Sử dụng biểu diễn bội động để phát triển suy luận ngoại suy cho HS THCS về mối quan hệ hàm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN NHƠN NGHĨA

SỬ DỤNG BIỂU DIỄN BỘI ĐỘNG ĐỂ PHÁT TRIỂN
SUY LUẬN NGOẠI SUY CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ
SỞ VỀ MỐI QUAN HỆ HÀM

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn toán
Mã số: 60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. Nguyễn Đăng Minh Phúc

Huế, 2016

1


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên
cứu của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên
cứu trong luận văn là trung thực, được các đồng
tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công
bố trong bất kỳ một công trình nào khác.

Tác giả

Nguyễn Nhơn Nghĩa

2


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin được tỏ lòng biết ơn sâu sắc, chân thành đến thầy giáo TS. Nguyễn
Đăng Minh Phúc đã giúp đỡ và hướng dẫn tận tình cho tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn:
+ Khoa Toán – Trường ĐHSP Huế, phòng Đào tạo sau Đại học – Trường
ĐHSP Huế và Trường ĐH An Giang đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong
suốt thời gian học tập;
+ Các thầy giáo, cô giáo đã giảng dạy chúng tôi trong suốt khóa học của lớp
cao học K23 Phương pháp dạy học bộ môn Toán tại Trường Đại học Sư
phạm Huế;
+ Thầy Lâm Phương Nam, GV Lý - Tin học tại Trường THCS BÌNH THỦY
đã nhiệt tình giúp tôi chuẩn bị cơ sở vật chất;
+ GV bộ môn Toán và các em HS lớp 9 trường THCS BÌNH THỦY;
+ Gia đình, bạn bè và các anh các chị học viên lớp cao học K23 đã quan tâm,
giúp đỡ, động viên tôi hoàn thành luận văn này.
Luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, kính mong nhận được sự trao đổi và
góp ý của quý thầy cô và bạn đọc.
Chân thành cảm ơn!
An Giang, tháng 4 năm 2016

Nguyễn Nhơn Nghĩa

3

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT
HS

Học sinh

GV

Giáo viên

SGK

Sách giáo khoa

THCS

Trung học cơ sở

GSP

Geometer’s Sketchpad

DGE

Dynamic Geometry Environment
(Môi trường hình học động)

BDTQĐ

Biểu diễn trực quan động

LTKT

Lý thuyết kiến tạo

4


5


MỤC LỤC

6


DANH MỤC CÁC BẢNG

7


DANH MỤC CÁC HÌNH

Chương 1. GIỚI THIỆU VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
1.1. Giới thiệu
Trong những năm gần đây, những nhà giáo dục Toán đã và đang khuyến
khích việc sử dụng công nghệ trong lớp học nhằm bồi dưỡng năng lực toán học của
người học (Noss & Hoyles, 1996; Mariotti, 2006; Cuoco, 2008). Khi dạy học toán
với sự hỗ trợ của các mô hình động, tính chủ động trong khám phá kiến thức của
học sinh (HS) được thể hiện rất rõ. Kordaki (2006) đã chỉ ra môi trường học tập có

sự hỗ trợ của máy tính cung cấp nhiều công cụ khác nhau để xây dựng phương án
giải trong hệ thống biểu diễn bội và môi trường này có thể hỗ trợ cho HS những
cách hiểu toán của riêng mình tốt hơn môi trường truyền thống. Scott Steketee
(2008) đã giới thiệu những đặc trưng cơ bản của phần mềm hình học động, tính
tương tác, tính động và tính trực quan trong bài viết “Thúc đẩy những thực hành tốt
nhất” (Promoting Best Practices). Các đối tượng toán học thể hiện ở bảng đen hay
trên giấy đều ở trạng thái tĩnh, những đặc tính và mối liên hệ của chúng thường
được mô tả bằng các biểu diễn ngôn ngữ hay ký hiệu. Tuy nhiên trong môi trường
hình học động (Dynamic Geometry Environment, DGE), những đối tượng này sẽ
thể hiện những ứng xử đặc trưng và có thể trở thành những nguyên liệu để thực hiện
“thí nghiệm”. Song song với sự phát triển DGE, suy luận toán học cũng là một
chiến lược quan trọng đối với phát triển tư duy cũng như hiểu biết của HS. Suy luận
toán học cung cấp cho HS kinh nghiệm và giúp các em hiểu về thế giới toán học, từ
đó các em có động lực và tự tin khi làm toán. Suy luận toán học có thể chia ra làm
ba loại cơ bản: suy diễn, quy nạp và ngoại suy.
Suy luận ngoại suy được giới thiệu lần đầu tiên theo quan điểm triết học bởi
Charles Sanders Peirce (10/9/1839 - 19/4/1914), một nhà triết gia, nhà toán học,
logic học người Mỹ. Ngoại suy xuất hiện một cách tự nhiên qua những lý giải của
con người về các hiện tượng hoặc các sự kiện trong đời sống hằng ngày.
8


