NGHIÊN cứu QUAN NIỆM của SINH VIÊN sư PHẠM TOÁN về các DẠNG KHÁC NHAU của số PHỨC

ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ HỒNG ĐIỆP

NGHIÊN CỨU QUAN NIỆM CỦA SINH VIÊN
SƯ PHẠM TOÁN VỀ CÁC DẠNG KHÁC NHAU
CỦA SỐ PHỨC

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán
Mã số: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. TRẦN KIÊM MINH

Thừa Thiên Huế, năm 2016
i


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và kết
quả nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử
dụng và chưa từng được công bố trong bất cứ một công trình nào khác.
Họ tên tác giả
Nguyễn Thị Hồng Điệp

ii

Lời Cảm Ơn
Để hoàn thành luận văn này, bản thân tôi đã cố gắng
rất nhiều. Bên cạnh đó còn nhờ vào sự động viên, giúp đỡ
tận tình của quý thầy cô, gia đình và bạn bè.
Nhân dịp này, tôi xin gửi lời cảm ơn đến tất cả:
Trước tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu
trường Đại học Sư phạm Huế, phòng đào tạo sau đại học,
các thầy cô trong khoa Toán, đặc biệt là các thầy cô trong
chuyên nghành Lý luận và Phương pháp dạy học môn
Toán đã tận tình giảng dạy cho tôi trong suốt hai năm
qua, tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất trong quá trình học
tập và nghiên cứu.
Tôi xin chân thành cảm ơn đến Ban giám hiệu trường
Đại học An Giang, phòng đào tạo sau đại học, các thầy cô
trong khoa Toán đã hỗ trợ, giúp đỡ trong quá trình học tập
và hoàn thành luận văn.
Cảm ơn gia đình, bạn bè đã quan tâm, ủng hộ và giúp
đỡ để tôi hoàn thành luận văn một cách tốt nhất.
Và đặc biệt là sự giúp đỡ tận tình chỉ dạy của Tiến sĩ
Trần Kiêm Minh – Người đã hướng dẫn tôi thực hiện luận
văn này. Tuy bận nhiều công việc nhưng thầy luôn sắp
xếp thời gian để chỉ dẫn, giải đáp thắc mắc, góp ý và sửa
chữa trong quá trình thực hiện đề tài nhằm tạo điều kiện
cho tôi hoàn thành luận văn.
Luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, kính
mong nhận được sự hướng dẫn và góp ý.
Chân thành cảm ơn!

iii

An Giang, tháng 04 năm
2016

iii

iv


MỤC LỤC
Trang
Trang phụ bìa.................................................................................................................i
LỜI CAM ĐOAN....................................................................................................................................................ii
Lời Cảm Ơn............................................................................................................................................................iii
TÀI LIỆU THAM KHẢO....................................................................................................................................56
PHỤ LỤC..................................................................................................................................................................1

1


DANH MỤC BẢNG

Bảng

Tên bảng

Trang

1.1.

Bảng nhân của Hamilton

13

1.2.

Bảng thống kê số lần xuất hiện của các nhiệm vụ trong SGK

20

12CB
4.1.

Kết quả định lượng bài 1

40

4.2.

Kết quả định lượng bài 2

42

4.3.

Kết quả định lượng bài 3

44

4.4.

Kết quả định lượng bài 4

45

4.5.

Kết quả định lượng bài 5

46

4.6.

Kết quả định lượng bài 6 câu a

47

4.7.

Kết quả định lượng bài 6 câu b

49

DANH MỤC HÌNH ẢNH

2


Hình

Tên hình

Trang

4.1.

Hình ảnh bài làm của sinh viên đối với bài 1

41

4.2.

Hình ảnh bài làm của sinh viên Nguyễn Trúc Quỳnh đối

43

với bài 3
4.3.

Hình ảnh bài làm của sinh viên đối với bài 4

45

4.4.

Hình ảnh bài làm của sinh viên đối với bài 5

46

4.5.

Hình ảnh bài làm của sinh viên đối với bài 6 câu a

48

4.6.

Hình ảnh bài làm của sinh viên đối với bài 6 câu b

49

4.7.

Hình ảnh ý kiến của sinh viên đối với bài 8

50

4.8.

Hình ảnh một số câu trả lời của sinh viên Đoàn Thị

51

Xuân Nguyên

LỜI GIỚI THIỆU

Trong các tập hợp số, tập số phức là tập lớn nhất và mang tính trừu tượng. Số
phức không những đóng vai trò quan trọng trong các lĩnh vực của toán học như giải
tích, đại số, hình học, lượng giác... mà còn xâm nhập vào mảng kiến thức trong sinh

