Hệ phương trình luyện thi THPT quốc gia ( Thầy Lâm Phong )

ÔN TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016

THẦY LÂM PHONG (FB: PHONG LÂM HỨA)

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
HƯƠNG ĐẾN KÌ THI THPT QUỐC GIA 2016
Biên soạn và trình bày: Hứa Lâm Phong (Sài Gòn – 06/06/2016)
 x 2  xy  y 2  x  y  y
[1]. Giải hệ phương trình 

2
2

 5 x  4 y  x  3 x  18  5 y

 x; y  

(Trích đề thi thử THPT Chuyên Thái Bình)
 y  0
HDG 1  x2  xy  y 2  y  x  y  0 với đk 
 x  6



x 2  xy
x 2  xy  y 2  y



xy
x


 0  x  y 

2
2
x y
 x  xy  y  y

 0 ,x  0 ,y  0






1

0 x y
x y



 2

Thay x  y  5x 2  4 x  x 2  3x  18  5 x
 5x 2  4 x  x 2  3 x  18  5 x  0







 5x 2  4 x  x 2  3x  18  25x  10 x x 2  3x  18



 2 x 2  9 x  9  5 x  x  3  x  6 
 2x2  9x  9  5
2



x2  6x

x

  3
2

2



 6x  x  3

x3



2

5

x

2



 6x  x  3  3



9  3b
a  2
x 0


(Giải thích: 2 x 2  9 x  9  a x 2  6 x  b  x  3  
).
x 1
2  5a  4b 
b  3






u  v
u  x 2  6 x
2
2
2
2

3

2
u

3
v

5
uv

2
u

5
uv

3
v

0

u,

v

0
Đặt 

 thì  
u  3 v
v  x  3

2

7  61
x
 tm 
2
2
2

Với u  v  x  6 x  x  3  x  7 x  3  0  
 x  7  61  km 

2
 x  9  tm 
3
2
2
Với u  v  4 x  6 x  9  x  3   4 x  33 x  27  0  
3
2
 x   4  ktm 



HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016



HỨA LÂM PHONG (0933524179)

GROUP TOÁN 3K


ÔN TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016

THẦY LÂM PHONG (FB: PHONG LÂM HỨA)

 7  61 7  61 
;
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là  9 ; 9  , 



2
2



4 y 3   4 x  29  x  7  y  0

[2a]. Giải hệ phương trình  3

 x; y 
y
2
2
3
 y  3x  y x  7  6 x 
3




(Trích đề thi thử THPT Kim Liên, Hà Nội)
Đặt u  x  7  0  x  u2  7 (đk: x  7 )





Khi đó 1  4 y 3  y  4  u2  7   29 u  4 y 3  y  4u3  u  f  y   f  u 





3
Xét hàm f t  4t  t t 

 , f ' t   12t 2  1  0,  t 

 f  t  đồng biến trên

 

Do đó *   y  u  y  x  7  0 thay vào 2 ta được:

x7
 3 (nhẩm nghiệm và phân tích theo CASIO - HSTL)
3

 2   3x2  6 x 
 3x2  6 x  3 

x7
  x  1   x  1   0
3



 x7
2 



  x  1 
2



3
x


5
x

4
  0  3x 2  5x  4  
 3x2  5x  4   3
0
 x7

 x7



  x  1 
 x  1 
 3 

3
3



 









 3x2  5x  4  1 











3







 3x 2  5x  4  0

1
0

 3 x  21  3 x  4  0
x7
 x  1 


3



5  73
37  73
x 
tm   y 

2
6
6
● Với 3 x  5 x  4  0  
 x  5  73  ktm 

6

7  69

4
x 
l
x

6



3

● Với 3 x  21  3 x  4  

2
7  69
35  69
3 x  21  9 x  24 x  16 
x
n  y 



6
6

HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016

HỨA LÂM PHONG (0933524179)

GROUP TOÁN 3K


ÔN TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016

THẦY LÂM PHONG (FB: PHONG LÂM HỨA)

 5  73 37  73   7  69 35  69 
 ,

;
;

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là 

 

6
6
6
6

 

2
Cách khác 1: để giải phương trình 3x  6 x 

Đặt z  1 

x7
3
3

2
x7
 3  z  1  x  7  3 z 2  6 z  x  4
3

Đồng thời pt thành 3x 2  6 x  z  4
3z 2  6 z  x  4
Do đó ta có hệ phương trình 
(hệ đối xứng loại 2, các em tự làm tiếp nhé)
2


3x  6 x  z  4

(Giải thích phương trình có dạng
Và khi đó đặt x 

ax2  bx  c  mx  n ta đặt  VT '  0  x   b
a

b
 mx  n  để chuyển về hệ đối xứng loại 2).
a

Cách khác 2: Đặt t 

x7
m 0
 0  3t 2  x  7 
 3mt 2  mx  7 m  3mt 2  mx  7 m  0
3

Khi đó 3x 2  6 x  3  t  3mt 2  mx  7 m  0
0

 3mt 2  t  3x2   6  m x  7 m  3  0









Xét   1  12m 3x2   6  m x  7 m  3  36mx2  72m  12m2 x  84m2  36m  1



2
Và xét    12m  72m

Để



2





 144m 84m2  36m  1

 có dạng bình phương bình đúng thì   0  ...  m  1

Do đó ta có: 3t 2  t  3x 2  7 x  4  0 .
Xét   1  12  3x 2  7 x  4   36 x 2  84 x  49   6 x  7 2  0 ,  x 
 1  6x  7
x1
t 

6
Đến đây ta sẽ có: pt  
(học sinh tự làm tiếp nhé)
t  1  6 x  7   4  x
6
3


x  3 x  y y  1  0
[2b] Giải hệ phương trình: 
 x; y 
3
4
3
2
x

x

x

1

x
y

1

1






HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016

HỨA LÂM PHONG (0933524179)



GROUP TOÁN 3K


ÔN TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016

THẦY LÂM PHONG (FB: PHONG LÂM HỨA)

