100 bai toan BDT có lời giải
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.43 MB, 32 trang )
100 BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, GTNN, GTLN TỪ MỘT SỐ ĐỀ THI THỬ
Sưu tầm Trần Quang Thạnh
I. MỘT SỐ ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ:
(
√
1. Với mọi
)
Đẳng thức xảy ra khi
(
2. Với mọi
√
(
)
3. Với mọi
số (
) và (
) tỷ lệ với nhau.
4. BĐT cộng mẫu số : với
)
Đẳng thức xảy ra khi
)(
) Đẳng thức xảy ra khi hai bộ
(
ta có
(
)
Các BĐT từ (5) đến (10) được viết với điều kiện
và CM được bằng cách biến đổi tương
đương hoặc dùng các BĐT từ (1) đến (4).
5.
)(
)(
)
6. (
) (
)
(
)
7. (
)(
)
(
)
8. (
(
)
9.
(
) (
)
(
)
10.
Một số BĐT 2 biến thường dùng:
(
) (
)
11. Với
12. Bốn bất đẳng thức sau đây CM được bằng pp biến đổi tương đương và có thể kết hợp BĐT AM-GM:
(
)
(
)
√
√
√
13. ĐẲNG THỨC tuyệt với sau đây luôn phải nhớ :
(
)
(
)
II. 100 BÀI TOÁN BĐT, GTNN VÀ GTLN TỪ MỘT SỐ ĐỂ THI THỬ:
5
Bài 1. (THPT – Nam Đàn – Nghệ An - 2015) Cho x là số thực thuộc đoạn [ 1, ] . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị
4
5 4x 1 x
nhỏ nhất của P
.
5 4x 2 1 x 6
Bài 2. (THPT – Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm – Quảng Nam - 2015) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn
4
4
4
a2 b2 c2 3 . Chứng minh rằng 2
1 2 2 1 2
1 3(a b c)2 .
2
2
a b
b c
c a
Bài 3. (THPT – Nguyễn Huệ - Quảng Nam - 2015) Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a b ab 3 . Tìm
a2
b2
ab
giá trị nhỏ nhất của biểu thức P
.
b 1 a 1 a b
Bài 4. (THPT – Chuyên Vĩnh Phúc – Lần 2 - 2016) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi
4
4
4
1 1 1
bằng 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P
.
ab bc c a a b c
1
Bài 5. Cho x, y, z là các số thực dương thoả y z x(y2 z2 ) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1
1
1
4
.
P
2
2
2
(1 x) (1 y) (1 z) (1 x)(1 y)(1 z)
Bài 6. Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn 1 2 2 x 1 2 2, y 0, z 0 và x y z 1 . Tìm giá trị nhỏ
1
1
1
nhất của biểu thức P
.
2
2
(x y) (x z) 8 (y z)2
Bài 7. (THPT – Nguyễn Thị Minh Khai - 2015) Cho x,y là 2 số thực thỏa mãn x 4 +16y 4 + 2xy+1 =2 . Tìm
2
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau P=x x2 +3 +2y 4y2 +3 .
Bài 8. (THPT- Lê Hồng Phong – Phú Yên-2015) Cho 3 số thực dương x , y , z thỏa mãn x y 1 z . Tìm
x
y
z2 2
.
x yz y zx z xy
Bài 9. (THPT – Quỳnh Lưu 3- Nghệ An – lần 1 - 2015) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab 1 ;
b 2c a 2c
c a b c 3 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P
6ln(a b 2c) .
1a 1b
Bài 10. (THPT – Nguyễn Trung Thiên – Lần 2 - 2015) Cho các số thực không âm a, b, c thoả mãn
1
4
8
.
a2 b2 c2 3b 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau P
2
2
2
a 1 b 2 c 3
giá trị nhỏ nhất của biểu thức P
Bài 11. (THPT – Hậu Lộc 4 - 2015) Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn x2 y xy 2 x y 3xy . Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức P x 2 y 2
(1 2 xy)2 3
.
2xy
1
Bài 12. (THPT – Bắc Yên Thành – Nghệ An - 2015) Cho các số thực a, b, c ;1 . Tìm giá trị lớn nhất của
2
a b bc c a
biểu thức P
.
c
a
b
Bài 13. (THPT – Hưng Yên – Lần 1 - 2015) Cho x , y , z là các số thực dương thỏa mãn
x
1
5 x 2 y 2 z2 9 xy 2yz zx Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 2 2
y z x y z 3
Bài 14. (THPT – Quỳnh Lưu 1 – Nghệ An – Lần 1 - 2015) Cho a,b,c thuôc đoạn [1;2] . Tìm giá trị nhỏ nhất của
a b
.
2
c 4 ab bc ca
2
biểu thức P =
Bài 15. (THPT –Lý Thái Tổ - Bắc Ninh – Lần 2 - 2015) Cho x , y là hai số thỏa mãn x , y 1 và 3(x y) 4 xy.
1 1
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x 3 y 3 3 2 2 .
x y
Bài 16. Cho x,y thay đổi thỏa mãn x 2 y 2 1 . Tìm GTLN và GTNN của biểu thức P =
2(x 2 6 xy)
.
1 2 xy 2y 2
1
1
1
2 2.
3
a b a b ab
1
2
2
3
Bài 18. Cho x, y > 0 thỏa mãn x 4 y 4 xy 2 . Tìm GTLN của P =
.
2
2
xy
1 x 1 y 1 2 xy
Bài 19. Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi sao cho x + y + z = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
F = x2 y 2 z2 2xyz .
Bài 17. Cho a, b > 0 và a + b 1. Tìm GTNN của biểu thức S =
2
3
Bài 20. Cho a, b, c > 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =
1
2
.
(a 1)(b 1)(c 1)
a2 b2 c2 1
Bài 21. Cho ba số thực dương a, b, c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
24
3
P=
.
13a 12 ab 16 bc
abc
Bài 22. Cho x, y, z là các số thực không âm và thỏa mãn điều kiện x 2 y 2 z2 2 . Tìm GTLN của biểu thức
x2
yz
1 yz
P= 2
x yz x 1 x y z 1
9
(A, A1 2014)
1
Bài 23. Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c 1 . Tìm GTNN của biểu thức P a3 b3 c 3
4
Bài 24. (A-2011) Cho x, y, z là các số thực thuộc đoạn [1; 4] và x y , x z . Tìm GTNN của biểu thức
x
y
z
.
P
2x 3y y z z x
Bài 25. (D - 2012) Cho các số thực x, y thỏa mãn (x – 4)2 + (y – 4)2 + 2xy 32. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức A = x3 + y3 + 3(xy – 1)(x + y – 2).
Bài 26. (B-2011) Cho a và b là các số thực dương thỏa mãn 2(a2 + b2) + ab = (a + b)(ab + 2). Tìm giá trị nhỏ
a3 b3 a2 b2
nhất của biểu thức P = 4 3 3 9 2 2 .
b a b a
Bài 27. Cho các số thực dương
thỏa mãn
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1
1
32
P 4
a a2b2 b4 a2b2 (1 c)3
Bài 28 . (THPT – Chu Văn An – An Giang - 2015) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c 1 . Tìm
7
121
giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 2 2 2
.
a b c 14(ab bc ca)
Bài 29. (THPT – Chí Linh – Hải Dương - 2015) Với a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
1296
thức P (a2 2)(b2 2)(c2 2)
.
abc
Bài 30. (THPT – Trần Thị Tâm – Quảng Trị - 2015) ) Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn
x
1
.
5(x2 y2 z2 ) 9(xy 2yz zx) . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 2 2
y z (x y z)3
Bài 31. (THPT – Bến Cát – Bình Dương - 2015) Cho các số thực x; y thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức P x 2 y 2 2x 1 x 2 y 2 2x 1 y 2 .
Bài 32. (THPT – Nguyễn Viết Xuân – Phú Yên - 2015) Cho x , y > 0 thỏa mãn xy x y 3 . Tìm giá trị lớn
3x
3y
xy
nhất của biểu thức P
x2 y2 .
y 1 x 1 x y
Bài 33. (THPT – Lương Thế Vinh – Lần 3 -2015) Cho các số thực a, b dương và thỏa mãn ab 1 . Tìm giá trị
1
1
32
nhỏ nhất của biểu thức T
.
1a 1b
2a(1 a) 2b(1 b) 8
Bài 34. (THPT – Thạch Thành – Thanh Hoá - 2015) Cho a, b là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của
8
1
biểu thức P
a b.
7a 4b 4 ab
ab
Bài 35. (THPT – Nghĩa Hưng - 2015) Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn 2x 3y 7 . Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức
P 2xy y 5(x 2 y 2 ) 24 3 8(x y) (x 2 y 2 3) .
