ D đến BA, BE, CF, CA. Chứng
minh rằng bốn điểm I, K, M, N thẳng hàng.
Giải:
Gọi H là giao điểm của AD, BE, CF
Vì ID // CF, nên:

BI BD
=
IF DC

Hoàng Phượng Ly – Trường THCS Nguyễn Thiện Thuật

13


TỪ ĐỊNH LÍ TALET ĐẾN CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY

Vì DK // CE, nên:
Suy ra:

BD BK
=
DC KE

BI BK
=
khi đó, theo định lí Talet đảo ta có: IK // EF (1)
IF KE

Tương tự ta cũng chứng minh được: MN // FE
Hoàn toàn tương tự như trên, ta chứng minh được:

(2)
IF NE  DH 
=

=
÷
FA EA  HA 

Cũng theo định lí Talet đảo, ta có: IN // EF

(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra I, K, M, N thẳng hàng.
Ví dụ 7. Cho hình thang ABCD(AB // CD; AB, CD). Đường thẳng qua A
song song với BC cắt BD tại E, đường thẳng qua B song song với AD cắt CD
tại H, đường thẳng qua H song song với BD cắt BC tại I. Chứng minh rằng:
a) EI // AB.
b) Ba đường thẳng EI, BH, AC đồng quy.
Giải:
Gọi F là giao điểm của BH và AC, G là giao điểm của AE và CD
a) Áp dụng định lí Talet:
Vì HI // BD ⇒

BI
DH
=
IC
HC

Vì DG // AB ⇒

BE
AE
AB

=
=
ED EG DG

(1)
(2)

Các tứ giác ABHD, ABCG là hình bình hành
Nên DH = AB = GC suy ra DG = HC
Thay vào (1) ⇒

BI
AB
=
IC
DG

Từ (2) và (3) ⇒

BI
BE
=
IC
ED

(3)

Từ đó, theo định lí Talet đảo suy ra EI // DC hay EI // AB
b) Từ (2) và (3) ta có
Lại có HC // AB ⇒

(4)

BI BE
AB
AB
=
=
=
IC ED DG HC

AB AF
=
HC FC

Hoàng Phượng Ly – Trường THCS Nguyễn Thiện Thuật

14


TỪ ĐỊNH LÍ TALET ĐẾN CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY

Do đó

BI AF
=
suy ra FI // AB hay FI // CD
IC FC

(5)

Từ (4) và (5) ⇒ EI, BH, AC đồng quy.
Ví dụ 8. Cho M, N, P lần lượt nằm trên ba cạnh AB, BC, CA (hoặc trên các
đường thẳng chứa các cạnh) của tam giác ABC. Chứng minh rằng điều kiện
cần và đủ để M, N, P thẳng hàng là:

MA NB PC
.
.
= 1 (định lý Mêlênaúyt)
MB NC PA

Giải:
- Điều kiện cần: Giả sử M, N, P thẳng hàng
Từ A kẻ AQ // BC cắt MN ở Q, áp dụng
hệ quả của định lí Talet:
Với ∆MBN ta được:

MA AQ
=
MB NB
PC

NC

Với ∆PNC ta được: PA = AQ
Nhân từng vế hai đẳng thức trên ta được:
Tiếp tục nhân 2 vế với

NB

. Ta được:
NC

MA PC NC
.
=
MB PA NB
MA NB PC
.
.
=1
MB NC PA

- Điều kiện đủ:
Cho ba điểm M,N,P trên ba cạnh tam giác thoả mãn điều kiện
MA NB PC
.
.
=1
MB NC PA

(1)

Nối MP kéo dài cắt BC ở N’, theo (cmt) thì
MA N ' B PC
.
.
=1
MB N ' C PA

Từ (1) và (2) suy ra

(2)

N ' B NB
=
N ' C NC

Vì N’ và N cùng ở trong đoạn BC nên N’ ≡ N
Vậy: M, P, N thẳng hàng.

