Tài Liệu Ôn Tập Thi Cuối Kì Môn Phương Pháp Tính

Bài 1.
a. Trình bày các bước giải phương trình f(x) = 0 theo phương pháp lặp đơn với sai số
không quá ε cho trước.
b. Chứng minh sự hội tụ của dãy số
1
1
1
u1 = 2 + ; u2 = 2 +
;....; un = 2 +
;....
1
2
un −1
2+
2

c. Tính gần đúng giới hạn của dãy số trong câu b với sai số không vượt quá ε = 10−8
bằng cách giải gần đúng phương trình thích hợp bằng phương pháp lặp đơn.
Giải
a. Trình bày các bước giải tìm một nghiệm của phương trình f(x) = 0 theo phương
pháp lặp đơn với sai số không quá ε cho trước.
• Bước 1. Xác định khoảng cách ly nghiệm [a;b] của phương trình.
• Bước 2. Lặp: Đưa phương trình về dạng x = ϕ(x)
• Tính ϕ’(x)
• Kiểm tra max |ϕ’(x)| = q <1

(x∈[a;b]).

Cho đến khi max |ϕ’(x)| = q < 1.
• Bước 3. Nhập sai số ε , tính ε := (1- q)ε / q;
i:=0;

Chọn xấp xỉ ban đầu x0.
• Bước 4. Tính Lặp
• xi = ϕ (xi-1)
• i = i+1
cho đến khi | xi - xi-1| < ε
b. Chứng minh sự hội tụ của dãy số
1
1
1
u1 = 2 + ; u2 = 2 +
;....; un = 2 +
;....
1
2
un −1
2+
2

Đặt u0 = 2; un=2+1/un-1.
Khi đó u1,…,un là dãy lặp đơn tương ứng với phương trình lặp có dạng u = 2+1/u =
ϕ(u) và với u0 = 2.
Ta có phương trình tương đương là f(u) = u2-2u - 1 = 0 có f(2) = -1 < 0, f(3) = 2 >
0, nên trong [2;3] có nghiệm của phương trình.
Mặt khác |ϕ’(u)| = |- 1/ u2 | < 1/4 = q < 1 nên phép lặp đơn hội tụ. Vậy dãy đã cho là
dãy hội tụ.


c. Tính gần đúng giới hạn của dãy số trong câu b với sai số không quá ε = 10−8 bằng
cách giải gần đúng phương trình thích hợp bằng phương pháp lặp đơn.
Theo câu b, dãy un là dãy lặp đơn của phương trình u2 – 2u – 1 = 0, có nghiệm

trong [2;3] với u0 được chọn ban đầu bằng 2 và phương trình lặp là u = 2+1/u,
trong đó q =1/4.
Vì vậy sau mỗi bước lặp ta sẽ kiểm tra bất đẳng thức |ui – ui-1| < 0,3.10-7.
Ta có bảng xâp xỉ sau

Vậy giới hạn
cần tìm là u11 =
2,414213625.
điểm
Bài 2. Cho phân
thức

u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
u9
u10
u11
u12
u13

2
2.5

0.5

2.4

-0.1

2.416666667

0.016666667

2.413793103

-0.002873563

2.414285714

0.000492611

2.414201183

-8.45309E-05

2.414215686

1.45028E-05

2.414213198

-2.4883E-06

2.414213625

4.26925E-07

2.414213552

-7.32488E-08

2.414213564

1.25675E-08

2.414213562

-2.15624E-09

1

x2 + x + 3
( x + 1)( x + 2)( x + 3)
a. Bằng phép nội suy hãy phân tích phân thức p(x) thành tổng các phân thức đơn
giản.
b. Tính tích phân sau bằng công thức Parabol (Simpson) với h=0,1 và với 4 chữ số
có nghĩa.
p( x) =

Giải
a. Bằng phép nội suy hãy phân tích phân thức p(x) thành tổng các phân thức đơn giản.
Đặt P2(x) = x2 + x + 3. Khi đó ta có P2(-1) = 3; P2(-2) = 5; P2(-3) = 9
và P2(x) được biểu diễn dưới dạng Lagrăng là
P2 ( x ) = P2 ( − 1)

( x + 2)( x + 3) + P ( − 2) ( x + 1)( x + 3) + P ( − 3) ( x + 1)( x + 2)
( − 1 + 2)( − 1 + 3) 2
( − 2 + 1)( − 2 + 3) 2
( − 3 + 1)( − 3 + 2)

P2 ( x) = 3

( x + 2)( x + 3) + 5 ( x + 1)( x + 3) + 9 ( x + 1)( x + 2)
2

−1

p( x) =

3
5
9
−
+
2( x + 1) x + 2 2( x + 3)

Từ đó

2


b. Tính tích phân sau bằng công thức Parabol (Simpson) với h=0,1 và với 4 chữ số có
nghĩa.
1.6

∫ p( x)dx với p( x) =
1

x2 + x + 3
( x + 1)( x + 2)( x + 3)

Ta có bảng sau:
x
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6

p
0.208333

4p

2p

I

0.795774
0.381494
0.734136
0.354278

0.685714
0.166295
0.374628 2.215624 0.735772 0.110867

Vậy I ≈ 0.1109
Bài 3. Cho phương trình
y' =

xy
, 0 ≤ x ≤ 0,6 và y ( 0 ) = 1
2

Tính gần đúng nghiệm của phơng trình bằng phơng pháp Ơle cải tiến với h=0,1.
Giải. Với x0 và y0=y(x0) đã cho, công thức lặp là
Với mỗi i từ 0 đến n-1 thực hiện
y*i+1 = yi +hfi
f*i+1 = f(xi+1,y*i+1)
yi+1 = yi + h/2(fi + f*i+1)
Ta có bảng sau
x
y
f
y*
f*

