olympic toán các nước tập 3(1997-1998)- đề thi và lời giải-nguyễn hữu điển

Nguy
˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê
,
n
OLYMPIC TO
´
AN C
´
AC NU
,
´
O
,
C
1998 – 1999
46 Ð
`
Ê THI V
`
A L
`
O
,
I GI
,
AI

(T
.
âp 3)
NH
`
A XU
´
ÂT B
,
AN GI
´
AO D
.
UC
2
L
`
o
,
i n
´
oi đâ
`
u
Ðê
,
th
,
u
,

g
´
oi l
.
ênh phông ch
˜
u
,
tôi biên so
.
an m
.
ôt sô
´
đê
`
to
´
an thi Olympic, m
`
a c
´
ac
h
.
oc tr
`
o c
,
ua tôi đ

˜
a l
`
am b
`
ai t
.
âp khi h
.
oc t
.
âp L
A
T
E
X. Ðê
,
ph
.
u v
.
u c
´
ac b
.
an ham h
.
oc to
´
an

tôi thu th
.
âp v
`
a gom l
.
ai th
`
anh c
´
ac s
´
ach đi
.
ên t
,
u
,
, c
´
ac b
.
an c
´
o thê
,
tham kh
,
ao. M
˜

ôi t
.
âp
tôi s
˜
e gom kho
,
ang 50 b
`
ai v
´
o
,
i l
`
o
,
i gi
,
ai.
Râ
´
t nhiê
`
u b
`
ai to
´
an d
.

ich không đu
,
.
o
,
c chuâ
,
n, nhiê
`
u điê
,
m không ho
`
an to
`
an ch
´
ınh
x
´
ac v
.
ây mong b
.
an đ
.
oc t
.
u
,

ng
˜
âm ngh
˜
ı v
`
a t
`
ım hiê
,
u lâ
´
y. Nhu
,
ng đây l
`
a nguô
`
n t
`
ai li
.
êu
tiê
´
ng Vi
.
êt vê
`
ch

,
u đê
`
n
`
ay, tôi đ
˜
a c
´
o xem qua v
`
a ngu
,
`
o
,
i d
.
ich l
`
a chuyên vê
`
ng
`
anh To
´
an
phô
,
thông. B

.
an c
´
o thê
,
tham kh
,
ao l
.
ai trong [1],[2].
Râ
´
t nhiê
`
u đo
.
an v
`
ı m
´
o
,
i h
.
oc TeX nên câ
´
u tr
´
uc v
`

a bô
´
tr
´
ı c
`
on xâ
´
u, tôi không c
´
o
th
`
o
,
i gian s
,
u
,
a l
.
ai, mong c
´
ac b
.
an thông c
,
am. Cuô
´
n s

´
ach n
`
ay c
´
o c
´
ach không cho sao
ch
´
ep ch
˜
u
,
Vi
.
êt, c
´
ac b
.
an th
,
u
,
xem nh
´
e.
H
`
a N

.
ôi, ng
`
ay 20 th
´
ang 9 năm 2013
Nguy
˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê
,
n
51
GD-05
89/176-05 M
˜
a sô
´
: 8I092M5
M
.
uc l
.
uc
L
`
o

,
i n
´
oi đâ
`
u. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
M
.
uc l
.
uc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Chu
,
o
,
ng 23. Ðê
`
thi olympic to
´
an Vu
,
o
,
ng Quô
´
c Anh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
23.1. Ðê
`
b
`

ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
23.2. L
`
o
,
i gi
,
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Chu
,
o
,
ng 24. B
,
AN D
.
ICH Ð
`
Ê THI OLYMPIC NU
,
´
O
,
C M
˜
Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
24.1. Ðê
`
b
`

ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
24.2. L
`
o
,
i gi
,
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Chu
,
o
,
ng 25. Ðê
`
thi olympic to
´
an châu
´
A Th
´
ai B
`
ınh Du
,
o
,
ng . . . . . . . . . . . . . . . 16
25.1. Ðê
`
b

`
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
25.2. L
`
o
,
i gi
,
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Chu
,
o
,
ng 26. Ðê
`
thi olympic to
´
an v
`
a đ
´
ap
´
an
´
Ao-Balan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
26.1. Ðê
`
b
`

ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
26.2. L
`
o
,
i gi
,
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Chu
,
o
,
ng 27. Ðê
`
thi olympic to
´
an c
´
ac nu
,
´
o
,
c Balkan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
27.1. Ðê
`
b
`
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
27.2. L

`
o
,
i gi
,
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Chu
,
o
,
ng 28. Ðê
`
thi olympic to
´
an c
´
ac nu
,
´
o
,
c Czech - Slovak . . . . . . . . . . . . . . . . 31
28.1. Ðê
`
b
`
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
28.2. L
`
o

,
i gi
,
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Chu
,
o
,
ng 29. Ðê
`
thi olympic c
´
ac nu
,
´
o
,
c Iberoamerican . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
29.1. Ðê
`
b
`
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4
M
.
UC L
.
UC 5
29.2. L

`
o
,
i gi
,
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Chu
,
o
,
ng 30. Ðê
`
thi olympic Th
.
uy Ðiê
,
n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
30.1. Ðê
`
b
`
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
30.2. L
`
o
,
i gi
,
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
T

`
ai li
.
êu tham kh
,
ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
CHU
,
O
,
NG 23
Ð
`
Ê THI OLYMPIC TO
´
AN VU
,
O
,
NG QU
´
ÔC
ANH
23.1. Ðê
`
b
`
ai
B
`

ai 23.1. M
.
ôt h
`
ınh vuông 5×5 đu
,
.
o
,
c chia th
`
anh 25 h
`
ınh vuông đo
,
n v
.
i. Trong m
˜
ôi
h
`
ınh vuông đu
,
.
o
,
c viê
´
t m

.
ôt trong c
´
ac sô
´
1, 2, 3, 4, 5 sao cho m
˜
ôi h
`
ang, m
˜
ôi c
.
ôt, m
˜
ôi
đu
,
`
o
,
ng ch
´
eo ch
´
u
,
a m
˜
ôi sô

´
đ
´
ung m
.
ôt lâ
`
n. Tô
,
ng c
´
ac sô
´
trong c
´
ac h
`
ınh vuông ngay
bên du
,
´
o
,
i đu
,
`
o
,
ng ch
´

eo t
`
u
,
h
`
ınh ph
´
ıa trên bên tr
´
ai đê
´
n h
`
ınh ph
´
ıa du
,
´
o
,
i bên ph
,
ai đu
,
.
o
,
c
g

.
oi l
`
a sô
´
điê
,
m. Ch
´
u
,
ng minh r
`
ăng sô
´
điê
,
m không thê
,
b
`
ăng 20, v
`
a t
`
ım gi
´
a tr
.
i l

´
o
,
n
nhâ
´
t c
´
o thê
,
c
,
ua sô
´
điê
,
m.
B
`
ai 23.2. Cho a
1
= 19, a
2
= 98. V
´
o
,
i n ≥ 1, ta đ
.
inh ngh

˜
ıa a
n+2
l
`
a phâ
`
n du
,
c
,
ua
a
n
+ a
n+1
khi n
´
o chia cho 100. T
`
ım phâ
`
n du
,
c
,
ua
a
2
1

+ a
2
2
+ ··· + a
2
1998
khi n
´
o chia cho 8?
B
`
ai 23.3. Cho ABP l
`
a m
.
ôt tam gi
´
ac cân v
´
o
,
i AB = AP v
`
a ∠P AB l
`
a m
.
ôt g
´
oc

nh
.
on. G
.
oi P C l
`
a đu
,
`
o
,
ng th
,
ăng đi qua P v
`
a vuông g
´
oc v
´
o
,
i BP, v
´
o
,
i C l
`
a điê
,
m n

`
ăm
c
`
ung ph
´
ıa v
´
o
,
i A so v
´
o
,
i BP (v
`
a không n
`
ăm trên AB). G
.
oi D l
`
a đ
,
ınh th
´
u
,
4 c
,

ua h
`
ınh
b
`
ınh h
`
anh ABCD, v
`
a đ
.
ăt P C giao v
´
o
,
i DA t
.
ai M. Ch
´
u
,
ng minh r
`
ăng M l
`
a điê
,
m
gi
˜

u
,
a c
,
ua DA.
B
`
ai 23.4. Ch
´
u
,
ng minh r
`
ăng tô
`
n t
.
ai duy nhâ
´
t m
.
ôt d
˜
ay c
´
ac sô
´
nguyên du
,
o

,
ng {a
n
}
v
´
o
,
i a
1
= 1, a
2
= 2, a
4
= 12, v
`
a a
n+1
a
n−1
= a
2
n
= ±1 v
´
o
,
i n = 2, 3, 4, . . .
B
`

ai 23.5. Trong tam gi
´
ac ABC, D l
`
a điê
,
m n
`
ăm gi
˜
u
,
a AB v
`
a E l
`
a điê
,
m c
,
ua ph
´
ep
chia BC l
`
am 3 phâ
`
n b
`
ăng nhau v

`
a E gâ
`
n C ho
,
n. Cho ∠ADC = ∠BAE, t
`
ım
∠BAC.
Nguy
˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê
,
n, 7
B
`
ai 23.6. Văn ph
`
ong b
´
an v
´
e c
,
ua m
.

