skkn tiểu học hướng dẫn học sinh năng khiếu giải dạng toán “tính ngược từ cuối” bằng phương pháp sơ đồ đoạn thẳng

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN
1. Tên sáng kiến: Hướng dẫn học sinh năng khiếu giải dạng toán "Tính
ngược từ cuối" bằng phương pháp sơ đồ đoạn thẳng .
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: giảng dạy môn Toán
3. Tác giả:
Họ và tên: Nguyễn Thị Hoạt

Nữ

Ngày tháng năm sinh: 12/04/1975
Trình độ chuyên môn: Đại học Sư phạm
Chức vụ, đơn vị công tác: Trường Tiểu học Phả Lại I
Điện thoại: 0936 121 387
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Nguyễn Thị Hoạt
5. Đơn vị áp dụng sáng kiến lần đầu: Trường Tiểu học Phả Lại I
6. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:
* Giáo viên: Giáo viên phải nghiên cứu kỹ và nắm chắc nội dung chuẩn
kiến thức kỹ năng của môn học nói chung và phần kiến thức về các bài toán giải
bằng cách tính ngược từ cuối nói riêng, nắm chắc phương pháp dạy học môn
học.
- Vận dụng phương pháp, hình thức tổ chức dạy học một cách linh hoạt,
kích thích hứng thú học tập và phát huy được sự sáng tạo, chủ động chiếm lĩnh
kiến thức của học sinh.
* Học sinh: Có đầy đủ đồ dùng học tập, SGK, vở ghi, một số sách tham
khảo: BT toán 5, Vở BT Toán 5, Ôn luyện , kiểm tra kiến thức dành cho buổi 2
- Có ý thức tự học , tự nghiên cứu, chuẩn bị bài chu đáo .
7. Thời gian áp dụng sáng kiến lần đầu: năm học 2014- 2015.
HỌ TÊN TÁC GIẢ (KÝ TÊN)

XÁC NHẬN CỦA CƠ QUAN
ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN

1


TÓM TẮT SÁNG KIẾN
1. Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến
Năm học 2014-2015 là năm học đầu tiên thực hiện thông tư số
30/2014/TT-BGDĐT ngày 28 tháng 8 năm 2014 Quy định đánh giá học sinh tiểu
học. Theo TT 30 thì việc đánh giá kết quả học tập của HS ở cuối mỗi học kỳ
được phân chia thành 3 mức. Trong đó ở mức 3 quy định rõ học sinh vận dụng
các kiến thức, kĩ năng để giải quyết các tình huống, vấn đề mới, không giống với
những tình huống, vấn đề đã được hướng dẫn hay đưa ra những phản hồi hợp lí
trước một tình huống, vấn đề mới trong học tập hoặc trong cuộc sống. Theo cá
nhân tôi, Với những HS đạt được mức 3 tức là các em sẽ được xếp vào nhóm
học sinh năng khiếu. Vậy làm thế nào để nâng cao cả về chất lượng và số lượng?
Tôi mạnh dạn đưa ra một số giải pháp qua sáng kiến : Hướng dẫn học sinh năng
khiếu giải dạng toán "Tính ngược từ cuối" bằng phương pháp sơ đồ đoạn thẳng
2. Điều kiện, thời gian, đối tượng áp dụng sáng kiến
* Điều kiện:
- Giáo viên: Giáo viên phải nghiên cứu kỹ và nắm chắc nội dung chuẩn
kiến thức kỹ năng của môn học nói chung và phần kiến thức về các bài toán giải
bằng cách tính ngược từ cuối nói riêng, nắm chắc phương pháp dạy học môn
học.
+ Vận dụng phương pháp, hình thức tổ chức dạy học một cách linh hoạt,
kích thích hứng thú học tập và phát huy được sự sáng tạo, chủ động chiếm lĩnh
kiến thức của học sinh.
- Học sinh: Có đầy đủ đồ dùng học tập, SGK, vở ghi, một số sách tham
khảo: BT toán 5, Vở BT Toán 5, Ôn luyện , kiểm tra kiến thức dành cho buổi 2
- Có ý thức tự học , tự nghiên cứu, chuẩn bị bài chu đáo .
* Thời gian: năm học 2014- 2015

* Đối tượng: Học sinh lớp 5

2


3. Nội dung sáng kiến :
+ Tính mới, tính sáng tạo của sáng kiến : Từ những bài toán rất trừu
tượng, nếu chúng ta hướng dẫn học sinh giải theo kiểu lập luận, giải thích một
mặt học sinh rất khó hiểu mặt khác các em sẽ mắc rất nhiều lỗi trong việc trình
bày. Với các bài toán này ta sử dụng phương pháp vẽ sơ đồ đoạn thẳng sẽ tránh
đi những lí luận dài dòng và quan trọng hơn là tránh phải lập phương trình như
sẽ học ở THCS và THPT
+ Khả năng áp dụng của SK (tính khả thi của các giải pháp):
- Áp dụng rộng rãi cho giáo viên, học sinh lớp 4,5
- Nhằm tìm hiểu nội dung, phương pháp dạy giải toán tính ngược từ cuối
bằng phương pháp sơ đồ đoạn thẳng .
- Tìm ra những khó khăn, sai sót mà giáo viên và học sinh thường mắc
phải khi dạy và học ở tiểu học để khắc phục và góp phần nâng cao chất lượng
dạy và học trong môn toán.
+ Lợi ích thiết thực của SK (giá trị, hiệu quả của SK): giúp học sinh lớp 5
có kĩ năng nhận dạng, tóm tắt bài toán, kĩ năng trình bày bài giải và hiểu biết
chắc chắn từng bước giải trong mỗi dạng toán các bài toán giải bằng cách tính
ngược từ cuối, có kĩ năng vận dụng vào đời sống thực tiễn.Từ đó có những biện
pháp khắc phục phù hợp, tạo niềm tin, hứng thú cho học sinh khi giải toán .
4. Khẳng định giá trị, kết quả đạt được của sáng kiến:
Các em học sinh nắm khá chắc kiến thức, vận dụng linh hoạt và khá sáng
tạo, khi làm bài các em tự tin vào khả năng của mình; kết quả được nâng lên rõ
rệt.
5. Đề xuất kiến nghị để thực hiện áp dụng hoặc mở rộng sáng kiến.
Áp dụng với đối tượng học sinh lớp 4, 5, nâng cao chất lượng học sinh

năng khiếu .

