skkn từ định lý viet đến giải một số bài toán về bất đẳng thức

Từ định lý Viet đến giải một số bài toán về bất đẳng thức

Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2007 - 2008

Chuyên đề
từ định lý viét đến giải
một số bài toán
về bất đẳng thức
Ngòi trình bày
Phạm văn thơ
đơn vị Tổ
: khoa học tự nhiên
Trơng : thcs quang trung

SKKN__phạm Thơ_THCS Quang Trung

1


Từ định lý Viet đến giải một số bài toán về bất đẳng thức

A- Đặt vấn đề :

* Chúng ta đà biết rằng dạy toán là dạy cho ngời học để có năng lực trí tuệ,
năng lực này sẽ giúp cho ngêi häc tiÕp thu c¸c kiÕn thøc kh¸c vỊ tự nhiên
và xà hội , vì vậy dạy toán không chỉ đơn thuần là dạy cho học sinh nắm đợc những kiến thức , những khái niệm , những định lý toán học......
Điều quan trọng hơn cả là dạy cho học sinh có năng lực trí tuệ . Năng lực sẽ đợc hình thành và phát triển trong hoạt động . Phát triển năng lực chung quy
cũng là để tích cực độc lập , sáng tạo ở những nội dung toán học đợc nghiên
cứu.
*Trong xu thế chung của những năm gần đây việc đổi mới phơng pháp dạy
học là vấn đề cấp bách thiết thực nhất , nhằm đào tạo những con ngời có

năng lực hoạt động trí tuệ tốt . Đổi mới phơng pháp không chỉ trong giờ
giảng lý thuyết , mà ngay cả trong các giờ luyện tập . Luyện tập ngoài việc
rèn luyện kĩ năng tính toán , kĩ năng suy luận cần có những bài tập mở , đợc sắp xếp có hệ thống giúp học sinh củng cố và vận dụng kiến thức một
cách năng động và sáng tạo .
* Trong chơng trình đại số lớp 9 .Định lý Viét là một phần kiến thức cơ
bản , quan trọng . Định lý Viét cần cho việc lĩnh hội các kiến thức tiếp theo về
phơng trình quy về bậc hai , giải bài toán bằng cách lập phơng trình bậc
hai ........
Ngoài ra định lý Viét còn đợc áp dụng để giải một số bài toán chứng minh bất
đẳng thức , tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất những vấn đề này góp phần rất lớn
trong việc phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh và giúp để giải quyết những
bài toán khó mà sách giáo khoa không đề cập tới .

B. cơ sở khoa học :

ã Cơ sở lý luận:
- Quy luật của quá trình nhận thức từ trực quan sinh động đến t duy trừu tợng .Song quá trình nhận thức đó đạt hiệu quả cao hay không , có bền vững
hay không còn phụ thuộc vào tính tích cực,chủ động sáng tạo của chủ thể .
- Đặc điểm của lứa tuổi thiếu niên là đang có xu hớng vơn lên làm ngời
lớn , muốn tự mình tìm hiểu , khám phá trong quá trình nhận thức . ở lứa tuổi
học sinh trung học cơ sở có điều kiện thuận lợi cho khả năng tự điều chỉnh
hoạt động học tập và tự sẵn sàng tham gia vào các hoạt động khác nhau . Các
em có nguyện vọng muốn có các hình thức học tập mang tính chất Ngời lớn
tuy nhiên nhợc điểm của các em là cha biết cách thực hiện nguyện vọng của
mình , cha nắm đợc các phơng thức thực hiện các hình thức học tập mới .
Vì vậy cần có sự hớng dẫn , điều hành một cách khoa học và nghệ thuật của các
thầy cô .
Trong lý luận về phơng pháp dạy học cho thấy . Trong môn toán sự thống nhất
giữa điều khiển của thầy và hoạt động học tập của trò có thể thực hiện đợc bằng
cách quán triệt quan điểm hoạt động , thực hiện dạy học toán trong và bằng hoạt

động . Dạy học theo phơng pháp mới phải làm cho học sinh chủ động nghĩ
nhiều hơn , làm nhiều hơn , tham gia nhiều hơn trong quá trình chiếm lĩnh tri
thức toán học .
Dạy học toán thông qua kiến thức phải dạy cho học sinh phơng pháp t duy quan
điểm này cho rằng dạy toán là phải dạy suy nghĩ , dạy bộ óc của học sinh thành
SKKN__phạm Thơ_THCS Quang Trung

