Các dạng suy luận ngoại suy của học sinh khi khảo sát bài toán tọa độ phẳng trong môi trường hình học động

ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
-----------------------

NGUYỄN TRUNG HẬU

CÁC DẠNG SUY LUẬN NGOẠI SUY CỦA HỌC SINH
KHI KHẢO SÁT BÀI TOÁN TỌA ĐỘ PHẲNG
TRONG MÔI TRƯỜNG HÌNH HỌC ĐỘNG

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn toán
Mã số: 60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẨN KHOA HỌC
TS. Nguyễn Đăng Minh Phúc

Thừa Thiên Huế, năm 2016

i


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên
cứu của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên
cứu trong luận văn là trung thực, được các đồng
tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công
bố trong bất kỳ một công trình nào khác.

Tác giả luận văn

Nguyễn Trung Hậu

ii


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin được tỏ lòng biết ơn sâu sắc, chân thành đến thầy giáo,
TS. Nguyễn Đăng Minh Phúc đã giúp đỡ và hướng dẫn tận tình cho tôi
hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn:
+

Khoa Toán - Trường Đại Học Huế, Phòng Đào tạo sau Đại học -

Trường Đại Học Sư Phạm Huế đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt
thời gian học tập tại trường;
+

Các thầy giáo, cô giáo đã giảng dạy chúng tôi trong suốt khóa học

của lớp cao học K23 Phương pháp dạy học bộ môn Toán tại Trường Đại
học Sư phạm, Đại Học Huế;
+

Thầy Huỳnh Hữu Hiền, tập thể lớp 10A8 Ban Giám Hiệu trường

THPT Long Xuyên đã nhiệt tình giúp tôi chuẩn bị cơ sở vật chất;
+

Gia đình, bạn bè và các anh các chị học viên lớp cao học K23 đã

quan tâm, giúp đỡ, động viên tôi hoàn thành luận văn này.
Luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, kính mong nhận được sự
trao đổi và góp ý của quý thầy cô và bạn đọc.
An Giang, năm 2016
Tác giả

Nguyễn Trung Hậu

iii


MỤC LỤC
Trang
Trang phụ bìa

i

Lời cam đoan................................................................................................................ii
.........................................................................................................................................
Lời cảm ơn...................................................................................................................iii

MỤC LỤC 1
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT 4
DANH MỤC CÁC BẢNG 5
Trang 5
DANH MỤC CÁC HÌNH 7
Trang 7

Chương 1 GIỚI THIỆU VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 8
1.1. Giới thiệu 8
1.2. Nhu cầu nghiên cứu 9
1.3. Đề tài nghiên cứu 10
1.4. Mục đích nghiên cứu 10
1.5. Câu hỏi nghiên cứu 10
1.6. Ý nghĩa của việc nghiên cứu 10
1.7. Các thuật ngữ dùng trong luận văn 11
1.8. Cấu trúc luận văn 12
Tóm tắt chương 1 13

Chương 2 TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 14
2.1. Lịch sử vấn đề nghiên cứu 14

1


2.1.1. Khái niệm hình học động 14
2.1.2. Xu hướng kết toán học với cuộc sống thực tiễn trong giáo dục toán
bằng phần mềm hình học động 14
2.2. Khung lý thuyết 15
2.2.1. Tác động của môi trường hình học động đến tư duy 15
2.2.2. Bài toán tọa độ phẳng 16
2.2.2.1. Phương trình đường thẳng 16
2.2.2.2. Phương trình đường tròn 16
2.2.2.3. Phép đối xứng trục 16
2.2.2.4. Phép đối xứng tâm 18
2.2.2.5. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng 18
2.2.3. Suy luận ngoại suy 18
2.2.3.1. Chọn lựa 19

2.2.3.2. Sáng tạo 19
2.2.3.3. Quan sát 20
2.2.3.4. Thao tác 21
2.2.4. Sự phổ dụng của suy luận ngoại suy 22
2.2.5. Phát triển suy luận ngoại suy thông qua các mô hình toán thao tác
điện tử 23
2.2.6. Các kết quả nghiên cứu liên quan 25
Tóm tắt chương 2 27

Chương 3 THIẾT KẾ NGHIÊN CỨU 28
3.1. Thiết kế nghiên cứu 28
3.2. Đối tượng thực nghiệm sư phạm 29
3.3. Cách thức tổ chức thực nghiệm 29

2


3.4. Công cụ nghiên cứu 29
3.4.1. PHIẾU HỌC TẬP SỐ 1 29
3.4.2. PHIẾU HỌC TẬP SỐ 2 34
3.4.3. Phiếu điều tra (xem phụ lục) 42
3.5. Quá trình thu thập và phân tích dữ liệu 43
3.5.1. Thu thập dữ liệu 43
3.5.2. Phân tích dữ liệu 43
3.5.3. Hạn chế 44
Tóm tắt chương 3 44

