olympic toán các nước tập 2(1997-1998)- đề thi và lời giải-nguyễn hữu điển

Nguy
˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê
,
n
OLYMPIC TO
´
AN C
´
AC NU
,
´
O
,
C
1998 – 1999
56 Ð
`
Ê THI V
`
A L
`
O
,
I GI
,
AI

(T
.
âp 2)
NH
`
A XU
´
ÂT B
,
AN GI
´
AO D
.
UC
2
L
`
o
,
i n
´
oi
¯
dâ
`
u
Ðê
,
th
,

u
,
g
´
oi l
.
ênh phông ch
˜
u
,
tôi biên so
.
an m
.
ôt sô
´
¯
dê
`
to
´
an thi Olympic, m
`
a
c
´
ac h
.
oc tr
`

o c
,
ua tôi
¯
d
˜
a l
`
am b
`
ai t
.
âp khi h
.
oc t
.
âp L
A
T
E
X. Ðê
,
ph
.
u v
.
u c
´
ac b
.

an ham
h
.
oc to
´
an tôi thu th
.
âp v
`
a gom l
.
ai th
`
anh c
´
ac s
´
ach
¯
di
.
ên t
,
u
,
, c
´
ac b
.
an c

´
o thê
,
tham
kh
,
ao. M
˜
ôi t
.
âp tôi s
˜
e gom kho
,
ang 50 b
`
ai v
´
o
,
i l
`
o
,
i gi
,
ai.
Râ
´
t nhiê

`
u b
`
ai to
´
an d
.
ich không
¯
du
,
.
o
,
c chuâ
,
n, nhiê
`
u
¯
diê
,
m không ho
`
an to
`
an
ch
´
ınh x

´
ac v
.
ây mong b
.
an
¯
d
.
oc t
.
u
,
ng
˜
âm ngh
˜
ı v
`
a t
`
ım hiê
,
u lâ
´
y. Nhu
,
ng
¯
dây l

`
a
nguô
`
n t
`
ai li
.
êu tiê
´
ng Vi
.
êt vê
`
ch
,
u
¯
dê
`
n
`
ay, tôi
¯
d
˜
a c
´
o xem qua v
`

a ngu
,
`
o
,
i d
.
ich l
`
a
chuyên vê
`
ng
`
anh To
´
an phô
,
thông. B
.
an c
´
o thê
,
tham kh
,
ao l
.
ai trong [1],[2].
Râ

´
t nhiê
`
u
¯
do
.
an v
`
ı m
´
o
,
i h
.
oc TeX nên câ
´
u tr
´
uc v
`
a bô
´
tr
´
ı c
`
on xâ
´
u, tôi không

c
´
o th
`
o
,
i gian s
,
u
,
a l
.
ai, mong c
´
ac b
.
an thông c
,
am. Cuô
´
n s
´
ach n
`
ay c
´
o c
´
ach không
cho sao ch

´
ep ch
˜
u
,
Vi
.
êt, c
´
ac b
.
an th
,
u
,
xem nh
´
e.
H
`
a N
.
ôi, ng
`
ay 20 th
´
ang 9 n
˘
am 2013
Nguy

˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê
,
n
51
GD-05
89/176-05 M
˜
a sô
´
: 8I092M5
M
.
uc l
.
uc
L
`
o
,
i n
´
oi
¯
dâ
`

u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
M
.
uc l
.
uc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Chu
,
o
,
ng 15. Ðê
`
thi olympic to
´
an Ireland . . . . . . . . . . . . . . . 6
15.1. Ðê
`
b
`
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
15.2. L
`
o
,
i gi
,
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Chu
,
o

,
ng 16. Ðê
`
thi olympic to
´
an Poland . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
16.1. Ðê
`
b
`
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
16.2. L
`
o
,
i gi
,
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Chu
,
o
,
ng 17. Ðê
`
thi olympic to
´
an Czech v
`
a Slovak. . . . . . . . . . 17
17.1. Ðê

`
b
`
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
17.2. L
`
o
,
i gi
,
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Chu
,
o
,
ng 18. Ðê
`
thi olympic to
´
an Nh
.
ât B
,
an . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
18.1. Ðê
`
b
`
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
18.2. L

`
o
,
i gi
,
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Chu
,
o
,
ng 19. Ðê
`
thi olympic to
´
an Korea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
19.1. Ðê
`
b
`
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
19.2. L
`
o
,
i gi
,
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Chu
,
o

,
ng 20. Ðê
`
thi Olympic To
´
an Nga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
20.1. Ðê
`
b
`
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
20.2. L
`
o
,
i gi
,
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Chu
,
o
,
ng 21. Ðê
`
thi olympic to
´
an Ð
`
ai Loan . . . . . . . . . . . . . . . 34
21.1. Ðê

`
b
`
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4
M
.
UC L
.
UC 5
21.2. L
`
o
,
i gi
,
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Chu
,
o
,
ng 22. Ðê
`
thi olympic to
´
an Thô
,
Nh
˜
ı K

`
ı . . . . . . . . . . . . . 38
22.1. Ðê
`
b
`
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
22.2. L
`
o
,
i gi
,
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
T
`
ai li
.
êu tham kh
,
ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
CHU
,
O
,
NG 15
Ð
`
Ê THI OLYMPIC TO
´

AN IRELAND
15.1. Ðê
`
b
`
ai
B
`
ai 15.1. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang nê
´
u x l
`
a m
.
ôt sô
´
th
.
u
,
c kh
´
ac không th

`
ı.
x
8
− x
5
−
1
x
+
1
x
4
≥ 0.
B
`
ai 15.2. Ðiê
,
m P n
`
˘
am bên trong m
.
ôt tam gi
´
ac
¯
dê
`
u v

`
a kho
,
ang c
´
ach c
,
ua n
´
o
t
´
o
,
i 3
¯
d
,
ınh l
`
a 3,4,5.T
`
ım di
.
ên t
´
ıch tam gi
´
ac
¯

d
´
o.
B
`
ai 15.3. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang không c
´
o sô
´
nguyên n
`
ao d
.
ang xyxy trong h
.
ê th
.
âp
phân c
´
o thê
,
l

`
a 1 l
˜
uy th
`
u
,
a b
.
âc 3 c
,
ua m
.
ôt sô
´
nguyên.T
`
u
,
¯
d
´
o t
`
ım h
.
ê b phân v
´
o
,

i
b >1 . M
`
a trong
¯
d
´
o c
´
o 1 d
.
ang l
˜
uy th
`
u
,
b
.
âc 3 c
,
ua d
.
ang xyxy.
B
`
ai 15.4. Ch
´
u
,

ng minh r
`
˘
ang m
.
ôt h
`
ınh tr
`
on b
´
an k
´
ınh b
`
˘
ang 2 c
´
o thê
,
bao ph
,
u
b
,
o
,
i 7 (c
´
o thê

,
chô
`
ng ch
´
eo nhau) h
`
ınh tr
`
on b
´
an kinh b
`
˘
ang1.
B
`
ai 15.5. Nê
´
u x l
`
a sô
´
th
.
u
,
c,x
2
− x l

`
a sô
´
nguyên v
`
a n ≥ 3, x
n
− x l
`
a sô
´
nguyên.Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang x l
`
a m
.
ôt sô
´
nguyên.
B
`
ai 15.6. T
`
ım tâ

´
t c
,
a sô
´
nguyên n c
´
o 16 u
,
´
o
,
c du
,
o
,
ng t
´
ach r
`
o
,
i nhau
d
1
, d
2
, d
3
, , d

16
m
`
a
1 = d
1
< d
2
< d
3
< < d
16
= n, d
6
= 18, d
9
− d
8
= 17.
B
`
ai 15.7. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang nê
´

u a, b, c l
`
a c
´
ac sô
´
th
.
u
,
c du
,
o
,
ng th
`
ı:
9
a + b + c
≤ 2(
1
a + b
+
1
b + c
+
1
c + a
) (15.1)
v

`
a
1
a + b
+
1
b + c
+
1
c + a
≤
1
2
(
1
a
+
1
b
+
1
c
) (15.2)
B
`
ai 15.8. ( a ) Ch
´
u
,
ng minh r

`
˘
ang N c
´
o thê
,
viê
´
t du
,
´
o
,
i d
.
ang t
.
âp h
.
o
,
p c
,
ua 3 t
.
âp
r
`
o
,

i r
.
ac ∀m, nv
´
o
,
i |m − n| = 2, 5 n
`
˘
am trong t
.
âp h
.
o
,
p kh
´
ac .
Nguy
˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê
,
n, 7
( b) Ch
´
u

,
ng minh r
`
˘
ang N c
´
o thê
,
viê
´
t du
,
´
o
,
i d
.
ang t
.
âp h
.
o
,
p c
,
ua 4 r
`
o
,
i r

.
ac
∀m, nv
´
o
,
i |m − n| = 2, 3, 5 n
`
˘
am trong t
.
âp h
.
o
,
p kh
´
ac. t
`
u
,
¯
d
´
o suy ra không x
,
ay
ra
¯
diê

`
u n
`
ay v
´
o
,
i 3 t
.
âp h
.
o
,
p.
B
`
ai 15.9. Cho d
˜
ay sô
´
th
.
u
,
c
{
x
n
}
v

´
o
,
i x
0
, x
1
∈ R v
`
a x
n+2
=
1+x
n+1
x
n
, n = 0, 1, 2,
.T
`
ım x
1998
.
B
`
ai 15.10. Cho tam gi
´
ac ABC c
´
o


A = 2

B v
`
a

C > 90
0
. T
`
ım chiê
`
u d
`
ai tô
´
i
thiê
,
u c
,
ua chu vi tam gi
´
ac ABC.
15.2. L
`
o
,
i gi
,

ai
L
`
o
,
i gi
,
ai 15.1. Ta c
´
o:
x
8
− x
5
−
1
x
+
1
x
4
= x
5
(x
3
− 1) −
x
3
− 1
x