2


Từ định lý Viet đến giải một số bài toán về bất đẳng thức

thạo các thao tác t duy phân tích , tổng hợp , trừu tợng hoá , khái quát hoá .. . . .
Trong đó phân tích tổng hợp có vai trò trung tâm . Phải cung cấp cho học sinh
có thể tự tìm tòi , tự mình phát hiện và phát biểu vấn đề dự đoán đợc các kết
quả , tìm đợc hớng giải quyết một bài toán ,hớng chứng minh một định lý . . . . .
- Hình thành và phát triển t duy tích cực độc lập sáng tạo trong dạy học toán
cho học sinh là một quá trình lâu dài , thông qua từng tiết học , thông qua nhiều
năm học , thông qua tất cả các khâu của quá trình dạy học trong nội khoá cũng
nh ngoại khoá
ã Cơ sở thực tiễn :
- Hiện nay trong nhà trờng phổ thông nói chung cßn nhiỊu häc sinh lêi
häc , lêi t duy trong quá trình học tập .
- Học sinh cha nắm đợc phơng pháp học tập , cha có những hoạt động đích
thực của bản thân để chiếm lĩnh kiến thức một cách chủ động trong những năm
qua các trờng trung học cơ sở dà có những chuyển đổi tích cực trong việc đổi
mới phơng pháp giảng dạy trên cơ sở thay sách giáo khoa từ khối 6 đến khối 9 .
Học sinh cũng đà chủ động nghiên cứu tìm tòi khám phá kiến thức xong mới
chỉ dừng lại những bài tập cơ bản đơn giản ở sách giáo khoa .
Định lý Viét là một phần kiến thức khó đối với các em , đặc biệt là khi vận

dụng vào giải quyết các bài tập .
- Việc vận dụng ngay những lý thuyết đà đợc học trong sách giáo khoa vào
giải bài tập còn khó khăn làm sao các em có khả năng sáng tạo khi vận
dụng vào các bài tập có néi dung më réng , n©ng cao .
VÝ dơ : Cho phơng trình bậc hai x2 - 2(m - 1)x - 3- m = 0
( víi x lµ Èn , m là tham số )
Tìm m sao cho nghiệm x1 , x2 của phơng trình thoả mÃn điều kiện
x12 + x22 10

+ Khi cha thực hiện chuyên đề này , tôi cho học sinh làm thì thấy kết quả nh
sau : Lúc đầu 100% số học sinh trong lớp không xác định đợc dùng kiến thức
gì để giải . Do đó các em không giải đợc . Sau đó tôi gợi ý : Bài toán đề cập tới
số nghiệm của phơng trình bậc hai ax2 + bx +c = 0 (a0) và tổng các bình phơng hai nghiệm của phơng trình này . Lúc đó có tới 30% học sinh nghĩ đến
việc sử dụng định lý Viét . Nhng các em cũng cha giải đợc vì để giải bài toán
này thông qua định lý Viét còn phải sử dụng các hằng đẳng thức và các bất
đẳng thức .
+ Sau đó tôi nghiên cứu hớng dẫn học sinh theo chuyên đề này thì 80% số học
sinh trong lớp đà xác định đợc ngay hớng giải quyết bài toán và có khoảng
70%- 80% các em làm đợc . Ngoài ra các em còn có khả năng áp dụng vào
giải một số bài tập yêu cầu cao hơn . Đặc biệt là các em vận dụng giảI các bài
tập chứng minh bất đẳng thức , tìm cực trị . . . . .
Sau đây là phần trình bày nội dung chuyên đề và các bớc tiến hành chuyên đề
của tôi .
C. giảI quyết vấn đề :
SKKN__phạm Thơ_THCS Quang Trung

3


Từ định lý Viet đến giải một số bài toán về bất đẳng thức

I / Bớc thứ nhất :
Tìm hiểu nội dung kiến thức trong sách giáo khoa và phát hiƯn ra kiÕn thøc
míi :
1. Néi dung cđa s¸ch gi¸o khoa đà biết :
Định lý Viét : Nếu x1 , x2 là hai nghiệm của phơng trình a x2 +bx +c =0 (a0)
thì tổng và tích hai nghiệm đó là


b

x1
x
+2 =

a

c
 .x =
x1
2

a


NÕu hai sè u , v cã tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của
phơng trình : X2 - Sx + P = 0
ĐIều kiện tồn tại hai số đó là S2 - 4P 0 . Đó là những kiến thức cơ bản mà
sách giáo khoa đà đa ra và học sinh đà đợc làm các bài tập cơ bản một cách
quen thuộc