0
1
0

0.1

1.0025
0.050125
1
0.05

0.2
1.010044
0.101004
1.007513
0.100751

0.3
1.022745
0.153412
1.020144
0.153022

0.4
1.040797
0.208159
1.038086
0.207617

0.5
1.064475
0.266119
1.061612
0.265403

0.6

1.094147
0.328244
1.091087
0.327326

Vậy nghiệm là bảng
x
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
y
1
1.0025 1.010044 1.022745 1.040797 1.064475 1.094147


Bài 4. Cho phương trình
x 3 − 3x + 1,5 = 0

a. Chứng tỏ rằng phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt ξ1 < ξ2 < ξ3.
b. Nêu các bước cơ bản để giải phương trình f(x)=0 bằng phương pháp lặp Niu tơn
với độ chính xác ε cho trước.
c. Tìm nghiệm ξ1 của phương trình đã cho bằng phương pháp Niu tơn sau 3 bước lặp.
Đánh giá sai số của nghiệm gần đúng vừa thu được.
Giải.
a. Chứng tỏ rằng phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt ξ1 < ξ2 < ξ3.
Ta có f ’(x) = 3x2 -3 = 0 có nghiệm -1 và 1, do đó có bảng sau

x

-2

f’

-1
+

f

0

1
-

0

2
+

+
-

+
-

Vậy phương trình có 3 nghiệm thỏa mãn
-2 < ξ1 < -1 < ξ2 <1 < ξ3 <2
b. Nêu các bước cơ bản để giải phương trình f(x)=0 bằng phương pháp lặp Niu tơn

với độ chính xác ε cho trước.
• Bước 1. Xác định khoảng cách ly nghiệm [a;b] của phương trình.
• Bước 2. Tính các đạo hàm f ’(x) và f ’’(x). Kiểm tra tính không đổi dấu trên
[a;b] của các đạo hàm đó. Tìm m1 = min f ’(x) và M2 = max f ’’(x)
0.5 điểm
• Bước 3. Nhập sai số ε , tính ε := (2m1ε /M2)1/2;
i:=0;
Chọn xấp xỉ ban đầu x0 thỏa mãn f(x0)f’’(x0)>0.
• Bước 4. Tính Lặp
• xi = xi-1 – f(xi-1)/ f ’(xi-1)
• i = i+1
cho đến khi | xi - xi-1| < ε

0.5 điểm

c. Tìm nghiệm ξ1 của phương trình đã cho bằng phương pháp Niu tơn sau 3 bớc lặp.
Đánh giá sai số của nghiệm gần đúng vừa thu được.
Theo câu a nghiệm ξ1 thuộc khoảng [-2;-1] và f ’(x) > 0; f ’’(x) <0 trên đoạn này.
Và do f(-2) < 0 nên ta có điểm -2 là điểm Fourier, nên chọn x0 = -2.


Mặt khác f ’’(x) = 6x, nên M2 = 12, m1 = 3
Sau 3 bước lặp ta có bảng sau
n
0
1
2
3

x

-2
-1.9444444
-1.9422452
-1.9422419

Và sai số là

(

M2
12
| x3 − x 2 | 2 =
0.33 × 10 −5
2m1
6

)

2

= 0.2 × 10 −10

Bài 5. Cho hàm số y = f(x) bởi bảng sau:
a. Cho hàm số y=f(x) bởi bảng sau:
x
y

-1
5,2

1
10,4

2
12,4

3
2

Bằng phép nội suy bậc 3 hãy tính f(0).
b. Tính gần đúng tích phân
3

3x
∫−1 x + 2 dx
theo công thức parabol (simpson) với h = 0,5 và biểu diễn kết quả với 5 chữ số có
nghĩa.
Giải
a. Bằng phép nội suy bậc 3 hãy tính f(0).
Theo công thức nội suy Lagrăng ta có
f (0) = 5,2

( 0 − 1)( − 2)( − 3) + 10,4 (1)( − 2)( − 3) + 12,4 (1)( − 1)( − 3) + 2 (1)( − 1)( − 2)
( − 2)( − 3)( − 4)
( 3)(1)( − 1)
2( − 1)( − 2 )
4( 2 )(1)

1
6

1
f (0) = 5,2 + 10,4 − 12,4 + = 1,3 + 15,6 − 12,4 + 0,5 = 4
4
4
2

b. Tính gần đúng tích phân
3

3x

∫ x + 2 dx

−1


theo công thức parabol (simpson) với h=0,5 và biểu diễn kết quả với 5 chữ số có
nghĩa.
Ta có bảng sau
x
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3

y

4y

2y

I

-3
-4
0
2.4
2
5.142857
3
6.666667
1.8
-1.2 10.20952

5 2.334921

Vậy I ≈ 2.3349.
Bài 6. Giải gần đúng phương trình vi phân

y' =

xy
x+ y

trên đoạn [0;1] theo phương pháp Ơle cải tiến với y(0) = 1 và h = 0.2

Giải.
Theo công thức lặp
yi+1 = yi + h/2(fi + f*i+1)
với f*i+1 = f(xi+1,y*i+1) trong đó y*i+1 = yi +hfi
x
y
f
y*
f*

0
0.2
0.4
1 1.016667 1.062345
0 0.167123 0.290587
1 1.050091
0.166667 0.289662

0.6
1.130479
0.391965
1.120463
0.390754

0.8
1.217817
0.482826
1.208872
0.481413

1
1.322892
0.569502
1.314382
0.567919

Vậy Nghiệm của phương trình là bảng sau:
x
y

0
1

0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.016667 1.062345 1.130479 1.217817 1.322892