3


MÔ TẢ SÁNG KIẾN
1. Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến:
Ở tiểu học môn Toán có vị trí rất quan trọng, nó chiếm thời lượng giờ học
rất lớn trong chương trình môn học. Cùng với các môn học khác, môn Toán góp
phần đắc lực vào việc hình thành và phát triển những cơ sở ban đầu rất quan
trọng của nhân cách trẻ em. Ngoài ra môn Toán còn góp phần trong việc rèn
luyện phương pháp suy nghĩ, suy luận , giải quyết vấn đề có căn cứ khoa học
một cách toàn diện chính xác. Môn Toán có nhiều tác dụng trong việc rèn trí
thông minh, tư duy độc lập, linh hoạt, sáng tạo nhanh nhạy trong việc hình thành,
rèn luyện nề nếp, phong cách làm việc khoa học của trẻ em. Nói rộng ra nó rất
cần thiết cho mọi hoạt động của con người và góp phần giáo dục ý trí và những
đức tính cần cù nhẫn nại ý chí vượt khó khăn.
Xuất phát từ vị trí môn toán ở tiểu học nên việc nâng cao hiệu quả của
việc dạy và học môn Toán là một yêu cầu cấp thiết hiện nay. Trong chương trình
toán tiểu học có nhiều nội dung liên quan đến việc bồi dưỡng học sinh năng
khiếu. Việc bồi dưỡng học sinh năng khiếu không chỉ nhằm giúp các em giải
được các bài toán khó, mà qua đó bồi dưỡng khả năng tư duy, suy luận để áp
dụng vào cuộc sống hiện tại. Năm học 2014-2015 là năm học đầu tiên thực hiện
thông tư số 30/2014/TT-BGDĐT ngày 28 tháng 8 năm 2014 Quy định đánh giá
học sinh tiểu học. Theo TT 30 thì việc đánh giá kết quả học tập của HS ở cuối
mỗi học kỳ được phân chia thành 3 mức. Trong đó ở mức 3 quy định rõ học
sinh vận dụng các kiến thức, kĩ năng để giải quyết các tình huống, vấn đề mới,
không giống với những tình huống, vấn đề đã được hướng dẫn hay đưa ra
những phản hồi hợp lí trước một tình huống, vấn đề mới trong học tập hoặc
trong cuộc sống Có nhiều dạng toán, bài toán có nhiều cách giải khác nhau.

Trong đó có những cách giải dùng đến kiến thức ở THCS và THPT, chưa phù
hợp với tư duy của học sinh tiểu học: Ở giai đoạn đầu : Tư duy trực quan hành
động chiếm ưu thế . Trẻ học chủ yếu bằng phương pháp phân tích, so sánh, đối
4


chiếu dựa trên các đối tượng hoặc những hình ảnh trực quan . Đến cuối giai đoạn
bắt đầu hình thành tư duy trực quan hình tượng. Trẻ nắm được các mối quan hệ
của khái niệm. Những thao tác về tư duy như phân loại, phân hạng tính toán,
không gian, thời gian,.. được hình thành và phát triển mạnh. Tuy nhiên năng lực
tư duy của trẻ còn bị hạn chế bởi sự ràng buộc với những vật chất cụ thể. Trẻ gặp
khó khăn trong tư duy trừu tượng.. Chính bởi lí do đó mà trong quá trình dạy
học sinh năng khiếu tôi luôn tìm hiểu phương pháp giảng dạy cũng như phương
pháp giải bài toán sao cho vừa dễ hiểu lại phải logic và phù hợp với lứa tuổi học
sinh Tiểu học. Cụ thể trong sáng kiến này tôi muốn đề cập đến một phương pháp
giải toán khá quen thuộc và gần gũi với học sinh Tiểu học đó là Hướng dẫn học
sinh năng khiếu giải dạng toán "Tính ngược từ cuối" bằng phương pháp sơ đồ
đoạn thẳng. Với cách giải ta sử dụng phương pháp vẽ sơ đồ đoạn thẳng sẽ tránh
đi những lí luận dài dòng và quan trọng hơn là tránh phải lập phương trình như
sẽ học ở THCS và THPT.
2. Cơ sở lí luận của vấn đề:
Mỗi môn học ở tiểu học đều góp phần vào và phát triển những cơ sở ban
đầu rất quan trọng của nhân cách con người Việt Nam cùng các môn học khác,
môn Toán có vị trí quan trọng vì:
Các kiến thức, kỹ năng của môn Toán ở Tiểu học có nhiều ứng dụng
trong đời sống, chúng rất cần thiết cho mọi người lao động, rất cần thiết để học
tập các môn học khác ở Tiểu học và học tập tiếp môn Toán ở trung học.
Môn Toán giúp học sinh nhận biết được các mối quan hệ về số lượng và
hình dạng không gian của thế giới thực. Nhờ đó mà học sinh có phương pháp
nhận thức một số mặt của thế giới xung quanh và biết cách hoạt động có hiệu