3
1
1
1
Bài 36. (THPT – Triệu Sơn 5 – lần 2 - 2015) Cho a, b, c thuộc khoảng (0;1) thoả mãn ( 1)( 1)( 1) 1 .
a
b
c
2
2
2
Tìm GTNN của biểu thức P = a b c .
Bài 37. (THPT – Như Xuân – Thanh Hoá - 2015) Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1.
x 2 (y z) y 2 (z x) z 2 (x y)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P
.
yz
zx
xy
Bài 38. Cho a,b,c là các số thực không âm và thỏa mãn a b c 3 .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P 2(ab bc ca)3 27a2b2c2 3(a2 b2 c2 ) 6(ab bc ca) .
Bài 39. Cho các số thực dương a, b, c thoả a b c 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a3
b3
c3
P
.
(a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b)
Bài 40. Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a3
b3
c3
S
.
(1 b)(1 c) (1 c)(1 a) (1 a)(1 b)
Bài 41. Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn a2 +b2 +c2 = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a3
b3
c3
.
S
b 2c c 2a a 2b
Bài 42. Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn a b c 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a3
b3
c3
S
.
b(2c a) c(2a b) a(2b c)
Bài 43. Cho hai số thực x, y thỏa mãn x 2 y 2 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P=
5 2x 54 2x 14y .
Bài 44. (THPT-Ngô Sỉ Liên – Lần 2 -2016) Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn x2 y2 z 2
3
. Tìm giá
4
1 1 1
.
xy yz zx
Bài 45. (THPT – Đội Cấn - 2016) Cho các số dương x , y , z thỏa mãn điều kiện xy yz zx xyz . Chứng minh
trị nhỏ nhất của biểu thức P 8 xyz
rằng x yz y xz z xy xyz x y z .
Bài 46. (THPT – Đức Thọ - Hà Tĩnh – Lần 1 - 2016) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn
b 2c a 2c
ab 1 ; c a b c 3 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P
6ln(a b 2c) .
1a 1b
Bài 47. (THPT – Bố Hạ - Lần 2 - 2016) Cho các số thực x , y , z thỏa mãn x 2, y 1, z 0 . Tìm giá trị lớn nhất
1
1
của biểu thức P
.
2
2
2
2 x y z 2(2x y 3) y(x 1)(z 1)
Bài 48. Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi và thoả mãn điều kiện
của biểu thức P
x
y
2z
.
2y z z 2x x y z
Bài 49. Cho x, y, z thuộc 1;2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P
4
1
z x y z . Tìm giá trị nhỏ nhất
2
2 x y
z 2 4 xy
3z 2
.
z 2 4 xy
Bài 50. Cho x, y, z là ba số thực dương thoả mãn điều kiện x 2 y2 6z2 4z x y . Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức P
x3
yx z
2
y3
x y z
2
x2 y2
.
z
Bài 51. (THPT – Việt Yên – Bắc Giang – Lần 1 - 2016) Cho a, b, c là các số thực dương thoả a b c 1 . Tìm
a2
b2
3
2
giá trị nhỏ nhất của biểu thức P
a b .
2
2
b c 5bc c a 5ca 4
Bài 52. (THPT – Đoàn Thượng – Hải Dương – Lần 1 - 2016) Cho x, y là hai số thực thỏa mãn điều kiện
(x y)3 4 xy 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biếu thức P 3(x 2 y 2 )2 2(x y)2 xy(3xy 4) 2015 .
x y z 0
Bài 53. (THPT – Khoái Châu - 2016) Cho ba số thực x , y , z thoả 2 2 2
. Tìm giá trị lớn nhất của
x y z 2
biểu thức P x 3 y 3 z 3 .
Bài 54. (THPT – Lý Thái Tổ - Chọn HSG - 2016) Cho x , y , z là ba số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
1
1
.
thức P
6 xy 8 xz 7z 9 x y z
Bài 55. Cho hai số thực x ,y thoả mãn x , y 1;2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P
x 2y
y 2x
1
2
.
x 3y 5 y 3x 5 4 x y 1
2
Bài 56. Cho các số thực x , y thoả mãn 4 x 2 2xy y 2 3 . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
P x 2 2xy y 2 .
Bài 57. (THPT – Yên Lạc 2 – Lần 1 - 2016) Cho a, b là các số thực không âm thoả 2 a2 b2 a b 6 . Tìm
a2 1 b2 1
ab
giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 6 2
.
2
(a b)2 5
a a b b
Bài 58. (THPT – Hiền Đa – Phú Thọ - Lần 2 - 2015) Cho các số dương a, b, c thay đổi thỏa mãn a b c 3 .
a2
b2
c2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P
.
2
2
2
b3 8 c 1
c 3 8 a 1
a3 8 b 1
Bài 59. (THPT – Lương Thế Vinh – Hà Nội – Lần 4 - 2015) Cho các số thực dương x , y , z thoả
y 3x(x 1)
16
y
.
10 3 3
2
3
xz
(y 1)
x 2
Bài 60. (THPT – Chuyên KHTN – Hà Nội – Lần 1 - 2016) Xét các số thực dương x , y , z thoả mãn
x 2 y 3 z 4 x 3 y 4 z 5 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P x 3 y 3 z 3 .
Bài 61. (THPT – Thuận Thành 2 – Bắc Ninh – 22 - 2015) Cho các số thực dương x , y thỏa mãn
x y 1
3x
3y
1
1 1
3 ln
9 xy 3x 3y. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M
2 2
3xy
y(x 1) x(y 1) x y x y
Bài 62. (THPT – Thuận Thành 2 – Bắc Ninh – 21 - 2015) Cho ba số thực không âm x , y , z . Tìm giá trị lớn nhất
4
4
5
của biểu thức P
.
x 2 y 2 z2 4 (x y) (x 2z)(y 2z) (y z) (y 2 x)(z 2 x)
4(x2 x 1) 16 x 2 yz 3x(y z)2 . Tìm GTNN của biểu thức P
Bài 63. (THPT – Việt Trì – Phú Thọ - Lần 1 -2016) Cho ba số thực dương a, b, c và thỏa mãn điều kiện
a3 b3 b3 c 3 c 3 a3
2
2
2
.
a b c 3 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S
a 2b b 2c c 2a
5
Bài 64. (THPT- Trần Phú – Hà Tĩnh – Lần 2 - 2015) Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của
1
4
1
biểu thức P
.
4a 2b 4 2bc 8 a 2b 3c 4 b 2c
Bài 65. Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
c3
3
3
P a b .
4
Bài 66. Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3 thì
3a2 3b2 3c2 4abc 13 .
Bài 67. Cho ba số thực x , y , z 0 , chứng minh rằng x 3 y 3 z 3 3xyz x2 y z y2 z x z2 x y .
1
1
1
27
.
1 ab 1 bc 1 ca 8
Bài 69. (THPT – Chuyên Lê Quý Đôn – Hải Phòng – lần 1 - 2015) Cho x, y là các số thực thuộc 0;1 thoả mãn
Bài 68. Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn a b c 1 . Chứng minh rằng
x
3
y3 x y
1 x 1 y . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P
1
1
4 xy x 2 y 2 .
1 x
1 y
Bài 70. (Sở - GD – Vĩnh Phúc – Lần 2 - 2015) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3
4
5
S
bc a a c b a bc
Trong đó a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác thỏa mãn 2c b abc .
Bài 71. (THPT – Hậu Lộc 2 – Thanh Hoá – Lần 1 -2016) Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất
a 3c
4b
8c
của biểu thức P
.
a 2b c a b 2c a b 3c
Bài 72. (THPT – Xuân Trường – Nam Định – Lần 1 - 2016) Cho x , y , z 0;2 thỏa mãn x y z 3 . Tìm giá
xy
2
2
1
1
1
2 2
2
xy yz zx
2
x y 2 y z 2 z x2 2
Bài 72. (THPT- Thuận Thành 1 – Bắc Ninh - 2016) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab 1 ;
b 2c a 2c
c a b c 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P
6ln(a b 2c) .
1a 1b
Bài 73. (THPT – Lý Thái Tổ - Bắc Ninh – Lần 2 -2016). Cho x, y, z là ba số dương thỏa mãn
2(x 3)2 y 2 z 2 16
2
2
(x y)(x z). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P
2x2 y 2 z 2
3x 2y z 1 3x 2z y 1
Bài 74. (THPT – Triệu Sơn – Thanh Hoá - 2016) Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn
1
4b2
8
a2b2 c2b2 1 3b . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P
2
2
2
a 1 1 2b c 3
trị nhỏ nhất của biểu thức P
2
Bài 75. (Sở - GD – Vĩnh Phúc – Lần 1 - 2016) Cho x , y
biểu thức P x 4 y 4
2
x y
2
2
2y x
thỏa mãn
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
2
y 2 x 3x
.