4
=
(x
9
− 1)(x
3
− 1)
x
4
v
`
ı x
4
> 0; x
9
− 1 v
`
a x
3
− 1 c
`
ung dâ
´
u nên biê
,
u th
´
u
,
c luôn luôn l

´
o
,
n ho
,
n ho
.
˘
ac
b
`
˘
ang không.
L
`
o
,
i gi
,
ai 15.2. G
.
oi c
´
ac
¯
d
,
ınh c
,
ua tam gi

´
ac
¯
dê
`
u l
`
a A,B,C.Nhu
,
v
.
ây:
PA = 3, PB = 4, PC = 5.
Xoay ABC m
.
ôt g
´
oc 60
0
xung quanh
¯
diê
,
m A
¯
dê
,
c
´
ac c

.
anh AB v
`
a AC tr
`
ung
nhau.G
.
oi X l
`
a
,
anh c
,
ua
¯
diê
,
m P khi
¯
d
´
o:
PX = 3, PX = 4, PX = 5.
Do
¯
d
´
o PX⊥CX,APX tr
,

o
,
th
`
anh tam gi
´
ac
¯
dê
`
u.
´
Ap d
.
ung
¯
d
.
inh l
´
ı h
`
am sô
´
côsin
ta c
´
o:
AC =
√

3
2
+ 4
2
− 2.3.4. cos 150
0
=

25 + 12.
√
3.
v
`
a di
.
ên t
´
ıch tam gi
´
ac ABC l
`
a 25.
√
3
4
+ 9.
L
`
o
,

i gi
,
ai 15.3. Nê
´
u sô
´
c
´
o 4 ch
˜
u
,
sô
´
xyxy = 101.xy l
`
a l
˜
uy th
`
u
,
a b
.
âc 3 ⇒ 101|xy
l
`
a mâu thu
˜
ân.Biê

´
n
¯
dô
,
i xyxy = 101.xy t
`
u
,
h
.
ê b phân sang h
.
ê th
.
âp phân ta t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c.xyxy = (b
2
+ 1)(bx + y) v
´
o
,

i x, y < b v
`
a b
2
+ 1 > bx + y.
8 Chu
,
o
,
ng 15. Ðê
`
thi olympic to
´
an Ireland
Do
¯
d
´
o
¯
dê
,
xyxy l
`
a l
˜
uy th
`
u
,

a b
.
âc 3 ⇔ b
2
+1 chia hê
´
t cho m
.
ôt b
`
ınh phu
,
o
,
ng.D
˜
ê
thâ
´
y b = 7 l
`
a sô
´
nh
,
o nhâ
´
t th
,
oa m

˜
an vô
´
i b
2
+ 1 = 50. l
˜
uy th
`
u
,
a b
.
âc 3 nh
,
o nhâ
´
t
chia hê
´
t cho 50 l
`
a 1000 .v
`
a sô
´
xyxy ch
´
ınh l
`

a sô
´
2626 trong h
.
ê 7 phân.
L
`
o
,
i gi
,
ai 15.4. Ch
´
ung ta cho 7 h
`
ınh l
.
uc gi
´
ac
¯
dê
`
u c
.
anh b
`
˘
ang 1 v
`

ao trong m
.
ôt
h
`
ınh l
.
uc gi
´
ac
¯
dê
`
u bên trong h
`
ınh d
.
ang tô
,
ong
,
o
,
gi
˜
u
,
a.V
´
o

,
i m
˜
ôi c
.
anh c
,
ua n
´
o
g
´
˘
an liê
`
n v
´
o
,
i c
.
anh c
,
ua h
`
ınh l
.
uc gi
´
ac nh

,
o.
Kê
´
t qu
,
a cho thâ
´
y r
`
˘
ang m
.
ôt h
`
ınh tr
`
on b
´
an k
´
ınh b
`
˘
ang 2 c
´
o thê
,
bao ph
,

u b
,
o
,
i
7 h
`
ınh tr
`
on b
´
an k
´
ınh b
`
˘
ang 1.
L
`
o
,
i gi
,
ai 15.5. Ð
.
˘
at z = x
2
− x;( z l
`

a sô
´
nguyên ).G
,
ai phu
,
o
,
ng tr
`
ınh x
2
− x − z =
0.Ta c
´
o x =
1±
√
a
2
v
´
o
,
i a = 1+4z. v
`
ı x
n
−x = x(x−1)(x
n−2

+x
n−3
+x
n−4
+ +1).Ta
c
´
o:
x
n−2
+ x
n−3
+ x
n−4
+ + 1 =
n−2

i =0
x
i
=
x
n
− x
x
2
− x
.
l
`

a m
.
ôt sô
´
h
˜
u
,
u t
,
ı.Ta câ
`
n c
´
o x l
`
a m
.
ôt sô
´
h
˜
u
,
u t
,
ı.Ch
´
u
,

ng minh
¯
diê
`
u câ
`
n c
´
o b
`
˘
ang
phu
,
o
,
ng ph
´
ap ph
,
an ch
´
u
,
ng.Gi
,
a s
,
u
,

x không ph
,
ai l
`
a sô
´
h
˜
u
,
u t
,
ı suy ra c
´
o hai
tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p.
(a) x =
1+
√
a
2

⇒ m
.
oi kh
,
a n
˘
ang c
,
ua x ch
,
ı c
´
o thê
,
l
`
a d
.
ang α + β
√
a v
´
o
,
i α, β
l
`
a sô
´
h

˜
u
,
u t
,
ı du
,
o
,
ng.
⇒

n−2
i =0
x
i
= α
/
+ β
/
√
a. Tô
,
ng l
`
a 1 sô
´
không ph
,
ai l

`
a sô
´
h
˜
u
,
u t
,
ı .Trong
¯
d
´
o
α
/
, β
/
l
`
a sô
´
h
˜
u
,
u t
,
ı du
,

o
,
ng.
(b) x =
1−
√
a
2
⇒ m
.
oi kh
,
a n
˘
ang c
,
ua x ch
,
ı c
´
o thê
,
l
`
a d
.
ang α + β
√
a v
´

o
,
i α l
`
a
sô
´
h
˜
u
,
u t
,
ı du
,
o
,
ng,β l
`
a sô
´
h
˜
u
,
u t
,
ı âm.
V
`

ı c
˘
an b
.
âc hai
¯
du
,
.
o
,
c gi
˜
u
,
nguyên khi v
`
a ch
,
ı khi −
√
a t
˘
ang lên th
`
anh
không.kh
,
˘
a n

˘
ang gi
˜
u
,
nguyên sô
´
< 0.Do
¯
d
´
o tô
,
ng l
`
a α
/
+ β
/
√
a Trong
¯
d
´
o α
/
l
`
a
sô

´
h
˜
u
,
u t
,
ı âm,β
/
l
`
a sô
´
h
˜
u
,
u t
,
ı du
,
o
,
ng.V
`
a 1 lâ
`
n n
˜
u

,
a tô
,
ng không l
`
a 1 sô
´
h
˜
u
,
u t
,
ı.⇒
c
,
a hai tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p
¯
dê
`
u mâu thu

˜
ân.
⇒ x ph
,
ai l
`
a sô
´
h
˜
u
,
u t
,
ı.Ð
.
˘
at x =
p
q
v
´
o
,
i UCLN (p, q) = 1 do
¯
d
´
o.
z = x

2
− x =
p(p − q)
q
2
.
Nguy
˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê
,
n, 9
Tuy nhiên UCLN (p, q) = 1cho thâ
´
y .
UCLN (p(p − q), q) = UCLN (p − q, q) = UCLN (p, q) = 1.
V
`
ı thê
´
z l
`
a m
.
ôt sô
´
nguyên ⇔ p = 1 ⇔ x = p l

`
a 1 sô
´
nguyên.
L
`
o
,
i gi
,
ai 15.6. Ta c
´
o:n = p
a
1
1
p
a
2
2
p
a
m
m
.V
´
o
,
i p
1

, p
2
, , p
m
l
`
a c
´
ac sô
´
nguyên tô
´
¯
dôi m
.
ôt kh
´
ac nhau.
khi
¯
d
´
o n c
´
o (a
1
+ 1)(a
2
+ 1) (a
n

+ 1) u
,
´
o
,
c.T
`
u
,
18 = 2.3
2
,c
´
o 6 u
,
´
o
,
c
l
`
a:1,2,3,6,9,18. d c
´
o 16 u
,
´
o
,
c.Ch
´

ung ta biê
´
t r
`
˘
ang:d = 2.3
3
.p ho
.
˘
ac d = 2.3
7
.
Nê
´
u d = 2.3
7
th
`
ı d
8
= 54, d
9
= 81 v
`
a d
9
− d
8
 = 17.do

¯
d
´
o d = 2.3
3
.p v
´
o
,
i
sô
´
nguyên tô
´
p > 18.Nê
´
u p < 27 th
`
ı:d
7
= p, d
8
= 27, d
9
= 2p = 27 + 17 =
44 ⇒ p = 22.Do
¯
d
´
o mâu thu

˜
ân.
V
`
ı v
.
ây p > 27. Nê
´
u p < 54 th
`
ı d
7
= 27, d
8
= p, d
9
= 54 = d
8
+ 17 ⇒
p = 37.Nê
´
u p > 54 th
`
ı d
7
= 27, d
8
= 54, d
9
= d

8
+ 17 = 71. khi
¯
d
´
o ta c
´
o hai
sô
´
câ
`
n t
`
ım l
`
a.
2.3
3
.37 = 1998, 2.3
3
.71 = 3834.
L
`
o
,
i gi
,
ai 15.7. Bâ
´

t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c (1) c
´
o
¯
du
,
.
o
,
c tr
.
u
,
c tiê
´
p t
`
u
,
bâ
´

t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c AM-HM
ho
.
˘
ac Cauchy-schwarz.
9
(a + b) + (b + c) + (c + a)
≤
1
a + b
+
1
b + c
+
1
c + a
.
⇔
9
a + b + c
≤ 2(