Chương 4 CÁC KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 45
4.1. Giới thiệu 45
4.2. Các kết quả 45

4.2.1. Kết quả thu được từ phiếu học tập 45
4.2.1.1. Phiếu học tập 1 45
4.2.1.2. Phiếu học tập 2 48
4.2.2. Kết quả thu được từ phiếu điều tra 51
4.2.2.1. Thái độ của HS khi tiếp cận với bài toán tọa độ phẳng trong môi
trường hình học động 53
4.2.2.2. Các bài toán tọa độ phẳng đặt trong môi trường hình học động để
phát triển suy luận ngoại suy 53
4.2.2.3. Các dạng suy luận ngoại suy của HS 53
4.3. Tóm tắt 53

Chương 5 LÝ GIẢI , KẾT LUẬN VÀ VẬN DỤNG 55
5.1. Giới thiệu 55
5.2. Kết luận và lý giải 55
3


5.2.1. Kết luận và lý giải cho câu hỏi nghiên cứu 1 55
5.2.2. Kết luận và lý giải cho câu hỏi nghiên cứu 2 56
5.2.3. Kết luận và lý giải cho câu hỏi nghiên cứu 3 57
5.3. Vận dụng 57

KẾT LUẬN 59
TÀI LIỆU THAM KHẢO 60
PHỤ LỤC 62
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT
HS

Học sinh

SGK

Sách giáo khoa

THPT

Trung học phổ thông

GSP

Geometer’s Sketchpad

DGS

Dynamic Geometry System
(Hệ thống hình học động)

DGE

Dynamic Geometry Environment
(Môi trường hình học động)

CNTT

Công nghệ thông tin

4


DANH MỤC CÁC BẢNG

Trang

Bảng 2.1. Suy luận ngoại suy trên nhiều lĩnh vực 23
Bảng 2.2.Các thuộc tính của M, N 30
Bảng 2.3.Tìm ảnh của M, N 30
Bảng 2.4. Tìm ảnh của I qua phép đối xứng tâm 30
Bảng 2.5. Ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng trục Ox
31
Bảng 2.6. Ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng trục Oy
31
Bảng 2.7. Ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng tâm M
31
Bảng 3.1. Bài toán 1 34
Bảng 3.2. Mô hình 1 35
Bảng 3.3. Mô hình 2 36
5


Bảng 3.4. Mô hình 3 37
Bảng 4.1. Bảng tổng hợp kết quả của phiếu học tập số 1 47
Bảng 4.2. Bảng tổng hợp kết quả của phiếu học tập số 2 51

6


DANH MỤC CÁC HÌNH
Trang

Hình 2.1. Đường tròn 16
Hình 2.2. Biểu diễn trên mặt phẳng 20

Hình 2.3. Biểu diễn trên mặt cầu 20
Hình 2.4. Hai hình vuông 21
Hình 2.5. Tổng không đổi 22
Hình 2.6. Quá trình suy luận ngoại suy 23
Hình 27. Kết hợp ba loại suy luận với biểu diễn trực quan
động 24
Hình 2.8. Tạo vết cho tam giác cho MNP 25
Hình 3.1. Bài toán 1 34
Hình 3.2. Kéo dài AH cắt (C) tại 35
Hình 3.3. Kéo dài AI cắt (C) tại 36
Hình 3.4. Không kẻ thêm đường phụ 36

7


Chương 1
GIỚI THIỆU VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
1.1. Giới thiệu
Môi trường hình học động đang phổ biến ở trường học. Có nhiều tranh luận
khác nhau về hiệu quả của phần mềm hình học động trong suy luận toán học của
học sinh. Tuy nhiên các phần mềm hình học động đã chứng tỏ được sự hữu ích
trong việc phát triển suy luận của các em. “Theo Borba và Villarreal, một thực
nghiệm nhằm để phát hiện một kết quả chưa biết trước, để kiểm chứng một sự thật
của một giả thuyết, để chấp nhận hoặc bác bỏ nó hoặc để tạo nên một ví dụ minh
họa cho một kết quả đúng” [1], chúng ta thấy được sự hỗ trợ tốt cho việc tạo ra các
giả thuyết, thực nghiệm chúng thông qua khảo sát toán giúp học sinh hình thành
những giả thuyết và đưa ra suy luận ngoại suy.
Suy luận ngoại suy được giới thiệu lần đầu tiên theo quan điểm triết học bởi
Charles Sanders Peirce (10/9/1839 - 19/4/1914), một nhà triết gia, nhà toán học,
logic học người Mỹ. Ngoại suy xuất hiện một cách tự nhiên qua những lý giải của