J.Josephson & S.Josephson phát triển mô hình ngoại suy của Peirce thêm một giai
đoạn: đánh giá giả thuyết nào là tốt nhất. Với sự hỗ trợ mạnh mẽ của các phần mềm
hình học động, HS có thể thao tác (Finzer, Jackiw, 1998) lên các mô hình toán học,
ngoại suy thao tác thúc đẩy trong việc khám phá các sự kiện mới, phỏng đoán hoặc
phát hiện. Đối với môn toán ở trường Trung học, ngoại suy xuất hiện ẩn tàng trong
quá trình dạy học các khái niệm mới thông qua quan sát các tình huống, hiện tượng
để đưa ra các lý thuyết giải thích hoặc quá trình tìm kiếm các định lý, công thức
mới…Từ việc hỗ trợ đưa ra các giả thuyết tốt, suy luận ngoại suy được ứng dụng

vào các chủ đề số học, đại số, thống kê.
Hàm số là một trong những chủ đề cốt yếu trong chương trình toán trung học
và có rất nhiều ứng dụng trong các môn khoa học khác. Theo Khin Chin : “Không
có khái niệm nào phản ánh được những hiện tượng của thực tế khách quan một cách
trực tiếp và cụ thể như khái niệm tương quan hàm, không khái niệm nào có thể bộc
lộ được ở trong nó những nét biện chứng của tư duy toán học hiện đại như khái
niệm tương quan hàm”. Hệ thống các bài toán thực tế đòi hỏi vận dụng kiến thức
hàm số giải quyết là phong phú và hấp dẫn. Việc dạy học tốt các bài toán có mối
quan hệ hàm, một mặt giúp HS củng cố kiến thức hàm số, mặt khác còn hỗ trợ HS
vận dụng các kiến thức hàm số đã học vào việc giải quyết các bài toán thực tế cuộc
sống. Với thế mạnh của mô hình động, những tương tác mà biểu diễn bội động có
thể mang lại cho HS trong quá trình khám phá tri thức. Như vậy, có thể tin rằng dạy
học các bài toán có mối quan hệ hàm trong chương trình trung học với biểu diễn bội
động sẽ mang lại những hiệu quả đáng kể trong việc giúp HS học tốt chủ đề này,
cũng như giúp các em vận dụng một cách linh hoạt thành các kiến thức mà các em
đã học để giải quyết nhiều vấn đề trong thực tế.
1.2. Nhu cầu nghiên cứu
Trong những thập kỉ gần đây, việc cho HS tương tác trực tiếp trên DGE
nhằm kiến tạo tri thức đang được nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm. Sự hỗ
trợ của các phần mềm Geometer’s Sketchpad (GSP), Cabri,… đã giúp HS khi giải
quyết các bài toán đại số ở trường. Việc chuyển đổi từ môi trường đồ thị truyền
thống dựa trên giấy – bút đến môi trường đồ thị động dựa trên các số liệu trên màn
hình, thực hiện bởi công cụ đồ thị và biến đổi bởi tác động thông qua thao tác kéo rê
9


chuột để quan sát, có tiềm năng ảnh hưởng sâu sắc đến cách HS nhận thức và lý
luận. Từ những lợi ích mà DGE mang lại, nhiều nhà giáo dục toán đã chú ý đến
việc đưa các bài toán có mối quan hệ hàm vào DGE, từ đó tạo ra các tình huống
suy luận ngoại suy giúp HS khám phá, giải quyết một cách trực quan và sâu sắc

hơn.
Ở cấp trung học cơ sở (THCS), hàm số là một trong những chủ đề chính
trong chương trình Toán và nó có ý nghĩa lớn trong ứng dụng vào cuộc sống thực
tiễn. Tuy nhiên, kiến thức về hàm số tương đối phức tạp và trừu tượng với HS, vì
vậy trong quá trình dạy học về hàm số thì việc làm thế nào để HS hiểu được hàm số
là việc làm cần thiết. Khi HS có một sự hiểu biết về một số kiến thức mới, họ có thể
áp dụng kiến thức đó để tìm hiểu những khái niệm mới và để giải quyết những vấn
đề mới (Carpenter & Lehrer, 1999). Xuất phát từ vấn đề đó, việc thiết kế các bài
toán có mối quan hệ hàm trong môi trường hình học động để HS có thể thao tác,
quan sát trên mô hình khám phá kiến thức hàm số là một vấn đề đáng nghiên cứu.
1.3. Đề tài nghiên cứu
Polya (1954) đề nghị chúng ta đảm bảo kiến thức toán học bằng cách lý luận
chứng minh, nhưng hỗ trợ chúng ta phỏng đoán bằng cách lý luận chính đáng. Như
một hình thức suy luận hợp lý, suy luận ngoại suy đã được giới thiệu bởi Pierce
(1994) là một loại khác với suy diễn và quy nạp. Ngoại suy đã được phân loại trong
nghiên cứu của Erkki (2006) và như một mô hình lý luận hàng ngày, ông đã nghiên
cứu vai trò của ngoại suy trong tương tác kỹ thuật số. Vai trò của suy luận ngoại suy
thao tác đã rất ấn tượng trong tác phẩm của Magnani (2002), mà thao tác của các
đối tượng bên ngoài giúp con người trong khai thác kiến thức và trong công việc
sáng tạo. Việc quan sát, trực tiếp thực hiện các thao tác trên biểu diễn bội động sẽ
giúp HS hứng thú hơn, kích thích sự tìm tòi để đưa ra các giải thích và dự đoán. HS
sẽ có thể mở rộng sự hiểu biết về các mối quan hệ hàm bằng cách làm cho quá trình
chuyển đổi hoặc kết nối giữa các biểu diễn khác nhau của hàm. Vì vậy, chúng tôi
chọn đề tài: “Sử dụng biểu diễn bội động để phát triển suy luận ngoại suy cho HS
THCS về mối quan hệ hàm”.