Hoàng Phượng Ly – Trường THCS Nguyễn Thiện Thuật

15


TỪ ĐỊNH LÍ TALET ĐẾN CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY

Ví dụ 9. Trên hai cạnh AB, AD của hình bình hành ABCD, Lấy hai điểm
tương ứng M, N. Gọi P là điểm sao cho AMPN là hình bình hành và Q là giao
điểm của BN với MD. Chứng minh rằng ba điểm C, P, Q thẳng hàng.
Giải:
Áp dụng định lí Mêlênauyt cho ba điểm
N, Q, B thẳng hàng, ta có

NA QD BM
.
.
=1
ND QM MA

Gọi K là giao điểm của CD với
đường thẳng MP.
Khi đó BCKM, NDKP là các hình bình hành nên
NA PM
BM CK
=
=
và
BA CD
ND PK

Do đó 1 =

NA QD BM PM QD CK PM CK QD
.
.
=
.
.
=
.
.
ND QM BA PK QM CD PK CD QM

Vì C, P, Q nằm trên các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác MDK
theo định lí Mêlênauyt và đẳng thức trên suy ra C, P, Q thẳng hàng .
Ví dụ 10. Cho ba điểm P, Q, R theo thứ tự ở trên các cạnh BC, CA, AB (hay
các đường thẳng chứa các cạnh) của tam giác ABC nhưng không trùng đỉnh
nào của tam giác đó. Điều kiện cần và đủ để ba đường thẳng AP, BQ, CR

đồng quy là

PB QC RA
.
.
= 1 (định lí Céva)
PC QA RB

Giải:
Giả sử ba đường thẳng AP, BQ, CR đồng quy tại I.
Áp dụng định lí Mêlênauyt:
- Vào ∆ABP và đường thẳng RIC, ta có:
CB IP RA
. .
=1
CP IA RB

- Vào ∆ACP và đường thẳng BIQ, ta có:
BP QC IA
.
.
=1
BC QA IP

Nhân các vế tương ứng của hai đẳng thức đó với nhau, ta được
Hồng Phượng Ly – Trường THCS Nguyễn Thiện Thuật

16

TỪ ĐỊNH LÍ TALET ĐẾN CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY

CB IP RA BP QC IA
. . .
.
. =1
CP IA RB BC QA IP

Từ đó suy ra:

PB QC RA
.
.
=1
PC QA RB

Ngược lại, giả sử ba đường thẳng AP, BQ, CR thoả mãn điều kiện:
PB QC RA
.
.
=1
PC QA RB

Khi đó, hai trường hợp có thể xảy ra:
- Trường hợp thứ nhất: trong ba đường thẳng AP, BQ, CR cắt nhau
Chẳng hạn AP cắt BQ tại I. Khi đó CI phải cắt AB tại điểm R’ nào đó.
Theo kết quả đã chứng minh trên, ta có:
PB QC R' A
.
.

=1
PC QA R' B

Từ hai đẳng thức trên suy ra

R ' A RA
=
nên R’ trùng với R.
R ' B RB

Do đó ba đường thẳng AP, BQ, CR đồng quy.
- Trường hợp thứ hai: là trường hợp ba đường thẳng AP, BQ, CR song
song với nhau - trường hợp này khơng thể xảy ra.
Ví dụ 11. Chứng minh rằng các đường thẳng đi qua đỉnh của tam giác và tiếp
điểm của cạnh đối diện với đường trịn nội tiếp thì đồng quy .
Giải:
Gọi P, Q, R theo thứ tự là tiếp điểm của BC, CA, AB với đường trịn
nội tiếp tam giác ABC.
Khi đó PB = RB, PC = QC, QA = RA nên:
Áp dụng định lí CéVa, ta có:
PB QC RA RB QC RA
.
.
=
.
.
=1
PC QA RB QC RA RB

Do đó, cũng theo định lí CéVa ta được ba

đường thẳng AP, BQ, CR đồng quy.