(Sưu tầm Facebook 13/05/2016)
Điều kiện: y  1, x 3  x 2  1  0
3
3


u  x
x  u
Đặt 
thì pt(1) thành u3  u  v2  1 v  0

2
y


v

1
v

y

1

0













 u3  v 3  u  v  0   u  v  u2  uv  v 2  1  0  u  v
0

 y  1  x  0  x   y  1
2

3

3

Thay vào pt(2) ta được: x4  x3  x2  1  x3  1
 x4  x3  x3  x2  1  1  0
x 2  x  1

 x 3  x  1 

0

x x 1 1


x  0  y  1
1
 x 2  x  1  x 
0


x  1  y  2
x3  x2  1  1 

3

2

 0 ,x  0

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là  0 ; 1 ,  1; 2 

 x  4  3  x  y 3  y  0
[3]. Giải hệ phương trình 
 x; y 
2
2
2 x  y  3x  12  5x  6  7 x  11  0



(THPT Lục Ngạn, Bắc Giang)
Đặt

u  3  x  0  x  3  u2 (đk:





6
x3)
5



Khi đó 1  3  u2  4 u  y 3  y  0  y 3  y  u3  u  f  y   f  u 



3
Dễ dàng chứng minh hàm f t  t  t đồng biến (phần này xin dành cho bạn đọc)

 y  u  y  3  x  0  y 2  3  x thay vào pt  2  ta được:

 2   2x2  4x  9 

5 x  6  7 x  11  0 (nhẩm nghiệm x = 2, x = -1)

Xét

4  2a  b
a  1
x2
5x  6  ax  b 


 5x  6   x  2 


x 1
1  a  b
b  2

Xét

 5  2c  d
c  1



x2
7 x  11  cx  d 


 7 x  11   x  3 
x 1


2  a  b
d  3

HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016

HỨA LÂM PHONG (0933524179)

GROUP TOÁN 3K


ÔN TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016

pt  2 x 2  4 x  9 





 2x  2x  4 



THẦY LÂM PHONG (FB: PHONG LÂM HỨA)

 



5x  6   x  2  

5x  6   x  2 

2

7 x  11   x  3 

2

0
7 x  11  x  3
x2  x  2
 2x2  2 x  4 

0
5x  6  x  2
7 x  11  x  3







x  2  y  1
1
1
 x2  x  2 
1
 1  0  
 5x  6  x  2

7 x  11  x  3
 x  1  y  2


 6 


 0 ,x  ; 3 
 5 


2



5x  6  x  2
x2  x  2







7 x  11   x  3    x  2    x  3   0



Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là  2 ; 1 ,  1; 2 
2
2

2 x  5x  y  3 y  x  1   2 x  y  1 y  x  2  0
[4]. Giải hệ phương trình : 
 x, y 
2
2
4
x

x

4

2
x

y

x

4

y

y





(THPT Mỹ Đức, Hà Nội)
ĐK: y  x, 2 x  y  0 , x  4 y  0
X 100
Giả sử  1  20502  Y 2  303Y   201  Y  Y  100  0  Y  201  2 x  1
Shift Calc





Do đó ta cần tạo ra nhân tử 2 x  1  y . Từ đây ta đưa đến hướng phân tích như sau:

1   2x2  5x  y 2  3yx  3y  2    2x  y  1

yx 0



 2

2
  y  3  x  1 y  2 x  5 x  2    2 x  y  1  y  x  0



* 









2
2
Xét pt *  y  3 x  1 y  2 x  5x  2  0 (xem x là ẩn và y là tham số) do y  2 x  1 là

nghiệm nên dung lược đồ Horner để nhẩm nghiệm. Ta có bảng Horner như sau:
1





2x  1

1

3x  3
x  2



2 x 2  5x  2



0

Do đó y  3 x  1 y  2 x  5x  2  y  2x  1 y  x  2
2

2



Trở lại pt, ta có:   y  2 x  1 y  x  2    y  2 x  1 y  x  0



  y  2 x  1 y  x  2 

HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016

 y  2x  1
yx 0
2
 yx 








y  x  2  0  3

HỨA LÂM PHONG (0933524179)

GROUP TOÁN 3K


ÔN TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016

THẦY LÂM PHONG (FB: PHONG LÂM HỨA)

t  1  n 

2
Ở pt  3   t  t  2  0  
t  y  x 0

t  2  l 

 y  x 1 y  x 1

 2

TH1: y  2 x  1  4 x 2  x  4  4 x  1  9 x  4  4 x 2  4 x  1

 3x  3  4x  1  9x  4  3x  4x  1  1  9x  4  2  0 (nhẩm nghiệm x = 0)

 3x 

4x



4x  1  1




9x
 0  x3 

9x  4  2




4
4x  1  1



 0 ,x 

1
4




9
0 x0 y1
9x  4  2 




2

TH2: y  x  1  4 x 2  x  4  3x  1  5x  4  x 2  2 x  1

 3x2  x  3  3x  1  5x  4 (nhẩm được 2 nghiệm x = 0, x = 1)

1  b
a  1


x 0


 3x  1  ax  b 
x 1


2  a  b 
b  1

Xét 


2  d
c  1
 5x  4  cx  d 
x 0




x

1

3  c  d 
d  2



3 x  1   x  1  5 x  4   x  2   3 x 2  x  3   x  1    x  2   0

Do đó pt thành


3 x  1   x  1

2

3x  1  x  1

x2  x



3x  1  x  1




5x  4   x  2 

2

 3x 2  3x  0

5x  4  2 x  1
x2  x
 3 x2  x  0
5x  4  2 x  1












x  0  y  1
1
1
 x2  x 

 3  0  
 3x  1  x  1

5x  4  2 x  1
x  1  y  2


1


 0 ,x 
3







Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là  0 ; 1 , 1; 2 
2 x  3 2 xy  2 x  y 2  y  5 y  4

[5]. Giải hệ phương trình: 
 x; y 
2

 2 2y  x  1  1  2x  y  1








(THPT Phúc Thành, Hải Dương)

HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016

HỨA LÂM PHONG (0933524179)

GROUP TOÁN 3K


ÔN TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016

THẦY LÂM PHONG (FB: PHONG LÂM HỨA)

2 x  y  0

ĐK:  y  1
. 1   2x  5y  4   3 2 x  y  1  y  y  1  0
 2
2 y  x  1  0
  2x  5y  4   3