10


1.4. Mục đích nghiên cứu

(1) Xác định vai trò và cách sử dụng các biểu diễn bội động nhằm hỗ trợ HS

khám phá các bài toán có mối quan hệ hàm.
(2) Xây dựng các biểu diễn bội động để giáo viên (GV) và HS có thể sử dụng
nhằm phát triển suy luận ngoại suy cho HS trong dạy học các bài toán có mối
quan hệ hàm.
(3) Tìm hiểu con đường khám phá các mối quan hệ hàm của HS thông qua các
suy luận ngoại suy với sự hỗ trợ của các biểu diễn bội động.
1.5. Câu hỏi nghiên cứu
Với mục đích đã nêu ở trên, nghiên cứu này nhằm trả lời những câu hỏi sau:
•

Câu hỏi nghiên cứu thứ nhất: Các biểu biễn bội động có tác động
tích cực trong việc hỗ trợ HS khám phá các bài toán có mối quan hệ

•

hàm như thế nào?
Câu hỏi nghiên cứu thứ hai: Xây dựng các biểu diễn bội động như
thế nào để GV và HS có thể sử dụng nhằm phát triển suy luận ngoại

•

suy cho HS trong dạy học các bài toán có mối quan hệ hàm?
Câu hỏi nghiên cứu thứ ba: Con đường khám phá các mối quan hệ
hàm của HS thông qua suy luận ngoại suy với sự hỗ trợ của các biểu
diễn bội động diễn ra như thế nào?

1.6. Ý nghĩa của việc nghiên cứu
Các kết quả nghiên cứu của đề tài sẽ:

•

Cho chúng ta thấy các biểu diễn bội động có tác động tích cực trong việc hỗ

trợ HS khám phá các bài toán có mối quan hệ hàm.
• Cung cấp cho người dạy những biểu diễn bội động phục vụ trong việc giúp
HS khám phá các bài toán có mối quan hệ hàm cũng như cách xây dựng các
biểu diễn bội động tạo ra tính tương tác cao giữa GV và HS.
• Giúp GV thấy được con đường khám phá, phát hiện các bài toán có mối quan
hệ hàm của HS. Từ đó, GV có những phương pháp giúp HS thấy được con
đường để đi đến giải quyết các vấn đề toán học.
1.7. Các thuật ngữ dùng trong luận văn
•

Biểu diễn: Có nhiều định nghĩa khác nhau về biểu diễn trong giáo dục toán.
Hầu hết các nhà nghiên cứu giáo dục toán phân biệt giữa biểu diễn trong và
biểu diễn ngoài, trong đó biểu diễn ngoài là những biểu hiện của các ý tưởng
11


hoặc khái niệm như biểu đồ, bảng biểu, đồ thị, sơ đồ, ngôn ngữ…và biểu
diễn trong là các mô hình nhận thức mà một người có được trong trí óc họ
(Minh Phúc, 2010).
• Biểu diễn bội: Biểu diễn bội là những biểu hiện bên ngoài của các ý tưởng
và khái niệm toán học nhằm cung cấp cùng một thông tin ở những dạng khác
nhau (Minh Phúc, 2010).
• Biểu diễn bội động: Biểu diễn bội được thể hiện trên máy tính thông qua
phần mềm toán học động, trong đó người dùng có thể thực hiện các thao tác
động như kéo rê, thay đổi giá trị tham số, thay đổi hình dạng, kích thước…
của các biểu diễn.

• Mô hình: Vật cùng hình dạng nhưng được làm thu nhỏ lại nhiều lần, mô
•

phỏng cấu tạo và hoạt động của một vật khác để tiện trình bày, nghiên cứu
Mô hình động: Mô hình toán có thể thao tác được bằng tay hoặc bằng chuột
bởi người học để thay đổi, thêm bớt các điều kiện, biến dạng mô hình nhằm
khám phá các tính chất toán học của mô hình.

•

Hình học động (Dynamic Geometry): Một khái niệm mới liên quan đến các
phần mềm như Sketchpad và Cabri. Các phần mềm này thực thi với công cụ
cơ bản gồm một cây thước và compa điện tử (Minh Phúc, 2010).

•

Tương tác: Những tác động hỗ trợ lẫn nhau giữa các đối tượng, giữa các chủ
thể và khách thể. Tương tác trong giáo dục được hiểu là sự trao đổi thông tin,
kiến thức, là sự giúp đỡ, hỗ trợ lẫn nhau giữa GV – HS, HS – HS.

• Suy luận: Một quá trình sử dụng các tri thức đã biết để đi đến kết luận, đưa
ra dự đoán hay xây dựng các giải thích (Minh Phúc, 2010).
•

Suy luận ngoại suy: Quá trình suy luận nhằm đưa ra giả thuyết tốt nhất để
giải thích cho một kết quả quan sát được.

1.8. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mục lục, danh mục các chữ viết tắt, tài liệu tham khảo và phụ
lục, luận văn được trình bày trong năm chương:

Chương 1. Giới thiệu vấn đề nghiên cứu
Trong chương này, chúng tôi giới thiệu, nêu nhu cầu nghiên cứu, đề tài
nghiên cứu, mục tiêu nghiên cứu và đưa ra các câu hỏi nghiên cứu cho luận văn.
12