2. Tìm hiểu thấy rằng :
Định lý Viét là một định lý quen thuộc , nhng sử dụng định lý trong những bài
toán cụ thể lại là việc không đơn giản , điều quan trọng hơn cả là hÃy từ giả
thiết của bài toán làm thế nào đó để có đợc biểu diễn của tổng và tích của hai
đại lợng . Từ đó dẫn đến một phơng trình bậc hai cuối cùng là tính biệt số
của phơng trình này và giải bất phơng trình 0 . Từ những suy nghĩ đó tôi
thấy có thể giúp học sinh giải đợc những bài tập về chứng minh bất đẳng
thức , tìm cực trị . . . . . . . .
Dựa trên cơ sở của định lý Viét giúp học sinh phát triển t duy sáng tạo trong
giải toán và khái quát hoá kiến thức mới ....................
Những vấn đề quan trọng là ở chỗ phải sắp xếp hệ thống bài tập sao cho học
sinh có thể độc lập suy nghĩ , tự xây dựng và sáng tạo trong cách giải nội dụng
bài tập nói trên .
II/ Bớc thứ hai :
Xây dựng hệ thống bài tập giúp học sinh độc lập suy nghĩ và sáng tạo trong
cách giải ( kh¸i qu¸t ho¸ kiÕn thøc míi ) khi sư dụng kiến thức đà học .
Bài số 1: Cho phơng tr×nh x2 - 2(m-1)x - 3 - m = 0
T×m m sao cho sè nghiƯm x1 , x2 cđa ph¬ng trình thoả mÃn điều kiện
x12 + x22 10
2

,
,
,
Xét =( m −1) 2 +( m +3) →∆ =m − 1 +15 > 0 m

ữ
2
4

phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt m
GV Định hớng : Theo định lý Viét ta có đợc những gì ?
x1
x
2
1)
+2 = (m −

(I)

x1
−
m
 . x2 = (3 + )

Tõ x12 + x22 ≥ 10 ta biÕn ®ỉi nh thÕ nào ? để sử dụng đợc (I) từ đó học sinh
biến đổi nh sau :
x12 + x22 10

SKKN__phạm Thơ_THCS Quang Trung

4


Từ định lý Viet đến giải một số bài toán về bất đẳng thức

+2
x
( x1

)

2

x1 x2
2
10

2

(m −)  2 (m + ) ≥
4
1
+
3
10


⇔ 2 −m ≥
4m
6
0
3
9
9
⇔ − m+

m2
≥
2
16
16
2

3
9

⇔ − ÷
m
≥

4
16

3
3
⇔− ≥
m
4
4
3
3

3
m

 − ≥

m
4
4
 ≥
⇔
⇔

2

3
3
 − ≥
m
0
m



4
4

Bài số 2 : Cho các số thực x , y , z khác không và thoả mÃn điều kiện
x+y+z = xyz ; x2 = yz
Chøng minh r»ng : x2 3
Giải
GV: Cho học sinh thấy đợc khi chuyển vế ®ỵc
y
z
xyz −
x

 + = 3 −
y
z
x
x
 + =

⇔


y
x2
y
x2
 .z =
 .z =


khi đó bài toán trở thành tìm hai số biết tổng và tích hai nghiệm của chúng. Từ
đó học sinh định hớng đợc việc sử dụng định lý Viét ®Ĩ biÕn ®ỉi
- Theo ®Þnh lý ViÐt y , z là hai nghiệm của phơng trình :
u2 - (x3 - x)u +x2 = 0 ⇔ u2 + (x-x3)u + x2 = 0 (1)
xÐt ∆ = x2[(1-x2)2 - 4] (2)
v× (1) cã nghiƯm nªn ∆≥ 0
do x ≠ 0 nªn tõ (2) ⇒ (1- x2)2 - 4 ≥ 0 ⇔ (1- x2)2 ≥ 4
⇒ 1-x2 ≤-2 ⇔ x2 ≥ 3 (®pcm)
- Nếu bài toán trên giải theo cách khác thì sẽ phức tạp hơn rất nhiều . Do
đó việc sử dụng định lý Viét là một cách giải hay đối với bài toán này .
Các em học sinh qua đó càng thấy đợc để giải một bài toán chúng ta có
nhiều cách giải khác nhau nhng sử dụng cách nào cho lời giải ngắn gọn

và chính xác .
Bài số 3 :
Các số thực x ,y ,z thoả mÃn điều kiện x + y + z = 5 vµ yz +xz + xy = 8