1
a + b
+
1
b + c
+
1
c + a
).
Ch
´
ung ta c
´
o thê
,
s
,
u
,
d
.
ung bâ
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´

u
,
c Jensen’s.V
´
o
,
i f (x) =
1
x
l
`
a h
`
am
lô
`
i.Theo b
´
˘
at
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c Jensen’s ta c
´

o:
f (a + b) + f (b + c) + f (c + a)
3
≥ f (
(a + b) + (b + c) + (c + a)
3
).
⇒
1
a+b
+
1
b+c
+
1
c+a
3
≥
3
(a + b) + (b + c) + (c + a)
.
⇔
9
a + b + c
≤ 2(
1
a + b
+
1
b + c

+
1
c + a
).
10 Chu
,
o
,
ng 15. Ðê
`
thi olympic to
´
an Ireland
Theo b
´
˘
at
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c Jensen’s ta c
´
o:
f (a) + f (b)
2

≥ f (
a + b
2
) ⇒
1
a
+
1
b
2
≥
2
a + b
.
f (b) + f (c)
2
≥ f (
b + c
2
) ⇒
1
b
+
1
c
2
≥
2
b + c
.

f (c) + f (a)
2
≥ f (
c + a
2
) ⇒
1
c
+
1
a
2
≥
2
c + a
.
C
.
ông vê
´
v
´
o
,
i vê
´
3 bâ
´
t
¯

d
,
˘
ang th
´
u
,
c trên ta
¯
du
,
.
o
,
c:
1
a + b
+
1
b + c
+
1
c + a
≤
1
2
(
1
a
+

1
b
+
1
c
).
L
`
o
,
i gi
,
ai 15.8. (a) D
˜
ê d
`
ang kiê
,
m tra t
.
âp h
.
o
,
p:
{3k + 1}
k∈N
, {3k + 2}
k∈N
, {3k}

k∈N
Th
,
oa m
˜
an
¯
diê
`
u ki
.
ên.
(b) chu
,
´
o
,
c hê
´
t ch
´
u
´
y r
`
˘
ang t
.
âp h
.

o
,
p :
{4k + 1}
k∈N
, {4k + 2}
k∈N
, {3k + 3}
k∈N
, {4k}
k∈N
Th
,
oa m
˜
an
¯
diê
`
u ki
.
ên.
Ta ch
´
u
,
ng minh hai m
.
ênh
¯

dê
`
trên b
`
˘
ang ph
,
an ch
´
u
,
ng.Gi
,
a s
,
u
,
A,B,C th
,
oa
m
˜
an
¯
diê
`
u ki
.
ên.C
´

ac sô
´
1,3,6 ph
,
ai
,
o
,
c
´
ac t
.
âp kh
´
ac nhau,ta gi
,
a s
,
u
,
r
`
˘
ang 1 ∈
A; 3 ∈ B; 6 ∈ C ⇒ 4 ∈ B.Ch
,
u
´
y r
`

˘
ang 2, 5 /∈ B v
`
a 2, 5
,
o
,
c
´
ac t
.
âp h
.
o
,
p
kh
´
ac nhau d
˜
ân t
´
o
,
i hai tru
,
`
o
,
ng h

.
o
,
p. {1; 2} ⊂ A, {3; 4} ⊂ B, {5; 6} ⊂ C. ho
.
˘
ac
{1; 5} ⊂ A, {3; 4} ⊂ B, {2; 6} ⊂ C.
C
,
a hai tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p trên
¯
dê
`
u không thê
,
¯
d
.
˘
at 7 v

`
ao 1 trong 3 t
.
âp
¯
du
,
.
o
,
c
⇒
¯
dpcm.
L
`
o
,
i gi
,
ai 15.9. Ta c
´
o:
x
2
=
1 + x
1
x
0

, x
3
=
x
0
+ x
1
+ 1
x
0
x
1
, x
4
=
1 + x
0
x
1
.
V
`
a x
5
= x
0
, x
6
= x
1

.Do
¯
d
´
o x
k
l
.
˘
ap l
.
ai sau 5 sô
´
v
`
a x
1998
= x
3
=
x
0
+x
1
+1
x
0
x
1
.

Nguy
˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê
,
n, 11
L
`
o
,
i gi
,
ai 15.10. Ð
.
˘
at BC = a, CA = b, AB = c.Ta c
´
o A = 2B v
`
a C = 180
0
−
3B.Theo
¯
d
.
inh l

´
ı h
`
am sô
´
sin:
b
sinB
=
a
sinA
=
c
sinC
.
c
´
o sinA = sin2B = 2sinBcosB v
`
a sinC = sin3B = 3sinB − 4sin
3
B,ta c
´
o
a = 2bcosB, c = b(3 − 4sin
2
B) = b(4cos
2
− 1)
V

`
a a
2
= b(b + c).Do ta
¯
dang t
`
ım m
.
ôt h
`
ınh tam gi
´
ac c
´
o chu vi nh
,
o nhâ
´
t.Gi
,
a
s
,
u
,
UCLN (a, b, c) = 1,c
´
o UCLN(b, c) = 1.V
`

ı v
.
ây tô
`
n t
.
ai sô
´
m v
`
a m v
´
o
,
i
UCLN (m, m) = 1.Ta c
´
o b = m
2
, b + c = n
2
, a = mn, 2cosB =
n
m
=
a
b
. T
`
u

,
C > 90
0
, ch
´
ung ta c
´
o 0 < B < 30
0
v
`
a
√
3 < 2cosB =
n
m
< 2.
D
˜
ê d
`
ang kiê
,
m tra
¯
du
,
.
o
,

c c
.
˘
ap sô
´
(m, n) = (4, 7) l
`
a c
.
˘
ap nh
,
o nhâ
´
t t
.
ao ra m
.
ôt tam
gi
´
ac c
´
o c
´
ac c
.
anh (a, b, c) = (28, 16, 33)
¯
d

´
ap
´
u
,
ng
¯
du
,
.
o
,
c c
´
ac
¯
diê
`
u ki
.
ên c
,
ua b
`
ai
to
´
an.
CHU
,

O
,
NG 16
Ð
`
Ê THI OLYMPIC TO
´
AN POLAND
16.1. Ðê
`
b
`
ai
B
`
ai 16.1. T
`
ım tâ
´
t c
,
a c
´
ac sô
´
nguyên(a, b, c, x, y, z) th
,
oa m
˜
an

a + b + c = xyz
x + y + z = abc
v
`
aa ≥ b ≥ c ≥ 1, x ≥ y ≥ z ≥ 1
B
`
ai 16.2. D
˜
ay Fibonacci F
n
¯
du
,
.
o
,
c cho b
,
o
,
i
F
0
= F
1
= 1, F
n+2
= F
n+1

= F
n
(n = 0, 1 . . .)
. X
´
ac
¯
d
.
inh tâ
´
t c
,
a c
´
ac c
.
˘
ap sô
´
nguyên (k, m) v
´
o
,
i m > k ≥ 0, m
`
a d
˜
ay x
n

x
´
ac
¯
d
.
inh b
,
o
,
i x
0
= F
k
/F
m
v
`
a
x
n+1
=
2x
n
− 1
1 − x
n
nê
´
u x

n
 = 1, x
n+1
= 1 nê
´
u x
n
= 1
ch
´
u
,
a sô
´
1.
B
`
ai 16.3. Cho ng
˜
u gi
´
ac lô
`
i ABCDE l
`
a
¯
d
´
ay c

,
ua h
`
ınh ch
´
op ABCDES.
M
.
ôt m
.
˘
at ph
,
˘
ang c
´
˘
at c
´
ac c
.
anh bên SA, SB, SC, SD, SE tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng t

.
ai
c
´
ac
¯
diê
,
m A

, B

, C

, D

, E

, không tr
`
ung v
´
o
,
i c
´
ac
¯
d
,

ınh c
,
ua h
`
ınh ch
´
op.
Ch
´
u
,
ng minh c
´
ac
¯
diê
,
m giao nhau c
,
ua c
´
ac
¯
du
,
`
o
,
ng ch
´

eo c
,
ua c
´
ac t
´
u
,
gi
´
ac
ABB

A

, BCC

D

, CDD

C

, DEE

D

, EAA

E


n
`
˘
am trên c
`
ung m
.
ôt m
.
˘
at ph
,
˘
ang.
B
`
ai 16.4. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang d
˜
ay a
n
x
´

ac
¯
d
.
inh b
,
o
,
i a
1
= 1 v
`
a
a
n
= a
n−1
+ a
n/2
n = 2, 3, 4, . . .
ch
´
u
,
a vô h
.
an sô
´
nguyên chia hê
´

t cho 7.
Nguy
˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê
,
n, 13
B
`
ai 16.5. C
´
ac
¯
diê
,
m D, E n
`
˘
am trên c
.
anh AB c
,
ua tam gi
´
ac ABC v
`
a th

,
oa m
˜
an
AD
DB
.
AE
EB
= (
AC
CB
)
2
. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang

ACD =

BCE.
B
`
ai 16.6. X
´

et h
`
ınh vuông
¯
do
,
n v
.
i trong m
.
˘
at ph
,
˘
ang c
´
o
¯
d
,
ınh c
´
o t
.
oa
¯
d
.
ô l
`

a c
´
ac
sô
´
nguyên. Cho S l
`
a b
`
an c
`
o
,
m
`
a trong
¯
d
´
o tâ
´
t c
,
a c
´
ac h
`
ınh vuông
¯
do

,
n v
.
i n
`
˘
am
ho
`
an to
`
an bên trong
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on x
2
+ y
2
≥ 1998
2
. Trong m
˜
ôi ô vuông c
,

ua
S ta viê
´
t +1. M
.
ôt thay
¯
dô
,
i bao gô
`
m
¯
d
,
ao ngu
,
.
o
,
c dâ
´
u c
,
ua m
.
ôt h
`
ang, c
.