Ngoài ra chúng tôi cũng trình bày ý nghĩa của nghiên cứu và định nghĩa một số
thuật ngữ dùng trong luận văn.
Chương 2. Tổng quan vấn đề nghiên cứu
Trong chương này, chúng tôi giới thiệu lịch sử các vấn đề nghiên cứu; đưa ra
khung lý thuyết là lý thuyết kiến tạo (LTKT), làm nền tảng cho quá trình nghiên
cứu; giới thiệu một số kết quả đã thu được từ các đề tài nghiên cứu.
Chương 3. Thiết kế nghiên cứu
Chương này giới thiệu phương pháp và quy trình nghiên cứu cho luận văn
gồm các mục: thiết kế quá trình nghiên cứu, xác định đối tượng thực nghiệm sư
phạm, cách thức tổ chức thực nghiệm, công cụ nghiên cứu, phương pháp nghiên
cứu, trình bày quá trình thu thập và phân tích dữ liệu, các hạn chế khi thực hiện theo
phương pháp và quy trình nghiên cứu đó.
Chương 4. Các kết quả nghiên cứu
Chương này sẽ nêu các kết quả thu được trên từng vấn đề toán học để lần
lượt trả lời các câu hỏi nghiên cứu.
Chương 5. Kết luận và vận dụng
Chương này đưa ra các kết luận cho các câu hỏi nghiên cứu của luận văn.
Phần ứng dụng của luận văn cũng được trình bày trong chương này.
Tóm tắt chương 1
Trong chương này, chúng tôi đã trình bày mục đích và ý nghĩa của đề tài:
“Sử dụng biểu diễn bội động để phát triển suy luận ngoại suy cho HS THCS về mối
quan hệ hàm ”, đồng thời chúng tôi cũng phát biểu các câu hỏi nghiên cứu và định
nghĩa một số thuật ngữ của luận văn. Chúng tôi sẽ trình bày tổng quan vấn đề
nghiên cứu làm cơ sở và định hướng cho nghiên cứu ở chương tiếp theo.

13


Chương 2. TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
Mục đích của chương này là trình bày lịch sử vấn đề nghiên cứu nhằm xác
định và làm rõ nền tảng lý thuyết chương, tóm tắt sơ lược các nghiên cứu liên quan
đến đề tài để thực hiện các thiết kế nghiên cứu trong chương 3.
2.1. Lịch sử vấn đề nghiên cứu
2.1.1. Biểu diễn bội
2.1.1.1. Biểu diễn bội và vai trò của nó trong dạy học toán
Ozgun Koca (2003) đã đề xuất vai trò của các biểu diễn trong dạy học toán
như sau:
Các biểu diễn là một phần không tách rời của toán học;
Các biểu diễn là những cụ thể hóa khác nhau của một khái niệm nào đó;
Các biểu diễn được sử dụng để giảm bớt độ khó của vấn đề;
Các biểu diễn nhằm làm cho toán học hấp dẫn và thú vị hơn.

•
•
•
•

Biểu diễn như là một công cụ của tư duy (Hahkioniemi, 2006). Chúng ta
biểu diễn một vấn đề hoặc khái niệm và dùng biểu diễn đó để tư duy. Hơn nữa biểu
diễn còn được xem như một phương pháp ghi nhớ và để thông tin (Minh Phúc,
2010).
Bruner (trong Tadao Nakahara, 2007) chỉ ra rằng có thể chia biểu diễn thành
3 phạm trù theo các giai đoạn phát triển của biểu diễn là Biểu diễn thực tế →Biểu
diễn biểu tượng →Biểu diễn ký hiệu. Phân loại, mô tả của các biểu diễn được trình

bày ở bảng sau, trong đó các biểu diễn được xếp từ dưới lên trên theo thứ tự từ cụ
thể đến trừu tượng hơn.
Bảng 2.1. Phân loại, mô tả các loại biểu diễn
Giai đoạn phát triển

Phân loại
Biểu diễn ký hiệu

Biểu diễn ký hiệu
Biểu diễn ngôn ngữ
Biểu diễn biểu tượng

Mô tả
Sử dụng số, chữ cái và các ký
hiệu toán.
Sử dụng ngôn ngữ nói và viết
hằng ngày như tiếng Việt, tiếng

Anh.
Biểu diễn minh họa/ Sử dụng các minh họa như hình
trực quan

vẽ, sơ đồ, đồ thị trên mặt phẳng
hai chiều hoặc giả lập ba chiều
14


Biểu diễn thực thao
Biểu diễn thực tế

tác được

trên máy tính.
Thực hiện các thao tác lên các
mô hình ba chiều thực hoặc mô
hình cho phép thao tác.
Dựa trên các trạng thái thực

Biểu diễn thực

của đối tượng.
Một ví dụ minh họa các biểu diễn liên quan đến hàm số
•

Biểu diễn kí hiệu: các số ; các chữ ;

•
•

Biểu diễn ngôn ngữ: hàm số bậc nhất
;
Biểu diễn minh họa trực quan: ta có thể biểu diễn đồ thị hàm số bậc

nhất là một đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ;
• Biểu diễn thực thao tác: để minh họa ta có thể thao tác trên mô hình
các điểm thuộc hay không thuộc đồ thị hàm số

bằng

vật liệu: que, thép.

2.1.1.2. Biểu diễn bội động
Biểu diễn bội động (dynamic multiple representation) là biểu diễn bội được
thể hiện trên máy tính thông qua phần mềm hình học động, trong đó cho phép người
dùng thực hiện các thao tác động lên biểu diễn. Kết hợp với mô tả về biểu diễn bội
động và môi trường thao tác động, biểu diễn trực quan động (BDTQĐ) là biểu diễn
trực quan trên máy tính trong đó cho phép sử dụng các thao tác động lên các đối
tượng trong biểu diễn. Biểu diễn bội động cung cấp một môi trường hiệu quả cho
HS nhận biết và hiểu những khái niệm toán được học. Biểu diễn bội động minh họa
dưới đây bao gồm biểu diễn số động, đồ thị động. Khi kéo rê các thanh trượt tham
số, biểu thức của hàm số sẽ thay đổi tương ứng, kéo theo sự thay đổi hình dáng của
đồ thị.