Hoàng Phượng Ly – Trường THCS Nguyễn Thiện Thuật

17


TỪ ĐỊNH LÍ TALET ĐẾN CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY

Ví dụ 12. Cho tam giác ABC, một điểm D trên cạnh AB, một điểm E trên
cạnh AC và trung điểm M của cạnh BC. Chứng minh rằng DE // BC khi và chỉ
khi ba đường thẳng AM, BE, CD đồng quy.
Giải:
Vì M là trung điểm của BC nên
Do đó:

MB
=1
MC

DA MB EC DA EC
.
.
=
.
DB MC EA DB EA

Vì vậy, ba đường thẳng AM, BE, CD
đồng quy khi và chỉ khi:

DA MB EC DA EC
DA EA
.
.
=
.
= 1 hay
=
DB MC EA DB EA
DB EC

Theo định lí Talet đảo. Vậy: DE // BC
Ví dụ 13. Chứng minh rằng nếu ba tam giác đều ABD, BCE, CAF nằm phía
ngồi tam giác ABC thì ba đường thẳng AE, BF, CD đồng quy.
Giải:
Gọi: P là giao điểm của AE và BC,
Q là giao điểm của BF và CA,
R là giao điểm của CD và AB.
Hai tam giác ABE và ACE có chung
cạnh AE nên tỷ số diện tích của chúng bằng
tỉ số các khoảng cách từ B và C đến cạnh
chung AE.
Theo định lý Talét trong tam giác, tỉ số khoảng cách đó bằng
PB

PB
.
PC

S

ABE
Do đó PC = S
ACE

QC

S

RA

S

FCB
,
= CAD
Tương tự, ta có QA = S
RB S DBC
AFB

Do đó

PB QC RA S ABE S FCB SCAD
.
.
=
.
.
.
PC QA RB S ACE S FAB S DBC

Dễ dàng chứng minh được:
∆ABE = ∆DBC (c.g.c), ∆ACE = ∆FCB (c.g.c), ∆FAB = ∆CAD (c.g.c)
Hoàng Phượng Ly – Trường THCS Nguyễn Thiện Thuật

18


TỪ ĐỊNH LÍ TALET ĐẾN CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY

PB QC RA

S

S

S

FCB
CAD
ABE
=1
Nên: PC . QA . RB = S . S . S
ACE
FAB
DBC

Theo định lý Céva, ba đường thẳng AE, BF, CD đồng quy.
Ví dụ 14. Cho ∆ABC vng tại A. Về phía ngồi của tam giác ta vẽ các hình
vng ABDE và ACGH.

a) Chứng tỏ tứ giác BCHE là hình thang cân
b) Kẻ đường cao AH1 của tam giác ABC. Chứng tỏ các đường thẳng
AH1, DE, GH đồng quy.
Giải:
·
·
a) Ta có: EBH
= 450 (tính chất đường chéo hình vng)
= BHC

⇒ EB // HC
Mặt khác ta có: EA = AB; AC = AH
Nên: EC + AC = AB + AH hay EC = BH
⇒ Tứ giác BCHE là hình thang cân.
b) Gọi: P là giao điểm của DE và HG
⇒ AEPH là hình chữ nhật
Gọi O là giao điểm của AH1 với EH.
Vẽ HQ ⊥ AO, EK ⊥ AO
0
· B = ·
Xét ∆ABH1 và ∆AEK có: AH
AEK = 90 ;
1

·
·
= EAK
(cùng phụ với góc BAH1)
ABH

AB = AE

(ABDE là hình vng)

Suy ra: ∆ABH1 = ∆AEK (cạnh huyền – góc nhọn)
⇒ AH1 = EK (hai cạnh tương ứng)

(1)

Tương tự: ∆ACH1 = ∆HAQ ⇒ AH1 = HQ

(2)

Từ (1) và (2) ⇒ EK = HQ
Xét ∆OEK và ∆OHQ vng có:
·
·
EK = HQ; KEO
= QHO
(so le trong)

⇒ ∆OEK = ∆OHQ (gcg)
⇒ OE = OH ⇒ O là trung điểm của EH.
Hoàng Phượng Ly – Trường THCS Nguyễn Thiện Thuật

