TĂNG CƯỜNG RÈN LUYỆN NGHỀ CHO SINH VIÊN SƯ PHẠM TOÁN TRONG CÁC BÀI GIẢNG TOÁN CƠ BẢN

TĂNG CƯỜNG RÈN LUYỆN NGHỀ CHO SINH VIÊN SƯ PHẠM TOÁN
TRONG CÁC BÀI GIẢNG TOÁN CƠ BẢN
Th.S Phan Thị Tình
Trường ĐH Hùng Vương
Rèn luyện các kĩ năng nghề nghiệp ngay trong quá trình đào tạo giáo viên ở
các trường sư phạm là một trong các vấn đề quan trọng, quyết định tới hiệu quả
hoạt động giảng dạy của các thầy cô giáo trong tương lai. Trong phạm vi ngành
Toán, mỗi đơn vị kiến thức của môn học đều chứa đựng các yếu tố nghề nghiêp và
phần lớn các kiến thức toán mà sinh viên được trang bị sẽ được họ vận dụng truyền
thụ cho học sinh phổ thông sau khi tốt nghiệp. Bởi vậy, mục tiêu tăng cường yếu tố
nghề nghiệp cho sinh viên sư phạm Toán trong các bài giảng toán cơ bản của các
giảng viên thuộc chuyên ngành này là điều hết sức cần thiết, không thể thiếu được.
Một trong những hướng tích cực để đạt được mục tiêu trên là trong các bài giảng,
giảng viên toán cần chỉ ra các mối liên hệ cần thiết giữa toán cao cấp với toán sơ
cấp theo hướng “Toán cao cấp soi sáng toán phổ thông” và kết hợp tích cực giữa
việc giảng dạy kiến thức cơ bản với hoạt động rèn nghề cho sinh viên theo quan
điểm trên.
I. MỘT SỐ MỐI QUAN HỆ GIỮA TOÁN CAO CẤP VÀ TOÁN SƠ CẤP THEO QUAN
ĐIỂM “TOÁN CAO CẤP SOI SÁNG TOÁN PHỔ THÔNG”
Toán cao cấp bao hàm trong nó một hệ thống kiến thức khoa học chặt chẽ, đồ sộ
phức tạp mà người học toán luôn tìm mọi cách thức để tiếp cận sâu vào các mặt của
nó. Tuy nhiên, theo quan điểm tìm kiếm những mối quan hệ cần thiết giữa toán cao
cấp với toán sơ cấp phục vụ cho hoạt động dạy học của giáo sinh sau này, giảng
viên nên tạo điều kiện để sinh viên thấy rằng: Mỗi chuyên đề toán cơ bản mà sinh
viên đã và sẽ được học ở trường đại học đều chứa đựng trong nó cơ sở kiến thức
quan trọng tạo tiềm lực chuyên môn dạy toán sau này cho họ, vì vậy, bên cạnh việc
tiếp thu có tính chất nghiên cứu các tri thức, nếu sinh viên Toán xem việc tích luỹ
các kiến thức của chuyên đề như là vấn đề tự cung cấp thêm một công cụ để “ hành
nghề dạy toán phổ thông” thì mục tiêu tiếp cận kiến thức đã đạt được trên cả hai
phương diện: Nghiên cứu và thể hiện kiến thức.
Sau đây xin đơn cử vài nét khái quát về mối quan hệ giữa toán cao cấp với toán phổ