15


Hình 2.1. Một ví dụ về biểu diễn bội động
2.1.1.3. Những tiếp cận dạy học khái niệm theo biểu diễn bội
Dienes (1960) (trong Ozgun Koca, 1998) đề xuất rằng những khái niệm toán
học nên được giới thiệu trong nhiều dạng khác nhau để HS nắm bắt được bản chất toán
học của nó. Dienes cũng nhấn mạnh việc học khái niệm toán học sẽ tốt hơn khi các em
được thấy khái niệm đó thông qua nhiều bối cảnh hoặc biểu hiện khác nhau. Biểu diễn
bội động không những thể hiện được một kiến thức toán ở những dạng khác nhau mà
mỗi biểu diễn trong nó còn có mối liên hệ toán học chặt chẽ với nhau.
Theo Piez và Voxman (1997) (trong Ozgun Koca, 1998), bởi vì mỗi biểu diễn
nhấn mạnh và lưu giữ những khía cạnh khác nhau của một khái niệm, chúng ta tin
rằng HS nhận được nhiều hiểu biết sâu hơn về một hàm số nếu nó được khám phá
bằng cách sử dụng các phương pháp số, đồ thị và giải tích. Các biểu diễn bội động
không những tạo cơ hội cho người học thấy được các dạng biểu diễn khác nhau mà
còn thấy mỗi biểu diễn dưới những thể hiện khác nhau khi người học tiến hành các
thao tác động lên biểu diễn.

2.1.1.4. Các kết luận về vai trò của biểu diễn bội
Các biểu diễn cung cấp cho HS những công cụ tư duy hiệu quả. Sử dụng
biểu diễn bội như là một công cụ giúp HS có thể tiếp cận các bài toán có mối quan
hệ hàm. Biểu diễn hàm số bao gồm biểu diễn kí hiệu: các chữ ; Biểu diễn ngôn
ngữ: hàm số bậc nhất ; biểu diễn biểu tượng: vẽ đồ thị hàm số trong mặt phẳng O.

16


BDTQĐ cung cấp cho HS một môi trường học toán hiệu quả. Các BDTQĐ
mô tả được các bài toán có mối quan hệ hàm, giúp người học thực hiện được những
thao tác trên các đối tượng toán học, quan sát thay đổi của đối tượng, thực hiện
được các tính toán một cách chính xác và tương ứng với những vị trí khác nhau của
đối tượng.
Sự kết hợp hài hòa giữa các biểu diễn giúp GV hỗ trợ tốt HS kiến tạo tri thức
mới. Ban đầu GV sử dụng biểu diễn thực tế rồi biểu diễn thao tác được, biểu diễn
trực quan. Biểu diễn ngôn ngữ được sử dụng hầu hết trong quá trình thông tin giữa
GV - HS và HS - HS.
Sử dụng các biểu diễn khác nhau giúp HS tiếp cận với bản chất của vấn đề,
từ đó đưa ra được cách giải quyết cho vấn đề. Để giúp HS hiểu về hàm số xây
dựng các biểu diễn như sau: công thức; bảng và đồ thị. Những thông tin được lưu
giữ trong trí óc về các biểu diễn có ý nghĩa này sẽ là những thành tố quan trọng
trong hỗ trợ HS giải quyết vấn đề.
Công nghệ thông tin hỗ trợ tốt cho việc thiết kế các biểu diễn bội. Công nghệ
làm cho việc vẽ đồ thị dễ dàng hơn, có thể tạo ra từ 3 đến 4 loại biểu diễn thể hiện
trên màn hình cùng một lúc. Các BDTQĐ với sự thể hiện đồng thời của đồ thị động,
ký hiệu động và thể hiện số động là một thế mạnh rõ ràng của việc ứng dụng công
nghệ thông tin cho dạy học toán.
2.1.2. Phần mềm hình học động và ứng dụng
Theo Kortenkamp (1999), trong những năm 1970, thế giới máy tính đã thay

đổi các thiết bị đầu cuối dựa trên những ký tự màu xanh/ đen chỉ dành cho những
chuyên gia trở thành thực tế ảo truyền video đa màu sắc. Sự thay đổi căn bản này
mở ra kỷ nguyên mới cho việc sử dụng máy tính. Không có gì ngạc nhiên khi trong
những năm 1980, thuật ngữ Hình học động (Dynamic Geometry) xuất hiện với việc
sử dụng máy tính như là một cây thước kẻ và compa điện tử. Hình học động
(Olive,2000) trở thành một khái niệm mới liên quan đến các phần mềm nổi tiếng
như GSP và Cabri. Các phần mềm này thực thi với hai công cụ cơ bản gồm thước
kẻ và compa điện tử. Các bản vẽ trên GSP khác với cái mà chúng tạo ra trên giấy
với các công cụ thước kẻ và compa thông thường không chỉ bởi sự chính xác của
cấu trúc toán học. GSP nhờ các mối liên hệ giữa các đối tượng khác nhau trong cấu
17