ôt nh
`
a ga b
´
an v
´
e đi đê
´
n 200 đ
.
ia điê
,
m kh
´
ac
nhau. V
`
ao m
.
ôt ng
`
ay, c
´
o 3800 h
`
anh kh
´
ac mua v
´
e. Ch

´
u
,
ng minh r
`
ăng c
´
o
´
ıt nhâ
´
t 6 đ
.
ia
điê
,
m c
´
o c
`
ung sô
´
h
`
anh kh
´
ac đi t
´
o
,

i v
`
a không nhâ
´
t thiê
´
t 7 đ
.
ia điê
,
m c
´
o c
`
ung sô
´
h
`
anh
kh
´
ach.
B
`
ai 23.7. Cho tam gi
´
ac ABC c
´
o ∠BAC > ∠BCA. K
,

e đu
,
`
o
,
ng th
,
ăng AP sao cho
∠P AC = ∠BCA, trong đ
´
o P n
`
ăm bên trong tam gi
´
ac. G
.
oi Q l
`
a điê
,
m n
`
ăm bên
ngo
`
ai tam gi
´
ac sao cho P Q song song v
´
o

,
i AB v
`
a BQ song song v
´
o
,
i AC. G
.
oi R l
`
a
điê
,
m thu
.
ôc BC (n
`
ăm vê
`
ph
´
ıa kh
´
ac c
,
ua AP so v
´
o
,

i Q) sao cho ∠P RQ = ∠BCA.
Ch
´
u
,
ng minh r
`
ăng đu
,
`
o
,
ng tr
`
on ngo
.
ai tiê
´
p tam gi
´
ac ABC tiê
´
p x
´
uc đu
,
`
o
,
ng tr

`
on ngo
.
ai
tiê
´
p tam gi
´
ac P QR.
B
`
ai 23.8. Cho x, y, z l
`
a c
´
ac sô
´
nguyên du
,
o
,
ng th
,
oa m
˜
an
1
x
−
1

y
=
1
z
.
G
.
oi h l
`
a u
,
´
o
,
c sô
´
chung l
´
o
,
n nhâ
´
t c
,
ua x, y, z. Ch
´
u
,
ng minh r
`

ăng hxyz v
`
a h(y −x) l
`
a
c
´
ac sô
´
ch
´
ınh phu
,
o
,
ng.
B
`
ai 23.9. T
`
ım tâ
´
t c
,
a c
´
ac nghi
.
êm c
,

ua h
.
ê phu
,
o
,
ng tr
`
ınh
xy + yz + zx = 12
xyz = 2 + x + y + z
v
´
o
,
i x, y, z l
`
a c
´
ac sô
´
th
.
u
,
c du
,
o
,
ng.

23.2. L
`
o
,
i gi
,
ai
L
`
o
,
i gi
,
ai 23.1. Coi lu
,
´
o
,
i h
`
ınh vuông nhu
,
m
.
ôt ma tr
.
ân v
´
o
,

i (1, 1) l
`
a phâ
`
n t
,
u
,
g
´
oc tr
´
ai
trên. G
.
oi a
i,j
l
`
a gi
´
a tr
.
i c
,
ua (i, j). Sô
´
điê
,
m l

`
a tông a
2,1
+ a
3,2
+ a
4,3
+ a
5,4
. G
.
oi D
1
l
`
a
đu
,
`
o
,
ng ch
´
eo t
`
u
,
điê
,
m (0, 0) t

´
o
,
i (5, 5); g
.
oi D
2
l
`
a m
.
ôt đu
,
`
o
,
ng ch
´
eo kh
´
ac; g
.
oi a, b l
`
a hai
gi
´
a tr
.
i kh

´
ac nhau thu
.
ôc 1, 2, 3, 4, 5. Nê
´
u a
2,1
= a
4,3
= a th
`
ı trên D
1
, a
5,5
= a, v
`
a
trên D
2
, a
1,5
= a. Do đ
´
o c
´
o hai sô
´
a trên c
.

ôt th
´
u
,
5, mâu thu
˜
ân. Do đ
´
o a
2,1
= a
4,3
.
Tu
,
o
,
ng t
.
u
,
, a
3,2
= a
5,4
. V
`
ı v
.
ây c

´
o
´
ıt nhâ
´
t 2 gi
´
a tr
.
i kh
´
ac nhau trong sô
´
điê
,
m. Ch
´
ung
ta x
´
et 2 tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p sau.

8 Chu
,
o
,
ng 23. Ðê
`
thi olympic to
´
an Vu
,
o
,
ng Quô
´
c Anh
1. (a
2,1
, a
3,2
, a
4,3
, a
5,4
) = (a, a, b, b). Trên D
2
, a
1,5
b
`
ăng c

,
a a v
`
a b nên không thê
,
x
,
ay ra tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p n
`
ay.
2. (a
2,1
, a
3,2
, a
4,3
, a
5,4
) = (a, b, a, b). Khi đ
´
o a

3,3
= a v
`
a m
.
ôt trong 2 sô
´
a
1,1
v
`
a
a
5,5
b
`
ăng b. Không mâ
´
t t
´
ınh tô
,
ng qu
´
at, đ
.
ăt a
1,1
= b. Trên D
2

, a
2,4
= b.
,
O
,
c
.
ôt
th
´
u
,
5, a
5,5
= b. Khi đ
´
o c
´
o 2 sô
´
b trên D
1
. Mâu thu
˜
ân.
T
`
u
,

bi
.
ên lu
.
ân trên, ta thâ
´
y r
`
ăng c
´
o
´
ıt nhâ
´
t 3 gi
´
a tr
.
i kh
´
ac nhau trong m
˜
ôi sô
´
điê
,
m
v
`
a gi

´
a tr
.
i c
.
u
,
c đ
.
ai c
,
ua sô
´
điê
,
m nh
,
o ho
,
n ho
.
ăc b
`
ăng 5 + 5 + 4 + 3 = 17. V
´
ı d
.
u du
,
´

o
,
i
đây ch
,
ı ra r
`
ăng sô
´
điê
,
m b
`
ăng 17.






1 5 4 3 2
5 3 2 4 1
2 4 5 1 3
4 1 3 2 5
3 2 1 5 4







.
L
`
o
,
i gi
,
ai 23.2. Ð
´
ap sô
´
l
`
a 0. X
´
et a
n
( mod 4), n
´
o không thay đô
,
i khi lâ
´
y phâ
`
n du
,
chia cho 100, ta c
´

o v
`
ong l
.
ăp tuâ
`
n ho
`
an 3, 2, 1, 3, 0, 3 đu
,
.
o
,
c l
.
ăp 333 lâ
`
n. V
`
ı v
.
ây
a
2
1
+ a
2
2
+ ··· + a
2

1998
≡ 333(1 + 4 + 1 + 1 + 0 + 1) ≡= 0( mod 8). Ðiê
`
u ph
,
ai
ch
´
u
,
ng minh.
L
`
o
,
i gi
,
ai 23.3. G
.
oi E l
`
a điê
,
m thu
.
ôc BC sao cho AECP . Khi đ
´
o đu
,
`

o
,
ng th
,
ăng
AE l
`
a đu
,
`
o
,
ng phân gi
´
ac vuông g
´
oc v
´
o
,
i BP v
`
a BE = EP . Do đ
´
o, trong tam gi
´
ac
bên ph
,
ai CP B, PE l

`
a đu
,
`
o
,
ng trung tuyê
´
n c
,
ua c
.
anh huyê
`
n BC v
`
a BE = EC.
B
,
o
,
i v
`
ı AECM l
`
a h
`
ınh b
`
ınh h

`
anh, EC = AM. B
,
o
,
i v
`
ı ABCD l
`
a h
`
ınh b
`
ınh h
`
anh,
AD = BC. Do đ
´
o, AM = EC = BC/2 = AD/2. Ðiê
`
u ph
,
ai ch
´
u
,
ng minh.
L
`
o

,
i gi
,
ai 23.4. Ðâ
`
u tiên ta ch
´
u
,
ng minh bô
,
đê
`
d
˜
ay {a
n
}l
`
a d
˜
ay tăng. Ta ch
´
u
,
ng minh
bô
,
đê
`

b
`
ăng quy n
.
ap. V
´
o
,
i n = 1, ta c
´
o a
1
< a
2
< a
3
= 5 < a
4
. Gi
,
a s
,
u
,
a
1
< ··· < a
k
v
´

o
,
i k ≤ 4, th
`
ı a
k+1
a
k−1
= a
2
k
± 1 ≥ a
k
(a
k
− 1) ≥ a
k
a
k−1
v
`
a a
k+1
> a
k
. Do đ
´
o kê
´
t

th
´
uc ch
´
u
,
ng minh quy n
.
ap. V
`
ı v
.
ây {a
n
} l
`
a d
˜
ay tăng. V
´
o
,
i n > 3, a
n−1
≥ 5 v
`
a nhiê
`
u
nhâ

´
t m
.
ôt trong 2 sô
´
a
2
n
+ 1 ho
.
ăc a
2
n
− 1 chia hê
´
t cho a
n−1
. Do đ
´
o, tô
`
n t
.
ai nhiê
`
u
nhâ
´
t m
.