Bài 76. (THPT – Nguyễn Đình Chiểu – lần 1 - 2016) Cho x 0 và y 0 thỏa điều kiện x y 2 .Tìm giá trị
1
lớn nhất của biểu thức P xy
xy 1
6
Bài 77. (THPT – Thiệu Hoá – Thanh Hoá - 2016) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn a b c 3 . Tìm
giá trị lớn nhất của biểu thức P
2
abc
.
3
3 ab bc ca
1 a 1 b 1 c
Bài 78. (HSG – Phú Thọ - 2016) Cho các số x , y , z thỏa mãn 0 x y z . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P xy yz zx
2
2
2
x
xyz
2
y2 z2
2
.
6
Bài 79. (THPT – Phú Nhuận) Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn x y z 1 .Chứng minh rằng
x.2x y.2y z.2z 3 2
Bài 80. (THPT – Nguyễn Huệ) Cho các số thực không âm x , y , z thoả mãn x 2 y 2 z2 27 . Tìm giá trị lớn
3
nhất của biểu thức P 2(xy yz xz)
xyz
Bài 81. (THPT – Trung Phú - 2015) Cho ba số dương x,y,z thỏa x + y + z = 4 và xyz = 2.
Tìm GTNN của biểu thức P = x4 + y4 + z4.
Bài 82. (THPT – Củ Chi - 2015) Cho x,y,z>0 thỏa x 2 y 2 z2 2xy 3 x y z . Tìm GTNN của
120
120
.
xz
y 2
Bài 83. (THPT – Bùi Thị Xuân) Cho x, y là 2 dương thoả x y 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
x3 y2 y3 x2 3 3
P=
x2
y2
2x 2y
Bài 84. (THPT – Chuyên Trần Đại Nghĩa - 2015) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn
3
1
a2 b2 c2 5 a b c 2ab. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P a b c 48
.
a 10 3 b c
Bài 85. (THPT – Nguyễn Thượng Hiền - 2015) Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn điều kiện a3 +b3 = c3. Tìm
a2 b2 c2
giá trị nhỏ nhất của biểu thức P
c a c b
P 6 x 6y z 2
Bài 86. (THPT – Nguyễn Thị Minh Khai - 2015) Cho x,y là 2 số thực thỏa mãn x 4 +16y 4 + 2xy+1 =2 . Tìm
2
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau
P=x x2 +3 +2y 4y2 +3 .
Bài 87. Cho x, y là các số thực thỏa mãn x 2 y 2 1 3x 2 y 2 1 4 x 2 5y 2 . Tìm GTLN và GTNN
2
của biểu thức P
x 2 2y 2 3 x 2 y 2
x2 y2 1
.
Bài 88. (THPT – An Lão - 2015) Cho x,y,z là các số thực dương . Chứng minh rằng
x y
z
P = 3 4(x 3 y 3 ) 3 4(y 3 z 3 ) 3 4(z 3 x 3 ) 2( 2 2 2 ) 12.
y
z
x
Bài 89. (THPT – Phù Cát - 2015) Cho các số thực dương x , y , z thỏa x y z 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
xy yz zx
biểu thức P x 2 y 2 z 2 2
.
x y y 2 z z2 x
Bài 90. Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x y z 3 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P
x3
y3
z3
2
xy yz zx .
3
3
3
y 8 z 8 x 8 27
7
Bài 91. (THPT – Vân Canh - 2015) Cho các số thực không âm a,b,c thõa mãn a+b+c =1.Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức M 3(a2b2 b2c2 c2a2 ) 3(ab bc ca) 2 a2 b2 c2
Bài 92. (THPT – Trần Cao Vân - 2015) Cho ba số thực dương x , y , z . Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
4
9
P
.
2
2
2
x y z 4 x y x 2z y 2z
Bài 93. (THPT – Bình Dương - 2015) Cho a, b, c là các số thực thoả mãn a b c 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức M 4a 9b 16c 9a 16b 4c 16a 4b 9c .
Bài 94. (THPT – Nguyễn Bỉnh Khiêm - 2015) Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số
f (x) 5x 2 8 x 32 3x 2 24 x 3x 2 12x 16 .
Bài 95. (THPT – Lê Quý Đôn - 2015) Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn 2x 3y 7 . Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức P 2xy y 5(x 2 y 2 ) 24 3 8(x y) (x 2 y 2 3) .
Bài 96. (THPT – Lý Tự Trọng - 2015) Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1.
x 2 (y z) y 2 (z x) z 2 (x y)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P
.
yz
zx
xy
Bài 97. (THPT – Nguyễn Diêu -2015) Cho ba số thực x , y , z thoả mãn x 2 y 2 z2 2x 4y 1 . Tìm giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức T 2(x z) y.
Bài 98. (THPT – Quy Nhơn - 2015) Cho a, b, c là ba số thực dương. Chứng minh rằng
a2 1 b2 1 c2 1
1
1
1
.
2
2
2
4b
4c
4a
ab bc c a
Bài 99. (THPT – Trưng Vương - 2015) Giả sử x, y là các số thực lần lượt thỏa mãn các phương trình
x2 2ax 9 0 với a 3 ; y 2 2by 9 0 với b 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
1 1
M 3 x y .
x y
Bài 100. (THPT – Nguyễn Thái Học - 2015) Cho
x z
nhất của biểu thức P 3y .
z y
2
thỏa mãn x y z và x y z 3 . Tìm giá trị nhỏ
8
HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1. Đặt a 5 4 x , b 1 x thì a 4b2 9, với a, b 0 .
2
3
3sin cos
ab
2sin cos
2
Do đó đặt [0, ] với a=3sin ,2b=3cos . Khi đó P
a 2b 6 3sin 3cos 6 2sin 2cos 4
2
6 4sin x 8cos x
2sin x cos x
Xét hàm số f (x)
với x [0, ] . Ta có f / (x)
0, x [0, ]
2
2sin x 2cos x 4
2
(2sin x 2cos x 4)
2
Suy ra hàm số f(x) luôn luôn đồng biến trên [0, ]
2
1
1
Do đó min f (x) f (0) ;max f (x) f ( )
6 x[0, ]
2 3
x[0, ]
2
2
b2
4b2
a
a2
4a2
.
Tương
tự
(b c)2 5bc (b c)2 5 (b c)2 9(b c)2
(c a)2 5ca 9(c a)2
4
2
Bài 2. Ta có
2
a2
b2
4 a2
b2 2 a
b 2 a2 b2 c(a b)
Suy ra
(b c)2 5bc (c a)2 5ca 9 (b c)2 (c a)2 9 b c c a 9 ab c(a b) c 2
2
2
(a b)2
2
c(a b)
2
2 2(a b)2 4c(a b)
2
9 (a b)2
9 (a b)2 4c(a b) 4c 2
2
c
(
a
b
)
c
4
2
2 2(1 c)2 4c(1 c) 3
8
2 3
2
Vì a b c 1 a b 1 c nên P
(1 c)2 1
(1 c)
2
2
9 (1 c) 4c(1 c) 4c 4
9 c 1 4
2
2
8
2 3
16
2 2
3
2
Xét hàm số f (c) 1
(c 1) .
(1 c) , với c (0;1) . Ta có f '(c) 1
.
2
9 c 1 4
9
c 1 (c 1) 2
1
f ' (c) 0 (c 1) 64 27(c 1)3 0 c , vì c (0;1)
3
1
Lập BBT, căn cứ vào BBT, ta có f (c) với mọi c (0;1) .
9
1
1
Suy ra P , dấu đẳng thức xảy ra khi a b c
9
3
2
2
2
Bài 3. Đặt x a b 0 ab 3 x . Ta có a b 4ab a b 0 a b 4ab
x2 4(3 x) x 2 (do x > 0)
a3 b3 a2 b2
ab (a b)3 3ab(a b) (a b)2 2ab ab
x3
7
3 5
x2 x
4
x 2
(a 1)(b 1)
ab
a b ab 1
ab 4
3
x
7
3 5
3
7 3
3
Xét f (x) x 2 x , x 2 Ta có f '(x) x 2 2t 2 0, x 2 f (x) f (2) .
4
4
x 2
4
4 x
2
3
3
Do đó, P và P a b 1.
2
2
Bài 4. Ta có
(
) (
)
(
)
(
)
Khi đó, P
(
9
)
(
Cộng theo vế các BDDT trên, ta được
Bài 5. Ta có (
(
)
(
)
(
)(
)
(
(
)
(
)(
)
)
(
)
(
)
√
)
)
( )
)
)
)
)
(
(
)(
(
(
(
)
(
(
)
(
)
(
)
)
(
)
(
)(
)(
)
) (
(
(
)
(
(
(
)(
(
)
)(
)
(
(
)
)
)
)
)
( )
Lập BBT, suy ra
( )
( )
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
(1 z) (1 y) 8 (1 x) (1 y) (1 z) 8 (1 x)2
1
1
1
Ta sẽ chứng minh
2
2
(1 y) (1 z) 1 yz
1
1
1
Thật vậy
(1 yz)[(1 z)2 (1 y)2 ] [(1 z)(1 y)]2 .