3


học, vật lý như phương trình tĩnh điện, thủy động lực học, khí động lực học, lý
thuyết dao động và cả trong cơ học lượng tử. Ngày nay có rất nhiều công trình kỹ
thuật, vật lý lý thuyết đã viết bằng ngôn ngữ số phức.
Sự hiểu biết về hệ thống số phức, bao gồm các dạng biểu diễn và tính toán số học
trong không gian phức là một trong những tiêu chuẩn toán học tiêu biểu trong các
sáng kiến ở trường trung học theo chuẩn từng ban ở Mỹ “Common Core State
Standards Initiative” (CCSSI, 2010, [9]). Tài liệu đó khuyến khích học viên biết
cách sử dụng nhiều dạng biểu diễn (như đại số và hình học) để biểu diễn số phức
bằng nhiều hình thức khác nhau và thực hiện các quá trình tính toán số học. Hơn
nữa có thể chuyển đổi linh hoạt giữa các hình thức biểu diễn. Những tài liệu trong
CCSSI chủ yếu đi vào nhấn mạnh tầm quan trọng giữa sự chuyển đổi các hình thức
biểu diễn.
Để cho học sinh phát triển sự hiểu biết về số phức, giáo viên cần có kỹ năng và
kiến thức sư phạm về lĩnh vực này ( Ball, 2001, [6]). Chiều sâu nội dung tri thức
trong các dạng số phức yêu cầu phải nắm được tính chất đại số và biểu diễn hình
học theo nhiều khía cạnh khác nhau, nhìn nhận được rằng dạng nào sẽ phù hợp cho
các nhiệm vụ được đặt ra. Không ít nhà nghiên cứu đã khám phá, suy luận hình học
và giá trị phức của số phức. Nhìn chung, các kết quả cho thấy các nhà nghiên cứu
dễ dàng làm việc trong môi trường số phức với nhiều dạng khác nhau. Tuy nhiên
điều này không khả thi đối với học sinh.
Nghiên cứu về việc dạy và học số phức của giáo viên, sinh viên và học sinh ở Phổ
thông và Đại học đã được rất nhiều tác giả quan tâm từ lâu (Danenhower, 1977;
Janvier, 1987; Kaput, 1987; Lesh, Post & Behr, 1987; Sfard, 1991; Sfard, 1992;
Anglin, 1995; Zandieh, 2000; Goldin & Shteingold, 2001; Les Evans, 2006;
Panaoura, Elia, Gagatsis, & Giatilis, 2006; Merino, 2006; CCSSI 2010; Brown,
Larsen, Marrongelle, Oethrtman, 2012; Nemirovsky, Rasmussen, Sweeney, &

Wawro, 2012; Guershon Harel, 2013; TAN Soon Hui & TOH Tin Lam, 2013;
Chavez, 2014; Karakok, Soto-Johnson, & Dyben, 2015; ...). Tuy mỗi nghiên cứu
đều tập trung tìm hiểu các khía cạnh khác nhau liên quan đến dạy học số phức, các
dạng biểu diễn và khả năng linh hoạt chuyển đổi giữa chúng, nhưng hầu hết đều
4


thừa nhận rằng khó khăn đầu tiên là khả năng hiểu số phức trong các dạng biểu diễn
khác nhau: đại số, hình học (vectơ, điểm), lượng giác, mũ (Janvier, 1987; Kaput,
1987; Lesh, Post & Behr, 1987; Guershon Harel, 2013).
Một khó khăn khác mà nhiều học sinh gặp phải khi học về số phức là khả năng
chuyển đổi giữa các dạng biểu diễn của số phức (Lesh, Post & Behr, 1987; Sfard,
1991; Sfard, 1992; Anglin, 1995; Goldin & Shteingold, 2001; Nemirovsky,
Rasmussen, Sweeney, & Wawro, 2012; Brown, Larsen, Marrongelle, Oethrtman,
2012; TAN Soon Hui & TOH Tin Lam, 2013; Karakok, Soto-Johnson, & Dyben,
2015). Học sinh có thể hiểu và tính toán trên một dạng biểu diễn nhưng sẽ gặp khó
khăn khi chuyển đổi chúng sang một biểu diễn khác và không hiểu rõ về sự kết nối
giữa các hình thức biểu diễn.
Ở bậc phổ thông, số phức xuất hiện trong chương trình toán ở nhiều nước trên thế
giới từ rất lâu. Nhưng ở Việt Nam, nó chỉ mới xuất hiện lần đầu tiên trong sách giáo
khoa toán lớp 12 được đưa vào thí điểm năm 2007-2008, và chính thức được sử
dụng đại trà từ năm học 2008-2009. Nhìn chung, chương trình và sách giáo khoa
chủ yếu tập trung vào khái niệm số phức trong phạm vi thu hẹp, học sinh chủ yếu
làm việc trên các biểu thức đại số và thực hiện các phép tính cơ bản của số phức. Có
khá ít bài toán đề cập đến các dạng số phức trong các ngữ cảnh khác nhau, và đặc
biệt là mối quan hệ và chuyển đổi các dạng biểu diễn của chúng.
Số phức là một khái niệm khó đối với học sinh, sinh viên và cả giáo viên. Tiếp
cận và tìm hiểu sâu hơn từng dạng của số phức là vấn đề chưa được khai thác trong
trường học. Giáo viên truyền đạt chúng chỉ dưới hình thức cho học sinh kế thừa các
công thức đơn thuần để xử lý, giải quyết các dạng bài toán cơ bản. Chưa chú trọng

đến việc phân tích các dạng biểu diễn và sự chuyển đổi giữa chúng.
Để nhận thấy khó khăn trong học tập của học sinh hoặc xác định mục tiêu giảng
dạy, giáo viên có thể tạo ra một loạt các câu hỏi mở bằng cách trình bày ý tưởng thể
hiện trong trường hợp cụ thể, yêu cầu học sinh minh họa, mô tả hoặc thể hiện ý
tưởng trong các trường hợp khác. Tuy nhiên, để sử dụng các chiến lược giảng dạy