 2x  y  y  1  0

5  1  b
a1
Xét 2 x  5 y  4  a  2 x  y   b  y  1 

 b  4
x 0
4  b

Khi đó pt 



2x  y



2

 2x  y  y  1  4 

3

y1



2

0

u  2 x  y  0 *
u  v  tm 

 u2  3uv  4v 2  0  
Đặt 
u  4v  ktm 
v  y  1  0

 2x  y  y  1  2x  y  y  1  x  y 

 

Thay vào phương trình 2 ta được:

4y2  2y  3  2y  y  1

4y2  2y  3  y  1  2y  4y2  y  4  2
2



 4y

2



1

2

4y

2



 2 y  3  y  1  4 y 2

 2 y  3  y  1  y  4



 4 4 y 3  6 y 2  y  3  y 2  8 y  16
 16 y 3  25 y 2  12 y  4  0  y  2  x 

5
2

Vậy hệ phương trình có một nghiệm là  5 ; 2 
2








 4x3  x2 y  6  y 2 y  2  4x3  x2  3y 2

[6]. Giải hệ phương trình 
 x; y 
x3 y  2x2  x x3 y 2  y 3  2 y 2








(Thầy Dương Văn Vũ – Bài 588)
3
ĐK: x  y,y  6  x  3 y  3 6 . (Nhận xét pt(2) cả 3 thừa số đều có “y” và dựa vào đánh

giá điều kiện ban đầu ta đưa đến việc chia bớt 2 vế của pt(2) cho “y”)

 2   x3   2x2  x 

x3  y  2 y

 2
shift calc
3
3
 Y  997500
Xét X  100  100  19900 100  Y  2Y 

HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016

HỨA LÂM PHONG (0933524179)

GROUP TOÁN 3K


ÔN TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016

 Y  1003  2500  1003 

THẦY LÂM PHONG (FB: PHONG LÂM HỨA)

100 2
x2
x2
 x3 
 y  x3 
0
4
4
4

Do đó ta đưa đến cách phân tích theo lượng liên hợp như sau:


x x
x3  y    2x2  x  2 y
2 2


x2
x3  y 
2
x
4 0
 2x3 
 2 y  2x2  x
x
2
x3  y 
2


x  2 x  1 

x2  
x2
3
  x 3  y    2 

0

y

x

 4x3  x2  4y

x
4 

4

x 3  y  

2


 2   x3   2x2  x  









0 ,x 3 6

Thay vào pt(1) ta được: 4 y y  6  y 2 y  2  4 y  3 y 2 (nhẩm nghiệm y = 7)



 



 4 y y  6  4 y  y 2 y  2  3y 2  0

 4y

y  7
y6 4

y 7

 y2

y2 3

0



4y
y2
  0  y  7  4 x 3  x 2  28  0  x  2
  y  7

 y6 4

y2 3

0 ,y 6

2;7

Vậy hệ phương trình có nghiệm là

Cách khác phân tích nhân tử cho pt(2) (đổi biến không hoàn toàn)

 2   x3   2x2  x 



x 3  y  2 y . Đặt k 





x3  y  0  y  x3  k 2



Pt thành x3  2 x2  x k  2 x3  k 2 (xem k là ẩn và x là tham số quy về pt bậc 2)







 2 k 2  2 x2  x k  x3  0 . Xét   2 x  x
2



2



 

 8x3  4x4  4x3  x2  2x2  x



2

 0 (hạnh

phúc mỉm cười với những ai hy vọng ^^)


x  2x2
k 
*   
x  2x2
k




 2x2  x x

x
4
2
 x3  y   4x3  x2  4 y

2
2
 2x  x
  x 2  ktm 
4

HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016

HỨA LÂM PHONG (0933524179)

GROUP TOÁN 3K


ÔN TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016

THẦY LÂM PHONG (FB: PHONG LÂM HỨA)

 x  2  x  y  4  x 3  x 2  y  3
[7a]. Giải hệ phương trình 
 x; y 
2
2



x x





x  y  3  2x  x  y  1



(THPT Hùng Vương, Bình Phước)
 x  y  4  0
DK : 
 x  y  3  0
Y 100
  x2  x 
 2  

shift
x  97  2 x2  x  101 
 x  101  y  1
calc





Do đó ta cần tạo ra nhân tử x  y  1

 2    x2  x  



 x2  x



 



x  y  3  2  2 x2  x  2x2  x  y  1  0

x y 1
xy3 2

 x  y 1 0

x  y  1


x2  x

  x  y  1 
 1  0   x2  x  2  x  y  3  0  y  x  1
 xy3 2




0



Thay vào phương trình 1 ta được:  x  2  2 x  3  x 3  x 2  x  2

(nhẩm nghiệm x = - 1 là nghiệm bội và một nghiệm vô tỷ quen thuộc, bạn đọc tự kiểm tra)

h  1  0
1  a  b  0 a  1


b  2
h'  1  0 1  a  0

a ?
Xét h  x   2 x  3   ax  b  

b ?

Do đó ta có cách phân tích như sau:

 x  2 

 



2x  3   x  2   x3  x2  x  2   x  2 

  x  2
  x  2

 2x  3   x  2 
2x  3  x  2
x2  2x  1

2

2

 x 3  3x  2

  x  1  x  2   0
2

2x  3  x  2

2
x2
  x  1 
 x  2  0
 2x  3  x  2

 x  1  y   2

2
 x  2   x  2  2 x  3  x  4  0  3 

 3   x2  x  2   x  2 

2 x  3  0 (chú ý vẫn còn 1 nghiệm vô tỷ nữa ^^)

Dùng chức năng MTCT SHIFT CALC pt trên ta được

HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016

SHIFT  RCL A
X  1, 414213562 
x  A

HỨA LÂM PHONG (0933524179)

GROUP TOÁN 3K


ÔN TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016

x A
2 x  3 
 2 A  3  2 , 414213562  A  1  2 x  3   x  1

Thay vào

 3   x  2  
  x  2

THẦY LÂM PHONG (FB: PHONG LÂM HỨA)