ôt ho
.
˘
ac
¯
du
,
`
o
,
ng ch
´
eo c
,
ua S. Ch
´
ung ta c
´
o thê
,
kê
´
t th
´
uc v
´
o
,
i ch
´

ınh x
´
ac m
.
ôt h
`
ınh vuông
ch
´
u
,
a −1.
16.2. L
`
o
,
i gi
,
ai
L
`
o
,
i gi
,
ai 16.1. Ðâ
`
u tiên ta cho r
`
˘

ang
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt trong hai gi
´
a tr
.
i bc v
`
a yz c
´
o
gi
´
a tr
.
i nh
,
o ho
,
n 3. Nê
´
u bc = 3, th
`
ı b = 3, c = 1, a + b + c < 3a = abc; nê
´
u

bc > 3 th
`
ı abc > 3a ≥ a + b + c. V
`
ı v
.
ây v
´
o
,
i bc > 3, ta c
´
o abc > a + b + c v
`
a
3x ≥ x + y + z = abc > a + b + c = xyz =⇒ 3 > yz
. Không gi
,
am tô
,
ng qu
´
at, gi
,
a s
,
u
,
yz = 1 ho
.

˘
ac 2.
Nê
´
u yz = 1, th
`
ı y = z = 1. Ta c
´
o
abc = x + y + z = x + 2 = xyz + 2 = a + b + c + 2
. Nê
´
u c ≥ 2, th
`
ı bc ≥ 4 v
`
a 4a ≥ abc = a+b+c+2 ≤ 4a; do
¯
d
´
o a = b = c = 2.
Ta
¯
du
,
.
o
,
c c
´

ac b
.
ô sô
´
th
,
oa m
˜
an (2, 2, 2, 6, 1, 1)v
`
a (6, 1, 1, 2, 2, 2). Nê
´
u c = 1,
th
`
ı ab = a+b+3. Nê
´
u b ≥ 3, th
`
ı 3a ≤ ab = a+b+3 ≥ 3a =⇒ a = b = 3. Ta
¯
du
,
.
o
,
c c
´
ac b
.

ô sô
´
(3, 3, 1, 7, 1, 1) v
`
a (7, 1, 1, 3, 3, 1). Nê
´
u b = 2, ta c
´
o a = 5
v
`
a c
´
ac b
.
ô sô
´
th
,
oa m
˜
an (5, 2, 1, 8, 1, 1) v
`
a (8, 1, 1, 5, 2, 1). Nê
´
u b = 1, ta c
´
o
a = a + 4, không c
´

o gi
´
a tr
.
i n
`
ao th
,
oa m
˜
an.
Nê
´
u yz = 2, th
`
ı y = 2, z = 1. Ta c
´
o
2abc = 2(x + y + z) = 2x + 6 = xyz + 6 = a + b + c + 6 ≤ 3a + 6
14 Chu
,
o
,
ng 16. Ðê
`
thi olympic to
´
an Poland
. Nê
´

u c ≥ 2, th
`
ı 8a ≤ 2abc ≤ 3a + 6 =⇒ 5a < 6,
¯
diê
`
u n
`
ay mâu thu
˜
ân
v
´
o
,
i a ≥ c. Do
¯
d
´
o c = 1, v
`
a 2ab = a + b + 7. Nê
´
u b ≥ 3, 6a ≤ 2ab =
a + b + 7 =⇒ a ≤ b/5 + 7/5,
¯
diê
`
u n
`

ay mâu thu
˜
ân v
´
o
,
i a ≥ b. Nê
´
u b = 2,
th
`
ı 4a = 2ab = a + 9 v
`
a a = 3. Ta c
´
o b
.
ô sô
´
th
,
oa m
˜
an (3, 2, 1, 3, 2, 1). Nê
´
u
b = 1, ta c
´
o a = 8, l
.

˘
ap l
.
ai kê
´
t qu
,
a (8, 1, 1, 5, 2, 1).
L
`
o
,
i gi
,
ai 16.2. Ta cho r
`
˘
ang (k, m) = (2l, 2l + 1) v
´
o
,
i m
.
oi sô
´
nguyên không âm
l. Ta c
´
o
x

n+1
=
2x
n
− 1
1 − x
n
=⇒ x
n
=
x
n+1
+ 1
x
n+1
+ 2
Ta d
`
ung phu
,
o
,
ng ph
´
ap quy n
.
ap
¯
dê
´

m ngu
,
.
o
,
c. Ta biê
´
t r
`
˘
ang
¯
dô
´
i v
´
o
,
i m
.
ôt v
`
ai
j, x
j
= 1 =
F
0
F
1

. Gi
,
a s
,
u
,
r
`
˘
ang x
p+1
=
F
2i
F
2i+1
. Khi
¯
d
´
o
x
p
=
F
2i
F
2i+1
+ 1
F

2i
F
2i+2
+ 2
=
F
2i+2
F
2i+3
¯
diê
`
u
¯
d
´
o suy ra x
0
=
F
2l
F
2l+1
v
`
a (k, m) = (2l, 2l + 1), v
´
o
,
i sô

´
nguyên l ≥ 0. Ðô
´
i
v
´
o
,
i bâ
´
t k
`
y sô
´
nguyên không âm l, d
˜
ê d
`
ang kiê
,
m tra x
0
=
F
2l
F
2l+1
t
.
ao th

`
anh
chu
˜
ôi th
,
oa m
˜
an
¯
diê
`
u ki
.
ên
¯
dê
`
b
`
ai.
L
`
o
,
i gi
,
ai 16.3. G
.
oi A

1
, B
1
, C
1
, D
1
, E
1
l
`
a c
´
ac
¯
diê
,
m giao nhau c
,
ua c
´
ac
¯
du
,
`
o
,
ng
ch

´
eo c
,
ua c
´
ac t
´
u
,
gi
´
ac ABB

A

, BCC

D

, CDD

C

, DEE

D

, EAA

E


. G
.
oi l l
`
a
giao tuyê
´
n c
,
ua hai m
.
˘
at ph
,
˘
ang w
1
v
`
a w
2
k
´
ı hi
.
êu tu
,
o
,

ng
´
u
,
ng hai m
.
˘
at ph
,
˘
ang
BACDE v
`
a A

B

C

D

E

.G
.
oi w l
`
a m
.
˘

at ph
,
˘
ang ch
´
u
,
a
¯
diê
,
m A
1
v
`
a
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang l.
Ðu
,
`
o

,
ng th
,
˘
ang AC n
`
˘
am trên m
.
˘
at ph
,
˘
ang w
1
v
`
a SAA

CC

. v
`
a
¯
du
,
`
o
,

ng th
,
˘
ang A

C

n
`
˘
am trên m
.
˘
at ph
,
˘
ang w
2
v
`
a SA

ACC

. V
`
ı v
.
ây, c
´

ac
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang AC, A

C

, l
¯
dô
`
ng ph
,
˘
ang; g
.
oi K l
`
a giao c
,
ua c
´
ac

¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang n
`
ay.Ch
´
u
´
y r
`
˘
ang A
1
v
`
a B
1
n
`
˘
am trên c
´
ac m

.
˘
at ph
,
˘
ang AB

C v
`
a A

BC

. V
`
ı v
.
ây, c
´
ac m
.
˘
at ph
,
˘
ang n
`
ay c
´
˘

at
nhau theo giao tuyê
´
n A
1
B
1
. Nhu
,
ng K n
`
˘
am trên c
,
a hai
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang AC v
`
a
A

C


, do
¯
d
´
o K n
`
˘
am trên c
,
a hai m
.
˘
at ph
,
˘
ang AB

C v
`
a A

BC

. R
˜
o r
`
ang m
.

˘
at ph
,
˘
ang
AB

C không song song v
´
o
,
i m
.
˘
at ph
,
˘
angA

BC

,v
`
a v
`
ı v
.
ây ch
´
ung c

´
˘
at nhau theo
Nguy
˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê
,
n, 15
m
.
ôt
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang. Do
¯
d
´
o, A
1

, B
1
, K
¯
dô
`
ng ph
,
˘
ang, t
`
u
,
¯
d
´
o suy ra B
1
∈ w. Tu
,
o
,
ng
t
.
u
,
, ta c
´
o thê

,
ch
,
ı ra r
`
˘
ang C
1
n
`
˘
am trên m
.
˘
at ph
,
˘
ang ch
´
u
,
a B
1
v
`
a l, tr
`
ung v
´
o

,
i m
.
˘
at
ph
,
˘
ang w. Do
¯
d
´
o, A
1
, B
1
, C
1
, D
1
, E
1
c
`
ung n
`
˘
am trên m
.
˘

at ph
,
˘
ang w.
L
`
o
,
i gi
,
ai 16.4. Ta ch
´
u
,
ng minh b
`
ai to
´
an b
`
˘
ang ph
,
u
¯
d
.
inh. Gi
,
a s

,
u
,
r
`
˘
ang ch
,
ı c
´
o
h
˜
u
,
u h
.
an sô
´
nguyên trong d
˜
ay chia hê
´
t cho 7 v
`
a a
k
l
`
a sô

´
h
.
ang cuô
´
i c
`
ung c
,
ua
d
˜
ay.Khi
¯
d
´
o ta thâ
´
y
a
2k−1
≡ a
2k
≡ a
2k+1
≡ a ≡ 0 (mod7)
Khi
¯
d
´

o, bâ
,
y sô
´
h
.
ang
¯
dâ
`
u tiên c
`
ung v
´
o
,
i a
4k−3
s
˜
e c
´
o sô
´
du
,
kh
´
ac nhau khi chia
cho 7. Th

.
ât v
.
ây, v
´
o
,
i n = 0, 1, . . . , 6, a
4k−3+n
≡ a
4k−3
+na(mod7). Mâu thu
˜
ân
v
´
o
,
i
¯
diê
`
u gi
,
a s
,
u
,
. V
.