5


như vậy giáo viên cần phải hiểu rõ các dạng khác nhau của số phức và sự chuyển
đổi linh hoạt giữa chúng.
Động lực và sự cần thiết phải tìm hiểu về số phức là yêu cầu lớn nhất đặt ra trong
giáo dục toán. Các khuyến nghị trong CCSSI (2010) cho học sinh trung học hiểu về
số phức hy vọng thay đổi cách dạy của giáo viên. Từ đó đòi hỏi phải thay đổi
chương trình giảng dạy, thiết kế phù hợp theo tiềm năng và các hoạt động phát triển
chuyên nghiệp. Chương trình giảng dạy ở lớp học tạo cơ hội để giáo viên làm việc
thường xuyên với số phức. Tạo điều kiện, hỗ trợ cho học sinh, sinh viên có quan
niệm đúng đắn và sự linh hoạt biến đổi trong các dạng số phức
Trong nghiên cứu này, chúng tôi sẽ tập trung tìm hiểu quan niệm và khả năng
chuyển đổi giữa các dạng biểu diễn của số phức ở sinh viên sư phạm toán (các giáo
viên toán tương lai). Chúng tôi một mặt tập trung vào nghiên cứu khả năng hiểu biết
khái niệm số phức của sinh viên, mặt khác sẽ tập trung nhấn mạnh khả năng kết nối
và chuyển đổi qua lại giữa các dạng biểu diễn. Trong nghiên cứu này, chúng tôi
hướng đến các mục tiêu là:
-

Xem xét hiểu biết của sinh viên sư phạm toán về khái niệm số phức.

-

Phân tích tính linh hoạt trong việc chuyển đổi và kết nối giữa các kiểu biểu

diễn khác nhau của số phức ở sinh viên sư phạm toán.
Luận văn này gồm 5 chương:
Chương 1: Đặt vấn đề. Trong chương này chúng tôi giới thiệu sơ lược về khía
cạnh lịch sử và tri thức luận trong sự hình thành số phức. Chúng tôi tổng quan
nghiên cứu về chủ đề số phức trong chương trình và sách giáo khoa phổ thông, nội
dung số phức trong chương trình phát triển nghiệp vụ cho sinh viên sư phạm toán
và điểm bình các nghiên cứu liên quan đến dạy học số phức. Các phân tích và tổng
quan nghiên cứu cho phép chúng tôi ghi nhận và đặt ra vấn đề nghiên cứu về việc
hiểu khái niệm số phức của sinh viên, đặc biệt là mối quan hệ giữa các đại diện
khác nhau của nó.
Chương 2: Khung lý thuyết tham chiếu. Trong chương này, chúng tôi giới thiệu
khung lý thuyết tham chiếu để làm cơ sở khoa học bao gồm: hình ảnh khái niệm và
6


định nghĩa khái niệm, vấn đề đa biểu diễn trong dạy học toán, tính đối ngẫu thao
tác/cấu trúc của các đối tượng toán học. Chúng tôi mô tả và phân tích làm rõ khung
lý thuyết này để đặt ra nghiên cứu việc hiểu khái niệm số phức của sinh viên, đặc
biệt là mối quan hệ trong các thể thức và các dạng khác nhau. Dựa trên khung lý
thuyết này, chúng tôi đã cụ thể hóa mục tiêu nghiên cứu thành các câu hỏi nghiên
cứu. Khung lý thuyết này cũng cho phép chúng tôi phân tích và diễn giải dữ liệu
thực nghiệm ở các chương sau.
Chương 3: Thiết kế nghiên cứu. Chương này trình bày về ngữ cảnh, mục tiêu và
phương pháp nghiên cứu. Chúng tôi giới thiệu phiếu học tập, phân tích tiên nghiệm
phiếu học tập.
Chương 4: Kết quả nghiên cứu. Trong chương này chúng tôi phân tích các kết
quả từ phiếu học tập. Đối với phiếu học tập chúng tôi phân tích theo hai hướng
chính là việc hiểu khái niệm số phức của sinh viên và các cách biểu diễn khác nhau

dựa trên khung lý thuyết đã trình bày trong chương 2.
Chương 5: Kết luận. Trong chương này, trước hết chúng tôi phân tích các yếu tố
cho phép đưa đến các câu trả lời ban đầu với các câu hỏi nghiên cứu. Sau đó chúng
tôi nêu lên các hạn chế của nghiên cứu này cũng như định vị nghiên cứu của chúng
tôi trong các hướng nghiên cứu hiện tại có liên quan đến chủ đề này.

7


Chương 1. ĐẶT VẤN ĐỀ

1.1.

Khía cạnh lịch sử và tri thức luận trong sự hình thành số phức

Lịch sử hình thành và phát triển của số phức trải qua các giai đoạn:
Ý tưởng hình thành số phức xuất phát từ việc nghiên cứu các phương pháp giải
phương trình bậc hai bằng nhiều cách của Al-Khwarizmi (780-850) và các chứng
minh dựa trên nền tảng hình học có nguồn gốc từ Toán Hi Lạp và Hindu. Sau đó,
qua các công trình nghiên cứu của Aboul Wafa, Al Kahri và Leonardo da Pisa,
người ta đã biết giải tất cả các trường hợp và có thể phân biệt được phương trình
bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm, một nghiệm hay vô nghiệm. Vào thời
điểm này, giải phương trình bậc hai không còn là vấn đề nghiên cứu đặt ra với các
nhà toán học. Thay vào đó là vấn đề tìm nghiệm thực của phương trình bậc ba. Các
câu hỏi nghiên cứu được đặt ra như liệu rằng mọi phương trình bậc ba đều có
nghiệm thưc hay không? Làm sao xác định được nghiệm của nó?...
Trước thế kỉ XVI, nhờ vào phép dựng hình học mà các nhà toán học Hi Lạp đã
giải được phương trình bậc ba, điển hình là nghiên cứu thành công của Al –
Haytham (965-1093). Mãi đến đầu thế kỉ XVI, người ta mới thành công trong việc
giải phương trình bậc ba bằng đại số. Giáo sư Scipione del Ferro của Đại học

Bologna là người đầu tiên đưa ra công thức giải phương trình bậc ba tổng quát
ax 3 +bx 2 + cx + d = 0 . Công thức giải được ông truyền cho học trò mình là Fiore năm