2 x  3   x  1  x 2  x  2   x  2  x  1  0

2 x  3   x  1

2

2x  3  x  1
x2  2

  x  2

2x  3  x  1





 2 x2  2  0





 2 x2  2  0

 x  2  y  2  1  tm 



2x
2
 x 2 
 2   0   x   2  y   2  1  ktm 

2

x

3

x

1


 2 2 x  3  3 x  0  4 







9x2
3x
4  2 31
5  2 31
2 x  3 
y
 4   2x  3   2  
 ktm 
4 x
9
9
x  0


Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là

 1; 2  hay 

2; 2 1



Cách khác: (đổi biến không hoàn toàn)
Dặt t  x  y  3  0  y  x  3  t 2 khi đó pt (2) thành

x

2













 x t  2 x 2  2 x  4  t 2  x 2  x t  2 x 2  x   t  2  t  2   0


 t  2  x

 x 2  x  t  2    t  2  t  2   0





2



xt2 0





x  y  3  2 x2  x  2  x  y  3  0  x  y  3  2  x  y  1
0


2 y2  3y
x  y  3 
x
 x; y 
[7b]. Giải hệ phương trình: 
 x  1  3y  2  x  y  3  4




(THPT Hà Huy Tập, Nghệ An)
DK : x  1, y 

2
,x  y  3
3

1  x2  xy  3x  2 y2  3y   x2  xy  2y2    3x  3y   0
  x  y  x  2 y   3  x  y   0   x  y  x  2 y  3   0  x  y
0 ,x1 ,y 

HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016

2
3

HỨA LÂM PHONG (0933524179)

GROUP TOÁN 3K


ÔN TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016

THẦY LÂM PHONG (FB: PHONG LÂM HỨA)

 

x  1  3x  2  2 x  3  4

Thay x  y vào pt 2 , ta được:

 x  1  1  3x  2  2  2 x  3  1  0


x2



3 x  2

2 x  2



0
x1 1
3x  2  2
2x  3  1


1
3
2
  x  2


0 x2

3x  2  2
2x  3  1 
 x1 1
0 ,x

3
2

Vậy hệ phương trình có nghiệm là

2; 2

.





 x3  4 x2  5x  y y  1  2

[8a]. Giải hệ phương trình: 
 x; y 
 x  1 6 x  2  5 y 2  36 x 2  24 x  4  y  12 x  4




(đề thi HSG tỉnh Quảng Trị)
ĐK: x 

1
3



3
2
3
Đặt u  y  0 nên 1  x  4x  5x  2  u  u
x 0
Xét x3  4x2  5x  2   x  a    x  a  
 2  a3  a  a  1
3

Do đó ta có  x  1   x  1  u3  u  f  x  1  f  u  (việc chứng minh hàm đặc trưng đơn
3

điệu xin dành cho bạn đọc).
Ta suy ra x  1  u  y  x  1  0  y   x  1 thay vào pt(2), ta được:
2

 x  1

6 x  2  5x4  20 x3  6 x2  44 x  1  x2  10 x  5

(nhẩm nghiệm phương trình được x = 1, x = 3, việc này xin dành cho bạn đọc)
2  a  b  0
a  1
a ?
h  x   6 x  2   ax  b  




b ?
4  3a  b  0
b  1











2
Chú ý x  1 x  3  x  4x  3

Khi đó pt  x  1



6x  2   x  1  5x4  20x3  6x2  44x  1  x2  10x  5   x  1

HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016

HỨA LÂM PHONG (0933524179)

2

GROUP TOÁN 3K


ÔN TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016

  x  1

6 x  2   x  1

  x  1
  x  1
   x  1
   x  1

2

THẦY LÂM PHONG (FB: PHONG LÂM HỨA)

  12 x  4   5 x 4  20 x 3  6 x 2  44 x  1  0

6x  2  x  1
4x  3  x2
144 x 2  96 x  16  5 x 4  20 x 3  6 x 2  44 x  1

0
6x  2  x  1
12 x  4   5x4  20x3  6 x2  44x  1
4x  3  x2



6x  2  x  1
x  4x  3
2

6x  2  x  1
x2  4x  3
6x  2  x  1

5 x 4  20 x 3  150 x 2  140 x  15

12 x  4  

5x  20 x  6 x  44 x  1
4

3

2

0

x  4 x 3  30 x 2  28 x  3
4

5

12 x  4  

x

5

5x 4  20 x 3  6 x 2  44 x  1



 4x  3 x2  8x  1

2

12 x  4  



5x 4  20 x 3  6 x 2  44 x  1



0

0





5 x2  8x  1

x1

0
 x  4x  3

 6 x  2  x  1
4
3
2
12 x  4   5x  20x  6 x  44x  1 




2



 0 ,x 

1
3

x  1  y  4

 x  3  y  16

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là  1; 4  ,  3 ; 16  .
 x  y  2  y   y  1 x  y  2  x  3 y  4
[9]. Giải hệ phương trình: 

 x; y 

2
2
x

2
x

2
x

y

y

1
x

3
y

9

2
x

1










(THPT Hùng Vương, Bình Phước, Lần 3)
ĐK: y  0 , x  y  2  0 , x  2 x  y  0 , x  3 y  9  0
2

2

Y 100
  X  98  .10  99
1 

Shift
X  102  X  296 
 X  98    Y  2   x  y  2  0
Calc





(Cần chú ý ở pt(1) ở thừa số “thứ nhất” đã có nhân tử x  y  2 do đó ta chỉ cần tạo nhân tử
cho

x  y  2

x  y  2 
 4  2)

 1   x  y  2 

y   y  1

  x  y  2  y   y  1





x  y  2  2  2  y  1   x  3 y  4   0

xy2
xy2 2

  x  y  2  0





(Đến đây khoan vội đặt nhân tử chung x  y  2 ngay mà ta tiếp tục kết hợp “thừa số thứ
nhất” và “thừa số thứ ba” lại!

HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016

HỨA LÂM PHONG (0933524179)

GROUP TOÁN 3K


ÔN TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016

  x  y  2



y 1 

 

  x  y  2




y  1 1 





y 1

THẦY LÂM PHONG (FB: PHONG LÂM HỨA)



y 1



xy2
xy2 2

0


y  2  x
0
x  y  2  2 
y  1
y 1

0

 2
● TH1: y  1  x  2



  x  1

 2x  1   x  2  x  1  2x  1

2


5  13
x 
 ktm 
 x  2  x  1  2 x  1
 x 2  x  1  0  VN 
2




 x  2  x  1  2 x  1  x 2  5x  3  0
5  13
x 
 ktm 
2

 
● TH2: y  2  x 
  x  2  x 2  x  2   1  x  x 2  3 x  3  2 x  1 * 
2

 1 1

;  ; 2  , tuy nhiên khi thay x   1
2
 2 8


Dùng CASIO nhẩm nghiệm phương trình ta có x  

 2
7
 x x2 

2 , sẽ gặp chút ít khó khăn khi ta cần
vào trong 2 căn thức thì ta có  
7
 2
x  3x  3 

2

tạo lượng liên hợp. Vì vậy ta sẽ thử rút nhân tử của 2 nghiệm còn lại như sau:
x 

1
2


1
h  2   0
2  2a  b  0
a




a ?
3

h  x   x 2  x  2   ax  b  
  11 1

  1
b ?
4

a

b

0
h


0
 


b 
8 8
  8

3


g  x   x  3x  3   cx  d 
2

HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016

 g  2   0


1
1  2c  d  0
c  3


  13 1

 1
g     0
  cd0
d  5
8 8
  8

3



c ?



d ?

HỨA LÂM PHONG (0933524179)

GROUP TOÁN 3K


ÔN TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016

 1   x  2   3
  x  2
  x  2

THẦY LÂM PHONG (FB: PHONG LÂM HỨA)







x2  x  2   4  x   1  x  3 x 2  3x  3   x  5   0





9 x2  x  2   4  x 

2

3 x2  x  2   4  x 
8 x 2  17 x  2
3 x  x  2  4  x

2

  x  1
  x  1





9 x 2  3x  3   x  5 

2

3 x 2  3x  3   x  5 
8 x 2  17 x  2

3 x  3x  3   x  5 
2

0

0



x2
x1

0
 8 x  17 x  2


 3 x2  x  2  4  x
2
  3 x  3x  3   x  5  


1
17
x   8  y  8

  x  2  y  4

2
2
 3  x  2  x  3 x  3   x  5  x  2   3  x  1 x  x  2   x  1 4  x   0






2

 3   1  x 

3

x2  x  2   x  2  x 2  3x  3  2  2 x  1

a  x 2  x  2


Đặt 
 a,b  0  và kết hợp 2 pt (*) và (3) ta có:
b  x 2  3 x  3

 x  2  a   1  x  b  2 x  1

 1  x  a   x  2  b  2  2 x  1

Cộng vế theo vế từng pt ta có: 3a  3b  3  2 x  1  x2  x  2  x2  3x  3  2 x  1


  2 x  1

 2x  1
x 2  x  2  x 2  3x  3


1
1
5
  2 x  1 
 1  0  x    y 


2
2
2
2
 x  x  2  x  3x  3


0

Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm là   1 ; 5  ,  2 ; 4  ,   1 ; 17  .


2 2

 8

8 

 x  3 y  2  xy  y 2  x  y  0

[10]. Giải hệ phương trình: 
 x; y 
2
3 8  x  4 y  1  x  14 y  12



(KSCL tỉnh Quảng Nam, 2016)

x  8
x  8


 x  8
2
ĐK:  xy  y  x  y  0   y  1 x  y   0  

 x  y  0
y  1  0

y  1  0


1  x  3y  2 

y  x  y    x  y   0  x  3y  2 

HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016

 x  y  y  1  0

HỨA LÂM PHONG (0933524179)

GROUP TOÁN 3K


ÔN TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016

THẦY LÂM PHONG (FB: PHONG LÂM HỨA)


a  1
Xét x  3 y  2  a  x  y   b  y  1  

b  2

u  x  y

Khi đó 1   x  y   2  y  1 

 x  y  y  1  0 . Đặt 

v  y  1

 u, v  0 

Nhận xét v  0  u  0  x  y  1 (không là nghiệm của hệ)
u  v

Ta có:  1  u2  uv  2 v 2  0  

u  2 v

 ktm 

 xy  y1 y

x 1
2

Thay vào pt(2) ta được: 3 8  x  2 2x  2  x2  7 x  5 , ĐK: 1  x  8
(Nhẩm nghiệm x = 7 nên ta sử dụng liên hợp)
3



 

8  x 1 2
7x



2 x  2  4  x2  7 x
2x  7

 x x  7  0
8x 1
2x  2  4


3
4
 x  7

 x  0
2x  2  4
 8x 1

x  7  y  3


3
4

 x  0  3
 8  x  1

2x  2  4
3

2

Cách 1: Dựa vào tập điều kiện chứng minh pt(3) vô nghiệm (theo đáp án)
Cách 2: chứng minh pt(3) vô nghiệm bằng cách sử dụng tính đơn điệu hàm số:
Xét hàm g  x  

h  x 

 x  1; 8   g'  x  
8x 1
3

 x  1; 8   h'  x  
2x  2  4
4



2



3



8x 1

2

4
2x  2  4



2

2x  2

8x

 0  g  x   g  1 

3
4

 0  h  x   h  8   8  6 2

Vậy VT 3  3  8  6 2  1  33  24 2  0  pt  3  vô nghiệm.
  4
4
Cách 3: chứng minh pt(3) vô nghiệm bằng cách dùng Table:

HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016

HỨA LÂM PHONG (0933524179)

GROUP TOÁN 3K


ÔN TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016

THẦY LÂM PHONG (FB: PHONG LÂM HỨA)

Dùng TABLE: nhập

3

3

3
f  x   f  1 
 f  x 
 f  x   xmin
 f  x  4  0
4



8x 1
 1 ;8 
Start 1 End  8




Step 1

4
g  x 
 g  x   min g  x   g  8   8  6 2  1
g  x   1  0





x


1
;
8
4
4




2x  2  4


Khi đó ta có VT 3 
 VT 3 

3
8x 1



3
4
1

  x1
4
2x  2  4 4

3  3  8  x  12  2 x  2
 x 1 0


4  8  x  1 
2x  2  4

2

  x  y   4x  3  x  1  y
[11a]. Giải hệ phương trình: 
 x; y 
2
 y  1  x  2 y  3x




(Khoa KHTN, Đại Học Hồng Đức)
ĐK: 1  x  1, y  0 ,  x  y   4x  3  0

2

Y 100
  x  100 
1 

2

Shift
 4x  3  x  1  10 
 X  99  Y  1  x  y  1  0
Calc

Tuy nhiên ta cần lưu ý vì rất có thể nghiệm x  y  1 là nghiệm bội do đó ta kiểm tra bằng
bảng TABLE: (START = 95, END = 105, STEP = 1).