quả trong đời sống.
Môn Toán góp phần rất quan trọng trong việc rèn luyện phương pháp suy
nghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp giải quyết vấn đề, nó góp phần phát
triển trí thông minh, cách suy nghĩ độc lập, linh hoạt, sáng tạo, nó đóng góp vào
5


việc hình thành các phẩm chất cần thiết và quan trọng của người lao động: cần
cù, cẩn thận, có ý chí vượt khó khăn, làm việc có kế hoạch, có nền nếp tác phong
khoa học.
Giải bài toán bằng phương pháp tính ngược từ cuối là từ kết quả cuối
cùng, ta tính ngược lại để tìm được giá trị trước cuối và cứ tiếp tục như vậy cho
đến số phải tìm. Với dạng toán này học sinh đã được làm quen ngay từ khi học
lớp Một. Các bài toán được sắp xếp từ đơn giản đến phức tạp phù hợp với quá
trình nhận thức của các em và được chia ra làm nhiều dạng nhỏ với những cách
giải khác nhau như : dạng biến đổi các phép tính đơn giản dưới dạng tìm x , dạng
những bài toán liên quan đến phân số, dạng những bài thêm bớt, dạng bài biến
đổi liên tiếp phức tạp… Nếu như học sinh nắm chắc từ dạng đơn giản thì việc
giải các bài toán không phải là việc khó khăn. Nhưng có những bài toán tổng
hợp buộc ta phải chia nhỏ đưa về các dạng toán quen thuộc để dễ dàng giúp học
sinh tìm ra đáp số. Để phù hợp với nhận thức của học sinh tiểu học nói chung và
lớp 4, 5 nói riêng tôi đi sâu vào nghiên cứu dạng những bài liên quan đến phân
số và cụ thể giải bằng cách sử dụng phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng.
3. Thực trạng của vấn đề.
Hiện nay, ngoài việc thực hiện công tác giáo dục phổ cập tiểu học đúng độ
tuổi, các trường tiểu học hiện nay đã chú tâm đến việc phát hiện và bồi dưỡng
học sinh có năng khiếu học tốt các môn học. Trong đó có môn toán, việc phát
hiện học sinh có năng khiếu toán là nhiệm vụ khá quan trọng đối với trường tiểu
học và đối với giáo viên bồi dưỡng toán cho học sinh dù cho dạy bất cứ lớp nào
ở nhà trường. Việc phát hiện các em có năng khiếu về toán là nhằm phát huy tài

năng toán học ngay từ khi các em bước đến trường, để từ đó giúp cho việc bồi
dưỡng học sinh giỏi toán thành một hệ thống từ bậc tiểu học cho đến bậc học cao
hơn nữa. Cụ thể các trường tiểu học đã:
- Mở lớp dạy hai buổi trên ngày để có điều kiện bồi dưỡng học sinh có
năng khiếu toán ở buổi dạy thứ hai.
6


- Ngay từ năm lớp 1 các em đã được tham gia sân chơi: Thi giải toán qua
mạng Internet.
Thực tế về công tác dạy và học: Giáo viên phần đông chưa được bồi
dưỡng về phương pháp giảng dạy học sinh có năng khiếu về toán học. Cho nên
trong thời gian qua số lượng và chất lượng chưa nhiều. Mặt khác các tài liệu
chính thức trong công tác bồi dưỡng học sinh năng khiếu, chưa thể đáp ứng được
nội dung chương trình toán nâng cao bồi dưỡng học sinh năng khiếu trong nhà
trường hiện nay.Việc bồi dưỡng học sinh có rất nhiều dạng toán điển hình ( thực
tế khi học ở phổ thông giáo viên ít được làm quen)
Trong quá trình dạy học bản thân tôi nhận thấy học sinh còn gặp nhiều
lúng túng trong quá trình giải các bài toán dạng này. Tôi đã tiến hành khảo sát và
thu được kết quả như sau:
Bảng 1: Kết quả điều tra
Số HS

Số HS làm chưa

Số HS tìm ra kết quả đúng

Số HS đạt yêu cầu

đúng

nhưng chưa đạt yêu cầu
18
5
8
5
Qua bài làm của học sinh tôi nhận thấy: Có những học sinh đọc đề bài
xong, hiểu được vấn đề cần hỏi và có thể nhẩm được kết quả của bài toán, nhưng
khi trình bày bài giải thì đa phần các em đều bị lỗi trình bày. Bởi lẽ với dạng
Toán này yêu cầu đòi hỏi các em phải trình bày lí luận rất chặt chẽ. Lỗi này một
phần cũng là do các em chưa nắm chắc cách giải, giáo viên chưa hướng dẫn cho
các em cách giải phù hợp với tư duy trực quan của các em.
4. Các giải pháp, biện pháp thực hiện:
4.1.Củng cố lại các bước giải bài toán dạng Tính ngược từ cuối nói chung
- Bước 1: Phân tích yêu cầu bài toán.
+ Bước này yêu cầu học sinh phải đọc kỹ đề bài, nhớ và nắm chắc các dữ kiện
bài toán đã cho và cho học sinh nhận dạng toán qua câu hỏi: Bài toán biết gì?
Bài toán hỏi gì? Từ đó hướng dẫn tóm tắt bài toán .
+ GV nên gạch dưới các từ quan trọng của đề bài.
7


- Bước 2: Phân tích đề bài để tìm ra cách giải:
+ Muốn giải đáp những yêu cầu của bài toán cần phải biết những gì, những điều
đó đã biết chưa, chưa biết thì phải dựa vào đâu để tìm.
+ Lập sơ đồ hay biểu đồ của bài toán.
+ Hình thành các phép tính ngược trên biểu đồ .
+ Vạch ra thứ tự trình bày bài giải.
- Bước 3: Trình bày bài giải
+ HS trình bày các cách giải khác nhau, cho HS nhận xét và rút ra được cách giải
nào hợp lý.