con người về các hiện tượng hoặc các sự kiện trong đời sống hằng ngày.
J.Josephson & S.Josephson phát triển mô hình ngoại suy của Peirce thêm một giai
đoạn: đánh giá giả thuyết nào là tốt nhất. Với sự hỗ trợ mạnh mẽ của các phần mềm
hình học động, HS có thể khám phá các thuộc tính, tính chất hình học trước khi đưa
ra đáp án. Đối với môn toán ở trường Trung học, ngoại suy xuất hiện ẩn tàng trong
quá trình dạy học các khái niệm mới thông qua quan sát các tình huống, hiện tượng
để đưa ra các lý thuyết giải thích hoặc quá trình tìm kiếm các định lý, công thức
mới…Từ việc hỗ trợ đưa ra các giả thuyết tốt, suy luận ngoại suy được ứng dụng
vào các chủ đề số học, đại số, thống kê.
Trong chương trình hình học cấp THPT, hình học tọa độ phẳng của lớp 10
được xem như nền tảng ban đầu, mang bản chất của một bài toán hình học phẳng.
Tuy nhiên, khi đứng trước một bài toán hình học tọa độ phẳng HS thường lo ngại vì
tính trừu tượng của hình học. “Theo Jean Piaget (1896 -1980) - nhà Tâm lí học, nhà
Sinh học, người Thụy Sĩ đã nghiên cứu và đi đến kết luận: Tri thức không phải

8


truyền thụ từ người biết tới người không biết, mà tri thức được chính cá thể xây
dựng, thông qua hoạt động” [2]. Vì vậy, cần phải trang bị cho HS một hệ thống suy
luận ngoại suy từ các hình ảnh trực quan động để giúp các em có được tư duy và tự
tin vận dụng kiến thức có được để giải bài toán hình học tọa độ phẳng một cách
chắc chắn. Vì thế trong đề tài này, chúng tôi phân tích khả năng vận dụng tư duy để
đưa ra các dạng suy luận ngoại suy của học sinh với sự hỗ trợ của môi trường hình
học động.
1.2. Nhu cầu nghiên cứu
“J.S. Bruner được xem là người đầu tiên đưa ra khái niệm “dạy học khám
phá” trong công trình “The Process of Education” vào năm 1960. Bruner cho rằng
việc học tập phải là một quá trình tích cực trong đó học sinh kiến tạo ý tưởng mới
hay khái niệm mới trên cơ sở vốn kiến thức của họ. Ông đề nghị rằng, việc dạy học

phải làm sao khuyến khích người học khám phá ra các dữ kiện và các mối liên hệ
cho chính họ” [3].
Với sự hỗ trợ của các phần mềm Geometer’s Sketchpad (GSP), Cabri,…Giáo
viên có thể thiết kế các bài toán hình học phẳng trong DGE, cụ thể là GSP giúp học
sinh giải quyết các bài toán hình học ở trường. Từ đó tạo ra các bài toán có mối quan
hệ dựa trên suy luận ngoại suy- một loại bài toán được thiết kế trên DGE giúp học
sinh khám phá, giải quyết các bài toán một cách trực quan và sâu sắc hơn.
Ở cấp THPT, tọa độ phẳng là một chủ đề hay và hấp dẫn trong chương trình
Toán phổ thông và nó là tiền đề cho học sinh làm quen và tìm hiểu về hình học
không gian trong chương trình phổ thông . Tuy nhiên, kiến thức về tọa độ tương đối
phức tạp và trừu tượng với HS, vì vậy trong quá trình dạy học hình học về tọa độ
phẳng thì việc làm thế nào để HS hiểu được tọa độ là việc làm cần thiết. Ngày nay
với sự hỗ trợ đắc lực của công nghệ thông tin, rất nhiều chủ đề toán học được giảng
dạy rất hấp dẫn, thú vị và đạt hiệu quả cao. Chính vì vậy, việc khai thác tiềm năng
thế mạnh của CNTT mà cụ thể là nghiên cứu, thiết kế các biểu diễn bội động giúp
học sinh phát triển khả năng suy luận ngoại suy về các bài toán tọa độ phẳng là một
vấn đề đáng quan tâm.