ây c
´
o vô h
.
an sô
´
nguyên chia hê
´
t cho 7.
L
`
o
,
i gi
,
ai 16.5.
´
Ap d
.
ung
¯
d
.
inh l
´
ı sin ta c
´
o
AD
DB

.
AE
EB
= (
sinB
sinA
)
2
. G
.
oi θ =

ACD, φ =

ECB, α =

DCE. Tiê
´
p t
.
uc
´
ap d
.
ung
¯
d
.
inh l
´

ı sin ta
¯
du
,
.
o
,
c
CD
sinA
=
AD
sinθ
v
`
a
DE
sinB
=
BE
sinφ
. Chia theo vê
´
c
,
ua hai
¯
d
,
˘

ang th
´
u
,
c trên ta
¯
du
,
.
o
,
c
CDsinB
CEsinA
=
ADsinφ
BEsinθ
⇐⇒
CDsinB
CEsinA
=
BDsin
2
Bsinφ
AEsin
2
Asinθ
⇐⇒
CD
CE

=
BDsinBsinφ
AEsinAsinθ
⇐⇒
CD.AEsinA
CE.DBsinB
=
sinφ
sinθ
Do
¯
d
´
o,
sinAsinBsin(θ + α)
sinBsin(φ + α)sinA
=
sinφ
sinθ
⇐⇒ sin(θ + α)sinθ = sinφsin(φ + α)
16 Chu
,
o
,
ng 16. Ðê
`
thi olympic to
´
an Poland
⇐⇒ cos(2θ + α) − cosα = cos(2φ + α)

. T
`
u
,
(2θ + α) + (2φ + α) = 2

C < 360
0
, 2θ + α = 2φ + α v
`
a do
¯
d
´
o

ACD = θ =
φ =

BCE.
L
`
o
,
i gi
,
ai 16.6. Câu tr
,
a l
`

o
,
i l
`
a không. Do t
´
ınh
¯
dô
´
i x
´
u
,
ng, m
˜
ôi h
`
ang c
,
ua S c
´
o m
.
ôt
sô
´
ch
˜
˘

an h
`
ınh vuông.Tru
,
´
o
,
c khi di chuyê
,
n m
.
ôt h
`
ang c
.
u thê
,
, gi
,
a s
,
u
,
r
`
˘
ang tô
,
ng
tâ

´
t c
,
a c
´
ac sô
´
trên h
`
ang l
`
a 2n − 2k, v
´
ı d
.
u, c
´
o k h
`
ınh vuông c
´
o sô
´
l
`
a −1 v
`
a
2n − k h
`

ınh vuông c
´
o sô
´
1 trên h
`
ang
¯
d
´
o. Sau khi di chuyê
,
n, h
`
ang
¯
d
´
o c
´
o tô
,
ng
l
`
a 2k − 2n v
`
a tô
,
ng tâ

´
t c
,
a c
´
ac sô
´
thay
¯
dô
,
i b
`
˘
ang m
.
ôt b
.
ôi c
,
ua 4. Tu
,
o
,
ng t
.
u
,
nhu
,

v
.
ây v
´
o
,
i c
´
ac c
.
ôt v
`
a c
´
ac
¯
du
,
`
o
,
ng ch
´
eo. Do
¯
d
´
o, tô
,
ng tâ

´
t c
,
a c
´
ac sô
´
chia 4 c
´
o du
,
.
Ð
,
e c
´
o ch
´
ınh x
´
ac m
.
ôt h
`
ınh vuông ch
´
u
,
a −1 th
`

ı tâ
´
t c
,
a c
´
ac tô
,
ng thay
¯
dô
,
i b
,
o
,
i 2
mod 4;
¯
diê
`
u n
`
ay vi ph
.
am t
´
ınh bâ
´
t biê

´
n c
,
ua ch
´
ung ta.
CHU
,
O
,
NG 17
Ð
`
Ê THI OLYMPIC TO
´
AN CZECH V
`
A
SLOVAK
17.1. Ðê
`
b
`
ai
B
`
ai 17.1. T
`
ım tâ
´

t c
,
a c
´
ac sô
´
th
.
u
,
c x th
,
oa m
˜
an:
xxxx = 88
B
`
ai 17.2. Cho 14 sô
´
t
.
u
,
nhiên kh
´
ac nhau, c
´
o tô
`

n t
.
ai k ∈
{
1, . . . , 7
}
m
`
a c
´
o thê
,
chia th
`
anh c
´
ac t
.
âp con k phâ
`
n t
,
u
,
{
a
1
, . . . , a
k
}

v
`
a
{
b
1
, . . . , b
k
}
t
`
u
,
14 sô
´
trên
sao cho c
´
ac tô
,
ng
A =
1
a
1
+ · · · +
1
a
k
, B =

1
b
1
+ · · · +
1
b
k
ho
,
n k
´
em nhau 0,001.
B
`
ai 17.3. M
.
ôt m
.
˘
at câ
`
u n
.
ôi tiê
´
p t
´
u
,
di

.
ên ABCD. Bô
´
n m
.
˘
at tiê
´
p x
´
uc v
´
o
,
i m
.
˘
at câ
`
u
song song v
´
o
,
i bô
´
n m
.
˘
at c

,
ua t
´
u
,
di
.
ên t
.
ao th
`
anh bô
´
n t
´
u
,
di
.
ên nh
,
o.Ch
´
u
,
ng minh
r
`
˘
ang tô

,
ng
¯
d
.
ô d
`
ai c
´
ac c
.
anh c
,
ua bô
´
n t
´
u
,
di
.
ên nh
,
o b
`
˘
ang hai lâ
`
n tô
,

ng
¯
d
.
ô d
`
ai c
´
ac
c
.
anh c
,
ua t
´
u
,
di
.
ên ABCD.
B
`
ai 17.4. Trong m
.
˘
at ph
,
˘
ang cho m
.

ôt
¯
diê
,
m A n
`
˘
am ngo
`
ai m
.
ôt
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on k. V
˜
e
c
´
ac
¯
du
,
`

o
,
ng ch
´
eo c
,
ua m
.
ôt h
`
ınh thang bâ
´
t k
`
y n
`
˘
am trong k, k
´
eo d
`
ai c
.
anh bên
c
,
ua h
`
ınh thang g
.

˘
ap nhau t
.
ai A
B
`
ai 17.5. Cho a, b, c l
`
a c
´
ac sô
´
th
.
u
,
c du
,
o
,
ng. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang tô
`
n t

.
ai m
.
ôt tam
gi
´
ac v
´
o
,
i c
´
ac c
.
anh a, b, c nê
´
u v
`
a ch
,
ı nê
´
u tô
`
n t
.
ai c
´
ac sô
´

th
.
u
,
c x, y, z th
,
oa m
˜
an
y
z
+
z
y
=
a
x
,
z
x
+
x
z
=
b
y
,
x
y
+

y
x
=
c
z
.
18 Chu
,
o
,
ng 17. Ðê
`
thi olympic to
´
an Czech v
`
a Slovak
17.2. L
`
o
,
i gi
,
ai
L
`
o
,
i gi
,

ai 17.1. Cho f (x) = xxxx
Bô
,
¯
dê
`
17.1. Cho a v
`
a b l
`
a c
´
ac sô
´
th
.
u
,
c. Nê
´
u a v
`
a b c
´
o c
`
ung dâ
´
u v
`

a |a| >
|b|≥ 1, th
`
ı | f (a)| > | f (b)|.
Ch
´
u
,
ng minh. Ta nh
.
ân thâ
´
y r
`
˘
ang
|
a
|
≥
|
b
|
≥ 1.Theo
¯
dê
`
b
`
ai

|
a
|
>
|
b
|
≥
1.Ta c
´
o
|
aa
|
>
|
bb
|
≥ 1.Ch
´
u
´
y r
`
˘
ang aa v
`
a aaa c
´
o c

`
ung dâ
´
u tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i bb v
`
abbb. M
.
ôt c
´
ach tu
,
o
,
ng t
.
u
,
,

|
aaa
|
>
|
bbb
|
≥ 1,
|
aaa
|
≥
|
bbb
|
≥ 1
v
`
a
|
f (a)
|
>
|
f (b)
|
, bô
,
¯
dê

`
¯
du
,
.
o
,
c ch
´
u
,
ng minh.
Ta c
´
o f (x) = 0 v
´
o
,
i
|
x
|
< 1, f (1) = f (−1) = 1. Gi
,
a s
,
u
,
r
`

˘
ang f (x) = 88. V
´
o
,
i
|
x
|
> 1, ta x
´
et hai tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p sau.
(a) x ≥ 1. D
˜
ê d
`
ang kiê
,
m tra
¯
du

,
.
o
,
c f (
22
7
) = 88. Theo bô
,
¯
dê
`
trên, ta thâ
´
y
f (x) t
˘
ang v
´
o
,
i x > 1. V
`
ı v
.
ây x =
22
7
l
`

a gi
´
a tr
.
i duy nhâ
´
t th
,
oa m
˜
an trên kho
,
ang
n
`
ay.
(b) x ≤ −1. Theo bô
,
¯
dê
`
trên, f (x) gi
,
am v
´
o
,
i x > 1. T
`
u

,
¯
d
´
o
|
f (−3)
|
= 81 < f (x) = 88 <




f (
−112
37
)