19


TỪ ĐỊNH LÍ TALET ĐẾN CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY

Do đó O là trung điểm của AP (AEPH là hình chữ nhật)
⇒ P thuộc AO nên P thuộc AH1
Vậy: Ba đường thẳng AH1, DE, GH đồng quy tại một điểm.
Ví dụ 15. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Kẻ đường cao AD. Gọi E, F lần
lượt là điểm đối xứng của D qua các cạnh AB, AC. Đường thẳng EF cắt AB ở
M và cắt AC ở N. Chứng minh 2 đường thẳng CM và BN cắt nhau tại một
điểm H nằm trên đường cao AD và BN ⊥ AC , CM ⊥ AB.
Giải:
¶ =M
¶
Xét tam giác MDN có: M
1
2

⇒ AB là phân giác ngồi của góc M
Tương tự AC là phân giác ngồi của góc N

1 2

⇒ Điểm A, giao điểm của hai phân giác ngoài AB, AC phải nằm trên
đường phân giác trong của góc D
Vì BC ⊥ AD ⇒ BC là phân giác ngồi của góc D
Từ đây ta có:
AB là phân giác ngồi của góc M
BC là phân giác ngồi của góc D
⇒ BN là phân giác ngồi của góc N
Tương tự:
CM là phân giác trong của góc M.
Các đường phân giác trong cắt nhau tại một điểm
⇒ BM và CN cắt nhau tại một điểm thuộc AD

AC là phân giác ngoài của góc N; BN là phân giác trong của góc N
⇒ BN ⊥ AC. Tương tự: CM ⊥ AB
Ví dụ 16. Cho tam giác vuông ABC và AH là đường cao thuộc cạnh huyền.
Vẽ về phía ngồi tam giác hai hình vng ABDE và ACFG.
a) Gọi là chân các đường vng góc hạ từ D và F đến BC. So sánh tổng
DM + FN với BC.
b) Chứng tỏ AH đi qua trung điểm đoạn thẳng EG.
Hoàng Phượng Ly – Trường THCS Nguyễn Thiện Thuật

20


TỪ ĐỊNH LÍ TALET ĐẾN CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY

c) Chứng minh AH, ED, FG đồng quy.
Giải:
a) Ta có: ∆MBD = ∆HAB (cạnh huyền – góc nhọn)
⇒ DM = BH
∆NCF = ∆HAC ⇒ FN = CH
⇒ DM + FN = BH + HC = BC
b) Ta có: ∆ABC = ∆AEG
·
·
⇒ AGI
= ACH
¶ và A
¶ = A
¶
·
Mà ACH

=A
1
1
3
¶ = AGI
·
⇒A
3

⇒ ∆AIG cân tại I => AI = IG
Chứng minh tương tự ta được: AI = AE
⇒ AH đi qua trung điểm I của đoạn thẳng EG
c) Kéo dài DE và FG cắt nhau tại K
⇒ AEKG là hình chữ nhật
⇒ AK và CG cắt nhau tại trung điểm I của EG
Mà AH đi qua trung điểm I của EG
⇒ AH đi qua trung điểm K của DE và FG
Hay AH, ED, FG đồng quy.
Ví dụ 17. Cho tam giác ABC vng tại A. Dựng về phía ngồi tam giác các
hình vng ABDE và ACFG. Gọi K là giao điểm của tia DE và FG; M là
trung điểm của EG.
a) Chứng minh ba điểm K, M, A thẳng hàng.
b) Chứng minh MA ⊥ BC.
c) Chứng minh ba đường thẳng DC, FB, AM đồng quy.
Giải:
a) Vì AEKG là hình chữ nhật
⇒ đường chéo AK đi qua trung
Hoàng Phượng Ly – Trường THCS Nguyễn Thiện Thuật

21

TỪ ĐỊNH LÍ TALET ĐẾN CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY

điểm M của EG. Hay ba điểm K, M, A
thẳng hàng.
b) Dễ chứng minh được:
·
·
∆ABC = ∆AEG ⇒ AGI
= ACH
¶ mà A
¶ = A
¶ (đối đỉnh)
·
∆AMG cân ⇒ AGI
=A
2
2
1
¶ + µ = 900 ⇒ MA ⊥ BC
µ + B
µ = 900 ⇒ A
Và C
B
1