ôt d
˜
ay nhu
,
yêu câ
`
u đê
`
b
`
ai.
Ð
.
ăt b
1
= 1, b
2
= 2, b
n+2
= 2b
n+1
+ b
n
v
´
o
,
i n ≥ 1. Khi đ
´
o b

3
= 5, b
4
= 12. Ta
ch
´
u
,
ng minh r
`
ăng b
n+1
b
n−1
= b
2
n
+ (−1)
n
v
´
o
,
i n = 2, 3, 4, ··· Ta ch
´
u
,
ng m
`
ınh b

`
ăng
Nguy
˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê
,
n, 9
quy n
.
ap. V
´
o
,
i n = 1, 2, 3, điê
`
u n
`
ay l
`
a hiê
,
n nhiên. Gi
,
a s
,
u

,
b
k+1
b
k−1
= b
2
k
+ (−1)
k
v
´
o
,
i
k ≥ 3. Ta c
´
o
b
k+2
b
k
= b
2
k+1
+ (−1)
k+1
⇔ b
k+2
b

k
+ b
k+1
b
k−1
= b
2
k+1
+ b
2
k
⇔ (b
k+2
− b
k
)b
k
= (b
k+1
− b
k−1
)b
k+1
⇔ 2b
k+1
b
k
= 2b
k
b

k+1
.
Do đ
´
o ch
´
u
,
ng minh quy n
.
ap kê
´
t th
´
uc.
T
`
u
,
l
.
âp lu
.
ân bên trên ta thâ
´
y r
`
ăng d
˜
ay a

1
= 1, a
2
= 2,
a
n+2
= 2a
n+1
+ a
n
, n = 1, 2, ··· ,
l
`
a d
˜
ay duy nhâ
´
t gô
`
m c
´
ac sô
´
nguyên du
,
o
,
ng m
`
a th

,
oa m
˜
an điê
`
u ki
.
ên đê
`
b
`
ai.
L
`
o
,
i gi
,
ai 23.5. Ð
.
ăt G l
`
a giao điê
,
m c
,
ua AE v
´
o
,

i CD; đ
.
ăt F l
`
a điê
,
m kh
´
ac c
,
ua ph
´
ep
chia đê
`
u BC l
`
am 3 phâ
`
n đê
`
u nhau. Khi đ
´
o, tam gi
´
ac ADG l
`
a tam gi
´
ac cân v

`
a
AG = GD. V
`
ı DF l
`
a đu
,
`
o
,
ng trung b
`
ınh c
,
ua tam gi
´
ac ABE, DF AE v
`
a DF GE.
V
`
ı v
.
ây GE l
`
a đu
,
`
o

,
ng trung b
`
ınh c
,
ua tam gi
´
ac CDF v
`
a DG = GC. Trong tam gi
´
ac
ADC, trung tuyê
´
n AG b
`
ăng m
.
ôt n
,
u
,
a c
.
anh đô
´
i di
.
ên, do đ
´

o ∠BAC = 90
0
.
L
`
o
,
i gi
,
ai 23.6. Ta s
˜
e ch
´
u
,
ng minh b
`
ăng ph
,
an ch
´
u
,
ng. Gi
,
a s
,
u
,
ngu

,
.
o
,
c l
.
ai r
`
ăng c
´
o thê
,
c
´
o
nhiê
`
u nhâ
´
t 5 đ
.
ia điê
,
m c
´
o c
`
ung sô
´
v

´
e. Khi đ
´
o, c
´
o
´
ıt nhâ
´
t 5(0+1+2+···+39) = 3900
v
´
e, vô l
´
y. V
´
o
,
i k = 1, 2, . . . , 33, k v
´
e đu
,
.
o
,
c b
´
an cho đ
´
ung 6 đ

.
ia điê
,
m. V
`
ı v
.
ây, m
˜
ôi đ
.
ia
điê
,
m c
`
on l
.
ai s
˜
e c
´
o 217 v
´
e đê
,
c
.
ông l
.

ai đu
,
.
o
,
c 3800 v
´
e. Do đ
´
o 7 l
`
a không câ
`
n thiê
´
t.
L
`
o
,
i gi
,
ai 23.7. Ð
.
ăt S l
`
a giao c
,
ua tia AP v
´

o
,
i BQ. Ð
.
ăt w
1
v
`
a w
2
tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng l
`
a hai
đu
,
`
o
,
ng tr
`
on ngo
.

ai tiê
´
p tam gi
´
ac SPQ v
`
a SAB. B
,
o
,
i v
`
ı tam gi
´
ac SPQ v
`
a SAB đô
`
ng
d
.
ang, w
1
v
`
a w
2
tiê
´
p x

´
uc nhau
,
o
,
S. V
`
ı c
´
ac tia song song,
∠P SQ = ∠P AC = ∠ACB = ∠P RQ,
nên w
1
v
`
a w
2
tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng l
`
a h
`
ınh tr

`
on ngo
.
ai tiê
´
p P QRS v
`
a ABSC. Do đ
´
o, đu
,
`
o
,
ng
tr
`
on ngo
.
ai tiê
´
p tam gi
´
ac ABC tiê
´
p x
´
uc đu
,
`

o
,
ng tr
`
on ngo
.
ai tiê
´
p tam gi
´
ac P QR.
10 Chu
,
o
,
ng 23. Ðê
`
thi olympic to
´
an Vu
,
o
,
ng Quô
´
c Anh
L
`
o
,

i gi
,
ai 23.8. Ð
.
ăt x = ha, y = hb, z = hc. Khi đ
´
o a, b, c l
`
a c
´
ac sô
´
nguyên du
,
o
,
ng
sao cho gcd(a, b, c) = 1. Ð
.
ăt gcd(a, b) = g. Khi đ
´
o, a = ga

, b = gb

, a

v
`
a b


l
`
a c
´
ac
sô
´
nguyên du
,
o
,
ng th
,
oa m
˜
an
gcd(a

, b

) = gcd(a

− b

, b

) = gcd(a

, a


− b

) = 1.
Ta c
´
o
1
a
−
1
b
=
1
c
⇔ c(b − a) = ab ⇔ c(b

− a

) = a

b

g.
Do đ
´
o, g|c v
`
a gcd(a, b, c) = 1. V
.

ây th
`
ı gcd(a, b) = 1 v
`
a gcd(b − a, ab) = 1. Do đ
´
o
b − a = 1 v
`
a c = ab. Bây gi
`
o
,
hxyz = h
4
abc = (h
2
ab)
2
v
`
a h(y − x) = h
2
l
`
a c
´
ac sô
´
ch

´
ınh phu
,
o
,
ng.
L
`
o
,
i gi
,
ai 23.9. Ð
.
ăt
3
√
xyz = a > 0. Theo bâ
´
t đ
,
ăng th
´
u
,
c Côsi,
12 = xy + yz + zx ≥ 3a
2
a
3

= 2 + x + y + z ≥ 2 + 3a.
Do đ
´
o a
2
≤ 4 v
`
a a
3
−3a−2 = (a −2)(a −2)
2
≤ 0. V
`
ı v
.
ây tâ
´
t c
,
a c
´
ac phu
,
o
,
ng tr
`
ınh
đê
`

u đ
´
ung, a = 2 v
`
a x = y = z. Do đ
´
o (x, y, z) = (2, 2, 2) l
`
a nghi
.
êm duy nhâ
´
t.
CHU
,
O
,
NG 24
B
,
AN D
.
ICH Ð
`
Ê THI OLYMPIC NU
,
´
O
,
C M

˜
Y
24.1. Ðê
`
b
`
ai
B
`
ai 24.1. Gi
,
a s
,
u
,
t
.
âp h
.
o
,
p 1; 2; ; 1998 đu
,
.
o
,
c phân chia th
`
anh c
´

ac c
.
ăp {a
i
; b
i
}
(1 i  999) sao cho v
´
o
,
i m
.
oi i, |a
i
− b
i
| b
`
ăng 1 ho
.
ăc b
`
ăng 6.
Ch
´
u
,
ng minh r
`

ăng tô
,
ng |a
1
−b
1
|+ |a
2
−b
2
|+ + |a
999
−b
999
| kê
´
t th
´
uc b
,
o
,
i con
sô
´
9.
B
`
ai 24.2. Cho hai đu
,

`
o
,
ng tr
`
on đô
`
ng tâm(C
1
), (C
2
) v
´
o
,
i(C
2
) n
`
ăm trong (C
1
). T
`
u
,
m
.
ôt điê
,
m A ∈ (C

1
), v
˜
e tiê
´
p tuyê
´
n AB v
´
o
,
i (C
2
), B∈ (C
2
). G
.
oi C l
`
a giao điê
,
m th
´
u
,
hai c
,
ua AB v
´
o

,
i (C
1
), D l
`
a trung điê
,
m c
,
ua AB, m
.
ôt đu
,
`
o
,
ng th
,
ăng qua A, c
´
ăt(C
2
) t
.
ai
E v
`
a F. C
´
ac đu

,
`
o
,
ng trung tr
.
u
,
c c
,
ua DE v
`
a CF c
´
ăt nhau t
.
ai m
.
ôt điê
,
m M trên AB. T
´
ınh
t
,
y sô
´
AM
MC
H

`
ınh 24.1: hinhbai2
B
`
ai 24.3. Cho a
0
, a
1
, , a
n
l
`
a c
´
ac sô
´
n
`
ăm trong kho
,
ang (0,
π
2
) sao cho
tan(a
0
−
π
4
) + tan(a

1
−
π
4
) + tan(a
n
−
π
4
) ≥ n − 1.
Ch
´
u
,
ng minh r
`
ăng: tan a
0
tan a
1
tan a
n
≥ n
n+1
.
12 Chu
,
o
,
ng 24. B

,
AN D
.
ICH Ð
`
Ê THI OLYMPIC NU
,
´
O
,
C M
˜
Y
B
`
ai 24.4. M
.
ôt m
`
an h
`
ınh m
´
ay t
´
ınh cho b
`
an c
`
o

,
98x98 ô, tô m
`
au theo c
´
ach thông
thu
,
`
o
,
ng. Ngu
,
`
o
,
i ta nhâ
´
p chu
.
ôt trên c
´
ac h
`
ınh ch
˜
u
,
nh
.