1526 trước khi ông qua đời. Năm 1547, Cardano là người công bố phương pháp giải
tổng quát một phương trình bậc ba. Và khó khăn nảy sinh là trong quá trình giải có
sự xuất hiện căn bậc hai của số âm. Để giải quyết khó khăn này, Rafael Bombelli
đưa vào hai kí hiệu “píu di meno” (p.d.m) và “meno di meno” (m.d.m). Bằng các kí
hiệu này, ông đã tìm được nghiệm thực của phương trình bậc ba bằng cách thực
hiện các phép tính tương tự như trong phạm vi số quen thuộc.
Cách xây dựng phương pháp giải phương trình bậc ba của nhà toán học
Cardano:

8


Phương trình cần giải là: x3 = a + bx (1)
Đặt x = 3 u + 3 v với điều kiện 3 u 3 v =

(

⇔

u+3v

3

)

3

= a+b

⇔ u + v + 3 3 uv
⇔ u +v+b

(

3

b
(2) , ta có:
3

(

3

(

3

u+3v

)

)

u + 3 v = a+b

)

u + 3 v = a+b

(

3

(

3

u+3v

u+3v

)

)

⇔ u + v = a (3)
b

3



a

2

a

2

b

3

Từ (2), (3) suy ra u 2 − au +  ÷ = 0 ⇔  u − ÷ =  ÷ −  ÷ .
2  2 3
3

2

3

a b
Nếu  ÷ −  ÷ không âm:
 2 3
2

3

2

3

a
a
a b

a b
u = −  ÷ −  ÷ và u = +  ÷ −  ÷
2
2
 2 3
 2 3
2

3

2

3


hoặc u = +  ÷ −  ÷
và u = −  ÷ −  ÷
2
2
 2 3
 2 3
a

a

2

a

b

b

a

a

b

3

Nếu  ÷ −  ÷ âm, khó khăn nảy sinh là phải lấy căn bậc hai của một số âm, để
 2 3
tránh khỏi khó khăn này, người ta đưa vào kí hiệu mới là p.d.m hay m.d.m.
Ví dụ:
3
Giải phương trình x3 = 15 x + 4 . Đặt x = 3 u + 3 v ta có x = u + v + 3 3 uv

u + v = 4
u + v = 4
⇔
uv = 125
 uv = 5

Suy ra  3

Ta có u , v là hai nghiệm của phương trình:
u 2 − 4u + 53 = 0 ⇔ ( u − 2 ) = −112
2

u − 2 = p.d .m.11 = ( 2 p.d .m1)

3

u − 2 = m.d .m.11 = ( 2m.d .m1)

3

9

(

3

u+3v

)


Vậy x = 3 u + 3 v = 2 p.d .m1 + 2m.d .m1 = 4 .
Từ đó ta thấy được rằng, việc tìm nghiệm thực của phương trình bậc ba làm nảy
sinh đối tượng nghiên cứu mới. Số phức xuất hiện với vai trò là công cụ giải quyết
vấn đề.
Số phức lúc này chỉ là kí hiệu làm trung gian cho phép tính nghiệm của phương
trình bậc ba chứ chưa có cơ chế của một “số”. Nghiên cứu cho thấy rằng các thao
tác trên các kí hiệu có cơ sở, căn bậc hai của số âm xuất hiện nhưng vẫn chưa có
“nghĩa” xác định, chỉ là một công cụ tính trung gian. Sau đó các nhà hình học Đức
đã dùng kí hiệu i thay cho

−1 . Người ta áp dụng các quy tắc quen thuộc trong

phạm vi các số đã biết để tính toán chúng.
Mặc dù trong thời điểm đó không ai hiểu rõ

−1 hay i là gì, nhưng bằng các

quy tắc sử dụng trong phạm vi số thực thì nhiều nhà toán học đã cho ra nhiều hệ
thức rất hoàn hảo. Điển hình là Bernoulli đã sử dụng nó để tính logarit của số âm và
số

ảo,

Abraham

( cos θ + i sin θ )

n

de

Moivre

(1667-1754)

đưa

ra

công

= cos ( nθ ) + i sin ( nθ ) . Với Euler đã thiết lập công thức eπ

thức:
−1

= −1 .

Vào thời điểm này, kí hiệu căn bậc hai của số âm, kí hiệu i , a + −b đã xuất hiện
nhưng chưa có một nghĩa xác định cho số phức.
Hình ảnh hình học sơ khai của số phức được đề cập trong quyển “Algebra” của
nhà toán học Anh Jonh Wallis (1916-1703) xuất bản năm 1685.
Trước thế kỉ XIX, hình ảnh hình học của số phức xuất hiện trong tưởng tượng.
Mãi đến thế kỉ XIX, các nhà Toán học mới bắt đầu tìm ra các dạng biểu diễn cụ thể,
cho số phức có một nghĩa xác định, tạo nền móng để xây dựng lí thuyết hàm số biến
số phức.
Khi nghiên cứu số âm, Argand đã nảy sinh ý tưởng về chiều, đưa ra mô hình biểu
diễn các số thực trên trục định hướng. Trong quá trình nghiên cứu biểu diễn đại
lượng x thỏa mãn x.x = −1 , ông cho rằng x không thể dương cũng không thể âm
nên phải có một hướng thứ ba chứa x và ông đưa ra cách biểu diễn các số thực trên
một trục gọi là trục thực, và dựng đường vuông góc với trục thực để xác định đơn vị