= 112, −3 > x >
−112
37
v
`
a
xxx = −37. M
.
˘

at kh
´
ac x =
−88
37
> −3,
¯
diê
`
u n
`
ay l
`
a vô l
´
ı.V
.
ây trên
kho
,
ang n
`
ay không c
´
o gi
´
a tr
.
i n
`

ao th
,
oa m
˜
an.
Do
¯
d
´
o, x =
22
7
l
`
a gi
´
a tr
.
i duy nhâ
´
t th
,
oa m
˜
an yêu câ
`
u b
`
ai to
´

an.
Ch
´
u
´
y.
22
7
v
`
a
−112
37
¯
du
,
.
o
,
c t
`
ım b
`
˘
ang c
´
ach t
`
ım x, xx, v
`

a xxx
trong th
´
u
,
t
.
u
,
¯
d
´
o. V
´
ı d
.
u, v
´
o
,
i x ≥ 1, f (3) < 88 < f (4), v
`
ı 3 < x < 4. V
.
ây
th
`
ı x = 3 v
`
a xx3x = 88. Thêm v

`
ao
¯
d
´
o f (3) < 88 < f (
10
3
) v
`
ı v
.
ây
xx = 9, v
`
a c
´
u
,
tiê
´
p t
.
uc nhu
,
v
.
ây.
L
`

o
,
i gi
,
ai 17.2. X
´
et (
14
7
)c
´
ac t
.
âp h
.
o
,
p con gô
`
m 7 phâ
`
n t
,
u
,
lâ
´
y t
`
u

,
14 sô
´
¯
d
˜
a cho v
`
a
Nguy
˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê
,
n, 19
tô
,
ng c
,
ua c
´
ac ngh
.
ich
¯
d
,

ao c
,
ua c
´
ac sô
´
trong m
˜
ôi t
.
âp con n
`
ay.Tô
,
ng l
´
o
,
n nhâ
´
t
1 +
1
2
+ . . . +
1
7
=
363
140

< 2.60,
Nhu
,
v
.
ây m
˜
ôi tô
,
ng trong 3432 tô
,
ng n
`
˘
am m
.
ôt trong 2600 kho
,
ang
(0,
1
1000
], (
1
1000
,
2
1000
], . . . , (
2599

1000
,
2600
1000
].
Theo nguyên l
´
ı ng
˘
an k
´
eo Dirichlet, m
.
ôt sô
´
tô
,
ng n
`
˘
am trong c
`
ung m
.
ôt kho
,
ang.
Lâ
´
y c

´
ac t
.
âp h
.
o
,
p tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
`
a lo
.
ai b
,
o nh
˜
u
,
ng phâ
`
n t
,
u

,
chung ta
¯
du
,
.
o
,
c hai t
.
âp
con A v
`
a B th
,
oa m
˜
an b
`
ai to
´
an.
L
`
o
,
i gi
,
ai 17.3. G
.

oi V l
`
a thê
,
t
´
ıch c
,
ua t
´
u
,
di
.
ên ABCD; g
.
oi S
1
=
[
BCD
]
, S
3
=
[
CDA
]
, S
3

=
[
DAC
]
, S
4
=
[
ABC
]
; g
.
oi h
1
, h
2
, h
3
, h
4
l
`
a chiê
`
u cao c
,
ua t
´
u
,

di
.
ên
k
,
e t
`
u
,
A,B,C,D; v
`
a g
.
oi r l
`
a b
´
an k
´
ınh m
.
˘
at câ
`
u n
.
ôi tiê
´
p t
´

u
,
di
.
ên .Khi
¯
d
´
o
V =
r(S
1
+ S
2
+ S
3
+ S
4
)
3
,
v
`
a v
´
o
,
i i = 1, 2, 3, 4, V = S
i
h

i
/3. Do
¯
d
´
o
r
h
i
=
S
i
S
1
+ S
2
+ S
3
+ S
4
r
h
1
+
r
h
2
+
r
h

3
+
r
h
4
= 1.
G
.
oi p l
`
a chu vi c
,
ua t
´
u
,
di
.
ên ABCD. M
˜
ôi t
´
u
,
di
.
ên nh
,
o l
`

a h
`
ınh v
.
i t
.
u
,
t
`
u
,
ABCD v
`
a
c
´
o chiê
`
u cao l
`
a h
i
− 2r, do
¯
d
´
o chu vi c
,
ua ch

´
ung l
`
a
p(h
i
− 2r)
h
i
. Khi
¯
d
´
o tô
,
ng
c
,
ua bô
´
n chu vi l
`
a
4p − 2p(
r
h
1
+
r
h

2
+
r
h
3
+
r
h
4
) = 4p − 2p = 2p.
L
`
o
,
i gi
,
ai 17.4. G
.
oi h
`
ınh thang
¯
d
´
o l
`
a STUV v
´
o
,

i ST > UV, ST ||UV ; g
.
oi B v
`
a
C lâ
`
n lu
,
.
o
,
t l
`
a trung
¯
diê
,
m c
´
ac c
.
anh ST v
`
a UV ; c
´
ac
¯
du
,

`
o
,
ng ch
´
eo TV v
`
a SU
g
.
˘
ap nhau
,
o
,
P; v
`
a g
.
oi O l
`
a tâm
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`

on k. Ð
.
˘
at AV = v, AS = s, AO = o,
20 Chu
,
o
,
ng 17. Ðê
`
thi olympic to
´
an Czech v
`
a Slovak
v
`
a r l
`
a b
´
an k
´
ınh
¯
du
,
`
o
,

ng tr
`
on k;
¯
d
.
˘
at
VC
SB
= x;

SAC = α. T
`
u
,
c
´
ac
¯
du
,
`
o
,
ng song
song, v = xs, VS = (1 − x)s,
BP =
BC
1 + x

=
VScosα
1 + x
=
(1 − x)scosα
1 + x
. Do
¯
d
´
o
AP = AB − BP = scosα −
(1 − x)scosα
1 + x
=
2x
1 + x
scosα
. T
`
u
,
phu
,
o
,
ng t
´
ıch c
,

ua m
.
ôt
¯
diê
,
m, sv = o
2
− r
2
. Nhu
,
v
.
ây x =
(o
2
− r
2
)
s
2
.
´
Ap
d
.
ung
¯
d

.
inh l
´
ı cosin
¯
dô
´
i v
´
o
,
i tam gi
´
ac AOS ta c
´
o
cosα =
s
2
+ o
2
− r
2
2os
t
`
u
,
¯
d

´
o suy ra AP =
(o
2
− r
2
)
o
, không ph
.
u thu
.
ôc v
`
ao c
´
ach ch
.
on t
´
u
,
gi
´
ac STUV.
L
`
o
,
i gi

,
ai 17.5. Viê
´
t l
.
ai c
´
ac
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c trên du
,
´
o
,
i d
.
ang
a =
xy
z
+
zx
y

, b =
yz
x
+
yz
x
, c =
zx
y
+
yz
x
. Nê
´
u x, y, z tô
`
n t
.
ai, th
`
ı hai trong ba sô
´
n
`
ay c
´
o c
`
ung dâ
´

u: v
´
ı d
.
u, x v
`
a y. Khi
¯
d
´
o
z =
c
(
x
y
+
y
z
)
> 0. Do
¯
d
´
o a + b − c =
2xy
z
, b + c − a =
2yz
x

v
`
a c + a − b =
2zx
y
l
`
a c
´
ac sô
´
du
,
o
,
ng, v
`
ı v
.
ây a, b, c l
`
a
¯
d
.
ô d
`
ai ba c
.
anh m

.
ôt tam gi
´
ac.
Ngu
,
.
o
,
c l
.
ai, nê
´
u tô
`
n t
.
ai m
.
ôt tam gi
´
ac v
´
o
,
i
¯
d
.
ô d

`
ai ba c
.
anh l
`
a a, b, c, th
`
ı
¯
d
.
˘
at
u = b + c − a, v = c + a − b, w = a + b − c; theo bâ
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c trong tam
gi
´
ac, c
´
ac gi

´
a tr
.
i n
`
ay
¯
dê
`
u du
,
o
,
ng. Nê
´
u c
´
o c
´
ac gi
´
a tr
.
i th
,
oa m
˜
an x, y, z, th
`
ı theo

trên u =
2yz
x
, v =
2zx
y
, w =
2xy
z
. Gi
,
ai c
´
ac phu
,
o
,
ng tr
`
ınh cho x =
√
vw
2
, y =
√
wu
2
, z =
√
uv

2
, l
`
a c
´
ac gi
´
a tr
.
i th
,
oa m
˜
an c
´
ac phu
,
o
,
ng tr
`
ınh.
CHU
,
O
,
NG 18
Ð
`
Ê THI OLYMPIC TO

´
AN NH
.
ÂT B
,
AN
18.1. Ðê
`
b
`
ai
B
`
ai 18.1. cho p ≥ 3l
`
a m
.
ôt sô
´
nguyên tô
´
, v
`
a cho p
¯
diê
,
m A
0
, , A

p−1
n
`
˘
am trên
m
.
ôt
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on cho tru
,
´
o
,
c. Hay ch
´
ung ta viê
´
t
¯
diê
,
m A

1+ +k−1
v
´
o
,
i k = 1, , p
(v
´
o
,
i 1
¯
du
,
.
o
,
c viê
´
t t
`
u
,
A
0
). H
,
oi c
´
o bao nhiêu

¯
diê
,
m m
`
a
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt trong ch
´
ung
¯
du
,
.
o
,
c viê
´
t t
`
u
,
ch
´
ung.
B

`
ai 18.2. m
.
ôt
¯
dâ
´
t nu
,
´
o
,
c c
´
o 1998 sân bay
¯
du
,
.
o
,
c kê
´
t nô
´
i b
,
o
,
i nh

˜
u
,
ng chuyê
´
n bay
th
,
˘
ang .V
´
o
,
i ba sân bâ
´
t k
`
ı th
`
ı tô
`
n t
.
ai hai sân bay không c
´
o tr
.
u
,
c tiê

´
p .H
,
oi sô
´
¯
du
,
`
o
,
ng bay tr
.
u
,
c tiê
´
p l
´
o
,
n nhâ
´
t c
´
o thê
,
c
´
o nô

´
i c
´
ac chuyê
´
n bay
¯
d
´
o ?
B
`
ai 18.3. Cho P
1
, , P
n
l
`
a m
.
ôt d
˜
ay
¯
d
,
ınh c
,
ua m
.