ât d
.
oc theo b
`
an c
`
o
,
, kê
´
t qu
,
a l
`
a
m
`
au trên c
´
ac h
`
ınh ch
˜
u
,
nh
.
ât đu
,
.

o
,
c ch
.
on thay đô
,
i (đen th
`
anh tr
´
ăng, tr
´
ăng th
`
anh
đen). T
`
ım sô
´
nhâ
´
p chu
.
ôt nh
,
o nhâ
´
t câ
`
n thiê

´
t đê
,
c
,
a b
`
an c
`
o
,
biê
´
n th
`
anh m
.
ôt m
`
au.
B
`
ai 24.5. Ch
´
u
,
ng minh r
`
ăng v
´

o
,
i n≥2 c
´
o m
.
ôt t
.
âp h
.
o
,
p S c
´
ac sô
´
nguyên sao cho
(a − b)
2
chia hê
´
t cho ab đô
´
i v
´
o
,
i m
.
oi a, b phân bi

.
êt thu
.
ôc S.
B
`
ai 24.6. Cho n≥ 5 l
`
a m
.
ôt sô
´
nguyên. T
`
ım sô
´
nguyên k l
´
o
,
n nhâ
´
t (ph
.
u thu
.
ôc n,
nhu
,
m

.
ôt h
`
am sô
´
c
,
ua n) m
`
a tô
`
n t
.
ai m
.
ôt đa gi
´
ac lô
`
i n đ
,
ınh A
1
A
2
A
n
đô
´
i v

´
o
,
i sô
´
k
c
,
ua t
´
u
,
gi
´
ac A
i
A
i+1
A
i+2
A
i+3
c
´
o m
.
ôt đu
,
`
o

,
ng tr
`
on n
.
ôi tiê
´
p (
,
o
,
đây A
n+j
= A
j
).
Nguy
˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê
,
n, 13
24.2. L
`
o
,
i gi

,
ai
L
`
o
,
i gi
,
ai 24.1. G
.
oi k l
`
a sô
´
c
.
ăp {a
i
; b
i
} v
´
o
,
i |a
i
− b
i
| = 6
Khi đ

´
o tô
,
ng trong đê
`
b
`
ai l
`
a 6k + (999 − k).1 = 999 + 5k m
`
a kê
´
t th
´
uc b
,
o
,
i 9 th
`
ı k
ch
˜
ăn.
Do đ
´
o n
´
o đ

,
u đê
,
ch
,
ı ra r
`
ăng k l
`
a sô
´
ch
˜
ăn. Ta viê
´
t k = k
l
,
e
+ k
ch
˜
ăn
,
o
,
đây k
l
,
e

(tu
,
o
,
ng
t
.
u
,
k
ch
˜
ăn
) l
`
a sô
´
c
.
ăp {a
i
; b
i
} sao cho a
i
, b
i
đê
`
u l

,
e( tu
,
o
,
ng t
.
u
,
ch
˜
ăn).
T
`
u
,
đ
´
o c
´
o nhiê
`
u sô
´
ch
˜
ăn c
˜
ung nhu
,

sô
´
l
,
e gi
˜
u
,
a 1 v
`
a 1998 v
`
a b
,
o
,
i v
.
ây m
˜
ôi c
.
ăp {a
i
; b
i
}
v
´
o

,
i |a
i
− b
i
| = 1
ch
´
u
,
a m
.
ôt sô
´
lu
,
.
o
,
ng m
˜
ôi lo
.
ai, ta ph
,
ai c
´
o k
l
,

e
= k
ch
˜
ăn
Do đ
´
o k = k
l
,
e
+ k
ch
˜
ăn
ph
,
ai
l
`
a sô
´
ch
˜
ăn nhu
,
trên.
L
`
o

,
i gi
,
ai 24.2. Ta c
´
o phu
,
o
,
ng t
´
ıch c
,
ua A v
´
o
,
i (C
2
) l
`
a: AE.AF = AB
2
M
.
ăt kh
´
ac: AD.AC =
AC
2

.2AB = AB
2
Do đ
´
o AE.AF = AD.AC
Ðiê
`
u n
`
ay suy ra ∆ADE∼∆AFC
Do đ
´
o

AED =

ACF , b
,
o
,
i v
.
ây DEFC n
.
ôi tiê
´
p.
V
`
ı M l

`
a giao điê
,
m c
,
ua c
´
ac đu
,
`
o
,
ng trung tr
.
u
,
c c
,
ua DE, CF nên n
´
o ph
,
ai l
`
a tâm đu
,
`
o
,
ng

tr
`
on ngo
.
ai tiê
´
p c
,
ua DEFC. Do đ
´
o M c
˜
ung n
`
ăm trên đu
,
`
o
,
ng trung tr
.
u
,
c c
,
ua CD. T
`
u
,
đ

´
o M n
`
ăm trên AC, n
´
o ph
,
ai l
`
a trung điê
,
m c
,
ua AC. Do đ
´
o
AM
MC
=
5
3
L
`
o
,
i gi
,
ai 24.3. Cho b
k
= tan(a

k
−
π
4
), k=0,1, ,n.
T
`
u
,
gi
,
a thiê
´
t, v
´
o
,
i m
˜
ôi k sao cho −1 < b
k
< 1 v
`
a
1 + b
k
≥

0≤i=k≤n
(1 − b

i
)(1)
´
Ap d
.
ung bâ
´
t đ
,
ăng th
´
u
,
c gi
˜
u
,
a trung b
`
ınh c
.
ông v
`
a trung b
`
ınh nhân cho c
´
ac sô
´
du

,
o
,
ng
1 − b
i
, i = 0; 1; ; k − 1; k + 1; n, ta c
´
o

0≤i=k≤n
(1 − b
i
)≥ n(

0≤i=k≤n
(1 − b
i
)
n
)
1
n
(2)
T
`
u
,
(1)v
`

a (2) ta c
´
o
14 Chu
,
o
,
ng 24. B
,
AN D
.
ICH Ð
`
Ê THI OLYMPIC NU
,
´
O
,
C M
˜
Y
n

k=0
(1 + b
k
)≥ n
n+1

n


i=0
(1 − b
i
)
n

1
n
V
`
a do đ
´
o ta c
´
o
n

k=0
1 + b
k
1 − b
k
≥ n
n+1
V
`
ı
1 + b
k

1 − b
k
=
1 + tan(a
k
−
π
4
)
1 − tan(a
k
−
π
4
)
=tan

(a
k
−
π
4
) +
π
4

= tana
k
B
`

ai to
´
an đu
,
.
o
,
c ch
´
u
,
ng minh
L
`
o
,
i gi
,
ai 24.4. M
.
ôt c
´
ach tô
,
ng qu
´
at, ch
´
ung ta ch
,

ı ra r
`
ăng sô
´
lu
,
.
o
,
ng tô
´
i thiê
,
u c
´
ac l
.
u
,
a
ch
.
on câ
`
n thiê
´
t cho m
.
ôt b
`

an c
`
o
,
n×n l
`
a n-1 nê
´
u n l
,
e v
`
a n nê
´
u n ch
˜
ăn.
X
´
et 4(n-1) h
`
ınh vuông d
.
oc theo chu vi b
`
an c
`
o
,
, v

`
a t
.
ai m
˜
ôi bu
,
´
o
,
c ta đê
´
m sô
´
lu
,
.
o
,
ng c
.
ăp
h
`
ınh vuông liê
`
n kê
`
kh
´

ac m
`
au. Tô
,
ng sô
´
n
`
ay b
´
ăt đâ
`
u l
`
a 4(n-1) kê
´
t th
´
uc t
.
ai 0 v
`
a c
´
o
thê
,
gi
,
am b

,
o
,
i m
˜
ôi lu
,
.
o
,
t không qu
´
a 4. (Nê
´
u h
`
ınh ch
˜
u
,
nh
.
ât ch
.
am v
`
ao hai đu
,
`
o

,
ng viê
`
n
c
,
ua b
,
ang, sau đ
´
o ch
,
ı 2 c
.
ăp c
´
o thê
,
b
.
i
,
anh hu
,
,
o
,
ng. Ngu
,
.

o
,
c l
.
ai, h
`
ınh ch
˜
u
,
nh
.
ât ho
.
ăc
không ch
.
am v
`
ao ho
.
ăc ch
.
am v
`
ao hai h
`
ınh ch
˜
u

,
nh
.
ât đô
´
i di
.
ên, trong tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p đ
´
o
0, 2 ho
.
ăc 4 c
.
ăp tu
,
o
,
ng
´
u