- Bước 4: Kiểm tra kết quả
4.2. Phân loại từng dạng bài nhỏ với các phương pháp giải dạng toán Tính
ngược từ cuối. Ví dụ:
- Phương pháp giải bằng " tìm x" ( Lập phương trình)
- Phương pháp giải bằng dùng lược đồ.
- Phương pháp giải bằng dùng sơ đồ đoạn thẳng.
- Phương pháp giải bằng cách lập bảng biến đổi.
….
4.3. Hướng dẫn trình bày một số bài toán giải bằng cách tính ngược từ
cuối để HS thấy được sử dụng theo cách dùng sơ đồ đoạn thẳng là dễ hiểu, phù
hợp nhất.
4.3.1. Bài toán 1:
Mạnh, Hùng, Dũng và Minh có một số quyển vở. Mạnh lấy
Hùng lấy

1
số vở đê dùng.
3

1
1
số vở còn lại, Dũng lấy số vở còn lại sau khi hai bạn Mạnh và
3
3

Hùng đã lấy, cuối cùng Minh dùng nốt 8 quyển. Hỏi lúc đầu cả bốn bạn có bao
nhiêu quyển vở? ( Toán bồi dưỡng học sinh lớp 5- NXB giáo dục Việt Nam)

8

Phân tích : Dựa vào các bước hướng dẫn học sinh phân tích dữ liệu của
bài toán xong học sinh sẽ biết được cách tìm số vở của 4 bạn lúc đầu. Ta có thể
hiểu bài toán này như sau : Tìm một số biết rằng lần lượt lấy số đó chia cho 3 lấy
đi 1 phần, còn bao nhiêu lại chia cho 3 lấy đi 1 phần, còn bao nhiêu lại chia cho
3 lấy đi 1 phần, cuối cùng còn lại 8.
a)- Tìm số vở còn lại sau khi Mạnh và Hùng đã lấy
Dũng lấy

1
số vở còn lại sau khi hai bạn Mạnh và Hùng đã lấy, cuối cùng Minh
3

dùng nốt 8 quyển. Số 8 chính là

2
số vở còn lại sau khi Mạnh và Hùng đã lấy.
3

Số vở còn lại sau khi Mạnh và Hùng đã lấy: 8 x 3 : 2 = 12 ( quyển)
b)-Tìm số vở còn lại sau khi Mạnh lấy:
Hùng lấy

1
số vở còn lại ( sau khi Mạnh lấy) để dùng. Nên số vở còn lại sau khi
3

Mạnh và Hùng lấy ứng

2

số vở còn lại sau khi Mạnh đã lấy. Số vở còn lại sau
3

khi Mạnh lấy: 12 x 3 : 2= 18 (quyển)
c)-Tìm số vở lúc đầu của 4 bạn :
Mạnh lấy

1
2
số vở để dùng. Nên số vở còn lại sau khi Mạnh lấy ứng số vở lúc
3
3

đầu của 4 bạn. Số vở lúc đầu của 4 bạn : 18 x 3: 2 = 27 (quyển)
Qua phân tích các em đưa ra được các cách để giải quyết bài toán. Từ các
cách làm bài trên của học sinh tôi kiểm tra bài và tìm ra những ưu khuyết điểm
của từng cách.
Cách 1: Học sinh dựa vào bài toán sẽ lập luận tìm ra đáp số.
Vì Dũng lấy

1
số vở còn lại sau khi hai bạn Mạnh và Hùng đã lấy, cuối cùng
3

Minh dùng nốt 8 quyển nên 8 quyển vở sẽ ứng với :
1-

1
2
= ( số vở còn lại sau khi hai bạn Mạnh và Hùng đã lấy)

3
3
9


Số vở còn lại sau khi hai bạn Mạnh và Hùng đã lấy:
8:
Hùng lấy

2
= 12 ( quyển)
3

1
số vở còn lại sau khi Mạnh lấy nên 12 quyển vở sẽ ứng với :
3

1-

1
2
= ( số vở còn lại sau khi bạn Mạnh đã lấy)
3
3

Số vở còn lại sau khi bạn Mạnh đã lấy:
12:
Dũng lấy

2

= 18 ( quyển)
3

1
số vở nên 18 quyển vở sẽ ứng với :
3

1-

1
2
= ( số vở lúc đầu của 4 bạn)
3
3

Số vở lúc đầu của 4 bạn là:
18:

2
= 27 ( quyển)
3

Đáp số: 27 quyển
Với cách này, học sinh không phải vẽ sơ đồ chỉ cần lí luận và giải toán
nhưng hầu như các em bị mắc sai lầm trong các câu lí luận ( chưa chặt chẽ, dùng
từ chưa đúng...) và đặc biệt đa phần các em sai ở phần danh số được gạch chân ở
trên. Với các danh số đó các em chỉ viết: số vở. Và với cách lí luận chưa chặt
chẽ, cách viết danh số như vậy mặc dù bài toán của các em ra đúng đáp số nhưng
các em không được coi là đạt yêu cầu.
Cách 2: Học sinh sẽ đưa về dạng tìm x

Gọi số vở lúc đầu của của 4 bạn là x
Số vở bạn Mạnh lấy sẽ là x: 3 =

x
3

Số vở còn lại sau khi bạn Mạnh lấy là : x Số vở bạn Hùng lấy :