ôt
¯
da gi
´
ac
¯
d
´
ong. G
´
oc ngo
`
ai
c
,
ua
¯
d
,
ınh P
i
c
´
o sô
´
¯
do b
`
˘
ang 180

o
tr
`
u
,
¯
di g
´
oc v
`
ong quanh P
i
gi
˜
u
,
a tia P
i
P
i−1
v
`
a
tia P
i
P
i+1
, trong kho
,
ang (0, 360

o
). (
,
O
,
¯
dây P
0
= P
n
v
`
a P
1
= P
n+1
. Nê
´
u tô
,
ng
c
´
ac g
´
oc bên ngo
`
ai l
`
a b

.
ôi c
,
ua 720
o
, ch
´
ung minh r
`
˘
ang sô
´
giao
¯
diê
,
m c
,
ua ch
´
ung
l
`
a l
,
e.
B
`
ai 18.4. Cho c
m,n

l
`
a sô
´
c
´
ac ho
´
an v
.
i c
,
ua {}1, , nc
´
o thê
,
viê
´
t nhu
,
l
`
a m c
´
ach
theo h
`
ınh th
´
u

,
c (i, i +1) v
´
o
,
i i = 1, , n − 1 nhu
,
ng không viê
´
t
¯
du
,
.
o
,
c m-1 c
´
ach
trên. Ch
,
ı ra r
`
˘
ang v
´
o
,
i m
.

oi n ∈ N,
∞

m =0
c
m,n
t
m
=
k+1

i =1
(1 + t + t
2
+· · · + t
i−1
)
B
`
ai 18.5. V
´
o
,
i m
˜
ôi
¯
diê
,
m trong 12

¯
diê
,
m trên m
.
ôt
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on cho tru
,
´
o
,
c ch
´
ung
ta
¯
d
.
˘
at m
.
ôt c

´
ai
¯
d
˜
ıa m
`
au
¯
den ho
.
˘
ac m
.
ôt c
´
ai
¯
d
˜
ıa m
`
au tr
´
˘
ang xen k
˜
e l
˜
ân nhau. Ta

c
´
o thê
,
t
.
ao ra m
.
ôt chuyê
,
n
¯
d
.
ông nhu
,
sau: ch
.
on m
.
ôt c
´
ai
¯
d
˜
ıa m
`
au
¯

den v
`
a ho
´
an
¯
dô
,
i c
´
ai
¯
d
˜
ıa
¯
d
´
o v
´
o
,
i
¯
d
˜
ıa
¯
d
.

˘
at
,
o
,
¯
diê
,
m kê
`
v
´
o
,
i n
´
o. H
,
oi r
`
˘
ang câ
`
n bao nhiêu chuyê
,
n
¯
d
.
ông

¯
dâ
`
u tiên nhu
,
v
.
ây
¯
dê
,
tâ
´
t c
,
a nh
˜
u
,
ng c
´
ai
¯
d
˜
ıa
¯
d
.
˘

at trên c
´
ac
¯
diê
,
m
¯
dê
`
u m
`
au
¯
den, ch
,
ı c
´
o m
.
ôt c
´
ai m
`
au tr
´
˘
ang.
22 Chu
,

o
,
ng 18. Ðê
`
thi olympic to
´
an Nh
.
ât B
,
an
18.2. L
`
o
,
i gi
,
ai
L
`
o
,
i gi
,
ai 18.1. Cho ch
´
ung tâ
´
t c
,

a
¯
dô
`
ng du
,
theo mo
¯
dun p. k-th tam gi
´
ac sô
´
l
`
a
t
k
=
k(k+1)
2
. Cho 0  s
k
 p − 1 v
`
a s
k
≡ t
k
. Do
¯

d
´
o c
´
o k + 1
¯
diê
,
m
¯
du
,
.
o
,
c viê
´
t l
`
a
A
s
k
v
´
o
,
i k=0,1, ,p-1.T
`
u

,
¯
d
´
o
s
k
≡ t
k
←→ n(n + 1) = k(k + 1)
←→ n
2
+ n − k
2
≡ (n − k)(n + k + 1) ≡ 0
←→ n ≡ k
Hay
n ≡ p − 1 − k
. Do
¯
d
´
o:A
s
0
= A
s
p−1
A
s

1
= A
s
p−2
, , A
s
p−1
2
= A
s
p−1
2
v
`
a câu tr
,
a l
`
o
,
i l
`
a:
p − 1
2
+ 1 =
p + 1
2
.
L

`
o
,
i gi
,
ai 18.2. Tr
,
a l
`
o
,
i :999
2
= 998001
L
`
o
,
i gi
,
ai 18.3. Cho m
.
ôt
¯
da gi
´
ac P. G
.
oi E(P) l
`

a tô
,
ng c
´
ac g
´
oc bên ngo
`
ai. Cho
ba
¯
diê
,
m A, B, C v
`
a g
.
oi (ABC) l
`
a g
´
oc ngo
`
ai B-180
o
tr
`
u
,
g

´
oc
,
o
,
¯
d
,
ınh B gi
˜
u
,
a tia
BA v
´
o
,
i tia BC, trong kho
,
ang (0, 360
o
). Khi
¯
d
´
o ta c
´
o bô
,
¯

dê
`
¯
dâ
`
u tiên sau:
Nê
´
u
¯
da gi
´
ac P c
´
o k giao
¯
diê
,
m th
`
ı tô
,
ng c
´
ac g
´
oc ngo
`
ai E(P) = (k +
1)360

o
(mod720
o
) .
Ch
´
u
,
ng minh: Ta ch
´
ung minh b
`
˘
ang quy n
.
ap theo k. V
´
o
,
i k = 0 ta c
´
o tô
,
ng
c
´
ac g
´
oc ngo
`

ai l
`
a ∓360
o
.Bây gi
`
o
,
cho k = n > 1 v
`
a nghic r
`
˘
ang kê
´
t qu
,
a trên
¯
d
˜
a
¯
d
´
ung v
´
o
,
i k  k − 1. Gi

,
a s
,
u
,
r
`
˘
ang c
´
o k giao
¯
diê
,
m trong P. Khi
¯
d
´
o c
´
o
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt c
.
˘
ap n

`
˘
am
,
o
,
phâ
`
n giao bên ph
,
ai. Cho i < j, P
i
P
i+1
c
´
˘
at P
j
P
j+1
,
o
,
P,
,
o
,
¯
dây P

i
= P
n+i
. Cho h
`
ınh
¯
da gi
´
ac P
1
l
`
a P
1
, , P
i
PP
j+1
, , P
n
v
`
a h
`
ınh
¯
da gi
´
ac P

2
=PP
i+1
P, , P
j
. Khi
¯
d
´
o tô
,
ng sô
´
giao
¯
diê
,
m c
,
ua P
1
v
`
a P
2
l
`
a k-1.
Nê
´

u nhu
,
P
1
c
´
o l giao
¯
diê
,
m th
`
ı P
2
k-l-1 giao
¯
diê
,
m. Theo gi
,
a thuyê
´
t suy ra:
Nguy
˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê

,
n, 23
E(P
1
) ≡ (k + 1)360
o
v
`
a E(P
2
) ≡ (k − l − 1 + 1)360
o
.
Biê
´
t r
`
˘
ang (P
i
PP
j+1
)=−(P
i+1
PP
j
)
E(P)=E(P
1
) + E(P

2
) − (P
i
PP
j+1
) − (P
i+1
PP
j
)
(k +1)360
o
(mod720
o
). V
.
ây ta ch
´
u
,
ng minh xong bô
,
¯
dê
`
t
`
u
,
¯

d
´
o suy ra
¯
diê
`
u ph
,
ai
ch
´
u
,
ng minh. V
.
ây nê
´
u tô
,
ng c
´
ac g
´
oc bên ngo
`
ai l
`
a
¯
dô

`
ng du
,
v
´
o
,
i 720
o
th
`
ı sô
´
giao
¯
diê
,
m k l
`
a sô
´
l
,
e.
L
`
o
,
i gi
,

ai 18.4. Ta ch
´
u
,
ng minh b
`
˘
ang phu
,
o
,
ng ph
´
ap quy n
.
ap to
´
an h
.
oc theo n.
V
´
o
,
i k=1 ta c
´
o m
.
ôt ho
´

an v
.
i v
`
a không c
´
o c
´
ach viê
´
t n
`
ao d
.
ang trên do v
.
ây: c
,
a
hai vê
´
¯
dê
`
u b
`
˘
ang nhau v
`
a b

`
˘
ang 1. Gi
,
a x
,
u
,
r
`
˘
ang
¯
diê
`
u trên
¯
d
´
ung v
´
o
,
i n = k. V
´
o
,
i
n = k + 1 Ð
.