2
2
(1 y) (1 z) 1 yz
Bài 6. Ta có P
(1 yz)(2 2z 2y z2 y 2 ) (1 zy z y)2
2(z y)(1 zy) 2(1 yz) (1 zy)(y z)2 2zy(1 yz)
(1 zy)2 2(z y)(1 zy) (z y)2
(1 zy)(y z)2 2 4yz 2y2 z2 (1 yz)2 (y z)2 4yz 0 yz(y z)2 (1 yz)2 0
Dấu “ ” xảy ra khi y z 1 .
2
2
2
yz
y z (1 x) (1 x)
Ta lại có
yz yz
2
4
4
2
1
1
1
1
4
4
1
Do đó
P
2
2
2
2
2
(1 x)
(1 y) (1 z) 1 yz
4 (1 x)
4 (1 x) 8 (x 1)2
1
4
4
1
Do 1 2 2 x 1 2 2 nên (x 1)2 [0;8) .Đặt t (1 x)2 t [0;8) và P
4 t 8 t
2
4
1
3t 72t 240
4
1
Xét f (t )
với t [0;8) . f '(t)
2
2
(4 t) (8 t)
(4 t)2 (8 t)2
4 t 8 t
f '(t) 0 3t 2 72t 240 0 t 4;t 20 (loại)
(1 x)2 4
x 3
3
3
Do đó P f (t ) và P khi y z 1
4
4
x y z 1 y z 1
Bài 7. P x 2y 6 xy x 2y 3 x 2y
3
10
1 x2 2y
2
Theo đề bài
x 2y
2
x 2y
1
2
4
1 2xy 2 x 2 2y 2 1 2xy x 2y 2 1 2xy
4
3
x 2y
2
1
( vì từ (1) 2 x 4 16y 4 2 16 x 4 y 4 xy 1 2xy 0 )
2
2
2
Đặt t x 2y 2xy t 2 -1 t
P f t t3 3 t2 1 t 3 t 2 t3 6 t : t
3
3
1
MaxP Maxf (t ) f 1 4(t 1 khi x , y 0, hay x , y 1,0 )
2
1
MinP Minf (t ) f 1 4(t 1 khi x , y 0, hay x , y 1,0 )
2
Bài 8. Gt ta có x yz yz z y 1 z 1 y 1 x y y 1
Ttự y zx x y x 1 ; z xy x 1 y 1
z2 2
x2 y2 x y
z2 2
Nên P
=
x y y 1 x y x 1 x 1 y 1 x y x 1 y 1 x 1 y 1
x
y
x y
2
Ta có x y
2
2
2
; x 1 y 1
2 x y 4 x y
2
Nên P
x y 2 x y
2
x y 2
2
4
4 z 2
2
x y 2
2
=
2 x y 4
x y 2
2
4 z2 2
x y 2
2
4 z2 2
z 3
2
13
13
hay min P
khi
f z ; z 1 , lập BBT ta được f z
2
z 1 z 1
4
4
x y 1
Bài 9.
a b 2c 1 a b 2c 1
6ln(a b 2c)
1a
1b
1
1
a b 2c 1
6ln(a b 2c)
1a 1 b
Ta chứng minh được các BĐT quen thuộc sau
1
1
2
ab 1
(1) ) ab
)
(2)
2
1 a 1 b 1 ab
Thật vậy,
1
1
2
)
2 a b 1 ab 2 1 a 1 b
1 a 1 b 1 ab
P 2
a b
2
ab 1 0 luôn đúng vì ab 1 . Dấu “ ” khi a b hoặc ab=1
2
ab 1
ab 1 0 . Dấu “ ” khi ab 1.
2
4
4
16
1
1
2
2
4
Do đó,
2
1 a 1 b 1 ab 1 ab 1 3 ab ab bc ca c
a c b c a b 2c 2
2
Đặt t a b 2c, t 0 ta có
) ab
11
16 t 1
6 16 t 2 6t 2 16t 32 t 4 6t 8
P 2 f (t)
6lnt ,t 0; f '(t)
t2
t
t3
t3
t3
Vậy, GTNN của P là 3+6ln4 khi a=b=c=1.
Bài 10. Ta thấy a2 b2 c2 2a 4b 2c 6 a 1 b 2 c 1 0 ,
2
2
2
Theo giả thiết thì a2 b2 c2 3b . Suy ra 3b 2a 4b 2c 6 0 hay 2a b 2c 10 16 .
1 1
8
Với hai số x , y 0 thì 2 2
. Áp dụng nhận xét trên ta có
2
x y
x y
1
a 1
4
b 2
8
;
1
1
8
b
b
b
c 3
a 2
a 2
a c 5
2
2
2
2
8
8
8
16
P
8.
.
2
2
2
2
b
b
c 3
2a b 2c 10
a 2
a c 5
2
2
Theo giả thiết và chứng minh trên thì 0 2a b 2c 10 16 , P 1 .
Khi a 1, b 2, c 1 thì P 1 . Vậy Pmin 1 .
2
2
2
2
2
2
.
Bài 11. + Ta có x2 y xy 2 x y 3xy xy(x y) x y 3xy (1)
Do x >0 ; y > 0 nên x + y > 0
1 1
4
2
(1) x y 3
3 x y 3(x y) 4 0 x y 1 (x y) 4 0 x y 4
x y
xy
1
3
3
1
1
3
(1) 1
= (x + y)2 +1 +
.
1
. Nên P = (x + y)2 + 2 xy x y
x y xy
xy
xy
3 2t 3 3
3
0 t>4 Nên f (t ) đồng biến trên
Đặt x + y = t ( t 4) P t 2 1 f (t ) +Ta có f '(t ) = 2t - 2
t
t2
t
71
71
nửa khoảng 4; => P f (t ) f (4) . Hay giá trị nhỏ nhất của P bằng
khi x= y = 2
4
4
1
c
b x y 1
1
.
Bài 12. Không mất tính tổng quát, giả sử c b a 1. Đặt x ; y 2
a
a
2
c ax ; b ay
1 1
(1 y) y 1 y 2 3 y 1
(1 y)(y x)(1 x)
2 2
2
2.
Khi đó P
1
xy
y
y
2
3
1
y 2 y
2
2 , 1 y 1. Lập bảng biến thiên (hoặc sử dụng bất đẳng thức Cô si), chứng
Xét hàm số f (y)
y
2
2
2
minh được f (t ) 1
.
2
Bài 13. Từ điều kiện 5x2 + 5(y2 + z2) = 9x(y + z) + 18yz 5x2 - 9x(y + z) = 18yz - 5(y2 + z2)
1
1
2
2
Áp dụng BĐT Côsi ta có yz y z ; y 2 z 2 y z 18yz - 5(y2 + z2) 2(y + z)2.
4
2
2
2
Do đó 5x - 9x(y + z) 2(y + z) [x - 2(y + z)](5x + y + z) 0 x 2(y + z)
12
P
x
1
2x
1
4
1
3
2
3
2
y z x y z y z x y z y z 27 y z 3
2
1 3
Đặt y + z = t > 0, ta có P 4t t . Xét hàm P 16. Vậy MaxP = 16 khi
27
a b
2
c 4 a b c 4ab
a b
=
2
c 4 ab bc ca
2
Bài 14. P =
1
y z 12
x 1
3
2
2
a b
P 2
2
c 4 a b c a b
2
Ta có 4ab (a + b) nên
2
a b
c c
=
2
a b a b
1 4
c c c c
a b
vì a, b , c thuộc [1;2] nên t thuộc [1;4].
c c
4t 2 2t
t2
Ta có f(t) =
,
f’(t)
> 0 với mọi t thuộc [1;4]
2
4 4t t 2
1 4t t 2
Đặt t =
Hàm số f(t) đồng biến trên *1;4+ nên f(t) đạt GTNN bằng
Dấu bằng xảy ra khi a = b ;
Vậy MinP =
1
khi t = 1
6
ab
= 1, a,b,c thuộc [1;2] a =b = 1 và c =2
c
1
khi a =b = 1 và c = 2.
6
Ta có (
Bài 15. Đặt
Vì
nên (
Từ giả thiết
)(
ta có
(
)
)
)
(
(
)
(
(
)
)
)
( (
)
(
))
( )
Suy ra P đồng biến trên [3 ;4] và
( ).
2
2(x 6 xy)
Bài 16. Vì x 2 y 2 1 nên P = 2
.
x 2 xy 3y 2
y
2(1 6t )
Nếu x = 0 thì P = 0. Với x 0, đặt t suy ra P
x
1 2t 3t 2
2
t 3
2(18t 2 6t 4)
2(1 6t )
Xét hàm f (t )
, t R thì f '(t )
, f '(t ) 0
(3t 2 2t 1)2
1 2t 3t 2
t 1
3
Lập BBT, suy ra MaxP = 3, MinP = – 6
1
ab
1
2 ab
1
2
Bài 17. S =
2 2 2
2 2
2
2
2
(a b)(a ab b ) a b
a ab b
ab
1 3ab ab ab
13
[
]
Suy ra S
1
2
1
(1). (1) xảy ra các đẳng thức khi và chỉ khi a = b = .