SKKN__phạm Thơ_THCS Quang Trung

5


Từ định lý Viet đến giải một số bài toán về bất đẳng thức

7
3

7
3

Chứng minh rằng : 1 x ≤ ;1 ≤ y ≤ ;1 ≤ z ≤

7
3

Gi¶i
Tõ gi¶ thiết của bài toán x + y + z = 5 vµ yz + xz + xy = 8
ta cã

y +z =5 −x

yz =8 −x(5 −x)

Tõ ®ã dÉn ®Õn y ,z là nghiệm của phơng trình :
u2 + (x-5)u + x2 - 5x +8 = 0 (1)
xÐt ∆ = (5-x)2 - 4(x2 - 5x+ 8)
vì (1) có nghiệm nên 0 ⇔ (5-x)2 - 4(x2 - 5x+ 8) 〈0
7
tõ ®ã suy ra 1 vì vai trò của x , y , z nh nhau nªn ta cịng cã
x
3

7
7
1 ≤ ;1
y
z
3
3

Bài số 4 :
Giả sử x1 , x2 là nghiệm của phơng trình x2 + kx + a = 0 ( a 0)
Tìm tất cả các giá trị của k để có bất đẳng thức
( a , k là các số thực )

(

x1 3
x
) + ( 2 )3 ≤ 52
x2
x1

Gi¶i
+ Ta xÐt a trong hai trêng hợp :
ã Nếu a > 0 thì = k2 - 4a > 0 víi mäi k . Khi ®ã phơng trình đà cho luôn
có hai nghiệm khác nhau và khác dấu , điều đó dẫn đến bất đẳng thức đÃ
cho đúng với mọi giá trị thực của k .
ã NÕu a > 0
Ta cã x3 + y3 = (x + y)( x2 - xy + y2 )
¸p dơng h»ng đẳng thức trên ta đợc :

(
nhng


x1 3
x
x
x x
x
) + ( 2 )3 = ( 1 + 2 ) ( 1 + 2 ) 2 −3
x2
x1
x2
x1  x2
x1


x1 x2
+ =
x2 x1
3

2

2

x1 + x 2
x1 x2

( x1 + x2 ) 2 2 x1x2 k 2
=
= 2 ( định lý ViÐt)
x1x2
a

3

 x1   x1   k 2
 k2

Do ®ã 
+  ÷ =  − 2 ÷( − 2) 2 − 3 ≤ 52
÷
x2   x2  a
a



SKKN__phạm Thơ_THCS Quang Trung

6

Từ định lý Viet đến giải một số bài toán về bất đẳng thức

Đặt

k2
=t
a

( t 2 ) ( t − 2 )

Ta cã

2

− 3 ≤ 52 ⇔ ( t − 6 ) ( t 2 + 9 ) ≤ 0 (2)


k2
ta thÊy t + 9 > 0  t , do ®ã (2) chØ ®óng khi t - 6[0 hay
−6 ≤0
a
2

do a > 0 nªn suy ra k2 [6a . Bëi vËy ta cã

− 6a ≤ k ≤ 6a

a > 0



− 6a ≤ k ≤ 6a


VËy a < 0 , k là số thực bất kì hoặc

Bài số 5 :
Cho a ≠ 0 . Gi¶ sư x1 , x2 là nghiệm của phơng trình :

x 2 ax −

1
=0
2a 2

Chøng minh r»ng : x14 + x24 ≥ 2 + 2 , dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
Giải
x
x
a
1 + 2 =

áp dụng định lý Viét ta có 
1
x
−
 1 .x2 = 2a 2

Ta cã : x14 + x24 = ( x12 + x22)2 - 2(x1x2)2 = {( x1 + x2)2 - 2x1x2 }2 - 2(x1x2)2

2

1
1
=  a2 +  −

÷
a 2  2a 4


VËy

x14 + x24 ≥ 2 + √2

1 
1

=  a4 + 4 ÷+ 2 ≥ 2 a4. 4 + 2 = 2 + 2
2a
2a


Dấu của đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 4 =

1
1
1
⇔ a8 = ⇔ a = ± 8
2a 4
2

2

Bµi sè 6 :
Gäi x1 , x2 lµ hai nghiƯm của phơng trình :
2x2 + 2(m+1)x + m2 + 4m +3 = 0 (1)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : A = |x1x2 - 2x1 - 2x2 |
Giải