˘
at p
k+1,m
l
`
a m
.
ôt ho
´
an v
.
i c
,
ua {}1, , n. Ch
´
ung ta s
˜
e ch
,
ı ra r
`
˘
ang
viê
´
t
¯
du
,
.

o
,
c m c
´
ach theo h
`
ınh th
´
u
,
c trên nhu
,
ng không viê
´
t
¯
du
,
.
o
,
c m-1 c
´
ach theo
h
`
ınh th
´
u
,

c
¯
d
´
o v
`
a k +1 l
`
a v
.
i tr
´
ı th
´
u
,
k +1 − h. Do
¯
d
´
o p
k+1,m
−k + 1l
`
a m
.
ôt ho
´
an v
.

i
c
,
ua {}1, , n n
´
o
¯
du
,
.
o
,
c viê
´
t nhu
,
l
`
a m − h ho
´
an v
.
i m
`
a không ph
,
ai l
`
a m − h − 1
ho

´
an v
.
i. B
,
o
,
i thê
´
ch
´
ung ta c
´
o:c
k+1,m
= c
k,m
+ c
k,m−1
+ + c
k,m−k
v
`
a
k+1

i =1
(1 + t + t
2
+· · · + t

i−1
) = (
∞

m =0
c
m,n
t
m
)(1 + t + t
2
+· · · + t
k
) (18.1)
= (
∞

m =0
(c
k,m
+ c
k,m−1
+ + c
k,m−k
)t
m
) (18.2)
= (
∞


m =0
c
k+1,m
t
m
) (18.3)
Ta c
´
o
¯
diê
`
u ph
,
ai ch
´
u
,
ng minh.
L
`
o
,
i gi
,
ai 18.5. Ð
.
˘
at nh
˜

u
,
ng c
´
ai
¯
d
˜
ıa tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i c
´
ac v
.
i tr
´
ı l
`
a d
1

, d
2
,· · · , d
12
theo chiê
`
u kim
¯
dô
`
ng hô
`
. Khi
¯
d
´
o d
k
tr
`
ung v
´
o
,
i d
k+12
. Ð
.
˘
at b l

`
a sô
´
biê
,
u th
.
i c
´
ac
sô
´
m
`
au
¯
den, ch
´
ung ta xem x
´
et c
´
ac tru
,
`
o
,
ng h
.
o

,
p sau
¯
dây:
(a) Nê
´
u b l
`
a sô
´
ch
˜
˘
an, th
`
ı sau m
˜
ôi chuyê
,
n
¯
d
.
ông v
˜
ân cho ta m
.
ôt sô
´
ch

˜
˘
an c
´
ac
¯
d
˜
ıa m
`
au
¯
den nhu
,
v
.
ây không thê
,
c
´
o
¯
diê
`
u b
`
ai to
´
an mong muô
´

n.
(b) Cho n l
`
a sô
´
l
,
e, khi
¯
d
´
o nh
˜
u
,
ng c
´
ai
¯
d
˜
ıa m
`
au
¯
den v
`
a m
`
au tr

´
˘
ang ch
´
ung ta chia
l
`
am hai nh
´
om. Ð
.
˘
at d
1
, d
2
,· · · , d
2i+1
l
`
a m
`
au
¯
den v
`
a d
2i+1
,· · · , d
12

l
`
a m
`
au tr
´
˘
ang.
Sau
¯
d
´
o ta
¯
d
,
ao ngu
,
.
o
,
c sô
´
¯
d
˜
ıa l
.
ai d
2i

, d
2i−2
,· · · , d
2
th
`
ı khi
¯
d
´
o v
.
i tr
´
ı d
2
,· · · , d
2i
l
`
a
24 Chu
,
o
,
ng 18. Ðê
`
thi olympic to
´
an Nh

.
ât B
,
an
m
`
au
¯
den v
`
a nh
˜
u
,
ng v
.
i tr
´
ı c
`
on l
.
ai m
`
au tr
´
˘
ang. Ch
´
ung ta c

´
o thê
,
¯
d
´
anh l
.
ai sô
´
c
,
ua
c
´
ai
¯
d
˜
ıa d
2
l
`
a v
.
i tr
´
ı c
´
ai

¯
d
˜
ıa
¯
dâ
`
u tiên v
`
a c
´
o thê
,
l
.
˘
ap l
.
ai quy tr
`
ınh
¯
d
´
o nê
´
u câ
`
n thiê
´

t,
kê
´
t th
´
uc v
´
o
,
i v
.
i tr
´
ı n
´
o l
`
a c
´
ai
¯
d
˜
ıa m
`
au
¯
den.
(c) n l
`

a sô
´
l
,
e, nh
˜
u
,
ng c
´
ai
¯
d
˜
ıa m
`
au
¯
den v
`
a m
`
au tr
´
˘
ang h
˜
ôn
¯
d

.
ôn nhau. G
,
ıa s
,
u
,
d
6
l
`
a c
´
ai
¯
d
˜
ıa m
`
au
¯
den v
`
a d
i
,· · · , d
j
l
`
a m

.
ôt lô
¯
d
˜
ıa m
`
au
¯
den
,
o
,
v
`
ung quanh
¯
d
˜
ıa
d
6
, i  j v
`
a c
,
a hai d
i−1
, d
j+1

l
`
a
¯
d
˜
ıa tr
´
˘
ang. Ð
.
˘
at d
k
l
`
a chiê
´
c
¯
d
˜
ıa m
`
au
¯
den
,
o
,

v
.
i tr
´
ı d
j
. Khi
¯
d
´
o d
j+1
,· · · , d
k−1
l
`
a tâ
´
t c
,
a m
`
au tr
´
˘
ang,
¯
d
,
ao ngu

,
.
o
,
c nh
˜
u
,
ng c
´
ai
¯
d
˜
ıa
quanh d
k
th
`
ı d
k−1
bây gi
`
o
,
l
`
a m
`
au

¯
den. Bây gi
`
o
,
kho
,
ang c
´
ach gi
˜
u
,
a lô
¯
d
˜
ıa
¯
d
´
o
v
`
a c
´
ac
¯
d
˜

ıa m
`
au
¯
den kê
`
bên s
˜
e nh
,
o ho
,
n. C
´
o thê
,
l
.
˘
ap l
.
ai quy tr
`
ınh
¯
d
´
o nê
´
u thâ

´
y
câ
`
n thiê
´
t, v
`
a ch
´
ung ta s
˜
e kê
´
t th
´
uc nhu
,
tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p (b).
T
`

u
,
c
´
ac tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p xem x
´
et
,
o
,
trên, ch
´
ung ta thâ
´
y r
`
˘
ang c
´
o thê
,

l
`
am
¯
du
,
.
o
,
c trên
v
.
i tr
´
ı
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on
¯
d
˜
a cho
¯
d

.
˘
at tâ
´
t c
,
a c
´
ai
¯
d
˜
ıa m
`
au
¯
den ch
,
ı m
.
ôt c
´
ai m
`
au tr
´
˘
ang v
´
o

,
i
¯
diê
`
u ki
.
ên ban
¯
dâ
`
u nh
˜
u
,
ng c
´
ai
¯
d
˜
ıa m
`
au
¯
den
¯
du
,
.

o
,
c
¯
d
.
˘
at l
`
a sô
´
l
,
e.
CHU
,
O
,
NG 19
Ð
`
Ê THI OLYMPIC TO
´
AN KOREA
19.1. Ðê
`
b
`
ai
B

`
ai 19.1. T
`
ım tâ
´
t c
,
a c
´
ac c
.
˘
ap sô
´
nguyên tô
´
tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng trong d
˜
ay sô
´
t
.

u
,
nhiên l,
m, n, th
,
oa m
˜
an:
(l + m + n)(
1
n
+
1
m
+
1
l
)
l
`
a m
.
ôt sô
´
t
.
u
,
nhiên.
B

`
ai 19.2. Cho D, E, F lâ
`
n lu
,
.
o
,
t l
`
a c
´
ac
¯
diê
,
m n
`
˘
am trên c
.
anh BC, CA, AB c
,
ua
tam gi
´
ac ABC. Ð
.
˘
at P, Q, R l

`
a c
´
ac giao
¯
diê
,
m th
´
u
,
hai c
,
ua AD, BE, CF v
´
o
,
i
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on ngo
.
ai tiê
´

p tam gi
´
ac ABC. Ch
,
ı ra r
`
˘
ang:
AD
PD
+
BE
QE
+
CF
RF
≥ 9
v
`
a x
´
ac
¯
d
.
inh dâ
´
u b
`
˘

ang x
,
ay ra khi n
`
ao.
B
`
ai 19.3. Cho sô
´
t
.
u
,
nhiên n,
¯
d
.
˘
at (n) l
`
a sô
´
t
.
u
,
nhiên k
´
em ho
,

n ho
.
˘
ac b
`
˘
ang n,
tu
,
o
,
ng t
.
u
,
n l
`
a sô
´
nguyên tô
´
,
¯
d
.
˘
at (n) l
`
a sô
´

c
´
ac th
`
u
,
a sô
´
nguyên tô
´
c
,
ua n. Ch
,
ı
ra r
`
˘
ang nê
´
u (n) chia hê
´
t cho n-1 v
`
a (n) leqslant3 th
`
ı n l
`
a m
.

ôt sô
´
nguyên
tô
´
.
B
`
ai 19.4. Cho d
˜
ay sô
´
th
.
u
,
c a, b, c v
´
o
,
i a + b + c = abc. Ch
,
ı ra r
`
˘
ang:
1

(1 + a
2

)
+
1
sqrt1 + b
2
+
1
√
1 + c
2

3
2
, dâ
´
u b
`
˘
ang x
,
ay ra khi n
`
ao?
B
`
ai 19.5. Cho I l
`
a tr
.
ong tâm c

,
ua tam gi
´
ac ABC, O
1
l
`
a m
.
ôt
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on
¯
di qua
B v
`
a tiê
´
p x
´
uc v
´
o

,
i
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang CI t
.
ai I, O
2
l
`
a m
.
ôt
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on
¯

di qua C v
`
a
tiê
´
p x
´
uc v
´
o
,
i
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang BI t
.
ai I. Ch
,
ı ra r
`
˘
ang O
1

, O
2
v
`
a
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on ngo
.
ai
tiê
´
p tam gi
´
ac ABC c
`
ung
¯
di qua m
.
ôt
¯
diê
,

m.
.