10


đại lượng ảo là + −1 và − −1 . Từ đó khái niệm đường định hướng được sử dụng
với ý nghĩa là đường mà chỉ có thể xem xét chiều dài, không quan tâm về hướng.
Nhằm gắn kết khái niệm đường định hướng với các đơn vị ảo, ông chỉ ra rằng các
đường song song với trục thực được viết là ± a , còn những đường vuông góc với
nó được viết là ±b −1 . Tất cả các đường định hướng trong mặt phẳng được viết
dưới dạng ± a ± b −1 . Nhờ vậy các phép toán trên đại lượng ảo được ông thiết lập

thông qua phép dựng hình học trên các đường định hướng.
Việc số phức mang nghĩa hình học chưa làm thỏa mãn sự tìm tòi nghiên cứu của
các nhà toán học. Họ muốn số phức phải mang bản chất đại số, phải được xây dựng
từ tập hợp số thực đã biết. Muốn trả lời câu hỏi “số phức là gì” trong phạm vi đại
số.
Đầu thế kỉ XIX, Cauchy và Hamilton đã đem đến một nghĩa đại số cho số phức.
Số phức chính thức trở thành những đối tượng đại số, có thể thực hiện các phép tính
đại số. Trong thời gian đó, các nhà vật lý đã dùng số phức để mô tả các hiện tượng
vật lí, chúng xâm nhập vào các phương trình tĩnh điện, thủy động lực học, lí thuyết
dao động, cơ học lượng tử.
Quaternion là một sáng tạo vĩ đại của Hamilton. Nhiều năm trăn trở, không bằng
lòng với ý nghĩ cho rằng phép nhân các số phức có thể biểu diễn thuần túy bằng
phép quay trên mặt phẳng. Có cách nào đưa ra một dạng mới của các số và xác định
phương pháp nhân của chúng bằng cách biểu diễn bằng phép quay nào đó trong
không gian ba chiều? Những số mới này được Hamilton gọi là triplet. Theo quan
điểm “hình học là khoa học của không gian, đại số là khoa học về thời gian thuần
túy”, Hamilton đã giải thích số âm như sự quay về trong thời gian. Để tìm nghĩa của
các đại lượng ảo, ông xây dựng một đại số của các cặp số thực được gọi là “coupes
d’instants

et

de

moments”.

Phép

nhân

được

định

nghĩa

như

sau:

( a, b ) ( c, d ) = ( ac − bd , ad + bc ) . Phép nhân này bảo toàn các tính chất đại số quen
thuộc và hơn nữa: ( 0,1) ( 0,1) = ( −1, 0 ) . Từ đó, trong đại số này, số phức được xem
như là các cặp số thực, lấy cơ chế của một đối tượng đại số. Mở rộng kết quả trên,
Hamilton xây dựng đại số của các bộ ba số thực, đại số các quaternion, đó là đại số
11


của các biểu thức có dạng a + bi + cj + dk (gọi là một quaternion), với a, b, c, d là số
thực, i, j , k là các kí hiệu hình thức liên hệ với nhau và với số 1 theo bảng nhân sau
đây:
X

1

I

j

K

1

1

I

j

K

I

i

-1

k

-j

J

j

-k

-1

I

K

k

J

-i

-1

Bảng 1.1. Bảng nhân của Hamilton
Hamilton không ngừng tìm tòi nghiên cứu tích hợp thức số phức cộng với sự tác
động qua lại giữa Đại số và Hình học đã làm động lực nảy sinh đối tượng mới trong
lĩnh vực Toán học: Đại số các quaternion của Hamilton.
Tóm lại, quá trình hình thành số phức trải qua các giai đoạn:
-

Cách viết trung gian với vai trò như một công cụ chưa có nghĩa xác định.

-

Kí hiệu hình thức các đại lượng ảo cũng với vai trò như một công cụ chưa có

nghĩa xác định.
-

Biểu diễn hình học các đại lượng ảo với vai trò là một đối tượng có ý nghĩa

hình học sơ khai.
-

Đại số các số phức đóng vai trò là một đối tượng có nghĩa đại số.
Như vậy, việc tìm nghiệm thực của phương trình bậc ba là nguyên nhân nảy sinh

đối tượng số phức. Việc nghiên cứu các số phức để tìm một nghĩa xác định là
nguyên nhân và động lực để nảy sinh các đối tượng toán học khác. Khi cố gắng tìm
kiếm ý nghĩa hình học của số phức, các nhà Toán học đã đưa ra khái niệm đường
định hướng đã làm tiền thân cho đối tượng vectơ. Và từ nghiên cứu tích hợp thức
của số phức mà quaternions của Hamilton đã được khám phá.
1.2.

Chủ đề số phức trong chương trình và sách giáo khoa phổ thông

12


1.2.1. Lí thuyết
Định nghĩa số phức
Sách giáo khoa lớp 12 cơ bản (SGK 12CB) đưa khái niệm số phức theo con
đường ngược với quy trình xuất hiện của nó trong lịch sử. Giai đoạn số phức xuất
hiện chỉ với vai trò như công cụ tính không được đề cập đến. Trình tự xuất hiện của
số phức trong SGK 12CB như sau:
Dạng đại số của số phức

Biểu diễn hình học của số phức dưới dạng một điểm

Ứng dụng dạng đại số của số phức.
Dạng đại số của số phức được đưa vào trước tiên và lí do xuất hiện số phức được
giải thích: “Ta đã biết các phương trình bậc hai với biệt số âm không có nghiệm
thực. Phương trình bậc hai đơn giản nhất không có nghiệm thực là phương trình

x2 + 1 = 0 .