2
1 3ab ab ab
2
1
2
ab 1
Đặt t = ab, thì 0 < ab
và S
1 3t t t
2 4
1
2
1
3
3
1
Xét f(t) =
,t (0, ] . Thì f’(t)
5/2 < 0 , t (0, ]
2
4
1 3t t t
4
(1 3t ) t
1
2
1
1
suy ra f(t) nghịch biến trên (0, +. Do đó f(t) f( ) = 20, tức
20 .
4
4
1 3ab ab ab
1
Suy ra S 20, dấu đt xảy ra khi a = b = . Vậy minS = 20.
2
1
1
1
Bài 18. GT xy + 2 2x 2 y 2 . Đặt xy t > 0 được t + 2 2t 2 2t 3 t 2 (2t 1) 0 t 1
t
2
xy
1 1
1
1
1
2
1
0
2
2
2
2
xy
1 x 1 y 1 xy
1 x 1 xy 1 y
2
(x y) (xy 1)
0 đúng
(1 xy)(1 x 2 )(1 y 2 )
4
3
4
3
4
3
5t 1
1
Khi đó P
. Đặt f (t )
= 2
, với t [ ,1]
1 t 1 2t 2t 3t 1
2
1 xy 1 2xy 1 t 1 2t
Với x, y> 0 và xy 1 ta có
10t 2 4t 2 10t 2 2(2t 1)
1
1
0 , t [ ,1] suy ra f(t) nghịch biến trên [ , 1]
Thì f '(t ) 2
=
2
2
2
(2t 3t 1)
(2t 3t 1)
2
2
1
1 7
7
.
f (t ) f ( ) . Suy ra P . Dấu đẳng thức xảy ra khi x = y =
2 6
6
2
Bài 19. Không mất tính tổng quát, giả sử z là số nhỏ nhất. Lúc đó 0 < z < 1 (vì nếu z 1 thì x + y + z > 2)
Ta có F = (x y)2 z2 2xy(z 1) (2 z)2 z2 2xy(1 z)
2
2
2
x y 2z
2z
Mặt khác xy
nên 2xy(1 z) 2
(1 z)
2 2
2
1
1
Từ đó F (z 3 z 2 4) (1). Xét f(z) = (z 3 z 2 4) với 0 < z < 1.
2
2
1 2
2
52
Ta có f '(z) (3z 2z) 0 z (0,1) . Lập BBT suy ra f(z)
(2)
2
3
27
52
2
52
Từ (1) và (2) ta có F . Vậy MaxF =
đạt được khi x = y = z =
27
3
27
1
1
1
Bài 20. Áp dụng BĐT Côsi ta có a2 b2 c2 1 (a b)2 (c 1)2 (a b c 1)2
2
2
4
3
abc3
và (a 1)(b 1)(c 1)
3
2
54
suy ra P
. Đặt t = a + b + c + 1, t > 1
a b c 1 (a b c 3)3
2
54
2
54
thì P
. . Xét hàm f(t) =
với t > 1 thì
3
t (t 2)
t (t 2)3
t 1
2
54.3
2
0
9
t
(
t
2)
f’(t) 2
t 4 . Suy ra BBT
t (t 2)4
14
1
. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t = 4 a = b = c = 1
4
Bài 21. Áp dụng BĐT Cô-Si ta có
a 4b
b 4c
13a 12 ab 16 bc 13a 6 a.4b 8 b.4c 13a 6.
8
16(a b c)
2
2
3
3
Dấu đẳng thức xảy ra a 4b 16c . Suy ra P
2(a b c)
abc
3 3
Đặt t a b c , t > 0. Khi đó P
2t
t
3 3
3
3
Xét hàm f (t )
trên khoảng (0, + ), ta có f '(t )
2
2t
t
2t t 2t
3
3
f '(t) 0
2 0 t 1
2t t 2t
a b c 1
16
4
1
3
a ;b ;c
Vậy ta có P , dấu đẳng thức xảy ra
21
21
21
2
a 4b 16c
Bài 22. Ta có 2x(y z) x2 (y z)2 2 2yz yz 1 x(y z)
Dựa vào BBT suy ra P
x2
x2
x
2
2
x yz x 1 x x x(y z) x y z 1
x
yz
1 yz
1
1 yz
Do đó P
1
x y z 1 x y z 1
9
9
x y x 1
và
Theo BĐT BCS ta có x (y z) 2(x 2 (y z)2 ) 2 1 yz . Do đó
1
1 yz
1
1 yz
1
u2
, với u = 1 yz 1
x y z 1
9
9
1 2u 9
1 2 1 yz
1
u2
4 5
4
. Dùng đạo hàm chứng minh f(u) , với u 1. Vậy P 1 .
1 2u 9
9 9
9
Bài 23. Nhìn biểu thức của P ta thấy có sự xuất hiện của cả ba biến số a, b, c mà ta không thể quy trực tiếp
về một biến số ngay nếu chỉ sử dụng giả thiết. Nhưng ta lại thấy P là biểu thức có đối xứng với a, b , do đó ta
dự đoán giá trị nhỏ nhất đạt được khi hai biến a, b bằng nhau. Ta chứng minh và sử dụng bất đẳng thức
Đặt f(u) =
3
a3 b3 a b
, đẳng thức xảy ra khi hai biến số a
2
2
3
và b
bằng nhau. Khi đó ta có
3
3
2
a b 1 3 1 c 1 3 c 3c 3c 1
P
f c . Bây giờ thì việc giải quyết bài toán khá là dễ
c
c
8
2 4
2 4
dàng bằng cách khảo sát hàm số g c 8. f c trên khoảng 0;1 .
Ta có g ' c 3c2 6c 3 , g ' c 0 c1 1 2, c2 1 2 . Lập bảng biến thiên của hàm số g c trên
khoảng 0;1 ta có
1
32 2 .
4
1
1
Vậy Pmin 3 2 2 khi và chỉ khi c 2 1, a b 2 2 .
4
2
1
1
2
Bài 24. Trước hết ta chứng minh với mọi a, b dương, ab 1 thì
1 a 1 b 1 ab
g c g c2 g 1 2 6 4 2 , suy ra P f c
15
(*)
Thật vậy, ta có (*) ( ab 1)( a b)2 0 luôn đúng do a, b dương và ab 1 .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b hoặc ab = 1.
x
1
1
1
1
Áp dụng (*) với x, y thuộc đoạn [1; 4] và x y , x z ta có P
.
x
x
3
y
2 x 3y 1
x
1
2
1
y
z
x
y
z x
x
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hoặc 1 (1)
y z
y
Đặt
t2
2
x
.
t ,t 1;2 , khi đó P 2
2t 3 1 t
y
2 t 3 4 3 3t 2t 1 9
t2
2
Xét hàm f (t ) 2
,t 1;2 ta có f '(t )
0.
2
2
2
2t 3 1 t
2
t
3
1
t
Suy ra, f (t ) f (2)
34
.
33
x
4 x 4; y 1 (2)
y
Bài 25. Ta có (x 4)2 (y 4)2 2xy 32 (x y)2 8(x y) 0 0 x y 8
3
4 xy (x y)2 6 xy (x y)2
2
3
A = x 3 y 3 3(xy 1)(x y 2) = (x y)3 6xy 3(x y) 6 (x y)3 (x y)2 3(x y) 6
2
3
Đặt t = x + y ( 0 t 8 ), xét f(t) = t 3 t 2 3t 6 f’(t) 3t 2 3t 3
2
1 5
1 5
17 5 5
f’(t) 0 khi t
; f(0) = 6, f(8) = 398, f(
)=
2
2
4
17 5 5
1 5
Vậy giá trị nhỏ nhất của f(t) là
xảy ra khi t =
2
4
17 5 5
1 5
1 5
A f(t)
. Dấu bằng xảy ra khi x = y và x + y =
hay x = y =
2
4
4
2
2
Bài 26. Theo giả thiết ta có 2 a b ab a b ab 2 . Từ đây suy ra
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi t 2
2
2
a b
1 1
a b
2 1 ab 2 hay 2 1 a b
b
a
b a
a b
b a
a
2
2
b
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có a b 2 2
b
a
a
b
a b
5
Đặt t = , ta suy ra 2t + 1 2 2 t 2 4t2 – 4t – 15 0 t
b a
2
3
3
2
2
a b a b
Mặt khác P = 4 3 3 9 2 2 = 4(t3 – 3t) – 9(t2 – 2) = 4t3 – 9t2 – 12t + 18 = f(t)
b a b a
1
5
23
hay t = 2 Min f(t) =
khi t =
2
2
4
) Theo BĐT Cauchy, ta có
f’(t) 12t2 – 18t – 12, f’(t) 0 t =
Bài 27. Từ điều kiện ta có
(
(
16
)
(
)
(
( )
Lập BBT, suy ra ( )
( )
)
(
(
( )
)(
) (
(
)
)
)
dấu bằng xảy ra khi
√
Bài 28. Ta có 1 (a b c)2 a2 b2 c2 2(ab bc ca) ab bc ca
1 (a2 b2 c2 )
.