SKKN__phạm Th¬_THCS Quang Trung

7


Từ định lý Viet đến giải một số bài toán về bất đẳng thức

= (m+1)2 - 2(m2+4m+3)
= m2 + 2m +1 - 2m2 -8m - 6
= - m2 - 6m - 5
phơng trình (1) có nghiệm 0 ⇔m2 + 6m+ 5 ≤0
⇔ (m+1)(m+5) ≤0 ⇔ - 5 ≤ m ≤ - 1
Ta cã :

 1 +x2 =− m + )
x
1
(

víi - 5 ≤ m ≤ - 1 ta cã hÖ thøc ViÐt 
m 2 +4m +
3

x
 1 .x2 =

2
Nªn A = |x1x2 - 2x1 - 2x2 | = |x1x2 - 2(x1 - x2 )|

m 2 + 4m + 3
1
1
=
+ 2 ( m + 1) = m 2 + 8m + 7 = ( m + 1) ( m + 7 )
2
2
2
V× - 5 [ m [ -1 ⇔ ( m + 1)(m + 7) < 0
1
1
9 9
2
Do ®ã : A = − ( m 2 +8m +7 ) =− ( m +4 ) + ≤ ∀
m
2
2
2 2
dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi m = -4
Bài số 7 :
Cho m 0 giả sử x1 , x2 là nghiệm của phơng trình :

1
x2

mx 2 =0
m

Tìm giá trị nhỏ nhất của bbiểu thức A = x14 + x24
Giải
Xét phơng trình
2
Ta có : = m

1
x2 −
mx − 2 = (m ≠ 0)
0
m
4
+ 2 > 0
0 m
m

x
x
m
1 + 2 =

Theo định lý Viét ta cã : 
1
x1 x2 =
− 2

m



mµ A = x14 + x24 = ( x12 + x22)2 - 2x1x2= {(x1+x2)2 - 2x1x2}2 - 2(x1x2)2

SKKN__phạm Thơ_THCS Quang Trung

8


Từ định lý Viet đến giải một số bài toán về bất đẳng thức
2

= m 2 + 22 − 2. 14 = m 4 + 4 + 44 − 24

÷
m 
m
m
m

2


2
2
m + 4 +4 = m 2 − 2 ữ +4 +2 2

m
m ữ
A=

4

A 4 +2 2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

2
m2 = 2 = 8 2
m

m

Bài số 8 :
Tìm tất cả các giá trị của a là số tự nhiên sao cho phơng tr×nh
x2 - a2x + a +1= 0 . cã nghiƯm nguyên .

Giải

Xét phơng trình : x2 - a2x + a +1 = 0 (1)
Giả sử x1 , x2 là hai nghiệm nguyên của phơng trình (1)
ta có

1 + 2 = 2 (2)
x
x
a

x

a 1(3)
 1 .x2 = +

⇒ ( x1 - 1)(x2 -1) = -(a2 - a -2 ) = -( a -2 )( 1+ a ) (4)
tõ (2) vµ (3) ⇒

x
x
0
1 + 2 ≥

x
1
 1 .x2 ≥

( do a ε N )

⇒ x1 / 1 , x2 / 1 ⇒ ( x1- 1)( x2 - 1) / 0 (5)
kÕt hỵp (4) , (5) ⇒ ( a - 2)( 1 + a) ≤ 0
v× a ε N ⇒ 0 ≤ a 2
Thử lại ta thấy a = 2 thoả mÃn yêu cầu của đề bài .
Bài số 9 :
Cho x + y + z = 3 (1)
a. Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa :
A = x 2 + y2 + z 2
b. Tìm giá trị lớn nhất của :
B = xy + yz + zx
Giải
a - Từ đẳng thức (1) ⇒ x + y = 3 - z .
tõ A = x2 + y2 + z2 ⇒ A = ( x + y + z )2 - ( xy + yz + zx )

⇔ A = 9 - 2xy -2(3 - z).z

9 −6 z +2 z 2 − A
⇔ xy =
2

áp dụng định lý Viét ta có x ,y là nghiệm của phơng trình :
2
X2 - (3 - z )X + 9 −6 z +2 z −A = 0 (*)
2
SKKN__phạm Thơ_THCS Quang Trung