Với mong muốn mở rộng tập hợp số thực để mọi phương trình bậc n đều có
nghiệm, người ta đưa ra một số mới, kí hiệu là i và coi nó là nghiệm của phương
trình trên. Như vậy i 2 = −1 ”
Và ngay sau đó đưa ra định nghĩa số phức:
“Mỗi biểu thức dạng a + bi , trong đó a, b ∈ R,

i 2 = −1 được gọi là một số phức.

Đối với số phức z = a + bi , ta nói a là phần thực, b là phần ảo của z
Tập hợp các số phức kí hiệu là C ”.
Nhận thấy rằng lý do sách giáo khoa (SGK) đưa vào số phức không thật sự phù
hợp với khía cạnh tri thức luận trong lịch sử hình thành của nó. Việc các nhà toán

13


học tìm ra số phức là cả một quá trình phức tạp, xuất phát từ việc tìm nghiệm thực
của phương trình bậc ba, và đó sẽ gây khó khăn để học sinh phổ thông tiếp cận với
số phức. Tuy nhiên, ta cũng có thể có cách tiếp cận số phức phù hợp hơn dựa trên
việc giải các phương trình bậc ba đơn giản.
Biểu diễn hình học của số phức
Theo sách giáo viên (SGV) thì việc đưa vào biểu diễn hình học là cơ sở để trình
bày khái niệm môđun và số phức liên hợp của số phức. Cách lí giải này khác với lí
do xuất hiện biểu diễn hình học của số phức trong lịch sử là để tìm nghĩa của số
phức và các phép toán trên chúng. Ở SGK 12CB, biểu diễn hình học của số phức
được giới thiệu là một điểm trên hệ trục tọa độ “điểm M ( a; b ) trong một hệ tọa độ
vuông góc của mặt phẳng được gọi là điểm biểu diễn của số phức z = a + bi .”
Hệ trục tọa độ Oxy đã biết giờ đã chuyển sang hệ tọa độ trong mặt phẳng phức

với Ox là trục thực, Oy là trục ảo. Nhưng yếu tố ảo không được thể hiện trên hệ
trục. Từ biểu diễn hình học của số phức z = a + bi được chuyển hoàn toàn thành
việc biểu diễn điểm M ( a; b ) trên hệ trục Oxy đã biết. Từ đó có thể đặt ra câu hỏi:
liệu có sự nhầm lẫn nào giữa mặt phẳng phức và mặt phẳng thực trong học sinh hay
không? Và có gây khó khăn gì khi học sinh phải tiếp cận với mặt phẳng phức
không?
Các phép toán trên số phức
Các phép toán trên số phức được xây dựng hoàn toàn trên dạng đại số, không có
minh họa bằng hình học. Tất cả các phép toán đều được thực hiện theo các quy tắc
của các phép toán trên đa thức. Nghĩa của các phép toán trên số phức hoàn toàn
không được đề cập đến trong SGK 12CB. Số phức được giới thiệu như là một “đa
thức”, bản chất của nó đã bị lờ đi. Máy tính bỏ túi rất hữu hiệu trong việc tính toán
số phức, nhưng SGK không đề cập đến tiện ích này.

14


Phương trình bậc hai với hệ số thực
Ở ba bài đầu Số phức; Cộng, trừ và nhân số phức; Phép chia số phức trong SGK
12 cơ bản thì số phức xem như là một đối tượng. Nghĩa công cụ của số phức được
thể hiện trong bài 4: Phương trình bậc hai với hệ số thực.
Các công thức giải được đưa ra đầy đủ với ba trường hợp của biệt thức của ∆ .
Nhưng căn bậc hai của số thực âm chỉ được giới thiệu một cách hình thức “các căn
bậc hai của số thực a âm là ±i a ”. Không có định nghĩa về căn bậc hai phức,
các căn bậc hai của số thực âm tìm được chỉ bằng trực giác.
1.2.2. Các kiểu nhiệm vụ chủ yếu liên quan đến số phức trong SGK
Tìm phần thực và phần ảo của số phức
Đưa số phức về đúng dạng a + bi rồi kết luận a là phần thực, b là phần ảo.
Sau ngay phần định nghĩa số phức thì SGK 12CB đưa ra hoạt động 1: “Tìm phần
thực và phần ảo của các số phức sau: −3 + 5i, 4 − i 2, 0 + π i,1 + 0i ”.

Hoạt động này nhằm cũng cố khái niệm phần thực, phần ảo của số phức. Các số
phức được cho theo đúng dạng nên học sinh đơn giản chỉ cần kết luận phần thực,
phần ảo mà không phải biến đổi thêm gì.
'
'
Tìm số thực x và y biết biểu thức f ( x, y ) + g ( x, y ) i = f ( x, y ) + g ( x, y ) i

 f ( x, y ) = f ' ( x, y )
Lập hệ 
. Giải hệ tìm x, y
'
g
x
,
y
=
g
x
,
y
(
)
(
)


SGK 12CB đưa ra ví dụ “Tìm các số thực

x

và

y

biết

( 2 x + 1) + ( 3 y − 2 ) i = (x + 2) + ( y + 4 ) i ”.
Nhiệm vụ này nhằm cũng cố khái niệm hai số phức bằng nhau, đáp ứng yêu cầu
cho học sinh nắm vững khái niệm phần thực, phần ảo, môđun của số phức.