2
7
121
2
2
2
a b c 7(1 (a b2 c2 ))
Đặt t a2 b2 c2 . Vì a, b, c 0 và a b c 1 nên 0 a 1,0 b 1,0 c 1
Suy ra t a2 b2 c2 a b c 1 . Mặt khác 1 (a b c)2 a2 b2 c2 2(ab bc ca) 3(a2 b2 c2 )
1
1
Suy ra t a2 b2 c2 . Vậy t ;1 .
3
3
7
121
7
7
121
1
Xét hàm số f (t )
0t
, t ;1 ; f '(t) 2
2
t 7(1 t )
18
t 7(1 t )
3
324
324
1
Suy ra f (t )
với mọi a, b, c thỏa điều kiện đề bài. Hơn nữa, với
, t ;1 . Vậy A
7
7
3
2 2 2 7
1
1
1
324
a b c
.
a ; b ; c thì
18 và A
2
3
6
7
a b c 1
Do đó A
2
Bài 29. Vì a,b,c> 0 nên luôn tồn tại ít nhất 2 trong 3 số đồng thời không lớn hơn 1 hoặc không nhỏ hơn 1 giả
sử b,c≤1 hoặc b,c≥1
(b2 1)(c2 1) 0 (b2 2 3)(c2 2 3) 0 (b2 2)(c2 2) 3(b2 c2 1)(1)
mặt khác (a b c)2 (a2 12 12 )(12 b2 c2 )(2) . từ (1) và (2) (a2 2)(b2 2)(c2 2) 3(a b c)2
1296
216
216
216
216
3 (a b c)2
3.3 3 (a b c)2 .
.
324
abc
abc abc
abc abc
Khi a b c 1 thì P=324 nên giá trị nhỏ nhất của P là 324.
P 3(a b c)2
Bài 30. Theo giả thiết ta có 5(x2 y2 z2 ) 9(xy 2yz zx) 5(x y z)2 9(xy 2yz zx) 10(xy yz zx)
x
x
19 x
1
7
2 x 2(y z)
5(x y z)2 19x(y z) 28yz 19x(y z) 7(y z)2 5
yz
yz
yz
1
Mặt khác ta có (y z)2 2(y 2 z 2 ) y 2 z 2 (y z)2
2
4
1
(6t 1)2 (2t 1)
2(y z)
1
4
1
16 16 .
Vì vậy P
3
3
3
3
1
t
27
t
27
t
y
z
27(
y
z
)
2
2(
y
z
)
y
z
(y z)
2
x 2(y z)
1
1
Vậy minP 16 ; dấu bằng đạt tại
1 x ; y z
3
12
y z; y z
6
Bài 31. P x 2 y 2 2x 1 x 2 y 2 2x 1 y 2
Xét các điểm M(x−1; −y) , N(x+1; y). Ta có OM + ON ≥ MN
(x 1)2 y 2 (x 1)2 y 2 4 4y 2 P 2 1 y 2 y 2 f (y)
17
TH1 y ≤ 2 f (y) 2 1 y 2 2 y f '(y)
Lập bảng biến thiên f(y) min f (y) f
x( .2]
y 0
3
y
1 ; f '(y) 0 2y 1 y 2 2
3
1 y2
3y 1
3
2 3
3
2y
TH2 y ≥ 2 f (y) 2 1 y 2 y 2 ≥ 2 5 2 3
3
3
2
2
2
Bài 32. Đặt t x y xy 3 t; x y x y 2 xy t2 2 3 t t2 2t 6
Vậy P 2 3 x; y . Do đó MinP 2 3 khi x = 0 ; y =
2
1 2
xy
Ta có xy
3t t t 2
4
2
3 x 2 y 2 3 x y
xy
12 5
Suy ra P
x 2 y 2 t 2 t f (t ).
xy x y 1
xy
t 2
2
3
Ta có f ' t 2t 1 2 0, t 2 . Suy ra hàm số f t nghịch biến với t 2 P f t f 2
t
2
1
1
2
Bài 33. Ta có
, ab 1 .
1 a 1 b 1 ab
Thật vậy Quy đồng, chuyển vế, bđt trên tương đương với
a b
2
ab 1 0 (Đúng).
1
1
4
2
2
4
. Suy ra
.
1 a 1 b ab 3
1 ab 1 ab.1 1 ab 1 ab 3
2
2
2
Ta có a(1 a) b(1 b) a b 2 a b 2 2ab 2 2 ab 2 2 ab 2 .
Lại có
2
Suy ra 2a(1 a) 2b(1 b) 8 4 ab 12 .
1
1
32
32
2a(1 a) 2b(1 b) 8
2a(1 a) 2b(1 b) 8 2 ab 3
4 ab 12
4
16
4
16
. Đặt t ab 1 T 2
T
f (t).
ab 3
t 3
t 3
ab 3
f '(t )
16
ab 3
8t
8
(t 2 3)2 t(t 3) t 3
.
8.
(t 2 3)2 (t 3) t 3
(t 2 3)2 (t 3) t 3
Xét M (t 2 3)2 t(t 3) t 3 (t 3) t 2 3 t t 3 0
t 2 3 t t 3 t 4 6t 2 9 t 3 3t 2 (t 4 t 3 ) 3t 2 9 0 (Đúng t 1 ).
Suy ra f '(t) 0 t 1 f (t ) đồng biến t 1 .
Từ đó MinT f (1) 7 t 1 a b 1.
t 1
Bài 34. Ta có 7a 4b 4 ab 7a 4b 2 a.4b 7a 4b a 4b 8 a b (theo bđt Côsi).
1
1
1
1
)
a b t 2 t f t (đặt t
ab
t
ab
ab
1
f ' t 2t 1 2 0 2t 3 t 2 1 0 t 1 .
t
Suy ra P
18
.
a b 1
4
1
a ; b
Lập bảng biến thiên của f t với t>0 ta có minP=f(1)=1
5
5
a 4b
2
2x 2 3y 3
Bài 35. Ta có 6(x 1)(y 1) (2x 2)(3y 3)
36 x y xy 5 .
2
Ta có 5(x 2 y 2 ) 2x y 5(x 2 y 2 ) 2x y và
2
(x y 3)2 x2 y2 9 2xy 6x 6y 0 2(x y xy 3) 8(x y) (x 2 y 2 3)
Suy ra P 2(xy x y) 24 3 2(x y xy 3)
Đặt t x y xy , t 0;5 , P f (t) 2t 24 3 2t 6 .
Ta có f / (t ) 2
24.2
3 3 (2t 6)2
2
3
(2t 6)2 8
3
(2t 6)2
0, t 0;5 .
Vậy hàm số f(t) nghịch biến trên nữa khoảng 0;5 .
x 2
Suy ra min f (t) f (5) 10 48 3 2 . Vậy minP 10 48 3 2, khi
y 1
1
1
1
Bài 36. ( 1)( 1)( 1) 1 ab bc ca a b c 1 2abc
a
b
c
P= (a b c)2 2(ab bc ca) (a b c)2 2(a b c 1) 4abc . Theo Cô si abc (
abc 3
)
3
4 3
t v ới t a b c (0
Khảo sát hàm số tr ên tìm ra minP =3/4 khi t=3/2 hay a=b=c=1/2
x2 x2 y2 y2 z2 z2
Bài 37. Ta có P
(*). Nhận thấy x2 + y2 – xy xy x, y R.
y
z
z
x x y
P t 2 2t 2
Do đó x3 + y3 xy(x + y) x, y > 0
hay
x2 y2
x y , x, y > 0
y
x
y2 z2
z2 x2
y z y, z > 0 ;
z x x, z > 0
x
z
z y
Cộng từng vế ba bất đẳng thức vừa nhận được ở trên, kết hợp với (*), ta được
P 2(x + y + z) = 2 x, y, z > 0 và x + y + z = 1.
1
Hơn nữa, ta lại có P = 2 khi x = y = z = . Vì vậy, minP = 2.
3
3
Bài 38. Ta có ab bc ca 3 ab.bc.ca 27a2b2c2 (ab bc ca)3 .
Lại có a2 b2 c2 ab bc ca 3(a2 b2 c2 ) 3(ab bc ca) .