thông:
 Ở trường phổ thông, học sinh đã được học giải các loại phương trình bậc
nhất, bậc hai, một số phương trình đơn giản bậc ba, bậc bốn, phương trình
Điôphăng, Đó chính là các trường hợp riêng của phương trình nhị thức bậc
n, phương trình tam thức, phương trình đối xứng, phương trình bậc ba, bậc
bốn tổng quát, phương trình đồng dư, phương trình đa thức trên một trường,
một miền nguyên hay trên một vành,… mà sinh viên sẽ được nghiên cứu ở
bậc đại học.
1
 Phép tính vi phân, tích phân giới hạn của hàm số, hàm số liên tục mà học
sinh lớp 11, 12 THPT được học chính là một bộ phận của môn Giải tích một
biến mà sinh viên được học ở đại học.
 Ở trường phổ thông, học sinh đã được học các tập hợp số: Tập số tự nhiên
(N); Tập số nguyên (Z); Tập số hữu tỷ (Q); Tập số vô tỷ (I); Tập số thực (R);
Tập số phức (C). Thì phép toán cộng và nhân thực chất chính là một trường
hợp của phép toán hai ngôi trên một tập hợp tuỳ ý. Ngoài ra, trong quá trình
học tập ở đại học sinh viên sẽ được nghiên cứu một cách hệ thống và đầy đủ
cấu trúc đại số trừu tượng hơn (mà các tập số nói trên chỉ là trường hợp
riêng) như: Nửa nhóm, Nhóm, Vành, Trường,…và cách xây dựng các tập số
này theo quan điểm của Toán học hiện đại.
II. KẾT HỢP VIỆC GIẢNG DẠY KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ RÈN LUYỆN NGHỀ CHO
SINH VIÊN.
Theo quan điểm truyền thụ kiến thức mỗi bài giảng toán cơ bản chính là tích luỹ
thêm cho giáo sinh một công cụ hành nghề, giảng viên toán cần có những định
hướng đổi mới trong thiết kế bài giảng và định hướng việc giảng dạy trên lớp phù
hợp với yêu cầu: “Bài giảng, giảng để khai phá tầm nhìn trước mắt cũng như lâu
dài về kiến thức toán cho người sẽ dạy toán”.
1. Mẫu thiết kế bài giảng.
Tuỳ mức độ, giảng viên nên khai thác tối đa các kiến thức, kĩ năng nghề nghiệp
được bao hàm trong các kiến thức, kĩ năng cơ bản của chuyên đề để thiết kế bài

giảng sao cho bao hàm trong đó cả mục tiêu luyện nghề theo quan điểm trên, nhất
là hiện nay khi phần lớn các giáo trình và tài liệu tham khảo được trình bày dưới
dạng kiến thức khoa học cơ bản, hàn lâm nên chưa thể hiện, tích hợp các đặc tính
rèn luyện nghề nghiệp tương lai cho giáo sinh.
Mẫu thiết kế bài giảng toán thể hiện được quan điểm “ toán cao cấp soi sáng toán
phổ thông” theo chúng tôi, cơ bản vẫn được cấu trúc theo ba phần chính:
Phần I: Mục tiêu bài giảng
Phần II. Nội dung bài giảng
Phần III. Hướng dẫn nội dung cho sinh viên tự nghiên cứu.
Tuy nhiên, với mong muốn chỉ ra những mối quan hệ giữa toán cao cấp và toán
phổ thông trong các bài giảng này, giảng viên cần lưu ý:
 Trong phần I nhất thiết phải bổ sung thêm mục tiêu vận dụng giải toán phổ
thông hay tác dụng sáng tác những bài toán sơ cấp mới của kiến thức bài
giảng.
 Trong phần II cần bổ sung thêm mục khai thác và liên hệ việc giảng dạy kiến
thức toán phổ thông theo chương trình phổ thông hiện hành.
 Trong phần III nên hướng dẫn và tạo điều kiện cho sinh viên được làm việc
nhiều với sách giáo khoa toán phổ thông theo hướng tích hợp với bài học
tương ứng trong các giáo trình này, giúp sinh viên thấy được tác động của
tiết dạy với việc dạy toán sau này.
2. Định hướng giảng dạy trên lớp.
2
Cách thức thể hiện nội dung bài giảng trên lớp mang tầm quan trọng đáng kể,
bởi nó góp phần quyết định mức độ lĩnh hội kiến thức, biến những kiến thức ấy
(vốn tồn tại khách quan ngoài ý thức của sinh viên) thành vốn kinh nghiệm riêng
của họ. Phù hợp với mẫu thiết kế bài giảng theo quan điểm trên, trong thể hiện bài
giảng giảng viên cần sử dụng phối hợp hợp lý các kiểu phương pháp dạy học đặc
biệt là các kiểu phương pháp: Giải thích-tìm kiếm bộ phận và nêu vấn đề- nghiên
cứu. Để cách thức thể hiện bài giảng góp phần rèn luyện tay nghề cho sinh viên thì
giảng viên cần Toán lưu ý để phương pháp thể hiện bài giảng đảm bảo:

 Trang bị cho sinh viên hệ thống tri thức khoa học cơ bản theo mục tiêu đào
tạo cử nhân ngành Toán.
 Phải chú ý rèn luyện hệ thống kỹ năng, kỹ xảo có liên quan trực tiếp đến
nghề dạy toán sau này của sinh viên ở mức độ có thể của bài giảng.
 Việc đánh giá hiệu quả của bài giảng phải dựa trên hai trên cơ sở: Mức độ
nắm vững tri thức cơ bản và kỹ năng vận dụng thành thạo kiến thức bài
giảng trong nghề nghiệp tương lai của sinh viên.
Phương pháp dạy học ở ĐHSP nói chung bị chi phối nhiều bởi quan niệm về đặc
thù nghề nghiệp của chủ thể nhận thức. Một giảng viên toán tìm kiếm những
phương pháp thể hiện bài giảng nhằm đạt được mục tiêu bài học, mục tiêu môn học
và rộng hơn nữa là mục tiêu đào tạo cử nhân sư phạm toán chính là một trong các
nhân tố tích cực giúp sinh viên (sau một quá trình làm việc với giảng viên) dần
hình thành và hoàn thiện nhân cách đặc trưng của người thày.Tuy nhiên, tăng
cường tính rèn nghề cho sinh viên trong các bài giảng toán cơ bản không có nghĩa
là giảm tải lượng kiến thức vốn có của các bài giảng trong chương trình đào tạo mà
là thay đổi quan điểm về cách truyền thụ khối kiến thức ấy, nhằm đạt được nhiều
mục đích trên cơ sở khối kiến thức ấy.
3. Trích đoạn bài giảng minh hoạ.
Bài giảng này thuộc chuyên đề toán cơ bản “Qui hoạch tuyến tính” (QHTT) giảng
cho sinh viên ĐHSP Toán. Do khuôn khổ bài viết có hạn nên tác giả chỉ trình bày
kỹ ba vấn đề cần lưu tâm tương ứng của ba phần cơ bản trong cấu trúc bài giảng
theo mẫu thiết kế bài giảng được trình bày ở trên.
3.1. Bài soạn.
TÊN BÀI GIẢNG: CẶP BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU VÀ ĐỊNH LÝ ĐỐI NGẪU.
A. MỤC TIÊU.
1. Sinh viên nắm được nguyên tắc thiết lập bài toán đối ngẫu của bài toán
QHTT tổng quát, tìm được cách tiếp cận bài toán QHTT dưới một góc độ
khác thông qua bài toán bổ trợ của nó ( bài toán đối ngẫu). Sử dụng các
định lý đối ngẫu để rút ra những kết luận của cặp bài toán gốc - đối
ngẫu, đặc biệt là mối quan hệ về tập nghiệm.

2. Cung cấp thêm cho sinh viên cơ sở khoa học trong dạy các bài toán cực
trị điều kiện của các hàm tuyến tính lớp 10 THPT, đặc biệt là khả năng
kiểm chứng nhanh tính đúng đắn trong lời giải các bài toán QHTT phổ
thông và sáng tác các bài toán mới trên cơ sở bài toán ban đầu.
3
B. NỘI DUNG.
B.1. Nguyên tắc thiết lập bài toán đối ngẫu.
B.2. Mối quan hệ giữa bài toán gốc (P) và bài toán đối ngẫu (Q).
Định lý. Với mọi cặp phương án x, y tương ứng của bài toán P và Q ta luôn có:
( ) ( )
ygxf ≥
.
Hệ quả. Nếu đối với hai phương án x
1
, y
1
tương ứng của bài toán P và Q mà
( ) ( )
11
ygxf =
thì x
1
, y
1
tương ứng là nghiệm của bài toán P và Q.
B.3. Định lý đối ngẫu.
B.3.1.Định lý đối ngẫu thứ nhất. Nếu bài toán P có phương án tối ưu thì bài toán
Q cũng có phương án tối ưu và giá trị tối ưu của chúng bằng nhau.
Hệ quả 1. Điều kiện cần và đủ để cặp bài toán gốc - đối ngẫu giải được là mỗi bài
toán có ít nhất một phương án chấp nhận được.

Hệ quả 2. Điều kiện cần và đủ để một bài toán có phương án chấp nhận được còn
một bài toán không có phương án chấp nhận đựơc là trị số của hàm mục tiêu của
bài toán có phương án chấp nhận đựơc không bị chặn trên tập phương án của nó.
Nhận xét: Đối với một cặp bài toán gốc - đối ngẫu chỉ xảy ra một trong 3 trường
hợp:
1) Cả hai bài toán không có phương án, hiển nhiên cả hai không giải được.
2) Cả hai bài toán có phương án thì cả hai giải được và giá trị của hai bài toán
tại phương án tối ưu của chúng bằng nhau.
3) Một bài toán có phương án, một bài toán không có phương án, khi đó trị số
hàm mục tiêu của bài toán có phương án không bị chặn trên tập phương án
đó.
B.3.2. Định lý đối ngẫu thứ hai. Điều kiện cần và đủ để
n
Rx ∈
và
m
Ry ∈
tương
ứng là phương án tối ưu của các bài toán gốc và đối ngẫu là các điều kiện sau đồng
thời được thoả mãn:

i,0ybxa
i
n
1j
ijij
∀=









−
∑
=
;
j,0xyac
j
m
1i
iijj
∀=








−
∑
=
.
B.3.3. Bài tập vận dụng.
B.4. Vai trò của lý thuyết đối ngẫu trong chương trình toán phổ thông.
B.4.1. Trong tài liệu “Sách giáo khoa đại số lớp 10 nâng cao” NXBGD 2006

của các tác giả: Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên) - Nguyễn Huy Đoan (chủ biên) phần
kiến thức chính khóa: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và phần đọc thêm: Một
phương pháp tìm cực trị của biểu thức P(x,y) = ax + by trên một miền đa giác lồi
(chương 4) chính là trường hợp cụ thể (khi n = 2) trong bài toán tìm miền phương
án chấp nhận được và nghiệm của bài toán QHTT dạng chuẩn tắc trong R
n
sinh
viên được học ở đại học.
B 4.2. Sự kết hợp lý thuyết hệ phương trình tuyến tính và các lý thuyết đối
ngẫu của QHTT là cơ sở khoa học để có thể sáng tác một loạt bài toán m ràng buộc
của không gian n chiều cùng đạt một giá trị cực trị tại những điểm khác nhau từ
4
một bài toán n ràng buộc của không gian m chiều (thực chất chính là những bài
toán đối ngẫu của bài toán ban đầu ứng với mỗi cách biến đổi tương đương của hệ
ràng buộc). Khi n = 2 thì những bài toán này có thể sử dụng cho đối tượng học sinh
phổ thông.
B.4.3. Đối với các bài toán cực trị điều kiện tuyến tính 2 ẩn số của chương
trình toán phổ thông, giáo viên có thể xét bài toán đối ngẫu của nó để kiểm chứng
kết quả tính toán của học sinh và xử lý các tình huống nhanh nhất.
C. HƯỚNG DẪN NỘI DUNG TỰ NGHIÊN CỨU.
C.1. Tìm hiểu thuật toán đơn hình đối ngẫu giải bài toán QHTT.
C.2. Nghiên cứu các bài tập liên hệ toán phổ thông.
Bài tập 1. Cho bài toán: Tìm GTLN của hàm số:
( )
21
x2xxf +=

với điều kiện:











≥≥
≥+−
−≥+
≤−
≥+
≤−
0x;0x
3x5x
5x4x
3x3x
2xx2
2x2x
21
21
21
21
21
21
Một học sinh lớp 10 đưa ra kết quả: Maxf =11 đạt được khi x
1
= 6 và x
2

= 5/2. Có
thể khẳng định điều gì từ kết quả này mà không cần xem lời giải của học sinh đó ?
HD: Nhìn thấy ngay bài toán đối ngẫu của bài toán đã cho có một ràng buộc vô lý:
-
2y5y4y3yy2
54321
≥−−−−−
( vì
5,1i,0y
i
=≥
). Bài toán đối ngẫu không có
phương án chấp nhận được nên bài toán ban đầu không có phương án tối ưu (theo
định lý đối ngẫu 1).
Bài tập 2.Từ bài toán QHTT trong R
4
: f= -5x
1
-3x
2
(min)






=≥
=++
=++

4,1j,0x
20xx2x5
15xx5x3
j
421
321
(*)
với phương án tối ưu: Minf = -395/19 đạt được khi x =( 70/19; 15/19;0;0)
Hãy sáng tác các bài toán tìm cực đại của hàm số trong R
2
với kết quả giá trị lớn
nhất là -395/19 nhưng dấu “ = ” tại xảy ra tại các điểm khác nhau?
HD:
Theo 4.2.
( )





=≥
=+−−
−=−−−
⇔
4,1j,0x
5xxx3x2
15xx5x3
*
j
4321

321





=≥
=+−−
−=+−−−
⇔
4,1j,0x
5xxx3x2
10xx2x8x
j
4321
4321
Ta lập các bài toán thoả mãn yêu cầu đầu bài:
Bài toán 1: g(y) = 15y
1
+20y
2
(max) với điều kiện:
5