9


Từ định lý Viet đến giải một số bài toán về bất đẳng thức

9 6 z +2 z 2 A
Xét ∆ = (3-z) - 4.
2
= 9-6z + z2-18 +12z - 4z4+ 2A=
= - (3z2 - 6z + 9 - 2A) vì phơng trình có nghiệm 0
3z2 - 6z + 9 - 2A ≤ 0
XÐt
∆z = 9 - 27 + 6A = - 18 + 6A
V× x , y lµ nghiƯm cđa (*) suy ra z tån t¹i ⇒ ∆z ≥ 0 ⇒ A ≥ 3
VËy Amin = 3 khi vµ chØ khi x = y = z = 1
b - Giải tơng tự :
2

III . Bớc thứ ba :
Bài tập vận dụng
Với mục đích là đa ra các bài tập trong đó có áp dụng kiến thức về định lý
Viét để giải , giúp học sinh tù lun tËp , rÌn lun t duy ®éc lËp sáng tạo
trong lời giải :
Bài tập 1 :
Cho phơng trình bËc hai 2x2 + 6x + m = 0
Víi gi¸ trị nào của tham số m . Phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2
thoả mÃn

x1
x
+ 2 2
x2
x1

Bài tập 2 :
Cho phơng trình : (m -1)x2 - 2(m +1)x + m = 0 (1)
Khi (1) cã hai nghiÖm x1 , x2 . T×m m sao cho x1 - x2≥ 0.
Bài tập 3 :
a/ Cho a,b,c R thoả mÃn a + b + c = 2 vµ ab + bc + ca = 1
Chøng minh r»ng : 0 ≤ a,b,c ≤

4
3

b/ Cho a,b,c ∈R tho¶ m·n a + b + c = 2 vµ a2 + b2 + c2 = 2
4

4

4

Chøng minh r»ng : 0 ≤ a ≤
; 0≤ b
và 0 c
3
3
3
Bài tập 4 :
Giả sử x1 và x2 là nghiệm của phơng trình x2 + 2kx +4 = 0
2

2

x x
Tìm tất cả các giá trị của k sao cho có bất đẳng thức :  1 ÷ +  2 ÷ ≥ 3
 x2   x1 
Bµi tËp 5 :

Cho x , y , z R thoả mÃn điều kiện
Chứng minh rằng :

1 x, y , z

SKKN__phạm Thơ_THCS Quang Trung

x + y + z = 5
 2
2

2
x + y + z = 9

7
.
3
10


Từ định lý Viet đến giải một số bài toán về bất đẳng thức

Bài tập 6 :
Cho x, y, z là các số thoả mÃn hệ phơng trình
Tìm giá trị lín nhÊt vµ bÐ nhÊt cđa x , y , z .

x + y + z = 5

xy + yz + zx = 8

Bµi tËp 7 :
Cho a ≠ 0 Giả sử x1 , x2 là nghiệm của phơng trình :

x 2 ax

1
= 0 . Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc E = x14 + x24
2
a

D . Kết luận :