9


1.3. Đề tài nghiên cứu
Việc sử dụng biểu diễn bội động để phát triển suy luận ngoại suy tỏ ra có
hiệu quả trong việc kiến tạo tri thức cho học sinh và đã có nhiều nghiên cứu về lĩnh
vực này. Để phân tích sâu hơn về khả năng suy luận ngoại suy của HS nên chúng
tôi chọn đề tài: “ Các dạng suy luận ngoại suy của học sinh khi khảo sát bài toán
tọa độ phẳng trong môi trường hình học động”
1.4. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu này là:
(1) Xác định vai trò của các biểu diễn bội động trong hỗ trợ học sinh khảo

sát các bài toán tọa độ phẳng.
(2) Xác định xây dựng các biểu diễn bội động để GV và HS có thể sử
dụng nhằm phát triển suy luận ngoại suy cho học sinh trong dạy học các bài toán
tọa độ phẳng.
(3) Tìm hiểu các dạng suy luận ngoại suy khi khảo sát các nội dung hình học
trong tọa độ phẳng của học sinh dưới sự hỗ trợ của các biểu diễn bội động.
1.5. Câu hỏi nghiên cứu
Với mục đích đã nêu ở trên, nghiên cứu này nhằm trả lời những câu hỏi sau:
• Câu hỏi nghiên cứu thứ nhất: Môi trường hình học động hỗ trợ học sinh
sử dụng suy luận ngoại suy khi khảo sát các bài toán tọa độ phẳng như thế nào?
• Câu hỏi nghiên cứu thứ hai: Thiết kế các bài toán tọa độ phẳng trong môi
trường hình học động như thế nào để học sinh có thể sử dụng nhằm phát triển suy
luận ngoại suy trong khảo sát các bài toán tọa độ phẳng ?
• Câu hỏi nghiên cứu thứ ba: Phân biệt các dạng suy luận ngoại suy của
học sinh như thế nào?
1.6. Ý nghĩa của việc nghiên cứu
Các kết quả nghiên cứu của đề tài sẽ:
+ Cho ta thấy các biểu diễn bội động có tác động tích cực trong việc hỗ trợ
học đưa ra suy luận ngoại suy cho các bài toán tọa độ phẳng.
+ Cung cấp cho người dạy những biểu diễn bội động phục vụ trong việc
giúp học sinh khám phá các bài toán tọa độ phẳng cũng như cách xây dựng các biểu

10


diễn bội động tạo ra tính tương tác cao giữa giáo viên và học sinh.
+ GV có thể nắm bắt được khả năng vận dụng tư duy và các dạng suy luận
ngoại suy của HS khi khảo sát các bài toán tọa độ phẳng để thiết kế các bài toán phù
hợp năng lực các em.
1.7. Các thuật ngữ dùng trong luận văn

• Biểu diễn: Có nhiều định nghĩa khác nhau về biểu diễn trong giáo dục
toán. Hầu hết các nhà nghiên cứu giáo dục toán phân biệt giữa biểu diễn trong và
biểu diễn ngoài, trong đó biểu diễn ngoài là những biểu hiện của các ý tưởng hoặc
khái niệm như biểu đồ, bảng biểu, đồ thị, sơ đồ, ngôn ngữ … và biểu diễn trong là
các mô hình nhận thức mà một người có được trong trí óc họ (Minh Phúc, 2010).
• Biểu diễn bội: Biểu diễn bội là những biểu hiện bên ngoài của các ý tưởng
và khái niệm toán học nhằm cung cấp cùng một thông tin ở những dạng khác nhau
(Minh Phúc, 2010).
• Tọa độ phẳng: Lấy một điểm O bất kì nằm trên một đường thẳng. Gọi nó
là gốc tọa độ, tức là điểm xuất phát cho mọi phép đo dọc theo đường thẳng đó. Khi
ấy, mỗi số thực tương ứng với một điểm trên đường thẳng đó, và ngược lại. Số thực
đó được gọi là tọa độ của điểm tương ứng.
• Trực quan: Là khả năng, quá trình và sản phẩm của sự sáng tạo, giải
thích, sử dụng và phản ánh dựa trên các hình vẽ, hình ảnh, đồ thị, sơ đồ, biểu bảng ở
trong đầu chúng ta, trên giấy hay trên các công cụ khoa học công nghệ, với mục
đích mô tả và giao tiếp thông tin, tư duy và phát triển các ý tưởng chưa biết trước đó
để đi đến việc hiểu toán ( Arcavi, (2003)).
• Mô hình động: Mô hình toán có thể thao tác được bằng tay hoặc bằng
chuột bởi người học để thay đổi, thêm bớt các điều kiện, biến dạng mô hình nhằm
khám phá các tính chất toán học của mô hình.
• Tương tác: Những tác động hỗ trợ lẫn nhau giữa các đối tượng, giữa các
chủ thể và khách thể. Tương tác trong giáo dục được hiểu là sự trao đổi thông tin,
kiến thức, là sự giúp đỡ, hỗ trợ lẫn nhau giữa GV-HS, HS-HS.
• Tư duy: Là cách nghĩ để nhận thức và giải quyết vấn đề. Tư duy là quá
trình tâm lý nhờ đó mà con người phản ánh, nhận thức được các sự vật hiện tượng,

11


các mối quan hệ của hiện thực qua những dấu hiệu căn bản của chúng.