c) Dễ chứng minh được: ∆ABC = ∆EAK ⇒ BC = AK
·
·

·
·
⇒ ∆DBC = ∆BAK ⇒ BKA
hay BKN
= DCB
= ICB
·
·
·
·
·
Mà BKN
= 900 ⇒ ICB
= 900 ⇒ BIC
= 900 ⇒ KB ⊥ CD
+ KBN
+ IBC

Chứng minh tương tự ta được FB ⊥ KC
Trong tam giác KBC có KH; FB; CD là ba đường cao nên chúng cắt
nhau tại một điểm.
Ví dụ 18. Cho hình vng ABCD. Trên đường chéo BD ta lấy một điểm M và
kẻ ME ⊥ AB; MF ⊥ AD. Chứng minh ba đường thẳng BF, CM, DE đồng quy.
Giải:
Ta có: AF = ME; ME = EB
⇒ AF = EB ⇒ ∆ABF = ∆BCE
·
·
·
·

⇒ ABF
và AFB
= BCE
= BEC
·
·
·
·
Mà AFB
= 900 ⇒ BEC
= 900
+ BCE
+ ABF
·
⇒ EIB
= 900 ⇒ BF ⊥ CE

(1)

Chứng minh tương tự ta được: DE ⊥ CF

(2)

·
·
Mặt khác ta lại có: ME // CB ⇒ BCE
= CEM
·
·
Mà EM = EB; BF = CE ⇒ ∆CEM = ∆FBE ⇒ MCE

= EFB
·
·
·
·
Mà EFB
= 900 ⇒ MCE
= 900
+ FEC
+ FEC
·
⇒ CKE
= 900 ⇒ CK ⊥ FE

(3)

Từ (1); (2); (3) suy ra DE, FB, CK là các đường cao của tam giác CFE
nên chúng đồng quy.

Hoàng Phượng Ly – Trường THCS Nguyễn Thiện Thuật

22


TỪ ĐỊNH LÍ TALET ĐẾN CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY

Ví dụ 19. Cho tam giác ABC. Dựng về phía ngồi tam giác các hình vng
ABDE, ACGH và BCMN. Gọi O 1; O2; O3 theo thứ tự là tâm của các hình
vng ấy. Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh:
a) O1I = O2I và O1I ⊥ O2I

b) O2O3 = O1C và O2O3 ⊥ O1C
c) Ba đường thẳng O3A; O2B; O3C đồngg quy.
Giải:
a) Dễ chứng minh được rằng: ∆EAC = ∆BAH
·
·
⇒ EC = BH ; AEC
= ABH

(1)

·
·
·
·
Do AEC
= 900; mà AJE
(đối đỉnh)
+ AJE
= BJK
·
·
·
·
⇒ AEC
= 900; ⇒ ABH
= 900
+ BJK
+ BJK
·

⇒ BKJ
= 900 ⇒ EC ⊥ BH

(2)

Trong ∆ EBC, O1I là đường trung bình
Nên: O1I =

1
EC và O1I // EC
2

(3)

Trong ∆ HBC, O2I là đường trung bình
Nên: O2I =

G

1
BH và O2I // BH (4)
2

Từ (1); (2); (3); (4) suy ra:
O1I = O2I và O1I ⊥ O2I
b) Dễ chứng minh được: ∆O1IC = ∆O2IO3 ⇒ O1C = O2O3
· CP = IO
· P và IPO
·
·

Đồng thời ta cũng có O
1
3
3 = QPC
0
0
0
· P + IPO
·
·
·
·
Mà IO
3
3 = 90 ⇒ QPC + O1 CP = 90 ⇒ PQC = 90 ⇒ O2O3 ⊥ O1C

c) Chứng minh tương tự ta có: O1O2 ⊥ O3A và O1O3 ⊥ O2B
Trong tam giác O1O2O3 thì các đường O1C; O2B; O3A là các đường cao
nên chúng đồng quy.
Ví dụ 20. Cho tam giác vng cân ABC tại A. Về phía ngồi của tam giác vẽ
hai tam giác vuông cân ABD và ACE vuông ở B và C. Kẻ đường cao AH.
Chứng minh:
Hoàng Phượng Ly – Trường THCS Nguyễn Thiện Thuật