 

Ta thấy khi qua nghiệm X = 99 thì hàm f X không
đổi dấu nên là nghiệm bội hai (nghiệm kép)
Như vậy ta đưa đến việc tao nhân tử  x  y  1

2

Điều này thực hiện cũng tương tự khi ta tiền liên
hợp tạo nghiệm bội đối với phương trình.
Nhưng trước hết, do pt(1) có đến 3 căn bậc hai, nên
động tác đầu tiên ta nên làm là Lũy thừa (bình phương hai vế) để quy về 1 căn thức mà thôi.
Cụ thể ta làm như sau:

 x  y


2

 4x  3  x  1  y

 x  y

2

 4x  3  y  x  1 (chuyển vế để hai vế đều dương)

  x  y   3x  y  2  2
2

 x  1 y

 x  y  2 x  y  1  x  y  1  2
2

HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016

 x  1 y (thêm bớt để tạo hằng đẳng thức  x  y  1

HỨA LÂM PHONG (0933524179)

2

GROUP TOÁN 3K

ÔN TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016

THẦY LÂM PHONG (FB: PHONG LÂM HỨA)

  x  y  1  2

 x  1 y   x  y  1
2
4  xy  y    x  y  1
2
  x  y  1 
2  x  1 y   x  y  1
2
  x  y  1
2
  x  y  1 
2  x  1 y   x  y  1
2


2
  x  y  1  1 

2



0 x y 1

 x  1 y   x  y  1 
1

 0 ,x 1 ;1 ,y  0

Cách khác: Dùng CASIO tìm lượng liên hợp cho nghiệm bội.

200  99a  b  0
a  1
h  99   0


a ?
Đến đây ta xét h  x   20 x  1   ax  b  



b ?
1  a  0
b  101



h'  99   0
thay Y 100

Do đó 2

 x  1 y   x  101 hay

2

 x  1 y   x  y  1

Trở lại bài toán ta có:



pt   x  y   3x  y  2   x  y  1  2
2

  x  y   2x  2y  1 

4  xy  y    x  y  1

2


2
  x  y  1  1 

2


2

 x  1 y   x  y  1

2

 x  y  2 x  y  1 
2

 x  1 y   x  y  1 

 x 2  y 2  1  2 xy  2 x  2 y
2

 x  1 y   x  y  1


0 x y 1
 x  1 y   x  y  1 
1

 0 ,x 1 ;1 ,y  0

Thay x  y  1 vào pt(2) ta được:

y  2  y  2y2  3y  3

 3  ( ĐK: 0  y  2 )

(dùng CASIO tìm nghiệm y = 1 nếu liên hợp cho y = 1 sẽ dẫn đến biểu thức còn lại bị
ngược dấu do đó ta có cách liên hợp sau:

 3 



y  y  2  y  1  2 y2  3y  3  y  1

 

 y 1 y 


 y  1
1 y

y





2  y  1  2y2  2y  4
y 1
2 y 1

HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016

  y  1 2 y  4   0

HỨA LÂM PHONG (0933524179)

GROUP TOÁN 3K


ÔN TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016

THẦY LÂM PHONG (FB: PHONG LÂM HỨA)



y
1
   y  1 

 2y  4   0  y  1  x  0
 1 y

2 y 1


0 ,y0 ; 2 

Vậy hệ phương trình có nghiệm là  0 ; 1 .
 3 y  8  2  x   3x  10  y  12  0

[11b]. Giải hệ phương trình: 
 x; y 
3
2
5

x
y
2


x

6
y

8







(đề số 5, Thầy Lê Bá Trần Phương, hocmai.vn)
ĐK: 2  x  2
Nhận xét y = 0 không là nghiệm của hệ nên ta có:

2  5  x
 5  x

2x 

6
8
 3
y y

2 2
2  x  3.   
y y

3

Đặt t  2  x  0  t 2  2  x  t 2  3  5  x




3





3

Do đó pt thành t 3  3t   2   3. 2  t 3   2   3t  3 2  0
y

y

y

y



2 
2t
4

2
2
  t    t2 
 2  3   0  t   2  x   0  y  0


y
y
y
y
y



0

2x

4
y

2

x2

4
y2

thay vào pt (1) ta được:


12 


4


 y  12  0
y 2 
y 2 

16  2
12
 6 
 12  0
 y  1  4y 
y
y



 3y  8 

4

4

  3y  8  y 2  1  2 y 2  6 y  6

Nhẩm nghiệm y   5 do đó ta liên hợp như sau

HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016

HỨA LÂM PHONG (0933524179)

GROUP TOÁN 3K


ÔN TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016

pt   3 y  8 
  3y  8 



y 1  2



 2 y2  5




6
y  5  x  5


3y  8
 2   0   y   5  ktm 



y2  1  2

3y  4  2 y2  1  0



 y2  5 







y2  1  2  2y2  6y  6  2  3y  8 

y2  5
2

THẦY LÂM PHONG (FB: PHONG LÂM HỨA)



 3


4
12  2 11

y   3
y
 ktm
Pt  3   2 y  1  3 y  4  
5
2
2
4 y  1  9 y  24 y  16

2





Vậy hệ phương trình có nghiệm là  6 ; 5  .
5




 x 3  y 3  3  x  y   6 y  y  2   14
[12a] Giải hệ phương trình: 
 x; y 
3
2
27 x  27 x  20 x  4  4 3 y  2 x  1



(THPT Thái Phiên, Đà Nẵng, 2016)
Shift
Y 100
 X 3  100 3  3  X  100   600.98  14  0 
 X  98 
1 
Calc

x2y

1  x3  3x  y3  6y2  15y  14  0
Sử dụng lược đồ Horner để nhẩm nghiệm x  2  y ta có:

2y

1

0

3

y 3  6 y 2  15 y  14

1

2y

7  4y  y2

0

 1   x  2  y   x 2   2  y  x  y 2  4 y  7   0

x  2  y

  x 2   2  y  x  y 2  4 y  7  0  VN   y  2  x

2
 y 2   3


Thay vào pt(2) ta được: 27 x3  27 x2  20x  4  4 3 x  1 (nhẩm nghiệm x  0 )

 27 x3  27 x2  21x  5  4 3 x  1  x  1





 VT   ax  b   4  ax  b 
Nhận xét VP  t 3  4t, t  3 x  1 
3

x 0
Đồng thời 27  33  a  3 . Để tìm b 

 5  b3  4b  b  1

HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016

HỨA LÂM PHONG (0933524179)

GROUP TOÁN 3K


ÔN TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016

THẦY LÂM PHONG (FB: PHONG LÂM HỨA)

Do đó ta có phương trình thành  3x  1  4  3x  1 
3

 f  3x  1  f



3



x1

3



3

 43 x  1



x  1 . Dễ dàng chứng minh hàm f  u   u3  4u đơn điệu

Từ đó ta suy ra 3 x  1  3 x  1  27 x 3  27 x  20 x  4  4  3 x  1





 27 x 3  27 x 2  8 x  0  x 27 x 2  27 x  8  0  x  0  y  2
0

Vậy hệ phương trình có nghiệm là  0 ; 2  .
2
2
[12b]. Giải phương trình: x  2x  2  2x  2x  5  6 x  11

(Chuyên Phổ Thông Năng Khiếu, ĐH Khoa Học Tự Nhiên TPHCM, lần 2, 2016)
2 x 2  2 x  5  0
1

x .
ĐK: 
11
6
x 
6


Phân tích: Nhẩm nghiệm phương trình bằng CASIO ta thấy
Shift
pt  f  X   0 
 X  2 & f '  2  0  f  x   x  2 g  x
Calc
2

Do đó ta tạo lượng liên hợp tương ứng cho từng căn bậc hai như sau:

h  2   0
3  2 a  b  0 a  1


b  1
h'  2   0 1  a  0

a ?
2
Xét h  x   2 x  2 x  5   ax  b  

b ?

 k  2   0
1  2c  d  0 c  3


d  5
 k'  2   0 3  c  0

c ?



Xét k  x   6 x  11   cx  d  
d ?

Hướng dẫn giải:
x 2  2 x  2  2 x 2  2 x  5  6 x  11
 x 2  2 x  2  2 x 2  2 x  5   x  1  6 x  11   3x  5    3x  5    x  1
 x  4x  4 
2

  x  2 
2

  x  2 
2

2 x 2  2 x  5   x  1

2

2 x 2  2 x  5   x  1
x2  4x  4

2 x 2  2 x  5   x  1

 x  2

2

2 x 2  2 x  5   x  1

HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016







6 x  11   3 x  5 

2

6 x  11   3x  5 

9 x 2  36 x  36

6 x  11   3 x  5 
9  x  2

2

6 x  11   3 x  5 

0

HỨA LÂM PHONG (0933524179)

GROUP TOÁN 3K

ÔN TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016

THẦY LÂM PHONG (FB: PHONG LÂM HỨA)



1
9

0x2
  x  2 1 

2

6
x

11

3
x

5

 
2 x  2 x  5   x  1

2

 0 ,x 

11
6

Vậy nghiệm của phương trình là x  2
 3 x  y  y  x3
[12c] Giải hệ phương trình 
 x; y 
x 4  3 x  x 2  1  x   4 x  y  xy  6





(THPT Võ Nguyên Giáp, Quảng Bình, 2016)
ĐK: x2 1  x   4 x  y  0
Đặt u  3 x  y  y  u3  x khi đó pt 1  u  u3  x  x3  u3  u  x3  x





 u3  x 3  u  x  0   u  x  u2  ux  x 2  1  0  u  x  y  x 3  x
0





Thay vào pt(2) ta được: x 4  3x  x 2  1  x   4 x  x 3  x  x x 3  x  6

 x2  3x  x2  3x  6 (ĐK: x  3 hay x  0 )
Cách 1: nhẩm nghiệm x  1, x  4
h  1  0
2  a  b  0
a  0
a ?


Xét h  x   x 2  3x   ax  b  

b ?
2  4 a  b  0
b  2
h  4   0

 1  x 2  3 x  2   x 2  3 x  4 

x2  3x  4
x  3x  2
2





 x2  3x  4  0



x  1  y  0
1
 x 2  3x  4 
 1  0  
 2

 x  4  y  60
 x  3x  2






Cách 2: Đặt ẩn phụ
t  2
t  x2  3 x 0
pt  x 2  3x   x 2  3x  6 
 t2  t  6  0  
t  3  ktm 
x  1  y  0
 x 2  3x  2  x 2  3x  4  0  
 x  4  y  60





Cách 3: Lũy thừa quy về pt bậc 4 (nên làm khi đã nhẩm được nghiệm hoặc biết cách giải
tổng quát PT bậc 4 hoặc thích “liều”)

HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016

HỨA LÂM PHONG (0933524179)

GROUP TOÁN 3K


ÔN TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016

THẦY LÂM PHONG (FB: PHONG LÂM HỨA)

  x 2  3 x  6  0 * 

pt  x  3x   x  3x  6  
2
2
 x  3x  x  3x  6

2

2



  3
2

 3   x4  6 x3  4 x2  39 x  36  0   x  1 x  4   x2  3x  9   0
x  1  y  0

 x  4  y  60

  x  3  3 5  ktm 
2


3  3 5
x 
 ktm 
2


 



Vậy nghiệm của hệ phương trình là 1; 0 hay 4 ; 60



2 x 3  y 3  3xy  x  y   3x 2  5x  y  2  0
[13a]. Giải hệ phương trình  3
 x; y 
3
2
 y  2 x  7 x  10 x  y  1  2 3x  2  3x  y  0



(THPT Vạn Xuân – Hoài Đức, Hà Nội, 2016)
x 100
 2.100 3  y 3  300 y  100  y   3.100 2  500  y  2  0
1 
shift

 y  199  200  1  2 x  1
calc





Do đó ta có 1  y 3  3xy 2  3x2  1 y  2x 3  3x 2  5x  2  0
Vì pt có nghiệm y  2 x  1 nên dùng Lược đồ Horner để nhẩm nghiệm

2x  1

1
1

3x

 x 1

3x2  1

2 x 3  3 x 2  5 x  2

x x2

0

2

 1   y  2 x  1   y 2   x  1  y  x 2  x  2   0
 y  2x  1
 2
2
 y   x  1 y  x  x  2  0  3 

Với pt (3), xem y là ẩn, x là tham số. Ta có:





   x  1  4 x 2  x  2  3x 2  6 x  7  3  x  1  4  0  pt  3  VN
2

2

Thay y  2 x  1 vào pt(2) ta được: 6 x 3  19 x 2  14 x  1  2 3 x  2  5 x  1  0 * 
ĐK: x 

2
và ta nhẩm được hai nghiệm x  2 , x  1
3

h  1  0
1  a  b  0
a  1
a ?