15


Ngay sau đó là hoạt động yêu cầu học sinh tìm số phức khi biết phần thực và phần
ảo. Đó là bài toán ngược của bài toán tìm phần thực, phần ảo của một số phức, hoạt
động này nhằm mục đích cho học sinh cũng cố thêm về khái niệm số phức.
Biểu diễn số phức trên mặt phẳng tọa độ
Số phức z = a + bi được biểu diễn: đường thẳng thực x = a , đường thẳng ảo y = b
lên mặt phẳng tọa độ. Sau đó giao phần thực và phần ảo lại sẽ là phần biểu diễn của
số phức z .
Bài tập 3, trang 134 SGK 12CB :
Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều
kiện:
a) phần thực của z bằng −2
b) phần ảo của z bằng 3
c) phần thực của z thuộc khoảng ( −1; 2 )
d) phần ảo của z thuộc đoạn [ 1;3]
e) phần thực và phần ảo của z đều thuộc đoạn [ −2; 2]
Trong bài toán các ràng buộc cho phần thực và phần ảo luôn là số nguyên và luôn
nằm trong khoảng [ −2;3] .

Sau đó đưa ra một bài tập cho thấy rõ ý nghĩa hình học về môđun của số phức,
học sinh phải biết quy việc tìm tập hợp các điểm thỏa các điều kiện cho trước.
Bài tập 5 trang 134 SGK 12CB :
Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều
kiện:
a)

z =1

b)

z ≤1

16


10 < z ≤ 2

c)

z = 1 và phần ảo của z bằng 1

d)

Tìm môđun và argument của số phức a + bi
Trong SGK 12CB ở bài tập 4 trang 134 yêu cầu tìm môđun của z , nhưng trong
phần lí thuyết không đề cập đến argument của số phức nên chỉ có một kĩ thuật duy
nhất để giải quyết vấn đề là sử dụng công thức z = a 2 + b 2 .
Tìm số phức liên hợp
Biểu diễn hình học của số phức liên hợp được giới thiệu duy nhất một lần khi đưa

vào khái niệm, còn lại yêu cầu bài tập chỉ được đề cập ở dạng đại số.
Cộng, trừ, nhân số phức
SGK 12CB không đề cập đến dạng lượng giác và biểu diễn hình học của số phức
dưới dạng vectơ nên học sinh chỉ sử dụng tính chất cộng, trừ, nhân số phức như đa
thức.
Chia số phức
Nhân tử và mẫu với số phức liên hợp của mẫu, rồi thực hiện các tính toán.
Ở trong các nhiệm vụ cộng, trừ, nhân, chia số phức được đưa ra trong SGK 12CB
thì các thương số

z1
z2

luôn có z2 không phải là số thực, tất cả các phép toán đều

được cho dưới dạng đại số, áp dụng các kĩ thuật tính toán từ các quy tắc đã biết trên
tập hợp số thực. Phép lũy thừa chỉ được cho cao nhất là bậc ba, nếu các trường hợp
bậc cao hơn thì đó là số thuần ảo.
Giải phương trình bậc hai với hệ số thực
Bước sang nhiệm vụ này số phức đã được đóng vai trò là một công cụ. Có hai kĩ
thuật để giải quyết nhiệm vụ này.

17


Tính ∆ = b 2 − 4ac
Nếu ∆ = 0 , phương trình có một nghiệm x =

-

−b
2a

Nếu ∆ > 0 , phương trình có hai nghiệm thực phân biệt x1,2 =

−b ± ∆
2a

Nếu ∆ < 0 , phương trình có hai nghiệm phức phân biệt x1,2 =

−b ± i ∆
2a

2
Đưa phương trình về dạng ( Ax + B ) = −C = Ci 2 (A, B, C là số thực, C > 0) .

Khi đó Ax + B = i C hay Ax + B = −i C
SGK 12CB chỉ đưa vào kĩ thuật thứ nhất, kĩ thuật thứ hai rất hữu ích trong một số
bài toán giải phương trình bậc hai đơn giản nhưng không được đề cập tới.
Giải phương trình với hệ số phức
Bài tập 4 trang 138 SGK 12CB
Giải các phương trình sau
a)

( 3 − 2i ) z + ( 4 + 5i ) = 7 + 3i

b)

( 1 + 3i ) z − ( 2 + 5i ) = ( 2 + i ) z

c)

z
+ ( 2 − 3i ) = 5 − 2i
4 − 3i

Thực chất của nhiệm vụ này cũng chỉ yêu cầu thực hiện các phép toán cộng, trừ,
nhân, chia số phức thông thường.
Tìm nghịch đảo của số phức
Đây là nhiệm vụ được xem là một dạng khác của phép chia số phức.
Tìm căn bậc hai của số thực a âm
Sử dụng công thức căn bậc hai của số thực a < 0 là ±i a

18


Theo Sách giáo viên thì “không có định nghĩa chính thức về căn bậc hai phức, các
căn bậc hai của số thực âm tìm được chỉ bằng trực giác”. Theo yêu cầu của SGK và
sách giáo viên thì học sinh không được dùng kí hiệu căn bậc hai của số thực âm, mà
chỉ có thể dùng lời để diễn tả.

Ứng dụng của hệ thức Viet trong phương trình bậc hai
Hệ thức Viet trong phương trình bậc hai trong tập số phức được ứng dụng hoàn
toàn như trong tập hợp số thực.
Nhiệm vụ

Số lần xuất

Tỉ lệ (%)

hiện (lần)
Tìm phần thực và phần ảo của số phức

2

2,1

5

5,4

Tìm số phức biết phần thực và phần ảo

1

1,1

Biểu diễn số phức trên mặt phẳng tọa độ

13

14,3

Tìm môđun của số phức

6

6,6

Tìm số phức liên hợp

8

8,8

Cộng, trừ, nhân số phức

33

36,3

Giải phương trình bậc hai với hệ số thực

6

6,6

Giải phương trình với hệ số phức

3

3,3

Tìm nghịch đảo của số phức

4

4,4

Tìm căn bậc hai của số thực âm

8

8,8

Ứng dụng của hệ thức Viet trong phương trình bậc hai

2

2,2

Tìm

số

thực

x

và

y

biết

biểu

thức

f ( x, y ) + g ( x , y ) i = f ' ( x , y ) + g ' ( x , y ) i

Chia số phức

19


Tổng

91

Bảng 1.2. Bảng thống kê số lần xuất hiện của các nhiệm vụ trong SGK 12CB
SGK 12CB không đề cập đến dạng lượng giác của số phức. Dạng lượng giác của
số phức và ứng dụng được đề cập trong bài 3 chương IV ở sách giáo khoa 12 nâng
cao (SGK 12NC).
Kết luận
Số phức được đưa vào SGK 12CB theo trình tự sau
ĐẠI SỐ