2x
2x
:3=
3
9
10

x 2x
=
3
3


Số vở còn lại sau khi bạn Hùng lấy là :
Số vở bạn Dũng lấy là:

2x
2x
4x
=
3
9

9

4x
4x
:3=
9
27

Số vở còn lại sau khi Dũng lấy

4x 4x
8x
=
9
27
27

Vì số vở còn lại sau khi Dũng lấy và cũng là số vở Minh lấy ( 8 quyển ) nên ta có
8x
=8
27

Từ đây suy ra x = 27 . Vậy số vở lúc đầu của 4 bạn là: 27 quyển
Ở cách này học sinh không phải lí luận chỉ cần trả lời và đưa ra cách tính
dựa vào x để tìm kết quả. Nhưng các em lại hay bị nhầm trong quá trình thực
hiện tính với phân số có kèm theo ẩn x. Cách này thực chất là cách lập phương
trình phù hợp với học sinh THCS.
Cách 3: Học sinh sẽ dựa vào cách vẽ sơ đồ.
Tổng số vở
Số vở Mạnh lấy

Số vở còn lại

Số vở Hùng lấy

Số vở còn lại

Số vở Dũng lấy

Số vở Minh lấy ( 8 quyển)

Từ sơ đồ ta thấy
Số vở còn lại sau khi Mạnh và Hùng lấy dùng là :
8 :2 x 3= 12 ( quyển vở)
Số vở còn lại sau khi Mạnh lấy dùng là :
12 : 2 x 3 = 18 ( quyển vở)
Số vở của 4 bạn lúc đầu là :
18 : 2 x 3 = 27 ( quyển vở)
Đáp số : 27 quyển vở

11


Với cách này thì học sinh sẽ phải vẽ sơ đồ đoạn thẳng. Nhưng phương
pháp vẽ sơ đồ đoạn thẳng các em đã được làm quen từ lớp 1,2 và khi vẽ được sơ
đồ, các em chỉ cần quan sát vào sơ đồ là các em có thể giải quyết bài toán một
cách dễ dàng. Các em hiểu được từng dữ kiện bài toán cho, hiểu được cách tính
kết quả bài toán và đặc biệt là tránh được lí luận dài dòng. Danh số kèm theo
cũng rất đơn giản, không bị nhầm lẫn.
4.3.2 . Bài toán 2 :

Một người bán một số cam như sau : Lần đầu bán
quả, lần thứ hai bán

1
tổng số cam và thêm 1
2

1
1
số cam còn lại và thêm 1 quả, lần thứ ba bán số cam
2
2

còn lại sau lần bán thứ hai và thêm 1 quả, cuối cùng còn lại 10 quả. Hỏi người
đó có tất cả bao nhiêu quả cam? ( Toán bồi dưỡng học sinh lớp 5- NXB giáo
dục Việt Nam)
Phân tích : Ta có thể hiểu bài toán này như sau : Tìm một số biết rằng lần lượt
lấy số đó chia cho 2 rồi trừ đi 1, được bao nhiêu lại chia cho 2 rồi trừ đi 1, cuối
cùng lại chia cho 2 rồi trừ đi 1 thì còn lại 10. Ta phân tích bài toán đã cho để tìm
cách giải :
a)-Tìm số cam còn lại sau khi bán lần thứ hai: Lần thứ ba nếu chỉ bán

1
số cam
2

còn lại sau hai lần bán mà không thêm 1 quả thì số cam còn lại cuối cùng sẽ là :
10 + 1 = 11 (quả).
Số 11 chính là

1
số cam còn lại sau hai lần bán. Do đó số cam còn lại sau hai lần
2

bán là : 11 x 2 = 22 (quả)
b)-Tìm số cam còn lại sau lần bán thứ nhất : Lần thứ hai nếu chỉ bán

1
số cam
2

còn lại sau khi bán lần thứ nhất mà không thêm 1 quả thì số cam còn lại sau khi

12


1
số cam còn lại sau lần bán
2

bán lần hai sẽ là : 22 + 1 = 23 (quả). Số 23 chính là

thứ nhất. Do đó số cam còn lại sau lần bán thứ nhất sẽ là : 23 x 2 = 46 (quả)
c)-Tìm số cam trước lúc bán lần thứ nhất : Lần thứ nhất nếu chỉ bán

1
tổng số
2

cam mà không thêm 1quả thì số cam còn lại bán lần nhất sẽ là : 46 + 1 = 47

(quả) . Số 47 chính là

1
tổng số cam lúc chưa bán.
2

Vậy số cam lúc đầu là : 47 x 2 = 94 (quả)
Bài giải :
Ta có sơ đồ
Tổng số cam
1

Bán lần thứ nhất

Còn lại
1

Bán lần thứ hai

Còn lại

1

Bán lần thứ ba 10

1
Từ sơ đồ ta thấy:
số cam còn lại sau lần bán thứ hai là :
2

10 + 1 = 11 (quả)
Số cam còn lại sau lần bán thứ hai là :
11 x 2 = 22 (quả)
1
số cam còn lại sau lần bán thứ nhất là :
2