trúc đó khi rê các đối tượng tự do. Chẳng hạn, nó nhớ điểm M là trung điểm của
đoạn thẳng AB, nhớ đường tròn (C) có tâm O và đi qua điểm X…DGE đang trở nên
phổ biến ở các trường học. Nó đã chứng tỏ sự hữu ích trong việc phát triển suy luận
của các em.
Toán học, cụ thể hơn các nghiên cứu về hàm, đang thay đổi nhanh chóng do
các công nghệ mới dành cho HS (Hegedus & Kaput, 2002). Công nghệ cung cấp
cho HS với khả năng học hỏi về hàm bằng cách cung cấp dễ dàng tiếp cận với nhiều
hình thức biểu diễn. Việc sử dụng các công nghệ cung cấp chỗ cho nhiều khám phá,
một cách nhanh hơn, trong những hình thức khác nhau của biểu diễn (Brumbaugh
& al., 2006). Chúng ta có thể khai thác những lợi ích của công nghệ như máy tính
đồ thị và phần mềm máy tính trong việc khám phá các khái niệm về hàm. Các phần
mềm hình học động hỗ trợ GV và HS thực hiện các thao tác kéo rê và lựa chọn để
tạo ra nhiều hình ảnh khác nhau của một hình vẽ toán mà theo Cheal (2008), để tạo
ra chúng theo cách thông thường sẽ mất rất nhiều thời gian của thầy và trò và tốn
thời gian quý báu cho việc đề xuất giả thuyết và kiểm chứng chúng. Phần mềm hình
học động cho phép ta tính toán bằng số đặc trưng lên các đối tượng như phép đo (độ
dài, chu vi, khoảng cách,…), phép biến hình, vẽ đồ thị hàm số.

2.1.3. Lịch sử phát triển khái niệm hàm
Khái niệm hàm số này được xem là một trong những khái niệm quan trọng
trong toán học hiện nay (Luzin, 1998; Ponte, 1992; Youshkevitch, 1976). Tuy
nhiên, khái niệm này vẫn chưa được khai thác và hiểu rõ bởi một cá nhân hay một
thời điểm cụ thể. Thay vào đó, nó đã phát triển qua nhiều thế kỷ và tiếp tục phát
triển đến hôm nay trong sự đáp ứng đến những vấn đề quan trọng của nhiều lĩnh
vực bao gồm bên trong lẫn bên ngoài toán học.
Youschkevitch (1976) đề ra ba giai đoạn chính trong việc phát triển các ý
tưởng về hàm cho đến giữa thế kỷ thứ 19. Ông vạch ra các giai đoạn như sau:
•

Thời cổ xưa (Antiquity) - Giai đoạn này với nghiên cứu những trường
hợp cụ thể của sự phụ thuộc giữa hai đại lượng độc lập không có khái
niệm chung của đại lượng biến và hàm số. Ví dụ những trường hợp
đặc biệt của hàm số từ thời xưa bao gồm phép đếm, mà ngụ của người
Babylon về sự thuận nghịch, bình phương, căn bậc hai và căn bậc ba
18


đều là những hàm số (Ponte, 1992). Bởi vì tài liệu vào thời này đã
không đưa ra một bảng tóm tắt và nhiều ý tưởng chung về việc hợp
nhất những sự phụ thuộc đơn lẻ giữa các đại lượng và các con số
trong bất kỳ hình thức nào mà có những sự phụ thuộc diễn ra đều
được xem xét, khái niệm hàm số đã không được quy ra ở thời cổ xưa
này (Youschkevitch, 1976).
• Thời Trung Cổ (The Middle ages) - Trong giai đoạn này, theo khoa
học Châu Âu ở thế kỷ 14, những khái niệm này lần đầu tiên được diễn
đạt rõ ràng trong hình học và cách thức máy móc, nhưng trong thời
xưa, mỗi trường hợp phụ thuộc giữa hai đại lượng được định nghĩa

bằng lời nói, đồ thị hơn là một công thức bởi vì biểu tượng số học cần
thiết để diễn những mối liên quan trong công thức vẫn chưa được biết
•

mãi khi đến thế kỷ 16.
Thời Hiện đại (The Modern Period) - Giai đoạn này bắt đầu vào cuối
thế kỷ 16 và trong suốt thế kỷ với sự phát triển của đại số học và biểu
tượng của chúng, biểu hiện phân tích hàm số đã bắt đầu chiếm ưu thế.
Lớp hàm giải tích đã diễn tả cách tính tổng của một dãy số sớm trở
thành lớp hàm số chính được sử dụng.

Newton (1642- 1727) là một trong những nhà toán học đầu tiên trình bày
cách biểu diễn hàm số trên trục số, do đó cho phép sự can thiệp của những quá trình
vô hạn. Ông sử dụng thuật ngữ “fluent” để chỉ định cho những biến độc lập, “relata
quantitas” để chỉ những biến phụ thuộc, và “genita” để đề cập đến những đại lượng
chứa những đại lượng khác cho việc sử dụng bốn hoạt động số học cơ bản (Ponte,
1992). Tuy nhiên, chính Leibniz (1646 - 1716) là người đầu tiên sử dụng và đã giới
thiệu thuật ngữ “hàm số” (trích trong tài liệu không xuất bản) vào năm 1673 và định
nghĩa hàm số được cho là của ông ta.
Vào năm 1837, Dirichlet đã đưa ra những định nghĩa của một hàm số: “Nếu
một biến liên quan đến biến thì giá trị đại số được xác định bởi biến có một quy
luật là khi giá trị duy nhất của được xác định, thì được gọi là một hàm số độc lập
với biến .”