,
ng s
˜
e thay đô
,
i). Do đ
´
o
´
ıt nhâ
´
t n-1 l
.
u
,
a ch
.
on l
`
a luôn câ
`
n thiê
´
t.
Nê
´
u n l
`
a sô
´

l
,
e th
`
ı ch
,
ı câ
`
n n-1 l
.
u
,
a ch
.
on l
`
a đ
,
u, b
`
ăng c
´
ach ch
.
on m
˜
ôi sô
´
th
´

u
,
2, 4, 6 ,
h
`
ang v
`
a c
.
ôt. Tuy nhiên, nê
´
u n ch
˜
ăn th
`
ı n-1 l
.
u
,
a ch
.
on không đ
,
u đê
,
đ
´
ap
´
u

,
ng đu
,
.
o
,
c
yêu câ
`
u c
,
ua đê
`
b
`
ai.T
.
ai m
.
ôt v
`
ai điê
,
m vuông g
´
oc ph
,
ai đu
,
.

o
,
c ch
´
u
,
a trong m
.
ôt h
`
ınh
ch
˜
u
,
nh
.
ât(v
`
ı c
´
ac g
´
oc không ph
,
ai tâ
´
t c
,
a b

´
ăt đâ
`
u c
`
ung m
.
ôt m
`
au) v
`
a h
`
ınh ch
˜
u
,
nh
.
ât
nhu
,
v
.
ây ch
,
ı gi
,
am t
´

ınh b
`
ăng 2. Do đ
´
o n l
.
u
,
a ch
.
on l
`
a câ
`
n thiê
´
t v
`
a m
.
ôt lâ
`
n n
˜
u
,
a b
`
ăng
c

´
ach ch
.
on m
˜
ôi h
`
ang v
`
a c
.
ôt kh
´
ac ta thâ
´
y r
`
ăng n l
.
u
,
a ch
.
on c
˜
ung th
,
oa m
˜
an.

L
`
o
,
i gi
,
ai 24.5. Ta s
˜
e ch
´
u
,
ng minh b
`
ăng qui n
.
ap theo n.
Ta c
´
o thê
,
t
`
ım thâ
´
y m
.
ôt t
.
âp h

.
o
,
p S
n
nhu
,
v
.
ây, tâ
´
t c
,
a c
´
ac phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua n
´
o đê
`
u không
âm.
+ V

´
o
,
i n=2, ta c
´
o t
.
âp h
.
o
,
p S
2
= {0; 1}
+ Bây gi
`
o
,
gi
,
a s
,
u
,
r
`
ăng đô
´
i v
´

o
,
i sô
´
n≥2, t
.
âp h
.
o
,
p S
n
c
´
ac sô
´
không âm tô
`
n t
.
ai. G
.
oi L l
`
a
Nguy
˜
ên H
˜
u

,
u Ðiê
,
n, 15
b
.
ôi sô
´
chung nh
,
o nhâ
´
t c
,
ua nh
˜
u
,
ng sô
´
(a − b)
2
v
`
a ab l
`
a kh
´
ac 0 v
´

o
,
i (a; b) kh
´
ac nhau
c
,
ua S
n
. X
´
ac đ
.
inh S
n+1
= {L + a : a∈S
n
}∪{0}. Khi đ
´
o S
n+1
ch
´
u
,
a n+1 sô
´
nguyên
không âm v
`

ı L > 0.
Nê
´
u α, β∈S
n+1
v
`
a c
,
a α, β đê
`
u b
`
ăng 0 th
`
ı (α − β)
2
.
.
.αβ.
Nê
´
u L + a, L + b∈S
n+1
v
´
o
,
i a, b phân bi
.

êt thu
.
ôc S
n
th
`
ı
(L + a)(L + b)≡ab≡0(mod)(a − b)
2
B
,
o
,
i v
.
ây [(L + a) −(L + b)]
2
chia hê
´
t (L + a)(L + b), ho
`
an th
`
anh ch
´
u
,
ng minh qui
n
.

ap.
L
`
o
,
i gi
,
ai 24.6. Ta s
˜
e ch
´
u
,
ng minh sô
´
nguyên k l
´
o
,
n nhâ
´
t l
`
a [
n
2
].
Tru
,
´

o
,
c hê
´
t ta thiê
´
t l
.
âp s
.
u
,
r
`
ang bu
.
ôc b
`
ăng vi
.
êc ch
,
ı ra r
`
ăng nê
´
u A, B, C, D v
`
a E l
`

a
c
´
ac đ
,
ınh liên tiê
´
p c
,
ua n gi
´
ac lô
`
i m
`
a c
´
ac t
´
u
,
gi
´
ac ABCD v
`
a BCDE c
´
o thê
,
không c

´
o
đu
,
`
o
,
ng tr
`
on n
.
ôi tiê
´
p.
Gi
,
a s
,
u
,
ngu
,
.
o
,
c l
.
ai, do c
´
ac tiê

´
p tuyê
´
n b
`
ăng nhau , ta c
´
o:
AB + CD = BC + AD
BC + DE = CD + BE
v
`
a
AB + DE = AD + BE
M
.
ăt kh
´
ac, nê
´
u O l
`
a giao c
,
ua AD v
`
a BE th
`
ı s
,

u
,
d
.
ung bâ
´
t đ
,
ăng th
´
u
,
c tam gi
´
ac ta c
´
o
AO + OB > AB v
`
a OD + OE > DE, b
,
o
,
i v
.
ây
AD + BE = AO + OB + OD + OE > AB + DE
, mâu thu
˜
ân. Bây gi

`
o
,
ta đu
,
a ra c
´
ach đê
,
ch
,
ı ra r
`
ăng [
n
2
] l
`
a ho
`
an to
`
an c
´
o thê
,
. Tru
,
´
o

,
c
hê
´
t gi
,
a s
,
u
,
r
`
ăng n l
`
a sô
´
ch
˜
ăn. V
˜
e h
`
ınh thang cân v
´
o
,
i g
´
oc
,

o
,
đ
´
ay l
`
a
2π
n
v
`
a c
´
o m
.
ôt
đu
,
`
o
,
ng tr
`
on n
.
ôi tiê
´
p.G
.
oi x l

`
a chiê
`
u d
`
ai c
.
anh đ
´
ay nh
,
o v
`
a y l
`
a đ
.
ô d
`
ai c
.
anh đ
´
ay l
´
o
,
n
trong h
`

ınh thang. Sau đ
´
o m
.
ôt đ
,
ăng gi
´
ac n đ
,
ınh v
´
o
,
i đ
.
ô d
`
ai c
.
anh x, y, x, y, r
˜
o
r
`
ang c
´
o
n
2

t
´
u
,
gi
´
ac ngo
.
ai tiê
´
p.
Bây gi
`
o
,
gi
,
a s
,
u
,
n l
`
a sô
´
l
,
e. D
.
u

,
ng n + 1 gi
´
ac A
1
A
n+1
,
n+1
2
t
´
u
,
gi
´
ac ngo
.
ai tiê
´
p đu
,
.
o
,
c
16 Chu
,
o
,

ng 24. B
,
AN D
.
ICH Ð
`
Ê THI OLYMPIC NU
,
´
O
,
C M
˜
Y
mô t
,
a trong bu
,
´
o
,
c tru
,
´
o
,
c. Bây gi
`
o
,

x
´
oa đi A
n+1
v
`
a di chuyê
,
n A
n
t
´
o
,
i v
.
i tr
´
ı m
´
o
,
i đê
,
m
`
a
t
´
u

,
gi
´
ac A
n−2
A
n−1
A
n
A
1
c
´
o m
.
ôt đu
,
`
o
,
ng tr
`
on n
.
ôi tiê
´
p, điê
`
u n
`

ay cho ta
n−1
2
t
´
u
,
gi
´
ac
ngo
.
ai tiê
´
p nhu
,
yêu câ
`
u đê
`
b
`
ai.
CHU
,
O
,
NG 25
Ð
`

Ê THI OLYMPIC TO
´
AN CHÂU
´
A TH
´
AI
B
`
INH DU
,
O
,
NG
25.1. Ðê
`
b
`
ai
B
`
ai 25.1. G
.
oi F l
`
a t
.
âp h
.
o

,
p tâ
´
t c
,
a n−t
.
âp (A
1
, A
2
, , A
n
) sao cho m
˜
ôi t
.
âp A
i
l
`
a t
.
âp
con c
,
ua {1, 2, , 1998}. G
.
oi |A| l
`

a sô
´
phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua t
.
âp A.
T
´
ınh

(A
1
, ,A
n
)∈F
|
n

i=1
A
i
|
B

`
ai 25.2. Ch
´
u
,
ng minh r
`
ăng đô
´
i v
´
o
,
i bâ
´
t k
`
y m
.
ôt sô
´
nguyên du
,
o
,
ng a v
`
a b th
`
ı (36a +

b)(a + 36b) không thê
,
l
`
a l
˜
uy th
`
u
,
a c
,
ua 2.
B
`
ai 25.3. Cho a, b, c l
`
a c
´
ac sô
´
th
.
u
,
c du
,
o
,
ng. Ch

´
u
,
ng minh r
`
ăng:

1 +
a
b


1 +
b
c


1 +
c
a

≥2

1 +
a + b + c
3
√
abc

B

`
ai 25.4. Cho tam gi
´
ac ABC v
`
a D l
`
a chân đu
,
`
o
,
ng cao xuâ
´
t ph
´
at t
`
u
,
đ
,
ınh A. G
.
oi E
v
`
a F l
`
a c

´
ac điê
,
m n
`
ăm trên đu
,
`
o
,
ng th
,
ăng đi qua D sao cho AE vuông g
´
oc v
´
o
,
i BE,
AF vuông g
´
oc v
´
o
,
i CF v
`
a E, F l
`
a c

´
ac điê
,
m kh
´
ac D. G
.
oi M v
`
a N lâ
`
n lu
,
.
o
,
t l
`
a c
´
ac trung
điê
,
m c
,
ua BC v
`
a EF. Ch
´
u

,
ng minh r
`
ăng AN vuông g
´
oc v
´
o
,
i NM.
H
`
ınh 25.1: hinhbai10
18 Chu
,
o
,
ng 25. Ðê
`
thi olympic to
´
an châu
´
A Th
´
ai B
`
ınh Du
,
o

,
ng
25.2. L
`
o
,
i gi
,
ai
L
`
o
,
i gi
,
ai 25.1. Tô
,
ng n
`
ay đê
´
m tô
,
ng sô
´
phâ
`
n t
,
u

,
trong t
.
âp h
.
o
,
p

n
i=1
A
i
, (A
1
, , A
n
) ∈ F , m
`
a b
`
ăng tô
,
ng sô
´
lâ
`
n m
.
ôt phâ

`
n t
,
u
,
c
,
ua t
.
âp1, 2, , 1998
thu
.
ôc m
.
ôt h
.
o t
.
âp h
.
o
,
p

n
i=1
A
i
. Ðô
´

i v
´
o
,
i bâ
´
t k
`
y phâ
`
n t
,
u
,
x ∈ {1, 2, , 1998}, c
´
o
2
1998n
− 2
1997n
n−t
.
âp(A
1
, A
2
, , A
n
) ∈ F nhu

,
v
.
ây x ∈

n
i=1
A
i
, v
`
ı x /∈

n
i=1
A
i
nê
´
u v
`
a ch
,
ı nê
´
u A
i
⊂ {1, 2, , 1998}\{x} v
´
o

,
i m
˜
ôi i = 1, , n n
´
o x
,
ay ra đô
´
i v
´
o
,
i
2
1997n
c
,
ua 2
1998n
n− t
.
âp trong F.
Do đ
´
o

(A
1
, ,A

n
)∈F
|

n
i=1
A
i
| =

x∈{1,2, ,1998}
2
1998n
− 2
1997n
= 1998(2
1998n
− 2
1997n
)
L
`
o
,
i gi
,
ai 25.2. Viê
´
t a = 2
c

p, b = 2
d
q v
´
o
,
i p, q l
,
e. G
,
a s
,
u
,
không mâ
´
t t
´
ınh tô
,
ng qu
´
at
ta gi
,
a thiê
´
t c ≥ d.
T
`

u
,
đ
´
o 36a + b = 36.2
c
p + 2
d
q = 2
d
(36.2
c−d
p + q), b
,
o
,
i v
.
ây
(36a +b)(36b + a) = 2
d
(36.2
c−d
p +q)(36b + a) c
´
o th
`
u
,
a sô

´
l
,
e (36.2
c−d
p +q) không
đô
,
i, v
`
a v
`
ı v
.
ây n
´
o không thê
,
l
`
a l
˜
uy th
`
u
,
a c
,
ua 2.
L

`
o
,
i gi
,
ai 25.3. Ta c
´
o

1 +
a
b


1 +
b
c


1 +
c
a

= 2 +
a
b
+
b
c
+

c
a
+
a
c
+
b
a
+
c
b
=

a
b
+
a
c
+
a
a

+

b
c
+
b
a
+

b
b

+

c
a
+
c
b
+
c
c

− 1
≥ 3

a
3
√
abc
+
b
3
√
abc
+
c
3
√

abc

− 1
= 2

a + b + c
3
√
abc

+

a + b + c
3
√
abc

− 1
≥ 2

a + b + c
3
√
abc

+ 3 − 1
= 2

1 +
a + b + c

3
√
abc

b
`
ăng hai lâ
`
n
´
ap d
.
ung bâ
´
t đ
,
ăng th
´
u
,
c trung b
`
ınh c
.
ông v
`
a trung b
`
ınh nhân
Nguy

˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê
,
n, 19
L
`
o
,
i gi
,
ai 25.4. Do c
´
ac g
´
oc

AEB =

ADB =

ADC =

AF C =
π
2
nên c

´
ac t
´
u
,
gi
´
ac ABDE v
`
a ACDF l
`
a n
.
ôi tiê
´
p. Do đ
´
o

EAB =

EAD =

F DC =

F AC. Tu
,
o
,
ng

t
.
u
,

AEB =
π
2
=

AF C, b
,
o
,
i v
.
ây ∆ABE ∼ ∆ACF . B
,
o
,
i v
.
ây tô
`
n t
.
ai ph
´
ep đô
`

ng d
.
ang
biê
´
n điê
,
m B th
`
anh E, điê
,
m C th
`
anh F. V
`
ı ph
´
ep đô
`
ng d
.
ang b
,
ao to
`
an trung điê
,
m nên
ph
´

ep đô
`
ng d
.
ang n
`
ay biê
´
n M th
`
anh N, b
,
o
,
i v
.
ây tam gi
´
ac ABE va AMN đô
`
ng d
.
ang.
Do đ
´
o

ANM =

AEB =

π
2
v
`
a AN vuông g
´
oc v
´
o
,
i NM.
CHU
,
O
,
NG 26
Ð
`
Ê THI OLYMPIC TO
´
AN
´
AO-BALAN
26.1. Ðê
`
b
`
ai
B
`

ai 26.1. Cho x
1
, x
2
, x
3
, x
4
l
`
a c
´
ac sô
´
th
.
u
,
c th
,
oa m
˜
an: x
2
1
+ x
2
2
≤ 1. Ch
´

u
,
ng minh
bâ
´
t đ
,
ăng th
´
u
,
c sau:
(x
1
y
1
+ x
2
y
2
− 1)
2
≥

x
2
1
+ x
2
2

− 1

y
2
1
+ y
2
2
− 1

.(1)
B
`
ai 26.2. Cho n điê
,
m P
1
, P
2
, , P
n
theo th
´
u
,
t
.
u
,
n

`
ăm trên m
.
ôt đu
,
`
o
,
ng th
,
ăng. Ch
´
ung
ta tô m
˜
ôi điê
,
m b
,
o
,
i m
.
ôt trong c
´
ac m
`
au tr
´
ăng, đ

,
o, xanh l
´
a cây, xanh da tr
`
o
,
i ho
.
ăc
violet. M
.
ôt m
`
au đu
,
.
o
,
c tô nê
´
u m
˜
ôi hai điê
,
m liên tiê
´
p P
i
, P

i+1
(i = 1, 2, , n − 1)
ho
.
ăc c
,
a hai c
`
ung m
`
au, ho
.
ăc
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt trong ch
´
ung l
`
a m
`
au tr
´
ăng. V
.
ây ta c
´

o thê
,
tô đu
,
.
o
,
c bao nhiêu m
`
au?
B
`
ai 26.3. T
`
ım tâ
´
t c
,
a c
´
ac c
.
ăp sô
´
th
.
u
,
c (x, y) th
,

oa m
˜
an c
´
ac phu
,
o
,
ng tr
`
ınh sau:
2 − x
3
= y, 2 − y
3
= x.
B
`
ai 26.4. Cho m, n l
`
a c
´
ac sô
´
nguyên du
,
o
,
ng. Ch
´

u
,
ng minh r
`
ăng:
n

k=1

k
2
√
k
m

≤ n + m

2
m/4
− 1

B
`
ai 26.5. T
`
ım tâ
´
t c
,
a c

´
ac c
.
ăp sô
´
(a, b) nguyên du
,
o
,
ng th
,
oa m
˜
an phu
,
o
,
ng tr
`
ınh:
x
3
− 17x
2
+ ax − b
2
= 0
c
´
o ba nghi

.
êm nguyên (không nhâ
´
t thiê
´
t kh
´
ac nhau).
B
`
ai 26.6. Cho c
´
ac điê
,
m A, B, C, D, E, F kh
´
ac nhau theo th
´
u
,
t
.
u
,
n
`
ăm trên m
.
ôt
đu

,
`
o
,
ng tr
`
on. Tiê
´
p tuyê
´
n v
´
o
,
i đu
,
`
o
,
ng tr
`
on t
.
ai A and D, v
`
a c
´
ac đu
,
`

o
,
ng th
,
ăng BF and
CE, đô
`
ng quy t
.
ai m
.
ôt điê
,
m. Ch
´
u
,
ng minh r
`
ăng c
´
ac đu
,
`
o
,
ng th
,
ăng AD, BC, EF
song song ho

.
ăc đô
`
ng quy.
Nguy
˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê
,
n, 21
B
`
ai 26.7. X
´
et tâ
´
t c
,
a c
´
ac c
.
ăp sô
´
t
.
u