≤
≤
−≤+
−≤+
0y
0y
3y2y5
5y5y3
2
1
21
21
Maxg = -395/19; dấu đẳng thức xảy ra khi
19
16
y;
19
5
y
21
−
=
−
=
Bài toán 2: g(y) = -10y
1
+5y
2
(max) với điều kiện:










=∈
≤+
≥+
≥+
≥−
2,1i,Ry
0yy
0yy2
3y3y8
5y2y
i
21
21
21
21
Maxg = -395/19; dấu đẳng thức xảy ra khi
19
37
y;
19
21
y

21
−
==
Tương tự ta có thể xây dựng vô số bài toán theo yêu cầu trên.
3.2. Định hướng giảng dạy trên lớp.
Kiểu phương pháp giải thích- tìm kiếm bộ phận kết hợp nêu vấn đề- nghiên cứu
trong bài giảng trên nên được giảng viên sử dụng theo trình tự định hướng cho sinh
viên các vấn đề sau (bằng con đường sử dụng giáo trình, dùng lời thuyết trình, vấn
đáp):
 Xét bài toán QHTT dưới quan điểm bài toán tìm cực trị điều kiện của giải
tích nhiều biến từ đó nảy sinh nhu cầu tìm hàm Lagrange của bài toán QHTT
dẫn tới việc hình thành bài toán đối ngẫu của bài toán ban đầu và các mối
quan hệ giữa hai bài toán, các định lý đối ngẫu (đảm bảo mục tiêu trang bị
kiến thức khoa học cơ bản)
 Nghiên cứu tổng hợp lý thuyết của hệ phương trình tuyến tính và lý thuyết
đối ngẫu (đảm bảo rèn luyện kỹ năng liên hệ với các phần kiến thức khác và
hệ thống kiến thức bài giảng).
 Xét bài toán QHTT và lý thuyết đối ngẫu trong R
n
khi n = 2 để từ đó tìm hiểu
và sáng tác các bài toán tìm cực trị tuyến tính của phổ thông (đảm bảo kỹ
năng vận dụng thành thạo kiến thức trong nghề dạy toán sau này)
III. KẾT LUẬN. Dạy nghề là một trong những chức năng chủ yếu không thể thiếu,
thể hiện tính mục đích đào tạo rõ nét nhằm khẳng định sự tồn tại của trường sư
phạm, vì vậy, rất cần tới sự tham gia nhiệt tình, liên tục của các giảng viên. Việc
tăng cường tính rèn luyện nghề trong các bài giảng toán cơ bản theo hướng tìm mối
liên hệ giữa toán cao cấp với toán phổ thông của giảng viên sẽ đóng một vai trò
quan trọng góp phần rèn thói quen tích luỹ kiến thức nghề nghiệp ở sinh viên. Trên
cơ sở đó, huy động được ở họ mức cao nhất chức năng tư duy toán có liên quan
tới nghề dạy toán sau này, đảm bảo cho họ được học nghề ở trình độ và mức độ cao

6
nhất đáp ứng những yêu cầu của xã hội về trình độ và năng lực của các nhà giáo
đối với sự phát triển của nền giáo dục Việt Nam trong mọi thời đại.
TÀI LIỆU THAM KHẢO.
1. Đặng Vũ Hoạt, Hà Thị Đức. Lý luận dạy học Đại học. NXB Đại học Sư phạm 2006.
2. Nguyễn Bá Kim. Phương Pháp dạy học môn Toán. NXB Đại học Sư phạm 2006.
3. Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên) - Nguyễn Huy Đoan (chủ biên) – Nguyễn Xuân
Liêm - Đặng Hùng Thắng – Trần Văn Vuông. Đại số 10 nâng cao. NXBGD 2006.
4. Phí Mạnh Ban. Quy hoạch tuyến tính. NXB GD 2004.
TÓM TẮT
Bài báo này trao đổi về vấn đề tăng cường tính rèn nghề trong các bài giảng
toán cơ bản cho sinh viên Đại học sư phạm ngành Toán theo quan điểm: Sử dụng
kiến thức toán cao cấp nhằm soi sáng kiến thức toán phổ thông, kết hợp tích cực
hơn nữa việc giảng dạy kiến thức cơ bản với hoạt động rèn luỵên các kỹ năng nghề
nghiệp cho sinh viên qua hình thức thiết kế và thể hiện bài giảng của giảng viên
phù hợp với quan điểm trên.
7