23


TỪ ĐỊNH LÍ TALET ĐẾN CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY

a) BE = CD

b) Ba đường thẳng BE, CD và AH đồng quy.
Giải:
a) Vì tam giác ABC vng cân tại A
·
·
Nên: ABC
= ACB
·
·
·
·
⇒ ABC
+ ABD
= ACB
+ ACE
·
·
⇒ CBD
= BCE

Và BD = CE (= AB = AC)
BC: chung
⇒ ∆BCD = ∆CBE ⇒ CD = BE
b) Trên tia đối của tia AH lấy điểm I sao cho AI = BC; Nối BI và CI
·
·
Ta có: ∆IAB = ∆CBD (c.g.c) ⇒ BCD
= BIA
·
·

Trong tam giác vng IBH có: HBI
= 900
+ HIB
·
·
·
·
⇒ HBI
= 900. Hay FBC
= 900
+ BCD
+ FCB
·
⇒ BFC
= 900 ⇒ CD ⊥ BI

⇒ CD là đường cao của tam giác IBC
Chứng minh tương tự ta cũng có: BE là đường cao của tam giác IBC
AH, BE, CD là đường cao của tam giác BIC nên chúng đồng quy.
Ví dụ 21. Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ CD. Từ D vẽ đường thẳng song
song với BC, cắt AC tại M và AB tại K, Từ C vẽ đường thẳng song song với
AD, cắt AB tại F, qua F ta lại vẽ đường thẳng song song với AC, cắt BC tại P.
Chứng minh rằng:
a) MP // AB
b) Ba đường thẳng MP, CF, DB đồng quy.
Giải:
a) EP // AC ⇒
AK // CD ⇒

CP

AF
=
PB
FB

(1)

CM
DC
=
AM
AK

(2)

Các tứ giác AFCD, DCBK là các hình
Hồng Phượng Ly – Trường THCS Nguyễn Thiện Thuật

24


TỪ ĐỊNH LÍ TALET ĐẾN CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY

bình hành nên: AF = DC, FB = AK
Kết hợp (1), (2) và (3) ta có:

(3)
CP CM
=
PB AM

⇒ MP // AB (Định lí Ta-lét đảo)

(4)

b) Gọi I là giao điểm của BD và CF, ta có:
Mà

CP CM
DC DC
=
=
=
PB AM
AK FB

DC DI
CP DI
⇒ IP // DC // AB (5)
=
=
(Do FB // DC) ⇒
FB IB
PB IB

Từ (4) và (5) suy ra: qua P có hai đường thẳng IP, PM cùng song song
với AB // DC nên theo tiên đề Ơclít thì ba điểm P, I, M thẳng hàng hay MP đi
qua giao điểm của CF và DB hay ba đường thẳng MP, CF, DB đồng quy.
Phần ba. BÀI TẬP TỰ GIẢI
µ < 900 ). Bên ngồi tam giác dựng các hình vuông

Bài 1. Cho tam giác ABC ( A

ABDE, ACFG. Dựng hình bình hành AEIG. Chứng minh rằng:
a) ∆ABC = ∆GIA và CI = BF.
b) Ba đường thẳng AI, BF,CD đồng quy.
Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A. Về phía ngồi của tam giác ta vẽ các
hình vng ABDE và ACGH.
a) Chứng minh rằng BCHE là hình thang cân.
b) Kẻ đường cao AK của tam giác ABC. Chứng minh rằng: các đường
thẳng AK, DE, GH đồng quy.
Bài 3. Cho 4 điểm A, E, F, B theothứ tự ấy trên một đường thẳng. Trên cùng
một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các hình vng ABCD, FGHE.
a) Gọi O là giao điểm của AG và BH. Chứng minh rằng các tam giác
OHE và OBC đồng dạng.
b) Chứng minh rằng các đường thẳng CE và FD cùng đi qua O.
Bài 4. Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N là Trung điểm của BC, AD. Gọi
K là điểm nằm giữa C và D. Gọi P, Q theo thứ tự là các điểm đổi xứng của K
qua tâm M và N.
a) Chứng minh rằng Q, P, A, B thẳng hàng.

Hoàng Phượng Ly – Trường THCS Nguyễn Thiện Thuật

25