• Suy luận: Một quá trình sử dụng các tri thức đã biết để đi đến kết luận,
đưa ra dự đoán hay xây dựng các giải thích (Minh Phúc, 2010).
• Suy luận ngoại suy: Quá trình suy luận nhằm đưa ra giả thuyết tốt nhất để
giải thích cho một kết quả quan sát được.
1.8. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mục lục, danh mục các chữ viết tắt, tài liệu tham khảo và phụ
lục, luận văn được trình bày trong năm chương:
Chương 1. Giới thiệu vấn đề nghiên cứu
Trong chương này, chúng tôi giới thiệu, nêu nhu cầu nghiên cứu, đề tài
nghiên cứu, mục đích nghiên cứu và đưa ra các câu hỏi nghiên cứu cho luận văn.
Ngoài ra, chúng tôi cũng trình bày ý nghĩa của nghiên cứu và định nghĩa một số
thuật ngữ dùng trong luận văn.
Chương 2. Tổng quan vấn đề nghiên cứu
Trong chương này, chúng tôi giới thiệu lịch sử các vấn đề nghiên cứu; đưa ra
khung lý thuyết làm nền tảng cho quá trình nghiên cứu; giới thiệu một số kết quả đã
thu được từ các đề tài nghiên cứu.
Chương 3. Thiết kế nghiên cứu.
Chương này giới thiệu phương pháp và quy trình nghiên cứu cho luận văn
gồm các mục: thiết kế nghiên cứu, xác định đối tượng thực nghiệm sư phạm, cách
thức tổ chức thực nghiệm, công cụ nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu, trình bày
quá trình thu thập và phân tích dữ liệu, các hạn chế khi thực hiện theo phương pháp
và quy trình nghiên cứu đó.
Chương 4. Các kết quả nghiên cứu
Chương này sẽ nêu các kết quả thu được trên từng vấn đề toán học để lần
lượt trả lời các câu hỏi nghiên cứu.
Chương 5. Kết luận, lý giải và vận dụng
Chương này đưa ra các lý giải và kết luận cho các câu hỏi nghiên cứu của
luận văn. Phần vận dụng của luận văn cũng được trình bày trong chương này.

12

Tóm tắt chương 1
Trong chương này, chúng tôi đã trình bày mục đích và ý nghĩa của đề
tài:“Các dạng suy luận ngoại suy của học sinh khi khảo sát bài toán tọa độ phẳng
trong môi trường hình học động”, đồng thời chúng tôi cũng phát biểu các câu hỏi
nghiên cứu và định nghĩa một số thuật ngữ của luận văn. Chúng tôi sẽ trình bày
tổng quan vấn đề nghiên cứu làm cơ sở và định hướng cho nghiên cứu ở chương 2.

13


Chương 2
TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
Mục đích của chương này là xác định và làm rõ nền tảng lý thuyết, tóm tắt sơ
lược các nghiên cứu liên quan đến đề tài.
2.1. Lịch sử vấn đề nghiên cứu
2.1.1. Khái niệm hình học động
Khái niệm động (dynamic) trong toán học bao gồm chuyển động và biến đổi.
Hình học động (Dynamic Geometry) là một khái niệm mới liên quan đến các phần
mềm như Sketchpad, Cabri và Casyopee. Các phần mềm này thực thi với công cụ
cơ bản gồm một cây thước và compa điện tử.
Các bản vẽ Sketchpad khác với cái mà chúng ta tạo ra trên giấy với các công
cụ phổ thông không chỉ bởi sự chính xác của cấu trúc. Sketchpad nhớ các mối liên
hệ giữa các đối tượng khác nhau trong cấu trúc khi rê các đối tượng tự do. Chẳng
hạn, nó nhớ M là trung điểm đoạn thẳng AB , nhớ đường tròn ( C ) có tâm O và
luôn đi qua điểm P …
Môi trường hình học động luôn phổ biến ở trường học. Có nhiều tranh luận
khác nhau về hiệu quả của phần mềm hình học động trong suy luận toán học của
học sinh. Tuy nhiên các phần mềm hình học động đã chứng tỏ sự hữu ích trong việc

phát triển suy luận của các em. Việc phổ biến phần mềm tới tận các giáo viên giảng
dạy môn toán đã và đang được triển khai một cách sâu rộng và bài bản, hơn nữa, đã
có nhiều tài liệu được xuất bản nhằm giúp cho giáo viên và học sinh có thể sử dụng
phần mềm động hoặc các mô hình thiết kế sẵn trong dạy và học Toán.
2.1.2. Xu hướng kết toán học với cuộc sống thực tiễn trong giáo dục toán bằng
phần mềm hình học động
Mối quan hệ giữa toán học và cuộc sống thực được thảo luận trong một thời
gian dài. Một số nhà tâm lý học và nhà toán học đã tranh luận rằng việc nhấn mạnh
đến mối quan hệ giữa toán học và thực tiễn có thể làm học sinh xa rời khỏi những ý
tưởng toán học và có ý nghĩa từ việc trình bày các vấn đề toán học trong bối cảnh
thực, bao gồm việc giúp học sinh có được những kết nối tốt hơn giữa toán học, cuộc
14