,
nhiên (a, b) sao cho t
´
ıch a
a
b
b
, viê
´
t
,
o
,
h
.
ê th
.
âp
phân, t
.
ân c
`
ung ch
´
ınh x
´
ac t
´
o
,

i 98 sô
´
không. T
`
ım tâ
´
t c
,
a c
´
ac c
.
ăp sô
´
(a, b) sao cho t
´
ıch
ab l
`
a nh
,
o nhâ
´
t.
B
`
ai 26.8. Cho sô
´
t
.

u
,
nhiên n > 2. Trong lu
,
´
o
,
i vô h
.
an c
,
ua m
˜
ôi h
`
ınh vuông đo
,
n v
.
i ta
viê
´
t c
´
ac sô
´
t
.
u
,

nhiên. M
.
ôt đa gi
´
ac đu
,
.
o
,
c x
´
ac đ
.
inh nê
´
u di
.
ên t
´
ıch c
,
ua n
´
o b
`
ăng n v
`
a c
´
o

c
´
ac c
.
anh n
`
ăm trên c
´
ac đu
,
`
o
,
ng c
,
ua lu
,
´
o
,
i. Tô
,
ng c
´
ac sô
´
t
.
u
,

nhiên viê
´
t trong h
`
ınh vuông
v
`
a n
`
ăm n
`
ăm trong đa gi
´
ac x
´
ac đ
.
inh g
.
oi l
`
a gi
´
a tr
.
i c
,
ua đa gi
´
ac đ

´
o. Ch
´
u
,
ng minh r
`
ăng
gi
´
a tr
.
i c
,
ua bâ
´
t k
`
y hai đa gi
´
ac đô
`
ng d
.
ang x
´
ac đ
.
inh l
`

a b
`
ăng nhau,t
`
u
,
đ
´
o suy ra tâ
´
t c
,
a
c
´
ac sô
´
t
.
u
,
nhiên viê
´
t trong lu
,
´
o
,
i h
`

ınh vuông b
`
ăng nhau.
B
`
ai 26.9. Cho K, L, M theo th
´
u
,
t
.
u
,
l
`
a trung điê
,
m c
´
ac c
.
anh BC, CA, AB c
,
ua tam
gi
´
ac ABC. C
´
ac điê
,

m A, B, C chia đu
,
`
o
,
ng tr
`
on ngo
.
ai tiê
´
p tam gi
´
ac ABC th
`
anh ba
cung AB, BC, CA. G
.
oi X l
`
a điê
,
m ch
´
ınh gi
˜
u
,
a cung BC không ch
´

u
,
a A, g
.
oi Y l
`
a
điê
,
m ch
´
ınh gi
˜
u
,
a cung CA không ch
´
u
,
a B, v
`
a g
.
oi Z l
`
a điê
,
m ch
´
ınh gi

˜
u
,
a cung AB
không ch
´
u
,
a C. G
.
oi R l
`
a b
´
an k
´
ınh đu
,
`
o
,
ng tr
`
on ngo
.
ai tiê
´
p, r l
`
a b

´
an k
´
ınh đu
,
`
o
,
ng t
`
on
n
.
ôi tiê
´
p tam gi
´
ac ABC. Ch
´
u
,
ng minh r
`
ăng:
r + KX + LY + MZ = 2R.
22 Chu
,
o
,
ng 26. Ðê

`
thi olympic to
´
an v
`
a đ
´
ap
´
an
´
Ao-Balan
26.2. L
`
o
,
i gi
,
ai
L
`
o
,
i gi
,
ai 26.1. Nê
´
u y
2
1

+ y
2
2
≥ 1, th
`
ı vê
´
tr
´
ai(1) ≥ 0 ≥ vê
´
ph
,
ai (1), suy ra đpcm. Gi
,
a
s
,
u
,
y
2
1
+ y
2
2
< 1. Ð
.
ăt a = 1 −x
2

1
−x
2
2
v
`
a b = 1 −y
2
1
−y
2
2
. Khi đ
´
o 0 ≥ a, b ≥ 1. Ta c
´
o:
(x
1
y
1
+ x
2
y
2
− 1)
2
≥

x

2
1
+ x
2
2
− 1

y
2
1
+ y
2
2
− 1

.
⇔ (2 − 2x
1
y
1
− 2x
2
y
2
)
2
≥ 4ab
⇔

(x

1
− y
1
)
2
+ (x
2
− y
2
)
2
+ a + b

2
≥ 4ab.
V
`
ı a, b > 0, nên:
⇔

(x
1
− y
1
)
2
+ (x
2
− y
2

)
2
+ a + b

2
≥ (a + b)
2
≥ 4ab.
Suy ra đpcm.
L
`
o
,
i gi
,
ai 26.2. Ch
´
ung ta s
˜
e gi
,
ai b
`
ăng phu
,
o
,
ng ph
´
ap quy n

.
ap. Ch
´
ung ta x
´
ac đ
.
inh 3
tr
`
ınh t
.
u
,
nhu
,
sau: V
´
o
,
i m
˜
ôi n, cho a
n
l
`
a sô
´
m
`

au c
´
o thê
,
tô nê
´
u P
n
l
`
a m
`
au tr
´
ăng, cho
b
n
l
`
a sô
´
m
`
au c
´
o thê
,
tô nê
´
u P

n
không ph
,
ai m
`
au tr
´
ăng, v
`
a cho c
n
l
`
a tô
,
ng sô
´
m
`
au c
´
o
thê
,
tô n điê
,
m đ
´
o. V
´

o
,
i n > 2, ch
´
ung ta c
´
o:
a
n
= c
n
− 1
b
n
= 4a
n
− 1 + b
n
− 1
c
n
= a
n
+ b
n
.
Nhu
,
v
.

ây, b
n
= b
n
− 1 + 4c
n
− 2 and c
n
= c
n
− 1 + b
n
. T
`
u
,
hai phu
,
o
,
ng tr
`
ınh
đ
´
o, ta c
´
o: c
n
= b

n
− 1 + c
n
− 1 + 4c
n
− 2. Ch
´
u
´
y r
`
ăng b
n
= c
n
− c
n
− 1, nên
b
n
− 1 = c
n
− 1 − c
n
− 2. Do đ
´
o:
c
n
= 2c

n
− 1 + 3c
n
− 2.
,
O
,
đây c
1
= 5, c
2
= 13; gi
,
ai phu
,
o
,
ng tr
`
ınh đ
.
ăc tru
,
ng x
2
= 2x + 3, ta c
´
o kê
´
t qu

,
a:
c
n
=
3
2
.3
n
−
1
2
.(−1)
n
=
3
n+1
+ (−1)
n+1
2
Nguy
˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê
,
n, 23
L

`
o
,
i gi
,
ai 26.3. Nê
´
u x = y, th
`
ı x
3
+ x − 2 = (x − 1) (x
2
+ x + 2) = 0, suy ra
x = y = 1. Ta gi
,
a s
,
u
,
r
`
ăng x = y. Khi đ
´
o không t
`
ım đu
,
.
o

,
c c
.
ăp sô
´
(x, y) n
`
ao th
,
oa
m
˜
an. Ta s
˜
e ch
´
u
,
ng minh điê
`
u n
`
ay d
.
u
,
a v
`
ao c
´

ac mâu thu
˜
ân. Gi
,
a s
,
u
,
c
´
o m
.
ôt c
.
ăp (x, y)
th
,
oa m
˜
an. Không mâ
´
t tô
,
ng qu
´
at, gi
,
a s
,
u

,
x > y. Khi đ
´
o:
2 − x
3
= y < x ⇔ 0 < x
3
+ x − 2 = (x − 1)

x
2
+ x + 2

,
suy ra x > 1 v
`
a x
3
> x. Tu
,
o
,
ng t
.
u
,
ta c
˜
ung c

´
o: y < 1. Ta x
´
et c
´
ac tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p sau:
(a) y ≥ −1 or 0 ≥ y < 1. Khi đ
´
o y ≥ y
3
v
`
a
2 = x
3
+ y > x + y
3
= 2,
điê
`
u n

`
ay mâu thu
˜
ân v
´
o
,
i gi
,
a thiê
´
t;
(b) −1 < y < 0. Khi đ
´
o x = 2 − y
3
> 2 v
`
a x
3
> 8. Nhu
,
ng ta l
.
ai c
´
o
y = 2 − x
3
< −6, điê

`
u n
`
ay vô l
´
y.
Do đ
´
o điê
`
u gi
,
a s
,
u
,
c
,
ua ta l
`
a sai v
`
a b
`
ai to
´
an vô nghi
.
êm khi x = y. V
.

ây b
`
ai to
´
an
c
´
o nghi
.
êm duy nhâ
´
t x = y = 1.
L
`
o
,
i gi
,
ai 26.4. Tru
,
´
o
,
c tiên ta lu
,
u
´
y r
`
ăng , v

´
o
,
i m
.
oi k > m,

k
2
√
k
m

= 1. Ðiê
`
u n
`
ay
l
`
a do
k < 2
k
⇒ k < 2
k
m
.k
⇔ k
m
< 2

k
2
⇔
k
2
√
k
m
< 2
Do đ
´
o, ch
´
ung ta s
˜
e gi
,
ai đu
,
.
o
,
c nê
´
u ch
´
ung ta ch
,
ı ra đu
,

.
o
,
c r
`
ăng:
m

k=1
k
2
√
k
m
≤ m2
m/4
=
m

k=1
2
m/4
Nhu
,
ng v
´
o
,
i k =1, 2, 3 nên d
˜

ê d
`
ang kiê
,
m tra đu
,
.
o
,
c:
2
k
2
/4
≥ k ⇔
k
2
√
k
m
≤ 2
m/4
V
´
o
,
i k ≥ 4, 2
k
2
/4

> 2
k
> k, nên
k
2
√
k
m
≤ 2
m/4
. Do đ
´
o, m
˜
ôi sô
´
h
.
ang
,
o
,
vê
´
tr
´
ai l
´
o
,

n
ho
,
n ho
.
ăc b
`
ăng m
˜
ôi sô
´
h
.
ang
,
o
,
vê
´
ph
,
ai. Suy ra điê
`
u ph
,
ai ch
´
u
,
ng minh.