Do đó P (ab bc ca)3 3(ab bc ca) t 3 3t f (t)
Tương tự, ta có
(a b c)2
1
1 . Từ đó ta có GTLN của P bằng 2 khi a b c
với 0 t ab bc ca
.
3
3
Bài 43. Trong mặt phẳng tọa độ xét A(4; 0), B(1; 7), M(x; y) (C) x 2 y 2 4
Ta có 2P = x 2 y 2 8 x 16 2 x2 y2 2x 14y 50 = MA + 2MB
Gọi I(1 ; 0) thì I nằm trong (C). Khi đó mọi điểm M thuộc (C) ta luôn có MA = 2MI.
Thật vậy MA = 2MI MA2 4MI2 MO2 OA2 2MO.OA 4(MO2 OI 2 2MO.OI)
4 16 2MO.OA 4(5 2MO.OI) 2MO(OA 4OI) 0 (đúng)
19
Suy ra 2P = 2MI + 2MB 2IB = 14. dấu đẳng thức xảy ra M là giao điểm của (C) và đoạn IB. Tìm được
M(1, 3 ) . Vậy minP = 7 (x;y) = (1; 3 )
Bài 44. Ta có
1
1 1
1
3 3 2 2 2 , đặt t =
xy yz zx
x y z
3
xyz 0 . Mà
3
x2 y 2 z 2
x2 + y 2 + z 2 1
1
0t
3
4
2
1
3
3
6
. Xét hàm số f (t) 8t 3 2 . Ta có t 0 , f'(t) = 24t 2 3 , f''(t ) = 0 t 5 .
2
4
t
t
t
1
1
Suy ra P ≥ 13. Dấu bằng xảy ra khi t = hay x = y = z = Kl MinP = 13.
2
2
1
1
1
Bài 45. Đặt a , b , c a, b, c 0 và a b c 1 . Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương
x
y
z
P 8t 3
a bc b ac c ab ab bc ac 1
Thật vậy,
a bc a a b c bc a2 a b c bc a2 2a bc bc
a
a bc
bc
2
a bc . Tương tự,
b ac b ac ,
c ab c ab
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được
a bc b ac c ab ab bc ac a b c
a bc b ac c ab ab bc ac 1 đpcm
1
Dấu đẳng thức xảy ra a b c x y z 3
3
a b 2c 1 a b 2c 1
1
1
Bài 46. P 2
6ln(a b 2c) a b 2c 1
6ln(a b 2c)
1a
1b
1a 1 b
Ta chứng minh được các BĐT quen thuộc sau
1
1
2
ab 1
(1)
)
) ab
(2)
2
1 a 1 b 1 ab
1
1
2
Thật vậy, )
2 a b 1 ab 2 1 a 1 b
1 a 1 b 1 ab
a b
2
ab 1 0 luôn đúng vì ab 1 . Dấu “ ” khi a b hoặc ab=1
2
ab 1
ab 1 0 . Dấu “ ” khi ab 1.
2
1
1
2
2
4
Do đó,
1 a 1 b 1 ab 1 ab 1 3 ab
2
4
4
16
. Đặt t a b 2c, t 0 ta có
2
ab bc ca c
a c b c a b 2c 2
) ab
16 t 1
6 16 t 2 6t 2 16t 32 t 4 6t 8
6ln
t
,
t
0;
f
'(
t
)
t2
t
t3
t3
t3
Vậy, GTNN của P là 3+6ln4 khi a=b=c=1.
1
1
Bài 47. Đặt a x 2, b y 1, c z a, b, c 0 P
2 a2 b2 c2 1 (a 1)(b 1)(c 1)
P 2 f (t)
Ta có a2 b2 c2 1
(a b)2 (c 1)2 1
(a b c 1)2 . Dấu “ ” xảy ra khi a b c 1
2
2
4
20
(a b c 3)3
Mặt khác (a 1)(b 1)(c 1)
.
27
1
27
Khi đó P
. Dấu “ ” xảy ra khi a b c 1
a b c 1 (a b c 3)3
1
27
Đặt t a b c 1 1 . Khi đó P
,t 1
t (t 2)3
1
27
1
81
81t 2 (t 2)4
f (t )
,
t
1;
f
'(
t
)
t (t 2)3
t 2 (t 2)4
t2 (t 2)4
Xét f '(t) 0 81t 2 (t 2)4 0 t 2 5t 4 0 t 4 (do t>1)
a b c 1
1
a b c 1 x 3; y 2; z 1
Vậy ma xP f(4)
8
a b c 1 4
Bài 52. Với mọi số thực x, y ta luôn có (x y)2 4 xy , nên từ điều kiện suy ra
(x y)3 (x y)2 (x y)3 4 xy 2 (x y)3 (x y)2 2 0 x y 1
3
3
Ta có P (x 2 y 2 )2 (x 2 y 2 )2 2(x 2 y 2 2xy) xy(3xy 4) 2015
2
2
3
3
(x 2 y 2 )2 (x 4 y 4 ) 2(x 2 y 2 ) 2015 (3)
2
2
2
(x y 2 )2
9
4
4
Do x y
nên từ (3) suy ra P (x 2 y 2 )2 2(x 2 y 2 ) 2015 .
2
4
1
Đặt x 2 y 2 t thì t
(do x y 1) .
2
9
1
9
1
Xét hàm số f (t ) t 2 2t 2015 với t , có f '(t ) t 2 0 , với t nên hàm số f(t) đồng biến trên
4
2
2
2
1
1 32233
.
f (t ) f
2 ; . Suy ra min
1
16
2
t ;
2
Bài 53. Ta có √
√
√
(
√
√
√
)
suy ra
(
)
√
)
(
( )
( )
( )
Lập BBT, suy ra ( )
) (
) Từ giả thiết ta có (
Bài 57. Ta có (
Bằng biến đổi tương đương, ta cm được
(
)
(
(
( )
)
√(
)
( )
)
√(
(
)
)
]
(
( )
]
( )
a b c
2
2
2
c 3 8 a 1 b 1 c 1
2
Bài 58. Ta có P
Ta có
a3 8
a3 8 b3 8
a 2 a2 2a 4
1 2
a a 6 ; b3 8
2
21
b 2 b2 2b 4
1 2
b b 6
2
c3 8
c 2 c2 2c 4
1 2
c c 6
2
6 a b c
a b c
P 2 2 2
2
a b c 3 a b c
a b c 9 a b c 36
6
2
2
2
2
Đặt t a b c với t 0;3 . Ta có f t
54 t 2 8t
t 0
6t 2
f
'
t
f ' t 0
2
2
t 9t 36
t 8
t 2 9t 36
Vậy P 1 hay Min P 1 dấu bằng xảy ra khi a b c 1
Bài 59. Từ giả thiết ta có
(
)
(
√
)
√
(
)
(
√
)
√
√
(
( )
)
(
√ √
)
(
(
)
(
√
( )
( )
)
(
)(
(
( )
)
)
√ √
√ √
√
)
( )
Lập BBT, suy ra
) (
)
(
)
Bài 60. Ta tìm m sao cho (
) (
) (
)
(
)
Đặt (
)
(
)
(
)
Giải hệ (
)
(
) (
) (
) (
) (
) (
Lúc đó (
) (
) (
)
luôn đúng, suy ra đpcm.
Bài 61. Từ giả thiết ta suy ra ln(x y 1) 3(x y 1) ln(3xy) 3.3xy . Xét hs g(t) lnt 3t trên (0; ) , ta
1
có g '(t ) 3 0 với t 0 , suy ra g(t ) đbiến trên (0; ) , từ đó g(x y 1) g(3xy) x y 1 3xy , suy
t
ra 3xy 1 x y 2 xy . Đặt t xy 3t 2 t 1 0 t 1.
3x
3y
3x 2 (y 1) 3y 2 (x 1) 36t 2 27t 3
. (2)
y(x 1) x(y 1)
xy(xy x y 1)
4t 2
1 1
x2 y2
(3t 1)2 2t 36t 2 32t 4
(3)
x2 y2
x2y2
t2
4t 2
1
1
1
5t 1 1
5t 1
(4). Từ (2), (3), (4) ta có M
Theo Cô si
trên [1;+) .
. Xét hàm số f (t )
2
x y 2 xy 2
4t
2
4t 2
5.4t 2 (5t 1)8t 2 5t
0t 1 , suy ra f (t ) nghịch biến trên [1;+) , bởi vậy
16t 4
4t 3
3
Mmax max f (t) f (1) t 1 x y 1.