HÌNH HỌC

ĐẠI SỐ

(đối tượng)

(đối tượng)

(công cụ)

Trình tự xuất hiện số phức trong lịch sử đã được chuyển đổi khi đưa vào SGK.
Trong lịch sử, số phức xuất hiện trước hết với cơ chế công cụ và chỉ là các kí hiệu

hình thức chứ chưa có ý nghĩa đại số hay hình học cụ thể. Dạng đại số được giới
thiệu đầu tiên trong SGK nhưng theo lịch sử thì xuất hiện cuối cùng. Cách thức
chuyển đổi này cũng thường gặp trong quá trình chuyển đổi từ tri thức khoa học
sang tri thức giảng dạy nhằm mục đích sư phạm.
Ý nghĩa hình học của số phức không được đề cập đến, định nghĩa và cách xây
dựng các phép toán hoàn toàn dựa trên các quy tắc đã biết trên tập hợp số thực. Biểu
diễn hình học của số phức bởi một điểm trên mặt phẳng tọa độ chỉ đưa vào nhằm
mục đích làm cơ sở để giới thiệu môđun của số phức. Trong khi đó, nghiên cứu
khoa học chỉ ra rằng, biểu diễn hình học của số phức ra đời trong quá trình người ta
đi tìm nghĩa của nó. Tóm lại từ tri thức khoa học chuyển sang tri thức giảng dạy có
nhiều thay đổi nhưng chung quy lại cũng chính là lý do sư phạm nhằm đáp ứng phù
hợp với môi trường giáo dục thực tại.
1.3.

Nội dung số phức trong chương trình phát triển nghiệp vụ cho sinh viên

sư phạm toán
Trong chương trình đào tạo giáo viên toán hiện nay của các trường sư phạm ở Việt
Nam đều có học phần Giải tích phức (hay Hàm số biến số phức). Mục tiêu của học
phần thường là trang bị cho sinh viên kiến thức cơ bản, toàn diện về số phức, hàm
20


số biến số phức; và một số vấn đề chuyên sâu hơn như hàm giải tích, lý thuyết tích
phân, lý thuyết chuỗi, lý thuyết thặng dư… Học phần về số phức này thường được
giảng dạy ở năm thứ ba hoặc năm thứ hai trong chương trình đào tạo bốn năm. Bên
cạnh học phần này có tính chất trang bị kiến thức cơ bản và chuyên sâu, một số cơ
sở đào tạo giáo viên còn có học phần Phương pháp dạy học toán, trong đó có nội
dung dạy học số phức ở trường phổ thông. Tuy nhiên, nhìn chung chương trình đào
tạo giáo viên toán hiện nay tập trung nhiều vào việc trang bị nội dung kiến thức về

số phức, mà có ít môđun về dạy học số phức và phát triển nghiệp vụ cho giáo viên
để dạy học chủ đề này. Những kết quả nghiên cứu về dạy học số phức cũng còn ít
được áp dụng vào đào tạo nghiệp vụ cho giáo viên toán ở trường sư phạm.
1.4.

Điểm bình các nghiên cứu liên quan đến dạy học số phức

Nhiều nhà nghiên cứu cho rằng các biểu diễn là những công cụ quan trọng để phát
triển suy luận toán học, truyền đạt thông tin và các quá trình tư duy (Cuoco &
Curcio, 2001; Goldin & Shteingold, 2001; Kaput, 1987; NCTM, 2000). Việc biểu
diễn các mối quan hệ toán học và các ý tưởng có thể được thể hiện bằng lời nói (văn
bản hoặc ngôn ngữ nói), bằng biểu tượng (con số, chữ cái, phương trình), và bằng
trực quan (đồ thị, sơ đồ, cử chỉ).
Lesh et al. (1987) nhấn mạnh tầm quan trọng trong sự kết nối và chuyển đổi qua
lại giữa các biểu diễn khác nhau của một đối tượng toán học khi giải quyết vấn đề
toán học. Các tác giả nhận thấy rằng học sinh luôn gặp khó khăn trong quá trình
chuyển đổi giữa các kiểu biểu diễn. Lesh et al. (1987) khẳng định một người giải
quyết vấn đề tốt là người có xu hướng sử dụng một cách linh hoạt các kiểu biểu
diễn khác nhau của cùng một đối tượng toán học và chọn lựa biểu diễn phù hợp
nhất trong quá trình giải quyết vấn đề. Các tác giả này cho rằng để chẩn đoán những
khó khăn trong học tập của học sinh hoặc xác định các cơ hội dạy học, giáo viên có
thể tạo ra một loạt các câu hỏi bằng cách giới thiệu một ý tưởng trong một kiểu biểu
diễn và yêu cầu sinh viên minh họa, mô tả, hoặc thể hiện ý tưởng trong các kiểu
hoặc thể thức biểu đạt khác. Tuy nhiên, để sử dụng các chiến lược giảng dạy như
vậy giáo viên cần phải biết các dạng khác nhau và liên kết chúng.

21