sống và cả việc gây hứng thú học tập cho học sinh.
PISA là chương trình đánh giá học sinh với quy mô quốc tế đầu tiên tập
trung vào đánh giá hiểu biết toán mà học sinh sử dụng khi đối mặt với các vấn đề
trong cuộc sống thực. PISA chọn một cách tiếp cận rộng cho việc “đánh giá kiến
thức và các kỹ năng phản ánh những thay đổi hiện nay trong chương trình, di
chuyển xa hơn tiếp cận dựa vào nhà trường về phía sử dụng kiến thức trong nhiệm
vụ và thách thức thường ngày” (OECD,2003, [27,tr.11]). PISA cũng nhấn mạnh
đến quá trình toán học hóa theo một nghĩa rộng đặc trưng cho việc con người sử
dụng toán học như thế nào trong nhiều nghề nghiệp chính hiện nay, và những công
dân có hiểu biết và biết phản ánh nội dung toán để tham gia một cách trọn vẹn vào
thế giới thực.
2.2. Khung lý thuyết
Phần này trình bày khung lý thuyết cho nghiên cứu của chúng tôi. Chúng tôi
căn cứ vào các nghiên cứu trước đó của các nhà giáo dục toán học về các bài toán
tọa độ phẳng, môi trường hình học động, suy luận ngoại suy... Các lý thuyết mới
được đưa ra và phát triển trong những năm qua được chúng tôi tham khảo và bổ

sung theo nhu cầu nghiên cứu của mình.
2.2.1. Tác động của môi trường hình học động đến tư duy
Phần mềm GSP là công cụ chủ yếu để tiến hành nghiên cứu của chúng tôi
khi tiến hành trong môi trường hình học động. Chúng tôi thiết kế các bài toán trên
GSP để giúp cho HS nhận biết kiến thức toán một cách trực quan, giúp các em hiểu
được ý nghĩa, bản chất hình học và vận dụng kiến thức để thực hiện suy luận ngoại
suy và đưa ra giả thuyết toán học. Môi trường hình học động với khả năng tương tác
trực quan đã tác động tích cực đến tư duy học sinh và thúc đẩy tham gia vào quá
trình làm chủ các ý tưởng toán học trừu tượng.
Theo Baccaglini - Frank và Mariotti (2010): “nhìn chung, chúng ta có thể
xem xét hai thế giới khác nhau: thế giới toán học của hình học Euclide, và thế giới
mang tính kinh nghiệm, trong đó bao gồm kinh nghiệm trong một DGS... Tuy
nhiên, một DGS có thể trở thành cầu nối tiềm năng giữa hai thế giới, cung cấp giáo
viên với những hiểu biết và công cụ mới để khắc phục khó khăn của học sinh”.

15


2.2.2. Bài toán tọa độ phẳng
Các bài toán được xây dựng trong mặt phẳng Oxy với các số bộ phận tạo
thành như điểm, đoạn thẳng, đường thẳng, góc, hình phẳng...để nghiên cứu về hình
dạng, kích thước các hình được dựng nên để so sánh, đo đạc thông qua việc tính độ
dài các đoạn thẳng, số đo các góc hay tính diện tích các hình phẳng.
2.2.2.1. Phương trình đường thẳng
Phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M ( x0 ; y0 ) có vecto pháp

r
tuyến n ( a, b ) là:

a ( x − x0 ) + b ( y − y0 ) = 0 , ( a 2 + b 2 ≠ 0 ) ,

Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua M ( x0 ; y0 ) có vecto chỉ

r
phương u ( b, −a ) là:
 x = x0 + at

 y = y0 + bt

2
2
, ( a + b ≠ 0, t ∈ ¡ ) .

2.2.2.2. Phương trình đường tròn
Phương trình tổng quát của đường tròn Cho
đường tròn (C) tâm I ( a; b ) , bán kính R có dạng tổng
quát:

( x − a)

2

+ ( y − b ) = 0.
2

Phương trình khai triển của đường tròn:
x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0.

Hình 2.1. Đường tròn
2.2.2.3. Phép đối xứng trục
Đối xứng trục Ox

Đối xứng trục Oy

Biểu thức tọa độ: với M ( x; y ) .