+ Qua phần trình bày trên đây ta thấy ở nhiều bài tập khi chứng minh các
bất đẳng thức , hay tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất , chúng ta thấy đợc
định lý Viét có vai trò quan trọng khi áp dụng để giải phơng trình bậc hai
.Ngoài ra chúng ta còn thấy đợc khi sử dụng định lý Viét vào giải các bất
đẳng thức đợc dễ dàng hơn và đặc biệt là giúp cho học sinh hiểu sâu hơn về
định lý Viét . Những bµi tËp nµy gióp cho häc sinh rÌn t duy và kĩ năng biến
đổi , áp dụng kiến thức đà biết.
Thử nghiệm tôi đà thu đợc kết quả nh sau :
ã khi cha thực hiện chuyên đề này học sinh gặp nhiều khó khăn ngay cả
bài tập số 1 là bài tập tơng đối dễ mà 100% học sinh không định hớng
đợc cách giải quyết . Các bài tập còn lại các em hoàn toàn bế tắc . Có
những bài , câu hỏi tởng chừng không ăn nhập gì với phần lý thuyết
đợc học trong bài định lý Viét nh bµi 2 , 3 , 7 , 8 , 9 học sinh không
thể làm đợc . Và khi giáo viên chữa cho học sinh cũng rất khó khăn
bởi phải diễn giải rất nhiều mới có đợc kiến thức sử dụng hệ thức Viét
, dẫn đến học sinh khó tíêp thu , sợ những bài tập nh vậy
ã Sau đó tôi nghiên cứu sắp xếp hệ thống các bài tập nh đà trình bày
trên đây , áp dụng dạy cho học sinh thì thấy học sinh hiểu bài hơn ,
say mê hơn với các bất đẳng thức , Tìm cực trị ....................và do đó
các em tự mình giải quyết đợc các bài tập , đồng thời phần trình bày
của các em ngắn gọn , dễ hiểu , dễ ghi .
ã Ngoài các bài tập tôi đà đa ra ở trên còn nhiều bài tập nữa , từ
70%- 80% số học sinh trong lớp làm đợc đặc biệt có em trình bày lêi
gi¶i xóc tÝch , gän , dƠ theo dâi . Góp phần rèn kĩ năng giải toán, năng
lực hoạt động trí tuệ cho học sinh . Học sinh không còn hiểu vấn đề
một cách máy móc dập khuôn . Vì không có điều kiện trình bày hết
tất cả các bài tập tôi chỉ xin trình bày một số bài tập trên làm ví dụ
minh hoạ cho chuyên đề của mình .
E .bài học rút ra :
Nh trên tôi đà đặt vấn đề học sinh trung học cơ sở còn ở lứa tuổi thiếu niên

nên việc t duy , khả năng khái quát hoá của các em còn rất hạn chế .
Do đó để giải các bài tập khó là cả một công việc nặng nề đối với các em
SKKN__phạm Thơ_THCS Quang Trung

11


Từ định lý Viet đến giải một số bài toán về bất đẳng thức

nhất là các bài tập về bất đẳng thức . Vì vậy đòi hỏi ở ngời giáo viên một sự
đầu t lớn trong việc nghiên cứu chơng trình của sách giáo khoa , hệ thống bài
tập áp dụng và bài tập nâng cao , từ đó xây dựng thành những chuyên đề
nhằm giúp học sinh có năng lực độc lập t duy , khái quát hoá những kiến
thức . từ đó mà năng lực trí tuệ của các em mới đợc rèn luyện và nâng cao.
Trong chơng trình không phải nội dung kiến thức nào cũng có những kiến
thức lý thuyết bổ xung nằm tiềm ẩn bên trong nh bài định lý Viét . Xong
cũng có rất nhiều đơn vị kiến thức làm đợc nh vậy . Điều quan trọng hơn cả
là ở tâm huyết của ngời giáo viên đối với nghề nghiệp .
Chỉ qua một ví dụ về bài định lý Viét ta thấy đà rút ra nhiều điều bổ ích cho
việc giải bài tập về bất đẳng thức , tìm cực trị ...........
Nếu chúng ta tiến hành nh vậy ở các nội dung kiến thức khác nữa thì chắc
chắn kết quả giáo dục ngày càng đợc nâng cao , đào tạo đợc nhiều nhân tài
cho ®Êt níc ®ã chÝnh lµ ®Ých ci cïng cđa nghỊ dạy học .

SKKN__phạm Thơ_THCS Quang Trung

12


Từ định lý Viet đến giải một số bài toán về bất đẳng thức

Mục lục
Đặt vấn đề :
B . Cơ sở khoa học :
C . Giải quyết vấn đề :
D . KÕt ln :
E . Bµi häc rót ra :

A.

Trang 2
Trang 3
Trang 5
Trang 12
Trang 13

Tài liệu tham khảo
ã
ã
ã
ã
ã

Nâng cao và phát triển toán 9 ( Vũ Hữu Bình)
Trọng điểm đại số 9 ( Ngô Long Hậu Trần Luận)
23 chuyên đề 1001 bài toán sơ cấp ( Nguyễn Đức Đồng)
Tuyển chọn 400 bài toán 9 ( Phan Thế Thợng)
Tuyển tập 5 năm tạp chí toán học và tuổi trẻ

Nhận xét của tổ chuyên môn

..
..
..
.

Nhận xét của bgh
..
..
..
.

Nhận xét đánh giá của PGD
SKKN__phạm Thơ_THCS Quang Trung

13


Từ định lý Viet đến giải một số bài toán về bất đẳng thức

. ..
..
..
.

SKKN__phạm Thơ_THCS Quang Trung

14