chủ đề số phức có lời giải

Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG

HĐBM-TỔ TOÁN

Chủ đề 5. SỐ PHỨC
A. Tóm tắt lí thuyết
I. SỐ PHỨC & CÁC PHÉP TOÁN
1. Số phức là một biểu thức dạng a + bi, trong đó a, b là các số thực và số i thỏa mãn i 2  1 .
Kí hiệu z  a  bi
 i: đơn vị ảo,

 a: phần thực,

 b: phần ảo.

Chú ý:


z  a  0i  a được gọi là số thực (a    )



z  0  bi  bi được gọi là số ảo (hay số thuần ảo)



0  0  0i vừa là số thực vừa là số ảo

y
b

M

2. Biểu diễn hình học của số phức.


M(a;b) biểu diễn cho số phức z  z = a + bi

O

a

x

3. Hai số phức bằng nhau. Cho hai số phức z  a  bi và z '  a ' b 'i với a, b, a ', b ' 
a  a '
z  z' 
b  b '
4. Cộng và trừ số phức. Cho hai số phức z  a  bi và z '  a ' b 'i với a, b, a ', b ' 
z  z '   a  a '   b  b ' i
z  z '   a  a '   b  b ' i

5. Nhân hai số phức. Cho hai số phức z  a  bi và z '  a ' b 'i với a, b, a ', b ' 
z.z '   aa ' bb '    ab ' a 'b  i

6. Môđun của số phức z = a + bi


y
b

M


z  a 2  b 2  OM

O

a

x

7. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là z  a  bi



zz
z  z



z  z  2a



z .z  a 2  b 2  z

2

93

Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG

HĐBM-TỔ TOÁN

8. Chia hai số phức.
Cho hai số phức z  a  bi và z '  a ' b 'i với a, b, a ', b ' 

o Thương của z’ chia cho z (z  0) :

z ' z ' z z ' z ac  bd ad  bc

 2  2

i
z
a  b2 a 2  b 2
zz
z

II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI TRÊN TẬP SỐ PHỨC
1. Căn bậc hai của số phức
o z  0 có một căn bậc hai là 0
o z  a là số thực dương có 2 căn bậc 2 là  a
o z  a là số thực âm có 2 căn bậc hai là  a .i
2. Phương trình bậc nhất ax + b = 0 (a, b là số phức cho trước, a  0 ).
Giải tương tự phương trình bậc nhất với hệ số thực
3. Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a, b, c là số thực cho trước, a  0 ).
Tính   b 2  4ac
o   0 : Phương trình có hai nghiệm phân biệt thực x1 ,2 

o   0 : Phương trình có hai nghiệm phân biệt phức x1 ,2 
o   0 : Phương trình có 1 nghiệm kép là x  

b  
2a

b  i 
2a

b
2a

III. CÁC VÍ DỤ
Dạng 1: Tìm số phức thỏa mãn các điều kiện cho trước.
Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2 z  i z  2  5i . Tìm phần thực và phần ảo của z
Bài giải
♥ Đặt z  a  bi ,  a, b    ta có:

2 z  i z  2  5i  2 a  bi  i a  bi   2  5i
 2a  b   2b  a  i  2  5i

2a  b  2
 
a  2b  5
a  3
 
b  4

♥ Vậy số phức z cần tìm có phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4 
94

Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG

HĐBM-TỔ TOÁN

Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 3 z  z 1  i   5 z  8i 1 . Tính môđun của z
Bài giải
♥ Đặt z  a  bi ,  a, b    ta có:

3z  z 1  i 5 z  8i 1  3a  bia  bi 1  i 5a  bi  8i 1
 3a  4b  2 a  b  i  1  8i

3a  4b  1
 
2 a  b  8
a  3
 
b  2
♥ Vậy môđun của z là z  a 2  b 2  32  2  13 
2

Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2 z  31 i  z  1 9i . Tính môđun của z
Bài giải
♥ Đặt z  a  bi ,  a, b    ta có:
2 z  31 i  z  1 9i  2  a  bi   31 i a  bi   1 9i
 5a  3b   3a  b  i  1  9i

5a  3b  1
 

3a  b  9
a  2
 
b  3
♥ Vậy môđun của z là z  a 2  b 2  22  32  13 
Ví dụ 4: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z   2  i  z  3  5i . Tìm phần thực và phần ảo của z
Bài giải
♥ Đặt z  a  bi ,  a, b    ta có:

z   2  i  z  3  5i  a  bi    2  i a  bi   3  5i
 3a  b   a  b i  3  5i

3a  b  3
 
a  b  5
a  2
 
b  3
95


Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG

HĐBM-TỔ TOÁN

♥ Vậy số phức z cần tìm có phần thực bằng 2 và phần ảo bằng 3 
Ví dụ 5: Tìm số phức z thỏa mãn ( z  1)(1  i ) 

z 1
 | z |2 .