Biểu thức tọa độ: với M ( x; y ) .

 x′ = x
M ′ ( x′; y′ ) = ĐOx ( M ) ⇔ 
 y′ = − y

 x′ = − x
M ′ ( x′; y′ ) = ĐOy ( M ) ⇔ 
 y′ = y

16


17


2.2.2.4. Phép đối xứng tâm
Phép đối xứng tâm O ( 0;0 ) :

Phép đối xứng tâm I ( a; b ) :

Biểu thức tọa độ: với M ( x; y )

Biểu thức tọa độ: với M ( x; y )

 x′ = 2 a − x
 x′ = − x
M ′ ( x′; y′ ) = Đ( I ) ( M ) ⇔ 
M ′ ( x′; y′ ) = Đ( O ) ( M ) ⇔ 
 y′ = 2b − y
 y′ = − y
2.2.2.5. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ) đến đường thẳng d : ax + by + c = 0 là:
d ( M ,d ) =

ax0 + by0 + c
a 2 + b2

.

2.2.3. Suy luận ngoại suy
Nhà triết học Mỹ, C. S. Peirce đã sử dụng thuật ngữ “ngoại suy” để chỉ loại
suy luận liên quan đến việc tạo dựng và đánh giá của việc giải thích các giả thuyết.
Thuật ngữ này ít quen thuộc so với “suy diễn”, “quy nạp”. Ngoại suy là một loại
của suy luận quy nạp trong đó tạo nên những giả thuyết để giải thích các hiện
tượng, kết quả, phát hiện với tính không chắc chắn.
Một cách tổng quát, ngoại suy là quá trình suy luận nhằm đưa ra giả thuyết
tốt nhất để giải thích cho một kết quả quan sát được. Một quy trình cho suy luận
ngoại suy được thể hiện qua các bước như sau:
(1) Một sự kiện (hiện tượng, kết quả…) S được quan sát
(2) Xuất hiện giả thuyết G giải thích cho S
(3) Không có giả thuyết nào khác giải thích tốt cho S như G
—————————————————————————
(4) Vậy G là lời giải thích tốt nhất cho S

Chẳng hạn, nếu nhìn ra cửa sổ và thấy bầu trời đen kịt, tôi có thể giả định rằng
đang xảy ra nhật thực. Tuy nhiên có nhiều giải thích “có lý” khác, chẳng hạn như sắp
có một cơn bão lớn hoặc thậm chí là sự xuất hiện của một phi thuyền khổng lồ.
Erkki Patokorpi phân chia ngoại suy thành 4 dạng cơ bản: chọn lựa, sáng tạo,
quan sát và thao tác. Chúng tôi mô tả các dạng suy luận ngoại suy và minh họa
trong toán qua các ví dụ.

18


2.2.3.1. Chọn lựa
Chọn trong số các trường hợp có sẵn một trường hợp có thể lý giải cho kết
luận có được.
Ví dụ 1. Một công nhân đi làm và về trên cùng một đoạn đường. Vận tốc lúc
đi là 30 km/h, lúc về là 60 km/h. Hỏi vận tốc trung bình của người đó?
Giải. Các giá trị trung bình của hai số là trung bình cộng, trung bình nhân và
trung bình điều hòa. Gọi quãng đường đi và về là 2s; đặt v1 = 30; v2 = 60 ; thời gian
lúc đi và về tương ứng là t1 ; t2 . Gọi v là vận tốc trung bình, ta có:
v=

2v v
2s
2s
2
=
=
= 1 2
s s
1 1 v1 + v2
t1 + t2

+
+
v1 v2 v1 v2

Vậy, vận tốc trung bình ở đây thuộc dạng trung bình điều hòa và v = 40 km/h
.
2.2.3.2. Sáng tạo
Khi các trường hợp có sẵn không lý giải được, cần tìm ra một trường hợp
khác để lý giải cho kết luận có được.
Ví dụ 2. Một người đứng ở cực Bắc của trái đất, đi về hướng nam 80km rồi
đi về hướng Đông 30 km. Người đó tiếp tục đi về hướng Bắc 40 km. Hỏi người đó
cách cực Bắc bao nhiêu km?
Giải. Trên mặt phẳng, hành trình của người đó đi có thể biểu diễn bằng
đường gấp khúc ABCD với AB = 80, BC = 30, CD = 40. Gọi E là trung điểm của
AB, ta có BCDE là hình chữ nhật còn tam giác AED vuông tại E. Như thế AD sẽ
bằng 50 hay người đó cách cực Bắc 50 km.