19


Tuy nhiên, chính định nghĩa của Dirichlet vào năm 1892 đã được chấp nhận
rộng rãi ở thế kỷ này (Kleiner, 1989 và Malik, 1980). Dirichlet định nghĩa hàm số
như sau:

“ là một hàm số của biến định nghĩa trong khoảng , nếu mỗi giá trị của biến
trong khoảng này tương ứng với một giá trị xác định của biến . Cũng chính trong
khoảng này, sự tương ứng luôn tồn tại.”
(Kleiner, 1989, p.291)
Mãi cho tới khi Bourbaki - một nhà toán học đề xướng số học trừu tượng nổi
tiếng đã đưa ra định nghĩa hàm số ở cấp độ cao hơn. Vào năm 1939, Bourbaki định
nghĩa hàm số như sau:
Đặt E và F vào hai vị trí, gần nhau hoặc xa nhau. Một mối quan hệ giữa
thành phần biến của E và thành phần biến của F được gọi là mối quan hệ hàm số
trong , nếu cho tất cả các biến trong E, rồi đưa ra sự tồn tại giá trị duy nhất của
trong F mà đặt trong mối tương quan với biến .
Chúng ta đưa ra cái tên cho hàm số trong hoạt động này mà có liên kết
giữa mỗi thành phần biến trong E với thành phần biến có liên quan tới biến ;
được gọi là giá trị của hàm số tại , và hàm số này được gọi là xác định bằng cách
đưa ra những mối quan hệ hàm số. Hai mối quan hệ hàm số bằng nhau xác định
hàm số bằng nhau.
(được trích dẫn bởi Kleiner, 1989, p.299)
Từ các tìm hiểu trên, ta thấy quá trình hình thành về mặt lịch sử cho thấy có
hai khía cạnh nổi bật mang tính cơ bản trong quan niệm về hàm số: khía cạnh
“tương ứng” và khía cạnh “biến thiên phụ thuộc”. Khía cạnh “tương ứng” thường
xuất hiện tường minh trong các định nghĩa, trong khi đó khía cạnh “biến thiên phụ
thuộc” xuất hiện sớm trong các ý tưởng hình thành khái niệm hàm số nhưng chỉ ở
dạng ngầm ẩn. Chúng ta cần có một phương pháp suy luận thích hợp để có thể hiểu
rõ vấn đề này, đồng thời tạo cho người học phát hiện “tương ứng” và “biến thiên
phụ thuộc” thông qua các biểu diễn bội động.

20


2.1.4. Suy luận ngoại suy

2.1.4.1. Khái niệm suy luận ngoại suy
Nhà triết học Mỹ, C. S. Peirce đã sử dụng thuật ngữ “ngoại suy” để chỉ loại
suy luận liên quan đến việc tạo dựng và đánh giá của việc giải thích các giả thuyết.
Thuật ngữ này ít quen thuộc so với “suy diễn”, “quy nạp”. Ngoại suy là một loại
của suy luận quy nạp trong đó tạo nên những giả thuyết để giải thích các hiện
tượng, kết quả, phát hiện với tính không chắc chắn.
Một cách tổng quát, ngoại suy là quá trình suy luận nhằm đưa ra giả thuyết
tốt nhất để giải thích cho một kết quả quan sát được. Một quy trình cho suy luận
ngoại suy được thể hiện qua các bước như sau:
(1) Một sự kiện (hiện tượng, kết quả…) S được quan sát
(2) Xuất hiện giả thuyết G giải thích cho S
(3) Không có giả thuyết nào khác giải thích tốt cho S như G
—————————————————————————
(4) Vậy G là lời giải thích tốt nhất cho S.
Chẳng hạn, ta quan sát thấy đồ thị của một đường cong có phương trình

dường như dần dần nằm chồng lên trục hoành khi nhìn ra xa khỏi gốc
tọa độ (hình dưới, bên trái). Tuy nhiên, khi phóng to đồ thị bằng cách tăng độ lớn
đơn vị của hệ trục tọa độ, đường cong lại trở nên tách biệt với trục hoành tại những
nơi ta vừa quan sát (hình dưới, bên phải). Đây chính là sự kiện S, nó gợi động cơ
cho việc tìm kiếm giải thích.

21


Hình 2.2. Quan sát đòi hỏi giải thích
Khi tăng độ lớn đơn vị hệ trục, phần đồ thị mà ta quan sát thấy như nằm
chồng lên trục hoành sẽ được tách biệt ra, tuy nhiên phần phía xa bên phải của đồ
thị vẫn như nằm chồng lên trục hoành. Tiếp tục quá trình tăng độ lớn đơn vị hệ trục,
ta nhận thấy phần đồ thị vừa quan sát lại tách biệt ra khỏi trục hoành. Chúng ta đưa

ra giả thuyết G là đồ thị sẽ không bao giờ tiếp xúc với trục hoành. Theo biểu diễn

ký hiệu, điều này thể hiện ở chỗ giá trị biểu thức

tiến dần đến 0 khi

càng lớn

nhưng giá trị đó không bao giờ bằng 0. Điều này cho thấy giả thuyết G giải thích tốt
nhất cho sự kiện S.
Ta quan sát thấy đồ thị hàm số dường như đi qua điểm khi thay đổi. Đây là
sự kiện S, nó gợi động cơ cho việc tìm kiếm giải thích.

Hình 2.3. Quan sát khi thay đổi
Khi cho thay đổi, quan sát đồi thị hàm số luôn đi qua điểm nên chúng ta có
thể đưa ra giả thuyết G là đồ thị luôn đi qua . Theo biểu diễn ký hiệu, điều này thể
hiện ở chỗ khi biểu thức không phụ thuộc vào . Điều này cho thấy giả thuyết G giải
thích tốt nhất cho sự kiện S.

22


2.1.4.2. Sự phổ dụng của suy luận ngoại suy
Suy luận ngoại suy là một phần quan trọng trong cuộc sống tinh thần của con
người. Khi các nhà nghiên cứu hình thành nên một giả thuyết để giải thích vấn đề
mà mà họ quan sát được, họ đang suy luận ngoại suy. Trong cuộc sống hàng ngày,
suy luận ngoại suy có mặt hầu khắp nơi. Chẳng hạn, khi con người tạo ra giả thuyết
để lý giải cho hiện tượng thiên nhiên, giải thích cho các sự kiện…
Tác giả Paul Thagard (trong Aidan Feeney & Evan Heit (2007)) đưa ra một
tổng kết các loại suy luận ngoại suy xảy ra trong nhiều lĩnh vực khác nhau, liên

quan đến mục tiêu cần giải thích và giả thuyết tạo ra để giải thích chúng.