1 i

Bài giải

Đặt z  x  yi, (x, y   ) ta có:
( z  1)(1  i ) 

z 1
2
 z
1 i

  x  1  yi  (1  i ) 

 x 1 yi  (1  i)

 x2  y 2
2
 3x 1 y  (3x  1 y )i  2( x 2  y 2 )
3 x  1  y  2( x 2  y 2 )

3 x  1  y  0

 y  (3 x  1)
  2
10 x  3x  0
 x  0, y  1
 
 x   3 , y   1 .
10

10

♥ Vậy số phức z cần tìm là z  i hoặc z  

3
1
 i. 
10 10

Ví dụ 6: Tìm số phức z thỏa mãn z  3i  1  i z và z 

9
là số thuần ảo.
z

Bài giải

♥ Đặt z  a  bi (a, b   ) ta có:
 | z  3i |  | 1  iz |  | a  (b  3)i |  |1  i (a  bi) |
 | a  (b  3)i |  |1  b  ai |
 a 2  (b  3) 2  (1 b) 2  (a ) 2
.
b2

 z

9
9
9(a  2i ) a3  5a  (2a 2  26)i
 a  2i 

 a  2i  2

là số ảo
z
a  2i
a 4
a2  4
 a 3  5a  0
 a  0, a   5 .

♥ Vậy các số phức cần tìm là z  2i, z  5  2i, z   5  2i .
Ví dụ 7: Tìm số phức z thỏa mãn z  z  2  2i và

z  2i
là số thuần ảo.
z2

Bài giải
♥ Đặt z  x  yi (x, y   ) và z  2 ta có:
 z  z  2  2i  x  yi  x  2  ( y  2)i
 x 2  y 2  ( x  2) 2  ( y  2) 2
 x  y  2  y  2  x.

 Ta có

(1)

z  2i x  ( y  2)i [ x  ( y  2)i].[( x  2)  yi]



z  2 ( x  2)  yi
( x  2) 2  y 2

96


Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG


HĐBM-TỔ TOÁN

x ( x  2)  ( y  2) y ( x  2)( y  2)  xy
x( x  2)  ( y  2) y

i là số ảo khi và chỉ khi
0
2
2
2
2
( x  2)  y
( x  2)  y
( x  2) 2  y 2
 x 2  y 2  2( x  y )

( x  2) 2  y 2  0

( x  1) 2  1

Thay (1) vào (2) ta được 

x  2
♥ Vậy các số phức cần tìm là z  2i. 

Ví dụ 8: Cho số phức z thỏa mãn z 

(2)

 x  0 . Suy ra y  2 .

4
 i. Tính A  1  (1  i ) z .
z 1

Bài giải
♥ Đặt z  a  bi, (a , b   ) ta có:
4
z
 i  a 2  b 2  a  4  bi  b  ( a  1)i
z 1
 a 2  b 2  a  4  b

 b  a  1
 a  1, b  2

 a  2, b  1

♥ Vậy
 Với a  1, b  2 ta có A  1  (1  i)(1  2i)  3i  3.

 Với a  2, b  1 ta có A  1  (1  i)( 2  i)   3i  3. 
Ví dụ 9: Tìm số phức z thỏa mãn đẳng thức z  1  i  2z  z  5  3i sao cho z  2  2i đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài giải
♥ Đặt z  x  yi ,  x, y    ta có:
 z  1  i  (x  1)  (y  1)i =

(x  1)2  (y  1)2

 2z  z  5  3i = 3x  5  (y  3)i =

(3x  5)2  (y  3)2 .

Do đó: z  1  i  2z  z  5  3i  (x + 1)2 + (y + 1)2 = (3x – 5)2 + (y – 3)2.
 8y = 8x2 – 32x + 32
 y = x2 – 4x + 4.
2

2

♥ Ta có z  2  2i = (x  2)  (y  2) =

2

y   y  2 =

2

2

y  3y  4 =


3 7
7
y    ≥
2 4
2


6
3
3
 (x – 2)2 =
 x 2
.
2
2
2
6 3
6 3
♥ Vậy z  2 
 i hay z  2 
 i thì z  2  2i đạt GTNN. 
2 2
2 2

Dấu "=" xảy ra  y =

97

Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG

HĐBM-TỔ TOÁN

Dạng 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa điều kiện cho trước.
Ví dụ 10: Trong mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diển các số phức z thỏa mãn z  i  1  i  z
Bài giải
♥ Đặt z  x  yi  x, y    và M  x; y  là điểm biểu diễn của z trên mặt phẳng Oxy ta có:

z  i  1  i  z   x  yi   i  1  i  x  iy 
 x   y 1i   x  y    x  y  i
 x 2   y 1   x  y    x  y 
2