Xét h  x   3x  2   ax  b  

b ?
2  2 a  b  0
b  0
h  2   0

HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016

HỨA LÂM PHONG (0933524179)

GROUP TOÁN 3K


ÔN TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016

THẦY LÂM PHONG (FB: PHONG LÂM HỨA)

 g  1  0
2  c  d  0
c  1
c ?




Xét g  x   5 x  1   cx  d  

d ?
3  2c  d  0
d  1
 g  2   0

*   6 x3  19 x2  14 x  1  2 
 6 x  19 x  15 x  2  2
3



2



 x  3 x  2  6 x  1 
2

 

3x  2  x 

3x  2  x2



3x  2  x

2 x2  3x  2
3x  2  x





5 x  1   x  1  2 x   x  1  0

5 x  1   x  1



2

5 x  1   x  1

0

 x2  3x  2

5 x  1   x  1

0



2

1
 x 2  3x  2  6 x  1 

0
3x  2  x
5x  1  x  1 


x  1  y  1

 x  2  y  3

2
1
6 x  1 

 0 4

3x  2  x
5x  1  x  1





 4   6x  4 
 2  3x  2  

2
3x  2  x

1

3

3x  2  3 3x  2
3x  2  x

5x  1  x  1


0

1
5x  1  x  1

 0  VN  , x 

2
3

(Vì sao tách được như vậy ? Bạn đọc suy nghĩ thêm !)
Vậy nghiệm của hệ phương trình là 1; 1 hay  2 ; 3 
 4  x  1  32 x  8 y 2  y 2  10
[13b] Giải hệ phương trình 
 x; y 
2
3

 y  1  2x  1  1



(THPT Nguyễn Diêu, Bình Định)
Phân tích tìm nhân tử nghiệm cho pt(1) cho CASIO
1
Shift
Shift
x  100  4.101  32.100  8.Y 2  Y 2  10 
 Y  19 , 9499... 
Y  A
Calc
RCL  A

Thay

x 100
32 x  8 y 2 
4  32 x  8 y 2  4  0
y A

HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016

HỨA LÂM PHONG (0933524179)

GROUP TOÁN 3K


ÔN TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016

 1  4 x  y 2  2 
 4x  y2  2 

 4x  y  2 
2

THẦY LÂM PHONG (FB: PHONG LÂM HỨA)

32 x  8 y 2  4  0

32 x  8 y 2  16
32 x  8 y 2  4



8 4x  y2  2

0

 0

32 x  8 y  4
2



8
  0  y2  4x  2  0  x  1
 4x  y2  2  1 


2
32 x  8 y 2  4 






0

Thay vào phương trình (2) ta được:

4x  1  3 2x  1  1

 4x  1  1  3 2x  1  0


2  2 x  1

4x  1  1

 3 2x  1  0





2
 3


2
2
x

1


1
3
 2x  1 
 1  0  3 2x  1  0  x   y  0
2
 4x  1  1



 0 , x 

1
2

1 
Vậy nghiệm của hệ phương trình là  ; 0 
2 

y2  2
y2  x
 2x  2

[13c] Giải hệ phương trình 

x
 x; y 
 2
3

 y  1  2x  1  1



(HSG THPT Phan Đăng Lưu, Nghệ An)
ĐK: x  0

 2  y2  2 
y2  2

x





x y 2  2  2 x  0 (ta chia 2 vế của pt cho

x

và được:

y 2
t  1  ktm 
t

0
y2  2
x
 2  0 
 t2  t  2  0  

x
t  2  tm 
2

y2  2
 2  y2  4x  2
x

u  4 x  1  0 u2  4 x  1
 3
 u2  2 v 3  1
Khi đó  2   4 x  1  2 x  1  1 . Đặt 
3
v  2 x  1
v  2 x  1
3

HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016

HỨA LÂM PHONG (0933524179)

GROUP TOÁN 3K

ÔN TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016

THẦY LÂM PHONG (FB: PHONG LÂM HỨA)

u  v  1
u  1  v
u  1  v


Do đó ta có hệ phương trình:  2

2
3
3
2
3
u  2v  1  1  v   2v  1 2v  v  2v  0


x 
 v  0  u  1  tm 



1  17
5  17

 v
u
tm    x 



4
4




1

17
5

17
v 
u
tm 

x 

4
4


1
y0
2
29  5 17
 y  0  ktm 
32

29  5 17
13  5 17
y
 ktm 
32
8

1 
Vậy nghiệm của hệ phương trình là  ; 0 
2 
2 y 3  y  2 x x  1  x  1  0

[13d] Giải hệ phương trình  2 2
 x; y 
2
2
 x y  x  4  y  5 x  4  0







(THPT Hòa Vang, Đà Nẵng)
ĐK: x  1 . Đặt u  x  1  0  x  u2  1 thì pt(1) thành





2 y 3  y  2 u2  1 u  u  0  2 y 3  2u3  y  u  0





 2  y  u  y 2  yu  u2   y  u   0





  y  u  2 y 2  2 yu  2u2  1  0  y  u  x  1  y  0   y 2  x  1
0

Thay vào pt(2), ta được: x 2  x  1  x 2  4   x  4  x  4  0
 x 3  2 x 2  4   x  4  x  4  0 (phân tích CASIO tìm đc 1 nghiệm vô tỷ)

HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016

HỨA LÂM PHONG (0933524179)

GROUP TOÁN 3K