Bảng 2.2. Suy luận ngoại suy trên nhiều lĩnh vực
Lĩnh vực
Khoa học

Mục tiêu cần giải thích
Các kết quả thực nghiệm

Giả thuyết để giải thích
Lý thuyết về các cấu trúc và quá

trình
Y khoa
Các triệu chứng
Bệnh tật
Tội phạm
Bằng chứng, dấu vết
Bị cáo, động cơ gây án
Máy móc
Hoạt động, hư hỏng
Đứt gãy, tương tác, nứt
Xã hội
Hành vi, ứng xử
Trạng thái tinh thần, đặc điểm
Pierce lưu ý rằng ngoại suy bắt đầu khi có cảm giác bối rối do đối mặt với
một tình huống không quen thuộc cần phải giải thích. Các biểu diễn bội động phù
hợp để tạo ra những bối cảnh có thể gây ngạc nhiên, bất ngờ thú vị cho HS khi học
toán. Tiếp theo, trí óc sẽ tìm kiếm những giả thuyết thích hợp để có thể giải thích sự
kiện gây bất ngờ, ngạc nhiên đó. Mô hình tạo nên những sự kiện gây ngạc nhiên và

HS có thể dùng những tri thức vừa tiếp thu được để giải thích.
Việc tạo ra được một giả thuyết giải thích chấp nhận được nằm ở giai đoạn
thứ ba của suy luận ngoại suy. Nếu bằng lòng với giả thuyết đó, quá trình ngoại suy
sẽ kết thúc. Tuy nhiên, họ thường không chấp nhận một giả thuyết giải thích trừ phi
nó được đánh giá với những giả thuyết khác và với tất cả những bằng chứng có
được. Những triết gia gọi đây là giai đoạn thứ tư để có được lời giải thích tốt nhất
(Lipton, 2004).
Đánh giá và
Bối rối hoặc

Tìm kiếm

Hình thành

ngạc nhiên

giải thích

23 thuyết
giả
giả thuyết
Hài lòng hoặc

chấp nhận

thỏa mãn


Hình 2.4. Quá trình suy luận ngoại suy
2.1.4.3. Các dạng cơ bản của suy luận ngoại suy

Erkki Patokorpi phân chia ngoại suy thành 4 dạng cơ bản: chọn lựa, sáng tạo,
quan sát và thao tác. Chúng tôi mô tả các dạng và minh họa trong toán qua các ví
dụ.
a. Chọn lựa. Chọn trong số các trường hợp có sẵn một trường hợp có
thể lý giải cho kết luận có được.
Ví dụ 1. Đồ thị sau đây là đồ thị của hàm số nào ở lớp 9?

Hình 2.5. Đồ thị hàm số
Giải. Các dạng đồ thị đã học là đường thẳng , đường khấp khúc và đường
cong dạng . Nhìn vào đồ thị ta thấy đồ thị ở đây là đường cong đi qua gốc tọa độ
nên có dạng .
Vì đồ thị hàm số đi qua điểm nên .
Vậy, đồ thị hàm số cần tìm là .
b. Sáng tạo. Khi các trường hợp có sẵn không lý giải được, cần tìm ra một
trường hợp khác để lý giải cho kết luận có được.

24


Ví dụ 2. Một hãng taxi quy định giá thuê xe đi mỗi kilômét là 6 nghìn
đồng đối với 10km đầu tiên và 2,5 nghìn đối với các kilômét tiếp theo. Một khách
thuê taxi đi quãng đường kilômét phải trả số tiền là y nghìn đồng. Khi đó, là hàm
số của , xác định với mọi . Tính giá tiền khi khách thuê xe đi được 0,5 km, 10km và
18km.
Giải. Biểu diễn hàm số theo với mọi như sau:
- Khi , tức là quãng đường đi trong 10km đầu tiên nên số tiền phải trả
là .
- Khi , số tiền phải trả là .
Vậy ta có hàm số bậc nhất như sau:
Với nên .

Với nên .
Với nên .
Như vậy, giá tiền khách thuê phải trả lần lượt là 3000, 60000, 80000. Tuy
nhiên kết quả đó chưa lý giải được gần trong thực tế người khách phải trả số tiền
như thế. Thật vậy, trong thực tế bảng giá cước taxi của Taxi Group Eco (1/3/2016).
Bảng 2.3. Giá cước Taxi Group Eco
Giá cước
Quãng đường (Km)
Giá tiền (Vnd)
Giá mở cửa
0,5km
6000
Km tiếp theo đến Km 20
1km
10700
Từ 21km trở đi
1km
8700
Như vậy, khi đi 0,5km, 10km, 18km người khách thuê xe taxi phải trả lần
lượt là 6000, 107650, 193250.
c. Quan sát. Thực hiện quan sát trong quá trình ngoại suy để có trường hợp
có thể lý giải cho kết luận có được.
Ví dụ 3. Cho hàm số . Tìm để góc tạo bởi đồ thị hàm số và trục O bằng.
Giải. Đây là đồ thị hàm số với m thay đổi bằng thanh trượt tham số. Sự kiện
S ở đây là góc tạo bởi đường thẳng đồ thị hàm số trục O bằng. Bằng cách kéo rê
thanh trượt tham số ta nhận thấy khi thì góc tạo bởi đồ thì hàm số và trục O là . Giả
thuyết G tốt nhất ở đây là .
25