22 + 1 = 23 (quả)
Số cam còn lại sau lần bán thứ nhất là :
23 x 2 = 46 (quả)
13


1
số cam lúc chưa bán là :
2

46 + 1 = 47 (quả)
Vậy số cam lúc chưa bán là :
27 x 2 = 94 (quả)
Đáp số : 94 quả cam.
4.3.3 . Bài toán 3 :
Một cửa hàng bán một mảnh vải làm ba lần. Lần đầu bán được ba phần năm
mảnh vải thêm 3m, lần thứ hai bán được một phần bảy mảnh vải còn lại. Lần
thứ ba bán được 6m nữa thì vừa hết mảnh vải. Hỏi tấm vải dài bao nhiêu mét?
( Toán bồi dưỡng học sinh lớp 5- NXB giáo dục Việt Nam)
Phân tích : Phân tích bài toán đã cho để tìm cách giải :
a)-Tìm số vải còn lại sau khi bán lần thứ hai : Lần thứ ba bán được 6m nữa thì
vừa hết mảnh vải nên số vải còn lại sau bán lần thứ 2 là 6m.
b)-Tìm số vải còn lại sau lần bán thứ nhất : Lần thứ hai bán được một phần bảy

mảnh vải còn lại sau khi bán lần thứ nhất nên 6m vải sẽ ứng với

6
số vải còn lại
7

sau khi bán lần thứ nhất. Số vải còn lại sau khi bán lần thứ nhất : 6 :

6
= 7 (m)
7

c)-Tìm số vải trước khi bán lần thứ nhất (độ dài của tấm vải ): Lần thứ nhất nếu
chỉ bán

3
tấm vải mà không thêm 3m thì số vải còn lại sau khi bán lần nhất sẽ là
5

: 7+3 = 10 (m) ứng với

2
tấm vải . Vậy độ dài tấm vải : 10 : 2 x 5 = 25 ( m)
5

Bài giải :
Ta có sơ đồ

3m
Số vải bán lần đầu

Còn lại
14


Bán lần 2

Bán lần 3 ( 6m)

Nhìn vào sơ đồ ta thấy :
Số vải còn lại sau khi bán lần thứ nhất :
6 : 6 x 7= 7 (m)
Tấm vải dài số mét là :
( 7+3) : 2 x 5 = 25 ( m)
Đáp số : 25 m
MỘT SỐ BÀI TẬP
Bài 1 : Một quầy vải bán lần thứ nhất 2m, lần thứ hai bán

1
số mét vải
2

còn lại và

1
1
1
m, lần thứ ba bán số mét vải còn lại sau hai lần bán và m, lần
2
2

2

thứ tư bán

1
1
số mét vải còn lại sau ba lần bán và m, như vậy là vừa hết.Hỏi
2
2

quầy đó bán được bao nhiêu mét vải ?
Bài 2 : Lớp 5A tham gia trồng cây, ngày thứ nhất có
và 2 em tham gia, ngày thứ hai có lần thứ ba bán
bán và

1
số học sinh của lớp
6

1
số mét vải còn lại sau hai lần
2

1
2
số em còn lại và 1 em tham gia, ngày thứ ba có
số còn lại sau hai
4
5

ngày và 3 em, ngày thứ tư có

1
số còn lại sau ba ngày và 1 em tham gia. Cuối
3

cùng còn lại 5 em chưa tham gia. Hỏi lớp 5A có bao nhiêu học sinh ?
Bài 3 : Một người bán dưa, bán lần thứ nhất
lần thứ hai bán

1
1
số dưa cộng với quả,
2
2

1
1
số dưa còn lại và quả, lần thứ ba, lần thứ tư, lần thứ nămđều
2
2

bán như vậy, bán đến lần thứ sáu thì hết dưa. Hỏi người đó đã bán tất cả bao
nhiêu quả dưa ?
15


Bài 4 : Một người bán khoai cho 3 người : Người thứ nhất mua
10kg, người thứ hai mua

1
số khoai và
4

5
số khoai còn lại và 10 kg, người thứ 3 mua 50kg thì
11

vừa hết. Hỏi số lượng khoai đã bán là bao nhiêu ki- lô- gam ?
Bài 5 : Một học sinh đọc quyển truyện trong 3 ngay. Ngày đầu em đọc được
số trang và 16 trang. Ngày thứ hai đọc được
ngày thứ ba em đọc được

1
5

3
số trang còn lại và 20 trang,
10

3
số trang còn lại và 30 trang cuối cùng . Hỏi quyển
4

truyện đó dày bao nhiêu trang ?
......
Sau khi cho học sinh nhận xét để các thấy được những ưu khuyết điểm của
bài làm của các em và lựa chọn cách làm nào phù hợp với em nhất. Tôi giao
thêm các bài dạng tương tự, tôi thấy các em đều hướng tới cách làm sử dụng sơ
đồ đoạn thẳng để giải. Tuy vậy tôi vẫn động viên các em phát huy nhiều cách

làm với một bài toán, nhưng khi trình bày để tránh những lỗi hay mắc thì các em
nên lựa chọn cách ngắn gọn, dễ hiểu, không hay bị nhầm lẫn để trình bày trong
quá trình làm bài. Và yêu cầu trong cách làm sử dụng sơ đồ đoạn thẳng học sinh
phải rèn kĩ năng vẽ hình, tính cẩn thận chính xác.
5. Kết quả đạt được
Với mục đích góp phần vào việc giúp bản thân và bạn đồng nghiệp nhận
dạng được các bài toán và lựa chọn phương pháp thích hợp để tìm ra lời giải.
Nhằm nâng cao sự hiểu biết về phương pháp dạy toán và ứng dụng kết quả
của đề tài là một trong những tài liệu để bồi duỡng học sinh 5. Tôi đã tiến hành
áp dụng các phương pháp nghiên cứu:
- Tìm hiểu sâu nội dung chương trình môn toán của bậc tiểu học và các
loại toán nâng cao. Đọc các tài liệu có liên quan đến việc nghiên cứu.
16