L
`
o
,
i gi
,
ai 26.5. L
`
o
,
i gi
,
ai c
,
ua b
`
ai to
´
an l
`
a:
24 Chu
,
o
,
ng 26. Ðê
`
thi olympic to
´
an v

`
a đ
´
ap
´
an
´
Ao-Balan
(a, b) = (80, 8) or (80, 10) or (90, 12) or (88, 12)
Ð
.
ăt
f(x) = x
3
− 17x
2
+ ax − b
2
v
`
a gi
,
a s
,
u
,
r, s, t l
`
a c
´

ac nghi
.
êm c
,
ua ch
´
ung. Khi đ
´
o f(x) < 0 v
´
o
,
i x ≤ 0. Do đ
´
o,
r, s, t > 0.
Lu
,
u
´
y r
`
ăng
17 = r + s + t, a = rs + st + tr, b
2
= rst.
Không kh
´
o khăn g
`

ı ta c
´
o thê
,
li
.
êt kê danh s
´
ach 24 c
.
ăp sô
´
r, s, t th
,
oa m
˜
an r +
s + t = 17 v
`
a ta c
´
o thê
,
t
`
ım trong sô
´
đ
´
o nh

˜
u
,
ng c
.
ăp sô
´
th
,
oa m
˜
an rst = b
2
.
Ð
´
o l
`
a:
{r, s, t} = {1, 8, 8} or {2, 5, 10} or {3, 6, 8} or {4, 4, 9}
Suy ra c
´
ac c
.
ăp (a, b) đ
˜
a li
.
êt kê
,

o
,
th
,
oa m
˜
an yêu câ
`
u b
`
ai to
´
an.
L
`
o
,
i gi
,
ai 26.6. Gi
,
a s
,
u
,
đu
,
`
o
,

ng th
,
ăng BC v
`
a EF c
´
ăt nhau t
.
ai Y . Nô
´
i Y D v
`
a gi
,
a
s
,
u
,
đu
,
`
o
,
ng th
,
ăng Y D c
´
ăt w t
.

ai điê
,
m th
´
u
,
hai l
`
a A

. Khi đ
´
o, ta c
´
o A

= A v
`
a
AD, BC, EF đô
`
ng quy t
.
ai Y . G
.
oi G l
`
a chân đu
,
`

o
,
ng vuông g
´
oc h
.
a t
`
u
,
X t
´
o
,
i Y D.
G
.
oi P l
`
a điê
,
m n
`
ăm trên XY sao cho BCXP l
`
a tuâ
`
n ho
`
an. T

`
u
,
c
´
ac t
´
u
,
gi
´
ac tuâ
`
n
ho
`
anEFBC v
`
a BCXP, ta c
´
o:

BPX =

BCE =

BFY ,
nên Y F BP l
`
a tuâ

`
n ho
`
an. T
`
u
,
c
´
ac tiê
´
p tuyê
´
n b
`
ăng nhau v
`
a t
´
u
,
gi
´
ac tuâ
`
n ho
`
an, ta
c
´

o:
XP.XY = XA
2
= XD
2
Y P.XY = Y B.Y C = Y A

.Y D.
Ta c
´
o 2 phu
,
o
,
ng tr
`
ınh:
XY
2
= XD
2
+ Y A

.Y D ⇔ XY
2
− XD
2
= Y A

.Y D.

Nguy
˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê
,
n, 25
T
`
u
,
XY
2
= Y G
2
+ XG
2
v
`
a XD
2
= GD
2
+ XG
2
,
XY
2

− XD
2
= Y G
2
− GD
2
= (Y G + GD)(Y G − GD) = Y D.(Y G − GD).
Ta c
´
o:
Y A

.Y D = Y D.(Y G − GD) ⇒ Y G − GA

= Y A

= Y G − GD
v
`
a GA

= GD. Do đ
´
o, A

v
`
a D đô
´
i x

´
u
,
ng qua XG v
`
a XA

tiê
´
p x
´
uc v
´
o
,
i w t
.
ai A

,
i.e., A

= A, suy ra điê
`
u ph
,
ai ch
´
u
,

ng minh.
L
`
o
,
i gi
,
ai 26.7. Gi
,
a s
,
u
,
a
2
l
`
a sô
´
nguyên l
´
o
,
n nhâ
´
t th
,
oa m
˜
an a

a
2
|a. X
´
ac đ
.
inh a
5
, b
2
v
`
a
b
5
c
˜
ung tu
,
o
,
ng t
.
u
,
Khi đ
´
o yêu câ
`
u b

`
ai to
´
an tr
,
o
,
th
`
anh: t
`
ım c
´
ac sô
´
a, b sao cho min
{a
5
a + b
5
b, a
2
a + b
2
b} = 98 v
`
a ab l
`
a nh
,

o nhâ
´
t. T
`
u
,
5|a
5
a + b
5
b, a
5
a + b
5
b > 98 v
`
a
min {a
5
a + b
5
b, a
2
a + b
2
b} = a
2
a + b
2
b = 98. Ch

´
u
´
y r
`
ăng nê
´
u 5|gcd(a, b), then
a
2
a + b
2
b = 98, mâu thu
˜
ân. Không l
`
am mâ
´
t t
´
ınh tô
,
ng qu
´
at, ta gi
,
a s
,
u
,

a
5
≥ 1 and
b
5
= 0. Ð
.
ăt a = 2
a
2
5
a
5
x v
`
a b = 2
b
2
y.(gcd(2, x) = gcd(5, x) = gcd(2, y) = 1.) Khi
đ
´
o a
5
a = a
5
(2
a
2
5
a

5
x) > 98 v
`
a a
2
a = a
2
(2
a
2
5
a
5
x) ≤ 98. So a
5
> a
2
. Ta x
´
et c
´
ac
tru
,
`
o
,
ng h
.
o

,
p sau:
[(a)] a
2
= 0. Khi đ
´
o b
2
(2
b
2
y) = 98. Suy ra b
2
= 1, y = 49, b = 98. V
`
ı
a
5
(5
a
5
x) ≥ 98 v
`
a x l
`
a sô
´
l
,
e, a = 5

a
5
x ≥ 125 v
´
o
,
i a
5
≥ 3; x ≥ 3 v
`
a a ≥ 75 v
´
o
,
i
a
5
= 2; x ≥ 21 v
`
a a ≥ 105 for a
5
= 1. Do đ
´
o v
´
o
,
i a
2
= 0, b = 98, a ≥ 75.

[(b)] a
2
≥ 1. Khi đ
´
o a
5
≥ 2. Ta c
´
o 2
a
2
5
a
5
x ≤ 98 v
`
a 5
a
5
x ≤ 49. Suy ra
a
5
= 2, x = 1, a
2
= 1, a = 50. Do v
.
ây b
2
b = 48. Ð
.

ăt b = 2
b
2
y. Suy ra
b
2
(2
b
2
y) = 48, điê
`
u đ
´
o không thê
,
x
,
ay ra.
T
`
u
,
c
´
ac l
.
âp lu
.
ân trên, ta c
´

o (a, b) = (75, 98) ho
.
ăc (98, 75).
L
`
o
,
i gi
,
ai 26.8. Ta đ
.
ăt lu
,
´
o
,
i lên m
.
ăt ph
,
ăng t
.
oa đ
.
ô sao cho c
´
ac tr
.
uc n
.

ăm trên c
´
ac
c
.
anh c
,
ua lu
,
´
o
,
i. Ta x
´
et hai tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p:
[(a)] n l
,
e. Gi
,
a s
,

u
,
s
1
v
`
a s
2
l
`
a hai h
`
ınh vuông kê
`
nhau, v
`
a g
.
oi e l
`
a c
.
anh chung c
,
ua
ch
´
ung. G
.
oi T l

`
a n − 1 h
`
ınh ch
˜
u
,
nh
.
ât liê
`
n kê
`
v
´
o
,
i s
1
v
`
a s
2
v
`
a đô
´
i x
´
u

,
ng nhau qua e.
Khi đ
´
o s
1
∪ T v
`
a s
2
∪ T l
`
a hai đa gi
´
ac đô
`
ng d
.
ang x
´
ac đ
.
inh, nên nê
´
u ch
´
ung c
´
o gi
´

a
tr
.
i b
`
ăng nhau, suy ra s
1
v
`
a s
2
c
´
o gi
´
a tr
.
i b
`
ăng nhau. Do đ
´
o, tâ
´
t c
,
a c
´
ac con sô
´
đu

,
.
o
,
c
viê
´
t v
`
ao c
´
ac ô vuông l
`
a b
`
ăng nhau.