2

2

 x 2  y 2  2 y  1  x 2  2 xy  y 2  x 2  2 xy  y 2

 x 2  y 2  2 y 1  0
♥ Tập hợp điểm M biểu diển của số phức z là đường tròn có phương trình x 2  y 2  2 y 1  0 

B. Bài tập
Bài 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (3  2i ) z  (2  i )2  4  i . Tìm phần thực và phần ảo của số phức
Bài 2: Cho số phức z thỏa mãn (1  2i) 2 z  z  4i  20 . Tính môđun của z
Bài 3: Cho số phức z thỏa mãn (1  i ) z  2  4i  0 . Tìm số phức liên hợp của z .
Bài 4: Cho số phức z thoả mãn (2  3i ) z  (4  i) z  (1  3i )2 . Tìm phần thực và phần ảo của z
Bài 5: Cho số phức z thoả mãn (1  i )2 (2  i) z  8  i  (1  2i ) z . Tìm phần thực và phần ảo của z

Bài 6: Cho số phức z thoả mãn z  (2  3i ) z  1  9i . Tìm số phức z
Bài 7: Cho số phức z thỏa mãn (2 z  1)(1  i )  ( z  1)(1  i )  2  2i . Tính môđun của z
Bài 8: Cho số phức z thỏa mãn z  ( 2  i ) 2 (1  2i ) . Tìm phần ảo của z .
Bài 9: Cho số phức z thoả mãn z 

5i 3
 1  0 . Tìm số phức z
z
2

Bài 10: Cho số phức z thoả mãn z 2  z  z . Tìm số phức z
Bài 11: Cho số phức z thỏa mãn đẳng thức z  (2  4i)  2 . Tìm tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức z
Bài 12: Cho số phức z thỏa mãn đẳng thức z  i  (1  i)z . Tìm tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức z
Bài 13: Cho số phức z thỏa mãn (1  2i ) z 

2i
 (3  i ) z . Tìm tọa độ điểm biểu diễn của z trong mp (Oxy )
1 i

Bài 14: Tìm số phức z thỏa mãn đẳng thức z  3  2i  3 . Tìm tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức w, biết
w – z = 1 + 3i.
98


Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG

HĐBM-TỔ TOÁN
2

2

Bài 15: Cho số phức z thoả mãn 1  z  z  i   iz  1 . Tính mô đun của z 

4
.
z 1

Bài 16: Tìm số phức z thỏa mãn đẳng thức iz  3  z  2  i sao cho z đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 17: Tìm số phức z thoả mãn 2 z  1  z  z  3 sao cho số phức w  z  8 có môđun nhỏ nhất
Bài 18: Cho số phức z thoả mãn (1  i )( z  i )  2 z  2i . Tính môđun của số phức w 
Bài 19: Cho số phức z thoả mãn (2  i ) z 

z  2z 1
z2

2(1  2i)
 7  8i . Tính môđun của số phức w  z  1  i
1 i

Bài 20: Cho số phức z thoả mãn z  2 và z 2 l số thuần ảo. Tìm số phức z
Bài 21: Cho số phức z thoả mãn z  (2  i)  10 và z.z  25 . Tìm số phức z
Bài 22: Cho số phức z thoả mãn

5( z  i)
 2  i . Tính môđun của số phức w  1  z  z 2
z 1

Bài 23: Cho số phức z thoả mãn z  z  1  i  5 và (2  z )(i  z ) l số ảo. Tìm số phức z
Bài 24: Cho số phức z thỏa mãn z  2 z =  3 + 6i.
2

2

3

Tính T = z  z  z .
2

Bài 25: Cho số phức z thoả mãn 1  z  z  i   iz  1 . Tính môđun của z 

4
.
z 1

Bài 26: Tìm số phức z thoả mãn z  1  5 và 17  z  z   5 z.z
Bài 27: Cho số phức z thỏa mãn z 
Bài 28: Cho số phức z 

(1  3i )3
. Tìm môđun của số phức w  z  iz
1 i

1  9i
 5i . Tìm các căn bậc hai của z
1 i

Bài 29: Giải các phương trình sau trên tập số phức
1) (3  2i) z  (4  7i)  2  5i

2) (7  3i) z  (2  3i )  (5  4i ) z

Bài 30: Giải các phương trình sau trên tập số phức
1) x 2  4 x  7  0

2) x 2  6 x  25  0

3) 2 x 2  5x  4  0

3) 8 z 2  4 z  1  0

------------------------------Hết-----------------------------

99