- Tham khảo các đề thi học sinh giỏi của các năm qua.
- Tổ chức và thực nghiệm nội dung và phương pháp mà đề tài đã thể hiện.
- Dự giờ, trao đổi với giáo viên về nội dung và nhất là phương pháp bồi
dưỡng học sinh năng khiếu toán.
- Khảo sát chất lượng học sinh thông qua hình thức cho học sinh làm đề
kiểm tra chất lượng giải toán của học sinh và để kiểm nghiệm lại nội dung
nghiên cứu có hiệu quả hay không.
Sau khi thực hiện những việc đã làm tôi cho các em học sinh năng khiếu
làm khảo sát một đề thuộc dạng toán giải bằng phương pháp tính ngược từ cuối
thấy kết quả được nâng lên rõ rệt. Kết quả thực nghiệm được thể hiện qua bảng
sau:
Bảng 2: Kết quả thực nghiệm
Số HS

Số HS làm chưa

Số HS tìm ra kết quả đúng

Số HS đạt yêu cầu

đúng
nhưng chưa đạt yêu cầu
18
1
4
13
Như vậy với một thời gian ngắn nhưng tôi nhận thấy những biện pháp mà
tôi định hướng cho học sinh đã thu được kết quả thật khả quan. Các em học sinh
nắm khá chắc kiến thức, vận dụng linh hoạt và khá sáng tạo, khi làm bài các em
tự tin vào khả năng của mình; kết quả được nâng lên rõ rệt.
+ Khả năng áp dụng của SK (tính khả thi của các giải pháp):
- Áp dụng rộng rãi cho giáo viên, học sinh lớp 4,5
- Nhằm tìm hiểu nội dung, phương pháp dạy giải toán tính ngược từ cuối
bằng phương pháp sơ đồ đoạn thẳng .
- Tìm ra những khó khăn, sai sót mà giáo viên và học sinh thường mắc
phải khi dạy và học ở tiểu học để khắc phục và góp phần nâng cao chất lượng
dạy và học trong môn toán.
+ Lợi ích thiết thực của SK (giá trị, hiệu quả của SK): giúp học sinh lớp 5
có kĩ năng nhận dạng, tóm tắt bài toán, kĩ năng trình bày bài giải và hiểu biết
chắc chắn từng bước giải trong mỗi dạng toán các bài toán giải bằng cách tính
17


ngược từ cuối, có kĩ năng vận dụng vào đời sống thực tiễn.Từ đó có những biện
pháp khắc phục phù hợp, tạo niềm tin, hứng thú cho học sinh khi giải toán . Từ

những bài toán rất trừu tượng, nếu chúng ta hướng dẫn học sinh giải theo kiểu
lập luận, giải thích một mặt học sinh rất khó hiểu mặt khác các em sẽ mắc rất
nhiều lỗi trong việc trình bày. Với các bài toán này ta sử dụng phương pháp vẽ
sơ đồ đoạn thẳng sẽ tránh đi những lí luận dài dòng và quan trọng hơn là tránh
phải lập phương trình như sẽ học ở THCS và THPT. Trên cơ sở này, chúng ta
có thể nghĩ tới không chỉ dạy dạng toán này mà nhiều dạng toán khác cũng được
áp dụng quy trình này để giúp các em nắm chắc kiến thức, phương pháp tưduy
lôgic trong giải toán và trong cuộc sống.
Nhiều năm tham gia bồi dưỡng học sinh năng khiếu toán tiểu học, tôi nhận
thấy việc giúp các em nhận dạng, tìm tòi cách giải toán như trên có hiệu quả cao.
Trên tinh thần đó các em nắm khá chắc kiến thức, vận dụng linh hoạt và khá
sáng tạo.
Tôi nghĩ nếu giáo viên áp dụng các biện pháp này một cách thường xuyên
ở lớp với tất cả các dạng toán khác thì chắc chắn chất lượng học sinh năng khiếu
môn Toán sẽ được nâng lên.
6. Điều kiện để sáng kiến được nhân rộng
Việc nâng cao chất lượng học sinh năng khiếu là công việc thường xuyên
phải thực hiện liên tục không gián đoạn. Do đó việc có kế hoạch và phương pháp
dạy cần phải có các điều kiện cần thiết như :
Giáo viên dạy phải có trình độ toán học khá vững vàng, có năng khiếu về
toán, lòng nhiệt tình. Giáo viên chú trọng thực hiện nâng cao chất lượng học
sinh năng khiếu trong từng tiết học, tự bồi dưỡng , nâng cao kiến thức toán học
để đáp ứng việc giảng dạy môn toán để hướng dẫn học sinh biết nhận dạng các
bài toán và biết lựa chọn cách giải thích hợp để tìm ra kết quả bài giải.
Tổ chức chuyên đề về phương pháp dạy học sinh có năng khiếu về toán,
dự đầy đủ các lớp tập huấn về phương pháp dạy học sinh năng khiếu.
18


KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ

1. Kết luận
Như đã trình bày ở phần đặt vấn đề, toán tiểu học có nhiều dạng,
nhiều phương pháp giải. Giải bài toán bằng phương pháp tính ngược từ cuối là
một dạng khá quen thuộc. Nhưng để cho học sinh nắm chắc, nhớ lâu, vận dung
linh hoạt, sáng tạo và khi làm bài các em tự tin vào khả năng của mình không
phải là dễ. Để đạt được kết quả cao trong quá trình giảng dạy Toán, đòi hỏi
người giáo viên phải có tính kiên trì, vượt khó, sáng tạo, tìm tòi có bản lĩnh, có
tinh thần trách nhiệm cao, say mê với công việc. Phải nghiên cứu kĩ bài dạy, xác
định mục tiêu cần đạt được của từng tiết dạy, sử dụng linh hoạt các phương pháp
dạy học, các hình thức tổ chức dạy học phải phong phú, phù hợp với trình độ
nhận thức, khả năng học tập của học sinh lớp mình. Kết hợp hài hoà việc sử
dụng đồ dùng thiết bị dạy học.
Xây dựng hệ thống các câu hỏi phù hợp với các đối tượng học sinh, làm
sao trong một tiết học, học sinh nào cũng cảm thấy mình có thể trả lời được, từ
đó tạo cho các em có hứng thú hơn trong học tập. Mặt khác, giáo viên cũng cần
nêu câu hỏi vừa sức với lứa tuổi học sinh. Làm cho học sinh cảm thấy bản thân
có mối quan hệ mật thiết với công việc, được thể hiện năng lực cá nhân trong
môn học, mong muốn được đến lớp, chờ đợi giờ học, hứng thú say mê học tập.
Giáo viên chỉ là người tổ chức, hướng dẫn, điều khiển mọi học sinh đều
được hoạt động, tiếp thu kiến thức một cách chủ động, tránh nhồi nhét, áp đặt.
Điều quan trọng trong giải toán là giáo viên phải dạy cho học sinh biết cách tìm
hiểu đề, phân tích đề, hiểu được mối quan hệ giữa cái đã cho và cái phải tìm
trong điều kiện của bài toán, từ đó thiết lập được phép tính tương ứng, phù hợp.
Sử dụng phối hợp linh hoạt các phương pháp dạy học toán. Tổ chức tiết
học dưới nhiều hình thức phong phú, ngôn từ chuẩn xác, thu hút sự chú ý của
học sinh.

19

Nghiên cứu kĩ nội dung chương trình Toán Tiểu học, tìm hiểu học sinh để
giảng dạy đúng đối tượng, sát với trình độ nhận thức của từng học sinh. Trong
giảng dạy cần khéo léo nhẹ nhàng, sử lý linh hoạt mọi tình huống, đảm bảo tính
chính xác, khoa học, tạo không khí học tập thoải mái, nhẹ nhàng, đạt hiệu quả.
Phân loại học sinh trong lớp để có biện pháp bồi dưỡng phù hợp với từng
đối tượng, giúp đỡ động viên sự cố gắng của các em. Phát huy khả năng của từng
học sinh, giúp các em mạnh dạn, tự tin, hứng thú trong học tập và trong cuộc
sống. Trong một tiết dạy cần đặt ra các câu hỏi phù hợp với từng đối tượng học
sinh, để học sinh nào cũng được tham gia trả lời và trả lời đúng các câu hỏi, từ
đó tạo hứng thú cho tất cả các đối tượng học sinh trong lớp.
Giáo viên luôn học hỏi, tìm tòi, sáng tạo trong giảng dạy, có lòng nhiệt
tình say mê với công việc, có đức tính kiên trì, vượt khó. Không ngừng nâng cao
trình độ chuyên môn, nghiệp vụ. Biết kết hợp hài hoà các điều kiện trên, thực
hiện thường xuyên ở mỗi tiết học, chắc chắn rằng chúng ta sẽ đạt được hiệu quả
cao trong quá trình dạy học
2. Khuyến nghị:
2.1. Đối với giáo viên :
- Khi thiết kế đề bài cần chọn ngữ liệu sao cho phù hợp , các số đưa ra cần
sát với thực tế , câu văn ngắn gọn dễ hiểu .
- Phải chú ý học sinh bước phân tích, vẽ sơ đồ trong khi giải bài dạng
toán này . Từ sơ đồ ta có thể hình thành được các phép tính ngược và tìm ra lời
giải của bài toán .
2.2 Đối với học sinh
- Cần đọc kỹ đề bài để phát hiện các dạng toán .
- Cần xác định đúng số cần tìm và các phép tính dựa trên sơ đồ .Khi đặt
lời giải cho phép tính cần căn cứ vào những dấu hiệu, câu văn có trong đề bài .
2.2. Đối với nhà trường: Nên tổ chức các chuyên đề nhỏ . Từ đó giáo viên
vận dụng một cách sáng tạo trong giảng dạy để đạt hiệu quả cao.
20

Duy trì các phong trào thi đua. Động viên khen thưởng kịp thời những
giáo viên và học sinh có thành tích tốt. Đầu tư cơ sở vật chất, mua sắm thiết bị
đồ dùng, thiết bị phục vụ cho dạy và học.
2.3. Đối với phòng giáo dục: Cần mở các chuyên đề về dạy toán và phổ
biến kinh nghiệm cho giáo viên.
Trên đây là những kinh nghiệm giảng dạy của tôi về việc hướng dẫn học
sinh sử dụng sơ đồ khi giải toán dạng tính ngược từ cuối. Bài viết này chắc chắn
sẽ còn nhiều thiếu sót. Tôi rất mong được sự đóng góp ý kiến chân thành của hội
đồng xét duyệt và bạn bè đồng nghiệp để được hoàn thiện hơn.
Chí Linh, ngày 26 tháng 2 năm 2015.

21


MỤC LỤC
NỘI DUNG
THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN
TÓM TẮT SÁNG KIẾN
MÔ TẢ SÁNG KIẾN

TRANG
1
2
4

1. Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến

4

2. Cơ sở lý luận của vấn đề
3. Thực trạng của vấn đề

5
6

4. Các giải pháp, biện pháp thực hiện

7

5. Kết quả đạt được

16

6. Điều kiện để sáng kiến được nhân rộng
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ

17
19

1. Kết luận

19

2. Khuyến nghị

20

22