19


Hình 2.2. Biểu diễn trên mặt phẳng
Tuy nhiên, kết quả đó chưa lý giải được rằng trong thực tế người đó ở gần
cực Bắc hơn. Thật vậy, trên bề mặt trái đất, quãng đường AB là một phần kinh
tuyến đi qua hai điểm A và B. Tương tự, quãng đường BC sẽ là một phần của vĩ
tuyến đi qua hai điểm B và C. Do cung AB bằng cung AC nên độ dài cung AD sẽ
bằng 40. Vậy, người đó đi chính xác sẽ cách cực Bắc 40km.

Hình 2.3. Biểu diễn trên mặt cầu
2.2.3.3. Quan sát
Thực hiện quan sát trong quá trình ngoại suy để có trường hợp có thể lý giải

cho kết luận có được.
Ví dụ 3. Trên trang hình phần mềm The Geometer’s Sketchpad (GSP) dựng
hai hình vuông ABCD và EFGH cạnh a, được đặt sao cho đỉnh E trùng với tâm của
ABCD, đỉnh F có thể di chuyển được. Hãy đánh giá diện tích phần giao của hai
hình vuông (phần màu đậm).

20


Giải. Sử dụng tính năng tính diện tích để tính diện tích phần chung ( tứ giác
EMCN). Khi đỉnh F di chuyển ta thấy rằng giá trị diện tích này không đổi và phụ
thuộc vào a.
Bằng quan sát, khi điểm M đến trùng với B thì N trùng với C. Lúc đó, diện
tích của phần chung sẽ bằng diện tích tam giác EBC và bằng

1 2
a . Trong trường
4

hợp tổng quát, nối EC và EB sao cho ∆ NEC = ∆ MEB ( g − c − g ) . Vậy diện tích phần
giao của hai hình vuông bằng

1
diện tích hình vuông ban đầu.
4

Hình 2.4. Hai hình vuông
2.2.3.4. Thao tác
Sử dụng các thao tác có thể lên đối tượng trong quá trình suy luận để tìm
kiếm các lý giải thích hợp.

Ví dụ 4.Trên tranh hình GSP dựng tam giác đều ABC cạnh a và một điểm P
tùy ý trong tam giác. Gọi x, y, z theo thứ tự là khoảng cách từ P đến các cạnh AB,
AC, BC. Có nhận xét gì về tổng x + y + z ?
Giải. Bằng cách tính các khoảng cách x = PE; y = PF ; z = PG ; tính tổng
m = x + y + z thay đổi vị trí điểm P trong tam giác, ta thấy tổng m không thay đổi.

Tiếp tục khảo sát bằng cách kéo rê điểm P đến trùng điểm A. Lúc đó x và y triệt
tiêu còn z bằng độ dài đường cao h của tam giác đều.

21


Hình 2.5. Tổng x + y + z không đổi
Để chứng minh x + y + z = h , ta dựng các đoạn thẳng AP, BP, CP. Lúc đó, từ
1
1
S∆ABC = S ∆APB + S ∆APC + S ∆BPC , ta được ah = a ( x + y + z ) .Vậy tổng x + y + z không đổi
2
2

và bằng đường cao h.
Việc biểu diễn mặt cầu trong ví dụ 2 có thể dẫn tới việc xem xét khái niệm
“đoạn thẳng”. Liệu nó có phải là một cung trên mặt cầu có bán kính rất lớn? Suy luận
như trên có thể là kết quả của một ngoại suy sáng tạo. Nhưng ngoại suy sáng tạo có
liên quan đến sự phát triển của kiến thức khoa học? Lý thuyết về ngoại suy đã mô tả
nhiều về tầm quan trọng của ngoại suy sáng tạo đối với con người và chương trình
máy tính, nhưng thất bại trong việc lý giải các trường hợp trong khoa học khi mà các
kết quả có được đều chủ yếu từ các thực nghiệm hoặc thao tác lên đối tượng nghiên
cứu ( Magnani, 2002). Khái niệm ngoại suy thao tác khi đó bao quát một phần rộng
lớn các phát hiện khoa học nơi mà vai trò của hoạt động là trung tâm và những kết

quả có được đôi khi nằm ở dạng ẩn tàng và khó lý giải: hoạt động có thể cung cấp
những thông tin cho phép nhà nghiên cứu giải quyết vấn đề bằng cách thực hiện một
tiến trình ngoại suy phù hợp để xây dựng hoặc chọn giả thuyết.
2.2.4. Sự phổ dụng của suy luận ngoại suy
Suy luận ngoại suy là một phần quan trọng trong cuộc sống tinh thần của con
người. Khi các nhà nghiên cứu hình thành nên một giả thuyết để giải thích vấn đề
mà mà họ quan sát được, họ đang suy luận ngoại suy. Trong cuộc sống hàng ngày,
suy luận ngoại suy có mặt hầu khắp nơi. Chẳng hạn, khi con người tạo ra giả thuyết
để lý giải cho hiện tượng thiên nhiên, giải thích cho các sự kiện…

22