[1;)
2
Bài 62 Với mọi số thực không âm x, y, z. Ta có
x y 4z
x y 4z
(x 2z )(y 2z )
(x y ) (x 2z )(y 2z ) (x y)
2
2
Ta có f '(t)
22
x y 4z x 2 y 2 2xy 4yz 4zx
2(x 2 y 2 z 2 )(1)
2
2
2
2
2
2
2
ì 2xy x y ; 4yz 2(y z ); 4zx 2(z x 2 )
Mặt khác ta có (x y )
y z 4x
2(x 2 y 2 z 2 ) (2)
2
4
4
5
2
2
2
2
2
2
x 2 y 2 z 2 4 2(x y z ) 2(x y z )
Tương tự ta có (y z ) (y 2x )(z 2x ) (y z )
Từ (1) và (2) ta suy ra P
Hay P
4
x 2 y2 z 2 4
9
.Đặt t x 2 y 2 z 2 4 , t 2
2
2
2(x y z )
2
4
9
4
9
. Xét hàm số f (t ) 2
,t 2
2
t 2t 4
t 2t 4
4
9t
(4 t )(4t 3 7t 2 4t 16)
f '(t ) 2 2
; f '(t ) 0 t 4
t
(t 4)2
t 2 (t 2 4)2
Khi đó P
(do t > 2 nên 4t 3 7t 2 4t 16 4(t 3 4) t(7t 4) 0
Lập bảng biến thiên của hàm số f(t). Dựa vào bảng biến thiên ta có MaxP
5
khi x y z 2
8
x3 1 7 2 5
x (x 0) *
x 2 18
18
2
3
2
* 18(x 1) x 2 7x 5 x 1 11x 8 0 , luôn đúng với mọi x>0, d ấu “ ” xảy ra khi x=1
Bài 63. Trước tiên ta chứng minh BĐT
a3 b3 7a2 5b2 b3 c 3 7b2 5c2 c 3 a3 7c2 5a2
a b c
;
;
;
; ; , ta có
a 2b 18 18 b 2c 18 18 c 2a 18 18
b c a
12 a2 b2 c2
2 . Vậy MinS =2 khi a=b=c=1
Từ các đẳng thức trên suy ra S
18
1
1
4
1
1
Bài 64. Ta có 2 2bc b 2c
và
8 a 2b 3c 4 a b c 4 b 2c
4a 2b 4 2bc 4a 4b 4c
1
1
Suy ra P
. Đặt t a b c, t 0 .
4 a b c 4 a c b
Áp dụng (*) cho x lần lượt là
Xét f (t )
1
1
1
1
,t 0; f '(t ) 2
; f '(t ) 0 t 4 .
4t 4 t
4t 4 t 2
b 2c , a b c 4 a c 1
1
khi
.
16
a b c b 2c
b 2
Bài 65. Nhìn biểu thức của P ta thấy có sự xuất hiện của cả ba biến số a, b, c mà ta không thể quy trực tiếp
về một biến số ngay nếu chỉ sử dụng giả thiết. Nhưng ta lại thấy P là biểu thức có đối xứng với a, b , do đó ta
dự đoán giá trị nhỏ nhất đạt được khi hai biến a, b bằng nhau. Ta chứng minh và sử dụng bất đẳng thức
Suy ra giá trị nhỏ nhất của P bằng -
3
a3 b3 a b
, đẳng thức xảy ra khi hai biến số a
2
2
3
3
và b
bằng nhau. Khi đó ta có
3
2
a b 1 3 1 c 1 3 c 3c 3c 1
P
c
c
f c . Bây giờ thì việc giải quyết bài toán khá là dễ
8
2 4
2 4
dàng bằng cách khảo sát hàm số g c 8. f c trên khoảng 0;1 .
23
Ta có g ' c 3c2 6c 3 , g ' c 0 c1 1 2, c2 1 2 . Lập bảng biến thiên của hàm số
g c trên khoảng 0;1 ta có g c g c2 g 1 2 6 4 2 , suy ra P f c
1
32 2 .
4
1
1
3 2 2 khi và chỉ khi c 2 1, a b 2 2 .
4
2
2
2
2
Bài 65. Đặt T 3a 3b 3c 4abc . Do vai trò của a, b, c bình đẳng nên không nghịch biến tổng quát ta có
3
thể giả sử 0 a b c . Từ a + b + c = 3 và a + b > c suy ra 1 c (2).
2
2
2
2
2
2
2
Ta biến đổi T 3(a b ) 3c 4abc 3 a b 2ab 3c 4abc 3 3 c 3c 2 2ab 3 2c
Vậy Pmin
2
ab
Do 2 – 3c > 0 và ab
3 , suy ra
2
1
1
3
27
2
2
2
T 3 3 c 3c2 a b 3 2c 3 c2 6c 9 3c2 3 c 3 2c c 3 c 2 f c
2
2
2
2
3
Ta có f c 3c2 3c , nên f(c) đồng biến trên 1; . Vì vậy, T f c f 1 13 .
2
Đồng thời T 13 c 1 . Với giả thiết 0 a b c và a + b + c = 3 và (3) suy ra a = b = 1, tức là tam giác
ABC đều.
Bài 66. Bài toán hoàn toàn đối xứng với ba biến số, nên không mất tính tổng quát, ta giả sử x y z 0 , coi
x là biến số và coi y , z là tham số trong hàm số f x x 3 x2 y z 3xyz xy 2 xz2 y 2 z z2y y 3 z 3
Ta có f ' x 3x 2 2x y z 3yz y 2 z 2 và f '' x 6 x 2 y z 2 3x y z 0 với mọi x , y , z 0 và
x y z . Điều đó chứng tỏ f ' x là hàm số đồng biến, suy ra
f ' x f ' y 3y2 2y y z 3yz y 2 z2 yz z2 0 ( do x y z ).
Đến đây ta suy ra f x là hàm số đồng biến, như vậy f x f y z z y 0 .
2
Bài 68. Nhìn bài toán ta khó có thể thấy được việc sử dụng phương pháp tiếp tuyến, tuy nhiên để ý một
a b
ab
2
1 c
2
1
4
nên ta đã đưa được bài toán đã cho về bài toán quen
4
4
1 ab 3 2c c2
1
1
1
27
thuộc Chứng minh rằng
với điều kiện a, b, c dương và a b c 1
2
2
2
3 2a a 3 2b b 3 2c c 32
.
1
Bây giờ xét hàm số f x
trên khoảng 0;1 , phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại
3 2x x 2
1
27
81
điểm có hoành độ bằng là y
.
x
3
256
256
chút
suy ra
81
1
27
81 3x 1 13 3x
27
x
x
0 với mọi x 0;1 , do đó
Xét f x
2
256 3 2 x x 256
256 256 3 2 x x 2
256
2
27
81
với mọi x 0;1 .
x
256
256
1
1
1
27
81 27
Từ đó ta có
a b c 3. , đẳng thức xảy ra khi
2
2
2
3 2a a 3 2b b 3 2c c
256
256 32
1
abc .
3
f x
24
Bài 69. Ta có 1 x 1 y
Xét P
1
1 x
1
x
3
y3 x y
xy
4 xy x 2 y 2
1 y
1
1
2
Vì x , y 0;1
2
2
1 x 1 y 1 xy
2
2
1 xy x y 4 xy 1 3xy x y 3xy 2 xy xy
1
1 x
2
1
1 y
2
2xy 2.
1
1
2xy .
2
1 x 1 y2
* .
Thật vậy * 2 x 2 y 2 1 xy 2 1 x 2 1 y 2 x y 1 xy 0 . Luôn đúng vì x , y 0;1
2
Suy ra P
2
1
2xy , xy 0; .
1 xy
9
Xét hàm số f t
2
1
1
1
2t ,t 0; . Có f '
2 0, t 0;
1t
9
9
1 t 1 t
56
1
56
1
Vậy P f
nên maxP =
xy
3
9 10
9 9 10
1 1
4
Bài 70. Áp dụng BĐT
(x , y 0) ta có
x y xy
1
1
1
1
1
1
2 4 6
S (
) 2(
) 3(
) .
bc a ac b
bc a abc
acb abc c b a
Từ gt ta có
2 1
2 4 6
1 2 3
3
a nên 2( ) 2(a ) 4 3 .
b c
c b a
c b a
a
Vậy S 4 3 MinS 4 3 a b c 3
x a 2b c a x 5y 3z
Bài 71. Đặt y a b 2c b x 2y z
. Do đó ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của
z a b 3c
c y z
x 2y 4 x 8y 4 z 8y 8z 4 x 2y 8y 4 z
P
17
x
y
z
x z
y
y
P 2
4 x 2y
8y 4 z
. 2
. 17 12 2 17; Đẳng thức xảy ra khi b 1 2 a, c 4 3 2 a
y x
z y
Vậy GTNN của P là 12 2 17.
Bài 72. Ta có x 2 y 2 2 x 2 1 y 2 1 2 x y ,….;
xy
xy 1
,…
2
1 1
1
1
xy yz zx 3 .
Nên P
2x y y z z x
Ta có x y z xy yz zx 9 xyz
x y y z z x x y z xy yz zx xyz
25
8
x y z xy yz zx
9
1
9
